Đề thi chọn đội tuyển dự thi HSG Quốc gia THPT môn Toán - Sở GD&ĐT Quảng Ngãi 2017-2018 (Có đáp án)

Nội dung tài liệu: Đề thi chọn đội tuyển dự thi HSG Quốc gia THPT môn Toán - Sở GD&ĐT Quảng Ngãi 2017-2018 (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN THAM DỰ QUẢNG NGÃI KỲ THI CHỌN HSG QUỐC GIA NĂM 2018 Ngày thi: 26/10/2017 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 180 phút Bài 1. (5 điểm) a) Cho q là số thực thuộc khoảng (0;1) và dãy u thỏa mãn điều kiện nn 1 uunn 21 quun nn 1  , 1. Chứng minh rằng dãy un có giới hạn hữu hạn. 3 b) Cho dãy v xác định bởi 01 v và vn  ,1. Chứng minh nn 1 1 n 1 2 vn rằng dãy vn có giới hạn hữu hạn và tính limvn . Bài 2. (5 điểm) Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất để 5n+1 chia hết cho 72018. Bài 3. (5 điểm) Có bao nhiêu bộ sắp thứ tự abc,, ; với abc,, là các số nguyên dương thỏa mãn điều kiện abc,, 2.3.5357? (Kí hiệu abc,, là bội chung nhỏ nhất của ba số nguyên dương abc,, ). Bài 4. (5 điểm) Cho tam giác nhọn ABC có B, C cố định, A thay đổi. Phía ngoài tam giác ABC dựng các tam giác ABD, ACE vuông cân tại A và hình vuông BCFG. Dựng tam giác XAB vuông cân tại X (X khác phía với D đối với đường thẳng AB), tam giác YAC vuông cân tại Y (Y khác phía với E đối với đường thẳng AC). a) Chứng minh rằng 3 điểm D, Y, F thẳng hàng. b) Các đường thẳng DY, EX cắt nhau tại P. Chứng minh rằng đường thẳng AP luôn đi qua một điểm cố định khi A thay đổi. .HẾT . Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
2. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN THAM DỰ KỲ THI QUẢNG NGÃI CHỌN HSG QUỐC GIA NĂM 2018 Ngày thi: 26/10/2018 Môn: Toán Thời gian làm bài: 180 phút HƯỚNG DẪN CHẤM Bài Nội dung Điểm Bài 1. (5 điểm) a) Cho q là số thực thuộc khoảng (0;1) và dãy u thỏa mãn điều kiện nn 1 uunn 21 quun nn 1  , 1. Chứng minh rằng dãy un có giới hạn hữu hạn. 3 b) Cho dãy v xác định bởi 01 v và vn  ,1. Chứng nn 1 1 n 1 2 vn minh dãy vn có giới hạn hữu hạn và tính limvn . a. Ta có uuuunk n nk nk 112 u nk u nk uu n 1 n qu nk u nk112 u nk u nk u n 1 u n 1 điểm kk 1 qq quunn 1 kk 12 n qq qquu 21 qqnk 1 1 uu21 1 q 1 điểm qn 1 uu 1 q 21 n Vì limq 0 nên   0, N0 sao cho uunk   n ,,0 nNk0 1 điểm Do đó, theo tiêu chuẩn Cauchy dãy un có giới hạn hữu hạn. Ta có vn là dãy số dương. 333 vv 3 b. vv nn 1 vv . nn 2122 vv 224 vvnn 1 1 điểm nn 11 nn
3. Theo câu a), dãy vn hội tụ và tính được limvn 1. 1 điểm Bài 2. (5 điểm) Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất để 5n+1 chia hết cho 72018. 3 Nhận xét n>3, 5 ≡-1 (mod 7) và ord7(5)=6 1 điểm n 2018 n 3 n-3 n-3 Nên 5 +1 chia hết cho 7 suy ra 5 =5 .5 ≡-1.5 ≡-1(mod 7) n-3 hay 5 ≡1 (mod 7) suy ra 6|n-3 hay n=6k+3. 1 điểm 2018 6k+3 3 2k+1 Ta tìm k để cho 7 | 5 +1 hay v7( (5 ) +1) 2018. 1 điểm 3 2k+1 3 Theo định lý LTE ta có v7( (5 ) +1)=v7(5 +1)+v7(2k+1)=1+v7(2k+1) m Hay v7(2k+1) 2017 suy ra 2k+1=7 .t với m,t là các số nguyên dương 1 điểm m2017 và t là số lẻ. Khi đó n=3.7m.t nên số nguyên dương n nhỏ nhất là n=3.72017. 1 điểm Bài 3. (5 điểm) Có bao nhiêu bộ sắp thứ tự abc,, , với abc,, là các số nguyên dương thỏa mãn điều kiện abc,, 2.3.5357? (kí hiệu abc,, là bội chung nhỏ nhất của ba số nguyên dương abc,, ). Đặt abc 235aa12abc333 , 235, b 1bc22 235. c 1 1 điểm 0,,3,0,,5,0,,7. abc111 abc 222 abc 333 Ta có abc,, 235357 khi và chỉ khi mabcax 111 , , 3, mabc ax 2 , 2 , 2 5, mabc ax 333 , , 7. Ta đếm tất cả các bộ có thứ tự gồm các số nguyên không âm abc111,, sao 1 điểm cho max abc111 , , 3. Đặt: Aabc 111,, | a 1 3,0 bc 11 , 3 Babc 111,, | b 1 3,0 ac 11 , 3 Cabc 111,, | c 1 3,0 ab 11 , 3 Khi đó, A BC là tập hợp tất cả các bộ có thứ tự gồm các số nguyên không âm abc111,, sao cho max abc111 , , 3. Ta có ABC 16, ABBCCA    4, ABC  1. Do đó 1 điểm ABC A B C AB  BC  C  A ABC  37.
4. Vậy số tất cả các bộ có thứ tự gồm các số nguyên không âm abc111,, sao cho max abc111 , , 3 bằng 37. Tương tự: Số tất cả các bộ có thứ tự gồm các số nguyên không âm abc222,, sao cho 1 điểm max abc222 , , 5 bằng 91. Số tất cả các bộ có thứ tự gồm các số nguyên không âm abc333,, sao cho max abc333 , , 7 bằng 169. Theo quy tắc nhân số tất cả các bộ số nguyên dương abc,, thỏa mãn bài toán bằng 37x91x169 = 569023. 1 điểm Bài 4. (5 điểm) Cho tam giác ABC có B, C cố định, A thay đổi. Phía ngoài tam giác ABC dựng các tam giác ABD và ACE là các tam giác vuông cân tại A và hình vuông BCFG. Dựng tam giác XAB vuông cân tại X (X khác phía với D đối với đường thẳng AB), tam giác YAC vuông cân tại Y (Y khác phía với E đối với đường thẳng AC). a. Chứng minh rằng 3 điểm D, Y, F thẳng hàng. b. Các đường thẳng DY, EX cắt nhau tại P. Chứng minh rằng đường thẳng AP luôn đi qua một điểm cố định khi A thay đổi. a. F B Y D A C 1 điểm 90o 90o Phép quay QFBC : và phép quay QBDA : . 90oo 90 Do đó QQAC : F D. 90oo 90 Gọi Y’ là tâm của phép quay QQA C . Theo tính chất tích của 2 phép quay, ta có AC,'45 AY o và CY', CA 45o . Suy ra tam giác Y’AC cân tại Y’. Suy ra YY'  . 180o Do đó QFDY : . 1 điểm Nên D, Y, F thẳng hàng. Hơn nữa, Y là trung điểm DF.
5. b. E D A X M N B C Y P G F T Tương tự câu a, chứng minh được X là trung điểm của EG. Gọi M AG DF,. N  AF EG 1 điểm Vì BAG BDF nên  BAG BDF . Do đó, tứ giác BDAM nội tiếp. Suy ra BM DF . Tương tự, CN EG . 1 điểm Do đó, 6 điểm B, C, F, G, M, N cùng nằm trên đường tròn ngoại tiếp hình vuông BCFG. Gọi T là giao điểm của tiếp tuyến tại F và tiếp tuyến tại G của đường tròn ngoại tiếp hình vuông BCFG. Áp dụng định lý Pascal cho 6 điểm B, C, F, G, M, N ta được A, P, T thẳng 1 điểm hàng. Vậy đường thẳng AP luôn đi qua điểm T cố định.