Đề thi chọn HSG Lớp 12 THPT môn Toán - Sở GD&ĐT Lâm Đồng 2018-2019 (Có đáp án)

Nội dung tài liệu: Đề thi chọn HSG Lớp 12 THPT môn Toán - Sở GD&ĐT Lâm Đồng 2018-2019 (Có đáp án)

1. SỞ GD&ĐT LÂM ĐỒNG KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2018-2019 ĐỀ THI MễN: TOÁN HỌC ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phỳt, khụng kể thời gian phỏt đề. Đề thi gồm 02 trang Cõu 1. (2,0 điểm) Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của tham số m để hàm số y x3 3x2 3 m2 1 x 3m2 1 cú hai điểm cực trị x1; x2 thỏa món x1 4x2 0 . Cõu 2. (4,0 điểm) a) Cho a log5 6 và b log6 12 . Tớnh log3 60 theo a và b . x2 b) Giải phương trỡnh 1 x 1 x 2 . 4 Cõu 3. (2,0 điểm) A E F B Một biển quảng cỏo cú dạng hỡnh chữ nhật ABCD được sơn trang trớ như hỡnh bờn. Chi phớ để sơn phần tụ đậm là 250.000 đồng/ m2 và phần 4 cũn lại là 160.000 đồng/ m2 . Hỏi số tiền để sơn biển quảng cỏo theo cỏch trờn là bao nhiờu? D Biết AD 4m , CD 3m và AE EF FB . 3 C Cõu 4. (2,0 điểm) Trong khụng gian với hệ toạ độ Oxyz cho 3 điểm A(1;0;3), B( 3;1;3) ,C(1;5;1). Tỡm toạ độ điểm M thuộc mặt phẳng (Oxy)sao cho biểu thức cú giỏ trị nhỏ nhất. 2 2 2 3 k 2 k 2 2019 Cõu 5. (2,0 điểm) Tớnh tổng S 2 C2019 3 C2019 1 k C2019 2019 C2019 . Cõu 6. (2,0 điểm) a) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng cạnh a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của cỏc cạnh AB, AD và H là giao điểm của CN và DM . Biết SH vuụng gúc với mặt 2a phẳng (ABCD) và khoảng cỏch giữa hai đường thẳng DM và SC bằng . Tớnh theo a thể tớch 3 khối tứ diện SHMC. b) Cho hỡnh lăng trụ tam giỏc đều ABC.A' B 'C ' cú AB 2 3, AA' 3, Gọi M , N, P lần lượt là trung điểm cỏc cạnh A' B ', A'C ', và BC . Tớnh cụsin của gúc tạo bởi hai mặt phẳng AB 'C ' và MNP . Cõu 7. (2,0 điểm) Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của tham số m để hệ phương trỡnh ỡ + + = ù x y 4 2xy ớù ù 2x+ y = m x + y + x2 + x + y2 + y + 5 ợù ( ) cú nghiệm (x; y) thỏa món x ³ 1, y ³ 1. Cõu 8. (2,0 điểm) Cho x, y, z là cỏc số thực thỏa món x y z và x2 y2 z2 5 . Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức P x y y z z x xy yz zx .
2. HƯỚNG DẪN GIẢI Cõu 1. Ta cú y ' 3x2 6x 3 m2 1 . Để hàm số cú hai điểm cực trị thỡ y ' 0 cú hai nghiệm phõn biệt ' 0 32 3.3 m2 1 0 9m2 0 m 0 . (*) x1 x2 2 Áp dụng định lý Vi-et ta cú: 2 kết hợp điều kiện đề bài ta được hệ phương trỡnh x1x2 1 m 8 8 x x 1 3 1 3 x1 x2 2 2 2 2 5 x1x2 1 m x2 x2 m thỏa món (*) 3 3 3 x1 4x2 0 2 16 2 25 1 m m 9 9 5 Vậy m . 3 Cõu 2. (4.0 điểm) 2.1 Ta cú log5 6 a log5 6 a log6 2 b 1 . log 12 a.b log6 12 b 5 log5 2 a b 1 log5 60 1 log5 12 1 ab 1 ab log3 60 . log5 3 log5 6 log5 2 a a b 1 a 2 b 2.2 Điều kiện 1 x 1. t 2 2 Đặt t 1 x 1 x 1 x2 , với 0 t 2 . 2 Phương trỡnh theo t cú dạng 2 t 2 2 7 2 t t 2 2 t 2 4t 8 0 t 2 (nhận). 4 Với t 2 ta được 1 x 1 x 2 1 x2 1 x 0 . Vậy phương trỡnh cú nghiệm x 0 .
3. Cõu 3. (2,0 điểm) A E G F B H 4 D 3 I K C Gọi G , I lần lượt là trung điểm AB , CD . Gọi H là giao điểm của EC , DF và K là điểm thỏa FK  DC . Xột tam giỏc vuụng DFK và DHI cú HI FK HI 4 tan HDI HI 3 GH 1. DI DK 1,5 2 2 Ta cú SABCD AD.AB 4.3 12 m 1 1 2 S ADE S BCF DA.AE .4.1 2 m 2 2 1 1 2 S DHC HI.DC .3.3 4,5 m 2 2 1 1 2 S EHF GH.EF .1.1 0,5 m 2 2 2 2S EHD SABCD 2S ADE S DHC S EHF 3 m Vậy số tiền để sơn biển quảng cỏo là T 3.250000 9.160000 2190000 (đồng). Cõu 4. Gọi K là trung điểm của BC , ta cú : K( 1;3;2) và . Suy ra:
4. Nhận xột: A, K nằm cựng phớa so với mặt phẳng (Oxy). Gọi A' là điểm đối xứng của điểm A qua mặt phẳng (Oxy). Khi đú Suy ra T đạt GTNN đạt GTNN A', M, K thẳng hàng hay M là giao điểm của A' K với mặt phẳng (Oxy). Ta cú H(1;0;0) . Do đú phương trỡnh tham số của A' K là x 1 2t 1 9 y 3t M( ; ;0). 5 5 z 3 5t Cõu 5. 2 k k 2 k 1 * Trước hết ta chứng minh đẳng thức: k Cn n n 1 Cn 2 nCn 1 1 2 k n, k,n Ơ . 2 k k k Thật vậy: do k Cn k k 1 Cn kCn 2 . Mà: n! n 1 ! n 1 ! kC k k. n. n. nC k 1 3 n k!. n k ! k 1 !. n k ! k 1 !. n 1 k 1 ! n 1 k k 1 k 1 k 2 Áp dụng 3 hai lần ta được: k 1 .k.Cn k 1 .n.Cn 1 n. k 1 .Cn 1 n n 1 Cn 2 4 Từ 2 , 3 , 4 ta được 1 . Áp dụng 1 ta được: 2019 2019 k 2 k k k 2 k 1 S  1 .k .C2019  1 . 2019.2018.C2017 2019.C2018 k 2 k 2 2017 2018 k k k k 2018.2019. C2017 . 1 2019. C2018 . 1 k 0 k 1 2018.2019. 1 1 2017 2019. 1 1 2018 1 2019. Vậy S 2019 . Cõu 6. (4 điểm) a) S K B C M H A N D Theo giả thiết ABCD là hỡnh vuụng, suy ra ADM DNC (c.g.c) Từ đú suy ra ãADH Dã CN DM  CN
5. 2 2 2 2 2 a a 5 CD 2a DC.DN a Vậy cú: NC DC DN a ; HC ; HD ; 2 2 CN 5 NC 5 a 5 a 3a 5 1 1 2a 3a 5 3a2 HM MD HD và S HC.HM . . 2 5 10 HMC 2 2 5 10 10 Mặt khỏc, ta cú SH  (ABCD) SH  DM Theo chứng minh trờn DM  CN DM  (SCN). 2a Kẻ HK  SC thỡ HK là khoảng cỏch giữa hai đường thẳng DM và SC . Suy ra HK . 3 Tam giỏc SHC vuụng tại H, đường cao HK suy ra 1 1 1 1 1 1 1 SH a HK 2 SH 2 HC 2 SH 2 HK 2 HC 2 a2 1 1 3a2 a3 Vậy V S .SH . .a SHMC 3 HMC 3 10 10 b) Cỏch 1: 3 5 Gọi I,Q lần lượt là trung điểm của cỏc cạnh MN và B 'C ' , khi đú AQ 3 2, PI . Giả 2 sử PI  AQ G G AB 'C '  MNP . MN  MNP , B 'C '  AB 'C ' Hơn nữa nờn giao tuyến của hai mặt AB 'C ' và MNP là MN PB 'C ' đường thẳng đi qua G và song song với MN và B 'C ' . Ta cú B 'C '  AA'QP AG  , chứng minh tương tự PG  , do đú ã AB 'C ' , MNP ãAG , PG . Mặt khỏc IQPAP , theo định lý Ta-lột ta cú: GQ GI IQ 1 2 2 GA 2GQ AQ 2 2;GP 2GI PI 5. GA GP AP 2 3 3
6. 2 2 2 GA2 GP2 AP2 2 2 5 3 1 Xột tam giỏc AGP cú cosãAGP . 2GA.GP 2 2. 5 10 1 Vậy cos ã AB 'C ' , MNP 10 Cỏch 2. Gọi I,Q, X lần lượt là trung điểm của MN, B 'C ' và AA'. Ta cú AP PQ QA' A' A 3 và ãA' AP 90o nờn tứ giỏc APQA' là hỡnh vuụng. IPQ XQA' c g c IãPQ ãXQA' PI  QX 1 . Ta cú B 'C '  APQA' B 'C '  QX mà MN PB 'C ' MN  QX 2 Từ (1) và (2) suy ra QX  MNP , chứng minh tương tự ta cú A' P  AB 'C ' Do đú ã AB 'C ' , MNP ãA'P,QX . TP TQ PQ Ta cú XA PPQ , theo định lý Ta-lột cú 2 , từ đú ta được TP 2 2,QX 5 . TA TX XA Áp dụng định lý cosin cho tam giỏc PTQ ta cú 2 2 2 TP2 TQ2 PQ2 2 2 5 3 1 cosPã TQ 2TP.TQ 2 2. 5 10 1 Vậy cos ã AB 'C ' , MNP 10 Cỏch 3.
7. Gọi I,O, J lần lượt là trung điểm cỏc cạnh B 'C ', MN, AP . Ta cú MN PB 'C ' và A' I  B 'C ' MN  A' I . Đặt hỡnh lăng trụ tam giỏc đều ABC.A' B 'C 'trong hệ trục tọa độ Oxyz với gốc O 0;0;0 , chiều dương Ox trựng với tia ON , chiều dương Oy trựng với tia OI , chiều dương Oz trựng với tia OJ . Khi đú ta cú: 3 3 3 3 3 3 A 0; ;3 , B ' 3; ;0 ,C ' 3; ;0 , M ;0;0 , N ;0;0 , P 0; ;3 2 2 2 2 2 2 Gọi n1 và n2 lần lượt là cỏc vộc tơ phỏp tuyến của mặt phẳng AB 'C ' và MNP . Ta cú     n AB ', AC ' 0;1;1 ,n MN, MP 0; 2;1 1 2 ã 0 2 1 1 cos AB 'C ' , MNP cos n1;n2 02 12 12 . 02 2 2 12 10 1 Vậy cos ã AB 'C ' , MNP . 10 Cõu 7. ỡ ù x + y + 4 = 2xy (1) Xột hệ phương trỡnh ớù (với x, y ³ 1). ù 2x+ y = m x + y + x2 + x + y2 + y + 5 (2) ợù ( ) Từ (1) ta cú x + y = 2xy - 4 . Thế vào (2) ta được: 2x+ y = m(x + y + x2 + 2xy + y2 + 1)Û 2x+ y = m(x + y + (x + y)2 + 1) (*) (x + y)2 Đặt t = x + y ³ 2 và x + y + 4 = 2xy Ê ị x + y ³ 4 ị t ³ 4 . 2 Do x ³ 1, y ³ 1 nờn (x- 1)(y - 1)³ 0 ị xy - x- y + 1³ 0 ị xy ³ x + y - 1 t + 4 Suy ra ³ t - 1ị t Ê 6 . 2
8. Do đú (*)Û 2t = m(t + t 2 + 1)Û m = 2t ( t 2 + 1- t). Hệ đó cho cú nghiệm x ³ 1, y ³ 1 khi và chỉ khi phương trỡnh m = 2t ( t 2 + 1- t) cú nghiệm t ẻ [4;6]. ổ 1 ử Xột hàm số f (t)= 2t t 2 + 1- t , t ẻ [4;6], ta cú f Â(t)= 2t t 2 + 1- t ỗln 2- ữ. ( ) ( ) 2 ữ ốỗ t + 1ứữ 1 1 Do t 2 + 1 ³ t ³ t và t 2 + 1 ³ 17," t ẻ [4;6]ị ln 2- ³ ln 2- > 0 nờn t 2 + 1 17 f Â(t)> 0 với mọi t ẻ [4;6]. Suy ra f (t) là hàm đồng biến trờn [4;6]. Do đú để phương trỡnh (*) cú nghiệm thỡ f (4)Ê m Ê f (6)Û 16( 17 - 4)Ê m Ê 64( 37 - 6). Vậy 16( 17 - 4)Ê m Ê 64( 37 - 6) thỏa món yờu cầu bài toỏn. Cõu 8. (2,0 điểm) Cỏch 1: Đặt Q x y y z x z xy yz zx ta cú Q P . +) xy yz zx 0 ta cú Q 0 . +) xy yz zx 0 đặt t xy yz zx 0 . 2 3 x y y z x z Áp dụng BĐT Cụsi ta cú x y y z x z x z 1 2 4 2 2 2 Mà 4 x2 y2 z2 xy yz zx 2 x z 2 x y 2 y z 2 2 2 2 2 x z x y y z 3 x z hay 4 5 t 3 x z 0 2 t 5 3 1 4 2 3 2 3 Từ 1 và 2 suy ra Q t 5 t t 5 t . 4 5 9 Xột hàm số f t t 2 5 t 3 với t 0;5 t 2 2 Ta cú f t t 5 t 10 5t , f t 0 t 0 t 5 f 0 0, f 5 0, f 2 108 . Do đú Q 4 nờn GTLN của Q là 4 khi x 2, y 1, z 0 . Suy ra P 4 nờn GTNN của P là 4 khi x 2, y 1, z 0 . Cỏch 2: Đặt t xy yz zx x2 y2 z2 t 5.
9. Ta cú: 10 2x2 2y2 2z2 x y 2 y z 2 z x 2 2t x y 2 y z 2 z x 2 10 2t 2 2 2 2 1 2 2 3 2 z x 5 t Mà x y y z z x x y y z z x z x 2 2 4 3 2 2 4 2 x y y z x z 2 2 x z 5 t x y y z x y y z 2 4 16 3 2 2 2 2 2 2 5 t 20 4t 2 4 3 2 Ta cú: P x y y z z x . xy yz zx .t 5 t t 3 3 27 Xột hàm số suy ra P2 16 min P 4 tại t 2 khi x 2, y 1, z 0 .