Đề thi đánh giá năng lực năm 2022 môn Toán - Trường THPT Lý Thái Tổ (Có đáp án)

Nội dung tài liệu: Đề thi đánh giá năng lực năm 2022 môn Toán - Trường THPT Lý Thái Tổ (Có đáp án)

1. MA TRẬN KHUNG ĐỀ ĐGNL - ĐHQG HÀ NỘI PHẦN I: Trắc nghiệm chọn đáp án (35 câu) Lớp Nội dung Mức độ Tổng NB TH VD VDC Thống kê 1 1 Phương trình, hệ phương trình, bất phương 2 2 10 trình Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng 2 2 Hàm số LG - Phương trình lượng giác 1 1 Tổ hợp, xác suất 1 1 11 Dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân 1 1 Đạo hàm 1 1 Đường thẳng và mặt phẳng trong không 1 1 gian. Quan hệ song song Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ 2 4 6 ĐTHS Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hs logarit 2 1 3 Nguyên hàm, Tích phân và ứng dụng 1 2 1 4 12 Số phức 1 2 1 4 Phương pháp tọa độ trong không gian 1 2 2 5 Khối đa diện 1 1 2 Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu 1 1 Tổng 6 19 9 1 35 PHẦN 2: Điền đáp án Lớp Nội dung Mức độ Tổng NB TH VD VDC 10 Hàm số bậc hai 1 1 Tổ hợp, xác suất 1 1 Giới hạn 1 1 11 Đạo hàm 1 1 Quan hệ vuông góc trong không gian 2 2 Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ 2 1 3 ĐTHS Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hs logarit 1 1 12 Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng 1 1 Số phức 1 1 Khối đa diện 1 1 Phương pháp tọa độ trong không gian 1 1 2 Tổng 2 5 7 1 15 0
2. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ ÔN TẬP SỐ 5 BẮC NINH KỲ THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC NĂM 2022 ¯¯¯¯¯¯¯¯¯ Môn:Toán học Thời gian làm bài:75 phút * Đơn vị đề xuất: Trường THPT Lý Thái Tổ * Giáo viên cốt cán thẩm định: 1) Đinh Ngọc Phúc, đơn vị công tác:Trường THPT Nguyễn Đăng Đạo – Tiên Du 2) Lê Thị Hồng Thúy , đơn vị công tác:Trường THPT Lý Nhân Tông – Bắc Ninh 2 3x 0 Câu 1. Giải hệ bất phương trình: 4x 1 . 2 x 1 16 0 A. S ; 5  3; .B. S 5;3 . 2 2 C. S ; 5  ; . D. S 5; . 3 3 4 2 x 4x 5 Câu 2. Hệ phương trình có bao nhiêu nghiệm? x y 1 3 A. 1. B. 2 .C. 3.D. 4 . Câu 3. Diện tích hình vuông có 2 cạnh nằm trên 2 đường thẳng 2x y 3 0 và 2x y 0 là 9 3 6 9 A. . B. .C. .D. . 5 5 5 25 Câu 4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : 2x my 1 2 0 và đường tròn C có phương trình: x2 y2 2x 4y 4 0 . Gọi I là tâm đường tròn C . Điều kiện của m sao cho d cắt C tại hai điểm phân biệt A và B là A. m  . B. m 1.C. m ¡ .D. m 2 . Câu 5. Số giá trị m nguyên trên  3;3 để phương trình m 1 sin x mcos x 2 có nghiệm. A. 4 . B. 5 .C. 2 .D. 1. Câu 6. Một hộp chứa 12 chiếc thẻ có kích thước như nhau, trong đó có 5 chiếc thẻ màu xanh được đánh số từ 1 đến 5; có 4 chiếc thẻ màu đỏ được đánh số từ 1 đến 4 và 3 chiếc thẻ màu vàng được đánh số từ 1 đến 3. Lấy ngẫu nhiên 2 chiếc thẻ từ hộp, tính xác suất để 2 chiếc thẻ được lấy vừa khác màu vừa khác số. 29 37 8 14 A. . B. .C. .D. . 66 66 33 33 Câu 7. Nền nhà tầng 1 của một hội trường có độ cao 0,8 mét so với mặt đất. Từ nền nhà tầng 1 lên nên nhà tầng 2 có 1 cầu thang 19 bậc, độ cao của các bậc ( so với mặt đất) theo thứ tự lập thành một cấp số cộng un có 19 số hạng, u1 0,95; d 0,15 ( đơn vị là mét). Độ cao của bậc thứ 8 so với mặt đất là A. 1,8m . B. 2m .C. 2,4m .D. 2,2m . Câu 8. Một chất điểm M chuyển động với phương trình s f t t 2 t 2, ( s tính bằng mét và t tính bằng giây). Tính vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t 2 s . A. 3 m / s . B. 2 m / s .C. 4 m / s .D. 1 m / s . Câu 9. Cho hình hộp ABCD.A B C D . Gọi G và G là trọng tâm các tam giác BDA và A CC . Khẳng định nào sau đây đúng? 3 1 1 A. GG AC . B. GG AC .C. GG AC .D. GG AC . 2 2 3 Câu 10. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây là sai? 1
3. x 2 0 1 y 0 0 2 2 y 1 A. Giá trị cực đại của hàm số bằng 2 . B. Hàm số đạt cực đại tại x 0 và x 1 . C. Hàm số đạt cực tiểu tại x 2 . D. Giá trị cực tiểu của hàm số bằng 1 . 3x 1 Câu 11. Cho hàm số y có đồ thị (C). Tiếp tuyến của đồ thị (C) song song với đường thẳng 1 x 1 y x 2017 có các phương trình là: 4 A. x 4y 5 0, x 4y 21 0 . B. x 4y 5 0, x 4y 11 0 . C. x 4y 5 0, x 4y 11 0. D. x 4y 5 0, y 5 0 . Câu 12. Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x x 1 x 1 x 2 m có nghiệm thuộc đoạn 0;1 là A. m  1;0. B. m  1;1.C. m 0;1 .D. m 0;2 . 1 2 Câu 13. Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số f x x3 mx2 m 6 x đồng biến trên khoảng 3 3 0; ? A. 9. B. 10.C. 6 .D. 5. Câu 14. Cho hàm số y f x . Hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số y f x2 1 có bao nhiêu điểm cực trị? A. 5 . B. 7 .C. 4 .D. 3 . Câu 15. Cho hàm số y m 1 x3 5x2 6 m x 3. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y f x có đúng 5 cực trị? A. 6 . B. 3 .C. 2 .D. 5 . 3 Câu 16. Tập xác định của hàm số y x 2 3x 4 là A. ¡ \ 1;4 . B. ; 1  4; . C. 1;4 . D. ¡ . Câu 17. Đạo hàm của hàm số y e4 2x là A. y e2 x . B. y 2e2 x . C. y 2e4 2x . D. y 2 2 x e4 2x . Câu 18. Một người gửi 75 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 5,4%/năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi được nhập vào gốc để tính lãi cho năm tiếp theo. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm người đó nhận được số tiền nhiều hơn 100 triệu đồng bao gồm cả gốc và lãi? Biết rằng suốt trong thời gian gửi tiền, lãi suất không đổi và người đó không rút tiền ra. 2
4. A. 7 năm. B. 6 năm.C. 5 năm.D. 4 năm. 6 Câu 19. Cho hàm số f x thỏa mãn f x và f 2 0 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 3 2x A. f x 3ln 3 2x .B. f x 2ln 3 2x . C. f x 2ln 3 2x . D. f x 3ln 3 2x . xe2x e2x Câu 20. Cho xe2xdx C với a,b là các số nguyên. Giá trị của 2a b bằng a b 1 A. 2 . B. . C. 0 . D. 1. 4 Câu 21. Diện tích hình phẳng được gạch chéo như hình vẽ bằng 3 3 3 3 A. x2 2x 3 dx . B. x2 2x 3 dx .C. x2 2x 3 dx .D. x2 2x 3 dx . 1 1 1 1 2 Câu 22. Cho hàm số f x liên tục trên ¡ thỏa mãn f x f 1 x x2 1 x x ¡ . Tính 1 I f x dx . 0 1 1 1 1 A. I . B. I .C. I .D. I . 30 60 45 15 Câu 23. Trong không gian Oxyz , cho điểm P 2; 3;1 . Gọi A, B,C lần lượt là hình chiếu vuông góc của đỉnh P trên ba trục toạ độ Ox,Oy,Oz . Phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B,C là x y z A. 1. B. 2x 3 y z 1.C. 3x 2 y 6z 1.D. 3x 2y 6z 6 0 . 2 3 1 Câu 24. Trong không gian Oxyz cho điểm M 1; 2;3 . Tọa độ điểm A là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng Oyz là A. A 1; 2;3 . B. A 1; 2;0 .C. A 1;0;3 .D. A 0; 2;3 . Câu 25. Viết phương trình mặt phẳng vuông góc với P : x z y 0 và chứa giao tuyến của hai mặt phẳng Q : 2x 2y z 1 0 và R : x 2y 2z 2 0 . A. x z 1 0. B. x y z 1 0 .C. x z 0 .D. x z 1 0 . 2 1 Câu 26. Trong không gian Oxyz , cho A 0;0;2 , B 1;1;0 và mặt cầu S : x2 y2 z 1 . Xét 4 điểm M thay đổi thuộc S . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức MA2 2MB2 bằng 1 3 21 19 A. . B. .C. .D. . 2 4 4 4 3
5. Câu 27. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1;0;3 , B 11; 5; 12 . Điểm M a;b;c thuộc mặt phẳng Oxy sao cho 3MA2 2MB2 nhỏ nhất. Tính P a b c . A. P 5. B. P 3.C. P 7 .D. P 5 . Câu 28. Tìm các số thực x và y thỏa (2 x)i 2y 1 3 x 2 2 y i , với i là đơn vị ảo. A. x 1 và y 1. B. x 1 và y 1. C. x 1 và y 3 . D. x 1 và y 1. Câu 29. Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức z . Hỏi điểm M’ biểu diễn cho z có tọa độ là A. z 3 4i . B. 3;4 . C. 3;4 . D. 3; 4 . 1 Câu 30. Cho A, B,C lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức 4 3i, 1 2i i , . Số phức có điểm i biểu diễn D sao cho ABCD là hình bình hành là A. z 6 4i . B. z 6 3i .C. z 6 5i .D. z 4 2i . Câu 31. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện 2 z 1 2i 3i 1 2z là đường thẳng có dạng ax by c 0, với b,c nguyên tố cùng nhau. Tính P a b . A. 16. B. 6 .C. 7 .D. 1. Câu 32. Cho số phức z thỏa mãn z 1. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z 1 z 2 z 1 . Tính giá trị của M.m . 13 3 39 13 A. . B. . C. 3 3 . D. . 4 4 4 Câu 33. Cho khối lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy là tam giác đều. Mặt phẳng A BC tạo với đáy góc 30 và tam giác A BC có diện tích bằng 8. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho. A. V 64 3 . B. V 3 3 .C. V 16 3 .D. V 8 3 . Câu 34. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh B , AB 4, SA SB SC 12 . BF 2 Gọi M , N, E lần lượt là trung điểm AC, BC, AB . Trên cạnh SB lấy điểm F sao cho . Thể tích BS 3 khối tứ diện MNEF bằng 8 4 8 4 34 A. . B. .C. .D. . 3 3 9 3 Câu 35. Cho tam giác ABC vuông tại A , AB 6cm, AC 8cm . Gọi V1 là thể tích khối nón tạo thành khi quay tam giác ABC quanh cạnh AB và V2 là thể tích khối nón tạo thành khi quay tam giác ABC quanh V cạnh AC . Khi đó, tỉ số 1 bằng V2 16 9 3 4 A. . B. .C. .D. . 9 16 4 3 Câu 36. Cho hàm số y x2 4x 3 có đồ thị là một Parabol. Đỉnh của Parabol có tọa độ là Đáp án: 4
6. Câu 37. Một tổ gồm 6 học sinh trong đó có An và Hà được xếp ngẫu nhiên ngồi vào một dãy 6 cái ghế, mỗi người ngồi một ghế. Tính xác suất để An và Hà không ngồi cạnh nhau. Đáp án: f x 15 3 5 f x 11 4 Câu 38. Cho đa thức f x thỏa mãn lim 12 . Tính L lim . x 3 x 3 x 3 x2 x 6 Đáp án: Câu 39. Đạo hàm của hàm số y x3 3x2 5x 7 là Đáp án: Câu 40. Cho hình chóp S.ABC có SA 3a , SA  ABC , AB BC 2a , ·ABC 120 . Tính khoảng cách từ A đến SBC . Đáp án: Câu 41. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O , cạnh bằng a . Đường thẳng SO a 3 vuông góc với mặt phẳng đáy và SO . Tính góc giữa SCD và ABCD . 2 Đáp án: Câu 42. Cho hàm số y 1 m x4 mx2 2m 1 . Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số có đúng một cực trị. Đáp án: Câu 43. Cho hàm số y f x có đạo hàm f x x2 x2 1 . Điểm cực tiểu của hàm số y f x là Đáp án: Câu 44. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên sau Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình f 2 tan x 2m 1 có nghiệm thuộc khoảng 0; . 4 Đáp án: 5
7. Câu 45. Cho x , y là số thực dương thỏa mãn ln x ln y ln x2 y . Tìm giá trị nhỏ nhất của P x y. Đáp án: Câu 46. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường y x2 4 và y 2x 4 bằng Đáp án: z 2 3i Câu 47. Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn 1 là một đường thẳng có phương z 4 i trình Đáp án: Câu 48. Cho lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy là tam giác đều cạnh 2a , mặt phẳng AB C tạo với mặt phẳng A B C một góc 60 . Thể tích lăng trụ ABC.A B C bằng Đáp án: x 1 y z 1 Câu 49. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng : và mặt phẳng 1 2 1 P : x y 2z 5 0 . Gọi M là giao điểm của và P . Tính độ dài OM . Đáp án: Câu 50. Trong không gianOxyz cho mặt cầu S : (x 2)2 (y 1)2 (z 2)2 16 và hai điểm A 5;0;3 , B 9; 3;4 . Gọi (P),(Q) lần lượt là hai mặt phẳng chứa AB và tiếp xúc với (S) tại M , N . Thể tích tứ diện ABMN . Đáp án: 6
8. BẢNG ĐÁP ÁN Câu ĐA Câu ĐA Câu ĐA Câu ĐA Câu ĐA 1 A 11 A 21 B 31 A 41 60 m 1 2 D 12 A 22 B 32 A 42 m 0 3 A 13 B 23 D 33 D 43 3 4 C 14 A 24 D 34 D 44 1 m 1 5 B 15 C 25 A 35 D 45 P 2 2 3 4 6 B 16 A 26 D 36 I 2; 1 46 S dvdt 3 2 7 B 17 C 27 B 37 P A 47 3x y 1 0 3 1 8 A 18 B 28 B 38 L 48 V 3a3 3 4 9 D 19 A 29 C 39 y ' 3x2 6x 5 49 OM 3 2 3a 36 26 10 B 20 C 30 C 40 d A, SBC 50 2 25 HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC CÂU HỎI VẬN DỤNG Câu 12. Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x x 1 x 1 x 2 m có nghiệm thuộc đoạn 0;1 là A. m  1;0.B. m  1;1.C. m 0;1 .D. m 0;2 . Lời giải Chọn A Số nghiệm của phương trình x x 1 x 1 x 2 m là số hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y x x 1 x 1 x 2 và đường thẳng y m . Ta có y x x 1 x 1 x 2 x4 2x3 x2 2x . 1 x 2 1 5 y 4x3 6x2 2x 2 y 0 x . 2 1 5 x 2 Bảng biến thiên Suy ra, phương trình x x 1 x 1 x 2 m có nghiệm thuộc đoạn 0;1 khi m  1;0. 1
9. 1 2 Câu 13. Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số f x x3 mx2 m 6 x đồng biến trên khoảng 3 3 0; ? A. 9 .B. 10.C. 6 . D. 5 . Lời giải Chọn B Tập xác định: D ¡ . Ta có f x x2 2mx m 6 . m2 m 6 m 2 m 3 . 0 m 2 m 3 0 TH1: 2 m 3 f x 0, x ¡ . a 0 1 0 m 2 TH2: 0 , phương trình f x 0 có hai nghiệm phân biệt x1 x2 . m 3 x1.x2 0 m 6 0 Khi đó, f x 0, x 0; x1 x2 0 6 m 0 . x1 x2 0 2m 0 Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 0; 6 m 3 . Mà m ¢ m 6; 5; 4; 3; 2; 1;0. Câu 15. Cho hàm số y m 1 x3 5x2 6 m x 3. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y f x có đúng 5 cực trị? A. 6 .B. 3 . C. 2 .D. 5 . Lời giải Chọn C y m 1 x3 5x2 6 m x 3 y 3 m 1 x2 10x 6 m Gọi n là số điểm cực trị dương của hàm số y f x thì số điểm cực trị của hàm số y f x bằng 2n 1. Hàm số y f x có đúng 5 cực trị hàm số y f x có đúng 2 điểm cực trị dương. phương trình y 0 có đúng 2 nghiệm phân biệt dương. m 1 15 141 3 m 1 0 25 3 m 1 6 m 0 m 1 m 6 0 10 3m2 15m 7 0 0 15 141 S 0 3 m 1 m 1 m 6 P 0 6 m 1 m 6 0 1 m 6 3 m 1 2
10. 15 141 1 m 6 15 141 m 6 6 Vì m ¢ m 0;5. 2 Câu 22. Cho hàm số f x liên tục trên ¡ thỏa mãn f x f 1 x x2 1 x x ¡ . Tính 1 I f x dx . 0 1 1 1 1 A. I .B. I .C. I .D. I . 30 60 45 15 Lời giải Chọn B Đặt t 1 x dt dx x 0 t 1 Đổi cận: x 1 t 0 0 1 1 I f 1 t dt f 1 t dt f 1 x dx 1 0 0 1 1 2 2 2 2 f x f 1 x x 1 x x ¡ f x f 1 x dx x 1 x dx 0 0 1 1 1 f x dx f 1 x dx x2 1 2x x2 dx 0 0 0 1 2I x2 2x3 x4 dx 0 1 1 1 1 3 4 5 0 x x x 3 2 5 1 2I I . 3 2 5 2 60 0 2 1 Câu 26. Trong không gian Oxyz , cho A 0;0;2 , B 1;1;0 và mặt cầu S : x2 y2 z 1 . Xét 4 điểm M thay đổi thuộc S . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức MA2 2MB2 bằng 1 3 21 19 A. . B. . C. . D. . 2 4 4 4 Lời giải Chọn D 1 Mặt cầu S có tâm B 0;0;1 và bán kính mặt cầu R 2   2 2 2 Gọi I là điểm thỏa mãn IA 2IB 0 I ; ; . 3 3 3  2  2   2   2 Ta có: MA2 2MB2 MA 2MB MI IA 2 MI IB     MI 2 2MI.IA IA2 2 MI 2 2MI.IB IB2    3MI 2 IA2 2IB2 2MI IA 2IB 3MI 2 IA2 2IB2 . 3
11.   2 2 4 2 24 1 1 2 2 2 2 2 Mà IA ; ; IA ; IB ; ; IB IA 2IB 4. 3 3 3 9 3 3 3 3 MA2 2MB2 3MI 2 4 . MA2 2MB2 đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi MI nhỏ nhất. 2 2 2 2 2 2 1 Mặt khác: 1 1 I nằm ngoài mặt cầu S . 3 3 3 4 2 2 2 Với I ; ; và M S để MI nhỏ nhất thì: 3 3 3 1 1 MI BI R 1 . 2 2 1 19 Vậy MA2 2MB2 3. 4 . min 4 4 A 1;0;3 B 11; 5; 12 Câu 27. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm , . Điểm M a;b;c Oxy thuộc mặt phẳng sao cho 3MA2 2MB2 nhỏ nhất. Tính P a b c . A. P 5. B. P 3. C. P 7 . D. P 5 . Lời giải Chọn B   Gọi I là điểm thỏa mãn 3IA 2IB 0 I 5; 2; 3 . Ta có:  2  2   2   2 3MA2 2MB2 3MA 2MB 3 MI IA 2 MI IB     3 MI 2 2MI.IA IA2 2 MI 2 2MI.IB IB2    5MI 2 3IA2 2IB2 2MI. 3IA 2IB 5MI 2 3IA2 2IB2 .   Mà: IA 4;2;6 IA2 56 ; IB 6; 3; 9 IB2 126 3IA2 2IB2 420 3MA2 2MB2 5MI 2 420 . 3MA2 2MB2 đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi MI 2 nhỏ nhất mà M Oxy M là hình chiếu của I lên mặt phẳng Oxy M 5; 2;0 . Vậy P 3. Câu 32. Cho số phức z thỏa mãn z 1. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z 1 z2 z 1 . Tính giá trị của M.m . 13 3 39 13 A. . B. . C. 3 3 . D. . 4 4 4 Hướng dẫn giải Chọn A 4
12. Gọi z x yi; x ¡ ; y ¡ . Ta có: z 1 z.z 1 Đặt t z 1 , ta có 0 z 1 z 1 z 1 2 t 0; 2 . t2 2 Ta có t2 1 z 1 z 1 z.z z z 2 2x x . 2 2 Suy ra z2 z 1 z2 z z.z z z 1 z 2x 1 2x 1 t2 3 . 2 Xét hàm số f t t t 3 ,t 0; 2 . Bằng cách dùng đạo hàm, suy ra 13 13 3 max f t ; min f t 3 M.n . 4 4 Câu 34. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh B , AB 4, SA SB SC 12 . BF 2 Gọi M , N, E lần lượt là trung điểm AC, BC, AB . Trên cạnh SB lấy điểm F sao cho . Thể tích BS 3 khối tứ diện MNEF bằng 8 4 8 4 34 A. .B. .C. .D. . 3 3 9 3 Lời giải Chọn D Gọi D là giao điểm của MB và EN thì D là trung điểm của MB 1 Ta có VMNEF VM .NEF SNEF .d M , NEF 3 Do D là trung điểm của MB và MB cắt EFN tại D nên d M , NEF d B, NEF 1 VMNEF SNEF .d B, NEF VB.NEF 3 V BN BE BF 1 1 2 1 Mà B.NEF . . . . VB.CAS BC BA BS 2 2 3 6 1 1 V .V V B.NEF 6 B.CAS 6 S.ABC 5
13. Câu 37. Một tổ gồm 6 học sinh trong đó có An và Hà được xếp ngẫu nhiên ngồi vào một dãy 6 cái ghế, mỗi người ngồi một ghế. Tính xác suất để An và Hà không ngồi cạnh nhau. 2 Đáp án: P A 3 Số phần tử của không gian mẫu là 6! 720 . Gọi A là biến cố: ‘’An và Hà không ngồi cạnh nhau”. Biến cố đối A : “An và Hà ngồi cạnh nhau”. Xem An và Hà là 1 bạn, có 2 cách đổi chỗ An và Hà, khi đó có tất cả 5 bạn xếp vào 5 ghế. n A 2.5! 240 . n A 240 2 Vậy xác suất của biến cố A là: P A 1 P A 1 1 . n  720 3 f x 15 3 5 f x 11 4 Câu 38. Cho đa thức f x thỏa mãn lim 12 . Tính L lim . x 3 x 3 x 3 x2 x 6 1 Đáp án: L 4 f x 15 Đặt g x f x x 3 g x 15 lim f x 15 . x 3 x 3 3 5 f x 11 4 5 f x 11 64 1 L lim lim  x 3 x2 x 6 x 3 2 x 3 x 2 3 5 f x 11 4 3 5 f x 11 16 5 f x 15 1 1 1 lim  512 . x 3 x 3 2 5 16 16 16 4 x 2 3 5 f x 11 4 3 5 f x 11 16   Câu 40. Cho hình chóp S.ABC có SA 3a , SA  ABC , AB BC 2a , ·ABC 120 . Tính khoảng cách từ A đến SBC . 3a Đáp án: d A, SBC 2 6
14. 1 1 Ta có S AB.BC.sin ·ABC .2a.2a.sin120 a2 3 . ABC 2 2 1 1 V SA.S .3a.a2 3 a3 3 . S.ABC 3 ABC 3 Trong mặt phẳng ABC kẻ AH  BC (·ABC 120 90 nên điểm H nằm ngoài đoạn thẳng BC ). BC  AH  Ta có  BC  SAH BC  SH . BC  SA  Xét tam giác vuông ABH có AH AB.sin ·ABH 2a.sin 60 a 3 . Xét tam giác vuông SAH có SH SA2 AH 2 9a2 3a2 2a 3 . 1 1 S .SH.BC .2a 3.2a 2a2 3 . SBC 2 2 1 3V 3.a3 3 3a Ta có V V d A, SBC .S d A, SBC S.ABC . S.ABC A.SBC SBC 2 3 S ABC 2a 3 2 Câu 42. Cho hàm số y 1 m x4 mx2 2m 1 . Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số có đúng một cực trị. m 1 Đáp án: m 0 Câu 45. Cho x , y là số thực dương thỏa mãn ln x ln y ln x2 y . Tìm giá trị nhỏ nhất của P x y. Đáp án: P x y 2 2 3 ln x ln y ln x2 y ln xy ln x2 y xy x2 y x 1 y x2 (1) Do x 1 y x2 0 (vì x là số thực dương) và y là số thực dương x 1 0 x 1 . 7
15. x2 Do x 1 nên từ (1) suy ra y . x 1 x2 P x y x với x 1 . x 1 x2 1 1 1 Với x 1 ta có x x x 1 2 x 1 3 2 2 x 1 . 3 2 2 3 . x 1 x 1 x 1 x 1 1 2 1 1 1 Dấu xảy ra 2 x 1 x 1 x 1 (vì x 1 0 ) x 1 . x 1 2 2 2 x2 3 2 4 y y x 1 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của P x y là 2 2 3 khi 1 2 2 x 1 x 2 2 Câu 50. Trong không gianOxyz cho mặt cầu S : (x 2)2 (y 1)2 (z 2)2 16 và hai điểm A 5;0;3 , B 9; 3;4 . Gọi (P),(Q) lần lượt là hai mặt phẳng chứa AB và tiếp xúc với (S) tại M , N . Thể tích tứ diện ABMN . 36 26 Đáp án: 25 Ta có : AB 26 . Mặt cầu (S) có tâm I 2; 1;2 , bán kính R 4 . Vì (P),(Q) lần lượt là hai mặt phẳng chứa AB và tiếp xúc với (S) tại M , N nên AB  (IMN) . Gọi H là giao điểm của AB và mặt phẳng (IMN) , K là giao điểm của MN và IH . x 5 y z 3 Phương trình đường thẳng AB là: . 4 3 1 Phương trình mặt phẳng (IMN) là: 4 x 2 3 y 1 1 z 2 0 4x 3y z 3 0 . x 5 y z 3 Toạ độ H là nghiệm của hệ 4 3 1 H 1;3;2 . 4x 3y z 3 0 Xét tam giac MHI vuông tại M với đường cao MK , ta có: MI 2 IK.IH . 8
16. 16 9 24 Mà MI 4, IH 5 nên IK HK ;MN 2MK . 5 5 25 1 1 1 24 9 36 26 Vậy V AB.MN.sin AB, MN .d AB, MN AB.MN.1.HK 26. . ABMN 6 6 6 5 5 25 9