Đề thi chọn HSG Lớp 12 THPT môn Toán - Sở GD&ĐT Đồng Nai 2018-2019 (Có đáp án)

Nội dung tài liệu: Đề thi chọn HSG Lớp 12 THPT môn Toán - Sở GD&ĐT Đồng Nai 2018-2019 (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 ĐỒNG NAI NĂM HỌC 2018-2019 MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Câu 1 (5 điểm). Cho hàm số y 2x3 3 m 3 x2 18mx 8, m là tham số. a) Tìm m để hàm số đã cho đồng biến trên ¡ . b) Tìm m để đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung. c) Tìm m để giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn  1;0 bằng 24 . Câu 2 (3,5 điểm). a) Giải phương trình 8.25x 8.10x 15.22x 1 0 . b) Giải phương trình 1 2sin 4x tan 2x 1. Câu 3 (3,5 điểm). Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với mặt phẳng BCD . Tam giác BCD là tam giác đều AB a , BC 2a . 1) Tính góc giữa hai mặt phẳng ABC và BCD . 2) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường AC và BD . Câu 4 (3,0 điểm). Trong một tiết học môn Toán, giáo viên mời ba học sinh A , B ,C thực hiện trò chơi như sau: Mỗi bạn A , B ,C chọn ngẫu nhiên một số nguyên khác 0 thuộc khoảng 6;6 và lần lượt thế vào ba tham số của hàm số y ax4 bx2 c , nếu đồ thị hàm số thu được có ba điểm cực trị đều nằm phía trên trục hoành thì được nhận thưởng. Tính xác suất để ba học sinh A , B ,C được nhận thưởng. 3 2 2 x x y y 2x 1 0 1 Câu 5 (2,5 điểm). Giải hệ phương trình 2 x x 2 3y 2 2y 2 Câu 6 (2,5 điểm). a b c 1) Cho ba số thực dương a,b,c . Tìm giá trị nhỏ nhất của P 2b 3c 2c 3a 2a 3b n 2) Chứng minh rằng C3n chia hết cho 3 với mọi n nguyên dương. Hết
2. LỜI GIẢI CHI TIẾT HSG 12 ĐỒNG NAI 2018-2019 Câu 1. a) Ta có y 6x2 6 m 3 x 18m . 2 2 Hàm số đồng biến trên ¡ khi y 0 9 m 3 108m 0 m 6m 9 0 m 3. b) Đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung khi y 0 có hai nghiệm trái dấu 6x2 6 m 3 x 18m 0 có hai nghiệm trái dấu m 0 . c) Tìm m để giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn  1;0 bằng 24 . x m 2 Ta thấy y ' 0 6x 6 m 3 x 18m 0 x 3  1;0 + Nếu m 3 hàm số đồng biến trên ¡ , nên hàm số đồng biến trên  1;0 , suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn  1;0 là y 1 66 24 , nên m 3 không thỏa mãn. x m + Nếu m 3 , khi đó y ' 0 x 3  1;0 *)TH1: m  1;0, ta tính được y 0 8, y 1 3 21m , min y min y 0 , y 1  .  1;0 Để giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn  1;0 bằng 24 thì m  1;0 m  1;0 y 1 24 3 21m 24 m 1. y 1 y 0 3 21m 8 *)TH2: m  1;0, từ bảng biến thiên của hàm số Suy ra min y min y 0 , y 1  .  1;0 Để giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn  1;0 bằng 24 (do y 0 8 24 ) thì
3. m  1;0 m  1;0 y 1 24 do đó, không tồn tại giá trị của m . m 1 y 1 y 0 Vậy m 1. Câu 2. x 5 5 2x x 5 5 2 2 a) 8.25x 8.10x 15.22x 1 0 8. 8. 30 0 x 1. x 2 2 5 3 2 2 Vậy x 1. b) Điều kiện x k k ¢ . Khi đó, 4 2 1 2sin 4x tan 2x 1 sin 2x 2sin 4x.sin 2x cos2x sin 2x cos2x cos6x cos2x . sin 2x cos6x cos 2x cos6x . 2 2x 6x k2 x k 2 16 4 k ¢ k ¢ . 2x 6x k2 x k 2 8 2 x k 16 4 Vậy phương trình có hai họ nghiệm k ¢ . x k 8 2 Câu 3 . A B E H D F C 1) Ta có AB  BCD mà AB  ABC ABC  BCD . Suy ra góc giữa hai mặt phẳng ABC và BCD là 900 . 2) Gọi E là trung điểm BD, dựng hình chữ nhật BFCE . Gọi H là hình chiếu của B trên AF . Ta có BD / / FC BD / / AFC . Suy ra d BD, AC d BD, AFC d B, AFC .
4. Mặt khác ta có: BH  AF 1 . CF  BF CF  ABF CF  BH 2 . CF  AB Từ (1) và (2) suy ra BH  ACF . Vậy BH d B, ACF d BD, AC . Xét tam giác vuông ABF ta có: AB.BF AB.BF AB.CE a.a 3 a 3 BH.AF AB.BF BH . AF AB2 BF 2 AB2 CE 2 a2 3a2 2 a 3 Vậy d BD, AC . 2 Câu 4. Số phần tử của không gian mẫu : n  103 . Hàm số có ba điểm cực trị ab 0 . x 0 3 2 Ta có : y ' 4ax 2bx 0 2x 2ax b 0 b . x 2a b b2 b b2 Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là A 0;c , B ; c ,C ; c . 2a 4a 2a 4a *)Trường hợp 1: Nếu a 0 thì A là điểm cực tiểu nên đồ thị hàm số có ba điểm cực trị đều nằm phía trên trục hoành a 0 a 0 a 5; 4; 3; 2; 1 b 0 b 0 b 1;2;3;4;5 có 5.5.5 125 (cách). y 0 c 0 A c 1;2;3;4;5 *)Trường hợp 2: Nếu a 0 thì B ,C là hai điểm cực tiểu nên đồ thị hàm số có ba điểm cực trị đều nằm phía trên trục hoành a 0 a 0 b 0 b 0 . y 0 B 2 b yC 0 c 4a Suy ra được c 0 và 4a 4;8;12;16;20 . Ta có các khả năng sau: b2 Với c 1 1, b 1 a 1;2;3;4;5 có 5 (cách). 4a b2 Với c 1 1, b 2 a 2;3;4;5 có 4 (cách). 4a
5. b2 Với c 1 1, b 3 a 3;4;5 có 3 (cách). 4a b2 Với c 1 1, b 4 a 5 có 1 (cách). 4a b2 Với c 2 2 , b 1 a 1;2;3;4;5 có 5 (cách). 4a b2 Với c 2 2 , b 2 a 1;2;3;4;5 có 5 (cách). 4a b2 Với c 2 2 , b 3 a 2;3;4;5 có 4 (cách). 4a b2 Với c 2 2 , b 4 a 3;4;5 có 3 (cách). 4a b2 Với c 2 2 , b 5 a 4;5 có 2 (cách). 4a b2 Với c 3 3 , b 1 a 1;2;3;4;5 có 5 (cách). 4a b2 Với c 3 3 , b 2 a 1;2;3;4;5 có 5 (cách). 4a b2 Với c 3 3 , b 3 a 1;2;3;4;5 có 5 (cách). 4a b2 Với c 3 3 , b 4 a 2;3;4;5 có (cách). 4a b2 Với c 3 3 , b 5 a 3;4;5 có 3 (cách). 4a b2 Với c 4 4 , b 1 a 1;2;3;4;5 có 5 (cách). 4a b2 Với c 4 4 , b 2 a 1;2;3;4;5 có 5 (cách). 4a b2 Với c 4 4 , b 3 a 1;2;3;4;5 có 5 (cách). 4a b2 Với c 4 4 , b 4 a 2;3;4;5 có 4 (cách). 4a b2 Với c 4 4 , b 5 a 2;3;4;5 có 4 (cách). 4a b2 Với c 5 5 , b 1 a 1;2;3;4;5 có 5 (cách). 4a b2 Với c 5 5 , b 2 a 1;2;3;4;5 có 5 (cách). 4a b2 Với c 5 5 , b 3 a 1;2;3;4;5 có 5 (cách). 4a
6. b2 Với c 5 5 , b 4 a 1;2;3;4;5 có 5 (cách). 4a b2 Với c 5 5 , b 5 a 2;3;4;5 có 4 (cách). 4a Trong trường hợp này có 101 (cách). Suy ra có tất cả 125 101 226 (cách). 226 113 Vậy xác suất là . 1000 500 Câu 5. 2 Điều kiện: x 0 , y . 3 1 x3 x2 y x2 x2 xy x xy x 1 y2 0 . x2 x y 1 x x y 1 x y 1 y 1 y 1 0 . x2 x y 1 x x y 1 y 1 x y 1 0 . x y 1 x2 x y 1 0 . x y 1 2 . x x y 1 0 +) Với x y 1 thay vào 2 ta được: y 1 y 3 3y 2 2y2 3y 2 y 1 2y2 y 3 0 . 3 5 y x 2y 3 2 2 2y 3 y 1 0 1 3y 2 y 1 y 1 * 3y 2 y 1 1 2 Phương trình * vô nghiệm vì 1 và y 1 1, y . 3y 2 y 1 3 5 3 Trường hợp này có nghiệm ; . 2 2 +) Với x2 x y 1 0 1 x x2 y , vì x 0 1 x x2 1 y 1. 2 Kết hợp với điều kiện ta được y 1. 3 2 3x2 3x 1 0 3 21 Ta có x2 x 1 y x2 x 1 1 0 x 0,3 2 3 x x 0 6 3 21 7 Xét vế trái của 2 : f x x x 2 với 0 x f x 2 . 6 4 2 Xét vế phải ta có f y 3y 2 2y2 với y 1. 3
7. 3 3 Ta có f y 4y 0 8y 3y 2 3 192y3 128y 9 0 y 2 3y 2 4 5 Suy ra 1 f y nên phương trình vô nghiệm. 8 5 3 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ; . 2 2 Câu 6. 1 a 6u 9v 4w 35 u 2b 3c 1 1) Đặt v 2c 3a b 4u 6v 9w . 35 w 2a 3b 1 c 9u 4v 6w 35 1 6u 9v 4w 4u 6v 9w 9u 4v 6w P 35 u v w 1 9v 4w 4u 9w 9u 4v 18 35 u u v v w w 1 4v 4u 4w 4v 4w 4u 5v 5w 5u 18 35 u v v w u w u v w 1 3 18 2 16 2 16 2 16 3 125 35 5 3 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là u v w a b c . 5 3n ! 1.2.3 3n 1 .3n 1.2.3 3n 1 3n 1 ! 2) Ta có C n 3. 3. 3C n 1 . 3n n!. 2n ! 1.2.3 n. 2n ! 1.2.3 n 1 . 2n ! n 1 !. 2n ! 3n 1 n Nên C3n chia hết cho 3 với mọi n nguyên dương.