Đề thi chọn HSG cấp tỉnh môn Toán 12 - Sở GD&ĐT Hải Dương 2017-2018 (Có đáp án)

Nội dung tài liệu: Đề thi chọn HSG cấp tỉnh môn Toán 12 - Sở GD&ĐT Hải Dương 2017-2018 (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Kè THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH HẢI DƯƠNG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2017 – 2018 MễN THI : TOÁN Thời gian làm bài: 180 phỳt (Đề thi gồm 01 trang) Cõu 1 (2 điểm) x1 1. Cho hàm số y= cú đồ thị là (C). Viết phương trỡnh tiếp tuyến của x+1 đồ thị (C) sao cho khoảng cỏch từ tõm đối xứng của (C) đến tiếp tuyến là lớn nhất. 2. Tỡm m để phương trỡnh sau cú nghiệm thực ; 111 x 42 ()xxm xxx42 Cõu 2 (2 điểm) x2 1. Giải phương trỡnh: sin2017 x cos 2018 x cos x . 2 20 6 xyxxyy 17 5 3 6 3 5 0 1 2. Giải hệ phương trỡnh: xy, 2 22xy 5 33 x 2 y 11 x 6 x 13 2 Cõu 3 (2 điểm) 1. Mụn búng đỏ nam SE GAME cú 10 đội búng tham dự trong đú cú Việt Nam và Thỏi Lan. Chia 10 đội búng này thành 2 bảng A, B. Mỗi bảng cú 5 đội. Tớnh xỏc suất sao cho Việt Nam và Thỏi Lan ở cựng một bảng. 6 2 2. Cho dãy số (un) thoả mãn điều kiện: u , u 2 u với mọi n=1, 2, 1 2 n 1 n n Chứng minh rằng dãy số (un) có giới hạn vμ tìm Lim2. 2 un . Cõu 4 (3 điểm) 1. Cho tứ diện ABCD cú AB CD c,, AC BD b AD BC a . a.Tớnh gúc giữa hai đường thẳng AB, CD. b.Chứng minh rằng trọng tõm của tứ diện ABCD cỏch đều tất cả cỏc mặt của tứ diện. 2. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú SA = x , tất cả cỏc cạnh cũn lại cú độ dài bằng 1. Tớnh thể tớch khối chúp đú theo x và tỡm x để thể tớch đú là lớn nhất. Cõu 5 (1 điểm). Cho cỏc số thực a, b, c sao cho a 0, b 0, 0 c 1 và a2 + b2 + c2 = 3. Tỡm giỏ trị lớn nhất và giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức sau: 6 P = 2ab + 3bc + 3ca + abc Hết . Họ và tờn thớ sinh: Số bỏo danh: Chữ ký của giỏm thị 1: Chữ ký của giỏm thị 2: ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MễN TOÁN
2. Kè THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2017 – 2018 Cõu í Nội dung Điểm Viết phương trỡnh tiếp tuyến của đồ thị (C) sao cho khoảng cỏch từ I 1 tõm đối xứng của (C) đến tiếp tuyến là lớn nhất. 1,00 Tõm đối xứng của đồ thị là I(–1; 1) Gọi N(x0,y0) là tiếp điểm của tiếp tuyến và đồ thị, khi đú tiếp tuyến của (C) tại M cú phương trỡnh: 0,25 2 x0 1 x 1 yxx 0 2 x 1 2(xx 1)22 yx 2 x 10 x0 1 0 000 Gọi d là khoảng cỏch từ I đến tiếp tuyến trờn ta cú: 41x dx 0 ;1, 4 0 4( x0 1) 0,25 Áp dụng bất đẳng thức cụsi ta cú 442 4 (xxx000 1) 2 4.( 1) 4( 1) 4 4(xx00 1)2 1 41x d 0 2 0,25 4 4( x0 1) 4 x0 12 dấu '=" 4(x0 1) x0 12 Vậy ứng với hai giỏ trị đú ta cú hai tiếp tuyến sau: yx (2 2) ; yx (2 2) ; 0,25 Tỡm m để phương trỡnh sau cú nghiệm thực ; 2 42111 1,00 x ()xxm xxx42 ĐK: x 0 1 Đặt t= x ( ĐK t 2 ) x 112 22 xx 2 22 t xx Ta cú 2 4211 42 xx 42 242 tt xx 0,25 Phương trỡnh đó cho trở thành: tt42 42 t 2 2 tm
3. ttt4254 m Xột hàm số f ()tt 42 5 tt 4 với t ;2  2; 0,25 ta cú f '(tt ) 43 10 t 1 ft''( )   12 t2 10 0 t ; 2 2; t -2 2 f ''(t ) + -11 f '(t ) 13 0,25 f ()t -2 2 Từ bảng biến thiờn suy ra: m 2 thỡ phương trỡnh đó cho cú nghiệm. 0,25 x2 II 1 Giải phương trỡnh: sin2017 x cos 2018 x cos x . 1,00 2 x2 Xột hàm số: f(x)= cos x trờn R 2 Ta cú f'(x) x sinx f''(x) 1 cosx 0  x R Do đú hàm số f'(x) đồng biến trờn R Vậy  x0; f'(x)f'(0)0 0,25  x;0f'(x)f'(0)0 Bảng biến thiờn: x 0 f'(x) - 0 + f(x) 1 x2 Từ bảng biến thiờn suy ra VF cos x  1 x R 2 0,25
4. Ta cú VT sin2017 x cos 2018 x sin 2 x cos 2 x 1 Do đú phương trỡnh (*) tương đương 0,25 x0 VT 1 2017 2 sin x sin x x 0 0,25 VF 1 2018 2 cos x cos x Giải hệ phương trỡnh : 2 1,00 20 6 xyxxyy 17 5 3 6 3 5 0 1 xy, 2 22xy 5 33 x 2 y 11 x 6 x 13 2 Điều kiện: xy 6; 5;2 xy 5 0; 3 xy 2 11 0 20 3xx 6 17 3 yy 5 36 xxyy 2 6 35 2 5 3 0,25 Xột hàm số f tt 32 t với t 0 , ta cú 32t f '3 tt  0,0 t 0,25 2 t Kết hợp với 3 ta cú f 6565 x fy x yy x 1 Thay vào phương trỡnh 2 của hệ, ta được 4 23xxxx 4 35 92 6 13, với x . 3 23 x 4 xxxxx 2 35 9 3 2 21xx 31 xx xx2 34xx 2 59 xx 3 0,25 23 xx 110 34xx 2 59 xx 3 23 xx0; 1 (vỡ 11 với mọi x thuộc 34xx 2 59 xx 3 TXĐ) Với xy 01 Với xy 12 Thử lại ta thấy nghiệm của hệ phương trỡnh đó cho là 0,25 xy; 0;1; 1;2 
5. III 1 1,00 nCC  55. 10 5 Gọi A là biến cố: “ Việt Nam và Thỏi Lan ở cựng một bảng” 0,25 TH 1: “ Việt Nam và Thỏi Lan ở cựng một bảng A” Trường hợp này cú CCC235 cỏch chia. 285 0,25 TH 1: “ Việt Nam và Thỏi Lan ở cựng một bảng B” 235 Trường hợp này cú CCC285 cỏch chia. 235 Suy ra: nA 2 CCC285 0,25 235 nA()2 CCC285 4 PA() 55 0,25 nCC() 10 . 5 9 2 1,00 5 Ta có u1 2sin 2cos . 12 12 0,25 Từ hệ thức truy hồi bằng phơng pháp chứng minh quy nạp ta có đợc 0,25 5 u 2cos , n = 1, 2, n n 6.2 Từ công thức xác định số hạng tổng quát của dãy, ta dễ dμng chứng minh dãy số nn 55 1 0,25 có giới hạn. Lim222cos nn Lim 2sin 1 6.2 6.2 5 sin 6.2n 1 55 Lim 0,25 5 66 6.2n 1 IV 1 1,50 A I B D G C
6. a) Ta cú          AB.( CD AB AD AC ) AB AD AB AC 222222 AB AD BD AB AC BC 22 0,5 ab 22       ab22 Lại cú, AB. CD AB . CD cos AB , CD cos AB , CD c2 Gọi là gúc giữa hai đường thẳng AB, CD ta cú:   ab22 ab 22 0,5 ccABCDos os , arccos cc22 b) Gọi I, G lần lượt là trọng tõm của tứ diện ABCD và tam giỏc BCD 11 Ta cú IG AG V V 44IBCD ABCD 0,5 1 Tương tự, VVV V IABC IABD IACD4 ABCD Vậy, VVVVIABC IABD IACD IBCD Mặt khỏc, ABC BAD CDA DCB() c c c 0,5 Do đú, dddd I,(ABC) I,(ABD) I,(ACD) I,(BCD) 2 1,50
7. S B A H O C D Gọi H là hỡnh chiếu của S trờn (ABCD) Do SB = SC = SD nờn HB = HC = HD, suy ra H là tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc BCD. Mặt khỏc, tam giỏc BCD cõn tại C nờn H thuộc CO, với O là giao của AC 0,25 và BD. Lại cú, CBD ABD SBD OC OA OS nờn SAC vuụng tại S AC x2 1 111 x Ta cú, 22 2SH SH SA SC x2 1 1 0,25 ABCD là hỡnh thoi  ACBDOBABAO22 3 x 2 2 11 1 + SACBDxxVxx .1.3322 2 0,25 ABCD 22 6 1 6 V cú giỏ trị lớn nhất là khi xxx 3 2 0,25 4 2 V Tỡm giỏ trị lớn nhất và nhỏ nhất 1,00 Ta cú: 6 P = (a + b + c)2 – a2 – b2 - c2 + bc + ca + (a + b + c)2 - 3 + abc 6 0,25 abc 6 Đặt t = a + b + c => t [ 3 ; 3]. Xột f(t) = t2 – 3 + , với t [ 3 ; 3]. t 6 Vỡ f’(t) > 0 , t [ 3 ; 3] => f(t) f( 3 ) = . 3 Dấu bằng xảy ra khi a =c = 0, b = 3 hoặc b =c = 0, a = 3 0,25
8. 6 Vậy Pmin = khi a =c = 0, b = 3 hoặc b =c = 0, a = 3 3 Ta cú: 6 P = (a + b + c)2 – a2 – b2 - c2 + bc + ca + abc ab22 2 c 2 6 (a + b + c)2 - 3 + + 2 abc 6 (a + b + c)2 - 1 + 0,25 abc 6 Đặt t = a + b + c => t [ 3 ; 3]. Xột g(t) = t2 – 1 + , với t [ 3 ; 3]. t Vỡ g’(t) > 0 ,  t [ 3 ; 3] => g(t) g(3) =10. Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 1. Vậy Pmax = 10 khi a = b = c = 1. 0,25 Chỳ ý: Nếu học sinh làm theo cỏch khỏc mà đỳng thỡ cho điểm tối đa.