Đề thi đánh giá năng lực năm 2022 môn Toán - Trường THPT Tiên Du số 1 (Có đáp án)

Nội dung tài liệu: Đề thi đánh giá năng lực năm 2022 môn Toán - Trường THPT Tiên Du số 1 (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ ÔN TẬP SỐ 6 BẮC NINH KỲ THI ĐÁNH GIÁ TƯ DUY NĂM 2022 ¯¯¯¯¯¯¯¯¯ Môn: Toán. Thời gian làm bài: ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ * Đơn vị đề xuất: Trường THPT Tiên Du Số 1 * Giáo viên cốt cán thẩm định: 1) Ngô Văn Khánh, đơn vị công tác: Trường THPT Lý Thái Tổ. 2) Vũ Sỹ Minh, đơn vị công tác: Trường THPT Tiên Du Số 1. II. TOÁN TRẮC NGHIỆM. Câu 36: Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ và có bảng xét dấu của đạo hàm như hình vẽ. x 1 0 2 4 f x 0 || 0 0 Hàm số y f x có bao nhiêu điểm cực trị? A. 4 B. 1 C. 2 D. 3 Câu 37: Một hộp đựng 50 chiếc thẻ được đánh số từ 1 đến 50. Chọn ngẫu nhiên từ hộp hai thẻ. Tính xác suất để hiệu bình phương số ghi trên hai thẻ là số chia hết cho 3. 801 8 409 681 A. . B. . C. . D. . 1225 25 1225 1225 Câu 38: Phương trình log3 (3x- 2)= 3 có nghiệm là: 25 29 11 A. x = B. 87 C. x = D. x = 3 3 3 Câu 39: Anh B vào làm ở công ty X với mức lương ban đầu 10 triệu đồng/tháng. Nếu hoàn thành tốt nhiệm vụ thì cứ sau 6 tháng làm việc, mức lương của anh lại được tăng thêm 20%. Hỏi bắt đầu từ tháng thứ mấy kể từ khi vào làm công ty X, tiền lương mỗi tháng của anh nhiều hơn 20 triệu đồng(biết rằng trong suốt thời gian làm ở công ty X anh B luôn hoàn thành tốt nhiệm vụ)? A. Tháng thứ 31 B. Tháng thứ 25 C. Tháng thứ 19 D. Tháng thứ 37 Câu 40: Tìm số giá trị nguyên của tham số m 10;10 để phương trình 2 2 x x 2 10 1 m 10 1 2.3x 1 có đúng hai nghiệm phân biệt? A. 14 . B. 15. C. 13. D. 16 . Câu 41: Cho hàm số y f (x) có đạo hàm f (x) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây. 1
2. Số điểm cực trị của hàm số y f (x) đã cho là A. 3 . B. 2 C. 0 . D. 1. Câu 42: Số nghiệm thực của phương trình log2 (2x 1) log2 (x 2) là A. 1. B. 0. C. 3. D. 2. Câu 43: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , mặt bên SAB là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy; góc giữa SC và mặt o phẳng đáy bằng 45 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD bằng: a3 3 a3 3 a3 5 a3 5 A. B. C. D. 12 9 24 6 Câu 44: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m  5; để hàm số y mx4 (m2 25)x2 2m có ba điểm cực trị? A. 4. B. 5 . C. vô số. D. 6. Câu 45: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có thể tích là V . Điểm M nằm trên cạnh AA’ sao cho V ' AM 2MA’. Gọi V ' là thể tích của khối chóp M.BCC’B’. Tính tỉ số . V V ' 1 V ' 2 V ' 3 V ' 1 A. B. C. D. V 3 V 3 V 4 V 2 Câu 46: Số nghiệm của phương trình log3 x log3 x 6 log3 7 là A. 0 B. 2 C. 1 D. 3 Câu 47: Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 3a , điểm H thuộc cạnh AC với HC a , dựng đoạn thẳng SH vuông góc với mặt phẳng ABC với SH 2a . Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng SAB bằng 3a 3 21a a 21 A. B. C. D. 3a 7 7 7 2
3. Câu 48: Một nhóm có 2 bạn nam và 3 bạn nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 bạn trong nhóm đó. Xác suất để trong cách chọn đó có ít nhất 2 bạn nữ là 3 7 3 2 A. B. C. D. 5 10 10 5 Câu 49: Cho khối chóp S.ABCD có thể tích bằng 1 và đáy ABCD là hình bình hành. Trên cạnh SC lấy điểm E sao cho SE 2EC . Tính thể tích V của khối tứ diện SEBD . 1 1 1 2 A. V . B. V . C. V . D. V . 3 6 12 3 Câu 50: Cho cấp số cộng un có u2 u22 60. Hãy tính tổng 23 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó. A. 690 . B. 1380. C. 1200. D. 600 . Câu 51: Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần. Xác suất để cả hai lần xuất hiện mặt 3 chấm là? 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 12 2 36 6 x 1 Câu 52: Đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y lần lượt x 3 cắt trục Ox,Oy tại các điểm A, B. Giá trị của OA2 OB2 bằng A. 2 . B. 10. C. 2 . D. 10 . Câu 53: Trên môt bàn cờ có nhiều ô vuông, người ta đặt 7 hạt thóc vào ô vuông đầu tiên, sau đó đặt tiếp vào ô thứ 2 số hạt thóc nhiều hơn ô đầu tiên là 5, tiếp tục đặt tiếp vào ô thứ 3 số hạt thóc nhiều hơn ô thứ 2 là 5, và cứ thế tiếp tục đến ô cuối cùng. Biết rằng đặt hết số ô trên bàn cờ người ta phải sử dụng hết 25450 hạt thóc. Hỏi bàn cờ đó có bao nhiêu ô? A. 101. B. 100  C. d 102 D. 103  Câu 54: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, tam giác SAB là tam giác đều và nằm a3 3 trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết thể tích của hình chóp S.ABCD bằng . 6 Tính diện tích S của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD 2 2 2 4 a 7 a 2 A. S 3 a . B. S . C. S . D. S 7 a . 3 3 ax 1 Câu 55: Cho hàm số y có đồ thị như dưới đây. Tính giá trị biểu thức T a 2b 3c bx c 3
4. A. T 1. B. T 2 . C. T 3 . D. T 4 . Câu 56: Trong các dãy số sau, đây số nào là cấp số nhân? 1 1 1 1 A. u . B. u 1. C. u n . D. u n2 n 3n 2 n 3n n 3 n 3 . Câu 57: Cho khối nón có độ dài đường sinh bằng 2a , góc giữa đường sinh và đáy bằng 60 . Thể tích của khối nón đã cho là a3 a3 3 a3 a3 2 A. . B. . C. D. . 3 3 3 3 3 Câu 58: Tìm x biết : 1, x2 ,6 x2 lập thành cấp số nhân. A. x 1 B. x 2 C. x 2 D. x 3 Câu 59: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành. Gọi M , N, P lần lượt là trung điểm các cạnh SA, BC, CD . Thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi mặt phẳng MNP là hình gì? A. Tam giác. B. Ngũ giác. C. Tứ giác. D. Lục giác. Câu 60: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A¢B¢C¢ có tất cả các cạnh đều bằng a . Gọi I , J lần lượt là trung điểm của các cạnh AB , B'C ' . Khoảng cách giữa hai đường thẳng CI và A'J bằng a 2 a 2 A. a B. C. D. a 2 2 4 III. TOÁN TỰ LUẬN. 4
5. Câu 61: Người ta thiết kế một cái tháp gồm 11 tầng. Diện tích bề mặt trên của mỗi tầng bằng nữa diện tích của mặt trên của tầng ngay bên dưới và diện tích mặt trên của tầng 1 bằng nửa diện tích của đế tháp (có diện tích là 12288m2). a) Tính diện tích mặt trên cùng. b) Tính tổng số tiền để người ta lát gạch từ tầng 1 đến tầng 11. Biết rằng mức giá để lát 1m2 ở mỗi tầng gấp 1,5 lần mức giá để lát 1m 2 ở tầng ngay dưới đó và mức giá để lát 1m2 ở tầng 1 là 110.000 đồng/ m2. Câu 62: Một cái thùng đựng đầy nước được tạo thành từ việc cắt mặt xung quanh của một hình nón bởi một mặt phẳng vuông góc với trục của hình nón. Miệng thùng là đường tròn có bán kính bằng ba lần bán kính mặt đáy của thùng. Người ta thả vào đó một khối cầu 3 có đường kính bằng chiều cao của thùng nước và đo được thể tích nước tràn ra 2 ngoài là 54 3 (lít). Biết rằng khối cầu tiếp xúc với mặt trong của thùng và đúng một nửa của khối cầu đã chìm trong nước (hình vẽ). Thể tích nước còn lại trong thùng bằng bao nhiêu lít? 5
6. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN ĐỀ ÔN TẬP SỐ 6 BẮC NINH KỲ THI ĐÁNH GIÁ TƯ DUY NĂM 2022 ¯¯¯¯¯¯¯¯¯ Môn: Thời gian làm bài: ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ * Đơn vị đề xuất: Trường THPT Tiên Du Số 1 * Giáo viên cốt cán thẩm định: 1) Ngô Văn Khánh, đơn vị công tác: Trường THPT Lý Thái Tổ. 2) Vũ Sỹ Minh, đơn vị công tác: Trường THPT Tiên Du Số 1. II. ĐÁP ÁN TOÁN TRẮC NGHIỆM. II.1. Bảng đáp án Toán trắc nghiệm 36.A 37.D 38.C 39.B 40.B 41.A 42.B 43.D 44.A 45.B 46.C 47.B 48.B 49.A 50.A 51.C 52.B 53.B 54.C 55.A 56.A 57.B 58.B 59.B 60.A II.2. Đáp án chi tiết Toán trắc nghiệm Câu 36: Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ và có bảng xét dấu của đạo hàm như hình vẽ. x 1 0 2 4 f x 0 || 0 0 Hàm số y f x có bao nhiêu điểm cực trị? A. 4 B. 1 C. 2 D. 3 Lời giải Chọn A Số điểm cực trị của hàm số bằng số lần đổi dấu của đạo hàm. Mặt khác do hàm số liên tục trên ¡ nên hàm số có 4 điểm cực trị ( x 0 vẫn là một điểm cực trị của hàm số dù đạo hàm không xác định). Câu 37: Một hộp đựng 50 chiếc thẻ được đánh số từ 1 đến 50. Chọn ngẫu nhiên từ hộp hai thẻ. Tính xác suất để hiệu bình phương số ghi trên hai thẻ là số chia hết cho 3. 801 8 409 681 A. . B. . C. . D. . 1225 25 1225 1225 Lời giải Chọn D 2 +) n  C50 +) Gọi A là biến cố hiệu bình phương số ghi trên hai thẻ là số chia hết cho 3 6
7. Giả sử 2 số được chọn là a,b . Theo giả thiết a b 3 a2 b2 3 a b a b 3 a b 3 2 2 2 Nếu a b 3 thì a, b phải đồng dư khi chia 3 số cách chọn là: C16 C17 C17 Nếu a b 3 thì hoặc a và b cùng chia hết cho 3 hoặc một số chia 3 dư 1, một số chia 2 1 1 3 dư 2 số cách chọn là: C16 C17 .C17 a b 3 a3 2 Lại có: số cách chọn là: C16 a b 3 b3 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 Do đó: n A C16 C17 C17 C16 C17C17 C16 C16 C17 C17 C17C17 2 2 2 1 1 C16 C17 C17 C17C17 681 Vậy P A 2 C50 1225 Câu 38: Phương trình log3 (3x- 2)= 3 có nghiệm là: 25 29 11 A. x = B. 87 C. x = D. x = 3 3 3 Lời giải 2 Điều kiện: x > . 3 29 Phương trình tương đương 3x- 2 = 33 Û x = (nhận). 3 ïì 29ïü Vậy S = íï ýï . îï 3 þï Câu 39: Anh B vào làm ở công ty X với mức lương ban đầu 10 triệu đồng/tháng. Nếu hoàn thành tốt nhiệm vụ thì cứ sau 6 tháng làm việc, mức lương của anh lại được tăng thêm 20%. Hỏi bắt đầu từ tháng thứ mấy kể từ khi vào làm công ty X, tiền lương mỗi tháng của anh nhiều hơn 20 triệu đồng(biết rằng trong suốt thời gian làm ở công ty X anh B luôn hoàn thành tốt nhiệm vụ)? A. Tháng thứ 31 B. Tháng thứ 25 C. Tháng thứ 19 D. Tháng thứ 37 Lời giải Gọi n là số chu kỳ 6 tháng (một chu kỳ là 6 tháng). Thì lương một tháng của anh B sau n chu kỳ là: n T A 1 r với A 10.000.000 đồng, r 0,2 7
8. n Trước hết ta tìm n để T A 1 r 20.000.000 n log1 r 2 log1,2 2 3,08 Tức là để lương của anh B nhiều hơn 20 triệu thì phải từ 3 chu kỳ trở lên. Xét n 3(sau 18 tháng) thì lương của anh B là: T A 1 r n 10.000.000.1,23 17.280.000đ Xét n 4 (sau 24 tháng) thì lương của anh B là: T A 1 r n 10.000.000.1,23 20.736.000 đ Từ đó dễ thấy đáp án B thoả mãn. Câu 40: Tìm số giá trị nguyên của tham số m 10;10 để phương trình 2 2 x x 2 10 1 m 10 1 2.3x 1 có đúng hai nghiệm phân biệt? A. 14 . B. 15. C. 13. D. 16 . Lời giải x2 x2 x2 x2 x2 1 10 1 10 1 10 1 m 10 1 2.3 m 6 (1) 3 3 x2 x2 10 1 10 1 1 Đặt t , t 0 3 3 t 1 (1) t m. 6 t2 6t m 0 (2) t Để (1) có đúng hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (2) có một nghiệm lớn hơn 1. (2) m t2 6t . Xét hàm số f (t) t2 6t trên khoảng (1; ) , ta có: f t 2t 6; f t 0 t 3. Bảng biến thiên: 8
9. Dựa vào bảng biến thiên ta thấy m 5 hoặc m 9 là giá trị thỏa mãn yêu cầu bài toán. Do m 10;10 nên m 9; 8; 7; 6; 5; 4; 3; 2; 1;0;1;2;3;4;9 . Suy ra có 15 giá trị m cần tìm. Câu 41: Cho hàm số y f (x) có đạo hàm f (x) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây. Số điểm cực trị của hàm số y f (x) đã cho là A. 3 . B. 2 C. 0 . D. 1. Lời giải Quan sát BBT ta có f (x) 0 có 3 nghiệm phân biệt và f (x) đổi dấu khi qua ba nghiệm nên hàm số đã cho có điểm 3 cực trị. Câu 42: Số nghiệm thực của phương trình log2 (2x 1) log2 (x 2) là A. 1. B. 0. C. 3. D. 2. Lời giải Điều kiện: x 2. Phương trình đã cho tương đương với: log2 (2x 1) log2 (x 2) 2x 1 x 2 x 1 Nghiệm này không thỏa mãn điều kiện của phương trình nên phương trình đã cho vô nghiệm. 9
10. Câu 43: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy; góc giữa SC và mặt phẳng o đáy bằng 45 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD bằng: a3 3 a3 3 a3 5 a3 5 A. B. C. D. 12 9 24 6 Lời giải Chọn D Gọi H là trung điểm của AB , SAB cân tại S SH  AB SAB  ABCD  SAB  ABCD AB SH  ABCD SH  SAB ;SH  AB ·SC; ABCD S· CH 45o SHC vuông cân tại H a2 a 5 SH HC BC 2 BH 2 a2 ; S AB2 a2 4 2 ABCD 1 1 a 5 a3 5 V .S .SH a2. S.ABCD 3 ABCD 3 2 6 Câu 44: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m  5; để hàm số y mx4 (m2 25)x2 2m có ba điểm cực trị? A. 4. B. 5 . C. vô số. D. 6. Lời giải y 4mx3 2(m2 25)x . Ta có x 0 3 2 . y 0 4mx 2(m 25)x 0 2 2 4mx 2(m 25) 0 10
11. Hàm số có một điểm cực đại và hai điểm cực tiểu m m2 25 0 0 m 5 m 5 . Vậy các giá trị nguyên của tham số m 1;2;3;4. Câu 45: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có thể tích là V . Điểm M nằm trên cạnh AA’ sao cho V ' AM 2MA’. Gọi V ' là thể tích của khối chóp M.BCC’B’. Tính tỉ số . V V ' 1 V ' 2 V ' 3 V ' 1 A. B. C. D. V 3 V 3 V 4 V 2 Lời giải Chọn B 1 2 1 2 Ta có V V; V V V ' V V V V. M .A'B'C ' 9 M .ABC 9 M .BCC 'B' 3 3 V ' 2 Vậy  V 3 Câu 46: Số nghiệm của phương trình log3 x log3 x 6 log3 7 là A. 0 B. 2 C. 1 D. 3 Lời giải Đk: x 6 Ta có: 2 x 1 log3 x log3 x 6 log3 7 log3 x x 6 log3 7 x 6x 7 0 x 7 So với điều kiên vậy phuiwng trình có một nghiệm x 7 11
12. Câu 47: Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 3a , điểm H thuộc cạnh AC với HC a , dựng đoạn thẳng SH vuông góc với mặt phẳng ABC với SH 2a . Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng SAB bằng 3a 3 21a a 21 A. B. C. D. 3a 7 7 7 Lời giải Trong ABC : gọi M là trung điểm AB, dựng HN song song với CM (với N thuộc AB) HN  AB  AB  SHN SH  AB  Trong SHN dựng HK  SN tại K, mà HK  AB do AB  SHN HK  SAB tại K d H, SAB HK 2 2 3 HN CM .3a. a 3 3 3 2 1 1 1 1 1 7 2 21a HK HK 2 SH 2 HN 2 4a2 3a2 12a2 7 d C, SAB CA 3 3 3 21a CH  SAB A d C, SAB .HN d H, SAB HA 2 2 7 Câu 48: Một nhóm có 2 bạn nam và 3 bạn nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 bạn trong nhóm đó. Xác suất để trong cách chọn đó có ít nhất 2 bạn nữ là 12
13. 3 7 3 2 A. B. C. D. 5 10 10 5 Lời giải 3 Ta có n  C5 10 . Gọi A là biến cố “Có ít nhất 2 bạn nữ được chọn”. 2 1 Trường hợp 1: Nhóm có 2 nữ, 1 nam thì có C3 .C2 6 cách chọn. 3 Trường hợp 2: Nhóm có 3 nữ thì có C3 1 cách chọn. 7 Suy ra: n A 6 1 7 . Vậy xác suất cần tính là P A . 10 Câu 49: Cho khối chóp S.ABCD có thể tích bằng 1 và đáy ABCD là hình bình hành. Trên cạnh SC lấy điểm E sao cho SE 2EC . Tính thể tích V của khối tứ diện SEBD . 1 1 1 2 A. V . B. V . C. V . D. V . 3 6 12 3 Lời giải S E B C A D VS.EBD SB.SD.SE SE 2 2 2 1 1 Ta có: VS.EBD VS.BCD . VS.ABCD . VS.BCD SB.SD.SC SC 3 3 3 2 3 1 Vậy thể tích V của khối tứ diện SEBD là V . 3 Câu 50: Cho cấp số cộng un có u2 u22 60. Hãy tính tổng 23 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó. A. 690 . B. 1380. C. 1200. D. 600 . Lời giải u1 u2 d Gọi d là công sai của cấp số cộng đã cho, ta có: u23 u22 d 23 u u 23 u u 23.60 Tổng 23 số hạng đầu tiên: S 1 23 2 22 690 23 2 2 2 13
14. Câu 51: Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần. Xác suất để cả hai lần xuất hiện mặt 3 chấm là? 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 12 2 36 6 Lời giải Chọn C Số phần tử của không gian mẫu là  6.6 36. Gọi A là biến cố '' Cả hai lần gieo xuất hiện 3 chấm ''  A 1. 1 Vậy xác suất cần tính P A . 36 x 1 Câu 52: Đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y lần lượt x 3 cắt trục Ox,Oy tại các điểm A, B. Giá trị của OA2 OB2 bằng A. 2 . B. 10. C. 2 . D. 10 . Lời giải Chọn B Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x 3. Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y 1. Vậy OA2 OB2 10 . Câu 53: Trên môt bàn cờ có nhiều ô vuông, người ta đặt 7 hạt thóc vào ô vuông đầu tiên, sau đó đặt tiếp vào ô thứ 2 số hạt thóc nhiều hơn ô đầu tiên là 5, tiếp tục đặt tiếp vào ô thứ 3 số hạt thóc nhiều hơn ô thứ 2 là 5, và cứ thế tiếp tục đến ô cuối cùng. Biết rằng đặt hết số ô trên bàn cờ người ta phải sử dụng hết 25450 hạt thóc. Hỏi bàn cờ đó có bao nhiêu ô? A. 101. B. 100 C. d 102 D. 103 Lời giải Chọn B Nhận thấy, dãy số các hạt thóc đặt trên ô vuông đầu tiên, ô vuông thứ 2, ô vuông thứ 3, của bàn cờ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng có u1 7;d 5;Sn 25450 . Trong đó n là số ô vuông của bàn cờ; n ¥ * . n 100 n n 1 .5 Do đó: 7n 25450 5n2 9n 50900 0 509 2 n 5 Vì n ¥ * nên n 100 . 14
15. Câu 54: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, tam giác SAB là tam giác đều và nằm a3 3 trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết thể tích của hình chóp S.ABCD bằng . 6 Tính diện tích S của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD 2 2 2 4 a 7 a 2 A. S 3 a . B. S . C. S . D. S 7 a . 3 3 Lời giải Chọn C a3 3 1 x 3 Gọi x là cạnh của hình vuông. Ta có V x2 x a S.ABCD 6 3 2 +) Xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Gọi SH là đường cao của tam giác SAB. Vì SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy nên SH là đường cao của hình chóp S.ABCD. Gọi O là tâm của hình vuông ABCD, từ O dựng Ox  (ABCD) . Từ trọng tâm G của tam giác SAB dựng Gy  (SAB) . Gọi I Ox Gy . Vậy I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD . +) Chứng minh I là tâm mặt cầu cần tìm Vì I Ox , mà Ox  (ABCD) , O là tâm hình vuông ABCD nên I cách đều A, B, C, D (1). Mặt khác G là trọng tâm của tam giác đều SAB, I Gy , màGy  (SAB) nên I cách đều S, A, B (2). Từ (1) và (2) suy ra I cách đều S, A, B, C,D. Nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD, bán kính R=IB 15
16. +) Tìm độ dài bán kính mặt cầu Vì OI  (ABCD) , SH  (ABCD) nên OI / /GH vì G SH (3) Mặt khác Gy  (SAB) , I Gy mà OH  (SAB) (vì OH  AB,OH  SH ) nên GI / / O H (4) 1 1 a 3 a 3 Từ (3) và (4) suy ra GHOI là hình bình hành OI GH SH . . 3 3 2 6 Vì OI  (ABCD) OI  OB VBOI vuông tại B Xét VBOI vuông tại B ta có 2 2 2 2 2 a 3 a 2 7 2 21 IB IO OB a IB a R . 6 2 12 6 7 Diện tích mặt cầu là S 4 R2 a2. 3 ax 1 Câu 55: Cho hàm số y có đồ thị như dưới đây. Tính giá trị biểu thức T a 2b 3c bx c A. T 1. B. T 2 . C. T 3. D. T 4 . Lời giải Chọn A c Đồ thị nhận x 1 là tiệm cận đứng 1 b c . b a Đồ thị nhận y 2 là tiệm cận ngang 2 a 2b . b a.0 1 Đồ thị đi qua điểm 0;1 1 c 1 b 1 a 2 . b.0 c Vậy T a 2b 3c 2 2(1) 3( 1) 1. Câu 56: Trong các dãy số sau, đây số nào là cấp số nhân? 16
17. 1 1 1 1 A. u . B. u 1. C. u n . D. u n2 n 3n 2 n 3n n 3 n 3 . Lời giải Chọn A 1 u 1 1 3 Dãy un là cấp số nhân có 3n 2 1 q 3 Câu 57: Cho khối nón có độ dài đường sinh bằng 2a , góc giữa đường sinh và đáy bằng 60 . Thể tích của khối nón đã cho là a3 a3 3 a3 a3 2 A. . B. . C. D. . 3 3 3 3 3 Lời giải S h r A H B Theo bài ra ta có SA 2a ; góc S· AH 60 . 1 Ta có AH SA.cos60 2a. a ; SH SA.sin 60 a 3 . 2 1 1 a3 3 V SH.AH 2 a 3.a2 3 3 3 Câu 58: Tìm x biết : 1, x2 ,6 x2 lập thành cấp số nhân. A. x 1 B. x 2 C. x 2 D. x 3 Lời giải Chọn B Ta có: 1, x2 ,6 x2 lập thành cấp số nhân x4 6 x2 x 2 . 17
18. Câu 59: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành. Gọi M , N, P lần lượt là trung điểm các cạnh SA, BC, CD . Thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi mặt phẳng MNP là hình gì? A. Tam giác. B. Ngũ giác. C. Tứ giác. D. Lục giác. Lời giải Chọn B Câu 60: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A¢B¢C¢ có tất cả các cạnh đều bằng a . Gọi I , J lần lượt là trung điểm của các cạnh AB , B'C ' . Khoảng cách giữa hai đường thẳng CI và A'J bằng a 2 a 2 A. a B. C. D. a 2 2 4 Lời giải Chọn A Ta có (ABC)//(A'B¢C¢) và CI Ì (ABC); A'J Ì (A'B¢C¢) suy ra d (CI, A'J ) = d ((ABC),(A'B¢C¢))= AA' = a III. TOÁN TỰ LUẬN. Câu 61: Người ta thiết kế một cái tháp gồm 11 tầng. Diện tích bề mặt trên của mỗi tầng bằng nữa diện tích của mặt trên của tầng ngay bên dưới và diện tích mặt trên của tầng 1 bằng nửa diện tích của đế tháp (có diện tích là 12288m2). a) Tính diện tích mặt trên cùng. b) Tính tổng số tiền để người ta lát gạch từ tầng 1 đến tầng 11. Biết rằng mức giá để lát 1m2 ở mỗi tầng gấp 1,5 lần mức giá để lát 1m 2 ở tầng ngay dưới đó và mức giá để lát 1m2 ở tầng 1 là 110.000 đồng/ m2. Lời giải 1 1 2 a) Ta có diện tích tầng 1 là: S1 = Sd = .12288 = 6144(m ) 2 2 1 Diện tích tầng 2 là: S = S 1 2 1 1 Diện tích tầng 3 là: S = S 3 2 2 . 1 Diện tích tầng 11 là: S = S 11 2 10 18
19. æ ö10 æ ö10 ç1÷ ç1÷ 2 Vậy S11 = S1.ç ÷ = 6144.ç ÷ = 6(m ) èç2ø÷ èç2ø÷ b) Ta có số tiền để lát gạch tầng 1 là: T1 = S1 ´ 110.000 = 6144´ 110.000 = 675.840.000 (đ) æ ö æ ö ç3÷ 1 ç3÷ 3 Số tiền để lát gạch tầng 2 là: T2 = S2 ´ 110.000´ ç ÷= S1 ´ 110.000´ ç ÷= (T1) (đ) èç2ø÷ 2 èç2ø÷ 4 æ ö æ ö ç3÷ 1 ç3÷ 3 Số tiền để lát gạch tầng 3 là: T3 = S3 ´ 110.000´ ç ÷= S2 ´ 110.000´ ç ÷= (T2 ) (đ) èç2ø÷ 2 èç2ø÷ 4 . æ ö æ ö ç3÷ 1 ç3÷ 3 Số tiền để lát gạch tầng 11 là: T11 = S11 ´ 110.000´ ç ÷= S10 ´ 110.000´ ç ÷= (T10 ) (đ) èç2ø÷ 2 èç2ø÷ 4 æ3ö11 ç ÷ - 1 èç4ø÷ Vậy tổng số tiền M = T + T + T + + T = T . = 2.589.183.223 (đ) 1 2 3 11 1 3 - 1 4 Câu 62: Một cái thùng đựng đầy nước được tạo thành từ việc cắt mặt xung quanh của một hình nón bởi một mặt phẳng vuông góc với trục của hình nón. Miệng thùng là đường tròn có bán kính bằng ba lần bán kính mặt đáy của thùng. Người ta thả vào đó một khối cầu 3 có đường kính bằng chiều cao của thùng nước và đo được thể tích nước tràn ra 2 ngoài là 54 3 (lít). Biết rằng khối cầu tiếp xúc với mặt trong của thùng và đúng một nửa của khối cầu đã chìm trong nước (hình vẽ). Thể tích nước còn lại trong thùng bằng bao nhiêu lít? Lời giải 19
20. Gọi R là bán kính của khối cầu. Khi đó thể tích nước tràn ra ngoài là thể tích của một 1 4 nửa khối cầu nên . R3 54 3 R 3 3 . 2 3 2 Do đó chiều cao của thùng nước là h .2R 4 3 . 3 Cắt thùng nước bởi thiết diện qua trục ta được hình thang cân ABCD với AB 3CD . Gọi O là giao điểm của AD và BC thì tam giác OAB cân tại O . Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng AB và I là giao điểm của OH và CD I là 1 trung điểm của DC nên DI AH . 3 OI DI 1 3 Ta có OH HI 6 3 OH AH 3 2 Gọi K là hình chiếu của H trên OA thì HK R 3 3 Tam giác OHA vuông tại H có đường cao HK nên 1 1 1 1 1 1 1 AH 6 DI 2 HK 2 HO2 AH 2 AH 2 HK 2 HO2 36 Thể tích thùng đầy nước là 2 2 2 2 h AH DI AH.DI 4 3 6 2 6.2 208 3 3 3 3 Do đó thể tích nước còn lại là 208 3 46 3 46 3 54 3 dm3 l 83,43 l . 3 3 3 20