Đề thi chọn HSG cấp tỉnh môn Toán 12 (Vòng 2) - Sở GD&ĐT Long An 2018-2019 (Có đáp án)

Nội dung tài liệu: Đề thi chọn HSG cấp tỉnh môn Toán 12 (Vòng 2) - Sở GD&ĐT Long An 2018-2019 (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THPT CẤP TỈNH VềNG 2 LONG AN NĂM HỌC: 2018-2019 Mụn thi: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Ngày thi: 20/9/2018 (Buổi thi thứ nhất) (Đề thi cú 01 trang, gồm 04 cõu) Thời gian: 180 phỳt (khụng kể thời gian phỏt đề) Cõu 1 (5,0 điểm): 2x y x y 1 Giải hệ phương trỡnh sau trờn tập số thực: . 2x y 4 x y 2 Cõu 2 (5,0 điểm): 4 2 Cho hàm số y x 2 mx 3 (m là tham số thực) cú đồ thị Cm . Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của m sao cho trờn đồ thị Cm tồn tại duy nhất một điểm mà tiếp tuyến của Cm tại điểm đú vuụng gúc với đường thẳng x 8 y 2018 0. Cõu 3 (5,0 điểm): Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhọn, khụng cõn và nội tiếp đường trũn O . Gọi H là chõn đường cao kẻ từ A và I là tõm đường trũn nội tiếp của tam giỏc ABC . Đường thẳng AI cắt đường trũn O tại điểm thứ hai M (M khỏc A). Gọi AA' là đường kớnh của O . Đường thẳng MA' cắt cỏc đường thẳng AH, BC theo thứ tự tại N và K . Chứng minh NIK 900 . Cõu 4 (5,0 điểm): Cho K là tập hợp cỏc số tự nhiờn cú bốn chữ số. Chọn ngẫu nhiờn một số từ K . Tớnh xỏc suất để số được chọn cú tổng cỏc chữ số là bội của 4. HẾT (Thớ sinh khụng được sử dụng tài liệu – Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm) Họ và tờn thớ sinh: Số bỏo danh: Cỏn bộ coi thi 1 (ký, ghi rừ họ và tờn) Cỏn bộ coi thi 2 (ký, ghi rừ họ và tờn)
2. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THPT CẤP TỈNH VềNG 2 LONG AN NĂM HỌC: 2018-2019 Mụn thi: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Ngày thi: 21/9/2018 (Buổi thi thứ hai) (Đề thi cú 01 trang, gồm 03 cõu) Thời gian: 180 phỳt (khụng kể thời gian phỏt đề) Cõu 5 (6,0 điểm): Cho hàm số f : thỏa f xf y f f x f y yf x f x f y , x, y . a) Chứng minh rằng: “Nếu tồn tại a sao cho f a 0 thỡ f là đơn ỏnh”. b) Tỡm tất cả cỏc hàm số f . Cõu 6 (7,0 điểm): u 2020 1 Cho dóy số ()u được xỏc định như sau: . n 2018n 2 un 1 ( u n 1),  n 1,2,3, 2019n 2 Chứng minh rằng dóy số đó cho cú giới hạn hữu hạn và tỡm giới hạn đú. Cõu 7 (7,0 điểm): Cú bao nhiờu số tự nhiờn cú 2018 chữ số, trong mỗi số đú cỏc chữ số đều lớn hơn 1 và khụng cú hai chữ số khỏc nhau cựng nhỏ hơn 7 đứng liền nhau? HẾT (Thớ sinh khụng được sử dụng tài liệu – Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm) Họ và tờn thớ sinh: Số bỏo danh: Cỏn bộ coi thi 1 (ký, ghi rừ họ và tờn) Cỏn bộ coi thi 2 (ký, ghi rừ họ và tờn)
3. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THPT CẤP TỈNH VềNG 2 LONG AN NĂM HỌC: 2018-2019 Mụn thi: TOÁN Ngày thi: 20/9/2018 (Buổi thi thứ nhất) Thời gian: 180 phỳt (khụng kể thời gian phỏt đề) HƯỚNG DẪN CHẤM Cỏch giải khỏc nếu đỳng thỡ giỏm khảo vẫn cho đủ số điểm. NỘI DUNG ĐIỂM Cõu 1 ( 5,0 điểm): 2x y x y 1 (1) Giải hệ phương trỡnh sau trờn tập số thực: . 2x y 4 x y 2 (2) 2x y 0 u 2 x y Điều kiện . Đặt (u , v 0) 0,5 4x y 0 v 4 x y 2 2 u v 2 x 2 x Ta cú: u 1,0 u v 2 2 2 x 2 x 3 Thay u vào (1), ta cú: x y 1 y x 1,0 2 2 2 3 7 1 Thay y x vào (1), ta cú: x x 1 14 x 2 x 1,0 2 2 2 x 2 x 9 77 x 9 77 1,0 x 9 77 3 27 3 77 y 9 77 . So điều kiện, hệ cú nghiệm 9 77; 0,5 2 2 Cõu 2 (5,0 điểm): 4 2 Cho hàm số y x 2 mx 3 (m là tham số thực) cú đồ thị Cm . Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của m sao cho trờn đồ thị Cm tồn tại duy nhất một điểm mà tiếp tuyến của Cm tại điểm đú vuụng gúc với đường thẳng x 8 y 2018 0. Tiếp tuyến cú hệ số gúc bằng 8 0,5 3 Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm thỡ x0 là nghiệm của phương trỡnh x mx 2 0 (1) 1,0 Để thỏa yờu cầu bài toỏn thỡ (1) cú nghiệm duy nhất. 1,0 Trang 1/ 3
4. Vỡ x 0 khụng là nghiệm của (1) nờn 2 (1) m x2 x 2 2 2x 3 2 Xột hàm số: f( x ) x2 ; f '( x ) 2 x 0,5 x x2 x 2 Bảng biến thiờn x 0 1 f'( x ) 0 1,0 3 f() x Từ bảng biến thiờn, (1) cú nghiệm duy nhất khi và chỉ khi m 3 . 1,0 Vậy m 3 thỏa yờu cầu bài toỏn. Cõu 3 (5,0 điểm): Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhọn, khụng cõn và nội tiếp đường trũn O . Gọi H là chõn đường cao kẻ từ A và I là tõm đường trũn nội tiếp của tam giỏc ABC . Đường thẳng AI cắt đường trũn O tại điểm thứ hai M (M khỏc A). Gọi AA ' là đường kớnh của O . Đường thẳng MA ' 0 cắt cỏc đường thẳng AH, BC theo thứ tự tại N và K . Chứng minh NIK 90 . 01 0 Ta cú OAC 90 AOC 90 ABC BAH mà AI là phõn giỏc gúc A nờn 2 1,0 HAI OAI . Suy ra tam giỏc ANA' cõn tại A. Gọi L là giao điểm của MA và BC. 0 Ta cú HKN 90 HNK HAM LAA ' . Suy ra, tứ giỏc ALA'K nội tiếp. 1,0 Do đú MA' MK ML MA MN MK ML MA. (1) Trang 2/ 3
5. Vỡ MAC MCB hay MAC MCL nờn hai tam giỏc MCL và MAC đồng dạng. 1,0 Suy ra ML. MA MC 2 . (2) Do IA, IC là cỏc tia phõn giỏc trong của tam giỏc ABC nờn ta cú: 1 1  1 1  MIC sủ AB sủMC và MCI sủ AB sủMB . 1,0 2 2 2 2 Do đú, MIC MCI nờn tam giỏc MIC cõn tại M . Suy ra,MI MC . (3) 2 0 Từ (1), (2), (3) suy ra MN. MK MI NIK 90 . 1,0 Cõu 4 (5,0 điểm): Cho K là tập hợp cỏc số tự nhiờn cú bốn chữ số. Chọn ngẫu nhiờn một số từ K . Tớnh xỏc suất để số được chọn cú tổng cỏc chữ số là bội của 4. Ta cú: K 9.103 9000. 0,5 Gọi A là tập hợp cỏc số tự nhiờn cú bốn chữ số mà tổng cỏc chữ số của nú chia hết cho 4. A abcd : a b c d  4. Xột b c d 4 k r 0 r 3 . Nếu r 0;1;2 thỡ mỗi giỏ trị của r sẽ cú hai giỏ 1,0 trị của a sao cho a b c d  4 (đú là a 4 r , a 8 r ). Nếu r 3 thỡ mỗi giỏ trị của r sẽ cú ba giỏ trị của a sao cho a b c d  4 (đú là a 1, a 5, a 9 ). Gọi Bbcd : 0 bcd , , 9, bcd 4 kr , 0 r 2, C bcd : 0 bcd , , 9, bcd 4 k 3. 1,0 Khi đú, ta cú: ABCBCCC 2 3 2 2.103 . Xột tập hợp C với c d 4 m n . Nếu n 0;1 thỡ mỗi giỏ trị của n sẽ cú hai giỏ trị của b sao cho b c d 4 k 3 . Nếu n 2; 3 thỡ mỗi giỏ trị của n sẽ cú ba giỏ trị của 1,0 b sao cho b c d 4 k 3 . Gọi D cd : 0 c , d 9, c d 4 m n , 0 n 1, E cd : 0 c , d 9, c d 4 m n , 2 n 3. 1,0 Khi đú, ta cú: CDEDEEE 2 3 2 2.102 , với E 25 24 49 . Suy ra: A 2.103 2.10 2 49 2249. Gọi biến cố X : “Số được chọn cú tổng cỏc chữ số là bội của 4”. Khi đú, xỏc suất của biến 2249 0,5 cố X là: PX . 9000 . HẾT . Trang 3/ 3
6. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THPT CẤP TỈNH VềNG 2 LONG AN NĂM HỌC: 2018-2019 Mụn thi: TOÁN Ngày thi: 21/9/2018 (Buổi thi thứ hai) Thời gian: 180 phỳt (khụng kể thời gian phỏt đề) HƯỚNG DẪN CHẤM Cỏch giải khỏc nếu đỳng thỡ giỏm khảo vẫn cho đủ số điểm. NỘI DUNG ĐIỂM Cõu 5 (6,0 điểm): Cho hàm số f : thỏa f xf y f f x f y yf x f x f y , với mọi x, y . a) Chứng minh rằng: “Nếu tồn tại a sao cho f a 0 thỡ f là đơn ỏnh”. b) Tỡm tất cả cỏc hàm số f . Lấy y1, y 2 sao cho f y1 f y 2 (1). Thế x bởi a và thế y lần lượt bởi y1, y 2 ta được: 1,0 f af y1 f f a f y 1 y 1 f a f a f y 1 (2) fafy 2 ffa fy 2 yfa 2 fa fy 2 (3) Từ (1), (2), (3) ta được: y f a y f a y y (vỡ f a 0 ). 1 2 1 2 1,0 Vậy f là một đơn ỏnh. TH1: Nếu f x 0 với mọi x . Thử lại ta thấy thỏa món. 1,0 TH2: Nếu tồn tại a sao cho f a 0 . Thế x 0, y 1 vào đề bài ta được: f 0 f f 0 f 1 f 0 f f 1 . 1,0 Vỡ f là đơn ỏnh nờn ta được: f 0 0 . Mặt khỏc, thế y 0 vào đề bài ta được: 1,0 f xf 0 f f x f 0 0. f x f x f 0 ,  x . Vỡ f 0 0 nờn f f x f x ,  x hay f x x,  x . 1,0 Vậy f x 0,  x hoặc f x x,  x . Cõu 6 (7,0 điểm): u 2020 1 Cho dóy số ()u được xỏc định như sau: . n 2018n 2 un 1 ( u n 1),  n 1,2,3, 2019n 2 Chứng minh rằng dóy số đó cho cú giới hạn hữu hạn và tỡm giới hạn đú. Trang 1/ 3
7. Ta cú: un 0,  n 1,2 0,5 (2018n 2)( u 1) (2019 n 2) u 2018 n 2 nu Xột hiệu: u u n n n 1,0 n 1 n 2019n 2 2019 n 2 Ta đi chứng minh: 2018n 2 nun 0 nu n 2018 n 2,  n 2,3,4, ( ) 0,5 Khi n 1, dễ thấy mệnh đề ( ) đỳng. Giả sử: kuk 2018 k 2,  k 2,3,4, 0,5 2018k 2 (k 1) u ( k 1) ( u 1) k 1 2019k 2 k 1,0 k 1 2018ku 2 u 2018 k 2 2019k 2 k k k 1 2018 k 2 2018(2018k 2) 2 2018 k 2 2019k 2 k 1,0 (k 1)(2018 k 2) 1 ( k 1)(2018 k 2) 2019 2 2019k 2 k k 2 2018k 2 2018 2018 k 2020,  k 2,3,4, 1,0 k Vậy un 1 u n,  n 2,3,4, 0,5 Mà ()un bị chặn dưới nờn dóy số đó cho cú giới hạn hữu hạn. Gọi L lim un . 2018 1,0 Ta cú: LLL ( 1) 2018 2019 Cõu 7 (7,0 điểm) Cú bao nhiờu số tự nhiờn cú 2018 chữ số, trong mỗi số đú cỏc chữ số đều lớn hơn 1 và khụng cú hai chữ số khỏc nhau cựng nhỏ hơn 7 đứng liền nhau? Xột trường hợp tổng quỏt với số tự nhiờn cú n chữ số, với n là số nguyờn dương. Gọi ABn, n lần lượt là tập cỏc số tự nhiờn cú n chữ số thỏa yờu cầu đề bài mà chữ số tận 0,5 cựng nhỏ hơn 7 và chữ số tận cựng lớn hơn 6. Lấy một phần tử a thuộc An , cú một cỏch thờm vào chữ số cuối cho a (thờm vào bờn phải chữ số cuối cựng của a ) để được một phần tử của An 1 và cú 3 cỏch thờm vào chữ số cuối 0,5 cho a để được một phần tử của Bn 1 . Lấy một phần tử b thuộc B , cú 5 cỏch thờm vào chữ số cuối cho b để được một phần tử n 0,5 của An 1 và cú 3 cỏch thờm vào chữ số cuối cho b để được một phần tử của Bn 1 . Trang 2/ 3
8. AAB 5 Ta cú: n 1 n n . 1,0 BAB 3 3 n 1 n n Khi đú: ABABABBn 1 n 1 4 n 8 n 4 n n 4 n . 1,0 4 An B n 4.3 A n 1 B n 1 4 A n B n 12 A n 1 B n 1 , n 2 1,0 với ABAB1 5, 1 3, 2 20, 2 24 Kớ hiệu xn A n B n , ta được: xn 2 4 x n 1 12 x n , trong đú x1 8, x 2 44 . 1,0 1 n Sử dụng sai phõn tuyến tớnh, ta được: x 5.6n 2 . 1,0 n 4 1 Áp dụng cho n 2018 , ta cú 5.62018 2 2018 số cần tỡm. 0,5 4 . HẾT . Trang 3/ 3