Đề thi chọn HSG cấp tỉnh môn Toán 12 - Sở GD&ĐT Gia Lai 2018-2019 (Có đáp án)

Nội dung tài liệu: Đề thi chọn HSG cấp tỉnh môn Toán 12 - Sở GD&ĐT Gia Lai 2018-2019 (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH GIA LAI TỈNH GIA LAI 2018-2019 MễN THI: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phỳt, khụng kể thời gian phỏt đề 2x 1 Cõu 1. Cho hàm số y cú đồ thị H và đường thẳng d : y m2 1 x 2 ( với m là tham x 1 số). Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của m để d cắt H tại hai điểm phõn biệt cú hoành độ x1, x 2sao cho biểu thức P 12 x1 x2 11x1x2 đạt giỏ trị lớn nhất. Cõu 2. Giải cỏc phương trỡnh sau trờn tập hợp cỏc số thực: 1) x4 6x3 6x2 9x 2 x2 3x . x 2) 7 6log7 6x 1 1 0 . n Cõu 3. Tỡm hệ số của số hạng chứa x5 trong khai triển (1+ x + x2 ) , biết n là số tự nhiờn thỏa món hệ 0 2 2n thức C2n + C2n + + C2n = 512. Cõu 4. Cho tam giỏc ABC cú AB c , BC a , CA b , ha là độ dài đường cao xuất phỏt từ đỉnh A a và b c h 3 . Chứng minh rằng ABC đều. 2 a Cõu 5 : Một quả búng cao su được thả rơi từ độ cao h 18m . Sau mỗi lần chạm đất, quả búng lại nảy 3 lờn cao bằng độ cao của lần rơi ngay trước đú. Giả sử quả búng khi rơi và nảy đều theo 4 phương thẳng đứng. Tớnh tổng độ dài quóng đường quả búng đó di chuyển từ lỳc được thả đến lỳc khụng nảy nữa. 2 2 Cõu 6. Trong mặt phẳng Oxy , cho đường trũn tõm I cú phương trỡnh x 1 y 1 5 , tam giỏc ABC nội tiếp đường trũn và đường phõn giỏc trong gúc A cú phương trỡnh x y 1 0 . Biết rằng hai điểm A và I cỏch đều đường thẳng BC và điểm A cú hoành độ dương. Tớnh diện tớch tam giỏc ABC . Cõu 7. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng cạnh a , chiều cao h khụng đổi. Gọi M , N lần lượt là hai điểm di động trờn hai cạnh BC,CD sao cho gúc Mã AN 45 . Đặt BM x . Tỡm x theo a sao cho thể tớch khối chúp S.AMN đạt giỏ trị nhỏ nhất. Cõu 8. Cho a,b,c là cỏc số thực tựy ý thỏa món điều kiện a b c 0 . Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu 1 b c 5a thức M 2 a b c b a c HẾT
2. HƯỚNG DẪN GIẢI 2x 1 Cõu 1. Cho hàm số y cú đồ thị H và đường thẳng d : y m2 1 x 2 ( với m là tham số). x 1 Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của m để d cắt H tại hai điểm phõn biệt cú hoành độ x1, x2 sao cho biểu thức P 12 x1 x2 11x1x2 đạt giỏ trị lớn nhất. Lời giải 2x 1 Phương trỡnh hoành độ giao điểm của H và d là: m2 1 x 2 1 , ĐK: x 1. x 1 1 m2 1 x2 m2 5 x 1 0 2 . Để đường thẳng d cắt H tại hai điểm phõn biệt khi và chỉ khi phương trỡnh 2 cú hai nghiệm phõn biệt khỏc 1. 2 2 2 2 2 m 5 4 m 1 0 m 3 12 0 ( luụn đỳng với mọi m R ). 2 2 2 m 1 .1 m 5 .1 1 0 3 0 Suy ra m R thỡ d luụn cắt H tại hai điểm phõn biệt. Khi đú x1, x2 là hai nghiệm phõn biệt của (2) m2 5 1 Ta cú: x x ; x .x , khi đú: 1 2 m2 1 1 2 m2 1 m2 5 1 59 P 12 x1 x2 11x1.x2 12 2 11 2 12 2 71. m 1 m 1 m 1 Do đú P đạt giỏ trị lớn nhất là 71 khi m 0 . Vậy m 0 là giỏ trị cần tỡm. Cõu 2. Giải cỏc phương trỡnh sau trờn tập hợp cỏc số thực: 1) x4 6x3 6x2 9x 2 x2 3x . x 2) 7 6log7 6x 1 1 0. Lời giải 2 1) Ta cú x4 6x3 6x2 9x 2 x2 3x x2 3x 3 x2 3x 2 x2 3x 0 . Đặt t x2 3x, t 0 , phương trỡnh đó cho trở thành t4 3t2 2t 0 t 0;t 2;t 1 . Kết hợp với điều kiện t 0 , ta chỉ cú hai trường hợp sau: Với t 0 , ta cú x2 3x 0 x 0; x 3 . Với t 2, ta cú x2 3x 2 x2 3x 4 0 x 1; x 4. Vậy phương trỡnh đó cho cú 4 nghiệm x 0, x 3, x 1, x 4.
3. 1 2) Điều kiện xỏc định: x . Đặt y log 6x 1 , khi đú 7 y 6x 1. 6 7 x 7 6y 1 Kết hợp với phương trỡnh đó cho ta cú hệ . y 7 6x 1 Trừ vế theo vế hai phương trỡnh trong hệ, ta cú 7x 7 y 6y 6x 7x 6x 7 y 6y (1). t 1 Xột hàm số f t 7 6t , tập xỏc định D ; . 6 Ta cú f t 7t ln 7 6 0, t D nờn hàm số f đồng biến trờn D . Do đú 1 f x f y x y . Suy ra 7x 6x 1 0 (2). x 1 Xột hàm số g x 7 6x 1 trờn khoảng ; . 6 6 Ta cú g x 7x ln 7 6 ; g x 0 x log . 7 ln 7 Bảng biến thiờn của hàm số g x : 1 Dựa vào bảng biến thiờn, ta cú phương trỡnh (2) cú khụng quỏ hai nghiệm thuộc khoảng ; . Mà 6 g 0 0, g 1 0 nờn x 0, x 1 là tất cả cỏc nghiệm của phương trỡnh (2). Vậy phương trỡnh đó cho cú hai nghiệm là x 0, x 1. n Cõu 3. Tỡm hệ số của số hạng chứa x5 trong khai triển (1+ x + x2 ) , biết n là số tự nhiờn thỏa món hệ 0 2 2n thức C2n + C2n + + C2n = 512. Giải: 2n 0 1 2 2n- 1 2n *) Ta cú 0 = (1- 1) = C2n - C2n + C2n - - C2n + C2n . 0 2 2n 1 3 2n- 1 Suy ra: C2n + C2n + + C2n = C2n + C2n + + C2n . 2n 2n 0 1 2n Mà 2 = (1+ 1) = C2n + C2n + + C2n
4. 0 2 2n 1 3 2n- 1 = (C2n + C2n + + C2n ) + (C2n + C2n + + C2n ) 0 2 2n = 2(C2n + C2n + + C2n ) 10 0 2 2n = 2.512 = 2 (do C2n + C2n + + C2n = 512 ). ị 2n = 10 Û n = 5 *) Xột khai triển 5 5 5 1+ x + x2 = ộ1+ x 1+ x ự = C k xk 1+ x k ( ) ở ( )ỷ ồ 5 ( ) k= 0 5 ổk ử 5 ổk ử = C k xk ỗ Ci xi ữ = ỗ C kCi xk+ i ữ (với i, k ẻ Ơ ,0 Ê i Ê k Ê 5 * ). ồ 5 ỗồ k ữ ồ ỗồ 5 k ữ ( ) k= 0 ối= 0 ứ k= 0 ối= 0 ứ *) Vỡ số hạng chứa x5 nờn k + i = 5. Kết hợp với điều kiện (*) ta được cỏc trường hợp sau: ùỡ i = 0 ùỡ i = 1 ùỡ i = 2 ớù ; ớù ; ớù . ợù k = 5 ợù k = 4 ợù k = 3 5 0 1 4 2 3 *) Hệ số cần tỡm là: C5 .C5 + C4.C5 + C3 .C5 = 51. Cõu 4. Cho tam giỏc ABC cú AB c , BC a , CA b , ha là độ dài đường cao xuất phỏt từ đỉnh A a và b c h 3 . Chứng minh rằng ABC đều. 2 a Lời giải Ta cú: a a 2SABC b c ha 3 b c  3 2 2 a a b c bsin C  3 2 sin B C sin B sin C 3.sin Bsin C 2 1 3 1 3 sin B sin C sin B cosC sin C sin C cos B sin B 2 2 2 2 sin B cos C 1 sin C cos B 1 0 3 3 cos B cos C 1 3 3 Vậy tam giỏc ABC đều. Cõu 5 : Một quả búng cao su được thả rơi từ độ cao h 18m . Sau mỗi lần chạm đất, quả búng lại 3 nảy lờn cao bằng độ cao của lần rơi ngay trước đú. Giả sử quả búng khi rơi và nảy đều theo 4
5. phương thẳng đứng. Tớnh tổng độ dài quóng đường quả búng đó di chuyển từ lỳc được thả đến lỳc khụng nảy nữa. Lời giải 3 Sau lần chạm đất đầu tiờn, quả búng nảy lờn độ cao h h . Tiếp theo quả búng rơi xuống trờn quóng 1 4 3 đường đỳng bằng h . Lần chạm đất thứ hai quả búng nảy lờn h h và cũng rơi xuống trờn quảng 1 2 4 1 3 đường đỳng bằng h Cứ như thế đến lần chạm đất thứ n thỡ quả búng nảy lờn đến độ cao h h và 2 n 4 n 1 cũng rơi xuống trờn quóng đường đỳng bằng hn . 3 Ta thấy dóy h,h ,h , ,h là một cấp số nhõn lựi vụ hạn với cụng bội q . 1 2 n 4 Tổng quóng đường quả búng đi được là: h h s h h h h h h h 1 126m . 1 2 n 1 2 n 1 q 1 q 2 2 Cõu 6. Trong mặt phẳng Oxy , cho đường trũn tõm I cú phương trỡnh x 1 y 1 5, tam giỏc ABC nội tiếp đường trũn và đường phõn giỏc trong gúc A cú phương trỡnh x y 1 0. Biết rằng hai điểm A và I cỏch đều đường thẳng BC và điểm A cú hoành độ dương. Tớnh diện tớch tam giỏc ABC . Lời giải Ta cú I 1; 1 . Tọa độ giao điểm của đường phõn giỏc trong gúc A và I là nghiệm của hệ 2 2 x 1 y 1 5 x 2, y 1 phương trỡnh . x y 1 0 x 1, y 2 Suy ra cú hai giao điểm A 2;1 , A 1; 2 . (Vỡ A cú hoành độ dương) Đường thẳng BC vuụng gúc A I nờn phương trỡnh BC cú dạng: 2x y m 0 BC  A I . 4 1 m 2 1 m d A; BC d I ; BC m 3. 5 5
6. Phương trỡnh BC : 2x y 3 0 . 9 21 3 2 21 9 21 3 2 21 Tỡm được tọa độ điểm B , C là: ; , ; . 5 5 5 5 1 1 84 2 2 21 Vậy diện tớch tam giỏc ABC là S BC.d A; BC . . ABC 2 2 5 5 5 Chỳ ý: cú thể khụng cần tỡm tọa độ của B ,C mà ta cũng cú thể tớnh được diện tớch như sau: 2 5 2 21 d I ; BC BC (sử dụng pitago) 5 5 1 1 21 2 2 21 S BC.d A; BC .2. . ABC 2 2 5 5 5 Cõu 7. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng cạnh a , chiều cao h khụng đổi. Gọi M , N lần lượt là hai điểm di động trờn hai cạnh BC,CD sao cho gúc Mã AN 45. Đặt BM x . Tỡm x theo a sao cho thể tớch khối chúp S.AMN đạt giỏ trị nhỏ nhất. Lời giải S x M B C N α 45° A D 1 1 1 h 2 Ta cú V .h.S .h. .AM.AN.sin 45 .AM.AN . S.AMN 3 AMN 3 2 12 Đặt Mã AB ,0 45 Nã AD 45 AB AD a2 2 2a2 2 Khi đú AM.AN . . cos cos 45 cos cos sin 1 2 sin 2 45 Khi đú VS.AMN nhỏ nhất AM.AN nhỏ nhất 1 2 sin 2 45 lớn nhất 22,5 .
7. Vậy khi x a.tan 22,5 a 2 1 thỡ thể tớch khối chúp S.AMN đạt giỏ trị nhỏ nhất. Cõu 8. Cho a,b,c là cỏc số thực tựy ý thỏa món điều kiện a b c 0 . Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu 1 b c 5a thức M 2 a b c b a c Lời giải 1 1 1 5 Biến đổi M a b c 2 1 1 1 b c a 1 1 2 Ta cú bất đẳng thức , x, y 0, xy 1 . 1 x 1 y 1 xy 1 1 2 2 Thật vậy x y xy 1 0 đỳng x, y 0, xy 1. 1 x 1 y 1 xy Dấu bằng xảy ra khi x y 1 2 5 a b Do đú M . . Dấu bằng xảy ra . 2 a c b c 1 1 c a a 1 5t 5t 1 Đặt t . Vỡ a b c nờn t 1 t t M c 1 t 1 t t 1 5t 1 4 Xột hàm số f t , ta cú: f t 0,t 1; nờn f t là hàm số đồng biến t 1 t 1 2 trờn 1; . Do đú f t f 1 t 1 . Vậy M min f 1 4 khi t 1 a b c .