Đề thi chọn HSG Lớp 12 THPT môn Toán - Sở GD&ĐT Thái Bình 2020-2021 (Có đáp án)

Nội dung tài liệu: Đề thi chọn HSG Lớp 12 THPT môn Toán - Sở GD&ĐT Thái Bình 2020-2021 (Có đáp án)

1. NHĨM TỐN VD – VDC SỞ GD&ĐT THÁI BÌNH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2020 – 2021 Mơn thi: TỐN NHĨM NHĨM TỐN VD Thời gian làm bài: 90 phút (khơng kể thời gian giao đề) Đề thi gồm 06 trang & 50 câu trắc nghiệm . Câu 1. Cho hình chĩp tam giác đều S. ABC cĩ cạnh đáy bằng a , mặt bên tạo với mặt đáy gĩc 30 . Thể tích khối chĩp S. ABC bằng – 3 3 3 3 a 3 a 3 a 3 a 3 VDC A. . B. . C. . D. . 48 24 36 72 Câu 2. Cĩ bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số yx 3 2 mx 1 2 2 mmxm 2 2 4 2 2 4 cĩ hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hồnh? A. 3 . B. 4 . C. 6 . D. 5 . Câu 3. Cho hàm số y x3 3 mx 1 1 ( m là tham số thực, m ;0 ). Gọi d là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số 1 . Đường thẳng d cắt đường trịn tâm I 1;0 bán kính R 3 tại hai điểm phân biệt A, B . Diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất là 9 A. 2 7. B. . C. 6. D. 14. 2 Câu 4. Cho hàm số y fx cĩ đạo hàm trên và thỏa mãn điều kiện f 2 xf 8 2 xx 3 . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y fx tại điểm cĩ hồnh độ x 4 . A. y 3 x 15. B. y 3 x 15. C. y 3 x 9 . D. y 3 x 9 . NHĨM TỐN NHĨM VD TỐN Câu 5. Cho cấp số cộng un cĩ u3 u 13 80 . Tổng 15 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đĩ bằng A. 600 . B. 630 . C. 800. D. 570. Câu 6. Để đủ tiền mua nhà, anh Ba vay ngân hàng 400 triệu đồng theo phương thức lãi kép với lãi suất 0,8% /tháng. Nếu sau mỗi tháng, kể từ ngày vay, anh Ba trả nợ cho ngân hàng số tiền cố định là 10 triệu đồng bao gồm cả lãi vay và tiền gốc. biết rằng lãi suất khơng thay đổi trong suốt quá trình anh Ba trả nợ. Hỏi sau bao nhiêu tháng thì anh Ba trả hết nợ ngân hàng? – A. 48 . B. 49 . C. 47 . D. 50 . VDC 2 2 c c Câu 7. Cho các số thực abc,, thoả mãn c b a 1và 6logab log b c log a 2log b 1. Đặt b b T logb c 2log a b . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. T 2;5 . B. T 3; 1 . C. T 5;10 . D. T 1;2 . Câu 8. Cho hàm số yx 33 mx 2 4 m 2 2 1 . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số 1 cĩ hai điểm cực trị A. 1m 1. B. m 1. C. m 1. D. m 0 . Câu 9. Cho phương trình 8xx m .22 1 2 m 2 1 .2 x mm 3 0 . Biết tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình trên cĩ ba nghiệm phân biệt là a; b . Tính a. b bằng? 2 3 4 3 A. a. b . B. a. b . C. a. b . D. a. b . 3 2 3 4 Trang 1
2. NHĨM TỐN VD – VDC Câu 10. Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để phương trình x3 3 xm 1 0 cĩ 3 nghiệm phân biệt, trong đĩ cĩ hai nghiệm dương? A. 1m 1 . B. 2m 1. C. 0 m 1. D. 1m 1. NHĨM TỐN VD Câu 11. Gọi A là tập hợp tất cả các số tự nhiên cĩ 5 chữ số. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập A . Tính xác suất để chọn được số chia hết cho 11 và chữ số hàng đơn vị là số nguyên tố. 2045 409 409 409 A. . B. . C. . D. . 13608 11250 90000 3402 2 10 1 2 3n Câu 12. Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển fx xx 1 x 2 thành đa thức, 4 3n 2 – với n là số tự nhiên thỏa mãn hệ thức An C n 14 n . VDC 9 10 5 10 6 10 5 10 10 A. 2 C19 . B. 2 C19 . C. 2 C19 . D. 2 C19 x . Câu 13. Cho hình nĩn cĩ gĩc ở đỉnh bằng 60 và diện tích xung quanh bằng 6 a2 . Tính thể tích V của khối nĩn đã cho. a3 2 3 a3 2 A. V a3 . B. V . C. V 3 a3 . D. V . 4 4 3x 2 Câu 14. Cho hàm số y . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 2x 3 trên đoạn  2;1  . Khi đĩ M m là 1 15 15 1 A. . B. . C. . D. . 7 7 7 7 2x 1 Câu 15. Cho hàm số y cĩ đồ thị C . Gọi M a; b là điểm trên C cĩ khoảng cách đến đường x 2 thẳng dy: 3 x 6 nhỏ nhất. Khẳng định nào sau đây đúng? A. a b 2. B. a b 2 . C. a b 2 . D. a b 2 . NHĨM TỐN NHĨM VD TỐN Câu 16. Cho lăng trụ tam giác ABCA.' B ' C ' cĩ đáy là tam giác đều cạnh a , độ dài cạnh bên bằng 4a . Mặt phẳng BCC' B ' vuơng gĩc với mặt đáy và B ' BC 30 . Thể tích khối chĩp ACC. ' B là: a3 3 a3 3 a3 3 a3 3 A. . B. . C. . D. . 12 6 2 3 Câu 17. Cho hình trụ cĩ bán kính đáy bằng R , chiều cao bằng h . Biết rằng hình trụ đĩ cĩ diện tích tồn phần gấp đơi diện tích xung quanh. Mệnh đề nào sau đây đúng ? – R VDC A. h R 2 . B. h . C. h 2 R . D. h R . 2 Câu 18. Cho hình chĩp S. ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a . Cạnh bên SA vuơng gĩc với mặt đáy và SA a . Gọi E là trung điểm cạnh CD . Mặt cầu đi qua bốn điểm S,,, ABE cĩ bán kính là: a 2 a 41 a 41 a 41 A. . B. . C. . D. . 16 16 8 24 1 Câu 19. Cho hàm số f x x3 ax 2 bx c a,, b c thỏa mãn điều kiện f 0 f 1 f 2 . 6 Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của c để hàm số gx ffx 2 2 nghịch biến trên khoảng 0;1 là A. 1 3 . B. 1. C. 3 . D. 1 3 . Trang 2
3. NHĨM TỐN VD – VDC Câu 20. Cho hình chĩp S. ABC cĩ đáy ABC là tam giác vuơng cân tại B,. BC a Biết SA a và SA vuơng gĩc với mặt phẳng đáy. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của A trên SB và SC . Thể tích khối chĩp S. AEF bằng NHĨM TỐN VD a3 a3 a3 a3 A. . B. . C. . D. . 18 24 36 12 2 2 Câu 21. Số nghiệm của phương trình 2xx 22 xx 3 là A. 3 . B. 1. C. 2 . D. 4 . 3 2 Câu 22. Cho hàm số y fx() ax bx cx dabcd (,,, ) cĩ bảng biến thiên như sau: – VDC Phương trình fx() mm ( ) cĩ bốn nghiệm phân biệt xx1,,, 2 xx 3 4 thỏa mãn điều kiện 1 xxx x khi: 1 2 32 4 1 1 A. m 1. B. 0 m 1. C. 0 m 1. D. m 1. 2 2 Câu 23. Tính tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m, m  50;50 sao cho bất phương trình 4 mx 2 xm 0 nghiệm đúng với mọi x . A. 1274 . B. 1200 . C. 1272 . D. 1224 . Câu 24. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số NHĨM VD TỐN ygx ( ) x4 4 xm 2 trên đoạn  2;1  bằng 2020 . Tính tổng các phần tử của S . A. 4 . B. 5. C. 2020 . D. 0 . Câu 25. Cĩ bao nhiêu giá trị nguyên dương của m sao cho đường thẳng y x m cắt đồ thị hàm số 2x 1 y tại hai điểm phân biệt A, B và AB 4 . x 1 – A. 2 . B. 0 . C. 3. D. 1. VDC 2 4x 3 x2 3 Câu 26. Tập xác định của hàm số y 2 là: 2x 3 x 1 4 1 4 A. D 1; . B. D 1;  0; . 3 2 3 1 4 1 4  C. D 1;  0; . D. D \ 1; ;0; . 2 3 2 3  Câu 27. Cho hàm số y ax3 bx 2 cx d cĩ đồ thị như hình dưới đây. Trong các giá trị a , b , c , d cĩ bao nhiêu giá trị dương? y O x Trang 3
4. NHĨM TỐN VD – VDC A. 4 . B. 1. C. 2 . D. 3. Câu 28. Một khối gạch hình lập phương (khơng thấm nước) cĩ cạnh bằng 2 được đặt vào trong một chiếc phễu hình nĩn đầy nước theo cách như sau: Một cạnh của viên gạch nằm trên mặt nước (nằm NHĨM NHĨM TỐN VD trên một đường kính của mặt đáy hình nĩn), các đỉnh cịn lại nằm trên mặt mặt nĩn, tâm của viên gạch nằm trên trục hình nĩn (như hình vẽ). Tính thể tích nước cịn lại trong phễu (làm trịn đến hai chữ số thập phân) – VDC A. V 22,10 . B. V 22,27 . C. V 20,64 . D. V 22,30 . Câu 29. Cho khối lăng trụ ABCD. A B C D cĩ thể tích bằng 12 , đáy ABCD là hình vuơng tâm O . Thể tích khối chĩp A . BCO bằng A. 3 . B. 1. C. 2. D. 4 . Câu 30. Cho hai số thực a, b thỏa mãn điều kiện 3a 4 b 0 . Tính tổng S a 2 b khi biểu thức 2 3 a 3 đạt giá trị nhỏ nhất P loga log 3 a a NHĨM VD TỐN 4b 16 4 b A. S 10 . B. S 11. C. S 12. D. S 8 . 2 Câu 31. Hàm số y log0,5 xx 2 đồng biến trên khoảng nào sau đây? A. 1; . B. 0;1 . C. ;1 . D. 1;2 . Câu 32. Cho hình chĩp S. ABC cĩ AB 5a, BC 6a, CA 7a . Các mặt bên SAB , SBC và SCA 0 cùng tạo với mặt phẳng đáy một gĩc 60 . Hình chiếu vuơng gĩc của S lên mặt phẳng ABC – thuộc miền trong tam giác ABC . Tính thể tích khối chĩp S. ABC . VDC 3 3 8a 3 a 3 A. 8a3 3 . B. 4a3 3 . C. . D. . 3 2 Câu 33. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số yx 42 m 1 xm 2 2020 đồng biến trên khoảng 3; 1 . A. m 10 . B. m 10 . C. m 10 . D. m 10 . Câu 34. Cho tập A cĩ 20 phần tử. Hỏi tập A cĩ bao nhiêu tập con khác rỗng mà cĩ số phần tử chẵn ? A. 219 B. 219 1 C. 220 1 D. 220 Câu 35. Cho lăng trụ tam giác ABC. A B C cĩ AB AC 2 a và BC 2 a 3 . Tam giác A BC vuơng cân tại A và nằm trong mặt phẳng vuơng gĩc với mặt đáy ABC . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AA và BC . Trang 4
5. NHĨM TỐN VD – VDC a 3 a 2 a 5 A. a 3 . B. . C. . D. . 2 2 2 Câu 36. Cho ba số dương abc,, khác 1. Đồ thị các hàm số y loga xy , log b xy , log c x như hình vẽ NHĨM TỐN VD dưới đây. Tìm khẳng định đúng: – VDC A. c b a . B. c a b . C. a c b . D. b a c . 1 x Câu 37. Cĩ bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số y cĩ đúng ba đường x2 4 xm tiệm cận? A. 9. B. 7. C. 10. D. 8. Câu 38. Hàm số y x4 4 x 3 2 đồng biến trên khoảng nào dưới đây ? A. 3; . B. 4; . C. ;4 . D. ;3 . Câu 39. Cho hình chĩp S. ABC cĩ SA SB SC AB AC a; BC a 2 . Gĩc giữa hai đường thẳng AB và SC bằng A. 90 . B. 30 . C. 60 . D. 45 . Câu 40. Cho lăng trụ đứng ABC. A B C cĩ đáy ABC là tam giác vuơng cân tại A, cạnh BC a 6 . Gĩc giữa mặt phẳng AB C và mặt phẳng BCC B bằng 60 . Tính thể tích khối đa diện AABCC . NHĨM VD TỐN a3 3 a3 3 3a3 3 A. a3 3 . B. . C. . D. . 2 3 2 2 2 9x 4 y 5 Câu 41. Cho hệ phương trình (tham số m ) cĩ nghiệm x; y thỏa logm 3xy 2 log3 3 xy 2 1 mãn 3x 2 y 5. Khi đĩ giá trị lớn nhất của m là: – VDC A. log5 3. B. log3 5 . C. 5. D. 4 . 3 a Câu 42. Cho khối chĩp S. ABC cĩ thể tích là . Tam giác SAB cĩ diện tích là 2a2 . Tính khoảng cách 3 từ C đến mặt phẳng SAB . a 2a A. d . B. d 2 a . C. a . D. d . 2 3 Câu 43. Cho hàm số fx 2 xx4 8 3 16 x 2 1 m (m là tham số). Biết rằng khi m thay đổi thì số điểm cực trị của hàm số cĩ thể là a hoặc b hoặc#c. Giá trị a b c bằng A. 12. B. 16. C. 15. D. 13. Câu 44. Ba chiếc bình hình trụ cùng chứa một lượng nước như nhau, độ cao mực nước trong bình II gấp đơi bình I và trong bình III gấp đơi bình II. Chọn nhận xét đúng về bán kính đáy rr1,, 2 r 3 của ba bình I, II, III. Trang 5
6. NHĨM TỐN VD – VDC 1 A. rr,, r theo thứ tự lập thành một cấp số nhân cơng bội . 1 2 3 2 B. rr1,, 2 r 3 theo thứ tự lập thành một cấp số nhân cơng bội 2 . NHĨM TỐN VD 1 C. rr,, r theo thứ tự lập thành một cấp số nhân cơng bội . 1 2 3 2 D. rr1,, 2 r 3 theo thứ tự lập thành một cấp số nhân cơng bội 2 . Câu 45. Với m là tham số thực dương khác 1. Hãy tìm tập nghiệm S của bất phương trình 2 2 logm 2xx 3 log m 3 xx . Biết rằng bất phương trình cĩ một nghiệm là x 1. – 1 A. S  1;0  ;3 . B. S  1;3  . VDC 3 1 C. S 1;0  ;3 . D. S 1;0  1;3. 3 Câu 46. Cho mặt cầu S tâm O . Các điểm ABC,, nằm trên mặt cầu S sao cho AB 3, AC 4, BC 5 và khoảng cách từ O đến mặt phẳng ABC bằng 1. Thể tích của khối cầu S bằng 20 5 29 29 13 3 7 21 A. . B. . C. . D. . 3 6 6 2 1 Câu 47. Cho hình chĩp S. ABCD cĩ đáy ABCD là hình thang vuơng tại A và B , AB BC AD a 2 . Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuơng gĩc với đáy. Thể tích của khối chĩp S. ACD bằng a3 2 a3 3 a3 3 a3 3 A. . B. . C. . D. . 6 3 6 4 NHĨM VD TỐN x 2 1 Câu 48. Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y là 2x 3 A. 1. B. 2 . C. 3. D. 4 . Câu 49. Cho tứ diện ABCD cĩ AB a, AC a 5, DAB CBD 900 , ABC 135 0 . Biết gĩc giữa hai mặt phẳng ABD và BCD bằng 300 . Thể tích khối tứ diện ABCD bằng. 3 3 3 3 a a a a – A. . B. . C. . D. . VDC 2 3 2 2 3 6 x x Câu 50. Tập nghiệm của bất phương trình 9 2 x 5 3 9 2 x 1 0 là S  ab;    c ; . Khi đĩ a b c bằng: A. 4 . B. 1. C. 5 . D. 3 . ___ HẾT ___ Trang 6
7. NHĨM TỐN VD – VDC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2020 – 2021 Mơn thi: TỐN NHĨM TỐN VD Thời gian làm bài: 90 phút (khơng kể thời gian giao đề) Đề thi gồm 06 trang & 50 câu trắc nghiệm BẢNG ĐÁP ÁN 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 – D A D A A B D D A A B B C D B B D C B C C A D A D VDC 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 B C B B D D A D B B B A D C A C D C C A B C C D D PHẦN LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1. Cho hình chĩp tam giác đều S. ABC cĩ cạnh đáy bằng a , mặt bên tạo với mặt đáy gĩc 30 . Thể tích khối chĩp S. ABC bằng a3 3 a3 3 a3 3 a3 3 A. . B. . C. . D. . 48 24 36 72 Lời giải Chọn D S NHĨM TỐN NHĨM VD TỐN A C O M B – Gĩc giữa mặt bên ( SBC ) và đáy ABC bằng gĩc SMO 30  . VDC a 3 Ta cĩ OM . 6 a Tam giác SOM vuơng tại O nên SO OM.tan 30  . 6 a2 3 S ABC 4 1a2 3 a a 3 3 V . SABC 3 4 6 72 Câu 2. Cĩ bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số yx 3 2 mx 1 2 2 mmxm 2 2 4 2 2 4 cĩ hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hồnh? A. 3 . B. 4 . C. 6 . D. 5 . Trang 7
8. NHĨM TỐN VD – VDC Lời giải Chọn A Đồ thị hàm số cĩ hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hồnh NHĨM NHĨM TỐN VD x3 2 mx 1 2 2 mmxm 2 2 4 2 2 4 0 cĩ 3 nghiệm phân biệt x1 x2 2 mx 2 m 2 4 0 cĩ 3 nghiệm phân biệt x22 mx 2 m 2 4 0 cĩ 2 nghiệm phân biệt đều khác 1 2 2 2 2m 2 m 2 m 4 0 4 m 0 1 7 mà m m 1;0;1  2 2m2 2 m 3 0 m – 1 2m 2 m 4 0 2 VDC Câu 3. Cho hàm số y x3 3 mx 1 1 ( m là tham số thực, m ;0 ). Gọi d là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số 1 . Đường thẳng d cắt đường trịn tâm I 1;0 bán kính R 3 tại hai điểm phân biệt A, B . Diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất là 9 A. 2 7. B. . C. 6. D. 14. 2 Lời giải Chọn D y A d H 1M B -4-1 I O 2 x NHĨM TỐN NHĨM VD TỐN Tập xác định: x 0 y 1 y 3 x2 3 m 0 3 2 xmym 3 m 1 Với m ;0 thì đồ thị hàm số 1 luơn cĩ hai điểm cực trị. – VDC + Gọi M xy; là điểm cố định của đường thẳng d . Khi đĩ phương trình m2 3 xy 1 0 nghiệm đúng với mọi m mxxy2 3 1 0,  m x 0 x 0 d luơn luơn đi qua điểm M 1;0 3xy 1 0 y 1 Gọi H là trung điểm AB IH  AB 1 S . IH . AB IH . AH IH 9 IH 2 . IAB 2 Ta thấy IH IM2 S IAB 14 max S IAB 14 . Chọn đáp án D. Trang 8
9. NHĨM TỐN VD – VDC Câu 4. Cho hàm số y fx cĩ đạo hàm trên và thỏa mãn điều kiện f 2 xf 8 2 xx 3 . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y fx tại điểm cĩ hồnh độ x 4 . NHĨM NHĨM TỐN VD A. y 3 x 15. B. y 3 x 15. C. y 3 x 9 . D. y 3 x 9 . Lời giải Chọn A Vì f 2 xf 8 2 xx 3 (1) nên f' 2 xf 2 ' 8 2 x 3 (2). Thay x 2 vào 1 ; 2 ta được ff4 4 6 f 4 3 – ff' 4 2 ' 4 3 f ' 4 3 VDC Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y fx tại điểm cĩ hồnh độ x 4 là yfxf '4. 4 4 3 x 43315 x . Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y fx tại điểm cĩ hồnh độ x 4 là y 3 x 15. Câu 5. Cho cấp số cộng un cĩ u3 u 13 80 . Tổng 15 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đĩ bằng A. 600 . B. 630 . C. 800. D. 570. Lời giải Chọn A Gọi cơng sai của cấp số cộng un là d . 2u 14 d .15 Tổng 15 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đĩ bằng S 1 15 u 7 d . 152 1 u3 u 1380 u 1 2 d u 1 12 d 80 u 1 7 d 40. NHĨM TỐN NHĨM VD TỐN Vậy S15 15.40 600. Câu 6. Để đủ tiền mua nhà, anh Ba vay ngân hàng 400 triệu đồng theo phương thức lãi kép với lãi suất 0,8% /tháng. Nếu sau mỗi tháng, kể từ ngày vay, anh Ba trả nợ cho ngân hàng số tiền cố định là 10 triệu đồng bao gồm cả lãi vay và tiền gốc. biết rằng lãi suất khơng thay đổi trong suốt quá trình anh Ba trả nợ. Hỏi sau bao nhiêu tháng thì anh Ba trả hết nợ ngân hàng? A. 48 . B. 49 . C. 47 . D. 50 . Lời giải – Chọn B VDC Số tiền cịn nợ sau 1 tháng là T1 400. 1 0,8% 10 . 2 Số tiền cịn nợ sau 2 tháng là T2 400. 1 0,8% 10 1 0,8% 10 . Số tiền cịn nợ sau n tháng là n n 1 Tn 400. 1 0,8% 10 1 0,8% 10 400 1 0,8%n 10. 1 1 0,8% 1 0,8% n 1 n n 1 0,8% 1 n 400 1 0,8% 10 850 1 0,8% 1250 0,8% n 25 T 0 1 0,8% n 48,4 . n 17 Vậy sau 49 tháng thì anh Ba trả hết nợ. Trang 9
10. NHĨM TỐN VD – VDC c c Câu 7. Cho các số thực abc,, thoả mãn c b a 1và 6log2b log 2 c log 2log 1. Đặt a b ab b b T logb c 2log a b . Mệnh đề nào sau đây đúng? NHĨM TỐN VD A. T 2;5 . B.T 3; 1 . C. T 5;10 . D.T 1;2 . Lời giải Chọn D Đặt x loga by ; log b cxy log a c . Khi đĩ 2 2c c 2 2 6logab log b c log a 2log b 1 6 xyxyxy 2 1 1 b b – VDC Và T logb c 2log a byx 2 . 2 2 1 y 3 x Ta cĩ 1 6xyxy 1 1 0 Tyx 2 1. 1 y 2 x Câu 8. Cho hàm số yx 33 mx 2 4 m 2 2 1 . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số 1 cĩ hai điểm cực trị A. 1m 1. B. m 1. C. m 1. D. m 0 . Lời giải Chọn D Ta cĩ y' 3 x2 6 mx . Hàm số (1) cĩ hai điểm cực trị y ' 0 cĩ hai nghiệm phân biệt 9m2 0 m 0 . Câu 9. Cho phương trình 8xx m .22 1 2 m 2 1 .2 x mm 3 0 . Biết tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình trên cĩ ba nghiệm phân biệt là a; b . Tính a. b bằng? 2 3 4 3 A. a. b . B. a. b . C. a. b . D. a. b . 3 2 3 4 NHĨM VD TỐN Lời giải Chọn A Phương trình 8xx m .22 1 2 m 2 1 .2 x mm 3 0 8xx 2m .22 2 m 2 1 .2 x mm 3 0 (1). Đặt t 2x điều kiện t 0. 3 2 2 3 – Khi đĩ phương (1) trở thành t 2 mt 2 m 1 tmm 0 . VDC t m 2 2 t mt mt m 1 0 2 2 . t mt m 1 0 * Để phương trình (1) cĩ ba nghiệm phân biệt m 0 và phương trình (*) cĩ hai nghiệm dương phân biệt khác m m2 4 m 2 4 0 m2 1 0 2 2 2 1m m 1; a . b . m 0 3 3 3 2 m 1 0 Câu 10. Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để phương trình x3 3 xm 1 0 cĩ 3 nghiệm phân biệt, trong đĩ cĩ hai nghiệm dương? A. 1m 1 . B. 2m 1. C. 0 m 1. D. 1m 1. Lời giải Trang 10
11. NHĨM TỐN VD – VDC Chọn A Ta cĩ: xxm3 3 1 0 xx 3 3 1 m . 3 Số nghiệm phương trình đã cho chính là số giao điểm của đồ thị hàm số yx 3 x 1 và đường NHĨM TỐN VD thẳng y m . Yêu cầu bài tốn tương đương đồ thị hàm số yx 3 3 x 1 cắt đường thẳng y m tại ba điểm phân biệt trong đĩ cĩ hai điểm cĩ hồnh độ dương. Bảng biến thiên của hàm số yx 3 3 x 1. – VDC Từ bảng biến thiên ta suy ra giá trị của tham số m thỏa mãn là 1m 1 . Câu 11. Gọi A là tập hợp tất cả các số tự nhiên cĩ 5 chữ số. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập A . Tính xác suất để chọn được số chia hết cho 11 và chữ số hàng đơn vị là số nguyên tố. 2045 409 409 409 A. . B. . C. . D. . 13608 11250 90000 3402 Lời giải Chọn B Gọi số cần tìm cĩ dạng abcde 11 k , k . Số cách chọn số cĩ 5 chữ số từ tập số tự nhiên là : n  9.104 . Gọi X là biến cố : ‘‘Chọn được số chia hết cho 11 và chữ số hàng đơn vị là số nguyên tố ’’. Do chữ số tận cùng là số nguyên tố nên e 2;3;5;7  . Suy ra k cĩ tận cùng là 2;3;5;7 . NHĨM VD TỐN Ta cĩ số cần tìm cĩ 5 chữ số nên 10010 11k 99990 910 k 9090. Xét các bộ số 910;911; ;919 ; 920;921; ;929 ; 9080;9081; ;9089 . 9090 910 Số các bộ là 818 bộ. 10 Mỗi bộ số sẽ cĩ 4 số k thỏa mãn. Do đĩ, n X 818.4 3272 . – 3272 409 Xác suất của biến cố X là P X . VDC 9.104 11250 2 10 1 2 3n Câu 12. Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển fx xx 1 x 2 thành đa thức, 4 3n 2 với n là số tự nhiên thỏa mãn hệ thức An C n 14 n . 9 10 5 10 6 10 5 10 10 A. 2 C19 . B. 2 C19 . C. 2 C19 . D. 2 C19 x . Lời giải Chọn B n 5 n n 1 3n 2 2 Ta cĩ An C n 14 n n n 1 n 2 14 n 2 n 5 n 25 0 5 2 n . 2 Mà n n 5. Trang 11
12. NHĨM TỐN VD – VDC 2 4 12 15 x 15 1 19 1 19 Xét khai triển fxxxx 1 2 1 x 2 . x 2 . 2 x . 4 2 16 16 19 k19 kk NHĨM TỐN VD Ta cĩ số hạng tổng quát của khai triển 2 x là C19 2 x . 1 Từ đĩ, hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển đã cho bằng .C10 .2 9 2 5 C 10 . 16 19 19 Câu 13. Cho hình nĩn cĩ gĩc ở đỉnh bằng 60 và diện tích xung quanh bằng 6 a2 . Tính thể tích V của khối nĩn đã cho. a3 2 3 a3 2 A. V a3 . B. V . C. V 3 a3 . D. V . – 4 4 VDC Lời giải Chọn C Giả sử hình nĩn đã cho cĩ đỉnh S , đường trịn đáy tâm O và thiết diện qua trục là tam giác SAB cân tại S như hình vẽ. NHĨM VD TỐN Từ giả thiết, suy ra ASB 60  , do đĩ SAB là tam giác đều. Mặt khác .OB . SB 6 a2 OB .2 OB 6 a 2 OB a 3 SO 3 a . 1 1 2 Thể tích khối nĩn V . OB2 . SO . a 3 .3 a 3 a 3 . 3 3 3x 2 Câu 14. Cho hàm số y . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 2x 3 – trên đoạn  2;1  . Khi đĩ M m là VDC 1 15 15 1 A. . B. . C. . D. . 7 7 7 7 Lời giải Chọn D Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn  2;1  . 5 Ta cĩ y  0, x  2;1  nên hàm số nghịch biến trên  2;1  . 2x 3 2 8 My 2 , my 1 1. 7 1 Suy ra M m . 7 Trang 12
13. NHĨM TỐN VD – VDC 2x 1 Câu 15. Cho hàm số y cĩ đồ thị C . Gọi M a; b là điểm trên C cĩ khoảng cách đến đường x 2 thẳng dy: 3 x 6 nhỏ nhất. Khẳng định nào sau đây đúng? NHĨM TỐN VD A. a b 2. B. a b 2 . C. a b 2 . D. a b 2 . Lời giải Chọn B 2x 12 x 2 3 3 Ta cĩ y 2 . x 2 x 2 x 2 3 Gọi M C M a;2 , a 2 . – a 2 VDC Ta cĩ y 3 x 6 3 x y 6 0 d . Ta cĩ khoảng cách từ M đến d là 3 3a 2 6 a 2 1 3 1 3 2 10 d M, d 3 a 4 3 a 2 2 . 32 1 2 10a 2 10 a 2 5 a 1 Dấu bằng xảy ra khi a 1 M 1;1 a b 2 . b 1 Câu 16. Cho lăng trụ tam giác ABCA.' B ' C ' cĩ đáy là tam giác đều cạnh a , độ dài cạnh bên bằng 4a . Mặt phẳng BCC' B ' vuơng gĩc với mặt đáy và B ' BC 30 . Thể tích khối chĩp ACC. ' B là: a3 3 a3 3 a3 3 a3 3 A. . B. . C. . D. . 12 6 2 3 Lời giải Chọn B NHĨM TỐN NHĨM VD TỐN – VDC B' H ABC Kẻ BH'  BC BB ' . B' H 2 a 2 Gọi I là trung điểm BC . AI BC AI  CC' B . AI BH' Trang 13
14. NHĨM TỐN VD – VDC 1 1 S BC. B ' H a .2 a a2 . CC' B 2 2 3 1 1a 3 a 3 NHĨM TỐN VD V AI S a2 . ACCB.'3 CCB ' 3 2 6 Câu 17. Cho hình trụ cĩ bán kính đáy bằng R , chiều cao bằng h . Biết rằng hình trụ đĩ cĩ diện tích tồn phần gấp đơi diện tích xung quanh. Mệnh đề nào sau đây đúng ? R A. h R 2 . B. h . C. h 2 R . D. h R . 2 Lời giải – Chọn D VDC SSSSStp 2 xq xq 2đáy 2 xq . 2 Sxq 2 Sđáy 2 Rh 2 R h R . Câu 18. Cho hình chĩp S. ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a . Cạnh bên SA vuơng gĩc với mặt đáy và SA a . Gọi E là trung điểm cạnh CD . Mặt cầu đi qua bốn điểm S,,, ABE cĩ bán kính là: a 2 a 41 a 41 a 41 A. . B. . C. . D. . 16 16 8 24 Lời giải Chọn C NHĨM TỐN NHĨM VD TỐN Gọi O là tâm đường trịn ngoại tiếp EAB . Gọi là đường thẳng qua O và vuơng gĩc với mặt phẳng EAB . Gọi E là trung điểm cạnh SA . – Trong SA, gọi W là giao điểm của với đường trung trực cạnh SA . VDC W là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chĩp S. ABE , bán kính R WA . 1 1 S AB. EI a2 . ABE 2 2 a 5 EA EB . 2 a5 a 5 a EA. EB . AB EA . EB . AB2 2 5 a S ABE R EAB . 4RS 4a2 8 EAB ABE 4. 2 5a AO . 8 25a2 a 2 a 41 a 41 Tứ giác AEWO là hình chữ nhật WA AO2 AE 2 . R . 64 4 8 8 Trang 14
15. NHĨM TỐN VD – VDC 1 Câu 19. Cho hàm số f x x3 ax 2 bx c a,, b c thỏa mãn điều kiện f 0 f 1 f 2 . 6 2 Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của c để hàm số gx ffx 2 nghịch biến trên NHĨM TỐN VD khoảng 0;1 là A. 1 3 . B. 1. C. 3 . D. 1 3 . Lời giải Chọn B f 0 c – VDC 1 Ta cĩ f 1 abc . 6 4 f 2 4 abc 2 3 1 1 a b a 6 2 13 1 2 1 Vì fff 0 1 2 fxxxxc . 4 1 6 2 3 4a 2 b b 3 3 1 1 fx xx2 . 2 3 Ta cĩ gx 2 xfx . 2 2 . ffx 2 2 Hàm số g x nghịch biến trên khoảng 0;1 gx  0, x 0;1 . 3 3 2x 0 1 Nhận xét: f x 0 thì x 1 ;1  0;1 nên x 0;1 thì . 3 3 f x2 2 0 NHĨM VD TỐN gx  0, x 0;1 khi ffx 2 2  0, x 0;1 . Lại cĩ  x 0;1 x2 22;3 ffxf 2 2 2 3. 3 3 f 2 1 c 1 3 3 3 3 3 3 Suy ra 1231 ff c 1; 3 3 3 3 3 3 – f 3 1 c 3 3 VDC minc max c 1. Câu 20. Cho hình chĩp S. ABC cĩ đáy ABC là tam giác vuơng cân tại B,. BC a Biết SA a và SA vuơng gĩc với mặt phẳng đáy. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của A trên SB và SC . Thể tích khối chĩp S. AEF bằng a3 a3 a3 a3 A. . B. . C. . D. . 18 24 36 12 Lời giải Chọn C Trang 15
16. NHĨM TỐN VD – VDC NHĨM NHĨM TỐN VD 1 a3 Ta cĩ VS. ABC SAABBC – 6 6 VDC Tam giác ABC vuơng cân tại B AC a 2. SF SA2 1 SE 1 Tam giác SAC vuơng tại A , cĩ AF SC , . SC SC 2 3 SB 2 3 VS. AEF SE SF1 1 a Lại cĩ VS AEF V S ABC VS. ABC SB SC 6 6 36 2 2 Câu 21. Số nghiệm của phương trình 2xx 22 xx 3 là A. 3 . B. 1. C. 2 . D. 4 . Lời giải Chọn C 2 Đặt 2x x t , t 0 . 4 t 1 l Phương trình đã cho trở thành t 3 tt2 3 4 0 . t t 4 tm 2 x 1 t 4 2x x 4 xx2 2 0 Với . NHĨM VD TỐN x 2 Vậy phương trình cĩ 2 nghiệm x 1 và x 2 . 3 2 Câu 22. Cho hàm số y fx() ax bx cx dabcd (,,, ) cĩ bảng biến thiên như sau: – VDC Phương trình fx() mm ( ) cĩ bốn nghiệm phân biệt xx1,,, 2 xx 3 4 thỏa mãn điều kiện 1 xxx x khi: 1 2 32 4 1 1 A. m 1. B. 0 m 1. C. 0 m 1. D. m 1. 2 2 Lời giải Chọn A Để ý rằng, do tính đối xứng của đồ thị hàm số bậc ba ta suy ra được tâm đối xứng (hay điểm uốn) 1 1 của đồ thị hàm số y fx( ) là I ; . 2 2 Trang 16
17. NHĨM TỐN VD – VDC bảng biến thiên của hàm số y fx( ) ta suy ra bảng biến thiên của hàm số y fx( ) như sau: NHĨM NHĨM TỐN VD – VDC 1 Vậy, dựa vào bảng biến thiên của hàm số y fx( ) ta cĩ: m 1 thỏa yêu cầu bài tốn. 2 Câu 23. Tính tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m, m  50;50 sao cho bất phương trình 4 mx 2 xm 0 nghiệm đúng với mọi x . A. 1274 . B. 1200 . C. 1272 . D. 1224 . Lời giải Chọn D 4 4 2x Ta cĩ: mx 2 xm  0, x mx 1 2 xx ,  m4 fxx( ),  . x 1 2x 6x4 2 1 Xét hàm số f( x ) trên . Ta cĩ: f ( x ) ; fx ( ) 0 x . 4 2 x 1 x4 1 4 3 Bảng biến thiên của f( x ) : NHĨM TỐN NHĨM VD TỐN – VDC 2x 4 27 Dựa vào bảng biến thiên của f( x ) ta suy ra: m fxx( ),  m 1,13975 . x4 1 2 Vì m , m  50;50 nên m 2;3;4; ;49  . 48.51 Khi đĩ tổng tất cả các giá trị của tham số m là: S 2 3 4 49 1224 . 2 Câu 24. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số ygx ( ) x4 4 xm 2 trên đoạn  2;1  bằng 2020 . Tính tổng các phần tử của S . A. 4 . B. 5. C. 2020 . D. 0 . Lời giải Chọn A Xét fx( ) x4 4 xm 2 liên tục trên  2;1  ta cĩ: Trang 17
18. NHĨM TỐN VD – VDC minfxf ( ) 2 m 4 ; maxfxf ( ) 2 f 0 m .  2;1   2;1  Suy ra: maxgx ( ) max fx ( ) max mm ; 4 .  NHĨM TỐN VD  2;1  2;1  Trường hợp 1: m m 4 , (*). m 2020 Khi đĩ: maxgx ( ) m 2020 . Kiểm tra điều kiện (*) ta được m 2020 .  2;1  m 2020  Trường hợp 2: m m 4 , ( ). m 2024 – Khi đĩ: maxgx ( ) m 4 2020 . Kiểm tra điều kiện ( ) ta được m 2016 . VDC  2;1  m 2016 Vậy tổng các phần tử của S là: 2020 ( 2016) 4 . Câu 25. Cĩ bao nhiêu giá trị nguyên dương của m sao cho đường thẳng y x m cắt đồ thị hàm số 2x 1 y tại hai điểm phân biệt A, B và AB 4 . x 1 A. 2 . B. 0 . C. 3. D. 1. Lời giải Chọn D 2x 1 Phương trình hồnh độ giao điểm là x m , x 1. x 1 fx x2 m1 xm 1 0. 1 Để đường thẳng cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt thì phương trình * cĩ hai nghiệm phân biệt khác 1. 0 m2 6 m 3 0 m 3 2 3 2 . NHĨM VD TỐN f 1 0 3 0 m 3 2 3 Gọi hai điểm phân biệt là Axx 1; 1 m , Bx 2; x 2 m , với x1, x 2 là hai nghiệm phân biệt của phương trình * . 2 2 2 Ta cĩ AB x2 x 1 x 2 x 1 2 x 2 x 1 2 2 2 xx 2 xx 2 mm 6 3 . – 1 1 1 2 VDC Mà AB 4 AB2 16 mm 2 6 3 8 mm 2 6 11 0. 3 2 5 m 3 2 5 3 . Từ 2 và 3 , kết hợp m là số nguyên dương ta suy ra m 7 . Vậy cĩ 1 giá trị nguyên dương của m thỏa điều kiện bài tốn. 2 4x 3 x2 3 Câu 26. Tập xác định của hàm số y 2 là: 2x 3 x 1 4 1 4 A. D 1; . B. D 1;  0; . 3 2 3 1 4 1 4  C. D 1;  0; . D. D \ 1; ;0; . 2 3 2 3  Lời giải Trang 18
19. NHĨM TỐN VD – VDC Chọn B 4x 3 x2 Hàm số xác định khi và chỉ khi 2 0 . 2x 3 x 1 NHĨM TỐN VD Bảng xét dấu – VDC 1 4 Vậy tập xác định là D 1;  0; . 2 3 Câu 27. Cho hàm số y ax3 bx 2 cx d cĩ đồ thị như hình dưới đây. Trong các giá trị a , b , c , d cĩ bao nhiêu giá trị dương? y O x A. 4 . B. 1. C. 2 . D. 3. Lời giải Chọn C Theo hình dạng đồ thị ta suy ra a 0 . Hàm số cĩ hai điểm cực trị trái dấu nên a và c trái dấu, suy ra c 0 . Đồ thị hàm số cĩ giao điểm với trục tung tại điểm cĩ tung độ âm nên d 0 . NHĨM TỐN NHĨM VD TỐN Hồnh độ tâm đối xứng của đồ thị là nghiệm của phương trình b y 0 6 axb 2 0 x . 3a b b Từ đồ thị ta thấy tâm đồ thị hàm số là số dương nên 0 0 , suy ra a, b trái dấu, 3a a do đĩ ta cĩ b 0. – Vậy a 0 , b 0, c 0 , d 0 . VDC Câu 28. Một khối gạch hình lập phương (khơng thấm nước) cĩ cạnh bằng 2 được đặt vào trong một chiếc phễu hình nĩn đầy nước theo cách như sau: Một cạnh của viên gạch nằm trên mặt nước (nằm trên một đường kính của mặt đáy hình nĩn), các đỉnh cịn lại nằm trên mặt mặt nĩn, tâm của viên gạch nằm trên trục hình nĩn (như hình vẽ). Tính thể tích nước cịn lại trong phễu (làm trịn đến hai chữ số thập phân) Trang 19
20. NHĨM TỐN VD – VDC NHĨM NHĨM TỐN VD – VDC A. V 22,10 . B. V 22,27 . C. V 20,64 . D. V 22,30 . Lời giải Chọn B Đặt các đỉnh như hình vẽ dưới đây N B A M B' A' C D C' D' NHĨM VD TỐN Xét mặt phẳng qua trục của khối nĩn chứa cạnh AB, ta cĩ hình phẳng – VDC D' C' H E F K M N A O B Với HK là đường kính đường trịn ngoại tiếp A B CD Ta cĩ BC 2 2 và AC 2 3 Trang 20