Đề thi đánh giá năng lực năm 2022 môn Toán - Trường THPT Gia Bình số 1 (Có đáp án)

Nội dung tài liệu: Đề thi đánh giá năng lực năm 2022 môn Toán - Trường THPT Gia Bình số 1 (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ ÔN TẬP SỐ 10 BẮC NINH KỲ THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC NĂM 2022 ¯¯¯¯¯¯¯¯¯ Môn: Toán Thời gian làm bài: 75 phút ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ * Đơn vị đề xuất: THPT GIA BÌNH SỐ 1 * Giáo viên cốt cán thẩm định: 1) Đặng Văn Thắng, đơn vị công tác:THPT Lương Tài số 2 2) Phương Xuân Trịnh, đơn vị công tác: THPT Lương Tài. Câu 1: Cho bảng phân bố tần số rời rạc: xi 2 3 4 5 6 Cộng Tần số 5 15 10 6 5 41 Mốt của bảng phân bố đã cho là: A. 2 B. 15C. 3 D. 5 2 5 Câu 2: Bất phương trình có số nghiệm nguyên thuộc đoạn 0;10 là x 1 x 2 A. .2 B. . 3 C. . 0 D. . 9 x2 4xy y2 1 Câu 3: Nếu (x; y) là nghiệm của hệ phương trình: . Thì x.y bằng bao nhiêu ? y 4xy 2 A. 4 . B. 4 . C. 1. D. Không tồn tại giá trị của.x.y Câu 4: Đường trònx2 y2 2x 2y 23=0 cắt đường thẳng x y 2 0 theo một dây cung có độ dài bằng bao nhiêu ? A 5 B. . 2 23 C. . 10 D. . 5 2 Câu 5: Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường thẳng 1 : x 2y 6 0 và 2 : x 3y 9 0 . Tính góc tạo bởi 1 và 2 ? A 3 00 B. . 1350 C. . 450 D. . 600 Câu 6: Phương trình sinx = cosx có tổng các nghiệm thuộc đoạn  ;  là: 3 A. B. C. 0 D. 2 2 4 Câu 7: Có 3 học sinh nữ và 2 hs nam. Ta muốn sắp xếp vào một bàn dài có 5 ghế ngồi. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp để 3 học sinh nữ ngồi kề nhau A. 34 B. 46 C. 36 D. 26 x x Câu 8: Tìm x để ln 2 ; ln(2 1) ; ln(2 3) theo thứ tự lập thành một cấp số cộng A. 1 B. 2 C . log2 5 D. log2 3 Câu 9: Cho hàm số f x xác định trên ¡ bởi f x x2 . Giá trị f 0 bằng A. 0 . B. 2 . C. 1. D. Không tồn tại. Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là tứ giác lồi. Thiết diện của mặt phẳng tuỳ ý với hình chóp không thể là: A. Lục giác. B. Ngũ giác. C. Tứ giác. D. Tam giác. Trang 1
2. x b Câu 11: Đường cong trong hình vẽ bên dưới là đồ thị của hàm số y . cx d Tính tổng T 2022b 2023c 2024d ? A. 2021 .B. . 2022C. . 2023D. . 6069 Câu 12: Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ. Hàm số y 3 f 4 x 2 f 2 x 2022 có số điểm cực trị là A. .3 B. . 5 C. . 6 D. . 7 Câu 13: Cho hàm số f x có bảng biến thiên như hình vẽ Tìm điều kiện của tham số m để m 2 f x 3x4 với mọi x 1;2 A. m 2 f 1 3 . B. m 2 f 1 3 . C. m 2 f 1 3 . D. m 2 f 1 3 . sin x m Câu 14: Số giá trị nguyên thuộc [- 2022;2022] của tham số m sao cho hàm số y đồng biến sin x m trên khoảng 0; là 2 A. .4 044 B. . 2023 C. . 2022D. . 1022 Câu 15: Cho hàm số f x x3 x2 m 2 x m . Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m  5;5 để hàm số y f x có số điểm cực trị nhiều nhất. Tính tổng các phần tử của S . A. 15 . B. 9 . C. 15. D. 12 . Trang 2
3. 2 1 Câu 16: Cho f x 6 . Khi đó f 2x dx bằng. 0 0 A. .1 2 B. . 6 C. . 3 D. . 2 Câu 17: Cho số phức z thỏa mãn 2 i z 9 8i . Mô đun của số phức w z 1 i . A.6 B.4 C.3 D.5 Câu 18: Cho số phức z 5 3i . Phần ảo của số phức z là A. . 5 B. . 3i C. . 3 D. . 3 Câu 19: Biết z a bi a,b ¡ là số phức thỏa mãn 3 2i z 2iz 12 10i . Tổng a 2b là A. 2 .B. .C. .D. . 10 8 6 Câu 20: Tập xác định của hàm số y x 1 là A. . 1; B. . ¡ C. . D. 1 ;. ¡ \ 1 Câu 21: Trong các hàm số sau đây, hàm nào nghịch biến trên tập số thực ¡ ? x x 5 2 2 1 A. . y B. . C.y log x y log (x 2) . D. y . 1 3 e 3 3 2 2 2 Câu 22: Biết f x dx 3 và g x dx 2 . Khi đó f x g x dx bằng? 1 1 1 A. .6 B. . 1 C. . 5 D. . 1 Câu 23: Tính đạo hàm của hàm số y 9x . 1 9x A. .y 9x ln 9B. . C.y . D. . y y 9x 1 x ln 9 ln 9 Câu 24: Cho y f x là hàm số bậc bốn có bảng biến thiên như sau: f x2 2x 2021 Hàm số y có bao nhiêu điểm cực trị? f x2 2x A. 3. B. 2. C. 4. D. 5. Câu 25: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng : x 2y z 0 Khi. đó mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là     A. .n 4 1B.; 2. ; 1 C. . n3D. . 1; 2;1 n2 1;2;1 n1 1;2;1 Trang 3
4. Câu 26: Trong không gianOxyz, mặt phẳng P chứa trục Ox và đi qua điểm M 4; 1;2 có phương trình là A. 2y z 0 . B. . x 2y z 0 C. x 4y 0 . D. y 2z 0 . Câu 27: Cho F x là một nguyên hàm của f x e2x thỏa mãn F 0 1 . Mệnh đề nào sau đây là đúng? 1 1 1 1 1 3 A. .F x B.e 2.x C. . FD. x. e2x F x e2x 1 F x e2x 2 2 2 2 2 2 Câu 28: Cho hàm số y f (x) ax3 bx2 cx d có đồ thị C và y g(x) mx2 nx p có đồ thị P như hình vẽ. Biết phần hình phẳng được giới hạn bởi C và P (phần gạch chéo) có diện tích bằng 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f (x,trục) hoành và hai đường thẳng x=1, x=5. y 4 3 2 1 x -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -1 -2 72 152 72 A. .6 B. . C. . D. . -3 7 15 7 Câu 29: Trong không gian Oxyz, mặt cầu S : x 1 2 y 2 2 z 3 2 9 và mặt phẳng -4 : x 2y 2z 0. Mặt phẳng  song song với và tiếp xúc với mặt cầu S có phương trình là A. x 2y 2z 0 hoặc-5 x 2y 2z 18 0 . B. .x 2y 2z 18 0 C. xhoặc 2 y 2z 10 0-6 . D.x .2y 2z 8 0 x 2y 2z 18 0 Câu 30: Cho khối nón có bán kính đáy bằng 3 và khoảng cách từ tâm của đáy đến một đường sinh bất kỳ 12 bằng . Thể tích của khối nón đã cho bằng 5 A. .3B.6 .C. . 12 D. . 18 24 2 2 Câu 31: Xét các số phức z;w thỏa mãn z 2 z 2i 6 và w 3 2i w 3 6i . Khi z w đạt giá trị nhỏ nhất thì z w bằng bao nhiêu ? 2 10 2 2 1 A. . B. . C. . D. . 5 5 10 5 Trang 4
5. Câu 32: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A' B 'C có' đáy là tam giác vuông cân tại A, AB AC 2a . Góc giữa AC ' và mặt phẳng ABC bằng 600 . Thể tích khối lăng trụ ABC.A' B 'C ' là 4a3 3 A. .4 a3 3 B. . C. . D.2 .a3 3 8a3 3 3 Câu 33: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu C : x 1 2 y 3 2 z 2 2 4 và hai điểm A 2;1;0 , B 0;2;0 . Khi điểm S thay đổi trên mặt cầu C , thể tích của khối chóp S.OAB có giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu? 8 A. . B. . 4 C. . 2 D. . 1 3 x 1 y 2 z Câu 34: Trong không gian Oxyz , cho điểm A 2; 3;4 , đường thẳng d : và mặt cầu 2 1 2 S : x 3 2 y 2 2 z 1 2 36 . Mặt phẳng P chứa đường thẳng d thỏa mãn khoảng cách từ điểm A đến P lớn nhất. Mặt cầu S cắt P theo đường tròn có đường kính bằng A. .2 5 B. . 4 5 C. . 4 D. . 2 Câu 35: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, AB / /CD, AB 2CD . Gọi M và N là trung điểm của các cạnh SB và SC . Mặt phẳng AMN chia khối chóp S.ABCD thành 2 phần có thể V1 tích là V1 và V2 , V1 V2 . Tính tỉ số . V2 1 1 5 5 A B C. . D. . 5 6 13 11 Câu 36: Gọi A(a;b), B c;d là tọa độ giao điểm giữa hai đồ thị hàm số (P) : y 2x x2 và (d) : y 3x 6 . Tính giá trị biểu thức P a b c d ? Đáp án: Câu 37: Lớp 10A có 15 học sinh nam và 20 học sinh nữ. Chọn 4 học sinh tham gia văn nghệ. Tính xác suất để 4 học sinh được chọn có cả nam và nữ ? Đáp án: f x 15 5 f (x) 6 9 Câu 38: Cho đa thức f x thỏa mãn lim 12. Tính lim . x 3 x 3 x 3 x2 x 6 Đáp án: 3  Câu 39: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số f x x 2x 3x tại điểm có hoành độ x0 1 là Đáp án: . Câu 40: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A' B 'C 'có độ dài cạnh đáy AB = ,6 cạnh bên bằng 4 (minh hoạ như hình vẽ). Gọi M là trung điểm của cạnh A'C ' . Khoảng cách từ B 'đến mặt phẳng (ABM ) bằng bao nhiêu? Trang 5
6. Đáp án: Câu 41: Người ta cần chế tạo các món quà lưu niệm bằng đồng có dạng khối chóp tứ giác đều, được mạ vàng bốn mặt bên và có thể tích bằng 16cm3 . Diện tích mạ vàng nhỏ nhất của khối chóp bằng bao nhiêu cm 2 (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị). Đáp án: Câu 42: Cho hàm số f (x) x3 3x2 2022 . Hàm số f (x) đồng biến trên khoảng nào? Đáp án: Câu 43: Cho hàm số f x có đạo hàm f ' x x 1 x 2 3 x 3 x 2 4 với mọi x Î ¡ . Điểm cực đại của hàm số f (x)? Đáp án: Câu 44: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m 2022;2022 để đồ thị hàm số y x3 3mx 3 và đường thẳng y 3x 1 có duy nhất một điểm chung? Đáp án: Câu 45: Cho hàm số f (x) xác định, liên tục trên ¡ và f ¢(x) có bảng xét dấu như sau 2 Số điểm cực trị của hàm số f (ex - x - 2 ) là ? Đáp án: 2 Câu 46: Cho hàm số f x có f 0 0 và f ' x cos4 x, x ¡ . Tích phân f x dx bằng? 0 Đáp án: Câu 47: ] Tính mô đun của số phức z thỏa mãn z 1 2i z 1 i 4 i 0 với i là đơn vị ảo. Đáp án: Trang 6
7. Câu 48: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C , biết đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Khoảng cách từ tâm a O của tam giác ABC đến mặt phẳng A BC bằng . Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A B C ? 6 Đáp án: Câu 49: Trong không gian với trục hệ tọa độ Oxyz , cho a 2i j 3k. Tọa độ của vectơ a là? Đáp án: x 1 y z 2 Câu 50: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : và hai điểm A 1;3;1 ; 2 1 1 B 0;2; 1 . Gọi C m;n; p là điểm thuộc đường thẳng d sao cho diện tích tam giác ABC bằng 2 2 . Giá trị của tổng S m2 n2 p2 bằng Đáp án: ĐÁP ÁN 1.C 2.A 3.D 4.B 5.C 6.A 7.C 8.C 9.D 10.A 11.A 12.D 13.B 14.C 15.D 16.C 17.D 18.C 19.C 20.A 21.D 22.B 23.A 24.A 25.B 26.A 27.A 28.A 29.B 30.B 31.A 32.A 33.A 34.B 35.C 36. P 16 4615 2 39. y 10x 4 40. 37. p(A) 38. I 5236 3 12 273 d (B ',(ABM ))= 91 41. S 29cm2 42. 0;2 43. x 3 44. 2021 45. 5 3 2 16 47. z = 5 48. 49. a ( 2;1; 3) 50. S 3 46. 64 3a3 2 V ABC.A B C 16 LỜI GIẢI MỘT SỐ CÂU TIÊU BIỂU x x Câu 8: Tìm x để ln 2 ; ln(2 1) ; ln(2 3) theo thứ tự lập thành một cấp số cộng A. 1 B. 2 C . log2 5 D. log2 3 Lời giải: Áp dụng tính chất của cấp số cộng ta có uk 1 uk 1 2uk ;k 2 x x x x 2 x x 2 ln 2 ln(2 3) 2ln(2 1) ln(2.2 6) ln(2 1) 2.2 6 (2 1) 2x 1(vn) 22x 4.2x 5 0 x log 5 x 2 2 5 Trang 7
8. Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là tứ giác lồi. Thiết diện của mặt phẳng tuỳ ý với hình chóp không thể là: A. Lục giác. B. Ngũ giác. C. Tứ giác. D. Tam giác. Lời giải: Thiết diện của mặt phẳng với hình chóp là đa giác được tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng đó với mỗi mặt của hình chóp. Hai mặt phẳng bất kì có nhiều nhất một giao tuyến. Hình chóp tứ giác S.ABCD có 5 mặt nên thiết diện của với S.ABCD có không qua 5 cạnh, không thể là hình lục giác 6 cạnh. x b Câu 11: Đường cong trong hình vẽ bên dưới là đồ thị của hàm số y . cx d Tính tổng T 2022b 2023c 2024d ? A. 2021. B. 2022 . C. 2023 . D. 6069 . Lời giải d Từ đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x 1 1 c d . c 1 Đường tiệm cận ngang: y 1 1 c 1 . c Đồ thị hàm số đi qua điểm 1;0 b 1 b 1 b 1 Do đó c 1 . Vậy T 2022b 2023c 2024d 2021 . d 1 Câu 12: Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ. Trang 8
9. Hàm số y 3 f 4 x 2 f 2 x 2022 có số điểm cực trị là A. .3 B. . 5 C. . 6 D. 7 . Lời giải Ta có y 12 f 3 x f x 4 f x f x . f x 0 y 0 12 f 3 x f x 4 f x f x 0 . f x 0 Quan sát đồ thị hàm số ta thầy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt và hàm số có ba điểm cực trị. Do đó phương trình f x 0 có bốn nghiệm phân biệt và f x 0 có ba nghiệm phân biệt, các nghiệm này đôi một khác nhau cho nên hàm y 3 f 4 x 2 f 2 x 2020 có bảy điểm cực trị. Câu 13: Cho hàm số f x có bảng biến thiên như hình vẽ Tìm điều kiện của tham số m để m 2 f x 3x4 với mọi x 1;2 A. m 2 f 1 3 . B. m 2 f 1 3. C. m 2 f 1 3 . D. m 2 f 1 3 . Lời giải Đặt g x 2 f x 3x4 ta có m g x , x 1;2 m min g x 1;2 Ta có g ' x 2 f ' x 12x3 , với x 1;2 ta có f ' x 0 và x3 0 , suy ra g ' x 0 x 1;2 Suy ra hàm số g x đồng biến trên 1;2 . Nên min g x g 1 2 f 1 3 1;2 Vậy m 2 f 1 3 . sin x m Câu 14: Số giá trị nguyên thuộc [- 2022;2022] của tham số m sao cho hàm số y đồng biến sin x m trên khoảng 0; là 2 A. .4 044 B. . 2023 C. 2022 . D. .1022 Lời giải Đặt t sin x . Với x 0; thì t 0;1 2 t m Để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 0; thì hàm số y đồng biến trên khoảng 0;1 . 2 t m Trang 9
10. 2m t m Ta có y ,t m . Hàm số y đồng biến trên 0;1 t m 2 t m 2m 0 m 0 2m 0 m 0 m 0 m 0 . (*) m 0;1 m 1 m 1 Vì m nguyên thuộc [- 2022;2022] nên kết hợp (*) ta có m nguyên thuộc [1;2022] . Vậy có 2022 giá tri của m thỏa mãn yêu cầu đã cho. Câu 15: Cho hàm số f x x3 x2 m 2 x m . Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m  5;5 để hàm số y f x có số điểm cực trị nhiều nhất. Tính tổng các phần tử của S . A. . 15 B. . - 9 C. . 15 D. 12. Lời giải Hàm số y f x và hàm số y f x cùng có tập xác định là ¡ . Lại có, hàm số y f x là hàm số đa thức bậc 3 nên có tối đa 2 điểm cực trị là x1 , x2 và đồ thị hàm số y f x cắt trục hoành tại tối đa 3 điểm phân biệt có hoành độ là x3 , x4 , x5 . Do đó, hàm số y f x có nhiều nhất là 5 điểm cực trị là các điểm x1 , x2 , x3 , x4 , x5 . Vậy để hàm số y f x có nhiều điểm cực trị nhất thì đồ thị hàm số y f x phải cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt hay phương trình f x 0 có 3 nghiệm phân biệt. Ta có: f x 0 x3 x2 m 2 x m 0 x 1 x2 2x m 0 . Suy ra f x 0 có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trìnhx2 2x m 0 có 2 ' 1 m 0 m 1 nghiệm phân biệt khác 1 . 1 2 m 0 m 3 m ¢ Do m  5;5 nên S 5; 4; 2; 1;0 . Suy ra tổng các phần tử S là: m ;1 \ 3 5 4 2 1 12 . Câu 24: Cho y f x là hàm số bậc bốn có bảng biến thiên như sau: f x2 2x 2021 Hàm số y có bao nhiêu điểm cực trị? f x2 2x A. 3. B. 2. C. 4. D. 5. Lời giải Trang 10
11. x 0 x2 2x 0 x 2 2 2 Điều kiện f x 2x 0 x 2x a (a 1) . x 1 1 a x2 2x b (b 1) x x 1 1 a 2 2 f x 2x 2021 2021 2021( 2x 2) f x 2x Ta có y 1 y f x2 2x f x2 2x f 2 x2 2x 2021( 2x 2) f x2 2x Do đó y 0 0 f 2 x2 2x 2021( 2x 2) f x2 2x 0 x 1 x 1 2 x 2x 1 x 1 2 . Vậy hàm số có 3 cực trị. x2 2x 0 x 0; x 2 TXĐ x2 2x 1 2 x 1 0 Câu 28: Cho hàm số y f (x) ax3 bx2 cx d có đồ thị C và y g(x) mx2 nx p có đồ thị P như hình vẽ. Biết phần hình phẳng được giới hạn bởi C và P (phần gạch chéo) có diện tích bằng 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f (x,trục) hoành và hai đường thẳng x=1, x=5. y 4 3 2 1 x -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -1 -2 72 152 72 A. 6. -3 B. . C. . D. . 7 15 7 -4 Lời giải Từ đồ thị ta có: -5 -6 Trang 11
12. 3 m 9m 3n p 1 8 3 29 P qua 3;1 , 5;3 , 1;2 25m 5n p 3 n 2 g x x2 2x 8 8 m n p 2 29 p 8 - Đồ thị hàm số y f x và y g x cắt nhau tại điểm có hoành độ x 1 , x 3 , x 5 suy ra f x g x k x 1 x 3 x 5 k 0 3 5 S k x 1 x 3 x 5 dx x 1 x 3 x 5 dx k 4 4 8k 1 3 1 S 2 2 8k k 4 1 3 29 x3 15 15 1 f x x 1 x 3 x 5 x2 2x x2 x 4 8 8 4 8 4 8 5 5 x3 15 15 1 S f (x) dx x2 x dx 6 1 1 1 4 8 4 8 2 2 Câu 31: Xét các số phức z;w thỏa mãn z 2 z 2i 6 và w 3 2i w 3 6i . Khi z w đạt giá trị nhỏ nhất thì z w bằng bao nhiêu ? 2 10 2 2 1 A. . B. . C. . D. . 5 5 10 5 Lời giải +) Gọi z x yi với x; y ¡ và M là điểm biểu diễn số phức z . Ta có z 2 2 z 2i 2 6 x 2 2 y2 x2 y 2 2 6 x 1 2 y 1 2 1. Suy ra M thuộc đường tròn C tâm I 1;1 bán kính R 1 . +) Gọi w a bi với a,b ¡ và N là điểm biểu diễn số phức w . Ta có w 3 2i w 3 6i a 3 2 b 2 2 a 3 2 b 6 2 3a 4b 8 0 . Suy ra N thuộc đường thẳng :3x 4y 8 0 . +) Gọi d đi qua I và vuông góc với đường thẳng :3x 4y 8 0 , suy ra d : 4x 3y 1 0 . 4 7 4 7 Gọi H d  H ; IH 3, w i . 5 5 5 5 Trang 12
13.  1  2 1 Gọi K là giao điểm của đoạn IH và C . Ta có IH 3; IK 1 IK IH K ; . 3 5 5 Mặt khác, ta có z w MN . Vì M thay đổi thuộc đường tròn C và N thay đổi thuộc đường thẳng nên suy ra MN KH . 2 1 2 1 Do đó z w HK 2 khi M  K, N  H , suy ra M ; , z = i . min 5 5 5 5 2 6 2 10 z w - i z w 5 5 5 Câu 33: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu C : x 1 2 y 3 2 z 2 2 4 và hai điểm A 2;1;0 , B 0;2;0 . Khi điểm S thay đổi trên mặt cầu C , thể tích của khối chóp S.OAB có giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu? 8 A. . B. .4 C. . 2 D. . 1 3 Lời giải * Khối chóp S.OAB có đáy cố định, nên thể tích S.OAB lớn nhất khi chiều cao kẻ từ S đến mặt phẳng OAB đạt GTLN.     * Ta có : OA 2;1;0 ;OB 0;2;0 OA;OB 0;0;4 1   Mặt phẳng OAB đi qua điểm O 0;0;0 và có VTPT n OA;OB 0;0;1 . Nên có 4 PTTQ : z 0 . * Ta tìm khoảng cách lớn nhất từ một điểm trên mặt cầu đến mặt phẳng z 0 . Xét đường thẳng đi qua tâm I 1;3;2 của mặt cầu, và vuông góc với mp OAB : z 0 . x 1 Đường thẳng này có phương trình : y 3 . z 2 t Trang 13
14. Tọa độ giao điểm của đường thẳng và mặt cầu C thỏa mãn hệ : x 1 x 1 x 1 y 3 y 3 y 3 hoặc . z 2 t z 4 z 0 2 2 2 x 1 y 3 z 2 4 t 2 t 2 Ta có hai giao điểm S1 1;3;4 ;S2 1;3;0 . Trong đó d S1; OAB 4; d S2 ; OAB 0 . Vậy khoảng cách từ S đến mặt phẳng OAB đạt GTLN bằng 3. 1   1 8 * Diện tích tam giác OAB là S OA;OB 2 . Khi đó V .4.2 . 2 O.ABC 3 3 x 1 y 2 z Câu 34: Trong không gian Oxyz , cho điểm A 2; 3;4 , đường thẳng d : và mặt cầu 2 1 2 S : x 3 2 y 2 2 z 1 2 36 . Mặt phẳng P chứa đường thẳng d thỏa mãn khoảng cách từ điểm A đến P lớn nhất. Mặt cầu S cắt P theo đường tròn có đường kính bằng A. .2 5 B. 4 5 . C. .4 D. . 2 Lời giải Gọi H là hình chiếu của A trên d. Ta có d A;(P) d A;d AH , dấu “=” xảy ra khi mặt phẳng P đi qua H và vuông góc với AH Gọi (Q) đi qua A và (Q)  d nên ta có phương trình (Q) : 2x y 2z 9 0 , khi đó H (Q)  d suy ra H (3; 1;2). Từ đó có pt (P) : x 2y 2z 3 0 Theo giả thiết S có tâm I(3;2; 1) và bán kính R 6. d I;(P) 4 R nên mặt cầu S cắt P theo đường tròn có bán kính r R2 d 2 (I;(P) 2 5. Do đó đường kính của đường tròn giao tuyến là 4 5. Câu 35: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, AB / /CD, AB 2CD . Gọi M và N là trung điểm của các cạnh SB và SC . Mặt phẳng AMN chia khối chóp S.ABCD thành 2 phần có thể V1 tích là V1 và V2 , V1 V2 . Tính tỉ số . V2 1 1 5 5 A B C. . D. . 5 6 13 11 Lời giải Trang 14
15. Trong ABCD , gọi E ADBC suy ra D là trung điểm của AE SAD  SBC SE . Trong SBC , gọi K là giao điểm của MN và SE suy ra K là trung điểm của SE . Trong SAD , gọi H là giao điểm của AK và SD suy ra H là trọng tâm của SAE . 1 1 V 2V Ta có: S S nên V V V S.ABCD ;V S.ABCD . ADC 2 ABC S.ADC 2 S.ABC S.ADC 3 S.ABC 3 Ta có: VS.AHNM VS.AHN VS.AMN SA SH SN SA SM SN 2 1 V 1 1 2V . . .V +. . .V . . S.ABCD . . S.ABCD SA SD SC S.ADC SA SB SC S.ABC 3 2 3 2 2 3 5V V 5 1 . 18 V2 13 PHẦN 2: Điền đáp án (15 câu) Câu 36: Gọi A(a;b), B c;d là tọa độ giao điểm giữa hai đồ thị hàm số (P) : y 2x x2 và (d) : y 3x 6 . Tính giá trị biểu thức P a b c d ? Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm giữa hai đồ thị hàm số: 2 2 x 2 2x x 3x 6 x x 6 0 x 3 Tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số: A 2;0 , B 3; 15 . Vậy P 2 3 0 ( 15) 16 . Câu 37: Lớp 10A có 15 học sinh nam và 20 học sinh nữ. Chọn 4 học sinh tham gia văn nghệ. Tính xác suất để 4 học sinh được chọn có cả nam và nữ ? Lời giải 4 Số phần tử không gian mẫu: n  C35 52360 Gọi A là biến cố “4 học sinh được chọn có cả nam và nữ”. 4 Số cách chọn 4 học sinh không có nữ: C15 1365 . Trang 15
16. 4 Số cách chọn 4 học sinh không có nam: C20 4845 . 4615 Xác suất cần tìm là: p(A) 5236 f x 15 5 f (x) 6 9 Câu 38: Cho đa thức f x thỏa mãn lim 12. Tính lim . x 3 x 3 x 3 x2 x 6 Lời giải f x 15 f x 15 Ta có lim 12 nên f 3 15 , vì f x liên tục và f 3 15 thì lim x 3 x 3 x 3 x 3 5 f (x) 6 9 5 f x 6 81 Ta có: lim 2 lim ) x 3 x x 6 x 3 x 3 x 2 5 f x 6 9 5 f x 15 f x 15 5 lim = lim . lim x 3 x 3 x 2 5 f x 6 9 x 3 x 3 x 3 x 2 5 f x 6 9 5 2 12. . 5. 5 f 3 6 9 3 Câu 40: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A' B 'C 'có độ dài cạnh đáy AB = ,6 cạnh bên bằng 4 (minh hoạ như hình vẽ). Gọi M là trung điểm của cạnh A'C ' . Khoảng cách từ B 'đến mặt phẳng (ABM ) bằng bao nhiêu? Lời giải 6 3 1 Gọi H là trung điểm của AC Þ BH = = 3 3; AH = AC = 3 2 2 2 2 2 2 æA'C 'ö Ta có: AM = AA' + A'M = AA' + ç ÷ = 16+ 9 = 5 èç 2 ø÷ 2 BM = BH 2 + MH 2 = BH 2 + AA'2 = (3 3) + 16 = 43 AB + BM + AM 6+ 43 + 5 11+ 43 Nửa chu vi tam giác ABM : p = = = 2 2 2 Trang 16
17. 3 91 Diện tích tam giác ABM : S = p(p- AB)(p- BM )(p- AM )= ABM 2 62. 3 1 1 9 3 Ta có S = = 9 3;S = S = .BH.AH = .3 3.3 = ABC 4 ABH A'B 'M 2 2 2 1 V = V = .V - V - V B '.ABM M .ABB ' 2 ABC.A'B 'C ' A.A'B 'M M .ABH 1 1 1 = .AA'.S - .AA'.S - .MH.S 2 ABC 3 A'B 'M 3 ABH 1 1 9 3 1 9 3 = .4.9 3 - .4. - .4. = 6 3 2 3 2 3 2 1 3.VB '.ABM 3.6 3 12 273 Ta có : VB '.ABM = d (B ',(ABM )).SABM Þ d (B ',(ABM ))= = = 3 SABM 3 91 91 2 Câu 41: Người ta cần chế tạo các món quà lưu niệm bằng đồng có dạng khối chóp tứ giác đều, được mạ vàng bốn mặt bên và có thể tích bằng 16cm3 . Diện tích mạ vàng nhỏ nhất của khối chóp bằng bao nhiêu cm 2 (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị). Lời giải Gọi O , N lần lượt là trung điểm của AC , BC . Gọi a, b a 0, b 0, 4b2 2a2 0 lần lượt là độ dài cạnh của hinh vuông và cạnh bên của hình chóp tứ giác đều. Theo bài ra 2 2 2 1 2 4b 2a 2 2 2 4 2 2 2 2 96 2 V a . 16 a 4b 2a 96 a 4b 2a 96 4b 4 2a . 3 2 a Hình chóp tứ giác đều có tất cả các mặt bên bằng nhau nên diện tích của 4 mặt bằng 2 2 2 2 S 4SSBC 2BC.SM 2a SO OM a 4b a 2 2 2 2 2 2 2 96 2 96 4 S a 4b a a 4 a 2 a a a Trang 17
18. 4608 4608 4608 4608 a4 33 a4 33 46082 S 33 46082 29cm2 . a2 a2 a2 a2 Câu 43: Cho hàm số f x có đạo hàm f ' x x 1 x 2 3 x 3 x 2 4 với mọi x Î ¡ . Điểm cực đại của hàm số f (x)? Lời giải x 0 x 1 Ta có f ' x x 1 x 2 3 x 3 x 2 4 f ' x 0 . x 2 x 3 Bảng xét dấu đạo hàm. Suy ra điểm cực đại của hàm số là x 3 Câu 44: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m 2022;2022 để đồ thị hàm số y x3 3mx 3 và đường thẳng y 3x 1 có duy nhất một điểm chung? Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm: x3 3x 2 x3 3mx 3 3x 1 x3 3x 2 3mx 3m (1).(Do x 0 không là nghiệm x của phương trình) x3 3x 2 2 2 2x3 2 Xét hàm f x x2 3 ; f x 2x ; f x 0 x 1 . x x x2 x2 f x không xác định khi x 0 x 0 1 f x 0 f x 0 Bảng biến thiên. Khi đó yêu cầu bài toán m 0 . Mà m nguyên và m 2022;2022 nên có 2021 giá trị nguyên thỏa mãn. Câu 45: Cho hàm số f (x) xác định, liên tục trên ¡ và f ¢(x) có bảng xét dấu như sau Trang 18
19. 2 Số điểm cực trị của hàm số f (ex - x - 2 ) là ? Lời giải 2 2 2 Xét hàm số g(x)= f (ex - x- 2 ); g¢(x)= (2x- 1)ex - x- 2 f ¢(ex - x- 2 ); é2x- 1= 0 ¢ ê g (x)= 0 Û ê x2 - x- 2 . f ¢ e = 0 ëê ( ) 1 Với 2x- 1= 0 Û x = . 2 é x2 - x- 2 êe = - 2 (VN) 2 ê 2 éx = - 1 Với f ¢ ex - x- 2 = 0 Û êex - x- 2 = 0 (VN) Û x2 - x- 2 = 0 Û ê . ( ) ê êx = 2 ê 2 ë ex - x- 2 = 1 ëê Suy ra phương trình g¢(x)= 0 có 3 nghiệm phân biệt nên hàm số g(x) có 3 điểm cực trị trong 2 đó có 2 điểm cực trị có hoành độ dương. Vì vậy hàm số g( x )= f (ex - x - 2 ) có 5 điểm cực trị. 2 Câu 46: Cho hàm số f x có f 0 0 và f ' x cos4 x, x ¡ . Tích phân f x dx bằng? 0 Lời giải Ta có: 2 4 1 cos 2x 1 2 1 1 cos 4x cos x 1 2cos 2x cos 2x 1 2cos 2x 2 4 4 2 1 cos 4x 4cos 2x 3 . 8 1 1 1 3 Suy ra f x f ' x dx cos 4x 4cos 2x 3 dx sin 4x sin 2x x C . 8 32 4 8 1 1 3 Vì f 0 0 nên C 0 hay f x sin 4x sin 2x x . 32 4 8 2 2 2 1 1 3 1 1 3 2 Do đó f x dx sin 4x sin 2x x dx cos 4x cos 2x x 0 0 32 4 8 128 8 16 0 1 1 3 2 1 1 3 2 16 . 128 8 64 128 8 64 Câu 47: Tính mô đun của số phức z thỏa mãn z 1 2i z 1 i 4 i 0 với i là đơn vị ảo. Lời giải Trang 19
20. Giả sử: z x yi , x, y Î ¡ . Ta có: z 1 2i z 1 i 4 i 0 Û x yi 1 2i x yi 1 i 4 i 0 2x 3y 4 0 y 2 Û 2x 3y 4 x 1 i 0 Û Û Þ z =1+2i Þ z = 5 . x 1 0 x 1 Câu 48: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C , biết đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Khoảng cách từ tâm a O của tam giác ABC đến mặt phẳng A BC bằng . Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A B C ? 6 Lời giải a2 3 Diện tích đáy là B S ABC . Chiều cao là h d ABC ; A B C AA . 4 Do tam giác ABC là tam giác đều nên O là trọng tâm của tam giác ABC . Gọi I là trung điểm của BC , H là hình chiếu vuông góc của A lên A I ta có AH  A BC d A; A BC AH d O; A BC IO 1 d A; A BC AH a a d O; A BC AH d A; A BC IA 3 3 3 6 2 Xét tam giác A AI vuông tại A ta có: 1 1 1 1 1 1 a 3 a 3 3a3 2 AA h V . AH 2 AA 2 AI 2 AA 2 AH 2 AI 2 2 2 2 2 ABC.A B C 16 x 1 y z 2 Câu 50: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : và hai điểm A 1;3;1 ; 2 1 1 B 0;2; 1 . Gọi C m;n; p là điểm thuộc đường thẳng d sao cho diện tích tam giác ABC bằng 2 2 . Giá trị của tổng S m2 n2 p2 bằng Lời giải Trang 20
21. x 1 2t Phương trình tham số của đường thẳng d : y t z 2 t m 1 2t Vì C d : n t C 1 2t;t;2 t p 2 t     Ta có AB 1; 1; 2 ; AC 1 2t;t;2 t AB, AC 3t 7; 3t 1;3t 3 1   1 Diện tích tam giác ABC là S AB, AC 27t 2 54t 59 ABC 2 2 1 S 2 2 27t 2 54t 59 2 2 t 1 C 1;1;1 S 3 ABC 2 Trang 21