Đề thi chọn HSG môn Toán 12 - Sở GD&ĐT Nam Định 2018-2019 (Có đáp án)

24 trang Nguyệt Quế 23/12/2025 160

Download

Bạn đang xem tài liệu "Đề thi chọn HSG môn Toán 12 - Sở GD&ĐT Nam Định 2018-2019 (Có đáp án)", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên.

File đính kèm:

de_thi_chon_hsg_mon_toan_12_so_gddt_nam_dinh_2018_2019_co_da.pdf

Nội dung tài liệu: Đề thi chọn HSG môn Toán 12 - Sở GD&ĐT Nam Định 2018-2019 (Có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 BÀI TRẮC NGHIỆM NĂM HỌC 2018 – 2019 Môn: Toán Thời gian: 90 phút (Không kể thời gian phát đề) 6 10 6 Câu 1. Cho hàm số f x liên tục trên và thỏa mãn fxx d 7, fxx d 3, fxx d 1. Tính 0 3 3 10 giá trị của fx d x . 0 A. 4 . B. 10 . C. 9. D. 8. x 3 x Câu 2. Đồ thị của hàm số y có bao nhiêu đường tiệm cận đứng. x3 8 x 2 20 x 16 A. 1. B. 3. C. 0 . D. 2 . x 2 Câu 3. Tìm tập xác định D của hàm số y e x log . 2 1 x A. D ;1  2; . B. D 1;2 . C. D \ 1;2 . D. D \  1 . Câu 4. Cho tứ diện ABCD có thể tích V với M, N lần lượt là trung điểm AB, CD . Gọi V1, V 2 lần lượt là V V thể tích của MNBC và MNDA . Tính tỉ lệ 1 2 . V 1 1 2 A. 1. B. . C. . D. . 2 3 3 Câu 5. Cho hình hộp ABCD. ABCD , gọi O là giao điểm AC và BD . Thể tích khối chóp OABCD. bằng bao nhiêu lần thể tích khối hộp ABCD. ABCD ? 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 6 4 2 3 Câu 6. Cho cấp số cộng un có u1 3 và công sai d 3. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau? A. u5 7 . B. u3 3. C. u6 9 . D. u4 5. Câu 7. Cho hàm số y fx xác định trên D R \ 1;1  , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên sau: Tìm điều kiện cần và đủ của tham số m để đường thẳng dy: 2 m 1 cắt đồ thị hàm số y fx tại hai điểm phân biệt? m ;2  1; m ;2  1; A.  . B. . C. m ;2  1; . D. m 2;1 . Câu 8. Biết rằng phương trình 4x 3.2 x m 0 có một nghiệm x 0. Tính nghiệm còn lại. Trang 1/24 - WordToan
1 A. 1. B. 1. C. 2. D. 2 . Câu 9. Số tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x4 2 x 2 song song với trục hoành là A. 3 . B. 2 . C. 0 . D. 1. 1 Câu 10. Cực tiểu của hàm số y x4 2 x 2 7 là 4 A. 0 . B. 3 . C. 7 . D. 2 . 1 Câu 11. Hàm số y xx3 2 3 x 2019 nghịch biến trên 3 A. 1;3 . B. ; 1 . C. ; 1 và 3; . D. 3; . Câu 12. Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có sáu chữ số khác nhau? A. 600 . B. 240 . C. 720 . D. 625. Câu 13. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho các điểm A, B, C với M 1; 2;2 là trung điểm của   BC biết AB 0;1; 2 , AC 2; 1;0 . Tìm tọa độ điểmA. A. A 1;1; 2 . B. A 2;2; 3 . C. A 0;2; 3 . D. A 2; 2;3 . Câu 14. Giá trị lớn nhất của hàm số y 4 x2 là A. 2. B. 0. C. 4. D. 1. Câu 15. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho một hình trụ có tọa độ hai tâm là I (1;2;3) và J (2;3;4) . Biết bán kính đáy của hình trụ là R 4 3 . Tính thể tích của khối trụ. 4 A. 3 . B. 3. C. 3 3. D. 3 3. Câu 16. Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên tập xác định của nó? y log x . A. y log3 x . B. y log x . C. e D. y ln x . 2 Câu 17. Hàm số y ln x 9 không xác định tại bao nhiêu số nguyên? A. 5. B. Vô số. C. 4. D. 2. e Câu 18. Cho hàm số fx cos ln x . Tính tích phân I fxx d . 1 A. I 2. B. I 2. C. I 2 . D. I 2 . Câu 19. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm M abc; ; thuộc mặt phẳng P : 2 x 2 yz 3 0 thỏa mãn AM 4 với điểm A 1; 2;3 . Tính a b c ? 8 2 A. B. C. 2 D. 12 3 3 Câu 20. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A 1;0;0 , B 0;2;0 , C 0;0; 2 . Biết rằng có ba điểm phân biệt D, E, F sao cho mỗi điểm đó tạo với A, B, C thành hình bình hành. Tính diện tích tam giác DEF. A. 3 6 B. 6 C. 4 6 D. 2 6 1 Câu 21. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của m sao cho hàm số y x3 x 2 mx 2018 nghịch biến 3 trên khoảng 1;2 và đồng biến trên khoảng 3;4 . Tính số phần tử của tập hợp S ? A. 10. B. 9. C. 4 . D. 5. Câu 22. Cho hai mặt phẳng P , Q song song với nhau và cùng cắt khối cầu tâm O , bán kính R thành hai hình tròn cùng bán kính. Xét hình nón có đỉnh trùng với tâm của một trong hai hình tròn này và Trang 2/24 – Diễn đàn giáo viên Toán
có đáy là hình tròn còn lại. Tính khoảng cách h giữa hai mặt phẳng P , Q để diện tích xung quanh của hình nón là lớn nhất. 2R 3 A. h R . B. h R 2 . C. h . D. 2R 3 . 3 Câu 23. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số yx cos 2 x trên đoạn ; . Khi đó M m là 4 4 3 3 2 3 A. . B. . C. 1. D. . 6 2 12 2 4 6 2 Câu 24. Hàm số y mx4 m 2 mx 2 2019 có đúng một điểm cực trị khi và chỉ khi A. m 1;0  0; . B. m ; 1 . C. m  1; . D.  1;0  0; . 2 Câu 25. Biết rằng sinx cos x d x a b với ab, R .Tính a b . 0 A. . B. 4. C. 2. D. 2 . Câu 26. Cho khối tứ diện ABCD có bốn mặt là các tam giác vuông và cạnh lớn nhất có độ dài bằng 2a . Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp khối tứ diện ABCD . 32 4 8 2 A. a3 . B. a3 . C. a3 . D. 4 a3 . 3 3 3 Câu 27. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A 4;1;5 , B 3;0;1 , C 1;2;0 và điểm       M abc; ; thỏa mãn MA. MB 2 MB . MC 5 MC . MA lớn nhất. Tính Pa 2 b 4 c . A. P 23. B. P 31. C. P 11. D. P 13. Câu 28. Hàm số trùng phương y f x x4 ax 2 b có giá trị cực tiểu bằng 2 và giá trị cực đại bằng 4. Tìm điều kiện cần và đủ của m để fx m có đúng hai nghiệm thực phân biệt? A. m 4 . B. m 2  4; . C. m 2;4 . D. m ;2  4; . Câu 29. Với abc,, là các số thực lớn hơn 1, đặt x loga bc , y log b ca , z log c ab . Tìm giá trị nhỏ nhất của biếu thức Pxy 4 z . A. 6 . B. 12. C. 10. D. 16. Câu 30. Thể tích của khối tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số yx 2 2 x ; y 4 x2 khi nó quay quanh trục hoành là 125 421 A. 27 . B. 30 . C. . D. . 3 15 3 Câu 31. Cho hàm số f x có đạo hàm trên  4;2, thỏa mãn xf' 2 x 4 dx 8 và f 2 2 . 0 1 Tính I f 2 x dx . 2 A. I 10 B. I 5 C. I 5 D. I 10 Trang 3/24 - WordToan
2019x Câu 32. Gọi S là tập các giá trị nguyên của m sao cho đồ thị hàm số y có bốn đường 17x2 1 mx tiệm cận (bao gồm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang). Tính số phần tử của tập S. A. Vô số B. 3 C. 5 D. 4 Câu 33. Cho hình chóp S. ABC có đáy là tam giác đều ABC có cạnh bằng 6 . Biết rằng các mặt bên của hình chóp có diện tích bằng nhau và một trong các cạnh bên bằng 3 2 . Tính thể tích nhỏ nhất của khối chóp S. ABC . A. 2 3 . B. 2 2 . C. 3 . D. 4 . Câu 34. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A 1; 2;0 , B 3;4; 3 , C 1; 2; 1 và mặt phẳng P : 2 xy 3 z 2 0 . Số điểm M trên mặt phẳng P sao cho tứ giác MABC là hình thang đáy là BC A. 0 . B. 3 . C. 2 . D. 1. x 2 Câu 35. Với mọi giá trị của a 0, a 1 , đồ thị hàm số y a luôn đi qua điểm cố định A và đồ thị hàm số y loga 4 x luôn đi qua điểm cố định B . Tính độ dài đoạn thẳng AB . 1 A. 1. B. 2 . C. . D. 2 . 2 2 2 5 2 Câu 36. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 1;2 và thỏa mãn: f 2 0, f( x ) dx ln và 1 12 3 2 f( x ) 5 3 2 dx ln . Tính tích phân f x dx . 2 1 (x 1) 12 2 1 3 3 2 3 2 3 2 A. 2ln . B. ln . C. 2ln . D. 2ln . 4 2 3 4 3 4 3 Câu 37. Cho hình chóp S. ABC có SA vuông góc với mặt phẳng ABC , đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , AC a 2 . Gọi G là trọng tâm tam giác SAB và K là hình chiếu của điểm A trên cạnh SC . Gọi là góc giữa hai mặt phẳng ABC và AGK . Tính cos , biết rằng khoảng cách từ a điểm A đến mặt phẳng KBC bằng . 2 1 2 3 3 A. cos . B. cos . C. cos . D. cos . 2 2 2 3 Câu 38. Cho tập X 1;2;3; ;8 . Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có 8 chữ số đôi một khác nhau được lập từ X . Lấy ngẫu nhiên một số từ tập A. Tính xác suất để số được lấy chia hết cho 2222 . C2 C 2 C 2 192 4!.4! 384 A. 8 6 4 . B. . C. . D. . 8! 8! 8! 8! Câu 39. Cho phương trình x2 7 mxx 2 1 xx 4 2 1 mxx 2 1 2 . Biết tập hợp tất cả các giá trị của m để phương trình đã cho có nghiệm là a; b . Tính P b a . 26 13 13 13 A. . B. . C. . D. . 3 6 3 2 Câu 40. Một hình lập phương có thể tích gấp 24 lần thể tích một hình tứ diện đều. Hỏi cạnh hình lập phương gấp mấy lần cạnh tứ diện đều? A. 2 . B. 2 2 . C. 1. D. 2 . Trang 4/24 – Diễn đàn giáo viên Toán
BẢNG ĐÁP ÁN 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 C A B B D B B A D B A A D A A C D A B C 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 C C A D C B D B C D A C C A B D D D C D Lời giải chi tiết 6 10 6 Câu 1. Cho hàm số f x liên tục trên và thỏa mãn fxx d 7, fxx d 3, fxx d 1. Tính giá 0 3 3 10 trị của fx d x . 0 A. 4 . B. 10. C. 9. D. 8. Lời giải Chọn C Ta có 3 6 6 10 3 10 fxx d fxx d fxx d716 fxx d fxx d fxx d639 . 0 0 3 0 0 3 x 3 x Câu 2. Đồ thị của hàm số y có bao nhiêu đường tiệm cận đứng. x3 8 x 2 20 x 16 A. 1. B. 3. C. 0 . D. 2 . Lời giải Chọn A Tập xác định của hàm số đã cho là 0;2  2;3 xx 3 xx 3 Vì limy lim3 2 lim 2 . Do đó đồ thị của hàm số xx 2 2x 8 x 20 x 16 x 2 x 2 x 4 x 3 x y có duy nhất 1 đường tiệm cận đứng x 2 . x3 8 x 2 20 x 16 x 2 Câu 3. Tìm tập xác định D của hàm số y e x log . 2 1 x A. D ;1  2; . B. D 1;2 . C. D \ 1;2. D. D \ 1 . Lời giải Chọn B x 0 Hàm số xác định khi và chỉ khi x 2 1x 2 . 0 1 x Vậy tập xác định của hàm số là D 1;2 . Câu 4. Cho tứ diện ABCD có thể tích V với M, N lần lượt là trung điểm AB, CD . Gọi V1, V 2 lần lượt là thể V V tích của MNBC và MNDA . Tính tỉ lệ 1 2 . V Trang 5/24 - WordToan
1 1 2 A. 1. B. . C. . D. . 2 3 3 Lời giải Chọn B A M B D N C Vì M, N lần lượt là trung điểm AB, CD nên ta có: d A,,;,, MCD d B MCD d C NAB d D NAB , do đó: VV V V V; VVV V B. MCD ; AMCD. BMCD .2 1 MNBC CMNB . DMNB . 2 4 V V VV V V A. MCD . 2MNAD D . MNA C . MNA 2 4 V V V V 1 1 2 4 4 . V V 2 Câu 5. Cho hình hộp ABCD. A B C D , gọi O là giao điểm AC và BD . Thể tích khối chóp OABCD. bằng bao nhiêu lần thể tích khối hộp ABCD. A B C D ? 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 6 4 2 3 Lời giải Chọn D B C O D A B' C' A' D' V 1 Do khối chóp và khối hộp có cùng chiều cao và diện tích đáy nên OABCD. ' VABCD. ABCD ' 3 Trang 6/24 – Diễn đàn giáo viên Toán
Câu 6. Cho cấp số cộng un có u1 3 và công sai d 3. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau? A. u5 7 . B. u3 3. C. u6 9 . D. u4 5. Lời giải Chọn B Vì un u1 n 1 d nên u3 3 2.3 3,u4 6 ,u5 9 ,u6 12 . Câu 7. Cho hàm số y fx xác định trên D R \ 1;1  , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên sau: Tìm điều kiện cần và đủ của tham số m để đường thẳng dy: 2 m 1 cắt đồ thị hàm số y fx tại hai điểm phân biệt? m ;2  1; m ;2  1; A.  . B. . C. m ;2  1; . D. m 2;1 . Lời giải Chọn B Để đường thẳng y 2 m 1 cắt đồ thị hàm số y fx tại hai điểm phân biệt thì điều kiện cần và đủ là: 2m 1 3 m 2 m ;2  1; . 2m 1 3 m 1 Câu 8. Biết rằng phương trình 4x 3.2 x m 0 có một nghiệm x 0. Tính nghiệm còn lại. 1 A. 1. B. 1. C. 2. D. 2 . Lời giải Chọn A Do x 0 là một nghiệm của phương trình, ta có: 40 3.2 0 m 0 1 3m 0 m 2. Suy ra ta có phương trình: x x 4 3.2 2 0 22 x 3 2 x 2 0 2x 1 2 x 2 0 2x 1 0 2x 1 x 0 . x x 2 2 0 2 2 x 1 Vậy x 1 là nghiệm còn lại của phương trình. Câu 9. Số tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x4 2 x 2 song song với trục hoành là A. 3 . B. 2 . C. 0 . D. 1. Lời giải Trang 7/24 - WordToan
Chọn D y 4 x3 4 x . Gọi Mx 0; y 0 là tiếp điểm. Vì tiếp tuyến song song với trục hoành nên có hệ số góc bằng 0 . x0 0 Suy ra y x 0 4x3 4 x 0 x 1. 0 0 0 0 x0 1 Với x0 0 thì y0 0 , tiếp tuyến là: y 0 (loại). Với x0 1 thì y0 1, tiếp tuyến là y 1 (thỏa mãn). Với x0 1 thì y0 1, tiếp tuyến là y 1 (thỏa mãn). Vậy có một tiếp tuyến song song với trục hoành có phương trình y 1. 1 Câu 10. Cực tiểu của hàm số y x4 2 x 2 7 là 4 A. 0 . B. 3 . C. 7 . D. 2 . Lời giải Chọn B Ta có: yx 3 4 x ; y 3 x2 4 . x 0 y 0 x3 4 x 0 . x 2 x 2 Vì y 0 4 0; y 2 8 0 ; y 2 8 0 nên hàm số có hai điểm cực tiểu là x 2 ; x 2 . Suy ra cực tiểu của hàm số là y 2 y 2 3. 1 Câu 11. Hàm số y xx3 2 3 x 2019 nghịch biến trên 3 A. 1;3 . B. ; 1 . C. ; 1 và 3; . D. 3; . Lời giải Chọn A Tập xác định D . yx 2 2 x 3. x 1 Cho y 0 . x 3 Ta có bảng xét dấu của y như sau: Trang 8/24 – Diễn đàn giáo viên Toán
1 Nhìn vào bảng xét dấu của y ta thấy hàm số y xx3 2 3 x 2019 nghịch biến trên khoảng 3 1;3 . 1 Vậy hàm số y xx3 2 3 x 2019 nghịch biến trên khoảng 1;3 . 3 Câu 12. Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có sáu chữ số khác nhau? A. 600 . B. 240 . C. 720 . D. 625 . Lời giải Chọn A Gọi số cần tìm là n a1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 , (điều kiện: a1 0 ; a1,,,,, a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 đôi một khác nhau). Giai đoạn 1: a1 có 5 cách chọn. Giai đoạn 2: a2 có 5 cách chọn. Giai đoạn 3: a3 có 4 cách chọn. Giai đoạn 4: a4 có 3 cách chọn. Giai đoạn 5: a5 có 2 cách chọn. Giai đoạn 6: a6 có 1 cách chọn. Vậy có: 5.5! 600 số cần tìm. Câu 13. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho các điểm A, B, C với M 1; 2;2 là trung điểm của   BC biết AB 0;1; 2 , AC 2; 1;0 . Tìm tọa độ điểmA. A. A 1;1; 2 . B. A 2;2; 3 . C. A 0;2; 3 . D. A 2; 2;3 . Lời giải Chọn D Giả sử: Axyz ; ; . 1 x 1 x 2  1   M là trung điểm của BC nên ta có: AM AB AC 2 y 0 y 2. 2 2 z 1 z 3 Câu 14. Giá trị lớn nhất của hàm số y 4 x2 là A. 2. B. 0. C. 4. D. 1. Lời giải Chọn A Trang 9/24 - WordToan
• Tập xác định: D  2;2 x • Ta có: y ' y 0 x 0 2;2 4 x2 y 2 y 2 0 • Ta có: maxy 2 . y 0 2  2;2  Câu 15. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho một hình trụ có tọa độ hai tâm là I (1;2;3) và J (2;3;4) . Biết bán kính đáy của hình trụ là R 4 3 . Tính thể tích của khối trụ. 4 A. 3 . B. 3. C. 3 3. D. 3 3. Lời giải Chọn A IJ (2 1)2 (3 2) 2 (4 3) 2 3. Khối trụ có chiều cao là IJ và bán kính đáy là R 4 3 . Do đó thể tích của khối hộp là 3. (4 3)2 3 . Câu 16. Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên tập xác định của nó? y log x . y log x . A. y log3 x . B. C. e D. y ln x . Lời giải Chọn C e Vì 1 nên y log x nghịch biến trên tập xác định của nó. e 2 Câu 17. Hàm số y ln x 9 không xác định tại bao nhiêu số nguyên? A. 5. B. Vô số. C. 4. D. 2. Lời giải Chọn D 2 Ta có: x 9 0 Để hàm số không xác định thì: 2 x 9 0 x 3 . Vậy có 2 số nguyên thỏa mãn. e Câu 18. Cho hàm số fx cos ln x . Tính tích phân I fxx d . 1 A. I 2. B. I 2. C. I 2 . D. I 2 . Lời giải Chọn A e e Ifxxfx d fef 1 cos ln e cos ln1 1 1 cos cos0 2. Câu 19. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm M abc; ; thuộc mặt phẳng P : 2 x 2 yz 3 0 thỏa mãn AM 4 với điểm A 1; 2;3 . Tính a b c ? 8 2 A. B. C. 2 D. 12 3 3 Lời giải Chọn B Trang 10/24 – Diễn đàn giáo viên Toán
2.1 2 . 2 3 3 12 Ta có: d 4 AM A, P 22 2 2 1 2 3 Suy ra M là hình chiếu của A lên mặt phẳng P Đường thẳng AM qua A và có vecto chỉ phương trùng với vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) x 1 2 t Ta có phương trình đường thẳng AM: y 2 2 t M 1 2 t ; 2 2 tt ;3 z 3 t Mà M P 2 1 2t 2 2 2 tt 1 3 3 0 4 9t 12 0 t 3 5 2 5 2 M ; ; a b c 3 3 3 3 Câu 20. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A 1;0;0 , B 0;2;0 , C 0;0; 2 . Biết rằng có ba điểm phân biệt D, E, F sao cho mỗi điểm đó tạo với A, B, C thành hình bình hành. Tính diện tích tam giác DEF. A. 3 6 B. 6 C. 4 6 D. 2 6 Lời giải Chọn C Dễ thấy A, B, C, D, E, F đồng phẳng và SS DEF 4 ABC 1  1 22 2 Có S AB; AC 4 2 2 6 ABC 2 2 S DEF 4 6 1 Câu 21. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của m sao cho hàm số y x3 x 2 mx 2018 nghịch biến 3 trên khoảng 1;2 và đồng biến trên khoảng 3;4 . Tính số phần tử của tập hợp S ? A. 10 . B. 9. C. 4 . D. 5. Lời giải Trang 11/24 - WordToan
Chọn C 2 Ta có: yx 2 xm . Dễ thấy hàm số đã cho có đạo hàm liên tục trên nên yêu cầu bài toán y  0, x 1;2  mgxx ,   1;2  2 tương đương với , với gx 2 xx . y  0, x 3;4  mgxx ,   3;4  maxgx m min gx . (1) 3;4  1;2  Mà gx 2 2 x  0, x  1;2   3;4  nên g nghịch biến trên 2 khoảng đã cho. Do đó, (1) g 3 m g 2 3m 0 . Với m nên m 3; 2; 1;0  . Câu 22. Cho hai mặt phẳng P , Q song song với nhau và cùng cắt khối cầu tâm O , bán kính R thành hai hình tròn cùng bán kính. Xét hình nón có đỉnh trùng với tâm của một trong hai hình tròn này và có đáy là hình tròn còn lại. Tính khoảng cách h giữa hai mặt phẳng P , Q để diện tích xung quanh của hình nón là lớn nhất. 2R 3 A. h R . B. h R 2 . C. h . D. 2R 3 . 3 Lời giải Chọn C Cắt khối cầu tâm O , bán kính R bằng mặt phẳng đi qua tâm O và vuông góc với hai mặt phẳng P , Q ta được hình như hình vẽ bên dưới. Trong đó, AB  P, CD  Q với AB CD , h SH AC BD , R OB . Đường sinh l SC SD . AB Bán kính của mỗi hình tròn giao tuyến là r . 2 h2 Ta có: l2 SC 2 AC 2 AS 2 h 2 r 2 và r2 SB 2 OB 2 SO 2 R 2 . 4 3h2 Suy ra l2 R 2 . 4 Mà diện tích xung quanh của khối nón được xét là: Sxq rl . Ta có Sxq đạt giá trị lớn nhất rl đạt giá trị lớn nhất. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số r 3 và l ta có 1 3 3 2R2 3 rl .2. rl 3 3 rl2 2 .4 R 2 . 2 3 6 6 3 Trang 12/24 – Diễn đàn giáo viên Toán
2R2 3 4 2R 3 rl lớn nhất là khi và chỉ khi 3r2 l 2 h 2 R 2 h . 3 3 3 Câu 23. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số yx cos 2 x trên đoạn ; . Khi đó M m là 4 4 3 3 2 3 A. . B. . C. 1. D. . 6 2 12 2 4 6 2 Lời giải Chọn A Hàm số liên tục trên đoạn ; . 4 4 Hàm số yx cos 2 x là hàm số chẵn trên đoạn ; . 4 4 Nên ta chỉ cần xét giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số yx cos 2 x , x 0; . 4 Khi x 0; , ta có yx cos 2 xx cos2 x . 4 y 1 2sin 2 x . y 0 x 0; . 12 4 3 3 Ta có yyy 0 1, , My max và m min y . 4 4 12 12 2 ; 12 2 ; 4 4 4 4 4 3 Khi đó M m . 6 2 Câu 24. Hàm số y mx4 m 2 mx 2 2019 có đúng một điểm cực trị khi và chỉ khi A. m 1;0  0; . B. m ; 1 . C. m  1; . D.  1;0  0; . Lời giải Chọn D Tập xác định D R . Nếu m 0 Hàm số y 2019 không có cực trị. Nếu m 0 y 2 xmxmm 2 2 2 . x 0 + y 0 2 2 . 2mx m m 0 (*) + Hàm số có đúng một điểm cực trị y 0 có đúng một nghiệm * vô nghiệm hoặc * có nghiệm x 0 m2 m 1 0 m 1. 2 m m 0 + Vậy m  1;0  0; . Trang 13/24 - WordToan
2 Câu 25. Biết rằng sinx cos x d x a b với ab, R .Tính a b . 0 A. . B. 4 . C. 2 . D. 2 . Lời giải Chọn C Đặt txtx 2 2tdt d x x 2 t Đổi cận: x 0 t 0 2 I sin x cos xxttt d 2 sin cos dt 0 0 u 2 t du 2 dt Đặt dv sin t cos t dt v sin t cos t Ittt2sin cos 2sin ttdt cos 2 2cos tt sin 42 . 0 0 0 Câu 26. Cho khối tứ diện ABCD có bốn mặt là các tam giác vuông và cạnh lớn nhất có độ dài bằng 2a . Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp khối tứ diện ABCD . 32 4 8 2 A. a3 . B. a3 . C. a3 . D. 4 a3 . 3 3 3 Lời giải Chọn B Ta có : Gọi I là trung điểm AD Tam giác ABD vuông tại B I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD IA IB ID 1 Tam giác ACD vuông tại C I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD IA IC ID 2 Từ (1) và (2) ta có : IA IB IC ID I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ABCD bán kính 1 4 3 R AD a . Do đó thể tích khối cầu ngoại tiếp khối tứ diện ABCD là V a . 2 3 Câu 27. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A 4;1;5 , B 3;0;1 , C 1;2;0 và điểm       M abc; ; thỏa mãn MA. MB 2 MB . MC 5 MC . MA lớn nhất. Tính Pa 2 b 4 c . A. P 23. B. P 31. C. P 11. D. P 13. Lời giải Chọn D Trang 14/24 – Diễn đàn giáo viên Toán
      + Đặt Q MA. MB 2 MB . MC 5 MC . MA . 2   2 2     1 2 2 2 MA MB MA MB2 MA . MB MA . MB MA MB AB . 2   2     MB MC MB2 MC 22 MB . MC 2 MB . MC MB 2 MC 2 BC 2 . 2   2 2     1 2 2 2 MC MA MC MA2 MCMA . MCMA . MC MA AC . 2       Q MA. MB 2 MB . MC 5 MC . MA 1 5 MA2 MB 2 AB 2 MB 2 MC 2 BC 2 MC 2 MA 2 AC 2 2 2 3 3 1 5 2MA2 MB 2 MC 2 AB 2 BC 2 AC 2 . 2 2 2 2 1 5 3 3 AB2 BC 2 AC 2 không đổi nên Q lớn nhất khi T 2 MA2 MB 2 MC 2 đạt giá trị lớn 2 2 2 2 nhất. 3 3 + T 2 MA2 MB 2 MC 2 . 2 2  3  3  Gọi E là điểm thỏa mãn 2EA EB EC 0 . 2 2       3  4EA 3 EB 3 EC 0 4 EA 3 CB EA CB . 4 5 17 E 1; ; . 2 4 3 3  2 3   2 3   2 T 2 MA2 MB 2 MC 2 2 MEEA MEEB MEEC 2 2 2 2 3 3 3 3 2ME2 2 EA 2 EB 2 EC 2 2 EA 2 EB 2 EC 2 . 2 2 2 2 3 3 Vì 2EA2 EB 2 EC 2 không đổi nên T đạt giá trị lớn nhất khi ME 0 ME  . 2 2 5 17 M 1; ; . 2 4 5 17 Pa 2 b 4 c 1 2. 4. 13 . 2 4 Câu 28. Hàm số trùng phương y f x x4 ax 2 b có giá trị cực tiểu bằng 2 và giá trị cực đại bằng 4. Tìm điều kiện cần và đủ của m để fx m có đúng hai nghiệm thực phân biệt? A. m 4 . B. m 2  4; . C. m 2;4 . D. m ;2  4; . Lời giải Chọn B Trang 15/24 - WordToan
Từ giả thiết ta có bảng biến thiên của hàm số trùng phương y f x x4 ax 2 b như sau Số nghiệm phương trình fx m là số giao điểm của đường thẳng y m và đồ thị hàm số y f x x4 ax 2 b . fx m có đúng hai nghiệm thực phân biệt đường thẳng y m cắt đồ thị hàm số y f x x4 ax 2 b tại hai điểm phân biệt m 2 . m 4 Câu 29. Với abc,, là các số thực lớn hơn 1, đặt x loga bc , y log b ca , z log c ab . Tìm giá trị nhỏ nhất của biếu thức Pxy 4 z . A. 6 . B. 12. C. 10. D. 16. Lời giải Chọn C Ta có x loga b log a c ; y logb c log b a ; z logc a log c b . Khi đó P x y4 z logaabb b log c log c log a 4log c a 4log c b. 4 4 1 P loga c log b c log a b . logac log b c log a b Vì abc, , 1 loga b 0; log b c 0; log a c 0 nên 4 4 1 P loga c log b c log a b 2.2 2.2 2.1 10 . logac log b c log a b 2 loga c 2 c a a b Vậy minP 10 loga b 1 a b 2 . 2 c a logb c 2 c b Câu 30. Thể tích của khối tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số yx 2 2 x ; y 4 x2 khi nó quay quanh trục hoành là 125 421 A. 27 . B. 30 . C. . D. . 3 15 Lời giải Chọn D y 4 3 2 Trang 16/24 – Diễn đàn giáo viên Toán 1 x -4 -3 -2 -1O 1 2 3 4
2 2 2 x 1 Xét phương trình hoành độ giao điểm: xx 2 4 x 2 xx 2 4 0 . x 2 2 Gọi V1 là thể tích của khối tròn xoay sinh bởi đồ thị hàm số y 4 x , trục hoành và hai đường 2 thẳng x 1; x 2 . Gọi V2 là thể tích của khối tròn xoay sinh bởi đồ thị hàm số yx 2 x , trục hoành và hai đường thẳng x 1; x 0. Khi đó thể tích của khối tròn xoay cần tìm là 2 0 2 2 153 38 421 VVV 4 xx2 d xxx 2 2 d . 1 2 1 1 5 15 15 f x  4;2 3 f 2 2 Câu 31. Cho hàm số có đạo hàm trên , thỏa mãn xf' 2 x 4 dx 8 và . 0 1 Tính I f 2 xdx . 2 A. I 10 B. I 5 C. I 5 D. I 10 Lời giải Chọn A du dx u x Đặt 1 dv f' 2 x 4 dx v fx 2 4 2 Suy ra: 313 1 3 3 1 3 8'24 xf x dx xf 24 x f 24 x dx f 2 f 24 x dx 020 2 0 2 2 0 3 f 2 x 4 dx 10. 0 Đặt 2t 2 x 4 dt dx . Đổi cận: x 0 t 2 , x 3 t 1. 3 1 1 Suy ra: 10 f 2 x 4 dx ftdt 2 f 2 xdx . 0 2 2 2019x Câu 32. Gọi S là tập các giá trị nguyên của m sao cho đồ thị hàm số y có bốn đường 17x2 1 mx tiệm cận (bao gồm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang). Tính số phần tử của tập S. A. Vô số B. 3 C. 5 D. 4 Lời giải Chọn C 2019 2019 limy ,lim y . x m 17 x 17 m 2019 2019 Với m 17 thì đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang là y , y . m 17 17 m Khi đó đồ thị hàm số đã cho có 4 đường tiệm cận khi và chỉ khi phương trình 17x2 1 mx 0 1 có hai nghiệm phân biệt khác 0. Trang 17/24 - WordToan
m 0 m 0 Ta có: 1 17x2 1 mx 2 2 2 2 2 17x 1 mx 17 m x 1 2 Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 khi và chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm phân m 0 biệt khác 0 2 0m 17 . 17 m 0 Suy ra S 0,1,2,3,4  . Câu 33. Cho hình chóp S. ABC có đáy là tam giác đều ABC có cạnh bằng 6 . Biết rằng các mặt bên của hình chóp có diện tích bằng nhau và một trong các cạnh bên bằng 3 2 . Tính thể tích nhỏ nhất của khối chóp S. ABC . A. 2 3 . B. 2 2 . C. 3 . D. 4 . Lời giải Chọn C Gọi M , N , P lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm S trên các cạnh BC , CA , AB . Và H là hình chiếu vuông góc của S trên ABC . 1 1 1 SSS SP AB SM BC SN AC SP SM SN HP HM HN SAB SBC SAC 2 2 2 suy ra H là tâm đường tròn nội tiếp ABC mà ABC đều nên H cũng là trọng tâm ABC . 2 2 6. 3 AH AM . 2 . 3 3 2 Không mất tính tổng quát, giả sử SA 3 2 . SAH vuông tại H có SH SA2 AH 2 4 . 2 1 1 6 3 Vậy V SH. S .4. 2 3 . SABC. 3 ABC 3 4 Trường hợp H nằm ngoài ABC . SSS SAB SBC SAC nên dHBC ,,, dHAC dHAB do đó H là tâm đường tròn bàng tiếp ABC mà ABC đều nên giả sử H thuộc đường tròn bàng tiếp đỉnh A . Khi đó ABHC là hình thoi tâm O . Ta có HA 2 OA 3 2 nên suy ra SB SC 2 3 . Trang 18/24 – Diễn đàn giáo viên Toán
Do đó SH SB2 BH 2 2 3 . 2 1 1 6 3 V S. SH . .2 3 3. SABC. 3 ABC 3 4 Vây Vmin min 2 3 ,3  3 . Câu 34. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A 1; 2;0 , B 3;4; 3 , C 1; 2; 1 và mặt phẳng P : 2 xy 3 z 2 0 . Số điểm M trên mặt phẳng P sao cho tứ giác MABC là hình thang đáy là BC A. 0 . B. 3 . C. 2 . D. 1. Lời giải Chọn A  BC 2; 6;2 2 1;3; 1 . Từ giả thiết suy ra BC// AM . Đường thẳng AM đi qua x 1 t A 1; 2;0 và có một vectơ chỉ phương là u 1;3; 1 nên có phương trình y 2 3 t z t x 1 t x 2 y 2 3 t Do đó M AM  P nên tọa độ M thỏa mãn hệ phương trình y 1 . z t z 1 2xy 3 z 2 0 Vậy M 2;1; 1 .      Khi đó MA 1; 3;1 , CB 2;6; 2 2 MA . Do đó MA và CB ngược hướng. Vậy không tồn tại hình thang MABC . x 2 Câu 35. Với mọi giá trị của a 0, a 1 , đồ thị hàm số y a luôn đi qua điểm cố định A và đồ thị hàm số y loga 4 x luôn đi qua điểm cố định B . Tính độ dài đoạn thẳng AB . 1 A. 1. B. 2 . C. . D. 2 . 2 Lời giải Chọn B x 2 Ta có: Với mọi giá trị của a 0, a 1 đồ thị hàm số y a luôn đi qua điểm cố định A 2;1 và đồ thị hàm số y loga 4 x luôn đi qua điểm cố định B 3; 0 . 2 2 Nên độ dài đoạn thẳng AB là: AB 3 2 0 1 2 . 2 2 5 2 Câu 36. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 1;2  và thỏa mãn: f 2 0, f( x ) dx ln và 1 12 3 2 f( x ) 5 3 2 dx ln . Tính tích phân f xdx . 2 1 (x 1) 12 2 1 Trang 19/24 - WordToan
3 3 2 3 2 3 2 A. 2ln . B. ln . C. 2ln . D. 2ln . 4 2 3 4 3 4 3 Lời giải Chọn D 2fx 12 2 fx 1 1 2 fx Ta có dx f x dx f2 f 1 dx 2 1 x 1 xx 11 1 1 3 2 1 x 1 2 f x 1 5 3 Do f 2 0 nên dx f 1 ln 1 x 1 2 12 2 2 2 Lại có f x dx f 2 f 1 f 1 f x dx 1 1 2 1 1 5 3 Suy ra f x dx ln 1 x 1 2 12 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 1 1 5 2 Mặt khác dx 2 dx ln x 1 x ln x 1 2 xx 1 4 1 4 12 3 1 1 x 1 1 Vậy: 2 2 2 2 2 1 1 1 1 f x dx 2 f x dx dx x 1 2 x 1 2 1 1 1 5 2 5 2 5 2 ln 2 ln ln 0 12 3 12 3 12 3 2 2 1 1 1 1 1 f x dx 0 f x fx ln x 1 x ln 3 1 1 x 1 2 2x 1 2 2 2 12 3 2 do f 2 0 f x dx x x xln3 x 1ln x 1 x 1 2ln . 1 4 1 4 3 Câu 37. Cho hình chóp S. ABC có SA vuông góc với mặt phẳng ABC , đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , AC a 2 . Gọi G là trọng tâm tam giác SAB và K là hình chiếu của điểm A trên cạnh SC . Gọi là góc giữa hai mặt phẳng ABC và AGK . Tính cos , biết rằng khoảng cách từ a điểm A đến mặt phẳng KBC bằng . 2 1 2 3 3 A. cos . B. cos . C. cos . D. cos . 2 2 2 3 Lời giải Chọn D Trang 20/24 – Diễn đàn giáo viên Toán
Tam giác ABC vuông cân tại B mà AC a 2 suy ra AB BC a . Do BC BA , BC SA (vì SA ABC ) nên BC SAB . Gọi H là hình chiếu của điểm A lên SB , thì AH SB , AH BC (vì BC SAB ) nên a AH SAB hay AH d A, SBC . 2 Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vuông SAB với đường cao AH , ta được: 1 1 1 1 1 1 1 SA a nên tam giác SAB vuông cân tại A do AH2 SA 2 AB 2 SA 2 AH 2 AB 2 a 2 đó trọng tâm G thuộc AH . Từ AH SBC  AH SC và AK SC nên SC AHK hay SC AGK . Vì SC AGK và SA ABC nên góc giữa hai mặt phẳng AGK và ABC chính là góc giữa hai đường thẳng SC và SA hay CSA . SA a 3 Theo trên ta có SC SA2 AC 2 a 3 suy ra cos . AC a 3 3 Câu 38. Cho tập X 1;2;3; ;8 . Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có 8 chữ số đôi một khác nhau được lập từ X . Lấy ngẫu nhiên một số từ tập A. Tính xác suất để số được lấy chia hết cho 2222 . C2 C 2 C 2 192 4!.4! 384 A. 8 6 4 . B. . C. . D. . 8! 8! 8! 8! Lời giải Chọn D Số phần tử của không gian mẫu là 8!. Gọi x A và x a1 a 2 a 3 a 4 b 1 b 2 b 3 b 4 . Do 1111 và 2 nguyên tố cùng nhau nên x chia hết cho 2222 khi và chỉ khi x chia hết cho 2 và x chia hết cho 1111 hay b4 là số chẵn và x chia hết 1111. Do x chia hết cho 1111 và từ giả thiết x chia hết cho 9 nên x chia hết số 9999 . Mặt khác 4 x aaaa1234.10 bbbb 1234 9999. aaaa 1234 aaaa 1234 bbbb 1234 . Nên x chia hết cho 9999 khi và chỉ a1 a 2 a 3 a 4 b 1 b 2 b 3 b 4 chia hết cho 9999 . Trang 21/24 - WordToan