Đề ôn tập số 10 Kỳ thi TN THPT 2022 môn Toán - Trường THPT Gia Bình số 1 (Có đáp án)

Nội dung tài liệu: Đề ôn tập số 10 Kỳ thi TN THPT 2022 môn Toán - Trường THPT Gia Bình số 1 (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ ÔN TẬP SỐ 10 BẮC NINH KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM HỌC 2021-2022 ¯¯¯¯¯¯¯¯¯ Môn: Toán Thời gian làm bài: 90 phút ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ * Đơn vị đề xuất: THPT GIA BÌNH SỐ 1 * Giáo viên cốt cán thẩm định: 1) Đặng Văn Thắng, đơn vị công tác:THPT Lương Tài số 2 2) Phương Xuân Trịnh, đơn vị công tác: THPT Lương Tài. Câu 1. Phần ảo của số phức z 3 4i bằng A. 3 . B. 4 . C. 4 . D. 4i . 2 2 Câu 2. Trong không gian Oxyz , mặt cầu S : x 2 y 4 z2 16 có tâm là điểm có tọa độ A. 2; 4;0 . B. 2;4;0 . C. 1; 2;0 . D. 1;2;0 . Câu 3. Đồ thị của hàm số y x3 2x2 x 2 cắt trục tung tại điểm A. M 1;0 . B. N 1;0 . C. P 2;0 . D. Q 0;2 . Câu 4. Diện tích S của mặt cầu bán kính r được tính theo công thức nào dưới dây 4 A. S 2 r 2 . B. S r 2 . C. S 4 r 2 . D. S r 2 . 3 Câu 5. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f x cos x 6x là A. sin x 3x2 C . B. sin x 3x2 C . C.sin x 6x2 C . D. sin x 6 C . Câu 6. Cho hàm số f (x) có bảng biến thiên như sau Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại A. x 2 . B. x 2. C. x 3. D. x 1. Câu 7. Tập nghiệm của bất phương trình log2 x 3 là A. ; 6 . B. 0;8 .C. ;8 . D. 0; 9 . Câu 8. Cho khối lăng trụ có diện tích đáy B 8 và chiều cao h 6 . Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng A. 16. B. 384 .C. 48 . D. 28 . 1 Câu 9. Tập xác định của hàm số y x 1 2022 là A. 0; . B. 1; . C. ¡ \ 1 . D. 1; . Câu 10. Phương trình log 2x 3 log x 2 A. x 1. B. x 5 . C. x 1. D. x 5. 3 3 3 Câu 11. Nếu f x dx 5 và g x dx 1 thì f x g x 2x dx bằng 2 2 2 Trang 1/15
2. A. 6 . B. 5 . C. 11. D. 1. Câu 12. Cho số phức z 3 4i . Khi đó mô đun z bằng 1 1 A. 5 . B. . C. 25 . D. . 5 25 Câu 13. Trong không gian Oxyz , vectơ n 1; 1; 3 là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng nào sau đây? A. x y 3z 3 0 .B. x z 3 0 .C. x y 3z 3 0 . D. x y 3z 3 0 . Câu 14. Trong không gian Oxyz , cho hai vectơ u 1;1; 3 và v 1;0;2 . Tính độ dài 2u v . A. 11 .B. 6 . C. 69 .D. 26 . Câu 15. Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức A. z 1 2i B. z 1 2i C. z 2 i D. z 2 i Câu 16. Đường thẳng x 2 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số nào sau đây? 2x 2 2x x 2 x A. y .B. y .C. y .D. y . x 1 1 x x 2 x 2 a2 Câu 17. Với mọi số thực a dương, log bằng 2 4 A. 2 log2 a 1 . B. log2 a 2 . C. log2 a 1.D. 2log2 a 1. Câu 18. Hàm số nào dưới đây có đồ thị như đường cong trong hình vẽ? A. y x4 3x2 . B. y x3 3x . C. y 3x4 2x2 . D. y x3 3x . x 1 y 3 z 2 Câu 19. Trong không gian Oxyz , đường thẳng : đi qua điểm nào dưới đây? 2 1 3 A. M 1;3;2 . B. N 1; 3;2 . C. P 1;3;2 . D. M 1; 3; 2 . Câu 20. Với n là số nguyên dương bất kỳ, n 5 , công thức nào sau đây đúng? n! 5! n 5 ! n! n 5 ! A. C5 . B. C5 . C. C5 . D. C5 n 5! n 5 ! n n! n n 5 ! n n! Câu 21. Cho khối nón có độ dài đường sinh bằng đường kính đáy bằng a. Thể tích khối nón là. Trang 2/15
3. 3 3 3 3 A. a 3 . B. a 3 . C. a 3 . D. a 3 . 16 48 24 8 Câu 22. Đạo hàm của hàm số y ln x2 2x 1 bằng 2 1 1 A. y . B. y . C. y . D. y 2x 2 . x 1 x2 2x 1 x 1 Câu 23. Cho hàm số f x có bảng biến thiên như hình bên. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây? A. ;3 . B. 1;5 . C. 1; . D. 3; 1 . Câu 24. Tính diện tích xung quanh của hình trụ, biết hình trụ có bán kính đáy a và đường cao a 3 . A. a2 3 . B. 2 a2 . C. 2 a2 3 . D. a2 . 1 3 Câu 25. Giả sử f x dx 10 và f y dy 5 . Chọn kết quả đúng. 1 1 3 3 3 3 A. f z dz 5 . B. f z dz 5 . C. f z dz 15 . D. f z dz 15 . 1 1 1 1 Câu 26. Cho cấp số cộng un có số hạng đầu u1 3 và công sai d 2 . Giá trị của u7 bằng A. 15. B. 17 . C. 19. D. 13. Câu 27. Họ nguyên hàm của hàm số f x 3x2 sin x là A. x3 cos x C . B. 6x cos x C . C. x3 cos x C . D. 6x cos x C . Câu 28. Cho hàm số y f x xác định, liên tục trên ¡ và có bảng biến thiên Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. Hàm số y f x có giá trị cực tiểu bằng 1. B. Hàm số y f x có giá trị lớn nhất bằng 0 và giá trị nhỏ nhất bằng 1. C. Hàm số y f x đạt cực đại tại x 0 và đạt cực tiểu tại x 1 . D. Hàm số y f x có đúng một cực trị. Câu 29. Giá trị lớn nhất của hàm số y x3 3x 1 trên đoạn 0;2 bằng A. 1. B. 1. C. 3 . D. 5 . Câu 30. Cho hàm y x2 6x 5 . Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Hàm số đồng biến trên khoảng 5; . B. Hàm số đồng biến trên khoảng 3; . Trang 3/15
4. C. Hàm số đồng biến trên khoảng ;1 . D. Hàm số nghịch biến trên khoảng ;3 . Câu 31. Cho log2 3 a. Tính P log8 6 theo a. 1 A. P 3(1 a) . B. P (1 a) . C. P 1 a . D. P 2 a . 3 Câu 32. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a , SA vuông góc với đáy và SA a 6 . Góc giữa hai mặt phẳng SBD và ABCD bằng A. 300 . B. 600 . C. 450 . D. 900 . 2 Câu 33. Tính tích phân I 2x x2 1 dx bằng cách đặt u x2 1, mệnh đề nào dưới đây đúng? 1 3 2 3 1 2 A. I 2 udu B. I udu C. I udu D. I udu 0 1 0 2 1 Câu 34. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M 1;0;6 và mặt phẳng có phương trình x 2y 2z 1 0. Viết phương trình mặt phẳng  đi qua điểm M và song song với mặt phẳng . A. x 2y 2z 15 0. B. x 2y 2z 15 0. C. x 2y 2z 13 0. D. x 2y 2z 13 0. Câu 35. Cho số phức z thỏa mãn 1 2i z 1 7i 0 . Phần ảo của z bằng A. 1. B. 1. C. 3 . D. 2. Câu 36. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A B C có cạnh đáy bằng 2a . Khoảng cách từ B đến mặt phẳng ACC A bằng A. 2a . B. 2 2a . C. 2a . D. 3a . Câu 37. Một chiếc hộp chứa 9 quả cầu gồm 4 quả màu xanh, 3 quả màu đỏ và 2 quả màu vàng. Lấy ngẫu nhiên 3 quả cầu từ hộp đó. Xác suất để trong 3 quả cầu lấy được có ít nhất 1 quả màu đỏ bằng 1 19 16 17 A. . B. . C. . D. . 3 28 21 42 Câu 38. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng x 1 y z 2 P : 2x y 2z 10 0, đồng thời song song và cách đường thẳng : một 1 1 3 khoảng bằng 2 có phương trình là A. 5x 4y 3z 9 0 hoặc 5x 4y 3z 9 0 . B. 5x 4y 3z 11 0 hoặc 5x 4y 3z 11 0 . C. 5x 4y 3z 9 0 hoặc 5x 4y 3z 11 0 . D. 5x 4y 3z 11 0 hoặc 5x 4y 3z 9 0 . 2x Câu 39. Có bao nhiêu số nguyên x nhỏ hơn 2022 thoả mãn log2 x 3.log x 2 16 0,5 0 . 2 2 A. 2020 . B. 2021. C. 2022 . D. 2023. Câu 40. Cho hàm số đa thức bậc bốn f x có đồ thị như hình vẽ: Trang 4/15
5. Đặt g x f f x . Tìm số nghiệm của phương trình g x 0 . A. 10. B. 11. C. 9 . D. 8. Câu 41. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm là f ¢(x)= cos x- e- x , " x Î ¡ và f (0)= 3 . Biết F (x) là nguyên hàm của f (x) thỏa mãn F (0)= - 3, khi đó F (p) bằng A. 2p - e- p . B. 2p + ep .C. 2+ p- e- p .D. 2p- ep . Câu 42. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA và CD . Cho biết MN tạo với mặt đáy một góc bằng 30 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD . a3 30 a3 15 a3 5 a3 15 A. . B. . C. . D. . 18 3 12 5 Câu 43. Cho S là tập hợp các số nguyên của tham số m để phương trình z2 m 3 z m2 m 0 có 2 nghiệm phức z1 , z2 thỏa mãn z1 z2 z1 z2 . Số phần tử của S là A. 2. B. 3. C. 4. D. 1. Câu 44. Cho số phức z thỏa mãn z 1 3. Biết giá trị lớn nhất của biểu thức P z i z 2 i bằng a b với a,b là các số nguyên dương. Tính a b. A. 15 . B. 9 . C. 12. D. 7 . Câu 45. Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị là đường cong ở hình bên dưới. Gọi x1, x2 lần lượt là hai điểm cực trị thỏa mãn: x2 x1 2 và f x1 3 f x2 0 và đồ thị luôn đi qua M (x0; f (x0 )) , trong đó x0 x1 1. Hàm số g(x) là hàm số bậc hai có đồ thị qua điểm M và 2 điểm cực trị của S1 đồ thị hàm số y f x . Tính tỉ số ( S1 và S2 lần lượt là diện tích hai hình phẳng được tạo bởi S2 đồ thị hai hàm f (x), g(x) ). 6 5 7 4 A. .B. .C. . D. . 35 32 33 29 Trang 5/15
6. x y 1 z 2 Câu 46. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : và mặt phẳng 1 1 1 P : x 2y 2z 4 0. Phương trình đường thẳng d nằm trong P sao cho d cắt và vuông góc với đường thẳng là x 3 t x 3t A. .d : y 1 2t t ¡ B. . d : y 2 t t ¡ z 1 t z 2 2t x 1 t x 2 4t C. d : y 3 3t t ¡ . D. .d : y 1 3t t ¡ z 3 2t z 4 t Câu 47. Cho mặt cầu S bán kính R . Hình nón N thay đổi có đỉnh và đường tròn đáy thuộc mặt cầu S . Thể tích lớn nhất của khối nón N là: 32 R3 32R3 32 R3 32R3 A. .B. .C. . D. . 81 81 27 27 Câu 48. Gọi a là số thực lớn nhất để bất phương trình x2 x 2 a ln x2 x 1 0 nghiệm đúng với mọi x ¡ . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. a 2;3 . B. a 8; . C. a 6;7. D. a 6; 5 . Câu 49. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S :x2 y2 z2 6x 2y 2z 6 0 và mặt phẳng P :x 2z 0 . Có bao nhiêu điểm M trên P với M có các tọa độ nguyên sao cho có ít nhất hai tiếp tuyến của S qua M và vuông góc với nhau A. 1. B. 2. C. 3. D. 7. Câu 50. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên ¡ , đồ thị hàm số y f x có đúng 4 điểm chung với trục hoành như hình vẽ bên dưới: 3 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y f x 3 x m 2021 2022 có đúng 11 điểm cực trị? A. 0 . B. 1. C. 5 . D. 2. HẾT Trang 6/15
7. ĐÁP ÁN 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 B A D C A D B C B C D A A C D D A D B A C A D C C 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 A C C C A B B C C B D C D A C A A C D B D A C D B HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC CÂU VẬN DỤNG 2x Câu 39. Có bao nhiêu số nguyên x nhỏ hơn 2022 thoả mãn log2 x 3.log x 2 16 0,5 0 . 2 2 A. 2020 . B. 2021. C. 2022 . D. 2023. Lời giải 2x 16 0,5 0 x 2 Điều kiện: x 0 x 0 x 0 2x 2x 16 0,5 0 1 2 Ta có log x 3.log2 x 2 16 0,5 0 2 log2 x 3.log x 2 0 2 2 2 2x + (1) 0,5 16 2x 4 x 2 (không thỏa mãn) log2 x 1 x 2 + (2) . log2 x 2 x 4 Kết hợp với điều kiện, ta có các giá trị nguyên thoả mãn trong trường hợp này là x 1;2 4;5;6; 2021 . Vậy có 2020 số nguyên x thoả mãn đề bài. Câu 40. Cho hàm số đa thức bậc bốn f x có đồ thị như hình vẽ: Đặt g x f f x . Tìm số nghiệm của phương trình g x 0 . A. 10. B. 11. C. 9 . D. 8. Lời giải f x 0 1 Ta có: g x f x . f f x ; g x 0 f f x 0 2 Dựa vào đồ thị ta thấy: x 0 TH1: Phương trình f x 0 x 1 x 1 Trang 7/15
8. f x 0 * TH2: Phương trình f ' f x 0 f x 1 f x 1 Nhận xét: Số nghiệm của phương trình * là số giao điểm của đồ thị hàm số y f x và đường thẳng y 0. Suy ra phương trình * có 2 nghiệm. Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số y f x và đường thẳng y 1. Suy ra phương trình có 3 nghiệm, trong đó có 1 nghiệm trùng với nghiệm của (1). Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số y f x và đường thẳng y 1. Suy ra phương trình có 2 nghiệm. Vậy số nghiệm của phương trình g x 0 là 9 . Câu 41. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm là f ¢(x)= cos x- e- x , " x Î ¡ và f (0)= 3 . Biết F (x) là nguyên hàm của f (x) thỏa mãn F (0)= - 3, khi đó F (p) bằng A. 2p - e- p . B. 2p + ep .C. 2+ p- e- p .D. 2p- ep . Lời giải Ta có f x = f ¢ x dx = cos x- e- x dx = sin x + e- x + C . ( ) ò ( ) ò( ) 1 - x Mà f (0)= 3 nên 1+ C1 = 3 Û C1 = 2 . Suy ra f (x)= sin x + e + 2 . Lại có F x = f x dx = sin x + e- x + 2 dx = - cos x- e- x + 2x + C . ( ) ò ( ) ò( ) 2 Hơn nữa, F (0)= - 3 Û - 1- 1+ C2 = - 3 Û C2 = - 1. Þ F (x)= - cos x- e- x + 2x- 1. Suy ra F (p)= 2p - e- p . Câu 42. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA và CD . Cho biết MN tạo với mặt đáy một góc bằng 30 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD . a3 30 a3 15 a3 5 a3 15 A. . B. . C. . D. . 18 3 12 5 Lời giải S B C M O N B C H H O N A a D A D Gọi O AC  BD , ta có SO  ABCD . Gọi H là trung điểm OA , ta có MH // SO MH  ABCD . Do đó MN, ABCD MN, NH M· NH 30. Trang 8/15
9. 2 2 2 3 1 5 2 a 10 Ta có: NH AD CD a NH . 4 4 8 4 MH MH 3 a 30 a 30 tan M· NH MH . Mặt khác: SO 2MH . NH a 10 3 12 6 4 1 1 a 30 a3 30 Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là: V .S .SO .a2. . 3 ABCD 3 6 18 Câu 43. Cho S là tập hợp các số nguyên của tham số m để phương trình z2 m 3 z m2 m 0 có 2 nghiệm phức z1 , z2 thỏa mãn z1 z2 z1 z2 . Số phần tử của S là A. 2. B. 3. C. 4. D. 1. Lời giải Ta có 3m 2 10m 9 . 5 2 13 5 2 13 m 3 +) TH1: 0 m , phương trình có 2 nghiệm z , khi đó 3 3 1,2 2 m 0 tm 2 2 z1 z2 z1 z2 m 3 m 3 4m 4m 0 . m 1 tm 5 2 13 m 3 m 3 i +) TH2: 0 , phương trình có 2 nghiệm z1,2 , 5 2 13 2 m 3 khi đó m 1 tm 2 2 z1 z2 z1 z2 m 3 i m 3 2m 16m 18 0 . m 9 tm Vậy có 4 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Do đó số phần tử của S là 4. Câu 44. Cho số phức z thỏa mãn z 1 3. Biết giá trị lớn nhất của biểu thức P z i z 2 i bằng a b với a,b là các số nguyên dương. Tính a b. A. 15 . B. 9 . C. 12. D. 7 . Lời giải Đặt z x yi (x, y ¡ ) , ta có z 1 2 x 1 yi 3 x 1 2 y2 3 x 1 2 y2 3 x2 y2 2x 2 (*) . Lại có: P z i z 2 i x y 1 i x 2 y 1 i x2 y2 2y 1 x2 y2 4x 2y 5 Kết hợp với (*) ta được P 2x 2y 2 6 2x 2y 2 x y 3 7 2 x y 3 7 Đặt t x y thì P f t 2t 3 7 2t với t ; . 2 2 Trang 9/15
10. Cách 1: ( Sử dụng phương pháp hàm số ). 1 1 Ta có: f t . Xét f t 0 t 1. 2t 3 7 2t 3 7 Mà f 1 2 5; f 10 ; f 10. 2 2 Vậy max f t f 1 2 5 xảy ra khi t 1. Nên a 2;b 5 nên a b 7 . Cách 2: (Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki). Áp dụng BĐT Bunhiacopxki cho 2 cặp số 1;1 và 2t 3; 7 2t Ta có: 2t 3 7 2t 1 1 .10 2 5 . Đẳng thức xảy ra khi t 1. Câu 45. Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị là đường cong ở hình bên dưới. Gọi x1, x2 lần lượt là hai điểm cực trị thỏa mãn: x2 x1 2 và f x1 3 f x2 0 và đồ thị luôn đi qua M (x0; f (x0 )) , trong đó x0 x1 1. Hàm số g(x) là hàm số bậc hai có đồ thị qua điểm M và 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số S1 y f x . Tính tỉ số ( S1 và S2 lần lượt là diện tích hai hình phẳng được tạo bởi đồ thị hai hàm S2 f (x), g(x) ). 6 5 7 4 A. .B. .C. . D. . 35 32 33 29 Lời giải: Nhận thấy hình phẳng trên có diện tích không đổi khi ta tịnh tiến đồ thị sang trái sao cho x0 0 3 2 2 Khi đó ta có x1 1, x2 3, Xét hàm f (x) ax bx cx d và g(x) mx nx p . f (1) 0 3a 2b c 0 Vì x1 1, x2 3, là các điểm cực trị nên ta có: (1) f (3) 0 27a 6b c 0 Hơn nữa, ta có f (1) 3 f (3) a b c d 3 27a 9b 3c d . (2) b 6a Từ (1) và(2) suy ra c 9a d 2a g(0) f (0) p 2a Mặt khác dựa vào đồ thị ta thấy: g(1) 3g(3) m 2a g(0) g(3) n 3a Suy ra f (x) a(x3 6x2 9x 2) , g(x) a( 2x2 6x 2) Trang 10/15
11. 1 5 3 8 Khi đó ta có: S a x3 4x2 3xdx a S a x3 4x2 3xdx a 1 2 0 12 1 3 S 5 Do đó, 1 S2 32 x y 1 z 2 Câu 46. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : và mặt phẳng 1 1 1 P : x 2y 2z 4 0. Phương trình đường thẳng d nằm trong P sao cho d cắt và vuông góc với đường thẳng là x 3 t x 3t A. .d : y 1 2t t ¡ B. . d : y 2 t t ¡ z 1 t z 2 2t x 1 t x 2 4t C. d : y 3 3t t ¡ . D. d : y 1 3t t ¡ . z 3 2t z 4 t Lời giải  Vectơ chỉ phương của : u 1;1; 1 , vectơ pháp tuyến của P là n P 1;2;2 . d  ud  u Vì ud u ;n P 4; 3;1 . d  P ud  n P x t y 1 t Tọa độ giao điểm H  P là nghiệm của hệ t 2 H 2; 1;4 . z 2 t x 2y 2z 4 0 Lại có d;  P d , mà H  P . Suy ra H d . Vậy đường thẳng d đi qua H 2; 1;4 và có VTCP u d 4; 3;1 nên có phương trình x 2 4t d : y 1 3t t ¡ . z 4 t Câu 47. Cho mặt cầu S bán kính R . Hình nón N thay đổi có đỉnh và đường tròn đáy thuộc mặt cầu S . Thể tích lớn nhất của khối nón N là: 32 R3 32R3 32 R3 32R3 A. .B. .C. . D. . 81 81 27 27 Lời giải Trang 11/15
12. Ta có thể tích khối nón đỉnh S lớn hơn hoặc bằng thể tích khối nón đỉnh S . Do đó chỉ cần xét khối nón đỉnh S có bán kính đường tròn đáy là r và đường cao là SI h với h R . Thể tích khối nón được tạo nên bởi N là: 1 1 2 1 2 2 1 3 2 V h.S C h. .r h. . R h R h 2h R . 3 3 3 3 Xét hàm số: f h h3 2h2 R với h R;2R . 4R Ta có f h 3h2 4hR . f h 0 3h2 4hR 0 h 0 (loại) hoặc h . 3 Bảng biến thiên: 32 4R Ta có: max f h R3 tại h . 27 3 1 32 32 Vậy thể tích khối nón được tạo nên bởi N có giá trị lớn nhất là V R3 R3 khi 3 27 81 4R h . 3 Câu 48. Gọi a là số thực lớn nhất để bất phương trình x2 x 2 a ln x2 x 1 0 nghiệm đúng với mọi x ¡ . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. a 2;3 . B. a 8; . C. a 6;7. D. a 6; 5 . Lời giải 2 2 1 3 3 Đặt t x x 1 x suy ra t 2 4 4 Bất phương trình x2 x 2 a ln x2 x 1 0 t a ln t 1 0 a ln t t 1 Trường hợp 1: t 1 khi đó a ln t t 1 luôn đúng với mọi a. 3 Trường hợp 2: t 1 4 3 t 1 3 Ta có a ln t t 1, t ;1 a ,t ;1 4 ln t 4 1 ln t 1 t 1 3 t Xét hàm số f t f t 2 0,t ;1 ln t ln t 4 t 1 3 7 do đó a ,t ;1 a 3 ln t 4 4ln 4 Trường hợp 3: t 1 t 1 Ta có a ln t t 1, t 1; a ,t 1; ln t Trang 12/15
13. 1 ln t 1 t 1 Xét hàm số f t f t t , t 1; . ln t ln2 t 1 1 1 Xét hàm số g t ln t 1 g t 0 t t t 2 Vậy g t 0 có tối đa một nghiệm. Vì g 1 2; lim g t vậy g t 0 có duy nhất một nghiệm trên 1; t t0 1 Do đó f t 0 có duy nhất một nghiệm là t0 . Khi đó ln t0 suy ra f t0 t0 t0 Bảng biến thiên: t 1 Vậy a ,t 1; a t . ln t 0 7 Vậy t a . Từ đó ta có số thực a thỏa mãn yêu cầu bài toán là: a 6;7. 0 3 4ln 4 Câu 49. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S :x2 y2 z2 6x 2y 2z 6 0 và mặt phẳng P :x 2z 0 . Có bao nhiêu điểm M trên P với M có các tọa độ nguyên sao cho có ít nhất hai tiếp tuyến của S qua M và vuông góc với nhau A. 1. B. 2. C. 3. D. 7. Lời giải Tâm và bán kính mặt cầu là: I 3;1; 1 , R 5 . Gọi M 2a;b;a P Nhận xét: Nếu IM R thì không có tiếp tuyến của S qua M . Nếu IM R thì tập hợp các tiếp tuyến của S qua M là một mặt phẳng nên có vô số cặp tiếp tuyến của S qua M . Nếu IM R thì tập hợp các tiếp tuyến của S qua M là một mặt nón tròn xoay đỉnh M ngoại tiếp S , mỗi đường sinh là một tiếp tuyến. Để tồn tại cặp đường sinh vuông góc với nhau thì góc ở đỉnh của mặt nón phải lớn hơn hoặc bằng 900 suy ra IM R 2 . Kết luận: Yêu cầu của bài toán R IM R 2 Trang 13/15
14. 2 (a 1) 0 a 1 2 (b 1)2 0 5 IM 10 b 1 2 2 2 2 5 (2a 3) (b 1) (a 1) 10 (b 1) 1 b 0, b 2 2 2 2 b 1, b 3 5 5(a 1) 5 (b 1) 10 (b 1) 4 2 2 2 0 5(a 1) (b 1) 5 (a 1) 1 a 0, a 2 2 b 1 (b 1) 0 Vậy có 7 điểm M thỏa mãn bài toán. Câu 50. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên ¡ , đồ thị hàm số y f x có đúng 4 điểm chung với trục hoành như hình vẽ bên dưới: 3 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y f x 3 x m 2021 2022 có đúng 11 điểm cực trị? A. 0 . B. 1. C. 5 . D. 2. Lời giải. 3 Với mỗi tham số m thì số điểm cực trị của hàm số y f x 3 x m 2021 2022 3 và y f x 3 x m 2021 bằng nhau. 3 Do đó ta chỉ cần tìm giá trị nguyên của tham số m để hàm số y f x 3 x m 2021 có đúng 11 điểm cực trị. Xét x 0 : Hàm số có dạng y f x3 3x m 2021 . Khi đó ta có đạo hàm như sau: y 3x2 3 f x3 3x m 2021 . Do nghiệm của phương trình x3 3x m 2021 4 là các nghiệm bội bậc chẵn của phương trình y 0 nên ta chỉ cần quan tâm đến các nghiệm còn lại. Tức là x 1 do x 0 x 1 do x 0 2 3 3 3x 3 0 x 3x m 2021 1 m 2021 x 3x 1 y 0  f x3 3x m 2021 0 3 3 x 3x m 2021 1 m 2021 x 3x 1 3 3 x 3x m 2021 2 m 2021 x 3x 2 Trang 14/15
15. Vẽ đồ thị ba hàm số y x3 3x 1; y x3 3x 1; y x3 3x 2 với x 0 trên cùng một hệ trục. 3 Hàm số y f x 3 x m 2021 có đúng 11 điểm cực trị Hàm số y f x3 3x m 2021 có đúng 5 điểm cực trị dương Phương trình f x3 3x m 2021 0 có đúng 4 nghiệm bội lẻ dương và khác 1 Đường thẳng y m 2021 cắt đồ thị ba hàm số y x3 3x 1; y x3 3x 1; y x3 3x 2 tại 4 điểm phân biệt có hoành độ dương khác 1 1 m 2021 1 2022 m 2020 . 2 m 2021 3 2019 m 2018 Do điều kiện m nguyên nên m 2021 . Vậy chỉ có 1 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Trang 15/15