Đề thi chọn HSG Lớp 12 THPT môn Toán - Sở GD&ĐT Thái Bình 2021-2022 (Có đáp án)

Nội dung tài liệu: Đề thi chọn HSG Lớp 12 THPT môn Toán - Sở GD&ĐT Thái Bình 2021-2022 (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT THÁI BÌNH NĂM HỌC 2021 - 2022 Môn thi: TOÁN MÃ ĐỀ 101 Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề) Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Số báo danh: . . . . . . . . . . . . . . Câu 1. Cho hàm số y= f() x có bảng biến thiên như hình vẽ sau Khẳng định nào sau đây đúng? A. Đồ thị hàm số không có tiệm cận. B. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ()−1;0 và ()0; + . C. Đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận. D. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 1 và giá trị nhỏ nhất bằng 0 . x Câu 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình log2 () 4−mx = + 1 có đúng 2 nghiệm thực phân biệt? A. 0 . B. 3 . C. 1. D. 2 . Câu 3. Cho hình lăng trụ đứng ABC. A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại B , biết AB= a , AC= 2 a , CC = 2 a . Gọi M , I lần lượt là trung điểm AB và BC . Tính góc giữa hai đường thẳng IM và AC . A. 90. B. 60. C. 45. D. 30. cosx − 3 Câu 4. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm y = nghịch biến trên cos xm− ; . 2 03 m 03 m A. m 3 . B. m 3 . C. . D. . m −1 m −1 Câu 5. Cho hình lăng trụ ABC A B C có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng ()ABC trùng với trọng tâm của tam giác ABC . Biết khoảng cách a 3 giữa đường AA và BC bằng . Tính theo a thể tích của lăng trụ . 4 a3 3 a3 3 a3 3 a3 3 A. . B. . C. . D. . 6 24 12 3 Câu 6. Cho hàm số y= f() x có đạo hàm trên và đồ thị ()C . Tiếp tuyến của đồ thị ()C tại điểm ()2; m có phương trình là yx=−46. Tiếp tuyến của các đồ thị hàm số y= f f() x và
2. y=− f(3 x2 10) tại điểm có hoành độ bằng 2 có phương trình lần lượt là y=+ ax b và y=+ cx d . Tính giá trị của biều thức S=4 a + 3 c − 2 b + d . A. S =176 . B. S =174 . C. S =178 . D. S =−26 . −2021 Câu 7. Tập xác định của hàm số y=(43 − x − x2 ) là A. . B. (−4;1) . C. \ − 4;1 . D. −4;1. 52−−x2 Câu 8. Tổng số các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = x2 −1 là A. 4 . B. 3 . C. 2 . D. 0 . f x= x32 + ax + bx + 2 f 13=− Câu 9. Hàm số ( ) đạt cực tiểu tại điểm x =1 và ( ) . Tính ba+ 2 A. 3 . B. −3 . C. 15. D. −15 . xm+ Câu 10. Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = trên 1;2 bằng 8 ( m x +1 là tham số thực). Khẳng định nào sau đây đúng? A. 8 m 10 . B. 48 m . C. 04 m . D. m 10 . Câu 11. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y= x8 +( m +1) x 5 −( m 2 − 1) x 4 + 1 đạt cực tiểu tại x = 0? A. 2 . B. Vô số. C. 4 . D. 3 . Câu 12. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 4 . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD A. 3 . B. 6 . C. 23. D. 2 . Câu 13. Cho đa thức fx() có hệ số thực thỏa mãn điều kiện 21f( x) + f( − x) = x2 ,  x . Số điểm cực trị của hàm số y=3 xf( x) + x2 + 4 x + 1là A. 3 B. 0 . C. 1. D. 2 . Câu 14. Cho hình lập phương ABCD. A B C D có cạnh bằng a 2 . Tính theo a thể tích khối tứ diện ACB D . 22a3 a3 2a3 2a3 A. . B. . C. . D. . 3 3 2 6 Câu 15. Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m để hàm số y= − x32 +3 x − mx có hai điểm cực trị, đồng thời nghịch biến trên khoảng (− ;0). Số phần tử của tập S là A. 2 . B. 3 . C. 1. D. 4 . Câu 16. Cho hàm số y= f( x) xác định trên , hàm số y= f ( x) liên tục và có đồ thị như hình vẽ dưới đây.
3. y 3 O 1 3 x Hàm số yf=−(42x ) đồng biến trên khoảng nào sau đây? A. (−1;0) . B. (1;3) . C. (0; + ). D. (0;1) . Câu 17. Cho hàm số y= f( x) có bảng biến thiên như sau Số nghiệm của phương trình fx( ) = 2 là A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3 . Câu 18. Gọi Sn là tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân (un ) có công bội q khác 1. Biết SS84= 257 và u3 = 32 . Tính u1 . A. 2 . B. 3 . C. 8 . D. 4 . Câu 19. Có bao nhiêu số nguyên dương n sao cho S là một số có 1000 chữ số. Biết: 0 0 0 1 1 1n−− 1 n 1 n SCCCCCCCCC=++++++++++2( 1 2 n) ( 1 2 n) ( n− 1 + n) + n A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. xx Câu 20. Tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình log6 ( 3.4+ 2.9) =x + 1 bằng A. 1. B. 0. C. 3. D. 4. 32 Câu 21. Phương trình log2 (mx− 6 x) + 2log1 ( − 14 x + 29 x − 2) = 0 có 3 nghiệm thực phân 2 biệt khi 39 A. m 19. B. 19 m . C. m 39. D. 19 m 39. 2 Câu 22. Cho tam giác ABC cân tại A , góc BAC =120 và AB= 4 cm. Tính thể tích khối tròn xoay lớn nhất có thể khi ta quay tam giác quanh đường thẳng chứa một cạnh của nó. 16 16 A. 16 3 (cm3 ) . B. 16 (cm3 ). C. (cm3 ) . D. (cm3 ) . 3 3 Câu 23. để phương trình log2 (x− 1) = log2 ( mx − 8) có hai nghiệm thực phân biệt là A. 3 . B. 4 . C. 5 . D. Vô số.
4. 22 Câu 24. Cho bất phương trình: 1+ log55(x + 1) log( mx + 4 x + m) ( 1). Tìm tất cả các giá trị của m để (1) được nghiệm đúng với mọi số thực x . A. 23 m . B. −37 m . C. m ( − ;3  7; + ). D. 23 m . Câu 25. Một khối cầu có thể tích V đi qua đỉnh và đường tròn đáy của một khối nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều. Tỉ số thể tích khối cầu và thể tích khối nón là 32 9 23 32 A. . B. . C. . D. . 9 32 32 23 Câu 26. Một hình trụ có bán kính đáy bằng a. Cắt hình trụ bởi mặt phẳng song song với trục a và cách trục một khoảng ta được thiết diện là một hình vuông. Tính thể tích khối trụ. 2 a3 3 A. 3 a3 . B. a3 3 . C. . D. a3 . 4 Câu 27. Cho tập hợp S gồm 20 số tự nhiên từ 1 đến 20 . Lấy ngẫu nhiên ba số thuộc S , xác suất để ba số lấy được lập thành một cấp số cộng là 5 1 3 7 A. . B. . C. . D. . 38 114 38 38 Câu 28. Cho hàm số y=− f ( x 1) có đồ thị như hình vẽ. Hàm số y = 24f( x)− x đạt cực tiểu tại điểm nào? A. x =1. B. x = 2. C. x = 0 . D. x =−1. Câu 29. Cho hình chóp S. ABCD có dáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 2a , tam giác SAB đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ( ABCD) . Gọi M là trung điểm của AD . Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SCM ) là 32a a 2 A. . B. a 2 . C. 32a . D. . 8 2 Câu 30. Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại đỉnh B . Biết AB== BC a 3 , SAB== SCB 90 và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng a 2 . Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S. ABC . A. 12 a2 . B. 8 a2 . C. 2 a2 . D. 16 a2 . Câu 31. Cho hàm số y= f() x xác định, liên tục trên và có bảng biến thiên như sau:
5. 7 Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = là f( x3 ++21 x) A. 4 B. 1 C. 3 D. 2 ax+ b Câu 32. Cho hàm số y = có đồ thị như hình vẽ bên: cx −1 Giá trị của tổng abc++ bằng A. 0 B. 4 C. 2 D. −2 1 Câu 33. Cho ba số thực abc, , ;1 . Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của biểu thức 4 1 1 1 P=loga b − + log b c − + log c a − 4 4 4 A. Pmin = 3. B. Pmin = 33. C. Pmin = 6 . D. Pmin =1. Câu 34. Cho 3 số abc,, theo thứ tự lập thành cấp số nhân với công bội khác 1. Biết cũng theo thứ tự đó chúng lần lượt là số thứ nhất, thứ tư và thứ tám của một cấp số cộng công sai là d , a (d 0). Tính . d 4 4 A. 3 . B. . C. . D. 9 . 9 3 Câu 35. Cho hàm số y= f( x) liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ
6. Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình 9.6f( x) +( 4 −f22( x)) .9 f( x) ( − m + 5 m) .4 f( x) nghiệm đúng với mọi x là A. 9 . B. 4 . C. 5 . D. 10. Câu 36. Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y= x32 − mx −( m −61) x + đồng biến trên khoảng (0;4) là. A. (− ;3) . B. 3;6. C. (− ;6 . D. (− ;3. Câu 37. Tính tổng các hệ số của các lũy thừa lẻ của x trong khai triển: P( x) =+++++(1 x x2 x 3 x 100)( 1 −+−++ x x 2 x 3 x 100 ) A. 1. B. 2100 . C. 0 . D. 299 . Câu 38. Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác đều, SA⊥ ( ABC) . Mặt phẳng (SBC) cách A một khoảng bằng a và hợp với mặt phẳng ( ABC) góc 30. Thể tích của khối chóp S. ABC bằng 8a3 8a3 3a3 4a3 A. . B. . C. . D. . 9 3 12 9 5ba− a Câu 39. Cho ab, là các số thực dương thỏa mãn logab== log log . Giá trị của 9 16 12 2 b bằng a a a 16+ a 7+ 2 6 A. = −16 + . B. =−7 2 6 . C. = . D. = b b b 5 b 25 Câu 40. Cho hàm số y= f( x) . Đồ thị của hàm số bậc ba y= f'( x) như hình vẽ bên dưới
7. Hàm số gx( ) = e fx(21− ) đồng biến trên khoảng nào sau đây? A. (−1;1) . B. (−1; + ). C. (0;2) . D. (0;1) . Câu 41. Có bao nhiêu cặp số nguyên (xy; ) thỏa mãn 2 x 2021 và yy−1 2− log2 (x + 2) = 2 x − y ? A. 9 . B. 10. C. 2022 . D. 2021. Câu 42. Cho hàm số y= f( x) có đạo hàm f ( x) = x2 ( x −1)( 13 x − 15)3 ,  x . Tìm số điểm 5x cực trị của hàm số yf= 2 x + 4 A. 2 . B. 4 . C. 6 . D. 7 . Câu 43. Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác đều, cạnh SA vuông góc với đáy, khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng 2 . Gọi là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và ( ABC). Tính cos khi thể tích khối chóp S. ABC nhỏ nhất. 5 2 2 3 A. cos = . B. cos = . C. cos = . D. cos = . 3 3 3 3 Câu 44. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y= x32 −3 x + 6 x + 5 có hệ số góc nhỏ nhất thì phương trình là A. yx=+3 12 . B. yx=+33. C. yx=+36. D. yx=+39. Câu 45. Cho hình lăng trụ đều ABC. A B C có cạnh đáy AB= a . Trên cạnh BB lấy điểm M sao cho B M= 2 BM . Biết AMBC ⊥ . Tính thể tích của khối lăng trụ ABC. A B C 33a3 3a3 3a3 33a3 A. . B. . C. . D. . 8 8 4 16 Câu 46. Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có cạnh đáy bằng a . Mặt phẳng (P) đi qua A và SB 2 vuông góc với SC , cắt cạnh SB tại B với = . Tính thể tích khối chóp S. ABCD . SB 3 a3 6 a3 6 a3 6 a3 6 A. . B. . C. . D. . 4 2 3 6 Câu 47. Cho hình chóp S. ABC có SA vuông góc với đáy, SC=2, BCS = 45  ; góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) bằng 90; góc giữa hai mặt phẳng (SAC)và bằng 60. Thể tích khối chóp là
8. 2 23 A. V = B. V = 23 C. V = 22 D. V = 15 15 Câu 48. Cho hình chóp S. ABCD là hình bình hành. Hai điểm MN, lần lượt là trung điểm của AB và SC. Hai đường thẳng AN, MN lần lượt cắt mặt phẳng (SBD) tại I và K . Gọi V là thể tích V khối chóp S. ABCD và V là thể tích khối tứ diện CNIK . Tỉ số bằng V 1 1 1 1 A.  B.  C.  D.  24 48 36 18 Câu 49. Cho aa 0, 1 vả hai số thực dương b, c thỏa mãn loga b = 3 và loga c =− 2 , Tính ab2 3 giá trị của biểu thức P = log . a c5 A. P = 9. B. P =−2. C. P =−7 . D. P =13 . Câu 50. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB== a, AD b và cạnh bên SA= c vuông góc với mặt phằng ( ABCD). Gọi M là một điếm trên cạnh SA sao cho AM= x , 0 xc. Tìm x để mặt phằng (MBC) chia khối chóp thành hai khối đa diện có thể tích bằng nhau. ( 51− )ab (23− )ab (32− )c (35− )c A. x = . B. x = . C. x = . D. x = . 2c 2c 2 2 HẾT
9. HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1. Cho hàm số có bảng biến thiên như hình vẽ sau y= f() x Khẳng định nào sau đây đúng? A. Đồ thị hàm số không có tiệm cận. B. Hàm số nghịch biến trên các khoảng và . C. Đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận. D. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng và giá trị nhỏ nhất bằng . Lời giải Chọn C ()−1;0 ()0; + Ta có lim y = − và lim y = + nên x = 0 là tiệm cận đứng. x→0− x→0+ Mặt khác limy =− 2 suy ra y =−21 là tiệm cận ngang. 0 x→− m log 4x −mx = + 1 Lại có limy = 1 suy ra y = 1 là tiệm cận ngang. 2 () x→+ 2 Vậy0 hàm số đã cho có ba đường3 tiệm cận. 1 2 Câu 2. Có bao nhiêu giá trị nguyênABC của. A tham B C số để phươngABC trình B có đúngAB= a nghiACệm= 2th aựcCC phân = bi2 aệt? M I AB BC A. . IM B.AC . C. . D. . 90 60 Lời giải 45 30 Chọn A Phương trình đã cho tương đương 4x−mm = 2 x+12 2 x − 2.2 x − = 0. (1) Đặt t = 2x với t 0 , phương trình trở thành t2 −20 t − m = . (2) Phương trình đã cho có hai nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có hai 0 1 +m 0 nghiệm phân biệt dương Sm 0 2 0 − 1 0 . Pm 00 − Vì m nên không tồn tại giá trị nguyên m thỏa yêu cầu bài toán. Câu 3. Cho hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông tại , biết , , . Gọi , lần lượt là trung điểm và . Tính góc giữa hai đường thẳng và . A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn A
10. Ta có là trung điểm nên I cũng là trung điểm của BC . Do đó MI là đường trung bình của tam giác BAC nên MI A C . Mặt khác ACC A là hình vuông suy ra AC ⊥ A C . Vậy AC ⊥ MI hay góc giữa hai đường thẳng và bằng . Câu 4. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để hàm nghịch biến trên . A. . B. . I C. . D. BC . IM AC 90 Lời giải Chọn D cosx − 3 m y = Đặt tx= cos với t −( 1;0) . cos xm− ; t = −sin x 0  x ; 2 2 t − 3 03 m 03 m Ta cóm y3= . m 3 tm− m −1 m −1 3− m Khi đó y = . (tm− )2 Hàm số nghịch biến trên ; Hàm số đồng biến trên (−1;0) 2 m 3 30− m m 0;3) m 0 . m −( 1;0) m −1 m −1
11. Câuy=− f5(. 3Cho x2 hình 10) lăng trụ có đáy là tam giác đều cạnh . Hình chiếyu=+ vuông ax b góc cyủa=+ đi cxểm d lên mặt phẳng trùngS=4 v aớ +i tr 3 cọ −ng 2 btâm + d của tam giác . Biết khoảng cách giữa đường và bằng . Tính theo thể tích của lăng trụ . A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn C a2 3  Ta có: S = . ABC 4 Gọi O là trọng tâm tam giác , suy ra A O⊥ ( ABC), nên chiều cao của khối lăng trụ là AO . BC⊥ AM  Gọi M là trung điểm của ta có: ⊥BC( A AM ) . BC⊥ A O a 3  Trong ( A MA) kẻ MH⊥ AA . Khi đó, d,( AA BC) == MH . 4 a 3 a 3 HM 1  Trong ABC đều cạnh a có: AM = và sinHAM= =a 3 = HAM = 30  . 2 AM 2 2 2 A O2 a 3 3 a  Xét tam giác vuông A OAABC có: tan30 A B C = A O = AO  tan30  =a   = . AO 3 2 3 3 A ()ABC ABC a a2333 a Vậy VAOS= . = a 3 = . ABC A B CAA BC ABC 3 4 12 a 4 Câua 36. 3Cho hàm số a3 có3 đạo hàm trên vàa3 đồ3 thị . Tiếp tuyếna 3của3 đồ thị tại điểm 6 có phương trình là24 . Tiếp tuyến12 của các đồ thị hàm số 3 và y= f() x ()C ()C tại điểm có hoành độ bằng 2 có phương trình lần lượt là và ()2; m yx=−46 y= f f() x . Tính giá trị của biều thức .
12. A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn B S =176 S =174 S =178 S =−26  Ta có nên tiếp tuyến của tại điềm có phương trình là f (2) = 4.2 − 6 = 2 −2021 M (2;2) y=(43 − x − x2 ) y= f (2)( x − 2) + 2. (−4;1) \ − 4;1 −4;1 Theo giả thiết, ta có f (24) = . 52−−x2 y = 2 2 x −1  Đặt g( x) = f f( x) và h( x) =− f(3 x 10) . 4 3 2 2 0 Khi đó g ( x) = f ( x) f f( x) và h ( x) =−6 x . f( 3 x 10) . Ta có: f f(2) == f ( 2) 2 ; hf(2) ==( 2) 2 ; g (2) = f ( 2)  f ( 2) = 16 ; hf (2) = 12 ( 2) = 48.  Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y= g( x) tại điềm có phương trình yx=−16 30 , Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y= h( x) tại điềm có phương trình yx=−48 94 .  Do đó a=16, b = − 30, c = 48, d = − 94. Suy ra S =174 . Câu 7. Tập xác định của hàm số là A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn C x 1 Hàm số xác định khi 4− 3xx −2 0 x −4 Tập xác định D =−\ 4;1 . Câu 8. Tổng số các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn D −55 x 50− x2 Hàm số xác định khi x 1 2 x − 10 x −1 ()C Tập xác định D = −5; 5 \ − 1;1
13. Từ đó suy ra đồ thị hàm số không có đường tiệm cận ngang. Ta có 5−x2 − 2 − 1 5−x2 − 2 − 1 limy == lim 2 , limy == lim 2 xx→−11++ →− x −14xx→−11−− →− x −14 5−x2 − 2 − 1 5−x2 − 2 − 1 limy == lim 2 , limy == lim 2 xx→→11++x −14xx→→11−−x −14 Từ đó suy ra đồ thị hàm số không có đường tiệm cận đứng. 52−−x2 Vậy đồ thị hàm số y = 32 không có đường tiệm cận. f x= x +2 ax + bx + 2 f 13=− ( ) x −1 x =1 ( ) ba+ 2 Câu3 9. Hàm số −3 đạt cực tiểu15 tại điểm và −15 . Tính xm+ A. . B. . C. . y = D. 1;2.  8 m x +1 Lời giải Chọn8 Bm 10 48 m 04 m m 10 Ta có f ( x) =32 x2 + ax + b m y= x8 +( m +1) x 5 −( m 2 − 1) x 4 + 1 x = 0 Hàm số đạt cực tiểu tại x =1 suy ra f (1) = 0 3 + 2 a + b = 0 (1) 2 4 3 Theo đề f(1) =− +++ 3 1 a b 2 =− 3 a + b =− 6 (2) Giải hệ (1), (2) ta được a = 3, b =−9 Vậy ba+2 = − 9 + 2.3 = − 3. Câu 10. Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên bằng ( là tham số thực). Khẳng định nào sau đây đúng? A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn A 1− m Ta có hàm số có yx'= ;  − 1. (x +1)2 Hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên nên để tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ 1++mm 2 41 nhất của hàm số trên bằng 8 thì y(1) + y( 2) = 8 + = 8 m = . 2 3 5 Câu 11. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số đạt cực tiểu tại ? A. . B. Vô số. C. . D. . Lời giải Chọn A
14. Ta có . TXĐ: D = 7 4 2 3 3 4 2 3 yx=++−−=85141( mx) ( mxxx) 85141. ++−−=( mxm) ( ) xgx( ) với g( x) =8 x42 + 5( m + 1) x − 4( m − 1) Ta có ym (0) = 0,  . Ta kiểm tra y có đổi dấu khi đi qua điểm x = 0 2 m = 1 Trường Hợp 1: gm(0) = 0 − 1 = 0 m =−1 + Với m=1 y = x3( 8 x 4 + 10 x) = x 4( 8 x 3 + 10). Khi đó y ' không đổi dấu khi x qua 0 nên m = 1 loại + Với m= −18 y = x7 . Khi đó y đổi dấu từ (−) sang (+) khi x qua nên m =−1 thỏa mãn. Trường Hợp 2: g (00) để y đổi dấu từ sang khi qua thì limg( x) − 0 4 m2 − − 1 0 1 m 1; m = m 0 . x→0 ( ) y= x8 +( m +1) x 5 −( m 2 − 1) x 4 + 1 Vậy có tất cả 2 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 12. Cho tứ diện đều có cạnh bằng . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD 4 ABCD A. . B. . C. . D. . 3 6 23 2 Lời giải Chọn B Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Do tứ diện đều nên AO⊥ ( BCD) Kẻ đường trung trực của cạnh AB , cắt AO tại I . Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện. Gọi R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện, R= AI AN AI AB2 Ta có ANI AOB nên = hay AI = AO AB 2AO
15. Trong đó AB = 4 và AO là đường cao của tứ diện, O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác 2 2 2 2 4 3 4 6 BCD. Khi đó AO= AB − BO =4 − = . 33 Vậy R = 6 . Câu 13. Cho đa thức có hệ số thực thỏa mãn điều kiện , . Số điểm cực trị của hàm số là A. B. . C. . D. . Lời giải Chọn B Theo giả thiết 21f( x) + f( − x) = x2 , . Do đó 2f( 1− x) + f( x) =( 1 − x)2 , . 2 2 21f( x) + f( − x) = x 4f( x) + 2 f( 1 − x) = 2 x Ta có 2 2 2f( 1− x) + f( x) =( 1 − x) 2f( 1− x) + f( x) = x − 2 x + 1 2 4f( x) + 2 f( 1 − x) = 2 x 3f x = x2 + 2 x − 1. 2 ( ) 2f( 1− x) + f( x) = x − 2 x + 1 Khi đó y=3 xf( x) + x2 + 4 x + 1 =x( x22 +2 x − 1) + x + 4 x + 1 =x32 +3 x + 3 x + 1 y =3 x2 + 6 x + 3 yx 0,  fx() 21f( x) + f( − x) = x2  x Vậy hàm số y=3 xf( x) + x2 + 4 x + 1 không có cực trị. y=3 xf( x) + x2 + 4 x + 1 Câu 14. Cho hình lập phương có cạnh bằng . Tính theo thể tích khối tứ 3 0 1 2 diện . ABCD. A B C D a 2 a A. ACB D. B. . C. . D. . 3 22a3 a Lời giải 2a3 2a3 Chọn 3A 3 2 6
16. Thể tích khối lập phương Va= 223 VVVVVVACB D = − B ABC − D ACD − C C BD − A A B D 1 1 1 Ta có V= BB S = BB S = V A . ABC3 ABC 6 ABCD 6 1111 1 22a3 Do đó VVVVVV= − − − − = V = ACB D 6666 3 3 Câu 15. Gọi là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số để hàm số có hai điểm cực trị, đồng thời nghịch biến trên khoảng . Số phần tử của tập là A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn B Ta có y = −36 x2 + x − m. Hàm số có hai điểm cực trị, đồng thời nghịch biến trên khoảng Khi và chỉ khi y = 0 có hai nghiệm phân biệt và yx 0,  ( − ;0) 32 9− 3m S 0 m 3 m m 3 y= − x +3 x − mx 2 2 yx 0,  ( − ;0) −3x + 6 x − m 0,  x ( − ( − ;0 ;0) ) m −3 x + 6 xS ,  x ( − ;0) Xét2 hàm số h( x) = −36 x2 + x3 1 4 m −3 x2 + 6 x ,  x ( − ;0) m 0 . Do đó 03 m
17. Vậy S = 0;1;2 y Câu 16. Cho hàm số xác định trên , hàm số liên tục và có đồ thị như hình vẽ dưới đây. 3 O 1 3 x yf=−(42x ) (−1;0) (1;3) (0; + ) (0;1) Hàm số đồng biến trên khoảng nào sau đây? A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn A x =1 Từ đồ thị hàm số y= f ( x) ta có f ( x) 03 x ; f ( x) 03 x ; fx ( ) = 0 x = 3 Xét hàm số ta có yf = −2xx ln( 2) .( 4 − 2 ). Giải phương trình 4−= 2x 1 (nghiêm kép) y =0 − 2ln2.42x f − x = 0 f 42 − x = 0 ( ) ( ) ( ) x 4−= 2 3 23x = x = log 3 2 . x 21= x = 0 Hàm số đồng biến khi y 0 − 2ln2.42x( ) f ( − x) 0 f ( 42 − x ) 0 4 − 2x 3 2x 1 x 0 Bảng biến thiên y= f( x) y= f ( x)
18. Từ bảng biến thiên ta có hàm số đồng biến trên khoảng (− ;0) Hàm số đồng biến trên khoảng(−1;0) . Câu 17. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau Số nghiệm của phươngx trình là yf=−(42) A. . B. . C. . D. . Lời giải y= f( x) Chọn B Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y= f( x) và đường thẳng y = 2 . Kẻ đường thẳng y = 2 , ta có đường thẳng y = 2 cắt đồ thị hàm số tại một điểm nên phương trình có đúng 1 nghiệm. fx( ) = 2 0 1 2 3 Sn n (un ) q 1 SS84= 257 u3 = 32 u1 2 3 8 4 Câu 18. Gọi là tổng số hạng đầu tiên của một cấp số nhân có công bội khác . Biết và . Tính . A. . B. . C. . D. . Lời giải. Chọn A 84 11−−qq 84 SS84= 257 uu11= 257 1−qq = 257( 1 − ) Theo đề bài ta có 11−−qq u = 32 2 3 2 uq1 = 32 uq1 = 32 qq42==256 16 84 qq−257 + 256 = 0 42 qq==11 . uq2 = 32 1 22 u11 q==32 u q 32
19. Mặt khác theo đề bài cấp số nhân có công bội khác nên q2 =16 . Với q2 =16 ta có 2 u1 q=32 16 u 1 = 32 u 1 = 2 . Câu 19. Có bao nhiêu số nguyên dương sao cho là một số có chữ số. Biết: A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Lời giải Chọn D 0 1 0 1 2 0 1nn− 1 Ta có: SCCCCCCCCC=++++++++++2( 1 1) ( 2 2 2 ) ( n n n + n ) n n k0 1 2 n n Xét khai triển (1+n) = Cn = C n + C n + C n + + C n = 2 k=0 2( 1− 2n ) Từ đó ta có: S =++++=+222 221 2n =+ 22212( n −=) n+ 1 12− Để S là số có 1000 chữ số thì 999n+ 1 1000 999 1000 10 2 10 log22 10 − 1 nn log 10 − 1 3317,6 3320,9. Do n là số nguyên dương n 3318;3319;3320 . Câu 20. Tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình bằng A. 1. B. 0. C. 3. D. 4. Lời giải Chọn A u q 1 Ta có: ( n ) 2xx x x x+1 22 3.4 + 2.9 = 6 3. − 6. + 2 = 0 (1) 33 n S 1000 x 0 0 0 1 1 1n−− 1 n 1 n SCCCCCCCCC=++++++++++2 2 ( 1 2 n) ( 1 2 n) ( n− 1 + n) + n Đặt = tt,0( ) . 3 2 xx Khi đó (1) 3tt − 6 + 2 = 0 log6 ( 3.4+ 2.9) =x + 1 Hiển nhiên phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt tt12, thỏa mãn 32 xxlog(mx− 6 x) + 2log1 ( − 14 x + 29 x − 2) = 0 122 2 2 2 2 2 t1. t 2= . = x 1 + x 2 = 1. 3 3 3 3 39 Câum 21 19. Phương trình 19 m m 39 có 319 nghi mệm 39 thực phân 2 biệt khi A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn B Phương trình tương đương
20. mx−6 x32 = − 14 x + 29 x − 2 logmx− 6 x32 = log − 14 x + 29 x − 2 22( ) ( ) 2 −14xx + 29 − 2 0 2 m=6 x2 − 14 x + 29 − x 1 x 2 14 2 2 1 Xét hàm số f( x) =6 x − 14 x + 29 − trên ;2 x 14 x =1 12xx32−+ 14 2 1 Ta có f ( x) = =0 x = x2 2 1 x=− ( loai) 3 Bảng biến thiên Phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình f( x) = m có 3 nghiệm 1BBT 39 phân biệt thuộc khoảng ;2⎯⎯⎯→ 19 m 14 2 Câu 22. Cho tam giác cân tại , góc và . Tính thể tích khối tròn xoay lớn nhất có thể khi ta quay tam giác quanh đường thẳng chứa một cạnh của nó. A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn B A ABC A BAC =120 AB= 4 cm B H C 16 16 16 3 (cm3 ) 16 (cm3 ) (cm3 ) (cm3 ) 3 3 Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên BC .
21. Quay đường gấp khúc BAC quanh trục 22 thu được khối tròn xoay có hình dạng là hai khối 1+ log55(x + 1) log( mx + 4 x + m) ( 1) nón đỉnh B và đỉnh C , chung đáy là đường tròn H; HA . m (1) (x ) 1 2 Xét23 kh ốmi nón (N1 ) có đỉnh là− 37B ,m đáy là đường tròn m ( − ;3 có  VN 7; + = ) BH AH 23 m 1 3 1 Xét khối nón ( N ) có đỉnh là C , đáy là đường tròn có V= CH AH 2 2 N2 3 14 S 2 Vậy thể tích khối tròn xoay nhận được bằng: V= V + V = AH2. BC = ABC . BC N12 N 3 3.BC 1 Ta có S= AB2 sin120  = 4 3 . ABC 2 Ta có BC= AB22 + AC −2 AB . AC .cos120  = 4 3 . 2 4 S 2 4 ( 4 3) 16 3 Vậy V = ABC = = . BC 3.BC 3.4 3 3 2 4 S 2 4 ( 4 3) Tương tự VV= = ABC = =16 . AB AC 3.AB 3.4 Vậy Vmax =16 . Câu 23. để phương trình có hai nghiệm thực phân biệt là A. . B. . C. . D. Vô số. Lời giải Chọn A Ta thấy log2 (x− 1) = log2 ( mx − 8) x 1 x 1 2 (x−18) = mx − f x= x2 − m +2 x + 9 = 0 * ( ) ( ) ( ) . YCBT (*) có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1 m 4 2 =mm +4 − 32 0 m −8 fm(1) = − + 8 0 mm 8 4 8. Sm+ 2 m 0 = 1 22 Vậy: m 5,6,7. Câu 24. Cho bất phương trình: . Tìm tất cả các giá trị của để được nghiệm đúng với mọi số thực . A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn A 2 logx− 1 = log mx − 8 Điều kiện: mx+4 x + m 0, 2 x( .) 2BC( ) 3 2 25 2 2 Ta có 1+ log5(x + 1) log 5(4 mx + 4 x + m) log 5( 5 x + 5) log 5 ( mx + 4 x + m)
22. 5x2 + 5 mx 2 ++ − 4 x m( m 5) x 2 ++− 4 x m 5 0 2 mx+4 x + m 0,  x ( 2) Điều kiện bài toán 2 (m−5) x + 4 x + m − 5 0,  x ( 3) mm 00  Giải (2) ; Do m = 0 không thỏa nên (22) 2 m . V 0 40− m  Giải (3) ; Do m = 5 không thỏa (3) nên 32 9 23 32 9 32 m 5 32 23 m − 50 m 5 (33) 2 m a .3 m . 0 4−(m − 5) 0 a m 7 Suy ra 23 m . 2 Câu 25. Một khối cầu có thể tích đi qua đỉnh và đườnga3 3 tròn đáy của một khối nón có thiết 3 a3 a3 3 a3 diện qua trục là một tam giác đều. Tỉ số thể tích khối cầu4 và thể tích khối nón là A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn A S I A H B Xét khối cầu và khối nón như hình vẽ x 3 x 3 x Gọi độ dài cạnh SA= x, ta có SH = , SI = , AH = 2 3 2 3 2 4 xx 3 4 3 3 1x 3 x . x3 . 3 Ta có V == ; V == C N 3 3 27 3 2 2 24 V 32 Vậy C = . VN 9 Câu 26. Một hình trụ có bán kính đáy bằng Cắt hình trụ bởi mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng ta được thiết diện là một hình vuông. Tính thể tích khối trụ. A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn B
23. Ta có ABCD là hình vuông, H là trung điểm cạnh AB , khi đó ta có aa3 OH=; AH = AB = a 3 = BC . 22 Vậy thể tích khối trụ bằng V== a3. . a23 a 3. Câu 27. Cho tập hợp gồm số tự nhiên từ đến . Lấy ngẫu nhiên ba số thuộc , xác suất để ba số lấy được lập thành một cấp số cộng là S 20 1 20 S A. . B. . C. . D. . 5 1 3 7 Lời giải 38 114 38 38 Chọn C y=− f ( x 1) 3 Số cách chọn 3 số trong 20 số là : nC(=) 20 , Gọi A là biến cố “ba số lấy được lập thành một cấp số cộng” Giả sử ba số abc,, số lập thành cấp số cộng a+= c2 b Do đó nếu ta chọn được 2 số bất kì a và c có tổng chẵn thì ta tìm được b . 2 TH1 : Chọn được 2 số lẻ Số cách chọn là C10 2 TH2 : Chọn được 2 số chẵn Số cách chọn là C10 2 2 2.C10 3 =n( A) 2. C10 . Vậy PA( ) ==3 . C20 38 Câu 28. Choy = hàm24f( x) −số x có đồ thị như hình vẽ. x =1 x = 2 x = 0 x =−1 Hàm số đạt cực tiểu tại điểm nào? A. . B. . C. . D. .
24. Lời giải Chọn C. 24fx( )− Ta có y = 2 f( x) − 4   ln . y =0 2 f ( x) − 4 = 0 f ( x) = 2 . x =−1 ( nghiem boi chan) Mặt khác ta có f ( x−1) = 2 x = 1 x − 1 = 0 (ta chỉ lấy nghiệm bội x = 2 ( nghiem boi chan) lẻ). Do đó f ( x) =20 x = . Bảng xét dấu Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 . Câu 29. Cho hình chóp có dáy là hình vuông cạnh bằng , tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng . Gọi là trung điểm của . Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là A. . B. . C. . D. . Lời giải ChọnA. S. ABCD ABCD 2a SAB ( ABCD) M AD B (SCM ) 32a a 2 a 2 32a 8 2 3 Kẻ SH⊥ AB . Suy ra SH=23 a  = a (đường cao của tam giác SAB đều). 2 (SAB) ⊥ ( ABCD) Mặt khác . (SAB) =( ABCD) AB Do đó SH⊥ ( ABCD).
25. Trong ( ABCD) , K= AB CM . Kẻ BN⊥ KC , HI⊥ KC do đó BN// HI . Kẻ HJ⊥ AI . Khi đó HJ⊥( SCM) d;( H( SCM)) = HJ . Xét tam giác KBC , ta có: AM KA KA 1 AM// BC = = KB = 2 KA = 4 a . BC KB KB 2 Xét tam giác KBC vuông tại B , đường cao BN , ta có: 1 1 1BC BK 2 a 4 a 4 a 5 2= 2 + 2 BN = = = . BN BC BK BC2++ BK 24 a 2 16 a 2 5 HI KH HI3 3 a 5 Ta lại có BN// HI = = HI = . BN KB BN 45 Xét tam giác SHI vuông tại H , đường cao HJ , ta có: 1 1 1HS HI 3 a 2 2= 2 + 2 HJ = = . HJ HS HI HS22+ HI 4 BK 4d;(B( SCM )) 4 4 Mà = = d(B ;( SCM)) =  d( H ;( SCM)) = a 2 . HK 3d;(H( SCM )) 3 3 Câu 30. Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông cân tại đỉnh . Biết , và khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng . Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp . A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn A. S. ABC ABC B KẻAB SH== BC⊥( ABC a 3) SAB SH== ⊥ SCB AB . 90 A (SBC) a 2 S. ABC Mà SA⊥ AB. Do đó AB⊥( SAH) AB ⊥ AH BAH = 90 . 12 a2 8 a2 2 a2 16 a2 Chứng minh tương tự ta có CB⊥ CH BCH = 90 . Mà ABC = 90 .
26. Suy ra ABCH là hình chữ nhật. Do đó AH BC AH( SBC) d( A ;( SBC)) = d( H ;( SBC)) = a 2 . Kẻ HK⊥ SC HK ⊥( SBC) d( H ;( SBC)) = HK HK = a 2 . 1 1 1 1 1 1 1 1 Ta có = + = − = − . HK2 HS 2 HC 2 HS 2 HK 2 HC 223 a 2 a 2 Do đó HK= a 6 . Áp dụng định lí Pytago cho tam giác SHC , ta có: 7 SC2= SH 2 + HC 2 =6 a 2 + 3 a 2 = 9 a 2 . y = f x3 ++21 x Suy ra SC= 3 a . ( ) 4 1 3 2 Áp dụng định lí Pyatago cho tam giác SCB , ta có: SB2= SC 2 + BC 2 =9 a 2 + 3 a 2 = 12 a 2 . Suy ra SB= 23 a . SB Gọi I là trung điểm của SB , khi đó ta có IS= IB = IA = IC = = a 3 . 2 Do đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S. ABC . 2 Suy ra diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S. ABC là S==4 ( a 3) 12 a2 . Câu 31. Cho hàm số xác định, liên tục trên và có bảng biến thiên như sau: Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là A. B. C. D. Lời giải Chọn D Ta có: limx33+ x = + lim f x + x + 1 = + xx→+ ( ) →+ ( ( ) ) 33 limx+ x = + lim f x + x + 1 = − xx→− ( ) →− ( ( ) ) 7 7 Do đó lim= 0. Vậy đồ thị hàm số y = có một đường tiệm cận x→ f( x3 ++21 x) f( x3 ++21 x) ngang là đường thẳng y = 0 . y= f() x Xét phương trình f( x3++= x) 1 0 f( x 3 +=− += x) 1 x 3 x a ,( a − 1) ( *)
27. Xét hàm số g( x) = x32 + x, g = 3 x + 1 0 với  x nên gx( )đồng biến trên mà limg( x) = − ; lim g( x) = + nên phương trình x3 += x a có nghiệm duy nhất do đó đồ thị xx→− →+ 7 hàm số y = có một đường tiệm cân đứng. f( x3 ++21 x) Vậy tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là 2 . Câu 32. Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên: ax+ b y = cx −1 Giá trị của tổng bằng A. B. C. D. Lời giải Chọn C Theo đồ thị của hàm số ta có: abc++ 1 Đồ thị có đường tiệm cận đứng là đường thẳng xc=1 = 1 = 1. 0 4 2 c −2 1 a Đồ thị có đường tiệm cậnabc ,ngang , là đư ;1ờng thẳng y=− 1P =− min 1 a =− c a =− 1. 4 c Đồ thị cắ t trục1 Ox tại đi ểm có 1 hoành độ bằ 1ng 2 nên 2a+ b = 0 b = 2. VPậ=y logabc+a b + − = − +1 log + 1 b + 2 c =− 2 + log c a − 4 4 4 Câu 33. Cho ba số thực . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Pmin = 3 Pmin = 33 Pmin = 6 Pmin =1 A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn C.