Ôn tập TN THPT môn Toán 12 - Chuyên đề: Ứng dụng hình học tích phân trong hình học (NB-TH)

Nội dung tài liệu: Ôn tập TN THPT môn Toán 12 - Chuyên đề: Ứng dụng hình học tích phân trong hình học (NB-TH)

1. SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO BẮC NINH CHUYÊN ĐỀ ÔN TẬP KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 Môn : Toán CHUYÊN ĐỀ: ỨNG DỤNG HÌNH HỌC TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC( NB-TH) Người biên soạn: Nguyễn Duy Tình Đơn vị : THPT Yên Phong số 2 A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I. DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG 1. Định lý 1: Cho hàm số y f (x) liên tục, không âm trêna;b . Khi đó diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y f (x) , trục hoành và 2 đường thẳng x a, x b là: b S f (x)dx a 2. Bài toán liên quan Bài toán 1: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f (x) liên tục trên đoạn a;b , b trục hoành và hai đường thẳng x a , x b được xác định: S f (x) dx a y y f (x) y f (x) b y 0 S f (x) dx (H) x a a c O a 1 c c3 b x 2 x b Bài toán 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f (x) , y g(x) liên tục trên b đoạn a;b và hai đường thẳng x a , x b được xác định: S f (x) g(x) dx a y (C1 ) : y f1 (x) (C1 ) (C ) : y f (x) (H ) 2 2 x a (C ) 2 x b b S f (x ) f (x ) dx a c x 1 2 O 1 c2 b a Chú ý: b b - Nếu trên đoạn [a;b] , hàm số f (x) không đổi dấu thì: f (x) dx f (x)dx a a - Nắm vững cách tính tích phân của hàm số có chứa giá trị tuyệt đối II. THỂ TÍCH CỦA KHỐI TRÒN XOAY 1. Thể tích vật thể Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b; S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm 1
2. x , (a x b) . Giả sử S(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a;b] . (V ) b x V S(x)dx a b x O a S(x) 2. Thể tích khối tròn xoay Bài toán 1: Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y f (x) , trục hoành và hai đường thẳng x a , x b quanh trục Ox: y y f (x) (C) : y f (x) b (Ox) : y 0 2 V f (x) dx a b x x   O x a a x b Bài toán 2: Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường x g(y) , trục hoành và hai đường thẳng y c , y d quanh trục Oy: y d (C): x g(y) d (Oy): x 0 2 V g(y) dy y   y c c c y d O x Bài toán 3: Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường b y f (x) ,y g(x) và hai đường thẳng x a , x b quanh trục Ox: V f 2 (x) g 2 (x) dx . a B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Dạng 1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b], trục hoành và hai đường thẳng x = a; x = b. Phương pháp: Bước 1:Lập bảng xét dấu hàm số f(x) trên đoạn [a; b]. b Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân S f (x)dx . a Câu 1. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [a;b] , trục hoành và hai đường thẳng x = a , x = b được tính theo công thức b b A. S =ò f (x) dx. B. S =ò f (x)dx. a a 2
3. b b C. S =ò f (x) 2 dx. D. S =pò f (x)dx. a a Hướng dẫn giải b Theo công thức (SGK cơ bản) ta có S =ò f (x) dx. a Câu 2. Cho hàm số y = f (x) liên tục và nhận giá trị không âm trên đoạn [a;b] . Diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của y = f (x) , trục hoành và hai đường thẳng x = a , x = b được tính theo công thức b b A. S =ò f (x)dx. B. S = -ò f (x)dx. a a b b C. S = -ò f 2 (x)dx. D. S =ò f 2 (x)dx. a a Hướng dẫn giải b Theo công thức (SGK cơ bản) ta có S =ò f (x)dx. a Câu 3. Cho đồ thị hàm số y = f (x) . Diện tích hình phẳng (phần tô đậm trong hình) là 0 1 1 A. S =ò f (x)dx +ò f (x)dx B. S =ò f (x)dx - 2 0 - 2 - 2 1 0 1 C. S =ò f (x)dx +ò f (x)dx D. S =ò f (x)dx -ò f (x)dx 0 0 - 2 0 Hướng dẫn giải 0 1 Theo định nghĩa ta có S =ò f (x)dx -ò f (x)dx - 2 0 Câu 4. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x3 , trục hoành và hai đường thẳng x =1, x = 3 là A. 19 B. 18 C. 20 D. 21 3
4. Hướng dẫn giải 3 3 3 x4 Ta có x3 ³ 0trên đoạn [1;3] nên S =ò x3 dx =òx3dx = = 20 1 1 4 1 Câu 5. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x , trục hoành và hai đường thẳng x =1, x = 4 là 14 13 14 A. 4 B. C. D. 5 3 3 Hướng dẫn giải 4 4 4 2 3 14 Ta có x ³ 0 trên đoạn [1;4] nên S = x dx = xdx = x 2 = ò ò 3 3 1 1 1 Câu 6. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 3 x , trục hoành và hai đường thẳng x =1, x =8 là 45 45 45 45 A. B. C. D. 2 4 7 8 Hướng dẫn giải 8 8 8 3 4 45 Ta có 3 x ³ 0 trên đoạn [1;8] nên S = 3 x dx = 3 xdx = x 3 = ò ò 4 4 1 1 1 Câu 7. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = sin x , trục hoành và hai 3p đường thẳng x = p , x = là 2 1 3 A. 1 B. C. 2 D. 2 2 Hướng dẫn giải 3p 3p é 3p ù 2 2 3p Ta có sin x £ 0 trên đoạn p; nên S = sin x dx =- sin xdx =cos x 2 =1 ê ú ò ò p ëê 2 ûú p p Câu 8. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = e2x , trục hoành và hai đường thẳng x = 0 , x = 3 là e6 1 e6 1 e6 1 e6 1 A. + B. - C. + D. - 2 2 2 2 3 3 3 3 Hướng dẫn giải 3 3 1 3 e6 1 Ta có e2x ³ 0 trên đoạn [0;3] nên S =ò e2x dx =òe2xdx = e2x = - 0 0 2 0 2 2 4
5. Dạng 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y = f(x), y=g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Trường hợp 1. Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới b hạn bởi các đường y = f (x), y = g(x), x = a, x = b là S =ò f (x) - g(x) dx . a Phương pháp giải toán +) Giải phương trình f (x) = g(x) (1) b +) Nếu (1) vô nghiệm thì S =ò( f (x) - g(x)) dx . a +) Nếu (1) có nghiệm thuộc .[ a;b] . giả sử a thì a b S =ò( f (x) - g(x)) dx +ò( f (x) - g(x)) dx a a Chú ý: Có thể lập bảng xét dấu hàm số f (x) - g(x) trên đoạn [a; b] rồi dựa vào bảng xét dấu để tính tích phân. Trường hợp 2. Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới b hạn bởi các đường y = f (x), y = g(x) là S =ò f (x) - g(x) dx . Trong đó a, b là nghiệm nhỏ a nhất và lớn nhất của phương trình f (x) = g(x) (a £ a < b £ b) . Phương pháp giải toán Bước 1. Giải phương trình f (x) = g(x) tìm các giá trị a, b . b Bước 2. Tính S =ò f (x) - g(x) dx như trường hợp 1. a Câu 9. Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y = f (x) , y = g(x) liên tục trên [a ; b] và hai đường thẳng x = a , x = b (a <b) là: b b A. S =p f (x) - g(x).dx . B. S = ( f (x) - g(x))dx . òa òa b b C. S = ( f (x) - g(x))2.dx .D. S = f (x) - g(x).dx . òa òa Câu 10. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x3 +11x - 6, y = 6x2 , x = 0, x = 2 . (Đơn vị diện tích) 4 5 8 18 A. B. C. D. 3 2 3 23 Hướng dẫn giải: Đặt h(x) = (x3 +11x - 6) - 6x2 = x3 - 6x2 +11x - 6 6
6. h(x) = 0Û x =1Ú x = 2Ú x = 3 (loại). Bảng xét dấu x 0 1 2 h(x) - 0 + 0 1 2 S = -ò( x3 - 6x2 +11x - 6) dx +ò( x3 - 6x2 +11x - 6) dx 0 1 1 2 æx4 11x2 ö æx4 11x2 ö 5 = - ç - 2x3 + - 6x÷ +ç - 2x3 + - 6x÷ = . ç 4 2 ÷ ç 4 2 ÷ 2 è ø0 è ø1 Câu 11. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x3 , y = 4x là: A. 8 B. 9 C. 12 D. 13 Hướng dẫn giải: Ta có x3 = 4xÛ x = - 2Ú x = 0Ú x = 2 0 2 0 2 æ 4 ö æ 4 ö 3 3 ç x 2 ÷ ç x 2 ÷ Þ S =ò( x - 4x) dx +ò( x - 4x) dx = ç - 2x ÷ + ç - 2x ÷ =8. - 2 0 ç 4 ÷ ç 4 ÷ è ø- 2 è ø0 Vậy S = 8 (đvdt). Chú ý:Nếu trong đoạn [a; b] phương trình f (x) = g(x) không còn nghiệm nào b b nữa thì ta có thể dùng công thức ò f (x) - g(x) dx =ò[ f (x) - g(x)] dx . a a Câu 12. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi parabol y = 2 - x2 và đường thẳng y = - x là 7 9 9 A. B. C. 3 D. 2 4 2 Hướng dẫn giải éx = - 1 Ta có 2 - x2 = - xÛ ê và 2 - x2 ³ - x," x Î [ - 1;2] ëêx = 2 2 2 æ x2 x3 ö 9 Nên S = (2 +x - x2 )dx = ç2x + - ÷ = ò ç 2 3 ÷ 2 - 1 è ø- 1 Câu 13. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y = x và y = 3 x là 1 1 1 1 A. B. C. D. 12 13 14 15 7
7. Hướng dẫn giải éx = 0 Ta có x = 3 x Û ê ëêx =1 1 1 1 3 3 æ2 3 3 3 4 ö 1 Nên S =ò x - x dx =ò( x - x)dx = ç x - x ÷ = 0 0 è3 4 ø0 12 Câu 14. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y = 2x3 - 3x2 +1 và y = x3 - 4x2 +2x +1 là 37 37 A. B. C. 3 D. 4 13 12 Hướng dẫn giải éx = - 2 ê Ta có 2x3 - 3x2 +1 = x3 - 4x2 +2x +1Û êx = 0 ê ëêx =1 1 0 1 Nên S =ò x3 +x2 - 2x dx =ò(x3 +x2 - 2x)dx +ò(x3 +x2 - 2x)dx - 2 - 2 0 0 1 æx4 x3 ö æx4 x3 ö 37 = ç + - x2 ÷ + ç + - x2 ÷ = ç 4 3 ÷ ç 4 3 ÷ 12 è ø- 2 è ø0 Dạng 3:Ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể tròn xoay Trường hợp 1. Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x) , b y = 0, x = a và x = b (a < b) quay quanh trục Ox là V = pò f 2(x)dx . a Trường hợp 2. Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), y = g(x) , x = a và x = b (a < b) quay quanh trục Ox là b V = pò f 2(x) - g2(x) dx . a Câu 15. Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường 4 y , y 0 , x 1, x 4 quanh trục ox là: x A. 6 B. 6 C. 12 D. 6 Hướng dẫn giải 4 4 Theo công thức ta có thể tích của khối tròn xoay cần tính là: V ( )2dx 12 . 1 x 8
8. Câu 16. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y cos4x, Ox, x = 0, x = quay xung 8 quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng: 2 2 A. B. C. D. 2 16 4 1 . 16 Hướng dẫn giải Theo công thức ta có thể tích của khối tròn xoay cần tính là: 8 2 V cos2 4xdx . 0 16 Câu 17. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y f (x), Ox, x a, x b quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng: b b A. V 2 f (x)dx. B. V f 2 (x)dx. a a b b C. V 2. f 2 (x)dx. D. V f 2 (x)dx. a a Hướng dẫn giải b Theo công thức ta có thể tích của khối tròn xoay cần tính là: V f 2 (x)dx. a Câu 18. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y x 1 ; trục Ox và đường thẳng x 3 quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng: 3 A. B. 3 C. 2 D. 2 Hướng dẫn giải Giao điểm của hai đường y x 1 và y 0 là A(1;0) . Vậy thể tích của khối 3 tròn xoay cần tính là: V (x 1)dx 2 . 1 Câu 19. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y x3 1, y 0, x 0, x 1 quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng: 79 23 5 A. B. C. D. 9 63 14 4 Hướng dẫn giải 9
9. Theo công thức ta có thể tích của khối tròn xoay cần tính là: 1 23 V (x3 1)2 dx . 0 14 Câu 20. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y2 x, x a, x b (0 a b) quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng: b b A. V 2 xdx. B. V xdx. a a b b C. V xdx. D. V 2 xdx. a a Hướng dẫn giải Với x a;b thì y2 x y x . b Theo công thức ta có thể tích của khối tròn xoay cần tính là: V xdx. a Câu 21. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y x2 2x, y 0 quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng: 496 4 64 16 A. B. C. D. 15 3 15 15 Hướng dẫn giải Giao điểm của hai đường y x 2 2x và y 0 là O(0;0) và A(2;0) . Theo công 2 16 thức ta có thể tích của khối tròn xoay cần tính là: V ( x2 2x)2 dx . 0 15 Câu 22. Tính thể tích của khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y x2 4, y 2x 4 , x 0 , x 2 quanh trục Ox. 32π 32π 32π 22π A. B. C. D. 5 7 15 5 Hướng dẫn giải Chọn A 10
10. 2 2 2 256 2 32 Ta có V π x2 4 dx π , V π 2x 4 dx π . 1 2 0 15 0 3 32π Vậy thể tích cần tìm V V V . 1 2 5 C. CÂU HỎI ÔN TẬP Câu 1. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x2 , trục hoành Ox , các đường thẳng x 1, x 2 là: 7 8 A. S . B. S . C. S 7 . D. S 8. 3 3 Câu 2. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x2 2x 1 trục hoành và hai đường thẳng x 1; x 3 . 64 56 37 68 A. S . B. S . C. S . D. S . 3 3 3 3 Câu 3. Diện tích hình phẳng giới hạn bới hai đường thẳngx 0 , x π , đồ thị hàm số y cos x và trục Ox là π π A. S cos x dx . B. S cos2 x dx . 0 0 π π C. S cos x dx . D. S cos x dx . 0 0 Câu 4. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x2 x 2 và trục hoành bằng 13 9 3 A. 9. B. . C. . D. . 6 2 2 Câu 5. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y ex , y 0, x 0 , x 2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 2 2 2 2 A. S e2x dx . B. S ex dx . C. S ex dx . D. S e2x dx . 0 0 0 0 Câu 6. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y x2 x; y 2x 2; x 0; x 3được tính bởi công thức 3 2 A. S x2 3x 2 dx . B. S x2 3x 2 dx . 0 1 3 2 C. S x2 3x 2 dx . D. S x2 x 2 dx 0 1 11
11. Câu 7. Hình phẳng H giới hạn bởi các đường y x2 , y 2x 3 và hai đường thẳng x 0, x 2 có diện tích S . Chọn đáp án đúng? 2 2 A. S x2 2x 3 dx. B. S x2 2x 3 dx. 0 0 2 2 C. S x2 2x 3 dx. D. S x2 2x 3 dx. 0 0 Câu 8. Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ được tính theo công thức nào dưới đây? 2 2 A. 2x2 2x 4 dx . B. 2x 2 dx . 1 1 2 2 C. 2x 2 dx . D. 2x2 2x 4 dx . 1 1 Câu 9. Cho đồ thị y f x như hình vẽ sau đây. Diện tích S của hình phẳng được gạch chéo trong hình dưới dây bằng 2 1 2 A. S f x dx . B. S f x dx f x dx . 1 1 1 12
12. 1 2 1 2 C. S f x dx f x dx . D. S f x dx f x dx . 1 1 1 1 Câu 10. Cho hàm số y f x liên tục trên R và có đồ thị C là đường cong như hình bên. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị C , trục hoành và hai đường thẳng x 0 , x 2 là 2 1 2 A. f x dx . B. f x dx f x dx . 0 0 1 1 2 2 C. f x dx f x dx . D. f x dx . 0 1 0 Câu 11. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y 1 x2 , y 3 , x 1, x 2 được tính bởi công thức nào dưới đây 2 2 A. S x2 2 dx . B. S (x2 2)2 dx . 1 1 2 2 C. S (x2 2)dx . D. S (x2 2)dx . 1 1 Câu 12. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y tan x, y 0, x 0, x quay xung 4 quanh trục Ox . Tính thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra. ln 2 ln 3 A. . B. C. . D. ln 2 . 2 4 4 Câu 13. Cho miền phẳng D giới hạn bởi y x , hai đường thẳng x 1, x 2 và trục hoành. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành. 3 2 3 A. 3 . B. . C. . D. . 2 3 2 Câu 14. Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường y 2x x2 , y 0. Quay H quanh trục hoành tạo thành khối tròn xoay có thể tích là 2 2 2 A. 2x x2 dx B. 2x x2 dx 0 0 13
13. 2 2 2 C. 2x x2 dx D. 2x x2 dx 0 0 Câu 15. Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường y x2 3, y 0, x 0, x 2 . Gọi V là thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay H xung quanh trục Ox . Mệnh đề nào sau đây đúng? 2 2 2 A. V x2 3 dx . B. V x2 3 dx . 0 0 2 2 2 C. V x2 3 dx . D. V x2 3 dx . 0 0 Câu 16. Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y x2 2x , trục hoành, đường thẳng x 0 và x 1quanh trục hoành bằng 16 2 4 8 A. .B. .C. .D. . 15 3 3 15 Câu 17. Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn 3;4. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x , trục hoành và hai đường thẳng x 3, x 4 . Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành được tính theo công thức: 4 4 A. V f 2 x dx . B. V 2 f 2 x dx . 3 3 4 4 C. V f x dx . D. V f 2 x dx . 3 3 Câu 18. Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y x2 1 , trục hoành và các đường thẳng x 0 , x 1 . Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu? 4 4 A. V . B. .V 2 C. . V D. . V 2 3 3 14