Ôn tập TN THPT môn Toán 12 - Chuyên đề: Cực trị số phức

Nội dung tài liệu: Ôn tập TN THPT môn Toán 12 - Chuyên đề: Cực trị số phức

1. CHUYấN ĐỀ ễN THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THễNG QUỐC GIA CỰC TRỊ SỐ PHỨC A. CƠ SỞ LÍ THUYẾT 1. Khỏi niệm số phức. *Định nghĩa 1. Một số phức là một biểu thức dạng a + bi , trong đú a, b là cỏc số thực và số i thoả món i 2 = - 1. Kớ hiệu số phức đú là z và viết z = a + bi . Trong đú: i được gọi là đơn vị ảo, a được gọi là phần thực và b được gọi là phần ảo của số phức z = a + bi . Tập hợp cỏc số phức được kớ hiệu là Ê . *Chỳ ý: + Mỗi số thực a đều được xem như là 1 số phức với phần ảo b = 0 . + Số phức cú a = 0 được gọi là số thuần ảo hay là số ảo. + Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo. *Định nghĩa 2. Hai số phức z = a + bi (a,b ẻ Ă ) và zÂ= aÂ+ bÂi (a ',b' ẻ Ă ) được gọi là bằng nhau nếu a = a ' và b = b'. (phần thực bằng phần thực và phần ảo bằng phần ảo). Khi đú, ta viết: z = z ' . 2.Biểu diễn hỡnh học số phức. Mỗi số phức z = a + bi (a,b ẻ Ă ) được biểu diễn bởi một điểm M (a;b) trờn mặt phẳng toạ độ Oxy. Ngược lại mỗi điểm M (a;b) biểu diễn một số phức z = a + bi Mặt phẳng toạ độ với việc biểu diễn số phức được gọi là mặt phẳng phức. Trục Ox gọi là trục thực, trục Oy gọi là trục ảo. 3. Phộp cộng và phộp trừ số phức. *Định nghĩa 3: Tổng của hai số phức z1 = a1 + b1i , z2 = a2 + b2i (a1,b1,a2,b2 ẻ Ă ) là số phức z1 + z2 = (a1 + a2) + (b1 + b2)i . *Tớnh chất của phộp cộng số phức. i, (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3) với mọi z1,z2,z3 ẻ Ê ii, z1 + z2 = z2 + z1 với mọi z1,z2 ẻ Ê iii, z + 0 = 0 + z = z với mọi z ẻ Ê iv, Với mỗi số phức z = a + bi (a,b ẻ Ă ), nếu kớ hiệu số phức - a - bi là - z thỡ ta cú: z + (- z) = - z + z = 0. Số - z được gọi là số đối của số phức z . *Định nghĩa 4. Hiệu của hai số phức z1 = a1 + b1i , z2 = a2 + b2i (a1,b1,a2,b2 ẻ Ă ) là tổng của hai số phức z1 và - z2 , tức là: z1 + (- z2) = z1 - z2 = (a1 - a2) + (b1 - b2)i . * í nghĩa hỡnh học của phộp cộng và phộp trừ số phức. uuur Mỗi số phức z = a + bi (a,b ẻ Ă ) được biểu diễn bởi M (a;b) cũng cú nghĩa là vộc tơ OM . Khi đú nếu
2. ur uur u1,u2 theo thứ tự biểu diễn số phức z1,z2 thỡ: ur uur +) u1 + u2 biểu diễn số phức z1 + z2 ur uur +) u1 - u2 biểu diễn số phức z1 - z2 4. Phộp nhõn số phức. * Định nghĩa 5. Tớch của hai số phức z1 = a1 + b1i , z2 = a2 + b2i (a1,b1,a2,b2 ẻ Ă ) là số phức: z1.z2 = a1a2 - b1b2 + (a1b2 + a2b1)i *Nhận xột. Với mọi số thực k và mọi số phức z = a + bi (a,b ẻ Ă ), ta cú: kz = k(a + bi) = ka + kbi Đặc biệt 0.z = z.0 = 0 với mọi z ẻ Ê . * Tớnh chất của phộp nhõn số phức. i, z1z2 = z2z1 với mọi z1,z2 ẻ Ê ii, z.1 = 1.z = z với mọi z ẻ Ê iii, (z1z2).z3 = z1.(z2z3) với mọi z1,z2,z3 ẻ Ê iv, z1.(z2 + z3) = z1z2 + z1z3 với mọi z1,z2,z3 ẻ Ê 5. Số phức liờn hợp và mụ đun của số phức. * Định nghĩa 6. Số phức liờn hợp của số phức z = a + bi (a,b ẻ Ă ) là a - bi và được kớ hiệu là z . Như vậy, ta cú: z = a + bi = a - bi *Nhận xột. + Số phức liờn hợp của z lại là z , tức là z = z . Do đú ta cũn núi z và z là hai số phức liờn hợp với nhau. + Hai số phức là liờn hợp với nhau khi và chỉ khi cỏc điểm biểu diễn của chỳng đối xứng nhau qua trục Ox. *Tớnh chất: i, Với mọi z1,z2 ẻ Ê ta cú: z1 + z2 = z1 + z2 ; z1.z2 = z1.z2 ii, " z ẻ Ê , z = a + bi (a,b ẻ Ă ), số z.z luụn là một số thực và z.z = a2 + b2 *Định nghĩa 7: Mụ đun của số phức z = a + bi (a,b ẻ Ă ) là số thực khụng õm a2 + b2 và được kớ hiệu z . uuur Như vậy z = a2 + b2 = zz = OM . * Nhận xột: + z = 0 khi và chỉ khi z = 0. + Nếu z là số thực thỡ mụ đun của z là giỏ trị tuyệt đối của số thực đú.
3. uuur uuur uuuur + z1 + z2 = OM + ON , z1 - z2 = MN , với M ,N lần lượt biểu diễn z1,z2 6. Phộp chia cho số phức khỏc 0. z z ' * Định nghĩa 8: Số nghịch đảo của số phức z khỏc 0 là z- 1 = . Thương của phộp chia số phức z ' cho số z z z ' z ' z '.z phức z khỏc 0 là tớch của z ' với số phức nghịch đảo của z , tức là = z '.z- 1 . Như vậy, nếu z ạ 0 thỡ = 2 z z z z ' z '.z z '.z z * Chỳ ý: Cú thể viết = = nờn để tớnh ta chỉ cần nhõn cả tử và mẫu số với z với lưu ý rằng 2 z z z.z z 2 z.z = z . 1 *Nhận xột: + Với z ạ 0, ta cú: = 1.z- 1 = z- 1 . z z ' + Thương là số phức w sao cho z.w = z '. Do đú, cú thể núi phộp chia cho số phức khỏc 0 là z phộp toỏn ngược của phộp nhõn. ổz 'ử z ' z ' z ' ỗ ữ + ỗ ữ= ; = ; z1z2 = z1 . z2 ; z1 + z2 Ê z1 + z2 ốỗz ứữ z z z 7. Bất đẳng thức tam giỏc : z1 + z2 Ê z1 + z2 ; dấu “=” xảy ra khi z1 = kz2; k ³ 0 z1 - z2 Ê z1 + z2 ; dấu “=” xảy ra khi z1 = kz2; k Ê 0 z1 + z2 ³ z1 - z2 ; dấu “=” xảy ra khi z1 = kz2; k Ê 0 2 2 ổ 2 2ử 8. Cụng thức trung tuyến: z + z + z - z = 2ỗz + z ữ; 1 2 1 2 ốỗ 1 2 ứữ 9. Tập hợp cỏc điểm biểu diễn số phức z thỏa món điều kiện cho trước: z - (a + bi) = r : Đường trũn tõm I(a;b) bỏn kớnh r z - (a + bi) = z - (c + di) : Đường thẳng d là trung trực của đoạn AB với A(a;b); B(c;d) z - (a + bi) + z - (c + di) = 2a : - Là đoạn thẳng AB nếu AB=2a; với A(a;b); B(c;d) - Là elip (E) nhận A, B là hai tiờu điểm với độ dài trục lớn là 2a, với 2a>AB. B. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ CỦA SỐ PHỨC I. Sử dụng tớnh chất của hỡnh học phẳng. 1. Lý thuyết
4. Ta nhắc lại một số kết quả của hỡnh học phẳng được sử dụng trong quỏ trỡnh giải cỏc bài toỏn cực trị của biểu thức số phức. ❖ Cho đường thẳng D và điểm A khụng nằm trờn D . Điểm M trờn D cú khoảng cỏch đến A nhỏ nhất chớnh là hỡnh chiếu vuụng gúc của A trờn D . ❖ Cho đoạn thẳng PQ và điểm A khụng thuộc PQ,M là điểm nằm trờn đoạn thẳng PQ , khi đú max AM = max {AP,AQ} . Để tỡm giỏ trị nhỏ nhất của AM ta xột cỏc trường hợp sau: - Nếu hỡnh chiếu vuụng gúc H của A trờn đường thẳng PQ nằm trờn đoạn PQ thỡ min AM = AH . - Nếu hỡnh chiếu vuụng gúc H của A trờn đường thẳng PQ khụng nằm trờn đoạn PQ thỡ min AM = min{AP,AQ} . ❖ Cho đường trũn (C) tõm I , bỏn kớnh R . A là điểm bất kỡ và M là điểm nằm trờn đường trũn (C) . Khi đú max AM = IA + R và min AM = IA - R . x 2 y2 ❖ Nếu M là điểm đi động trờn Elip (E) : + = 1 ở đú 0 < a < b thỡ maxOM = b và min AM = a. a2 b2 ❖ Nếu M di động trờn đường trũn (C) và N di động trờn đường thẳng D khụng cắt (C) thỡ max MN = d (I ,D)+ R,min MN = d (I ,D)- R. và min AM = IA - R . Trong trường hợp đường thẳng D cắt đường trũn (C ) thỡ max MN = d (I ,D)+ R và min MN = 0. ❖ Cho hai đường trũn (T1) cú tõm I, bỏn kớnh R1; đường trũn (T2) cú tõm J, bỏn kớnh R2. Tỡm giỏ trị lớn nhất, nhỏ nhất của MN. Ta cú MN Ê IM + IN Ê IM + IJ + JN = R1 + R2 + IJ = AD MN ³ IM - IN ³ IJ - IM - JN = IJ - R1 - R2 = BC ❖ Cho hai đường trũn (T ) cú tõm I, bỏn kớnh R; đường thẳng D khụng cú điểm chung với (T ) . Tỡm giỏ trị nhỏ nhất MN. Ta cú MN ³ IN - IM ³ IH - R
5. 2. Vớ dụ minh họa Cõu 1. Xột cỏc số phức z, w thỏa món z + 2 - 2i = z - 4i và w = iz + 1. Giỏ trị nhỏ nhất của w bằng 2 3 2 A. . B. . C. 2. D. 2 2. 2 2 Lời giải. Đặtz = x + yi (x,y ẻ Ă ) và M (x;y) là điểm biểu diễn số phức z. 2 2 2 Từ z + 2 - 2i = z - 4i ị (x + 2) + (y - 2) = x 2 + (y - 4) Û x + y = 2 ị tập hợp điểm M là đường thẳng D : x + y = 2. Ta cú P = w = iz + 1 = i (z - i ) = z - i = MA với A(0;1). 0 + 1- 2 2 Dựa vào hỡnh vẽ ta thấy Pmin = AM min = d (A,D) = = . 2 2 Cõu 2. Cho cỏc số phức z thỏa món | z - 1- 2i | + | z - 4 - 3i |= 10 . Tớnh giỏ trị lớn nhất và giỏ trị nhỏ nhất của z 10 10 A. 5 và B. 5 và 5 C. 5 và D. 5 và 2 5 2 2 Lời giải Đặt A(1;2) , B(4;3) và gọi M là điểm biểu diễn số phức z trờn mặt phẳng. Theo giả thiết ta cú MA + MB =| z - 1- 2i | + | z - 4 - 3i |= 10 = AB Mà MA + MB ³ AB nờn M nằm trờn đoạn thẳng AB. Lại cú OA2 + AB 2 - OB 2 2 cosOãAB = = - 2OA ìOB 2 ã nờn OAB là gúc tự. Suy ra OA Ê OM Ê OB .
6. Vậy min | z |= OA = 5 và max | z |= OB = 5 ã 10 Nhận xột: Nếu khụng để ý đến gúc OAB là gúc tự, ta cú thể phạm phải sai lầm minOM = d (O,AB) = . 2 Tuy nhiờn dấu bằng khụng đạt được do hỡnh chiếu của O trờn AB nằm ngoài đoạn AB Cõu 3. Xột cỏc số phức z thỏa món z - 1+ 2i = 2 5 và số phức w thỏa (5 + 10i )w = (3 - 4i )z - 25i . Tổng giỏ trị lớn nhất và giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức P = w bằng A. 4.B. 2 10 .C. 4 5 .D. 6. Lời giải Gọi w = x + yi với x , y ẻ Ă . Ta cú (5 + 10i )w = (3 - 4i )z - 25i Û z = (- 1+ 2i )w - 4 + 3i . Lại cú z - 1+ 2i = 2 5 Û (- 1+ 2i )w - 4 + 3i - 1+ 2i = 2 5 Û (- 1+ 2i )w - 5 + 5i = 2 5 Û w + 3 + i = 2 2 2 Û x - yi + 3 + i = 2 Û (x + 3) + (y - 1) = 4 . Vậy tập hợp cỏc điểm biểu diễn số phức w là đường trũn tõm I (- 3;1), bỏn kớnh R = 2. max P = OM = R + OI = 2 + 10 và min P = ON = OI - R = 10 - 2 . Vậy max P + min P = 2 10 . Cõu 4. Cho số phức z1 ;z2 thỏa z1 - 1- 2i = 1 và z2 + 2 + 3i = z2 - 1- i . Giỏ trị nhỏ nhất của z1 - z2 bằng 27 29 33 23 A. . B. . C. . D. . 10 10 10 10 Lời giải 2 2 Gọi z1 = x + yi với x,y ẻ Ă khi đú z1 - 1- 2i = 1 Û (x - 1) + (y - 2) = 1. 2 2 Suy ra tập hợp biểu diễn số phức z1 là đường trũn (C) cú phương trỡnh (x - 1) + (y - 2) = 1. Gọi z2 = a + bi với a,b ẻ Ă khi đú 2 2 2 2 z2 + 2 + 3i = z2 - 1- i Û (a + 2) + (b + 3) = (a - 1) + (b - 1) ị 6a + 8b + 11 = 0.
7. Suy ra tập hợp biểu diễn số phức z2 là đường thẳng D cú phương trỡnh D : 6x + 8y + 11 = 0. Gọi M là điểm biểu diễn số phức z1 và N là điểm biểu diễn số phức z2 trong mặt phẳng phức. Từ đú ta cú z1 - z2 = NM . Ta thấy d(I ,D) > R ( Với I và R lần lượt là tõm và bỏn kớnh đường trũn (C)) 33 23 Nờn NM = d(I ,D) - R = - 1 = . min 10 10 23 Vậy giỏ trị nhỏ nhất của z - z bằng . 1 2 10 Cõu 5. Cho hai số phức z1 , z2 thỏa món z1 - 3i + 5 = 2 và iz2 - 1+ 2i = 4 . Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức T = 2iz1 + 3z2 . A. 313 + 16. B. 313 . C. 313 + 8. D. 313 + 2 5 . Lời giải Ta cú z1 - 3i + 5 = 2 Û 2iz1 + 6 + 10i = 4 (1); iz2 - 1+ 2i = 4 Û (- 3z2 )- 6 - 3i = 12 (2). Gọi A là điểm biểu diễn số phức 2iz1 , B là điểm biểu diễn số phức - 3z2 . Từ (1) và (2) suy ra điểm A nằm trờn đường trũn tõm I 1 (- 6;- 10) và bỏn kớnh R1 = 4 ; điểm B nằm trờn đường trũn tõm I 2 (6;3) và bỏn kớnh R2 = 12. A B I1 I2 2 2 Ta cú T = 2iz1 + 3z2 = AB Ê I 1I 2 + R1 + R2 = 12 + 13 + 4 + 12 = 313 + 16. Vậy maxT = 313 + 16. Cõu 6. Xột cỏc số phức z đồng thời thỏa món z - 4 + 3i - z + 4 + 3i = 10 và z - 3 - 4i nhỏ nhất. Mụđun của số phức z bằng A. 5. B. 5 2. C. 6 2. D. 10. Lời giải
8. Gọi M (x;y), A(4;- 3), B (- 4;3) lần lượt là điểm biểu diễn cỏc số phức z, 4 - 3i, - 4 + 3i trong mặt phẳng tọa độ. Từ z - 4 + 3i - z + 4 + 3i = 10 Û z - 4 + 3i - z + 4 - 3i = 10 Û MA - MB = 10 = AB ị M nằm trờn tia đối của tia BA. Ta cú z - 3 - 4i = MC với C (3;4). Ta thấy MC min = CB = 5 2. Dấu '' = '' xảy ra Û M º B ắ ắđ z = 5. Cõu 7. Xột hai số phức z ,z thỏa món z - 2 - i 2 + 2 3i = z - z 3 - i và 1 2 ( 1 )( ) ( 1 1)( ) z2 + i = z2 + 1+ 2i . Giỏ trị nhỏ nhất của z1 - z2 bằng 34 A. 7 . B. 2 6 . C. . D. 2 2 . 5 Lời giải Đặt z1 = a + bi , Ta cú: z - 2 - i 2 + 2 3i = z - z 3 - i Û 2 z - 2 - i = z - z ( 1 )( ) ( 1 1)( ) ( 1 ) ( 1 1) 2 2 2 a - 4a + 5 Û 2 (a - 2) + (b - 1) = 2 b Û a2 - 4a + 4 + b2 - 2b + 1 = b2 Û b = 2 x 2 - 4x + 5 Đặt điểm biểu diễn số phức z là M , vậy quỹ tớch của M là parabol y = 1 2 Đặt điểm biểu diễn số phức z2 là N . Ta dễ thấy quỹ tớch của N là đường thẳng d :y = - x - 2 . Đường thẳng dÂ:y = - x + 2 tiếp xỳc với parabol tại A(1;1) Minh họa trờn hệ trục Oxy .
9. Ta thấy z - z Û MN = d A;d = 2 2 . 1 2 min min ( ) Cõu 8. Cho số phức z thay đổi nhưng luụn thoả món z + 5 + z - 5 = 6 . Giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức P = (1+ i )z - 4 + 4i bằng A. 2. B. 2 2 . C. 5. D. 5 2 . Lời giải Gọi M là điểm biểu diễn cho số phức z , và A(- 5;0), B ( 5;0). Khi đú, tập hợp tất cả cỏc điểm M thoả món là: MA + MB = 6 là đường Elip cú cỏc tiờu điểm là A, B và trục lớn bằng 6. Ta cú: 2c = AB = 2 5 ị c = 5 và 2a = 6 ị a = 3. Mặt khỏc: b2 = a2 - c2 = 4. x 2 y2 Do đú: (E ): + = 1. 9 4 Ta cú: P = (1+ i )z - 4 + 4i = 1+ i . z + 4i = 2 z - (- 4i ) . Gọi N (0;- 4).
10. Suy ra: P = 2MN . Khi đú, P min Û MN min = ON - b = 2, xảy ra khi và chỉ khi M (0;- 2). Vậy giỏ trị nhỏ nhất của P bằng 2 2 . Cõu 9. Cho số phức z thỏa món z = 3. Giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức T = z - 9 + 3 z + 1- 6i bằng A. 3 10 . B. 6 10 . C. 3 10 + 4. D. 6 10 + 3. Lời giải Gọi M là điểm biểu diễn của số phức z trờn mặt phẳng Oxy ị M thuộc đường trũn tõm O , bỏn kớnh R = 3. y B M M O K A x Gọi A(9;0), B (- 1;6) ị T = MA + 3MB . Lấy K (1;0) ị OM = 3OK . ỡ ã ù AOM chung ù Xột DAOM và DMOK cú: ớ OM OA suy ra hai tam giỏc ta xột đồng dạng với nhau. ù = = 3 ợù OK OM Suy ra AM = 3MK . Khi đú: T = MA + 3MB = 3MK + 3MB = 3(MK + MB)³ 3BK = 6 10. Dấu "=" xảy ra Û M thuộc đoạn thẳng BK Û M (0;3) hay z = 3i . Vậy MinT = 6 10 khi z = 3i .
11. Ta cú thể tổng quỏt bài toỏn như sau: Cho đường trũn S tõm I bỏn kớnh R và hai điểm A,B cho trước nằm ngoài S sao cho AB ( ) ( ) khụng cú điểm chung với (S). Điểm A thỏa món IA = kR với k là số thực dương. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của MA + kMB với M trờn (S). Cỏch làm bài này là gọi J trờn đoạn IA sao cho IA.IJ = R2 . Từ hai tam giỏc IJM và IMA đồng dạng ta cú được MA = kMJ , mục tiờu là cõn bằng hệ số của MA, MB và quay về quy tắc ba điểm. Bài toỏn được ỏp dụng tương tự cho mặt cầu trong hỡnh học khụng gian. B I M J A Cõu 10. Cho hai số phức z1,z2 thỏa món z1 + 1- 2i = z1 - 5 + 2i và z2 + 3 - 2i = 2. Giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức P = z1 + 3 + i + z1 - z2 bằng A. 5 5 - 2. B. 10 + 2. C. 3 10 - 2. D. 85 - 2. Lời giải Gọi M , N lần lượt là điểm biểu diễn số phức z1 và z2 . Gọi z1 = x + yi (x,y ẻ Ă ) , từ z1 + 1- 2i = z1 - 5 + 2i 2 2 2 2 Û (x + 1) + (y - 2) = (x - 5) + (y + 2) Û 3x - 2y - 6 = 0 ị Tập hợp điểm M là đường thẳng cú phương trỡnh (D): 3x - 2y - 6 = 0. Từ z2 + 3 - 2i = 2 ị Tập hợp điểm N là đường trũn tõm I (- 3;2), bỏn kớnh R = 2.
12. Ta cú P = z1 + 3 + i + z1 - z2 = MA + MN , với A = (- 3;- 1). Dễ dàng chứng minh được điểm A và đường trũn I ;R nằm về I N ( ) Δ cựng một phớa so với đường thẳng D . N' Gọi AÂ là điểm đối xứng của A qua D ị AÂ(3;- 5). A M Ta cú P = MA + MN ³ MAÂ+ MI - R ³ AÂI - R = 85 - 2 M' Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 4 điểm AÂ,M ,N,I thẳng hàng. Vậy min P = 85 - 2. A' 3. Bài tập cú hướng dẫn Cõu 1. Xột cỏc số phức z,w,u thỏa món z = 1, w = 2, u = 3 và z + w - u = u + z - w . Giỏ trị lớn nhất của z - u bằng A. 10 . B. 2 3 .C. 14 .D. 4. Gọi M , N , P lần lượt là biểu diễn của cỏc số phức z , w , u . Khi đú: uuur uuur uuur uuur OM = 1, ON = 2 , OP = 3 và OM + NP = OM - NP . uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur Ta cú OM + NP = OM - NP Û OM 2 + 2OM NP + NP 2 = OM 2 - 2OM NP + NP 2 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur Û OM NP = 0 Û OM (OP - ON ) = 0 Û OMOP = OMON 2 Û OM 2 + OP 2 - MP 2 = OM 2 + ON 2 - MN 2 Û MP 2 = MN 2 + 5 Ê (OM + ON ) + 5 Ê 14. ị z - u = MP Ê 14 . Đẳng thức xảy ra khi O , M , N thẳng hàng và O nằm giữa M , N . 1 Cõu 2. Biết rằng hai số phức z , z thỏa món z - 3 - 4i = 1 và z - 3 - 4i = . Số phức z cú phần thực 1 2 1 2 2 là a và phần ảo là b thỏa món 3a - 2b = 12. Giỏ trị nhỏ nhất của P = z - z1 + z - 2z2 + 2 là 9945 9945 A. P = . B. P = 5 - 2 3 . C. P = 5 + 2 5 . D. P = . min 11 min min min 13 Lời giải
13. Gọi M 1 , M 2 , M lần lượt là điểm biểu diễn cho số phức z1 , 2z2 , z trờn hệ trục tọa độ Oxy . Khi đú, điểm M 1 thuộc đường trũn (C1) tõm I 1 (3;4), bỏn kớnh R = 1; điểm M 2 thuộc đường (C2 ) trũn tõm I 2 (6;8), bỏn kớnh R = 1; điểm M thuộc đường thẳng d : 3x - 2y - 12 = 0. Bài toỏn trở thành tỡm giỏ trị nhỏ nhất của P = MM 1 + MM 2 + 2. y I 8 2 I B 3 I1 A 4 M O 3 6 x ổ138 64ử ỗ ữ Gọi (C 3 ) cú tõm I 3 ỗ ; ữ, R = 1 là đường trũn đối xứng với (C2 ) qua d . Khi đú ốỗ 13 13ứữ min(MM 1 + MM 2 + 2) = min(MM 1 + MM 3 + 2) với M 3 ẻ (C 3 ). Gọi A , B lần lượt là giao điểm của đoạn thẳng I 1I 3 với (C1), (C 3 ). Khi đú với mọi điểm M 1 ẻ (C1), M 3 ẻ (C 3 ), M ẻ d ta cú MM 1 + MM 3 + 2 ³ AB + 2, dấu "=" xảy ra khi M 1 º A,M 3 º B . Do đú 9945 P = AB + 2 = I I - 2 + 2 = I I = . min 1 3 1 3 13 Cõu 3. Xột cỏc số phức z và w thỏa món z + 2 + 2i = 1 và w + 2 - i = w - 3i . Khi z - w + w - 3 + 3i đạt giỏ trị nhỏ nhất. Tớnh z + 2w A. 2 5 . B. 7 .C. 2 3 .D. 61 . Lời giải Ta cú: z + 2 + 2i = 1 nờn tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là đường trũn (C ) tõm I (- 2;- 2), bỏn kớnh R = 1. Gọi w = x + yi;(x;y ẻ Ă ) w + 2 - i = w - 3i . 2 2 2 Û (x + 2) + (y - 1) = x 2 + (y - 3) Û x + y - 1 = 0. (D) Tập hợp điểm N biểu diễn số phức w là đường thẳng (D).
14. z - w = MN w - 3 + 3i = NA , với A(3;- 3). T = z - w + w - 3 + 3i = MN + NA . Tham khảo hỡnh vẽ bờn dưới M Dễ thấy đường trũn (C ) và điểm A thuộc cựng một nửa mặt phẳng bờ D . Dựng đường trũn (C Â)cú tõm I Â(3;3), bỏn kớnh R = 1 đối xứng với (C ) qua D . Gọi M Âlà ảnh của M qua phộp đối xứng trục D . Khi đú, với mọi điểm N ẻ D , ta cú: NM = NM Â. Nờn T = MN + NA = M ÂN + NA . Â Â Tmin Û I ,M ,N,A thẳng hàng. Dựa vào hỡnh vẽ trờn, suy ra M Â(3;2) ị M (- 1;- 2) Û z = - 1- 2i ; N (3;- 2) ị w = 3 - 2i . Vậy z + 2w = - 1- 2i + 2(3 - 2i ) = 61 . Cõu 4. Tỡm số phức z thỏa món z - 1- i = 5 và biểu thức T = z - 7 - 9i + 2 z - 8i đạt giỏ trị nhỏ nhất. A. z = 5 - 2i . B. z = 1+ 6i . C. z = 1+ 6i và z = 5 - 2i . D. z = 4 + 5i . Lời giải Gọi M (x;y)là điểm biểu diễn số phức z = x + yi (x;y ẻ Ă ) trờn mặt phẳng Oxy.
15. 2 2 Ta cú: z - 1- i = 5 Û (x - 1) + (y - 1)i = 5 Û (x - 1) + (y - 1) = 25 ị Tập hợp cỏc điểm M biểu diễn số phức z là đường trũn (C) tõm I (1;1), bỏn kớnh R = 5 Ta cú: 2 2 2 T = z - 7 - 9i + 2 z - 8i = (x - 7) + (y - 9) + 2 x 2 + (y - 8) = MA + 2MB Với điểm A(7;9)và B (0;8). Ta thấy IA = 10 = 2R = 2IM ổ ử 1 ỗ5 ữ Gọi K là điểm trờn tia IA sao choIK = IA ị K = ỗ ;3ữ 4 ốỗ2 ứữ IM IK 1 ã Do đú: = = , gúcMIK chung IA IM 2 ị ∆IKM ∆IMA (c.g.c) MK IK 1 ị = = ị MA = 2MK MA IM 2 Lại cú:T = z - 7 - 9i + 2 z - 8i = MA + 2MB = 2(MK + MB) ³ 2.BK = 5 5 5 ị T = 5 5 Û M = BK ầ(C) với M nằm giữa B và K hay 0 < x < min M 2 uuur ổ ử ỗ5 ữ Phương trỡnh đường thẳng BK đi qua B cú một vecto chỉ phương BK = ỗ ;- 5ữlà: ốỗ2 ứữ x y - 8 = Û 2x + y - 8 = 0 5 - 5 2
16. ộỡ ờù x = 1 ỡ ờớ ù 2x + y - 8 = 0 ờù y = 6 Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ: ù Û ợù ị M = (1;6) ớ 2 2 ờỡ ù (x - 1) + (y - 1) = 25 ờù x = 5 ợù ờớ ờù y = - 2 ởợù Vậy z = 1+ 6i là số phức cần tỡm. Cõu 5. Cho 2 số phức z1, z2 thỏa món z1 - z1 + 2i = 3z1 + z1 + 4 - 2i và z2 - 4 - i = 2. Gọi A, B là cỏc điểm biểu diễn cỏc số phức z1, z2 trong mặt phẳng tọa độ. Độ dài đoạn AB ngắn nhất bằng: A.2 5 - 2 . B. 2 2 - 2. C. 2 3 - 2.D. 2 6 - 2 . Lời giải Đặt z1 = a + bi (a,b ẻ Ă ), ta cú: z1 - z1 + 2i = 3z1 + z1 + 4 - 2i Û a + bi - a + bi + 2i = 3a + 3bi + a - bi + 4 - 2i 2 2 2 Û (2b + 2)i = 4a + 4 + (2b - 2)i Û (2b + 2) = (4a + 4) + (2b - 2) Û b = a2 + 2a + 1 ị Điểm A luụn thuộc parabol (P): y = x 2 + 2x + 1 Đặt z2 = c + di (c,d ẻ Ă ), ta cú: 2 2 z2 - 4 - i = 2 Û c - di - 4 - i = 2 Û (c - 4) + (d + 1) = 4 2 2 ị Điểm B luụn thuộc đường trũn (C ): (x - 4) + (y + 1) = 4 với tõm I (4;- 1) và bỏn kớnh r = 2 Gọi (C ') là đường trũn tõm I (4;- 1), bỏn kớnh R tiếp xỳc với parabol (P): y = x 2 + 2x + 1 tại M. 2 2 Ta cú: (C '): (x - 4) + (y + 1) = R2
17. 2 2 Phương trỡnh hoành độ giao điểm của (C ') và (P) là: (x - 4) + (x 2 + 2x + 1+ 1) = R2 2 2 Û (x - 4) + (x 2 + 2x + 2) = R2 2 2 Đặt f (x) = (x - 4) + (x 2 + 2x + 2) f '(x) = 2(x - 4)+ 2(2x + 2)(x 2 + 2x + 2)= 4x 3 + 12x 2 + 18x f '(x) = 0 Û x = 0 Ta cú bảng biến thiờn: Vỡ (C ') và (P) tiếp xỳc nhau nờn R2 = 20 ị R = 2 5 ị IM = 2 5 . Ta cú: AB ³ IA - IB (Quy tắc 3 điểm) Mà IA ³ IM nờn AB ³ IM - IB ị AB ³ 2 5 - 2. Cõu 6. Giả sử z ;z là hai trong số cỏc số phức z thoả món z - 6 8 - i.z là một số thực. Biết rằng 1 2 ( )( ) z1 - z2 = 6. Giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức z1 + 3z2 bằng A. 5 - 21.B. 20 - 4 21.C. - 5 + 73 .D. 20 - 2 73 . Lời giải Gọi A,B là cỏc điểm biểu diễn cho z2;z1 Đặt z = a + bi ị z - 6 8 - i.z = ộa - 6 + bi ự.ộ8 - b - ai ự ( )( ) ởờ( ) ỷỳ ởờ( ) ỷỳ Do (z - 6)(8 - i.z) là một số thực nờn - a.(a - 6)+ b(8 - b) = 0 Û a2 + b2 - 6a - 8b = 0 Suy ra A,B thuộc đường trũn tõm I (3;4), bỏn kớnh R = 5 uuur uuur r Gọi M điểm thoả món 3MA + MB = 0.
18. Gọi H là trung điểm của AB ổ ử2 2 2 2 2 2 2 2 ỗ3ữ 73 Ta cú IH = IA - AH = 5 - 3 = 4; IM = IH + MH = 4 + ỗ ữ = . ốỗ2ứữ 2 73 Khi đú M thuộc đường trũm tõm I , bỏn kớnh RÂ= . 2 uuur uuur uuur uuur suuu Xột biểu thức z1 + 3z2 = 3OA + OB = 4OM + 3MA + MB = 4OM . 73 Ta cú z + 3z Û OM = OI - RÂ = 5 - . 1 2 min min 2 ổ ử ỗ 73ữ Vậy z + 3z = 4ỗ5 - ữ= 20 - 2 73 . 1 2 min ỗ ữ ốỗ 2 ứữ II. Sử dụng bất đẳng thức và cỏc tớnh chất mụđun. 1. Lý thuyết Mỗi số phức z = a + bi được biểu diễn bởi điểm M (a,b) trờn mặt phẳng tọa độ. Do vậy ta cú thể coi vộc- uuur tơ OM = (a,b) biểu diễn cho số phức z . Như vậy chỳng ta cú thể sử dụng cỏc bất đẳng thức vộc-tơ (tương ứng là cỏc bất đẳng thức về mụđun của cỏc số phức) trong việc tỡm cực trị của biểu thức số phức. z1 + z2 Ê z1 + z2 ; dấu “=” xảy ra khi z1 = kz2; k ³ 0 z1 - z2 Ê z1 + z2 ; dấu “=” xảy ra khi z1 = kz2; k Ê 0 z1 + z2 ³ z1 - z2 ; dấu “=” xảy ra khi z1 = kz2; k Ê 0 2 2 ổ 2 2ử Cụng thức trung tuyến: z + z + z - z = 2ỗz + z ữ; 1 2 1 2 ốỗ 1 2 ứữ 2 2 2 2 2 Với m,n ẻ Ă và z1,z2 ẻ Ê ta cú: mz1 ± nz2 = m z1 + n z2 ± mn (z1.z2 + z1.z2 ). Ngoài ra chỳng ta cũng sử dụng bất đẳng thức cơ bản, hàm số để tỡm cực trị của biểu thức số phức.
19. 2. Vớ dụ minh họa Cõu 1. Cho số phứcz thỏa món z - 4 - 3i = 6, Tổng giỏ trị lớn nhất, nhỏ nhất của z là A. 6. B. 3 . C. 12. D. 4 . Lời giải Cỏch 1: Ta cú 6 = z - 4 - 3i Ê z + - 4 - 3i = z + 5 ị z ³ 1 ỡ ù z = k(- 4 - 3i),k > 0 4 3 Dấu bằng xảy ra khi ớù ị z = - - i . ù z = 1 5 5 ợù Ta lại cú 6 = z - 4 - 3i ³ z - 4 + 3i = z - 5 ị z Ê 11 ỡ ù z = k(4 + 3i),k > 0 44 33 Dấu bằng xảy ra khi ớù ị z = + i . ù z = 11 5 5 ợù Cỏch 2: Đặt z = x + yi . 2 2 Ta cú x + yi - 4 - 3i = (x - 4)+ (y - 3)i = (x - 4) + (y - 3) = 6 2 2 Û (x - 4) + (y - 3) = 36 Û x 2 + y2 - 2(4x + 3y) - 11 = 0 (*) Do (4x + 3y)2 Ê 25(x 2 + y2) ị - 5 x 2 + y2 Ê 4x + 3y Ê 5 x 2 + y2 ỡ 2 2 2 2 ù x + y - 10 x + y - 11 Ê 0 Từ (*) ta cú ớù ù x 2 + y2 + 10 x 2 + y2 - 11 ³ 0 ợù ị 1 Ê x 2 + y2 Ê 11 ị 1 Ê z Ê 11 Vậy min z = 1, Max z = 11 Cỏch 3: Do z - 4 - 3i = 6nờn điểm biểu diễn z là M thuộc đường trũn tõm I (4;3) và bỏn kớnh R = 6. Ta cú OM = z nờn 1 = R - OI Ê OM Ê OI + R = 11. Cõu 2. Cho số phức z thỏa món z2 2z 5 z 1 2i z 3i 1 . Tớnh min | w | , với w z 2 2i . 3 1 A. .m in | w | B. min | w | 2 . C. min | w | 1 . D. .min | w | 2 2
20. Lời giải Ta cú z2 2z 5 z 1 2i z 3i 1 z 1 2i z 1 2i z 1 2i z 3i 1 z 1 2i 0 . z 1 2i z 3i 1 Trường hợp 1: z 1 2i 0 w 1 w 1 1 . Trường hợp 2: z 1 2i z 3i 1 Gọi z a bi (với a,b Ă ) khi đú ta được 2 2 1 a 1 b 2 i a 1 b 3 i b 2 b 3 b . 2 3 2 9 3 Suy ra w z 2 2i a 2 i w a 2 2 . 2 4 2 Từ 1 , 2 suy ra min | w | 1 . Cõu 3. Cho số phức z thỏa món z = 1. Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức P = 1+ z + 3 1- z . A. 2 10. B. 10 . C. 6 5 . D. 3 15 . Lời giải Cỏch 1: 2 2 2 2 ộ ự Gọi z = x + yi; (x ẻ Ă ;y ẻ Ă ). Ta cú: z = 1 ị x + y = 1 ị y = 1- x ị x ẻ ởờ- 1;1ỷỳ. 2 2 Ta cú: P = 1+ z + 3 1- z = (1+ x) + y2 + 3 (1- x) + y2 = 2(1+ x) + 3 2(1- x). ộ ự Xột hàm số f (x) = 2(1+ x) + 3 2(1- x); x ẻ ởờ- 1;1ỷỳ. ộ ự Hàm số liờn tục trờn ởờ- 1;1ỷỳ và với x ẻ (- 1;1) ta cú: 1 3 4 f Â(x) = - = 0 Û x = - ẻ (- 1;1). 2(1+ x) 2(1- x) 5 ổ 4ử ỗ ữ Ta cú: f (1) = 2; f (- 1) = 6; f ỗ- ữ= 2 10 ị Pmax = 2 10. ốỗ 5ứữ Ta cú thể dựng Bunhiakopxki với P = 2(1+ x) + 3 2(1- x) Cỏch 2: Ta ỏp dụng cụng thức đường trung tuyến
21. 2 ổ 2 2ử ổ 2ử P 2 = 1+ z + 3 1- z Ê 12 + 32 ỗ1+ z + 1- z ữ= 20ỗ1+ z ữ= 40. ( ) ( )ốỗ ứữ ốỗ ứữ Suy ra Pmax = 2 10 . Cõu 4. Cho số phức z thỏa món z - 1 = 3. Biết giỏ trị lớn nhất của biểu thức P = z + i + z - 2 - i bằng a b với a,b là cỏc số nguyờn dương. Tớnh a + b. A. 7 . B. 9. C. 12. D. 15. Lời giải 2 2 2 2 ổ 2 2ử Cỏch 1: Ta cú z + i + z - 2 - i = z - 1+ 1+ i + z - 1- 1+ i = 2ỗz - 1 + 1+ i ữ= 10 ( ) ( ) ốỗ ứữ 2 ổ 2 2ử Do đú P 2 = z + i + z - 2 - i Ê 2ỗz - 1+ 1+ i + z - 1- 1+ i ữ= 20 ( ) ốỗ ( ) ( ) ứữ Hay P Ê 2 5 . Cỏch 2: Đặt z = x + yi (x,y ẻ Ă ) , ta cú 2 z - 1 = 2 Û x - 1+ yi = 3 Û (x - 1) + y2 = 3 2 Û (x - 1) + y2 = 3 Û x 2 + y2 = 2x + 2 (*) . Lại cú: P = z + i + z - 2 - i = x + (y + 1)i + x - 2 + (y - 1)i = x 2 + y2 + 2y + 1 + x 2 + y2 - 4x - 2y + 5 Kết hợp với (*) ta được P = 2x + 2y + 2 + 6 - 2x - 2y = 2(x + y)+ 3 + 7 - 2(x + y) Ta cú P = 2 x + y + 3 + 7 - 2 x + y Ê 2ộ2 x + y + 3 + 7 - 2 x + y ự= 2 5 ( ) ( ) ởờ ( ) ( )ỷỳ Cõu 5. Gọi z1 , z2 là cỏc số phức thoả món điều kiện z1 + 3z2 = 3 và 3z1 - z2 = 1. Giỏ trị lớn nhất của biểu thức P = z1 + z2 bằng 4 A. 5 . B. . C. 2 . D. 1. 9 Lời giải Ta cú: 2 2 2 9 = z + 3z = z + 3z z + 3z = z + 9 z + 3 z z + z z 1 1 2 ( 1 2 )( 1 2) 1 2 ( 1 2 1 2) ( )
22. 2 2 2 1 = 3z - z = 3z - z 3z - z = 9 z + z - 3 z z + z z 2 1 2 ( 1 2 )( 1 2) 1 2 ( 1 2 1 2) ( ) ổ 2 2ử 2 2 Cộng vế 1 và 2 ta cú: 10 = 10ỗz + z ữÛ z + z = 1. ( ) ( ) ốỗ 1 2 ứữ 1 2 2 ổ 2 2ử Ta cú: P 2 = z + z Ê 12 + 12 ỗz + z ữ= 2 ị P Ê 2 . ( 1 2 ) ( )ốỗ 1 2 ứữ 2 Dấu “= ” xảy ra Û z = z = . 1 2 2 Vậy max P = 2 . Cõu 6. Cho số phức z thỏa món z.z = 1. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: P = z3 + 3z + z - z + z . 15 13 3 A. . B. 3 . C. . D. . 4 4 4 Lời giải Gọi z = a + bi , với a,b ẻ Ă . 2 Ta cú: z + z = 2a ; z.z = 1 Û z = 1 Û z = 1. ổ ử 3 ỗ 2 z ữ Khi đú P = z + 3z + z - z + z = zỗz + 3 + ữ- z + z . ốỗ z ứữ z 2 P = z . z2 + 3 + - z + z = z2 + 2zz + z 2 + 1 - z + z . 2 z 2 2 ổ ử 2 2 ỗ 1ữ 3 3 P = (z + z) + 1 - z + z = 4a + 1 - 2 a = 4a + 1- 2 a = ỗ2 a - ữ + ³ . ốỗ 2ứữ 4 4 3 Vậy P = . min 4 Cõu 7. Xột cỏc số phức z = a + bi (a,b ẻ Ă )thoả món z - 4 - 3i = 2 5 . Tớnh giỏ trị của a2 + b2 khi biểu thức P = z + 4 - 7i + 2 z - 2 + 9i đạt giỏ trị nhỏ nhất A. 25. B. 85 .C. 65. D. 53. Lời giải 2 2 Ta cú z - 4 - 3i = 2 5 Û (a - 4) + (b - 3) = 20.
23. 2 2 2 2 P = (a + 4) + (b - 7) + 2 (a - 2) + (9 - b) 2 2 ộ 2 2 ự 2 2 = (a + 4) + (b - 7) + 3ờ(a - 4) + (b - 3) - 20ỳ+ 2 (a - 2) + (9 - b) ởờ ỷỳ ổ 2 2 2 2 ử = 2ỗ (a - 2) + (b - 4) + (2 - a) + (9 - b) ữ ốỗ ứữ 2 2 P ³ 2 (a - 2 + 2 - a) + (b - 4 + 9 - b) = 10 ùỡ ù a - 2 = 0 ù ù 2 2 ùỡ a = 2 ù ù 2 2 P = 10 khi ớ a - 4 + b - 3 = 20 ị ớ . Vậy a + b = 53. min ù ( ) ( ) ù b = 7 ù b - 4 ợù ù > 0 ợù 9 - b Cõu 8. Xột hai số phức z1,z2 thoả món z1 + 2z2 = 2 và 2z1 - 3z2 - 7i = 4. Giỏ trị lớn nhất của biểu thức P = z1 - 2i + z2 + i là 4 3 2 3 A. .B. 2 3 .C. 4 3 .D. . 3 3 Lời giải Đặt w1 = z1 - 2i; w2 = z2 + i. Suy ra z1 = w1 + 2i; z2 = w2 - i. Khi đú 2 z1 + 2z2 = 2 Û w1 + 2i + 2(w2 - i ) = 2 Û w1 + 2w2 = 2 Û w1 + 2w2 = 4 Û w + 2w . w + 2w = 4 Û w + 2w . w + 2w = 4 ( 1 2 )( 1 2 ) ( 1 2 ) ( 1 2) 2 2 2 2 Û w1 + 4 w2 + 2w1w2 + 2w1w2 = 4 Û 3 w1 + 12 w2 + 6w1w2 + 6w1w2 = 12 (1) . Tương tự 2z1 - 3z2 - 7i = 4 Û 2(w1 + 2i )- 3(w2 - i )- 7i = 4 2 Û 2w1 - 3w2 = 4 Û 2w1 - 3w2 = 16 2 2 Û 4 w1 + 9 w2 - 6w1w2 - 6w1w2 = 16 (2) . 2 2 Từ (1) và (2) suy ra w1 + 3 w2 = 4. Do đú
24. ổ 2ử 2 2 ổ ử ữ 1 ổ ửỗ 2 1 ữ ữ 4 4 3 P = w + w = 1. w + 3. w . Ê ỗw + 3 w ữỗ1 + ỗ ữ ữ= 4. = . 1 2 1 2 ốỗ 1 2 ứữỗ ỗ ữ ữ 3 ốỗ ố 3ứ ứữ 3 3 4 3 1 Vậy giỏ trị lớn nhất của P bằng khi w1 = 3; w2 = . 3 3 Cõu 9. Xột cỏc số phức z thỏa món z2 - 3 - 4i = 2 z . Gọi M và m lần lượt là giỏ trị lớn nhất và giỏ trị nhỏ nhất của z . Giỏ trị của M 2 + m2 bằng A. 28. B. 18 + 4 6 . C. 14. D. 11+ 4 6 . Lời giải Áp dụng bất đẳng thức tam giỏc ta cú: 2 2 2 z = z2 - 3 - 4i ³ z2 - 3 + 4i = z - 5 (vỡ z2 = z ). Dấu “=” xảy ra khi z2 = k (- 3 - 4i ). 2 2 4 2 2 Suy ra 4 z ³ (z - 5) Û z - 14 z + 25 Ê 0 Û 7 - 2 6 Ê z Ê 7 + 2 6 . ị 6 - 1 Ê z Ê 6 + 1 Do đú, ta cú M = 1+ 6 và m = 6 - 1. Vậy M 2 + m2 = 14. Cõu 10. Xột cỏc số phức z,w,u thỏa món z = 1, w = 2, u = 3 và z + w - u = u + z - w . Giỏ trị lớn nhất của z - u bằng A. 10 . B. 2 3 .C. 14 .D. 4. Lời giải Bổ đề: Xột hai số phức z1 và z2 , ta cú: 2 2 2 z + z = z + z z + z = z + z + z z + z z 1 2 ( 1 2 )( 1 2) 1 2 1 2 1 2 2 2 2 z - z = z - z z - z = z + z - z z - z z 1 2 ( 1 2 )( 1 2) 1 2 1 2 1 2 z1 + z2 = z1 - z2 Û z1z2 + z1z2 = 0 Áp dụng bổ đề trờn: z + w - u = u + z - w Û z + (w - u) = z - (w - u) Û z(w - u)+ z(w - u) = 0
25. 2 2 2 2 2 2 2 Û zw + zw - zu - zu = 0 Û z + zw + zw + w + z - zu - zu + u - 2 z - w - u = 0 2 2 2 2 2 2 2 Û z + w + z - u - 2 z - w - u = 0 Û z - u = 15 - z + w . 2 2 2 Ta cú z - u = 15 - z + w Ê 15 - z - w = 14 ị z - u Ê 14 . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi w = - 2z . 3. Bài tập cú hướng dẫn z i Cõu 1. Gọi M và m lần lượt là giỏ trị lớn nhất và giỏ trị nhỏ nhất của P , với z là số phức khỏc 0 thỏa z món z 2 . Tớnh 2M m . 5 3 A. 2M m . B. .2 M m C.10 . D. .2M m 6 2M m 2 2 Lời giải z i z i z i 1 3 3 P 1 . Dấu bằng xảy ra khi z 2i . Vậy M . z z z z 2 2 z i z i z i z i 1 1 P 1 . Dấu bằng xảy ra khi z 2i . z z z z z 2 1 Vậy m . 2 5 Vậy 2M m . 2 Cõu 2. Cho số phức z = a + bi (a , b ẻ Ă ) thỏa món z = 1. Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức A = z + 2 + 2 z - 2 . A. 10 2 . B. 7 . C. 10. D. 5 2 . Lời giải 2 2 2 2 Ta cú: z + 2 = (a + 2) + b2 ; z - 2 = (a - 2) + b2 . 2 2 2 Suy ra: z + 2 + z - 2 = 2(a2 + b2)+ 8 = 2 z + 8 = 10. 2 ổ 2 2ử Ta cú: A2 = z + 2 + 2 z - 2 Ê 12 + 22 ỗz + 2 + z - 2 ữ= 50. ( ) ( )ốỗ ứữ Vỡ A ³ 0 nờn từ đú suy ra A Ê 50 = 5 2 . Vậy giỏ trị lớn nhất của A là 5 2 . Cõu 3. Xột hai số phức z1,z2 thỏa món | z1 |=| z2 |= 1. Giỏ trị lớn nhất của P = z1 - z2 + z2 - i + z1 - i bằng
26. 3 3 3 1 A. . B. 3 3 . C. . D. . 2 2 2 Lời giải Gọi A , B , C lần lượt là điểm biểu diễn cho cỏc số phức z1 ,z2 ,i . Theo giả thiết, ta cúA , B , C thuộc đường trũn tõm O (0;0), bỏn kớnh R = 1. Khi đú: P = AB + BC + CA = 2R(sin A + sin B + sinC ) ổ ử ỗ pữ = 2(sin A + sin B + sinC ) = 2ỗsin A + sin B + sinC + sin ữ- 3 ốỗ 3ứữ ổ ử ổ ử ỗ p p ữ ỗ p ữ ỗ C + C - ữ ỗ C + ữ ỗ A + B A - B 3 3 ữ ỗ A + B 3 ữ = 2ỗ2sin cos + 2sin cos ữ- 3 Ê 2ỗ2sin + 2sin ữ- 3 ỗ 2 2 2 2 ữ ỗ 2 2 ữ ỗ ữ ỗ ữ ốỗ ứữ ốỗ ứữ p p A + B + C + A + B - C - = 8sin 3 cos 3 - 3 4 4 p Ê 8sin - 3 = 3 3 3 Vậy giỏ trị lớn nhất của P là 3 3 . Cõu 4. Cho số phức z thỏa món z - 1+ 2i = 2 . Giỏ trị lớn nhất của biểu thức T = 3z - 3 + 5i + z - 1+ 5i bằng 603 A.9. B. 78 .C. 10. D. . 2 Lời giải Trước hết ta chứng minh đẳng thức mụ đun sau: Cho cỏc số thực m,n và cỏc số phức z1,z2 ta cú: 2 2 2 mz + nz = m2 z + n 2 z + mn z z + z z 1 2 1 2 ( 1 2 2 1) Chứng minh : 2 mz + nz = mz + nz mz + nz = mz + nz mz + nz 1 2 ( 1 2 )( 1 2 ) ( 1 2 )( 1 2) 2 2 = m2 z + n 2 z + mn z z + z z , suy ra ĐPCM. 1 2 ( 1 2 2 1) Nhận thấy: 3z - 3 + 5i = 3(z - 1+ 2i )- i Đặt z1 = z - 1+ 2i,z2 = i ị z1 = 2; z2 = 1.