Đề thi chọn HSG môn Toán 12 - Trường THPT Quế Võ 1 2020-2021 (Có đáp án)

Nội dung tài liệu: Đề thi chọn HSG môn Toán 12 - Trường THPT Quế Võ 1 2020-2021 (Có đáp án)

1. TRƯỜNG THPT QUẾ VÕ 1 ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2020 - 2021 MÔN: TOÁN 12 (Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Đề gồm có 8 trang, 50 câu (Thí sinh không được sử dụng tài liệu) Họ tên thí sinh: SBD: Câu 1: Cho hàm số y f x . Hàm số y f x có đồ thị trên một khoảng K như hình vẽ bên. Trong các khẳng định sau, có tất cả bao nhiêu khẳng định đúng ? I : Trên K , hàm số y f x có hai điểm cực trị. II : Hàm số y f x đạt cực đại tại x3 . III : Hàm số y f x đạt cực tiểu tại x1 . A. 2. B. 0. C. 3. D. 1. Câu 2: Tập tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y ln cosx 2 mx 1 đồng biến trên R là: 1 1 1 1 A. ; . B. ; C. ; . D. ; . 3 3 3 3 1 Câu 3: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên tập hợp R . Biết f 3 2 và xf 3x dx 5. 0 3 Giá trị của x2 f ' x dx bằng 0 A. 18. B. 45. C. 25. D. 72. Câu 4: Trong các hàm số sau 2 f x tan2 x 2 II f x III f x tan2 x 1 cos2 x Hàm số nào có nguyên hàm là hàm số g x tan x A. II và III B. Chỉ II C. Chỉ III D. I ; II ; III
2. 3 u1 3 Câu 5: Cho dãy số un với . Tính u21. 2u u n 1 ,n 2 n 2 1 un 1 1 A. u B. u21 3 C. u21 3 D. u 1 21 3 21 Câu 6: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A B C có cạnh bên bằng cạnh đáy. Đường thẳng MN NB M A C; N BC là đường vuông góc chung của A C và BC . Tỷ số bằng NC 3 2 5 A. . B. 1. C. . D. . 2 3 2 Câu 7: Gọi S là tập các giá trị nguyên dương nhỏ hơn 2020 của tham số m để phương trình x 1 2 m log4 x 2m có nghiệm . Tính số phần tử của S A. 2021. B. 1020. C. 2020 . D. 2019 . Câu 8: Cho hàm số f x liên tục trên R Mệnh đề nào sau đây đúng? 1 1 1 1 2 A. f x dx 2 f x dx. B. f x dx f x dx. 2 1 0 0 0 1 1 1 C. f x dx 0. D. f x dx f 1 x dx. 1 0 0 Câu 9: Cho hàm số y f x có đạo hàm và liên tục trên 1;2 Đồ thị của hàm số y f ' x như hình vẽ. Gọi K ; H là các hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ. Biết diện tích các hình 5 8 19 phẳng K ; H lần lượt là và và f 1 Giá trị của f 2 bằng 12 3 12 2 2 11 A. f 2 3 B. f 2 C. f 2 D. f 2 3 3 6 Câu 10: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân, AB AC a , SC  ABC và SC a . Mặt phẳng qua C , vuông góc với SB cắt SA, SB lần lượt tại E và F . Tính thể tích khối chóp S.CEF . 2a3 a3 2a3 a3 A. .V B. . V C. .V D. . V SCEF 12 SCEF 36 SCEF 36 SCEF 18 Câu 11: Cho hàm số: y 2x3 m 6 x2 m2 3m x 3m2 có đồ thị là (Cm ) ( m là tham số). Gọi S là tất cả các giá trị của m sao cho đồ thị (Cm ) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ 2 2 2 x1; x2 ; x3 thỏa mãn x1 1 x2 1 x3 1 6 . Tính số phần tử của S
3. A. 0 B. 1 C. 3. D. 2 Câu 12: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB a , ·ACB 60 , cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và SB hợp với mặt đáy một góc 45 . Tính thể tích V của khối chóp S.ABC . a3 a3 3 a3 3 a3 3 A. V . B. V . C. V . D. V . 2 3 6 9 18 Câu 13: Cho hàm số f x ax3 bx2 bx c có đồ thị như hình vẽ: Số nghiệm nằm trong ;3 của phương trình f cos x 1 cos x 1là 2 A. 5. B. 2. C. 3. D. 4. x2 Câu 14: Cho hàm số f x . Đạo hàm cấp 2020 của hàm số f x là 1 x 2020!.x2015 2020! A. f 2020 x . B. f 2020 x . 1 x 2015 1 x 2020 2020!. 2020! C. f 2020 x D. f 2020 x . 1 x 2021 1 x 2021 Câu 15: Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của điểm A' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC . Biết khoảng cách giữa hai đường a 3 thẳng AA' và BC bằng . Khi đó thể tích của khối lăng trụ là 4 a3 3 a3 3 a3 3 a3 3 A. B. C. D. 6 3 24 12 Câu 16: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f x cos2 2x sin xcos x 4 trên R . 9 7 19 81 A. max f x . B. max f x . C. max f x . D. max f x . x R 2 x R 2 x R 4 x R 16 Câu 17: Cho hàm số f x 1 x 2 x 3 x 2020 x . Gọi S là tập giá trị nguyên m  2020;2020 để phương trình f ' x m. f x có 2020 nghiệm phân biệt. Tính tổng các phần tử của S A. 0 . B. 1. C. 1010.2021. D. 2020 Câu 18: Có bao nhiêu giá trị nguyên m 2020 để hệ phương trình sau có nghiệm 3 2 2x y 2 x xy m 2 x x y 1 2m
4. A. 2025 B. 2021 C. 2019 D. 2020 Câu 19: Cho hàm số bậc ba f x ax3 bx2 cx d có đồ thị như hình sau: x2 3x 2 x 1 g x Đồ thị hàm số 2 có bao nhiêu đường tiệm cận đứng? x f x f x A. 4. B. 3. C. 5. D. 6. Câu 20: Cho hàm số f (x) xác định trên R\{0} và có bảng biến thiên như hình vẽ. Số nghiệm của phương trình 2 f (2x 3) 13 0 là: A. 3 B. 4 C. 2 D. 1 Câu 21: Câu 21 Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên . y Có bó Có bao nhiêu giá trị nguyên m  9;9 để phương trình 2 log3 f x 2 log2 f x 2 6m 8 log f x 2 6m 0 2 2 1 2 có nghiệm với x 1;1 -1 O 1 x A. 9 . B. 19 C. 10 . D. 20 . -2 Câu 22: Một khối cầu ngoại tiếp khối lập phương. Tỉ số thể tích giữa khối cầu và khối lập phương là 3 3 3 3 3 3 A. . B. . C. . D. . 8 8 2 2
5. Câu 23: Cho tam giác ABC vuông tại B góc ACB bằng 60 đường phân giác trong của góc ACB cắt AB tại I. Vẽ nửa đường tròn tâm I bán kính IA ( như hình vẽ). Cho ABC và nửa đường tròn trên cùng quay quanh AB tạo nên các khối cầu và khối nón có thể tích tương ứng V1 , V2 .Khẳng định nào dưới đây đúng ? A. 4V1 9V2 B. 2V1 3V2 C. 9V1 4V2 D. V1 3V2 Câu 24: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D có các cạnh AB 2 , AD 3 , AA 4 . Góc giữa hai mặt phẳng AB D và A C D là . Tính cos ? 29 29 9 19 A. . B. . C. . D. . 61 61 61 61 Câu 25: Cho hình chóp S.ABC . Tam giác ABC vuông tại A , AB 1cm , AC 3cm . Tam giác SAB , SAC lần lượt vuông góc tại B và C . Khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC có thể tích bằng 5 5 cm3 . Tính khoảng cách từ C tới SAB 6 5 5 3 A. cm . B. .1 cm C. . cm D. . c m 4 2 2 Câu 26: Gọi r; R lần lượt là bán kính mặt cầu nội tiếp và mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đều ABCD. r Tính tỉ số R 1 1 3 A. B. C. D. 2 3 3 4 5 3 x2020 3a Câu 27: Tích phân I dx . Tính a b x 3 e 1 b A. 4042 B. 0 C. 4021 D. 2020 Câu 28: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A 1;2;0 ; B 2;1;1 ; C 0;3; 1 . Xét 4 khẳng định sau: I. BC 2 AB . II. Điểm B thuộc đoạn AC . III. ABC là một tam giác. IV. A , B , C thẳng hàng. Trong 4 khẳng định trên có bao nhiêu khẳng định đúng? A. 3 . B. .4 C. 1. D. 2 . Câu 29: Cho hàm số y f x xác định, liên tục trên R và có bảng biến thiên như sau x 0 1 y || 0 0 y 1
6. Tìm các giá trị thực của tham số m để phương trình f x m 2 có hai nghiệm phân biệt A. 2 m 1. B. 3 m 2 C. 1 m 2 . D. 1 m 2 . Câu 30: Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc v1 t 2t m/s . Đi được 12 giây, người lái xe gặp chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc a 12 m/s2 . Tính quãng đường s m đi được của ôtô từ lúc bắt đầu chuyển động đến khi dừng hẳn? A. s 144 m . B. s 152 m . C. s 166 m . D. s 168 m . Câu 31: Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A 0;0; 1 , B 1;1;0 , C 1;0;1 . Tìm điểm M sao cho 3MA2 2MB2 MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất. 3 1 3 1 3 1 3 3 A. M ; ; 1 . B. M ; ; 1 C. M ; ;2 . D. M ; ; 1 . 4 2 4 2 4 2 4 2 1 Câu 32: Cho hai hàm số f (x) x3 (m 1)x2 (3m2 4m 5)x 2019 3 và g(x) (m2 2m 5)x3 (2m2 4m 9)x2 3x 2 ( với m là tham số) . Hỏi phương trình g( f (x)) 0 có bao nhiêu nghiệm ? A. 9. B. 1. C. 3. D. 0. Câu 33: Cho hàm số f (x) có bảng xét dấu đạo hàm như sau. Hàm số y 3 f (2x 1) 4x3 9x2 6x đồng biến trên khoảng nào dưới đây 1 3 1 A. 1;3 . B. ; . C. 1; . D. ;1 . 2 2 2 3 Câu 34: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y x (2m 1)x2 (m 1) x 2 có đúng 3 điểm cực trị A. m 1 B. m 2 C. 2 m 1 D. m 1 1 Câu 35: Tìm tất cả các giá trị thực của x để cos 2x; cos 4x;cos 6x là 3 số hạng liên tiếp trong một 2 cấp số cộng é p p é p é p é p êx = ± + k êx = ± + kp êx = + kp êx = ± + k2p ê 6 2 ê 6 ê 8 ê 3 A. ê , k Î ¢. B. ê , k Î ¢. C. ê , k Î ¢. D. ê , k Î ¢. ê p p ê p p ê p ê p êx = + k êx = + k êx = ± + k2p êx = + kp ëê 8 2 ëê 8 4 ëê 6 ëê 2 Câu 36: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD , đường cao SO . Biết rằng trong các thiết diện của hình chóp cắt bởi các mặt phẳng chứa SO , thiết diện có diện tích lớn nhất là tam giác đều cạnh bằng a , tính thể tích khối chóp đã cho. 3 a3 2 a3 3 a3 3 a 3 A. . B. . . C. . D. . 6 4 12 6 æ ö çp÷ Câu 37: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên ¡ thỏa mãn f ç ÷= - 1 và với mọi x Î ¡ ta có èç2ø÷
7. p 4 f '(x).f (x)- sin2x = f '(x).cosx - f (x).sinx. Tính tích phân I = ò f (x)dx. 0 2 A. I = 1. B. I = 2 - 1. C. I = - 1. D. I = 2. 2 n 2021 f 0 f ' 0 f '' 0 f 0 Câu 38: Cho f x 1 3x x6 . Tính S trong đó 0! 1! 2! n! n 6.2021 A. 1 B. 2021 C. - 1 D. 0 Câu 39: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại A, tam giác SAC đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy ABC , AB 4a, AC 3a . Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC ? a 3 a 7 A. .R a 7 B. . R aC.3 . D. R R . 2 2 Câu 40: Cho (H) là đa giác đều 2n đỉnh nội tiếp đường tròn tâm O n N *;n 2 . Gọi S là tập các tam giác có 3 đỉnh là các đỉnh của đa giác (H). Chọn ngẫu nhiên một tam giác thuộc tập S, biết 1 rằng xác suất chọn được một tam giác vuông trong tập S bằng . Mệnh đề nào sau đây đúng ? 13 A. n 15;18 B. n 24;26 C. n 12;14 D. n 19;23 Câu 41: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 3log 2x2 x 2m 3m2 log x2 2 m x m m2 0 có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn 8 1 2 2 2 x1 x2 1 ? A. 5. B. 1. C. 11. D. 2. Câu 42: Cho bất phương trình 8x - 3.22x+ 1 + 9.2x + m - 5 > 0 (1). Có tất cả bao nhiêu giá trị é ù nguyên dương của tham số m để bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi x Î ëê1;2ûú? A. 6. B. Vô số. C. 5. D. 4. Câu 43: Một hộp đựng phấn hình hộp chữ nhật có chiều dài 30cm , chiều rộng 5cm và chiều cao 6cm . Người ta xếp thẳng đứng vào đó các viên phấn giống nhau, mỗi viên phấn là một một khối 1 trụ có chiều cao h 6cm và bán kính đáy r cm . Hỏi có thể xếp được tối đa bao nhiêu viên phấn? 2 A. 153 viên. B. 151 viên. C. 150 viên. D. 154 viên. Câu 44: Cho hai cấp số cộng xn : 4 , 7 , 10, và yn : 1, 6 , 11, . Hỏi trong 2021 số hạng đầu tiên của mỗi cấp số có bao nhiêu số hạng chung? A. 404 . B. 405 . C. 403. D. 673. Câu 45: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A B C có các cạnh đều bằng a. Tính diện tích S của mặt cầu đi qua 6 đỉnh của hình lăng trụ đó. 7 a2 49a2 7a2 49 a2 A. .S B. S . C. .S D. S . 3 144 3 144
8. Câu 46: Để chuẩn bị cho hội trại do Đoàn trường tổ chức, lớp 12A1 dự định dựng một cái lều trại có dạng hình parabol như hình vẽ. Nền của lều trại là một hình chữ nhật có kích thước bề ngang 3 mét, chiều dài 6 mét, đỉnh trại cách nền 3 mét. Tính thể tích phần không gian bên trong lều trại. A. 36 . B. 72. C. 72 . D. 36. Câu 47: Có bao nhiêu cặp số x; y với x, y nguyên thỏa mãn 0 x 3000 và y 3 3 9 2y x log3 x 1 2 ? A. 4. B. 2. C. 5. D. 3. 2x 1 Câu 48: Tập hợp các giá trị của tham số m để hàm số y nghịch biến trên khoảng 1; x m là a;b với a,b là các số hữu tỉ. Giá trị của biểu thức 2a 5b bằng 3 A. 7. B. 6. C. . D. 5. 2 2 x Câu 49: Tập xác định của hàm số y log là 2 x A. 0;2 . B. ;0  2; . C. ;0  2; . D. 0;2. Câu 50: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh bằng a , SA SB SC; SD 2a , góc ABC bằng 600 . Gọi P là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với SB tại K , Mặt phẳng P chia khối chóp thành 2 phần có thể tích lần lượt là V1;V2 , trong đó V1 là thể tích khối đa diện chứa V S . Tính 1 V2 A. 10. B. 8 C. 9 . D. 11. Hết ĐÁP ÁN 1 A 11 B 21 C 31 B 41 B 2 B 12 D 22 C 32 C 42 D 3 D 13 A 23 C 33 D 43 A 4 C 14 C 24 C 34 A 44 A 5 C 15 D 25 D 35 B 45 A 6 A 16 D 26 B 36 C 46 D 7 D 17 A 27 A 37 B 47 A 8 D 18 B 28 D 38 C 48 B 9 B 19 B 29 C 39 A 49 A 10 B 20 C 30 D 40 D 50 D