Đề thi chọn HSG cấp trường môn Toán 12 - Trường THPT Trần Hưng Đạo 2017-2018 (Có đáp án)

Nội dung tài liệu: Đề thi chọn HSG cấp trường môn Toán 12 - Trường THPT Trần Hưng Đạo 2017-2018 (Có đáp án)

1. SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 CẤP TRƯỜNG TRƯỜNG THPT TRẦN HƯNG ĐẠO NĂM HỌC 2017 - 2018 MễN THI: TOÁN (Đề thi cú 01 trang) Thời gian: 180 phỳt, khụng kể thời gian giao đề Cõu 1 (2,5 điểm). a) Tỡm tất cả cỏc giỏ trị m để yxmxmx m 32 132 1 đồng biến trờn 2, 33 42 b) Cho hàm số yx 21 mxm Cm , với m là tham số thực. Xỏc định tất cả cỏc giỏ trị của m để hàm số Cm cú ba điểm cực trị đồng thời cỏc điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo thành một tam giỏc cú một gúc tự. Cõu 2 (2,0 điểm). a) Giải phương trỡnh 3sin2x 3 1 2cos2 x b) Cho A là tập hợp cỏc số tự nhiờn cú 6 chữ số đụi một khỏc nhau lập được từ cỏc chữ số 0, 2, 3, 5, 6, 8. Lấy ngẫu nhiờn một số thuộc tập A . Tớnh xỏc suất để số lấy được cú chữ số 0 và chữ số 5 khụng đứng cạnh nhau. ỡ 33 2 2 ùxy-+63145 x - y + xy -=- 9 Cõu 3 (1,5 điểm). Giải hệ phương trỡnh ớù (xy ,ẻ ) ù 2 ợù 121 xy = y Cõu 4 (1,5 điểm). Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho hỡnh chữ nhật ABCD cú A(5, 7) , điểm C thuộc đường thẳng cú phương trỡnh dxy1 :40 . Đường thẳng đi qua D và trung điểm của đoạn AB cú phương trỡnh dxy2 :3 4 23 0. Tỡm tọa độ của B và C , biết điểm B cú hoành độ dương. Cõu 5 (1,5 điểm). Cho hỡnh chúp SABCD. cú đỏy ABCD là hỡnh thoi cạnh a gúc BAD 600 , hỡnh chiếu vuụng gúc của S trờn mặt phẳng (ABCD) trựng với điểm G là trọng tõm tam giỏc BCD. Gúc giữa SA và mặt phẳng (ABCD) bằng 600 . Tớnh thể tớch khối chúp SABCD. và khoảng cỏch giữa hai đường thẳng DC và SA theo a. Cõu 6 (1,0 điểm). Cho cỏc số thực dương x,,yz. Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức: 12 S xyz222 1 xyz 111 Hết Thớ sinh khụng được sử dụng tài liệu. Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm. Họ và tờn thớ sinh: . . . .; Số bỏo danh: .
2. TRƯỜNG THPT TRẦN HƯNG ĐẠO ĐÁP ÁN KỲ THI CHỌN HSG CẤP TRƯỜNG (Đỏp ỏn cú 05 trang) NĂM HỌC 2017 - 2018 MễN THI: TOÁN KHỐI 12 I. LƯU í CHUNG: - Hướng dẫn chấm chỉ trỡnh bày một cỏch giải với những ý cơ bản phải cú. Khi chấm bài học sinh làm theo cỏch khỏc nếu đỳng và đủ ý thỡ vẫn cho điểm tối đa. - Điểm toàn bài tớnh đến 0,25 và khụng làm trũn. - Với bài hỡnh học khụng gian nếu thớ sinh khụng vẽ hỡnh phần nào thỡ khụng cho điểm tương ứng với phần đú. II. ĐÁP ÁN: Cõu í Nội dung trỡnh bày Điểm 1 a 1,25 Hàm số đồng biến / 2, ymx  2 213202 m x m x (1) 0,25 2 mx  12 26 x x 2 gx  26x m x 2 x 122 0,25 2 Ta cú: gx 263xx 0 xx 1 36; limgx 0 22 0,25 (23)xx xx 2 36x 0, 5 Từ BBT Maxgx g 2 2 . Vậy m 2 x 2 3 3 b 1,25 Tập xỏc định D Ta cú y '4 xmxxxm32 4 4 . Khi đú hàm số C cú 3 điểm cực trị khi và chỉ m 0,25 khi y'0 cú 3 nghiệm phõn biệt xm2 0 cú 2 nghiệm phõn biệt khỏc 0 m 0 Phương trỡnh y '0 xx 0, m. Giả sử 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số Cm 22 là A,,BC. Khi đú Am 0; 1 , B mmm ; 1 , Cmmm ; 1 . 0,25 1
3.   ABmmACmm ;;22 ; . Tam giỏc ABC cõn tại A, nờn nú sẽ cú gúc tự khi     0,5 900 AB ; AC cos AB ; AC 0   AB AC m m4   00101mm3 (Do m 0). mm 4 AB AC 0,25 Kết luận: 0 < m < 1. 2 a 1 Phương trỡnh tương đương: 3sin2x 3 1 1 cos2x . 0,25 133 cos 2xx sin 2 . 0,25 22 2 3 cos 2x . 0,25 32 xk 12 k xk 0,25 4 Vậy phương trỡnh cú nghiệm là x k hoặc xkk ( ) . 12 4 b 1 n()W=5.5! 0,25 Gọi số cần tỡm là aaaaaa123456 (trong đú cỏc ai ẻ {}0, 2,3,5,6,8 ). 0,25 TH1: 5 và 0 đứng cạnh nhau ở vị trớ aa12, cú 4! số. TH2: 5 và 0 đứng cạnh nhau ở vị trớ cũn lại cú 4.2!4! số. 0,25 Vậy xỏc suất để số lấy được cú chữ số 0 và chữ số 5 khụng đứng cạnh nhau là: 5.5!-+ (4! 4.2.4!) 16 0,25 P == 5.5! 25 3 1,5 Điều kiện: 11;02xy . Ta cú 0,5 (1) yyxx 133 2 1 2 2 2 2
4. Xột hàm số f ()tt 3 2, tta cú f '(tt )  32 2 0, t ft ( ) đồng biến trờn . 0,25 Vậy (1) f (yfxyx 1) ( 2) 1 Thế vào (2) ta được 11110 xxx2 (3) t 2 2 Đặt txxtx 11,01 2 2 0,5 2 t 2 2 tl 0( ) Khi đú 31020 ttt 2 t 2 Với txxxx 21 1 21 2 1 0 x 0 Với x 0 suy ra y 1. Vậy hệ cú nghiệm duy nhất 0,25 y 1 4 1,5 d2: 3x - 4y - 23 = 0 A(5; -7) B M I D N C d1: x - y + 4 = 0 Gọi Ccc ;4 d1 , M là trung điểm AB, I là giao điểm của AC và d2 0,5   cc 10 10 Ta cú AIM đồng dạng CID CI22 AI CI IA I ; 33 cc 10 10 Mà Id nờn ta cú: 3. 4. 23 0c 1 0,25 2 33 Vậy C(1;5). 323tt 39 Ta cú: Md 2 Mt ;25; Bt 42 0,25   35tt 319 AB 210; t , CB 26; t 22 t 1   1 0,5 Do AB. CB 0 4 t 5 t 3 3 t 5 3 t 19 0 29 4 t 5 3
5. B(3;3)( loai ) 33 21 33 21 B ; B ; 55 55 5 1,5 Gọi O là tõm của đỏy. Theo bài ra ta cú : S Gúc SAC 600 , 323 H AOaACaAGa 3, 23 B 0,5 Suy ra SG AG.tan600 2 a C G O E A D 113 Diện tớch hỡnh thoi ABCD SACBDaaa .3.2 ABCD 222 0,25 13 Vậy VSSGa . 3 S. ABCD33 ABCD Gọi E BG CD Ta cú CD// AB CD // mp ( SAB ) d ( CD , SA ) d ( CD ,( SAB )) 3 dE(,( SAB )) dG (,( SAB )) 0,5 2 Do tam giỏc BDC đều nờn BE  CD BE AB . Do đú khi kẻ GH SB, H SB Suy ra GH () SAB d (,()) G SAB GH 11131132a Trong tam giỏc vuụng SBG ta cú 222222 GH GH GB GS a44 a a 13 0,25 3a Vậy dCDSA(,) 13 6 1 Sử dụng BĐT cụ-si cho 3 số dương ta cú: 3 abc 3 abc 111 , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi abc 3 0,25 1 2 Mặt khỏc abc222 11 abc , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 4 abc 1 4
6. 254 Đặt txyz 11, ta cú Sft 3 0,25 t t 2 254 2 162 f ()tt ,  1, ft'( ) ; f '(tt ) 0 4 0,25 t t 2 3 t 2 t 2 4 1 1 Suy ra ff (4) . Vậy ta cú Sabc 1 0,25 max 4 max 4 Hết 5