Đề ôn tập số 2 Kỳ thi TN THPT 2022 môn Toán - Trường THPT Hàn Thuyên (Có đáp án)

Nội dung tài liệu: Đề ôn tập số 2 Kỳ thi TN THPT 2022 môn Toán - Trường THPT Hàn Thuyên (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ ÔN TẬP SỐ 02 BẮC NINH KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM HỌC 2021-2022 ¯¯¯¯¯¯¯¯¯ Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 90 phút ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ * Đơn vị đề xuất: THPT Hàn Thuyên * Giáo viên cốt cán thẩm định: 1) Nguyễn Thị Lan, đơn vị công tác: Trường THPT Quế Võ số 1. 2) Nguyễn Đức Lợi, đơn vị công tác: Trường THPT Quế Võ số 2. Câu 1: Cho hai số phức z1 = 2 - 2i,z2 = - 3 + 3i . Khi đó số phức z1 - z2 là A. - 5 + 5i . B. - 5i . C. 5 - 5i . D. - 1+ i . Câu 2: Trong không gian Oxyz , mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 + 4x - 2y + 2z - 3 = 0 có tâm và bán kính là A. I (2;- 1;1), R = 3. B. I (- 2;1;- 1), R = 9. C. I (2;- 1;1), R = 9. D. I (- 2;1;- 1), R = 3. Câu 3: Đồ thị sau đây là của hàm số nào? 4 2 4 2 A. y = x + 2x - 3. B. y = x - 3x - 3. 1 C. y = x 4 - 2x2 - 3. D. y = - x 4 + 3x2 - 3. 4 Câu 4: Thể tích V của khối trụ có diện tích đáy bằng 2a2 và chiều cao bằng 2a là 4a3 4a2 2a3 A. V = . B. V = . C. V = 4a3 . D. V = . 3 3 3 Câu 5: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? x2 A. (ex + x)dx = ex - + C . B. (ex + x)dx = ex + 2x + C . ò 2 ò x2 C. (ex + x)dx = ex + + C . D. (ex + x)dx = ex + x2 + C . ò 2 ò Câu 6: Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như hình vẽ.
2. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Đồ thị hàm số không có tiệm cận. B. Tiệm cận đứng của đồ thị là đường thẳng x = 2 . C. Tiệm cận ngang của đồ thị là đường thẳng x = 1. D. Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận. æöx ç1÷ Câu 7: Tập nghiệm S của bất phương trình ç ÷ > 8 là èç2ø÷ A. S = (- 3;+ ¥ ) . B. S = (- ¥ ;3) . C. S = (- ¥ ;- 3) . D. S = (3;+ ¥ ) . Câu 8: Thể tích V của khối hộp chữ nhật có ba kích thước 3 , 4 ,5 là A. V = 20. B. V = 60. C. V = 15 . D. V = 30. Câu 9: Tập xác định D của hàm số ln(x2 - 2x + 1) là A. D = ¡ . B. D = (1;+ ¥ ) . C. D = Æ. D. D = ¡ \ {1} . 2 Câu 10: Tổng các nghiệm của phương trình 2x + x = 4 bằng A. 2. B. 1. C. - 1. D. - 2. 5 7 7 Câu 11: Nếu ò f (x)dx = 3 và ò f (x)dx = 9 thì ò f (x)dx bằng bao nhiêu? 2 5 2 A. 3 . B. 12. C. - 6. D. 6. 2 Câu 12: Tổng phần thực và phần ảo của số phức z = (1+ i ) - (3 + 3i ) bằng A. 4 . B. - 4 . C. - 3 - i . D. 10 . ur Câu 13: Trong không gian Oxyz , mặt phẳng nào sau đây nhận n = (1;2;3) làm vectơ pháp tuyến? A. x - 2y + 3z + 1 = 0. B. 2x + 4y + 6z + 1 = 0. C. 2z - 4z + 6 = 0. D. x + 2y - 3z - 1 = 0. 5 5 5 Câu 14: Cho f x dx = 6 và g x dx = 8. Giá trị của é4f x - g x ùdx bằng ò ( ) ò ( ) ò ëê ( ) ( )ûú 1 1 1 A. 10. B. 16. C. 14. D. 12. Câu 15: Điểm M (0;2)là điểm biểu diễn của số phức nào sau đây? 2 2 1+ i A. z = (1- i ) . B. z = (1- i )(1+ i ). C. z = (1+ i ) . D. z = . 1- i x + 1 Câu 16: Phương trình đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = là x + 3
3. A. x = - 1. B. x = 1. C. x = - 3. D. x = 3. Câu 17: Biết a = log2 5, b = log3 5. Biểu diễn log6 5 theo a,b ta được 1 ab A. log 5 = a + b. B. log 5 = . C. log 5 = . D. log 5 = a2 + b2 . 6 6 a + b 6 a + b 6 x Câu 18: Hình vẽ bên dưới biểu diễn đồ thị hai hàm số y = a , y = logb x . Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng? y 1 O 1 x 2 A. loga b > 0. B. loga b 0. D. logb a > 0. ì ï x = 2 - t ï Câu 19: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : í y = 1+ t . Phương trình nào sau đây là phương ï ï z = t îï trình chính tắc của d ? x - 2 y z + 3 x - 2 y - 1 z A. = = . B. = = . 1 1 1 - 1 1 1 x - 2 y z + 3 x + 2 y z - 3 C. = = . D. = = . - 1 1 - 1 1 - 1 1 Câu 20: Cho tập A có 8 phần tử. Số tập con gồm 5 phần tử của A là bao nhiêu? A. 28. B. 8. C. 56. D. 70. Câu 21: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với đáy, SA = a 3 . Thể tích V của khối chóp là a2 3a3 a3 3a3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 4 4 4 2 x + 1 Câu 22: Đạo hàm của hàm số y = là 4x 1+ 2(x + 1)ln 2 1- 2(x + 1) ln 2 A. y¢= . B. y¢= . 22x 22x 1- 2(x + 1) ln 2 1+ 2(x + 1) ln 2 ¢ ¢ C. y = 2 . D. y = 2 . 2x 2x Câu 23: Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như hình bên dưới. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
4. A. (- 1;5). B. (- 2;1). C. (- ¥ ;0). D. (5;+ ¥ ). Câu 24: Diện tích S của mặt cầu có bán kính bằng 2a là 32 16 A. S = 16pa2 . B. S = 4pa2 . C. S = pa3 . D. S = pa2 . 3 3 6 2 Câu 25: Nếu ò f (x)dx = 12 thì ò f (3x)dx bằng 0 0 A. 36 . B. 4 . C. 2. D. 6. 2 2 2 Câu 26: Tổng vô hạn S = 2 + + + + + có giá trị bằng 3 32 3n 8 A. . B. 3 . C. 4 . D. 2. 3 æ ö ç p÷ Câu 27: Họ các nguyên hàm của hàm số f (x) = cosç3x + ÷ là èç 6ø÷ æ ö æ ö 1 ç p÷ ç p÷ A. f (x)dx = - sinç3x + ÷+ C . B. f (x)dx = 6sinç3x + ÷+ C . ò 3 èç 6ø÷ ò èç 6ø÷ æ ö æ ö 1 ç p÷ ç p÷ C. f (x)dx = sinç3x + ÷+ C . D. f (x)dx = 3sinç3x + ÷+ C . ò 3 èç 6ø÷ ò èç 6ø÷ Câu 28: Cho hàm số bậc ba y = f (x)có đồ thị như hình bên. Điểm cực tiểu của thị hàm số là A. y = - 1. B. (3;- 1). C. x = 0. D. (0;- 1). 1 4 Câu 29: Giá trị lớn nhất M của hàm số y = x 3 - x2 + x - trên é- 1;1ù là 3 3 ëê ûú 11 4 A. M = - 1. B. M = - . C. M = 1. D. M = - . 3 3 3x - 2x 1 Câu 30: Cho bốn hàm số y = 3x ; y = ; y = ; y = log x. Hỏi có bao nhiêu hàm số đồng 2x 4x 0.4 biến trên các khoảng xác định của nó? A. 2. B. 3 . C. 4 . D. 1.
5. Câu 31: Tập nghiệm của bất phương trình: (3x + 2)(4x+ 1 - 82x+ 1)£ 0 là é 1 ö æ 1ù A. ê- ;+ ¥ ÷. B. ç- ¥ ;- ú. C. - ¥ ;4ù. D. é4;+ ¥ . ê ÷ ç ú ( ûú ëê ) ë 4 ø÷ èç 4û Câu 32: Cho hình chóp S.ABC có SB vuông góc (ABC ). Góc giữa SC với (ABC ) là góc giữa A. SC và AC . B. SC và AB . C. SC và BC . D. SC và SB . é ù Câu 33: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn ëê0;2ûú và f (0)- f (2) = 2. Giá trị của 2 ò f ¢(x)dx bằng 0 1 A. 2. B. - 2. C. . D. 4 . 2 Câu 34: Trong không gian Oxyz , phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm A(0;1;2), B (1;3;4)là ì ì ï x = t ï x = 1+ t ï ï A. d : í y = - 1+ t ; t Î ¡ . B. d : í y = 3 + 2t ; t Î ¡ . ï ï ï z = 2 + 2t ï z = 4 + 2t îï îï ì ì ï x = t ï x = 1 ï ï C. d : í y = 1+ 3t ; t Î ¡ . D. d : í y = 3 + 2t ; t Î ¡ . ï ï ï z = 2 + 4t ï z = 4 + 2t îï îï Câu 35: Tìm các số thực x và y thỏa mãn (3x - 2)+ (2y + 1)i = (x + 1)- (y - 5)i , với i là đơn vị ảo. 3 3 4 4 3 4 A. x = ,y = - 2. B. x = - ,y = - . C. x = 1,y = . D. x = ,y = . 2 2 3 3 2 3 Câu 36: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a 3 , khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CD bằng 3a . Thể tích khối chóp đã cho bằng 8a3 3 A. a3 3 . B. 6a3 3 . C. 12a3 . D. . 3 Câu 37: Xét tập hợp A gồm tất cả các số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số từ A . Xác suất để số được chọn có chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng trước bằng 1 1 1 5 A. . B. . C. . D. . 72 18 36 36 Câu 38: Trong không gian Oxyz , cho điểm M (1;1;1) và mặt phẳng (P): - x + y + z = 0. Đường thẳng qua M và vuông góc mặt phẳng (P) có phương trình tham số là ì ì ì ì ï x = 1- t ï x = 1+ t ï x = - 1- t ï x = 1- t ï ï ï ï A. í y = - 1+ t . B. í y = - 1- t . C. í y = - 1+ t . D. í y = 1+ t . ï ï ï ï ï z = - 1+ t ï z = 1- t ï z = 1+ t ï z = 1+ t îï îï îï îï
6. é ù Câu 39: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc ëê- 2019;2019ûú để đường thẳng y = mx + 1 cắt đồ thị hàm số y = x 3 - 3x2 + 1 tại ba điểm phân biệt? A. 2019. B. 2020. C. 2022. D. 2021. Câu 40: Gọi S là tập hợp các số thực m sao cho với mỗi m Î S có đúng một số phức thỏa mãn z z - m = 6 và là số thuần ảo. Tổng các phần tử của tập S bằng z - 4 A. 10. B. 0 . C. 16. D. 8 . x - 2 y + 2 z - 3 Câu 41: Trong không gian Oxyz , cho điểm A(1;2;3) và hai đường thẳng d : = = , 1 2 - 1 1 x - 1 y - 1 z + 1 d : = = . Đường thẳng đi qua A vuông góc với d và cắt d có phương trình 2 - 1 2 1 1 2 là x - 1 y - 2 z - 3 x - 1 y - 2 z - 3 A. = = . B. = = . - 1 1 3 1 3 1 x - 1 y - 2 z - 3 x - 1 y - 2 z - 3 C. = = . D. = = . 1 - 2 - 4 1 - 3 - 5 Câu 42: Cho hàm số f (x) = ax 3 + bx2 + cx + d (a,b,c,d Î ¡ ) có bảng biến thiên như sau: Có bao nhiêu số dương trong các số a,b,c,d ? A. 4 . B. 2. C. 3 . D. 1. æö 2 b ç1÷ 1 Câu 43: Cho hàm số f (x) thỏa mãn f ¢(x) = ax + , f ¢(1) = 3, f (1) = 2, f ç ÷= - , với a,b Î ¡ . x 3 èç2ø÷ 12 Giá trị của 2a + b bằng 3 3 A. - . B. 0 . C. 5. D. . 2 2 Câu 44: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A¢B¢C ¢ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Cạnh BA¢= a 3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng A¢B và B¢C bằng 2a a 2 a A. a 2 . B. . C. . D. . 3 3 3 Câu 45: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng a , tam giác SAB cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC ), góc giữa hai mặt phẳng (SCA) và (SCB) bằng 600 . Gọi H là trung điểm của đoạn AB . Thể tích khối chóp S.AHC bằng a3 2 a3 2 a3 2 a3 2 A. . B. . C. . D. . 64 16 8 32
7. ïì x = 2 æ ö ï ç7 4 4÷ ï Câu 46: Trong không gian Oxyz , cho điểm I (1;0;0), điểm M ç ; ; ÷ và đường thẳng d : í y = t . èç9 9 9ø÷ ï ï z = 1+ t îï GọiN (a;b;c) là điểm thuộc đường thẳng d sao cho diện tích tam giác IMN nhỏ nhất. Khi đó a + b + c có giá trị bằng 5 - 5 A. - 2. B. 2. C. . D. . 2 2 Câu 47: Có bao nhiêu số nguyên dương m để phương trình m (ex - 1).ln(mx + 1)+ 2ex = e2x + 1 có hai nghiệm phân biệt không lớn hơn 5? A. 29. B. 27 . C. 28. D. 26. Câu 48: Cho M ,N,P lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z1,z2,z3 thỏa điều kiện 5z1 + 9 - 3i = 5 z1 , z2 - 2 = z2 - 3 - i , z3 + 1 + z3 - 3 = 4. Khi M ,N,P không thẳng hàng, giá trị nhỏ nhất của nửa chu vi p của tam giác MNP bằng 9 10 6 5 10 5 5 11 A. . B. . C. . D. . 10 5 9 13 ì ì ï x = 1+ 2t ï x = 3 + t ï ï Câu 49: Trong không gian Oxyz , cho 3 đường thẳng d : í y = 1+ t , d : í y = - 1+ 2t , ( 1) ï ( 2 ) ï ï z = 1- 2t ï z = 2 + 2t îï îï ì ï x = 4 + 2t ï d : í y = 4 - 2t . Gọi S I ,R là mặt cầu tâm I bán kính R tiếp xúc với cả ba đường thẳng ( 3 ) ï ( ) ï z = 1+ t îï đó. Giá trị nhỏ nhất của R gần số nào nhất trong các số sau A. 2,3. B. 2,2. C. 2,4. D. 2,1. 7 Câu 50: Cho hàm số f (x) với đồ thị là Parabol đỉnh I có tung độ bằng - và hàm số bậc ba g(x). 12 Đồ thị hai hàm số đó cắt nhau tại ba điểm phân biệt có hoành độ x1,x2,x3 thoả mãn 18x1x2x3 = - 55 (hình vẽ). Diện tích miền tô đậm gần số nào nhất trong các số sau đây? A. 5,9. B. 6,3. C. 6,1. D. 5,7. HẾT
8. BẢNG ĐÁP ÁN 1.C 2.D 3.C 4.C 5.C 6.D 7.C 8.B 9.D 10.C 11.B 12.B 13.B 14.B 15.C 16.C 17.C 18.B 19.B 20.C 21.C 22.B 23.D 24.A 25.B 26.B 27.C 28.D 29.A 30.A 31.A 32.C 33.B 34.B 35.D 36.C 37.C 38.D 39.D 40.B 41.D 42.D 43.C 44.C 45.A 46.A 47.C 48.B 49.D 50.D ĐÁP ÁN CHI TIẾT MỘT SỐ CÂU VẬN DỤNG CAO. Câu 40: Gọi S là tập hợp các số thực m sao cho với mỗi m Î S có đúng một số phức thỏa mãn z z - m = 6 và là số thuần ảo. Tính tổng của các phần tử của tập S . z - 4 A. 10. . B. 0 C. 16. . D. 8. Lời giải Gọi z = x + iy với x,y Î ¡ ta có 2 z x + iy (x + iy)(x - 4 - iy) x (x - 4)+ y - 4iy = = = 2 2 z - 4 x - 4 + iy (x - 4) + y2 (x - 4) + y2 2 là số thuần ảo khi x (x - 4)+ y2 = 0 Û (x - 2) + y2 = 4 2 Mà z - m = 6 Û (x - m) + y2 = 36 Ta được hệ phương trình ïì 36 - m2 2 ï ïì 2 ïì 2 ï x = ï (x - m) + y = 36 ï (4 - 2m)x = 36 - m ï 4 - 2m ï ï ï 2 í 2 Û í 2 Û í 2 2 2 æ ö ï ï y = 4 - x - 2 ï 2 ç36 - m ÷ ï (x - 2) + y = 4 îï ( ) ï y = 4 - ç - 2÷ î ï ç ÷ îï è4 - 2m ø 2 æ36 - m2 ö 36 - m2 36 - m2 ç ÷ 4 - ç - 2÷ = 0 Û 2 = - 2 hoặc - 2 = - 2 èç 4 - 2m ø÷ 4 - 2m 4 - 2m Û m = 10 hoặc m = - 2 hoặc m = ± 6 Khi = 10; = ―2 thì hệ có nghiệm là = 4; = 0⇒ = 4. Lúc này 4 không xác định. Do đó, hai giá trị = 10; = ―2 bị loại. Vậy tổng là 6 - 6 = 0. Câu 42: Cho hàm số f (x) = ax 3 + bx2 + cx + d (a,b,c,d Î ¡ ) có bảng biến thiên như sau:
9. Có bao nhiêu số dương trong các số a,b,c,d ? A. 4 . B. 2. C. 3 . D. 1. Lời giải Chọn D Ta có: f (x) = ax 3 + bx2 + cx + d (a,b,c,d Î ¡ ) Þ f ¢(x) = 3ax2 + 2bx + c Đồ thị hàm số f (x) có hai điểm cực trị A(0;- 1),B (4;- 5) nên ta có hệ: ì ï 1 ïì f 0 = - 1 ïì d = - 1 ï a = ï ( ) ï ï 8 ï ï ï ï f (4) = - 5 ï 64a + 16b + 4c + d = - 5 ï 3 í Û íï Û íï b = - . Trong các số a,b,c,d có 1 số ï f ¢(0) = 0 ï c = 0 ï 4 ï ï ï c = 0 ï f ¢(4) = 0 ï 48a + 8b + c = 0 ï îï îï ï d = - 1 îï dương. æö 2 b ç1÷ 1 Câu 43: Cho hàm số f (x) thỏa mãn f ¢(x) = ax + , f ¢(1) = 3, f (1) = 2, f ç ÷= - . Khi đó 2a + b x 3 èç2ø÷ 12 bằng 3 3 A. - . B. 0 . C. 5. D. . 2 2 Lời giải Chọn C Ta có f ¢(1) = 3 Þ a + b = 3 (1). 1 Hàm số có đạo hàm liên tục trên khoảng (0;+ ¥ ), các điểm x = 1, x = đều thuộc (0;+ ¥ ) 2 nên æ ö 3 ç 2 b ÷ ax b f (x) = f ¢(x)dx = çax + ÷dx = - + C . ò òèç x 3 ø÷ 3 2x2 a b + f (1) = 2 Þ - + C = 2 (2). 3 2 æö ç1÷ 1 a 1 + f ç ÷= - Þ - 2b + C = - (3). èç2ø÷ 12 24 12
10. ì ï ïì ï a + b = 3 ï ï ï a = 2 ï a b ï Từ (1), (2) và (3) ta được hệ phương trình í - + C = 2 Û í b = 1 Þ ï 3 2 ï ï a 1 ï 11 ï - 2b + C = - ï C = îï 24 12 îï 6 2a + b = 2.2 + 1 = 5. 2a3 + a2 + 1 Xét f (a) = ,a Î é1;2ù, có 3a + 1 ëê ûú 12a3 + 9a2 + 2a - 3 12a3 + 2a + 6 f ¢a = ³ > 0, " a Î é1;2ù. ( ) 2 2 ëê ûú (3a + 1) (3a + 1) Câu 45: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng a , tam giác SAB cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC ), góc giữa hai mặt phẳng (SCA) và (SCB) bằng 600 . Gọi H là trung điểm của đoạn AB . Thể tích khối chóp S.AHC a3 2 a3 2 a3 2 a3 2 A. . B. . C. . D. . 64 16 8 32 Gọi H là trung điểm của AB Þ SH ^ AB Ta có ì ï (ABC ) ^ (SAB) ï í ABC Ç SAB = AB Þ SH ^ ABC ï ( ) ( ) ( ) ï SH ^ AB îï Gọi K là hình chiếu của H lên SC Þ HK ^ SC (1). ì ï AB ^ SH Khi đó í Þ AB ^ SHC Þ AB ^ SC (2) ï AB ^ HC ( ) îï Từ (1) và (2) suy ra SC ^ (ABK ) Þ SC ^ AK ;SC ^ BK (3) Mà (SCA) Ç(SCB) = SC (4)
11. é· · êAKB Từ (3) và (4) suy ra ((SCA);(SCB)) = (AK ,BK ) = ê . ê1800 - A·KB ëê · 0 TH1: AKB = 60 Þ DABK là tam giác đều Þ BK = BC = a vô lý vì KC ^ BK 0 · 0 · 0 · 0 0 a TH2: 180 - AKB = 60 Þ AKB = 120 Þ HKB = 60 Þ HK = HB : tan 60 = . 2 3 1 1 1 a 6 Mà = + Þ SH = KH 2 SH 2 HC 2 8 1 1 a 6 a2 3 a3 2 V = SH.S = . . = . S.AHC 3 DAHC 3 8 8 64 1 1 a 6 a2 3 a3 2 V = SH.S = . . = . S.ABC 3 DABC 3 8 4 32 a3 2 V = V = . S.AHC B.SHC 64 æ ö ç7 4 4÷ Câu 46: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm I (1;0;0), điểm M ç ; ; ÷ và đường thẳng èç9 9 9ø÷ ì ï x = 2 ï d : í y = t . N a;b;c là điểm thuộc đường thẳng d sao cho diện tích tam giác IMN nhỏ ï ( ) ï z = 1+ t îï nhất. Khi đó a + b + c có giá trị bằng 5 5 A. - 2. B. 2. C. . D. - . 2 2 Lời giải Chọn A uuur uur 1 é ù Ta có diện tích tam giác IMN bằng S = . êIM ;IN ú DIMN 2 ë û Vì N Î d Þ N (2;t;1+ t ) uuur æ ö uur uuur uur æ ö ç 2 4 4÷ é ù ç4 2 2 4 2 ÷ Ta có IM = ç- ; ; ÷; IN = (1;t;1+ t )Þ êIM ;IN ú= ç ; + t;- - t ÷ èç 9 9 9ø÷ ë û èç9 3 9 9 9 ø÷ é 2 ù 1 uuur uur 1 8 40 68 1 8 æ 5ö 2 1 é ù 2 êç ÷ ú Ta có SDIMN = . êIM ;IN ú= t + t + = êçt + ÷ + ú³ 2 ë û 2 81 81 81 2 81 êèç 2ø÷ 9ú ë û 3 2 1 5 æ 5 3ö t = - ç ÷ Suy ra diện diện tích tam giác IMN nhỏ nhất bằng khi Þ N ç2;- ;- ÷. 3 2 2 èç 2 2ø÷ Vậy a + b + c = - 2. Câu 47: Có bao nhiêu số nguyên dương m để phương trình m (ex - 1).ln(mx + 1)+ 2ex = e2x + 1 có hai nghiệm phân biệt không lớn hơn 5. A. 29. B. 27 . C. 28. D. 26. Lời giải
12. ChọnC. Điều kiện: mx + 1 > 0 Ta thấy phương trình luôn có nghiệm x = 0 với mọi m Khi x ¹ 0. Đặt t = ln(mx + 1) Þ mx + 1 = et (1) 2 Ta có m (ex - 1)t = (ex - 1) Û mt = ex - 1 (2) Từ (1) và (2) ta có ïì t x ï mx = e - 1 x t x e - 1 íï Û mx + e = mt + e Û x = t Û x = ln(mx + 1) Û mx = e - 1 Û m = ï mt = ex - 1 x îï x ex - 1 e (x - 1)+ 1 Xét hàm số f (x) = Þ f ¢(x) = x x2 Xét g(x) = (x - 1)ex + 1 Þ g¢(x) = xex Với x > 0 thì g¢(x)> 0. Do đó g(x)> g(0) Û g(x)> 0 Với x g(0) Û g(x)> 0 Vậy f ¢(x)> 0, " x ¹ 0 Bảng biến thiên Để phương trình m (ex - 1).ln(mx + 1)+ 2ex = e2x + 1 có hai nghiệm phân biệt không lớn hơn é ê0 < m < 1 5 thì ê e5 - 1. Vậy có 28 số nguyên dương m thoả yêu cầu bài toán. ê1 < m £ ëê 5 Câu 48: Cho M ,N,P lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z1,z2,z3 thỏa điều kiện 5z1 + 9 - 3i = 5 z1 , z2 - 2 = z2 - 3 - i , z3 + 1 + z3 - 3 = 4. Khi M ,N,P không thẳng hàng, giá trị nhỏ nhất của nửa chu vi p của tam giác MNP là: 9 10 6 5 10 5 5 11 A. B. C. D. . 10 5 9 13 Lời giải Chọn B
13. Gọi M (z1) là điểm biểu số phức z1 = x1 + y1i;x1,y1 Î ¡ Ta có: 5z1 + 9 - 3i = 5 z1 Û (5x1 + 9)+ (5y1 - 3)i = 5x1 - 5y1i Û 3x1 - y1 + 3 = 0 Þ M nằm trên đường thẳng d1 : 3x - y + 3 = 0 Gọi N (z2 ) là điểm biểu số phức z2 = x2 + y2i;x2,y2 Î ¡ Ta có: z2 - 2 = z2 - 3 - i Û (x2 - 2)+ y2i = (x2 - 3)+ (y2 - 1)i Û x2 + y2 - 3 = 0 Þ N nằm trên đường thẳng d2 : x + y - 3 = 0 Gọi P (z3 ) là điểm biểu số phức z3, A(- 1;0),B (3;0) Þ AB = 4 Ta có: z3 + 1 + z3 - 3 = 4 Û PA + PB = 4 Þ P Î AB và ba điểm A,P,B thẳng hàng Mặt khác gọi H,K lần lượt là các điểm đối xứng của P qua d1 và d2 thì 1 1 1 Nửa chu vi tam giác MNP là : p = (MN + PM + PN ) = (MN + MH + NK )³ HK 2 2 2 æ ö ç- 4a - 9 3a + 3÷ Gọi P (a;0) thì H ç ; ÷,K (3;3 - a) èç 5 5 ø÷ 16 16 144 144 12 Ta có HK 2 = (a2 + 45) = a2 + ³ Û HK ³ 25 25 5 5 5 6 5 6 5 Khi đó p ³ . Vậy p = . 5 min 5 Câu 49: Trong hệ trục tọa độ Oxyz , cho 3 đường thẳng ì ì ì ï x = 1+ 2t ï x = 3 + t ï x = 4 + 2t ï ï ï d : í y = 1+ t , d : í y = - 1+ 2t , d : í y = 4 - 2t .S I ,R là mặt cầu tâm I bán kính ( 1) ï ( 2 ) ï ( 3 ) ï ( ) ï z = 1- 2t ï z = 2 + 2t ï z = 1+ t îï îï îï R tiếp xúc với cả ba đường thẳng đó. Giá trị nhỏ nhất của R gần số nào nhất trong các số sau: A. 2,3. B. 2,2. C. 2,4. D. 2,1 Lời giải Chọn D
14. Dễ thấy (d1);(d2 );(d3 ) đôi một vuông góc nhau và d (d1,d2 ) = d (d1,d3 ) = d (d2,d3 ) = 3. Dựng hình lập phương ABDC.A 'B 'D 'C ' sao cho (d1) º AC;(d2 ) º BB ';(d3 ) º C 'D ' và AB = 3. Ta có ïì d2 I ,d = d2 I , ACC 'A ' + d2 I , ABDC ï ( 1) ( ( )) ( ( )) ï 2 2 2 í d (I ,d2 ) = d (I ,(A 'B 'D 'C '))+ d (I ,(CDD 'C ')) ï ï d2 I ,d = d2 I , ABB 'A ' + d2 I , BDD 'B ' îï ( 3 ) ( ( )) ( ( )) d2 (I ,d )+ d2 (I ,d )+ d2 (I ,d ) R2 = d2 (I ,d ) = d2 (I ,d ) = d2 (I ,d ) = 1 2 3 1 2 3 3 é 2 2 2 ù 1 êd (I ,(ACC 'A '))+ d (I ,(ABDC ))+ d (I ,(A 'B 'D 'C ')) ú Û R2 = ê ú 3 ê+d2 I , CDD 'C ' + d2 I , ABB 'A ' + d2 I , BDD 'B ' ú ë ( ( )) ( ( )) ( ( ))û Ta có: 2 (d (I ,(ABDC ))+ d (I ,(A 'B 'D 'C '))) d2 I ,(ABDC ) + d2 I ,(A 'B 'D 'C ') ³ ( ) ( ) 2 2 d ((ABDC ),(A 'B 'D 'C ')) 9 Û d2 I ,(ABDC ) + d2 I ,(A 'B 'D 'C ') ³ = ( ) ( ) 2 2 Tương tự cho các mặt phẳng đối còn lại. Và cộng lại tất cả ta được: 9 3 2 3 2 R2 ³ Þ R ³ suy ra R = . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi I là tâm hình lập 2 2 min 2 phương. 7 Câu 50: Cho hàm số f (x) với đồ thị là Parabol đỉnh I có tung độ bằng - và hàm số bậc ba g(x). 12 Đồ thị hai hàm số đó cắt nhau tại ba điểm phân biệt có hoành độ x1,x2,x3 thoả mãn 18x1x2x3 = - 55 (hình vẽ).
15. Diện tích miền tô đậm gần số nào nhất trong các số sau đây? A. 5,9 B. 6,3 C. 6,1 D. 5,7. Lời giải Chọn D Do parabol cắt trục hoành tại các điểm có hoành độ x = - 1, x = 2 nên parabol có dạng f (x) = m (x + 1)(x - 2) Þ f (x) = m (x2 - x - 2) 7 Parabol đình I có tung độ bằng - nên 12 æ öæ ö 1 7 ç1 ÷ç1 ÷ 7 7 f ( ) = - Û m ç + 1÷ç - 2÷= - Þ m = . 2 12 èç2 ø÷èç2 ø÷ 12 27 7 f (x) = (x2 - x - 2).Hàm số g(x) đạt cực trị tại x = - 1,x = 2 nên 27 æx 3 x2 ö ¢ ç ÷ g (x) = a(x + 1)(x - 2) Þ g(x) = aç - - 2x÷+ b èç 3 2 ø÷ Đồ thị hàm số g(x) đi qua I nên æö ç1÷ 7 7 13 gç ÷= - Û - = - a + b Û - 13a + 12b = - 7 (1) . èç2ø÷ 12 12 12 æx 3 x2 ö 7 ç ÷ Phương trình hoành độ giao điểm: f (x) = g(x) Û aç - - 2x÷+ b = (x + 1)(x - 2) èç 3 2 ø÷ 27 æ ö ç 14÷ - çb + ÷ èç 27ø÷ 28 55a Theo định lý viet ta có: 18x x x = - 55 Û 18. = - 55 Þ 18b + = (2). 1 2 3 a 3 3 3 1 x 3 x2 1 Từ (1),(2) ta được a = 1,b = Þ g(x) = - - 2x + . 2 3 2 2
16. Phương trình hoành độ giao điểm é 1 êx = ê ê 2 3 2 æ öæ ö x x 1 7 2 ç 1÷ç 2 16 55÷ ê 8 + 559 - - 2x + = (x - x - 2) Û çx - ÷çx - x - ÷= 0 Û êx = 3 2 2 27 èç 2ø÷èç 9 9 ø÷ ê 9 ê ê 8 - 559 êx = ëê 9 8+ 559 9 æ 3 ö çx 41 2 47 55 ÷ Từ đó suy ra diện tích miền tô đậm S = ç - x - x + ÷dx » 5.7089 ò ç 3 54 27 54 ÷ 1 è ø 2 xấp xỉ 5,7. BẢNG ĐÁP ÁN 1.C 2.D 3.C 4.C 5.C 6.D 7.C 8.B 9.D 10.C 11.B 12.B 13.B 14.B 15.C 16.C 17.C 18.B 19.B 20.C 21.C 22.B 23.D 24.A 25.B 26.B 27.C 28.D 29.A 30.A 31.A 32.C 33.B 34.B 35.D 36.C 37.C 38.D 39.D 40.B 41.D 42.D 43.C 44.C 45.A 46.A 47.C 48.B 49.D 50.D