Đề thi chọn HSG Lớp 12 môn Toán - Sở GD&ĐT Bắc Ninh 2018-2019 (Có đáp án)

Nội dung tài liệu: Đề thi chọn HSG Lớp 12 môn Toán - Sở GD&ĐT Bắc Ninh 2018-2019 (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 BẮC NINH NĂM HỌC 2018-2019 MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề x 2 y z 1 Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng : . Gọi M là giao 3 1 2 điểm của với mặt phẳng P : x 2y 3z 2 0 . Tọa độ của điểm M là: A. 5; 1; 3 . B. 1;1;1 . C. 2;0; 1 .D. 1;0;1 . 4 x2 Câu 2. Cho hàm số f x có đồ thị C . Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ x2 3x thị C là: A. 0 . B. 3 . C. 2 . D. 1. Câu 3. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình cos3x cos 2x 9sin x 4 0 trên khoảng 0;3 là: 25 11 A. . B. 6 . C. . D. 5 . 6 3 Câu 4. Cho a 1. Mệnh đề nào sau đây là đúng? 1 1 3 a2 1 1 A. . B. 1. C. a 3 a . D. a 3 . a2016 a2017 a a 5 1 1 Câu 5. Cho hàm số f x liên tục và có đạo hàm trên ; thỏa mãn 2 2 1 1 2 109 2 f x f 2 x 2 f x 3 x dx . Tính dx . 2 1 12 x 1 0 2 7 2 5 8 A. ln . B. ln . C. ln . D. ln . 9 9 9 9 2019 Câu 6. Tập xác định của hàm số y 4 3x x2 là: A. ¡ \ 4;1 . B.  4;1. C. ¡ . D. 4;1 . Câu 7. Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đôi một vuông góc với nhau. Kẻ OH vuông góc với mặt phẳng ABC tại H . Khẳng định nào sau đây sai? 1 1 1 1 A. . B. OA  BC . OH 2 OA2 OB2 OC 2 C. H là trực tâm tam giác ABC . D. AH  OBC . 2 Câu 8. Cho phương trình log2 x 2log2 x m log2 x m (*) . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc [ 2019;2019] để phương trình (*) có nghiệm? A. 2020. B. 2019. C. 2021. D. 4038.
2. Câu 9. Cho khối chóp S.ABC có SA 6 , SB 2 , SC 4 , AB 2 10 và S· BC 90, ·ASC 120 . Mặt phẳng P đi qua B và trung điểm N của SC và vuông góc với mặt phẳng SAC cắt V cạnh SA tại M . Tính tỉ số thể tích S.MBN . VS.ABC 2 1 2 1 A. . B. . C. .D. . 5 4 9 6 * Câu 10. Cho dãy số un thỏa mãn: u1 1,u2 11,u3 111, ,un 11 1 ( n chữ số 1, n ¥ ). Đặt Sn u1 u2 un . Giá trị của S2019 bằng 2012 1 10 10 10 2019 A. 2019 . B. 10 1 2019 . 9 9 9 2020 1 2019 1 10 10 C. 10 1 . D. 2019 . 9 9 9 r Câu 11. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các vectơ a 2;m 1;3 , b 1;3; 2n . Tìm m , r r n để các vectơ a , b cùng hướng. 4 A. m 7 ; n . B. m 1; n 0 . 3 3 C. m 7 ; n . D. m 4 ; n 3. 4 20 22 3 1 1 Câu 12. Cho T x x x 2 x 0 . Sau khi khai triển và rút gọn T x có bao nhiêu số x x hạng? A. 36 . B. 39 . C. 44 . D. 38 . Câu 13. Cho x , y là hai số thực dương khác 1 và ,  là hai số thực tùy ý. Mệnh đề nào sau đây SAI?  x x x x   A. . B. x .x x . C. x .y xy . D.  . y y y y Câu 14. Cho hàm số y ax3 cx d , a 0 có min f x f 2 . Giá trị lớn nhất của hàm số ;0 y f x trên đoạn 1;3 bằng A. d 2a . B. d 8a .C. d 16a . D. d 11a . Câu 15. Cho hàm số y m 3 x 2m 1 có đồ thị là đường thẳng d . Gọi S là tập các giá trị của tham số m để đường thẳng d cắt trục Ox , Oy lần lượt tại hai điểm A , B sao cho tam giác OAB cân. Số tập con của tập S là A. 3 . B. 2 . C. 6 . D. 4 . Câu 16. Cho lim x2 ax 5 x 5 . Khi đó giá trị a là x A. 10. B. 10 . C. 6 . D. 6 . x 1 Câu 17. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y và các trục tọa độ. Khi đó x 1 giá trị của S bằng
3. A. S ln 2 1.B. S 2ln 2 1.C. S 2ln 2 1. D. S ln 2 1. x2 y2 z2 6 Câu 18. Cho hệ phương trình xy yz zx 3 với x , y , z là ẩn số thực, m là tham số. Số giá trị 6 6 6 x y z m nguyên của m để hệ có nghiệm là A. 24 . B. 13. C. 12. D. 25 . Câu 19. Cho tứ diện ABCD có AB 6a ; CD 8a và các cạnh còn lại bằng a 74 . Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD . 100 A. S 96 a2 . B. S 100 a2 . C. S 25 a2 . D. S a2 . 3 Câu 20. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy ABC là tam giác vuông cân, AB AC a , AA h (a, h 0) . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AB và BC theo a, h . ah ah ah ah A. . B. . C. . D. . 5a2 h2 a2 5h2 a2 h2 2a2 h2 Câu 21. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm M (6;0;0) , N(0;6;0) , P(0;0;6) . Hai mặt 2 2 2 cầu có phương trình (S1) : x y z 2x 2y 1 0 và 2 2 2 (S2 ) : x y z 8x 2y 2z 1 0 cắt nhau theo đường tròn (C) . Hỏi có bao nhiêu mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng chứa (C) và tiếp xúc với ba đường thẳng MN , NP , PM ? A. 4. B. 3. C. 1. D. Vô số. Câu 22. Cho hai hàm số f x , g x có đạo hàm liên tục trên ¡ . Xét các mệnh đề sau 1) k. f x dx = k. f x dx với k là hằng số bất kì. 2) f x g x dx = f x dx + g x dx . 3) f x .g x dx= f x dx. g x dx . 4) f x g x dx + f x g x dx = f x .g x . Tổng số mệnh đề đúng là: A. 3. B. 4. C. 2. D. 1. Câu 23. Tập nghiệm của bất phương trình log x 1 log 2x 5 là 4 4 5 A. ;6 . B. ;6 . C. 6; . D. 1;6 . 2 Câu 24. Cho hàm số y f x là hàm đa thức bậc bốn và có đồ thị như hình vẽ. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y f x ; y f x có diện tích bằng
4. 127 107 13 127 A. . B. . C. . D. . 40 5 5 10 2x 1 Câu 25. Biết đường thẳng y x 2 cắt đồ thị hàm số y tại hai điểm phân biệt A và B có x 1 hoành độ xA , xB . Giá trị của biểu thức xA xB bằng: A. 2 . B. 5 . C. 1. D. 3 . Câu 26. Cho hình phẳng ( H ) được giới hạn bởi đường cong y m2 x2 ( m là tham số khác 0 ) và trục hoành. Khi ( H ) quay quanh trục hoành ta được khối tròn xoay có thể tích là V . Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để V 1000 . A. 19. B. 20. C. 18. D.21. Câu 27. Cho khối chóp S.ABC có SA SB SC a và ·ASB B· SC C· SA 30. Mặt phẳng bất kì qua A cắt SB , SC tại B , C . Tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi AB C . A. a 3 .B. a 2 .C. a .D. 2a . Câu 28. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho vectơ u 1;1; 2 , v 1;0;m . Tìm tất cả các giá trị của m để góc giữa hai vectơ u , v bằng 45. A. m 2 6 . B. m 2 6 . C. m 2 . D. m 2 6 . Câu 29. Cho hàm số y f x xác định và có đạo hàm trên ¡ thỏa mãn 2 3 f 1 2x x f 1 x , x ¡ . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x tại điểm có hoành độ bằng 1. 6 1 8 1 6 1 8 A. y x . B. y x . C. y x . D. y x . 7 7 7 7 7 7 7 Câu 30. Cho hình trụ có bán kính đáy r . Gọi O và O là tâm của hai đường tròn đáy với OO 2r . Một mặt cầu tiếp xúc với hai đáy của hình trụ tại O và O . Gọi Vc và Vr làn lượt là thể tích V của khối cầu và khối trụ. Khi đó c bằng Vt 2 3 1 3 A. . B. . C. . D. . 3 4 2 5 Câu 31. Xét hàm số f x x2 ax b với a , b là tham số. Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số trên 1;3 . Khi M nhận giá trị nhỏ nhất có thể được, tính a 2b . A. 4 . B. 4 . C. 3 . D. 2 .
5. Câu 32. Thiết diện qua trục của một hình nón là tam giác đều cạnh có độ dài 2a . Thể tích của khối nón là a3 3 a3 3 a3 3 a3 3 A. . B. . C. . D. . 3 12 2 6 Câu 33. Cho các hàm số f0 x , f1 x , f2 x , thỏa mãn: f0 x ln x ln x 2019 ln x 2019 , fn 1 x fn x 1,n ¥ . Số nghiệm của phương trình là A. 6063. B. 6059 . C. 6057 . D. 6058. 2 2 2 14 Câu 34. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu S : x 1 y 2 x 3 3 x 4 y 4 z 4 và đường thẳng d : . Gọi A x ; y ; z x 0 là điểm nằm trên đường 3 2 1 0 0 0 0 thẳng d sao cho từ A kẻ được ba tiếp tuyến đến mặt cầu S và các tiếp điểm B,C, D sao cho ABCD là tứ diện đều . Tính giá trị của P x0 y0 z0 . A. P 8 . B. P 6 . C. P 16. D. P 12. 3 2 Câu 35. Cho hàm số y x m 1 x x 2m 1 có đồ thị C ( m là tham số thực). Gọi m1 , m2 là các giá trị của m để đường thẳng d : y x m 1 cắt C tại ba điểm phân biết A , B , C sao cho tổng hệ số góc của các tiếp tuyến với C tại A , B , C bằng 19. Khi đó, m1 m2 bằng A. 4 . B. 0 . C. 2 . D. 2 . 4 ln sin x cos x a bc Câu 36. Biết dx ln 2 với a , b , c là các số nguyên. Khi đó, bằng 2 0 cos x b c a 8 8 A. . B. 6 . C. 6 . D. . 3 3 Câu 37. Một tổ học sinh có 7 nam và 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 người. Tính xác suất sao cho 2 người được chọn đều là nữ. 1 1 7 8 A. . B. . C. . D. . 5 15 15 15 Câu 38. Họ nguyên hàm của hàm số f x 2x 1 là 1 2 A. 2x 1 2x 1 C .B. 2x 1 2x 1 C . 3 3 1 1 C. 2x 1 2x 1 C . D. 2x 1 C . 3 2 1 Câu 39. Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số y x3 mx đồng biến trên 5x5 khoảng 0; . A. 12. B. 0 . C. 3 . D. 4 . Câu 40. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a , BC a 3 . Cạnh bên SA vuông góc với đáy và đường thẳng SC tạo với mặt phẳng SAB một góc 30 . Thể tích của khối chóp S.ABCD là
6. 3a3 2a3 2 6a3 A. 3a3 . B. . C. . D. . 3 3 3 Câu 41. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho mặt cầu S : x2 y2 z2 2x 2z 1 0 và x y 2 z đường thẳng d : . Hai mặt phẳng P , P chứa d và tiếp xúc với S tại T , 1 1 1 T . Tìm toạ độ trung điểm H của TT . 5 2 7 7 1 7 5 1 5 5 1 5 A. H ; ; . B. H ; ; . C. H ; ; . D. H ; ; . 6 3 6 6 3 6 6 3 6 6 3 6 Câu 42. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x4 2mx2 (2m 1) 0 có 4 nghiệm thực phân biệt là: 1 1 A. 1; . B. ; \ 1 . C. ; . D. ¡ . 2 2 Câu 43. Cho hàm số y f (x) có đạo hàm tại mọi x ¡ , hàm số y f (x) x3 ax2 bx c có đồ thị như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của hàm số y f f x là A. 8 . B. 11. C. 7 . D. 9 . 2 32x 34x 4 34x 7 32x 2 Câu 44. Bất phương trình 2x có bao nhiêu 2 32x 2 32x 3 4 34x 2 32x nghiệm? A. 3. B. 2. C. Vô số. D. 1. Câu 45. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng P :x y z 1 0 và hai điểm A 1; 1;2 , B 2;1;1 . Mặt phẳng Q chứa A , B và vuông góc với mặt phẳng P , mặt phẳng Q có phương trình là A. x y 0 . B. 3x 2y z 3 0 . C. 3x 2y z 3 0 . D. x y z 2 0 . Câu 46. Cho hàm số f x có đạo hàm f x x2 x 1 x2 2mx 5 . Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số f x có đúng một điểm cực trị? A. 6 . B. 5 . C. 0 . D. 7 . Câu 47. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A B C có độ dài cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h . Tính thể tích V của khối trụ ngoại tiếp lăng trụ đã cho. a2h a2h A. V . B. V 3 a2h . C. V . D. V a2h . 3 9
7. 2 4 f x Câu 48. Cho f x dx 2 , khi đó I dx bằng 1 1 x 1 A. 2 .B. 4 .C. 1. D. . 2 Câu 49. Mệnh đề nào dưới đây SAI? A. Hai khối hộp chữ nhật có diện tích toàn phần bằng nhau thì có thể tích bằng nhau. B. Hai khối chóp có diện tích đáy và chiều cao tương ứng bằng nhau thì có thể tích bằng nhau. C. Hai khối lập phương có diện tích toàn phần bằng nhau thì có thể tích bằng nhau. D. Hai khối lăng trụ có diện tích đáy và chiều cao tương ứng bằng nhau thì có thể tích bằng nhau. Câu 50. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có tiệm cận ngang? x3 1 3x2 2x 1 A. y . B. y . C. y x3 x 1. D. y 2x2 3 . x2 1 4x2 5  HẾT 
8. BẢNG ĐÁP ÁN 1.B 2.D 3.B 4.D 5.B 6.A 7.D 8.C 9.D 10.D 11.C 12.D 13.D 14.C 15.D 16.B 17.B 18.B 19.B 20.B 21.D 22.D 23.C 24.A 25.B 26.C 27.B 28.D 29.C 30.A 31.A 32.A 33.B 34. 35.D 36.D 37.B 38.C 39.D 40.D 41.C 42.B 43.C 44.D 45.C 46.A 47.A 48.B 49.A 50.B GIẢI CHI TIẾT ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH BẮC NINH Câu 1. Chọn B x 2 3t Phương trình tham số của đường thẳng là: y t z 1 2t Vì M thuộc nên M 2 3t ; t ; 1 2t Mặt khác M thuộc mặt phẳng P nên: 2 3t 2t 3 1 2t 2 0 t 1 Vậy điểm M 1;1;1 . Câu 2. Chọn D Tập xác định của hàm số là D  2;2 \ 0 nên đồ thị không có tiệm cận ngang. 4 x2 4 x2 Ta có lim f x lim 2 hoặc lim f x lim 2 nên x 0 là tiệm x 0 x 0 x 3x x 0 x 0 x 3x cận đứng. Vậy đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận đứng. Câu 3. Chọn B  cos3x cos 2x 9sin x 4 0 4cos3 x 3cos x 1 2sin2 x 9sin x 4 0 cos x 4cos2 x 3 2sin2 x 9sin x 5 0 cos x 4 1 sin2 x 3 2sin x 1 sin x 5 0 cos x 1 4sin2 x 2sin x 1 sin x 5 0 cos x 1 2sin x 1 2sin x 1 2sin x sin x 5 0 1 2sin x cos x 1 2sin x sin x 5 0 1 2sin x cos x 2sin x cos x sin x 5 0 1 2sin x 0 cos x 2sin x cos x sin x 5 0
9. x k2 1 6  Với 1 2sin x 0 sin x sin x sin k ¢ . 2 6 5 x k2 k2 6 6  Với cos x 2sin x cos x sin x 5 0 sin x cos x sin 2x 5 2 sin x sin 2x 5 4 2 sin x 2; 2 ,x 0;3 Ta có đánh giá sau 4 sin 2x 5  6; 4,x 0;3 Suy ra 2 sin x sin 2x 5,x 0;3 . 4 Vậy phương trình này vô nghiệm. 5 13 17   Trong khoảng 0;3 , phương trình có tập nghiệm: S ; ; ;  6 6 6 6  Suy ra tổng các nghiệm trong khoảng 0;3 của phương trình là 6 . Câu 4. Chọn D 1 Vì a 1 nên a 3 a 5 a 3 . a 5 Câu 5. Chọn B 1 2 3 1 2 3 x 2 109 Ta có 3 x dx 1 . 1 3 2 12 2 1 2 Do đó f 2 x 2 f x 3 x 3 x 2 dx 0 . 1 2 1 2 2 Hay f x 3 x dx 0 . 1 2 1 1 Suy ra f x 3 x x ; . 2 2 1 1 1 1 2 f x 2 3 x 2 1 2 2 2 Khi đó dx dx dx dx ln . 2 2 0 x 1 0 x 1 0 x 1 0 x 1 9 Câu 6. Chọn A 2 x 4 Điều kiện xác định: 4 3x x 0 x 1 Vậy tập xác định của hàm số là ¡ \ 4;1 .
10. Câu 7. Chọn D C N H O B M A Gọi M là giao của CH và AB . Gọi N là giao điểm của AH và CB . Ta có tam giác COM vuông tại O . AB  OH AB  COM . Suy ra OM là đường cao tam giác OBA. AB  OC 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Ta có . Mà nên . OH 2 OA2 OM 2 OM 2 OB2 OC 2 OH 2 OA2 OB2 OC 2 Do đó mệnh đề ở A. là đúng. OA  OB Ta có OA  BC . Do đó mệnh đề ở B. là đúng. OA  OC Theo chứng minh trên ta có CH  AB . Tương tự, ta có AH  BC . Suy ra H là trực tâm tam giác ABC . Do đó mệnh đề ở C. đúng. Vậy chọn đáp án D. Câu 8. Chọn C x 0 Điều kiện: . log2 x m 0 2 Phương trình log2 x 2log2 x m log2 x m (*) 2 log2 x log2 x m log2 x m log2 x 2 2 1 1 log2 x m log2 x 2 2 1 1 log2 x m log2 x 2 2 log2 x 1 m log2 x 1 1 1 log x m log x 2 log x m log x 2 2 2 2 2 2 a) Trường hợp (1): Điều kiện: log2 x 1. Khi đó 2 2 1 log2 x 1 m log2 x m log2 x 3log2 x 1. 2 Đặt t log2 x,t 1. Ta có: m f t t 3t 1,t 0 .
11. 3 f t 2t 3 nên f t 0 t . 2 Bảng biến thiên 3 t 1 2 f ' t 0 f t 1 5 4 5 Trường hợp này để có nghiệm thì m 1. 4 b) Trường hợp (2): Điều kiện log2 x 0 0 x 1. 2 Khi đó 2 m log2 x log2 x Đặt u log2 x,u 0 Phương trình (1) có dạng: m u2 u Xét hàm g(u) u2 u trên ;0  g (u) 2u 1 Ta có bảng biến thiên của hàm số g(u) u2 u trên ;0  Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra điều kiện để pt (1) có nghiệm trên ;0  là m 0 . Kết hợp điều kiện m nguyên thuộc [ 2019;2019] ta có m 1 hoặc 0 m 2019 . Vậy có 2021 giá trị m nguyên thỏa mãn. Đáp án đúng là đáp án C. Câu 9. Chọn D S M H N B A C
12. V SM SN 1 SM Ta có: S.MBN . k, k . Áp dụng định lí cosin ta có: VS.ABC SA SC 2 SA B· SC 60 , ·ASC 120 , ·ASB 90 .    a 6, b 2, c 4 Đặt SA a, SB b, SC c . a.b 0, b.c 4,c.a 12 Kẻ BH  MN BH  ASC . Khi đó        1 BH xBM 1 x BN x SM SB 1 x SN SB x ka b 1 x c b 2 1 x kx.a b .c 2 1   k BH.SA 0 36kx 6 1 x 0 3 Mặt khác, BH  ASC   . 12kx 4 8 1 x 0 1 BH.SC 0 x 3 V SM SN 1 1 1 Vậy S.MBN . . . VS.ABC SA SC 2 3 6 Câu 10. Chọn D Nhận xét: u1 1 10.0 1;u2 11 10.1 1 10.u1 1;u3 111 10.11 1 10.u2 1 un 1 11 1 10.un 1 1 10 1 un 1 10.un 10. un . 9 9 9 10 1 v1 10 Khi đó ta đặt: vn un ta được dãy số vn : 9 là CSN có số hạng đầu: v1 , 9 9 vn 1 10.vn công bội: q 10 qn 1 10 10n 1 Tổng n số hạng đầu của dãy v là: S u . . . n n 1 q 1 9 9 10 10n 1 1 1 10n 10 Suy ra tổng n số hạng đầu của dãy un là: Sn . n. . n 9 9 9 9 9 1 102020 10 Khi đó, S2019 . 2019 . 9 9 Cách 2: 2 2019 9S2019 9 99 99 9 (2019 chữ số 9) 10 1 10 1 10 1 1 102019 102020 10 10 102 102019 2019 10 2019 2019 . 1 10 9
13. 1 102020 10 Do đó, S2019 2019 . 9 9 Câu 11.Chọn C m 7 2 m 1 3 Hai vectơ a , b cùng hướng khi: 0 3 . 1 3 2n n 4 Câu 12. Chọn D 20 22 20 22 k 3 1 1 20 k 1 1 T x x x C k x3 . C k x22 k . 2  20 k  22 2 x x k 0 x k 0 x 20 22 k 60 4k k 22 3k C20 x C22 x T1 T2 k 0 k 0 Số các số hạng của T x chính là số các số mũ khác nhau của x . Trong T1 số mũ của x là các bội của 4 trong đoạn  20,60. Trong T2 dễ thấy số mũ của x là các số: 22;19;16;13;10;7;4;1; 2; 5; 8; 11; 14; 17; 20; Dễ thấy có 4 số mũ trùng nhau của T1 và T2 là 16;4; 8; 20 . Vậy số số hạng trong T x là 20 22 4 38. Chọn D. Câu 13. Chọn D Dễ thấy câu D. Câu 14. Chọn C c Ta có y 3ax2 c y 0 3ax2 c 0 x2 . 3a Do min f x f 2 nên phương trình y 0 có hai nghiệm phân biệt x1 2 ; x2 2 với ;0 c c a 0 , 0 và 2 c 12a . 3a 3a x1 là điểm cực tiểu của hàm số và x2 là điểm cực đại của hàm số. Khi đó max f x f 2 8a 2c d d 16a . 1;3 Câu 15. Chọn D +) Do đường thẳng d cắt trục Ox , Oy tại hai điểm A , B tạo thành một tam giác nên m 3 1 và m . Với điều kiện đó ta có 2 2m 1 +) d cắt trục Ox tại điểm A ;0 m 3 +) d cắt trục Oy tại điểm B 0; 2m 1 +) Tam giác OAB cân nên OA OB .
14. 2m 1 2m 1 0 +) OA OB 2m 1 m 3 m 3 1 1 +) 2m 1 0 m (loại) 2 m 3 1 m 4 +) m 3 1 m 3 1 m 2 Vậy S 2;4 nên số tập con của S là 4 . Cách 2: Để đường thẳng d cắt các trục Ox , Oy lần lượt tại A, B để tam giác OAB cân tại O (do tam giác OAB vuông tại O) thì nó song song với một trong hai đường phân giác của hệ trục tọa độ. m 3 1 m 2 . 2m 1 0 m 4 S 2;4 nên có 22 4 tập con. Câu 16. Chọn B Đặt t x , ta có 5 a at 5 a lim x2 ax 5 x lim t 2 at 5 t lim lim t x t t 2 t a 5 2 t at 5 t 1 1 t t 2 a Theo giả thiết lim x2 ax 5 x 5 5 a 10 . x 2 Câu 17. Chọn B x 1 - Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y và trục Ox : x 1 x 1 0 x 1 x 1 x 1 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y , trục Ox và trục Oy là: x 1 1 1 1 1 x 1 x 1 2 2 1 S dx = dx = 1 dx = 1 dx = 2ln x 1 x 0 0 x 1 0 x 1 0 x 1 0 x 1 = 2ln 2 1 Câu 18. Chọn B Sử dụng hẳng đẳng thức a3 b3 c3 3abc a b c a2 b2 c2 ab bc ca Ta có, x6 y6 z6 3 xyz 2 x2 y2 z2 x4 y4 z4 x2 y2 y2 z2 z2 x2 2 x6 y6 z6 3 xyz 2 x2 y2 z2 x2 y2 z2 3 x2 y2 y2 z2 z2 x2 m 3 xyz 2 6 36 3 xy yz zx 2 6xyz x y z 2 m 3 xyz 6 9 6xyz x y z 1
15. x2 y2 z2 6 x2 y2 z2 6 2 Ta có: xy yz zx 3 2xy 2yz 2zx 6 x y z 0 x y z 0 6 6 6 6 6 6 x y z m x y z m 2 m 54 Do đó từ 1 ta được xyz 3 x2 y2 z2 6 x y z 0 Như vậy xy yz zx 3 xy yz zx 3 2 6 6 6 x y z m 2 m 54 xyz 3 * Trường hợp 1: m 54 khi đó xyz 0 ta được x 0 hoặc y 0 hoặc z 0 y 3 y z 0 z 3 Với x 0 ta được yz 3 y 3 z 3 Hệ có nghiệm là 0; 3; 3 , 0; 3; 3 Các khả năng y 0 hoặc z 0 cũng tương tự như khả năng x 0 Tức là m 54 thỏa mãn yêu cầu bài toán. * Trường hợp 2: Xét nghiệm của hệ có dạng x; x; z với x z . Khi đó hệ 2 trở thành 2x z 0 z 2x z 2x 2 2 2 m 54 x 2xz 3 x 1 x 1 4 m 66 3 m 54 m 54 m 54 x4 z2 x4 z2 4x6 3 3 3 Các khả năng nghiệm của hệ có dạng z; x; x và x; z; x với x z cũng tương tự như khả năng x; x; z . Tức là m 66 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Dế nhận thấy hệ 2 không thể có nghiệm dạng x; x; x * Trường hợp 3: Nghiệm của hệ có dạng x; y; z với x y z x y z 0 m 54 Khi đó với m 54 hệ 2 trở thành xy yz zx 3 với k 3 m 54 xyz k 3 Áp dụng định lí đảo của định lí Vi-et với phương trình bậc 3 ta được x; y; z là 3 nghiệm của phương trình t3 3t k 0 t3 3t k 3 Xét hàm số f t t 3t , ta phải có fCT t k fCD t 2 k 2
16. m 54 Do đó 2 2 54 m 66 , vì m ¢ nên m 55;56; ;65 , có 11 số 3 Kết hợp các trường hợp trên ta được 13 số nguyên m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Cụ thể m 54;55; ;66 . Câu 19. Chọn B D N I A C M B Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB và CD ta có: DCA DBC AN BN Suy ra MN là trung trực của AB , tương tự MN là trung trực của DC Khi đó I MN sao cho ID IA Lại có AN AD2 DN 2 a 58 MN AN 2 AM 2 7a Mặt khác IM IN R2 AM 2 R2 DN 2 R2 9a2 R2 16a2 7a R 5 Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là S 100 a2 . Câu 20. Chọn B Gọi D là điểm đối xứng với C qua B BC // DB BC // (DB A) d(BC ; AB ) d(BC ;(DB A)) d(B;(DB A)) d Kẻ BH  AD và BE  B H d(BC ; AB ) d BE Xét ABD ta có: AB AC a; BC BD a 2; ·ABC 45 D· BA 135 ; AD a 5 1 1 a2 2.S a 5 S BD.AB.sin D· BA a 2.a.sin135 BH ABD ABD 2 2 2 AD 5
17. 1 1 1 1 5 ah Xét BB H vuông tại B , ta có 2 2 2 2 2 d d BB BH h a a2 5h2 Câu 21. Chọn D I M P O N Gọi ( ) là mặt phẳng chứa (C) và I là tâm mặt cầu cần tìm. Trừ theo vế hai phương trình mặt cầu ta được ( ) : 6x 4y 2z 0 3x 2y z 0 . Mặt cầu tiếp xúc với ba cạnh của tam giác MNP suy ra tâm mặt cầu thuộc đường thẳng vuông góc với MNP và đi qua tâm đường tròn nội tiếp hoặc bàng tiếp tam giác MNP . Dễ thấy ( )  MNP và ( ) qua J 2;2;2 là tâm đường tròn nội tiếp tam giác đều MNP nên I thuộc đường thẳng qua J và vuông góc MNP . Vậy có vô số mặt cầu thỏa yêu cầu bài toán. Câu 22. Chọn D Ta có mệnh đề đúng là mệnh đề số 2. Mệnh đề này đúng theo tính chất cơ bản của nguyên hàm. Mệnh đề số 1 sai khi k 0 . Mệnh đề số 3 sai về tính chất của nguyên hàm. Mệnh đề số 4 sai vì f x g x dx + f x g x dx = f x .g x C . Câu 23. Chọn C 5 Điều kiện: x . 2 Bất phương trình log x 1 log 2x 5 x 1 2x 5 x 6 . 4 4 Kết hợp điều kiện x 6; . Câu 24. Chọn A Đặt f x ax4 bx3 cx2 dx e , a,b,c,d,e ¡ ,a 0 . Khi đó f x 4ax3 3bx2 2cx d . Theo hình vẽ ta thấy đồ thị hàm số y f x đi qua các điểm 2;0 , 1;1 , 0;1 , 1;0 và f 1 0 nên ta có hệ:
18. 1 a 4 16a 8b 4c 2d e 0 1 b a b c d e 1 2 3 e 1 c a b c d e 0 4 d 1 4a 3b 2c d 0 e 1 Xét phương trình f x f x dễ thấy phương trình có ba nghiệm 2 ; 1; 1. Vậy hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của f x và f x là: 1 1 1 4 1 3 9 2 1 1 4 1 3 9 2 1 127 S x x x x 2 dx x x x x 2 dx . 2 4 2 4 2 1 4 2 4 2 40 Câu 25. Chọn B 2x 1 x 1 Phương trình hoành độ giao điểm: x 2 2 . x 1 2x 5x 1 0 1 Ta thấy 1 luôn có hai nghiệm phân biệt khác 1, áp dụng định lý Vi-et ta có xA xB 5. Câu 26. Chọn C 2 2 x m Xét phương trình hoành độ giao điểm: m x 0 x m TH1: m 0 m m 4 V ( m2 x2 )2 dx (m2 x2 )dx = m3 . m m 3 4 mà 0 V 1000 0 m3 1000 0 m 9,086 có 9 giá trị nguyên m . 3 TH2: m 0 m m 4 V ( m2 x2 )2 dx (m2 x2 )dx m3 . m m 3 4 mà 0 V 1000 0 m3 1000 0 m 9,086 có 9 giá trị nguyên m . 3 Vậy 18 giá trị nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán.
19. Câu 27. Chọn B Trãi các tam giác SAB , SBC , SCA trên một mặt phẳng như hình trên. Tam giác SAC trở thành tam giác SA C . Khi đó C AB B C C A AA a 2 . Dấu “=” xảy ra khi A , B , C , A thẳng hàng. Vậy chu vi tam giác AB C nhỏ nhất bằng a 2 . Câu 28. Chọn D 1 u.v 1 2m m Ta có: cos u ,v cos 45 2 m 2 6 . 2 u . v 6. 1 m 2 m 4m 2 0 Câu 29. Chọn C Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x tại điểm có hoành độ bằng 1 là y f 1 x 1 f 1 . 2 3 2 Ta có f 1 2x x f 1 x 4 f 1 2x . f 1 2x 1 3 f 1 x . f 1 x . Suy ra f 1 0 2 3 f 1 0 f 1 f 1 1 2 4 f 1 .f 1 1 3 f 1 . f 1 2 4 f 1 .f 1 1 3 f 1 . f 1 f 1 0 2 vn f 1 1 4 f 1 .f 1 1 3 f 1 . f 1 1 f 1 1 f 1 7 2 4 f 1 .f 1 1 3 f 1 . f 1 Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x tại điểm có hoành độ bằng 1 là 1 1 6 y x 1 1 hay y x . 7 7 7 Câu 30. Chọn A
20. 2 3 Ta có thể tích khối trụ là Vt .r .OO 2 r (1) 1 Mặt cầu tiếp xúc với hai đáy của hình trụ nên mặt cầu có bán kình R OO r , suy ra thể 2 4 4 tích khối cầu là V R3 r3 (2) c 3 3 4 r3 Vc 3 2 Từ (1) và (2) ta có 3 . Vt 2 r 3 Câu 31. Chọn A f ( 1) 1 a b ; f (0) b ; f (1) 1 a b 1 a b ; f (2) 4 2a b và f (3) 9 3a b Ta có: f (3) f ( 1) 2 f (1) (9 3a b) (1 a b) 2( 1 a b) 8 9 3a b 2 a 2 Vậy 4M 8 nên M min 2 xảy ra khi 1 a b 2 b 1 1 a b 2 Thử lại khi a 2;b 1, ta có f (x) x2 2x 1 trên đoạn  1;3 2 x 2x 1 khi x 1;1 2  1 2;3 f (x) x2 2x 1 khi x 1 2;1 2 2x 1 khi x 1;1 2  1 2;3 f (x) 2x 2 khi x 1 2;1 2 f '(x) 0 x 1 f ( 1) 2 ; f (1) 2 ; f (3) 2 ; f (1 2) 0 (thỏa M 2 ). Vậy a 2b 4 .
21. Cách 2: Chọn C Xét hàm số y = f (x)= x2 trên đoạn [- 1,3]. Trên đồ thị hàm số y = f (x)lấy hai điểm A(- 1,1), B(3,9). x + 1 y - 1 Phương trình đường thẳng AB là: = Û y = 2x + 3. 4 8 Gọi d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f (x) song song với AB . Giả sử tiếp điểm của tiếp tuyến d là M (a,a2 ). Ta có: 2a = 2 Û a = 1 (do d // AB ). Phương trình đường thẳng d là: y = 2(x - 1)+ 1 Û y = 2x - 1. Đường thẳng - ax - b là đường thẳng song song và cách đều hai đường thẳng d và AB , do đó: ïì - a = 2 ïì a = - 2 íï Û íï Û a + 2b = - 2 + 2.(- 1)= - 4 . îï - b = 1 îï b = - 1 Câu 32. Chọn A h R Gọi chiều cao và bán kính đáy của hình nón lần lượt là h và R . 3 2 2 2 Ta có h .2a a 3 và R 2a h2 2a a 3 a . 2 1 a3 3 Vậy thể tích của khối nón là V . R2.h . 3 3 Câu 33. Chọn B Xét hàm số f0 x ln x ln x 2019 ln x 2019 Đặt t ln x , ta có f0 x g t t t 2019 t 2019 t 4038 khi t 2019 g t t khi 2019 t 2019 t 4038 khi t 2019
22. fn 1 x fn x 1 1,x 0;n ¥ Có 3 trường hợp cần xét là - Nếu fn 1 x 1 fn x 1 1 fn x 0 . fn x 1 fn 1 x 0 - Nếu fn 1 x 0 fn x 1 0 fn x 1 . fn x 1 fn 1 x 2 - Nếu fn 1 x k 0 fn x k 1 Khi đó f2020 x 0 f2018 x 0;2 f2016 x 0;2;4 f2014 x 0;2;4;6 f2 x 0;2;4; ;2018 f1 x 1;1;3;5; ;2019 f0 x 0;2;4; ;2020 f0 x 0; 2; 4; ; 2020 Quan sát đồ thị ta thấy Mỗi phương trình f0 x 0; 2; 4; ; 2018 có 3 nghiệm. Mỗi phương trình f0 x 2020 có 1 nghiệm Vậy số nghiệm là: 2019.3 2 6059 . Câu 34. Chọn D 14 S có tâm I 1;2;3 bán kính R . 3 2 a 3 a 3 BN 3 Đặt AB a; BN . sin µA . 3 2 3 1 AB 3 BI BI Mặt khác sin µA AI 14 . 1 AI µ sin A1
23. Giả sử điểm A có tọa độ 4 3t;4 2t;4 t và do AI 14 nên ta có : 4 3t 1 2 4 2t 2 2 4 t 3 2 14 . t 1 2 1. t 0 . t 2 Kết hợp với điều kiện điểm A có hoành độ dương nên ta nhận t 0 A 4;4;4 . Chọn D. Câu 35. Chọn D Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị C và đường thẳng d là: x3 m 1 x2 x 2m 1 x m 1 1 3 2 2 x 1 x m 1 x m 0 x 1 x mx m 0 2 x mx m 0 Đồ thị C cắt d tại 3 điểm phân biệt A , B , C khi và chỉ khi phương trình 1 có 3 nghiệm phận biệt, khi đó phương trình x2 mx m 0 có hai nghiệm phân biệt khác 1. 1 m 1 1 Do đó 2 m ; 4  0;  ; * 2 2 2 m 4m 0 Không mất tính tổng quát, ta gọi A 1;m 2 , B x1 ; x1 m 1 , C x2 ; x2 m 1 2 Khi đó, x1 ; x2 là hai nghiệm của phương trình x mx m 0 . x1 x2 m Do đó x1x2 m
24. Hệ số góc của tiếp tuyến tại A, B,C với đồ thị C tương ứng là y 1 , y x1 , y x2 Với y 3x2 2 m 1 x 1 Theo giả thiết y 1 y x1 y x2 19, ta được 2 2 4 2 m 1 3x1 2 m 1 x1 1 3x2 2 m 1 x2 1 19 2 3 x1 x2 6x1x2 2 m 1 x1 x2 6 2 m 1 19 2 x1 x2 m Thay vào phương trình 2 ta được x1x2 m 2 2 m 5 3m 6m 2m m 1 2m 15 0 m 2m 15 0 (thỏa mãn điều kiện * ) m 3 Vậy m1 m2 2 . Câu 36. Chọn D Đặt: u ln sin x cos x cos x sin x du 1 sin x cos x dv 2 cos x v tan x 1 Ta có: 4 ln sin x cos x 4 cos x sin x dx tan x 1 .ln sin x cos x 4 tan x 1 dx 2 0 0 cos x 0 sin x cos x 4 sin x cos x tan x 1 .ln sin x cos x 4 dx 0 0 cos x 4 sin x cos x tan x 1 .ln sin x cos x 4 dx 0 0 cos x tan x 1 .ln sin x cos x 4 ln cos x x 4 0 0 2 3 2ln 2 ln 1.ln1 ln1 0 ln 2 . 2 4 2 4 bc 8 Do đó: a 3;b 2 ; c 4 , suy ra: . a 3 Câu 37. Chọn B 2 Số cách chọn 2 người từ 10 người là: C10 45 n  45 . Gọi A : “ 2 người được chọn đều là nữ”. 2 Số cách chọn 2 học sinh nữ từ 3 học sinh nữ là: C3 3 n A 3. n A 3 1 Vậy xác suất sao cho 2 người được chọn đều là nữ là: P A . n  45 15 Câu 38. Chọn C