Đề thi chọn HSG cấp tỉnh môn Toán 12 (Bảng B) - Sở GD&ĐT Gia Lai 2018-2019 (Có đáp án)

Nội dung tài liệu: Đề thi chọn HSG cấp tỉnh môn Toán 12 (Bảng B) - Sở GD&ĐT Gia Lai 2018-2019 (Có đáp án)

1. Vũ Ngọc Thành Latex húa KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH GIA LAI 2018-2019 MễN THI: TOÁN 12-BẢNG B Thời gian làm bài: 180 phỳt, khụng kể thời gian phỏt đề STRONG TEAM TOÁN VD-VDC-ĐỀ THI-CHUYấN ĐỀ 2x 1 Cõu 1. Cho hàm số y Å cú đồ thị (H) và đường thẳng d : y (m2 1)x 2 (với m là ặ x 1 ặ Å Ă Ă tham số). Tỡm tất cả giỏ trị của m để d cắt (H) tại hai điểm phõn biệt cú hoành độ x1, x2 sao cho biểu thức P 12(x1 x2) 11x1x2 đạt giỏ trị lớn nhất. ặ Å Å Lời giải Phương trỡnh hoành độ giao điểm của (H) và d là 2x 1 Å (m2 1)x 2 (m2 1)x2 (m2 5)x 1 0 x 1 ặ Å Ă , Å Ă Å Å ặ Ă (do x = 1 khụng là nghiệm phương trỡnh) Đường thẳng d cắt (H) tại hai điểm phõn biệt 2 2 (m2 5) 4(m2 1) 0 (m2 3) 12 0 , Å Ă Å ẩ , Å Å ẩ Suy ra m R thỡ d luụn cắt (H) tại hai điểm phõn biệt. 8 2 m2 5 1 Ta cú x1 x2 Å ; x1.x2 Å ặ m2 1 ặ m2 1 Å à m2 Å5ả à 1 ả 59 P 12(x1 x2) 11x1.x2 12 Å 11 12 71 ặ Å Å ặ m2 1 Å m2 1 ặ Å m2 1 ã Do đú P đạt giỏ trị lớn nhất là 71Å khi m = 0.Å Å Vậy m = 0 là giỏ trị cần tỡm. ọ STRONG TEAM TOÁN VD-VDC-ĐỀ THI-CHUYấN ĐỀ Cõu 2. Giải cỏc phương trỡnh sau trờn tập hợp cỏc số thực 1. x4 6x3 6x2 9x 2px2 3x . Ă Å Å ặ Ă 2. 7x 6log (6x 1) 1 0 . Ă 7 Å Ă ặ Lời giải 2 1. x4 6x3 6x2 9x 2px2 3x (x2 3x) 3(x2 3x) 2px2 3x 0 Ă Å Å ặ Ă , Ă Ă Ă Ă Ă ặ Đặt t px2 3x , t 0 , phương trỡnh trở thành t4 3t2 2t 0 t 0; t 2; t 1 (loại) ặ Ă á Ă Ă ặ , ặ ặ ặĂ Với t 0 suy ra x 0, x 3 ặ ặ ặ Với t 2 suy ra x 1, x 4 ặ ặĂ ặ Vậy phương trỡnh đó cho cú 4 nghiệm x 0, x 3 ,x 1, x 4 ặ ặ ặĂ ặ 1
2. Vũ Ngọc Thành Latex húa 1 2. Điều kiện x . Đặt y log (6x 1) , khi đú 7y 6x 1 . ẩĂ6 ặ 7 Å ặ Å (7x 6y 1 Kết hợp với phương trỡnh đó cho ta cú hệ ặ Å . 7y 6x 1 ặ Å Suy ra 7x 7y 6y 6x 7x 6x 7y 6y (1). Xột hàm số f (t) 7t 6t . Ă tặ Ă , Å ặ Å ặ Å Ta cú f 0(t) 7 ln7 6 0, t R nờn hàm số f đồng biến trờn R . ặ Å ẩ 8 2 Do đú (1) f (x) f (y) x y . Suy ra 7x 6x 1 0 (*) , ặ , ặ Ăà 1Ă ặả Xột hàm số g(x) 7x 6x 1 trờn khoảng ; . ặ Ă Ă Ă6 Å1 à ả x x 2 1 Ta cú g0(x) 7 ln7 6; g00(x) 7 (ln7) 0 nờn đồ thị hàm số g lừm trờn khoảng ; ặ Ă ặ ẩ Ă6 Å1 à 1 ả . Do đú (*) cú khụng quỏ hai nghiệm thuộc ; Ă6 Å1 Mà g(0) 0, g(1) 0 nờn x = 0, x = 1 là tất cả cỏc nghiệm của (*). Vậy nghiệm của ặ ặ phương trỡnh đó cho là x = 0, x = 1. ọ STRONG TEAM TOÁN VD-VDC-ĐỀ THI-CHUYấN ĐỀ n Cõu 3. Tỡm hệ số của số hạng chứa x5 trong khai triển (1 x x2) , biết n là số tự nhiờn Å Å thỏa món hệ thức C0 C2 C4 C2n 512 . 2n Å 2n Å 2n Å ÂÂÂ Å 2n ặ Lời giải Ta cú 1 C0 C2 C4 C2n 512 .(C0 C1 C2 C2n) 512 2n Å 2n Å 2n Å ÂÂÂ Å 2n ặ , 2 2n Å 2n Å 2n Å ÂÂÂ Å 2n ặ 1 .22n 512 , 2 ặ n 5 , ặ 5 5 Ã k ! 2 5 5 X k k k X X k i k i (1 x x ) [1 x(1 x)] C5 x (1 x) C5 Ck x Å , (i, k N, i k) Å Å ặ Å Å ặ k 0 Å ặ k 0 i 0 2 ã ặ ặ ặ ( i k 5 ( i 0 ( i 1 ( i 2 Vỡ số hạng chứa x5 nờn Å ặ , giải ra ta được ặ ; ặ ; ặ i, k N, i k k 5 k 4 k 3 2 ã ặ ặ ặ Hệ số cần tỡm là C5C0 C1C4 C2C3 51 5 5 Å 4 5 Å 3 5 ặ ọ STRONG TEAM TOÁN VD-VDC-ĐỀ THI-CHUYấN ĐỀ Cõu 4. Cho tam giỏc ABC cú AB c,BC a,CA b , ha là độ dài đường cao xuất phỏt a ặ ặ ặ từ đỉnh A và b c hap3 . Chứng minh rằng tam giỏc ABC đều. Å ặ 2 Å Lời giải 2
3. Vũ Ngọc Thành Latex húa Ta cú a a 2SABC b c ha.p3 b c .p3 Å ặ 2 Å ) Å ặ 2 Å a a b c (bsinC).p3 ) Å ặ 2 Å sin(B C) sinB sinC Å p3sinBsinC ) Å ặ 2 Å 1 p3 1 p3 sinB sinC sinB( cosC sinC) sinC( cosB sinB) ) Å ặ 2 Å 2 Å 2 Å 2 h ³ ẳ´ i h ³ ẳ´ i sinB cos C 1 sinC cos B 1 0 ) Ă 3 Ă Å Ă 3 Ă ặ ³ ẳ´ ³ ẳ´ cos B cos C 1 ) Ă 3 ặ Ă 3 ặ ẳ B C ) ặ ặ 3 Vậy tam giỏc ABC đều. ọ STRONG TEAM TOÁN VD-VDC-ĐỀ THI-CHUYấN ĐỀ Cõu 5. Một quả búng cao su được thả rơi từ độ cao h 18m . Sau mỗi lần chạm đất, quả 3 ặ búng lại nảy lờn cao bằng độ cao của lần rơi ngay trước đú. Giả sử quả búng khi rơi và 4 nảy đều theo phương thẳng đứng. Tớnh tổng độ dài đoạn đường quả búng đó di chuyển từ lỳc được thả đến lỳc quả búng khụng nảy nữa. Lời giải 3 Sau lần chạm đất đầu tiờn, quả búng nảy lờn độ cao là h1 h . Tiếp theo, búng rơi từ độ ặ 4 3 cao h1 , chạm đất và nảy lờn độ cao h2 h1 . Sau đú búng lại rơi từ độ cao h2 và cứ tiếp tục ặ 4 3 như vậy Sau lần chạm đất thứ n, quả búng nảy lờn độ cao hn hn 1 . ặ 4 Ă Tổng độ dài đoạn đường quả búng đi được từ lỳc thả đến lỳc quả búng khụng nảy nữa là d (h h1 h2 hn ) (h1 h2 hn ) ặ Å Å Å ÂÂÂ Å Å ÂÂÂ Å Å Å ÂÂÂ Å Å ÂÂÂ 3 d là tổng của hai cấp số nhõn lựi vụ hạn cú cụng bội q , cú số hạng đầu lần lượt là h, h1 ặ 4 h h Do đú d 1 126 m. ặ 1 q Å 1 q ặ ọ Ă Ă STRONG TEAM TOÁN VD-VDC-ĐỀ THI-CHUYấN ĐỀ Cõu 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường trũn tõm I cú phương trỡnh (x 1)2 (y 1)2 5 Ă Å Å ặ , tam giỏc ABC nội tiếp đường trũn và đường phõn giỏc trong gúc A cú phương trỡnh x y 1 0 . Biết rằng hai điểm A và I cỏch đều đường thẳng BC và điểm A cú hoành độ Ă Ă ặ dương. Tớnh diện tớch tam giỏc ABC . 3
4. Vũ Ngọc Thành Latex húa Lời giải Ta cú I(1; 1) . Tọa độ giao điểm của đường phõn giỏc trong gúc A và (I) là nghiệm của hệ Ă phương trỡnh ((x 1)2 (y 1)2 5 ( x 2; y 1 Ă Å Å ặ ặ ặ x y 1 0 , x 1; y 2 Ă Ă ặ ặĂ ặĂ Suy ra cú hai giao điểm A(2;1), A0( 1; 2) Ă Ă Đường thẳng BC vuụng gúc A’I nờn phương trỡnh BC cú dạng: 2x y m 0 (BC A0 I ) 4 1 m 2 1 m Å Å ặ ? d(A;BC) d(I;BC) j Å Å j j Ă Å j m 3 ặ , p5 ặ p5 , ặĂ Phương trỡnh BC: 2x y 3 0 Å Ă ặ 9 p21 3 2p21 9 p21 3 2p21 Tỡm được tọa độ điểm B, C là: ( Ă ; Ă Å ), ( Å ; Ă Ă ) . 5 5 5 5 1 1r84 2 2p21 Vậy diện tớch tam giỏc ABC là SABC BC.d(A;BC) . ặ 2 ặ 2 5 p5 ặ 5 ọ STRONG TEAM TOÁN VD-VDC-ĐỀ THI-CHUYấN ĐỀ Cõu 7. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng cạnh a , chiều cao h khụng đổi. Gọi M, N lần lượt là hai điểm di động trờn hai cạnh BC,CD sao cho gúc àMAN 450. ặ Đặt BM x . Tỡm x theo a sao cho thể tớch của khối chúp S.AMN đạt giỏ trị nhỏ nhất. ặ Lời giải 4
5. Vũ Ngọc Thành Latex húa 1 hp2 Ta cú Vs.AMN .h.SAMN .AM.AN ặ 3 ặ 12 Đặt Mƒ AB đ ,00 đ 450 , NADƒ 450 đ ặAB ã ADã ặ a2pĂ2 2a2p2 AM.AN . ặ cosđ cos(450 đ) ặ cosđ(cosđ sinđ) ặ 1 p2sin(2đ 450) Ă Å Å 0 Å 0 Vs.AMN nhỏ nhất AM.AN nhỏ nhất 1 p2sin(2đ 45 ) lớn nhất đ 22,5 , , Å Å , ặ Vậy với x a.tan22,50 a(p2 1) thỡ thể tớch của khối chúp S.AMN đạt giỏ trị nhỏ nhất. ặ ặ Ă ọ STRONG TEAM TOÁN VD-VDC-ĐỀ THI-CHUYấN ĐỀ Cõu 8. Cho a, b, c là ba số thực tựy ý thỏa món điều kiện a b c 0 . Tỡm giỏ trị nhỏ 1 à b c ả 5a á á ẩ nhất của biểu thức M . ặ 2 b a Å c b Å a c Å Å Å Lời giải 0 1 1 B 1 1 C 5 Biến đổi M B C ặ 2 @ a Å b A Å c 1 1 1 Å b Å c Å a 1 1 2 Ta cú bất đẳng thức , ( x, y 0, xy 1) 1 x Å 1 y á 1 pxy 8 ẩ á Å Å Å 1 1 2 Ă Â2 Thật vậy px py (pxy 1) 0, đỳng x, y 0, xy 1 . 1 x Å 1 y á 1 pxy , Ă Ă á 8 ẩ á 1Å 2 Å 5Å Do đú M . á 2 r a Å c 1 1 Å c Å a a 1 5t 5t 1 Đặt t . Vỡ a b c 0 nờn t 1 t pt . Suy ra M Å ặ c á á ẩ á ) á á 1 t Å 1 t ặ t 1 5t 1 4 Å Å Å Xột hàm số f (t) Å , ta cúf 0(t) 0, t [1; ) nờn f (t) đồng biến trờn [1; ) . ặ t 1 ặ (t 1)2 ẩ 8 2 Å1 Å1 Do đú f (t) f (1), t Å1 Å á 8 á Vậy Mmin f (1) 3 , khi t 1 a b c ặ ặ ặ , ặ ặ ọ 5