Đề thi chọn HSG cấp trường môn Toán 12 - Trường THPT Chu Văn An 2017-2018 (Có đáp án)

Nội dung tài liệu: Đề thi chọn HSG cấp trường môn Toán 12 - Trường THPT Chu Văn An 2017-2018 (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO GIA LAI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VềNG TRƯỜNG TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN MễN: TOÁN Thời gian: 180 phỳt 32 Cõu 1(4 điểm). Cho hàm số yx 32 x mx (m là tham số) cú đồ thị là (Cm). Xỏc định m để (Cm) cú cỏc điểm cực đại và cực tiểu cỏch đều đường thẳng y x 1. Cõu 2(4 điểm). ổử ỗ pữ 1)Giải phương trỡnh cosxx+=++ cos 3 1 2 sinỗ 2 xữ ốứỗ 4ữ 2)Giải phương trỡnh xxxx 42422 Cõu 3(4 điểm). 2 y 2 3y 2 1)Giải hệ phương trỡnh x 2 x 2 3x 2 y u 1 1 2)Cho dóy số (u ) xỏc định như sau 1 (1). Chứng minh dóy số (u ) cú n un  ,2 n n 3 u n 1 giới hạn hữu hạn khi n Cõu 4(2 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giỏc ABC cõn tại A , cú đỉnh A(1;4) và cỏc điểm B, C thuộc đường thẳng :40xy . Xỏc định tọa độ điểm B và C, biết diện tớch tam giỏc ABC bằng 18. Cõu 5(3 điểm). 0 2 4 2014 2013 1) Chứng minh rằng 3CCC2014 5 2014 7 2014 2017 C 2014 1010.2 . 2) Cho tập A 1; 2;3; 4;5; 6;7;8;9 . Lập ngẫu nhiờn một số cú 3 chữ số khỏc nhau với cỏc chữ số chọn từ tập A. Tớnh xỏc suất để số lập được chia hết cho 6. Cõu 6(3 điểm). Cho hỡnh chúp SABCD. , đỏy ABCD là hỡnh chữ nhật cú ABaBCb , , SA SB SC SD c . K là hỡnh chiếu vuụng gúc của P xuống AC . a/ Tớnh độ dài đoạn vuụng gúc chung của SA và BK . b/ Gọi M , N lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng AK và CD . Chứng minh: Cỏc đường thẳng BM và MN vuụng gúc nhau Hết (Giỏm thị coi thi khụng giải thớch gỡ thờm. Học sinh khụng được sử dụng tài liệu)
2. SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO GIA LAI ĐAP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN VềNG TRƯỜNG 2017 MễN: TOÁN Thời gian: 180 phỳt Cõ Nội dung Điể u m 1. Ta cú: yxxm'3 2 6 . Hàm số cú CĐ, CT yxxm'32 6 0 cú 2 nghiệm phõn biệt x ; x 12 '93 mm 0 3 (*) 1,0 Gọi hai điểm cực trị là ABx x12;;yy12 ; 11 2mm Thực hiện phộp chia y cho y ta được: yxy '22 x 33 3 3 22mm m m yyx11 22;xx 1 yy22 x 22 2 33 33 Phương trỡnh đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là 2mm 1,0 : yx 22 33 Cỏc điểm cực trị cỏch đều đường thẳng y x 1 xảy ra 1 trong 2 trường hợp: TH1: Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị song song hoặc trựng với đường thẳng y x 1 23m 1,0 21 m (thỏa món) 32 TH2: Trung điểm I của AB nằm trờn đường thẳng y x 1 y y x xm2 m 12 12 yIIx 11 22 xx12 22 xx 12 22 33 22mm 3.26 m 0 33 3 Vậy cỏc giỏ trị cần tỡm của m là: m 0; 1,0 2 2. 1) PT =++2 cos2xx cos 1 sin 2 x cos2 x -=+cos2xx (2 cos 1) 1 2 sin xx cos 0,5 -(cos22xxx sin )(2 cos -=+ 1) (cos xx sin ) 2 ộcosxx+= sin 0 (1) ờ ờ(cosxx =+ sin )(2 cos x 1) cos xx sin (2) ởờ ổử ỗ ppữ p 0,5 (1) 2 sinỗxxkxk +ữ = + 0 =pp =-+ ốứỗ 44ữ 4 ộ ộ p cosx = 0 ờxk=+p ờ ờ (2) = 2 cosxx (cos sin x 1) 0 ờ ổửp ờ 2 k ẻ ờ ỗ ữ pp () ờ 2cosỗx +=ữ 1 ờ ờ ốứỗ 4 ữ ờxk+= +2p ở ở 44 p p 0,5 Vậy pt cú nghiệm là xk=- + p , xkxkk=+pp,2 =() ẻ . 4 2
3. 2) Điều kiện 22x PT (x 2) (x 1) 4 x 2222 (x 2) (x 1) (4 x ) 1,0 2 xxxx(x 2)(x 2) 0 0, 2, 2 Thử lại điều kiện thỏa món 0,5 3 1) ĐK: xy 0 32(1)xy22 y Hệ . Trừ vế hai phương trỡnh ta được 22 32(2)yx x xy 0 1,0 33x2222 y xy y x 3()()()0 xy x y x y x y 30xy x y TH 1. x yyx0 thế vào (1) ta được 3201x32 xx y2 2 x2 2 TH 2. 30xyxy . Từ 30yy 2 , 30xx 2 x y 30xyxy . Do đú TH 2 khụng xảy ra. Vậy hệ phương trỡnh cú nghiệm duy nhất (1 ; 1) 1,0 35 2)Chứng minh bằng phương phỏp qui nạp được u với mọi n = 1,2, n 2 Chứng minh được dóy (u ) giảm n 0,5 35 Do đú (un ) tồn tại giới hạn. Giả sử limuan thỡ a n 2 0,5 135 Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) ta được aaaa 2 310 32 a 35 1,0 Vậy limun n 2 4. Gọi H là hỡnh chiếu của A trờn , suy ra H là trung điểm BC. 9 Khi đú: AH d(, A BC ) 2 1 SBCAHBC ABC .42 2 BC 2 97 AB AC AH 2 42 97 Suy ra B và C thuộc đường trũn tõm A và bỏn kớnh R 1,5 2 Do đú B và C là giao điểm của và đường trũn nờn tọa độ điểm B và C là 2297 (1)(xy 4) nghiệm của hệ: 2 xy 40 11 3 3 5 35 113 Giải được: BC ( ; ), ( ; ) hoặc BC ( ; ), ( ; ) 1,5 22 2 2 22 22 5. 024 2014 AC 32014 5 C 2014 7 C 2014 2017 C 2014 1) 2 4 2014 0 2 4 2014 2C2014 4 C 2014 2014 C 2014 3 CCC 2014 2014 2014 C 2014 0,5 0 2 4 2014 2013 Tớnh được CCC2014 2014 2014 C 2014 2 kk 1 Chứng minh kC2014  2014 C 2013 , k , n ,0 k n .
4. 2 4 2014 1 3 2013 2012 Suy ra, 2CC2014 4 2014 2014 C 2014 2014 CC 2013 2013 C 2013 2014.2 0,5 2012 2013 2013 Vậy A 2014.2 3.2 1010.2 . 0,5 2) - Số chia hết cho 6 là số chia hết cho 3 và số đú là số chẵn. - Số chia hết cho 3 là số aaa123cú tổng ba chữ số ()aaa123 chia hết cho 3. - Số chẵn là số chú chữ số tận cựng chia hết cho 2. Để lập được số cú 3 chữ số khỏc nhau từ tập A sao cho số đú chia hết cho 6 ta chia làm hai giai đoạn. 1/ chọn bộ ba chữ số khỏc nhau từ tạp A sao cho tổng 3 chữ số cộng lại chia hết cho 3 và trong ba chữ số đú cú ớt nhất 1 chữ số chẵn. 2/ Xếp mỗi bộ chọn được thành số cú 3 chữ số sao cho số tận cựng phảit là số chẵn. Để chọn và xếp khoa học ta nờn chia ra ba trường hợp nhỏ như sau: TH1: trong 3 chữ số chỉ cú một chữ số chẵn, gồm cú cỏc bộ số sau: 1; 2; 3 , 1; 2; 9, 1; 3; 8, 1; 4; 7 , 1; 5; 6 , 2;3; 7, 2; 7;9, 3; 4; 5 , 3; 6; 9 , 3; 7; 8, 4;5;9 , 5; 6; 7, 7;8;9 . Với trường hợp này: số cỏch chọn và xếp là: NC 1 *1*2*1 = 26 TH113 TH2: trong 3 chữ số chỉ cú hai chữ số chẵn, gồm cú cỏc bộ số sau: 1; 2; 6, 1; 6; 8 , 2;3; 4, 2; 4;9, 2;5;8 , 2;6;7 , 3; 4;8, 4;5; 6, 4;8;9 6; 7;8 Với trường hợp này số ccỏh chọn và xếp là: NC 1 *2*2*1 = 40 TH 210 0,5 TH3: trong 3 chữ số chọn được đề là chữ số chẵn, gồm cú cỏc bộ số sau: 2; 4; 6 , 4; 6;8 Với trường hợp này số ccỏh chọn và xếp là: NC 1 *3! = 12 TH 32 Số cỏch chọn số cú 3 chữ số khỏc nhau sao cho số đú chia hết cho 6 là: NNNTH123 TH TH = 78 0,5 3 Phộp thử: lập số cú 3 chữ số khỏc nhau từ A  nA 9 504 A: là biến cố lập được số cú ba chữ số khỏc nhau sao cho số đú chia hết cho 6. NA() N N N TH123 TH TH NA() 78 Xỏc suất của biến cố A: PA( ) 0.155 N( ) 504 0,5 6. _S _D _N _C _K _M _O _A _B
5. a) + Theo giả thiết ta được: SO  ABCD SAC ABCD . Mà BK SAC và B BK  AC BK SA . + Gọi H là hỡnh chiếu của K xuống SA HKSA và HK BK ( vỡ HKSAC ) HK là đoạn vuụng gúc chung của SA và BK . Suy ra được: BH SA và HBK vuụng tại K . 1,0 111 ab22 2 + Do ABC vuụng đỉnh A nờn: 222 BK 22. BK AB BC a b 2 2 a c.a SI.AB 4 + SAB cõn đỉnh S , BH là đường cao nờn HB SA c + Do HBK vuụng tại K nờn: 222 22 222(4c a )a a b HK HB BK 222 4c a b 2224 2 222 2 (4c a b )a a (4c a b ) HK HK 4c22 (a b 2 ) 2c (a 2 b 2 )    b) + 2BM BA BK ( vỡ M là trung điểm của AK ) 1,0     11     + MN MB BC CN (AB KB) BC BA 22  1   + MN KB BC . 2 + Do đú:       4BM.MN (BA BK).(KB 2BC)         = BA.KB 2BA.BC BK.KB 2BK.BC       = BA.KB BK.KB 2BK.BC      = KB.(BA BK 2.BC)      = KB.(BA BC BK BC)        = KB.(CA CK) KB.CA KB.CK 0 Vậy: BK MN . 1,0