Đề thi chọn HSG môn Toán 12 - Trường THPT Lê Quý Đôn 2017-2018 (Có đáp án)

Nội dung tài liệu: Đề thi chọn HSG môn Toán 12 - Trường THPT Lê Quý Đôn 2017-2018 (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÁI BèNH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT Lấ QUí ĐễN NĂM HỌC 2017 - 2018 &&& Mụn thi : Toỏn - Thời gian làm bài 180 phỳt (Đề thi gồm 01 trang) Bài 1.(5 điểm) 21x Cho hàm số y cú đồ thị là (H). M là điểm trờn (H) sao cho xM > 1, tiếp tuyến của (H) tại 22x M cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại A và B. Xỏc định toạ độ điểm M sao cho SS OIB 8 OIA ( trong đú O là gốc toạ độ, I là giao của hai tiệm cận) Bài 2.(6 điểm) 1) Giải hệ phương trỡnh x222 2y x 2y 2y x 2 49.3 49 .7 2 2 x 2x 2y 2x 4 2) Giải bất phương trỡnh: xx22 541( xxx 24) . 3) Cho ba số thực dương a, b, c. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: 24 3 P =-. 13a + 12 ab + 16bc a + b + c Bài 3.(6 điểm). 1) . Cho hỡnh chữ nhật ABCD. Gọi H là hỡnh chiếu vuụng gúc của B lờn AC; M, N lần lượt là trung 92 điểm của AH, BH. Trờn cạnh CD lấy điểm K sao cho MNCK là hỡnh bỡnh hành. Biết M ; , 55 K(9; 2) và cỏc đỉnh B,C lần lượt nằm trờn cỏc đường thẳng dxy12:2 2 0, d :x y 5 0 . Tỡm toạ độ cỏc đỉnh của hỡnh chữ nhật ABCD biết hoành độ điểm C lớn hơn 4. 2) Cho lăng trụ tam giỏc ABC.A’B’C’ cú đỏy ABC là tam giỏc vuụng tại C, BC = 3a, AC = 4a, cạnh 222 BB’ = a . Hỡnh chiếu vuụng gúc của B’ trờn (ABC) trựng với trọng tõm tam giỏc ABC. 3 Tớnh theo a khoảng cỏch giữa hai đường thẳng BB’ và AC’. 3) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh thoi cạnh bằng 1, gúc BAD 600 , SA = = SB = SD = 1. Gọi M, N là hai điểm lần lượt thuộc cỏc cạnh AB và AD sao cho mp(SMN) vuụng gúc với (ABCD). Đặt AM = x, AN = y, tỡm x, y để diện tớch toàn phần của tứ diện SAMN nhỏ nhất. Bài 4.(2 điểm) ABC Cho tam giỏc ABC cú cỏc gúc thoả món 2sinA + 3sinB + 4sinC = 5cos 3cos cos . 222 Chứng minh tam giỏc ABC là tam giỏc đều. Bài 5.(1 điểm) Trong mặt phẳng cú n điểm, trong đú cú k điểm thẳng hàng, số cũn lại khụng cú 3 điểm nào thẳng hàng. Biết rằng từ n điểm đú tạo được 36 đường thẳng phõn biệt và tạo được 110 tam giỏc khỏc nhau. Hóy tỡm n, k. Hết Lưu ý: Thớ sinh khụng sử dụng tài liệu. Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm. Họ tờn thớ sinh: Số bỏo danh:
2. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÁI BèNH HƯỚNG DẪN CHẤM &&& ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT Lờ Quý Đụn NĂM HỌC 2017 - 2018 Mụn thi : Toỏn ( Gồm 6 trang) Bài (5 đ) 21x Cho hàm số y cú đồ thị là (H). M là điểm trờn (H) sao cho xM > 1, tiếp tuyến của 22x (H) tại M cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại A và B. Xỏc định toạ độ điểm M sao cho SS OIB 8 OIA ( trong đú O là gốc toạ độ, I là giao của hai tiệm cận) 1.0 21x0 Mx 00;,1 x thuộc (H), Tiếp tuyến của (H) tại M cú phương trỡnh 22x0 21x 2 ():dy 0 ( xx ) 22x 2 0 0 22x0 1.0 x0 (d) cắt tiệm cận đứng tại A 1; , (d) cắt tiệm cận ngang tại B(2x0 – 1; 1) x0 1 1 1.0 IA = , IB = 2(x0 1) x0 1 1.0 8 2 x0 1(ktm ) SS OIB 8 OIA  2(xx00 1) 1 4 x0 1 x0 3(tm ) 5 1.0 Vậy M 3; 4 Bài 2 1 Giải hệ phương trỡnh (2đ) x2222 y x2y 2y x2 49.3 49 .7 2 2 x 2x 2y 2x 4 Đk: y – x 2 0 (*) 0.5 Đặt t = x2 – 2y t 2 2t t 2 t 2 – t 4 3 4 3 Pt(1) trở thành : 4 3 4 9.7 t2 2t 77 f(t 2) f(2t) t 2 2t t 2 0.5 43 x Từ đú 2y = x2 – 2 Với f(x) = x nghịch biến trên R 7 22 0.5 Thay 2y = x2 – 2 vào pt(2) ta được 2x 2xx 2x2 (3) Đặt x2x2a12 phương trỡnh (3) trở thành aa(22)02 (4) x0 0.5 (tm *) y1 Giải pt (4) được a 2 tìm đ−ợc x2 (tm *) y1 Bài 2
3. 2 Giải bất phương trỡnh: xx22 541( xxx 24) (x R). (2đ) 15 x 0 0.5 HD: ĐK: x(x2 + 2x − 4) ≥ 0 x 15 22 0.5 Khi đú (*) 4(x xx 2 4) xx 5 4 4(x xx22 2 4)( xx 2 4)3 x ( ) TH 1: x 15 , 0.5 xx22 24 xx 24 Chia hai vế cho x > 0, ta cú: ( ) 43 xx xx2 24 Đặt tt , 0, ta cú bpt: tt2 430 13t x xx2 24 xx2 740 1177 65 13 x 2 x xx 40 22 TH 2: 15 x 0, xx2 540 , ( ) luụn thỏa 0.5 117765 Vậy tập nghiệm bpt (*) là S 15;0  ; 22 Bài 2 3 Cho ba số thực dương a, b, c . Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: đ (2 ) 24 3 P =-. 13a + 12 ab + 16bc a + b + c Áp dụng bất đẳng thức Cụsi ta cú 0.5 a4bb4c 13a12ab16 bcb.4c16(abc) 13a6a.4b8 13a6. 8. 22 13a 12 ab 16 bc16(abc) . Dấu “ = ” xảy ra a4b16c . 33 0.5 Suy ra P . 2a b c abc 33 Đặt tabc,t0 . Khi đú ta cú: P 2t t 33 33 0.5 Xột hàm số ft trờn khoảng (0; ), ta cú f' t . 2t t 2t t 2t2 33 f' t 0 0 t 1; lim f (t) ; lim f (t) 0 2t t 2t2 x0 x BBT.
4. 3 abc1 16 4 1 0.5 Vậy ta cú P , đẳng thức xảy ra a;b;c . 2 a4b16c 21 21 21 3 16 4 1 Vậy giỏ trị nhỏ nhất của P là khi và chỉ khi a,b,c , , . 2 21 21 21 Bài 3 1 Cho hỡnh chữ nhật ABCD. Gọi H là hỡnh chiếu vuụng gúc của B lờn AC; M, N lần lượt là trung (2đ) 92 điểm của AH, BH. Trờn cạnh CD lấy điểm K sao cho MNCK là hỡnh bỡnh hành. Biết M ; , 55 K(9; 2) và cỏc đỉnh B,C lần lượt nằm trờn cỏc đường thẳng dxy12:2 2 0, d :x y 5 0 . Tỡm toạ độ cỏc đỉnh của hỡnh chữ nhật ABCD biết hoành độ điểm C lớn hơn 4. A B N M H C D K 1 0.5 MN là đường trung bỡnh của tam giỏc HAB MNABMNAB// , . Do MNCK là hỡnh 2 1 bỡnh hành MNMNCKAB//CK, suy ra K là trung điểm của CD 2 Ta cú MNBCBHMC, nờn N là trực tõm tam giỏc BCM CN BM , mà MK // CN BMMK Viết phương trỡnh BM qua M và và vuụng gúc với MK, suy ra toạ độ 0.5 BBMd  1 B(1; 4)   a 9 0.5 Cd 2 Caa(; 5). BC.0 CK . Do xC 4 nờn C(9; 4). a 4   K là trung điểm CD suy ra D(9;0). AB DC A(1; 0) 0.5 Vậy A(1; 0), B(1; 4), C(9; 4), D(9; 0)
5. 2 Cho lăng trụ tam giỏc ABC.A’B’C’ cú đỏy ABC là tam giỏc vuụng tại C, BC = 3a, AC = 4a, cạnh (2 đ) 222 BB’ = a . Hỡnh chiếu vuụng gúc của B’ trờn (ABC) trựng với trọng tõm tam giỏc ABC. 3 Tớnh theo a khoảng cỏch giữa hai đường thẳng BB’ và AC’. B' A' C' B A G M I C H BB’// (ACC’) suy ra d(BB’, AC’) = d(BB’, (ACC’)) = d(B, (ACC’) 0.5 Gọi H là hỡnh chiếu vuụng gúc của C’ trờn (ABC). Gọi I là giao điểm của GH và AC. 0.5 Chứng minh được C'I AC v C'I = C'H22 HI 2 2a 0.5 1 SC'I.AC42a 2 C'AC 2 3 V4aC'.ABC 1 VV S.d(B,(ACC')) C'.ABC B.ACC'3 ACC' 0.5 3V 32 32 d(B,(ACC '))C'.ABC a . Kết luận d(BB’, AC’) = a (đvd) S2 ACC' 2 3 Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh thoi cạnh bằng 1, gúc BAD 600 , (2 đ) SA = SB = SD = 1. Gọi M, N là hai điểm lần lượt thuộc cỏc cạnh AB và AD sao cho mp(SMN) vuụng gúc với (ABCD). Đặt AM = x, AN = y, tỡm x, y để diện tớch toàn phần của tứ diện SAMN nhỏ nhất.
6. 0.5 S D C N O H A M B Chứng tỏ M,H,N thẳng hàng theo thứ tự đú 1113 SSS AMAHANAH sin3000 sin30.( xy ) (5) AMN AMH ANH 2243 0.5 13 SAMANxy sin600 (6) AMN 24 Từ (5) và (6) ta cú x + y = 3xy (0 xy , 1) (7) 0.5 MN222 AM AN2 AM os60 AN c 022 x y xy ( x y )3 2 xy (3)3 xy 2 xy MN(3 xy )2 3 xy Gọi Stp là diện tớch toàn phần của tứ diện SAMN Ta cú Stp = SAMN + SSAN + SSAM + SSMN 1111 AMAN. .sin 6000 AN .AS.sin60 AMAS . .sin 60 0 SHMN . 2222 13131316 1 1 3(31)xy y x xy xy 22222223 36 6 xy x y.3 xy (3 xy 1) 3 xy .3 xy (3 xy 1) 46 6 0.5 24 Từ (7) ta cú 32xy x y xy xy xy 39 34 2 S 9 34 2 2 MinS khi x y 93 Bài 4 ABC (2 đ) Cho tam giỏc ABC cú cỏc gúc thoả món 2sinA + 3sinB + 4sinC = 5cos 3cos cos . 222 Chứng minh tam giỏc ABC là tam giỏc đều.
7. 0.5 A B A B C Ta có : sinA +sin B = 2 sin cos 2 cos 2 2 2 1 C  (sin A + sinB ) cos 2 2 dấu ( = ) xảy ra khi vμ chỉ khi chỉ khi A = B (1) 5 A 0.5 T−ơng tự : (sin B + sinC ) 5cos (2) 2 2 3 B 0.5 (sin C + sinA ) 3cos (3) 2 2 A B C 0.5 Từ (1), (2), (3), suy ra : 2sinA + 3sin B + 4 sin C 5cos +3cos +cos 2 2 2 Đẳng thức xảy ra khi vμ chỉ khi tam giác ABC đều. Bài 5 Trong mặt phẳng cú n điểm, trong đú cú k điểm thẳng hàng, số cũn lại khụng cú 3 điểm nào (1 đ) thẳng hàng. Biết rằng từ n điểm đú tạo được 36 đường thẳng phõn biệt và tạo được 110 tam giỏc khỏc nhau. Hóy tỡm n, k. 2 2 0.25 + Số đường thẳng phõn biệt cú được Cn Ck 1 3 3 + Số tam giỏc phõn biệt cú được Cn Ck Theo bài ra ta cú: 0.25 2 2 Cn Ck 1 36 n(n 1) k(k 1) 70 (n k)(n k 1) 70 (1) 3 3 3 3 3 3 Cn Ck 110 Cn Ck 110 Cn Ck 110 (2) 3 Từ (2) ta cú Cn 110 n 10 mà k≥3 suy ra n+k-1≥12 Do đú (1) tương đương với cỏc trường hợp sau 0.25 n k 1 14 n 10 1) thỏa món (2) n k 5 k 5 n k 1 35 n 19 2) khụng thỏa món (2) n k 2 k 17 n k 1 70 n 36 3) khụng thỏa món (2) n k 1 k 35 Vậy n=10, k=5. 0.25