Ôn tập TN THPT môn Toán - Chuyên đề: Bài toán chứa tham số về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

77 trang Nguyệt Quế 05/01/2026 130

Download

Bạn đang xem 30 trang mẫu của tài liệu "Ôn tập TN THPT môn Toán - Chuyên đề: Bài toán chứa tham số về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên.

File đính kèm:

on_tap_tn_thpt_mon_toan_chuyen_de_bai_toan_chua_tham_so_ve_g.docx

Nội dung tài liệu: Ôn tập TN THPT môn Toán - Chuyên đề: Bài toán chứa tham số về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CHUYÊN ĐỀ VẬN DỤNG, VẬN DỤNG CAO BẮC NINH KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 Môn: Toán CHUYÊN ĐỀ SỐ 1: TÊN CHUYÊN ĐỀ: BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ VỀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT Người biên soạn: Vũ Thị Vui Đơn vị công tác: Tổ Toán, Trường THPT Thuận Thành số 1. I. Hệ thống kiến thức liên quan. Các bước tìm GTLN-NN của hàm số trên đoạn a;b . Bước 1: Hàm số đã cho y f x xác định và liên tục trên đoạn a;b . Tìm các điểm x1,x2, ,xn trên khoảng a;b , tại đó f x 0 hoặc f x không xác định. Bước 2: Tính f a , f x1 , f x2 , , f xn , f b . Bước 3: Khi đó: max f x max f x , f x , , f x , f a , f b . 1 2 n  a,b min f x min f x , f x , , f x , f a , f b . 1 2 n  a,b Bước 4. Biện luận m theo giả thuyết đề để kết luận Lưu ý: 1
 Hàm số y f x đồng biến trên đoạn a;b thì Max f x f b ;Min f x f a a;b a;b  Hàm số y f x nghịch biến trên đoạn a;b thì Max f x f a ;Min f x f b a;b a;b II. Các dạng bài/câu thường gặp Dạng 1: Tìm m để max y f x m a a 0 .  ;  Phương pháp: Trước tiên tìm max f x K; min f x k K k .  ;   ;  m K a TH1: Max m K m K m k m k a TH2: Max m k m k m K Ví dụ 1. Gọi S là tập tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số f x x3 3x m trên đoạn 0;3 bằng 16. Tổng tất cả các phần tử của S bằng A. 16. B. 16. C. 12 . D. 2 . Lời giải Đặt g x x3 3x m . x 1 0;3 g x 3x2 3; g x 0 . x 1 0;3 g 0 m; g 1 2 m; g 3 18 m . Suy ra max g x 18 m ; min g x 2 m . 0;3 0;3 2
18 m 16 m 2 2 m 16 m 14 Để giá trị lớn nhất hàm số y f x là 16 . 2 m 16 m 14 18 m 16 m 2 Vậy S 2; 14 nên tổng là 2 14 16 . Dạng 2: Tìm m để min y f x m a a 0 .  ;  Phương pháp: Trước tiên tìm max f x K; min f x k K k .  ;   ;  m k a m K a m a k m a K Để min y a   . Vậy m S1 S2.  ;  m k 0 m K 0 m k m K Ví dụ 2. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y x2 x m thỏa mãn min y 2. Tổng tất cả các phần tử của S bằng  2; 2 31 23 9 A. . B. 8 . C. . D. . 4 4 4 Lời giải 1 Xét hàm số u x2 x m trên đoạn  2;2, có: u 0 2x 1 0 x . 2 1  max u max u 2 ,u ,u 2  m 6 ;  2;2 2  1  1 min u min u 2 ,u ,u 2  m .  3;2 2  4 1 1 1 9 Nếu m 0 hay m thì min y m 2 m (thỏa mãn). 4 4  2; 2 4 4 Nếu m 6 0 hay m 6 thì min y m 6 2 m 8 (thỏa mãn).  2; 2 3
1 Nếu 6 m thì min y 0 (không thỏa mãn). 4  2; 2 9 23 Ta có: S 8;  . Vậy tổng các phần tử của S bằng . 8 4 Dạng 3: Tìm m để max y f x m không vượt quá giá trị M cho trước.  ;  Phương pháp: Trước tiên tìm max f x K; min f x k K k .  ;   ;  m k M Để max y M M k m M K.  ;  m K M 1 19 Ví dụ 3. Gọi S là tập hợp tất cả các số nguyên m để hàm số y x4 x2 30x m có 4 2 giá trị lớn nhất trên đoạn 0;2 không vượt quá 20 . Tổng các phần tử của S bằng A. 195 . B. 210 . C. 195. D. 210 . Lời giải x 5 1 4 19 2 3 Xét u x x 30x m trên đoạn 0;2 có u x 19x 30; u 0 x 3 . 4 2 x 2 Do đó: max u max u(0);u(2)} max{m;m 6} m 6;min u m. 0;2 0;2 m m 6 20 13 m 6 Do đó: max y max{ m ; m 6} 20 20 m 6 . 0;2 m 6 m 20 20 m 13 20 Mà m ¢ nên m { 20; 19; , 6}. Vậy S  k 195 . 6 Dạng 4: Tìm m để min y f x m không vượt quá giá trị a cho trước.  ;  4
Phương pháp: Trước tiên tìm max f x K; min f x k K k .  ;   ;  Để m k a m K a m a k m a K min y a   m K m k 0   K m k.  ;  m k 0 m K 0 m k m K Ví dụ 4. Cho hàm số y 2x3 3x2 m . Có bao nhiêu số nguyên m để min f x 3 ?  1;3 A. 4. B. 8. C. 31. D. 39. Lời giải 3 2 2 x 0 Xét u 2x 3x m , ta có: u ' 6x 6x ; u 0 . x 1 min u min u 1 ,u 3 ,u 0 ,u 1  min m 5,m 27,m,m 1 m 5  1;3 Do đó: . max u max u 1 ,u 3 ,u 0 ,u 1  max m 5,m 27,m,m 1 m 27  1;3 TH1: m 5 0 m 5 min f x m 5 3 m 8 m 5;6;7;8 .  1;3 TH2: m 27 0 m 27 min f x (m 27) 3 m 30 m 30; 29; 28; 27  1;3 . TH3: (m 5) m 27 0 27 m 5 min 1;3 f x 0 (thỏa mãn). Vậy m 30; 29; 28; ;7;8 . Dang 5: Tìm m để max y f x m đạt min. a;b Trước tiên tìm max f x K; min f x k K k .  ;   ;  5
m K m k m K m k K k Ta có: max m K , m k  . 2 2 2 K k Suy ra max f x đạt min bằng . 2 K k Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi m . 2 Ví dụ 5. Cho hàm số y x3 3x 2 m (với m là tham số thực). Hỏi max y có giá trị nhỏ 1;2 nhất bằng A. 2.B. 4.C. 1.D. 3 . Lời giải Xét hàm số : t x3 3x2 với x 1;2. x 0 1;2 Ta có t 3x2 6x 0 ; t 1 2, t 2 4 . Nên max t 2 và min t 4 . x 2 1;2 1;2 1;2 Do đó max y max m t max m 4 ; m 2 1;2 1;2 m 4 2 m m 4 2 m max m 4 ; 2 m  1. 2 2 Dấu bằng đạt tại m 4 2 m m 3 . Dạng 6: Tìm m để min y f x m đạt min. a;b Phương pháp: Trước tiên tìm max f x K; min f x k K k . a;b a;b Đề hỏi tìm m m K m k 0 K m k . Đề hỏi tìm min của min y giá trị này a;b là 0. 6
Ví dụ 6. Có bao nhiêu số nguyên m để giá trị nhỏ nhất của hàm số y f x x4 8x2 m trên đoạn 1; 3 đạt giá trị nhỏ nhất. A. 23. B. 24 . C. 25 . D. 26 . Lời giải 2 Ta có y f x x4 8x2 m = x4 8x2 m x2 4 16 m . 2 Đặt t x2 4 , vì x  1; 3, suy ra t 0; 25 . Khi đó y g t t 16 m . Ta có min f x min g t min m 9 , m 16.  1;3  0; 25 Nếu m 9 0 m 9 , khi đó min f x = m 9 0 , khi đó min min f x 0 , khi m 9  1;3  1;3 . Nếu m 16 0 m 16 , khi đó min f x = m 16 0 , khi đó min min f x 0 , khi x  1;3  1;3 m 16 . Nếu m 9 m 16 0 16 m 9 , khi đó min f x =0, khi đó min min f x 0 . x  1;3  1;3 Vậy min min f x 0 , khi 16 m 9 .  1;3 Vì m ¢ , nên có 26 số nguyên m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Dạng 7: Cho hàm số y f x m .Tìm m để max y h.min y h 0 hoặc Min max a . a;b a;b Phương pháp: Trước tiên tìm max f x K; min f x k K k . a;b a;b 7
K m k m TH1: K m h k m K mcung dau k m m S1. k m K m TH2: k m h K m K mcungdau k m m S2. Vậy m S1 S2. Ví dụ 7. Cho hàm số f x x4 4x3 4x2 a . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn 0;2 . Có bao nhiêu số nguyên a thuộc đoạn  3;3 sao cho M 2m ? A. 5 . B. 7. C. 6. D. 3 . Lời giải Xét hàm số g x x4 4x3 4x2 a . x 0 g x 4x3 12x2 8x g x 0 3 2 ; 4x 12x 8x 0 x 1 . x 2 Bảng biến thiên ` TH1: a 1 m a 1 ;M a 2 a 1 a a 2 a 3; 2 . TH2: 1 a 0 m 0;M 0 M 2m (loại ). TH3: a 0 m a;M a 1 2a a 1 a 1 a 1;2;3 . Vậy có 5 giá trị của a thỏa mãn đề bài. 8
IV. Hệ thống câu hỏi ôn tập Câu 1. Cho hàm số f x x3 3x . Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số y f sin x 1 m bằng 4. Tổng các phần tử của S bằng A. 4. B. 2. C. 0. D. 6. x m2 m Câu 2. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y thỏa x 2 max y 1. Tích các phần tử của S bằng 1;2 A. 16 . B. 4 . C. 16. D. 4. Câu 3. Cho hàm số y x2 x m . Tổng tất cả giá trị thực của tham số m để min y 2  2; 2 bằng 31 23 9 A. . B. 8 . C. . D. . 4 4 4 Câu 4. Cho hàm số f x x4 4x3 4x2 a . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn 0;2 . Có bao nhiêu số nguyên a thuộc đoạn  3;3 sao cho M 2m ? A. 5 . B. 7. C. 6. D. 3 . x2 m 1 x 2m 2 Câu 5. Cho hàm số y (với m là tham số thực). Hỏi max y có giá x 2  1;1 trị nhỏ nhất là bao nhiêu? 3 1 A. . B. . C. 2. D. 3 . 2 2 Câu 6. Tính tổng tất cả các giá trị nguyên lớn hơn 6 của tham số m sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số y x2 m 1 x m trên 2;m 1 nhỏ hơn 2020. A. 2043210 . B. 2034201. C. 3421020 D. 3412020. 9
Câu 7. Có bao nhiêu số nguyên m để giá trị nhỏ nhất của hàm số y 4 cos2 x 2 sin x m 4 trên đoạn 0; nhỏ hơn hoặc bằng 4? 2 A. 12. B. 14. C. 13. D. 15. Câu 8. Biết đồ thị hàm số f x ax4 bx2 c có đúng ba điểm chung với trục hoành và f 1 1; f 1 0 . Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương của tham số m để bất phương trình f x m 12 nghiệm đúngx 0;2 . Số phần tử của S là A. 10 . B. 16 . C. 11. D. 0 . Câu 9. Cho hàm số f x x4 4x3 4x2 m . Khi m thuộc  3;3 thì giá trị nhỏ nhất của hàm số f x trên đoạn 0;2 đạt giá trị lớn nhất bằng A. 4 . B. 3 . C. 2 . D. 1. Câu 10. Cho hàm số f (x) x 4 2x 3 m ( m là tham số thực). Tìm tổng tất cả các giá trị của m sao cho max f (x) 2min f (x) 10 . 0;1 0;1 A. 4 . B. 3 . C. 1. D. 2 . HƯỚNG DẪN GIẢI: Câu 1. Đặt t sin x 1 t 0; 2 , khi đó y f sin x 1 m f t m t3 3t m . Xét hàm số u t t3 3t m liên tục trên đoạn 0;2 có u t 3t2 3. t 1 0;2 u t 0 3t 2 3 0 . t 1 0;2 Ta có u 0 m; u 1 m 2; u 2 m 2 max u x m 2 , min u x m 2 . 0;2 0;2 10
Khi đó max y max m 2 ; m 2 . ì é ì ï m = 6 ï m- 2 = 4 ï ê TH1:í Û íï êm = - 2 Û m = - 2 . ï ï ë îï m- 2 ³ m + 2 ï îï m £ 0 ì é ì ï m = 2 ï m + 2 = 4 ï ê TH2: í Û íï êm = - 6 Û m = 2 . ï ï ë îï m + 2 ³ m- 2 ï îï m ³ 0 Vậy S Î {- 2; 2} Þ - 2+ 2 = 0. x m2 m 2 m2 m Câu 2. Xét u , ta có: u 0 , x 1;2 , m ¡ . x 2 x 2 2 m2 m 2 m2 m 1 Do đó A max u u 2 ; a min u u 1 . 1;2 4 1;2 3 m2 m 2 m2 m 1  1 17 max y max ,  1 m . 1;2 4 3  2 1 17  Ta có: S  . Vậy tích các phần tử của S bằng 4 . 2  1 Câu 3. Xét hàm số u x2 x m trên đoạn  2;2, có: u 0 2x 1 0 x . 2 1  max u max u 2 ,u ,u 2  m 6 ;  2;2 2  1  1 min u min u 2 ,u ,u 2  m .  3;2 2  4 1 1 1 9 Nếu m 0 hay m thì min y m 2 m (thỏa mãn). 4 4  2; 2 4 4 Nếu m 6 0 hay m 6 thì min y m 6 2 m 8 (thỏa mãn).  2; 2 1 Nếu 6 m thì min y 0 (không thỏa mãn). 4  2; 2 9 23 Ta có: S 8;  . Vậy tổng các phần tử của S bằng . 8 4 Câu 4. Xét hàm số g x x4 4x3 4x2 a . 11
x 0 3 2 3 2 g x 4x 12x 8x ; g x 0 4x 12x 8x 0 x 1 . x 2 Bảng biến thiên ` TH1: a 1 m a 1 ;M a 2 a 1 a a 2 a 3; 2 . TH2: 1 a 0 m 0;M 0 M 2m (loại ). TH3: a 0 m a;M a 1 2a a 1 a 1 a 1;2;3 . Vậy có 5 giá trị của a thỏa mãn đề bài. x2 x 2 x2 x 2 Câu 5. Ta có y m t m , trong đó t  2; 1,x  1;1 . x 2 x 2 x2 4x x 0 1;1 t 2 t 0 . x 2 x 4 1;1 4 t 1 ,t 0 1,t 1 2 3 Do đó max y max t m max m 2 , m 1 max m 2 , m 1  1;1  1;1 m 2 m 1 m 2 m 1 1 . 2 2 2 3 Dấu bằng đạt tại m 2 m 1 m . 2 Câu 6. +) Xét hàm số f x x2 m 1 x m liên tục trên 2;m 1 với m 6 . m 1 Ta có: f x 2x m 1 ; f x 0 x 2;m 1 . 2 2 m 1 m 1 Khi đó: f 2 2 m; f ; f m 1 2 m. 2 4 12
m 1 2 +) Vì 2 m 0,m 6 nên 4 m 1  max f x max f 2 ; f ; f m 1  2 m ; [2;m 1] 2  2 m 1  m 1 và min f x min f 2 ; f ; f m 1  . [2;m-1] 2  4 2 m 1  Do đó: min y min 2 m ;  2 m [2;m-1] 4  +) Theo yêu cầu bài toán: 2 m 2020 2020 2 m 2020 2018 m 2022 +) Vì m ¢ và m 6 nên m 7;8;9;;2021 . +) Vậy tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m là: 2021 7 2021 2015  n 2043210 n 7 2 Câu 7. Ta có: y 4 cos2 x 2 sin x m 4 4 1 cos2 x 2sin x m 4sin2 x 2sin x m . Đặt t sin x , do x 0; nên suy ra t 0;1. 2 Ta tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y 4t 2 2t m trên đoạn 0;1. Xét hàm số f t 4t2 2t m liên tục trên đoạn 0;1, ta có: 1 f t 8t 2 ; f t 0 t 0;1. 4 f 0 m ; f 1 m 6 . Trường hợp 1: Nếu m 0 min y m . Kết hợp với giả thiết ta có 0 m 4 . 1 0;1 Trường hợp 2: Nếu m 6 0 m 6 min y m 6 . Kết hợp với giả thiết ta 0;1 m 6 4 có 10 m 6 . 2 m 6 13
Trường hợp 3: Nếu m m 6 0 6 m 0 min y 0 4 . Trường hợp này 0;1 thỏa mãn. 3 Từ 1 , 2 và 3 ta được m 10;4 . Vì m là số nguyên nên   m 10, 9, 8, ,2,3,4 . Vậy có 15 số nguyên m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 8. Đồ thị hàm số f x ax4 bx2 c có đúng ba điểm chung với trục hoành nên đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành tại gốc toạ độ, suy ra f 0 0 c 0 I . Ta có f x 4ax3 2bx . f 1 1 a b c 1 Theo giả thiết II . f 1 0 4a 2b 0 Từ I và II suy ra a 1;b 2;c 0 f x x4 2x2 . Xét hàm số y = x4 - 2x2 - m trên đoạn [0;2]. Dễ thấy hàm số đã cho liên tục trên đoạn [0;2] và có x 0 0;2 3 y 0 4x 4x 0 x 1 0;2 . x 1 0;2 max y m 8 0;2 Khi đó y 0 m ; y 1 m 1; y 2 m 8. . min y m 1 0;2 Theo bài ra m 8 12 m 8 m 1 4 2 x 2x m 12,x 0;2 max m 1 ; m 8 12 m 1 12 m 1 m 8 14
4 m 20 7 7 m 4 m 2 2 4 m 11. Suy ra S có 11 phần tử. 13 m 11 7 m 11 7 2 m 2 Câu 9. Tập xác định: D ¡ . Xét u x x4 4x3 4x2 m liên tục trên 0;2 . x 0 3 2 Ta có u x 4x 12x 8x , u x 0 x 1 . x 2 u 0 m Ta có: u 1 m 1. u 2 m min u x m [0;2] Suy ra: . max u x m 1 [0;2] min f x min 0; m ; m 1 hoặc min f x 0 , với m  3;3 (*). 0;2 0;2 Trường hợp 1: m m 1 0 1 m 0 . min f x 0 0;2 Trường hợp 2: m 0 kết hợp với (*) ta có: 0 m 3. min f x m . 0;2 Trường hợp 3: m 1 0 m 1 kết hợp với (*) ta có 3 m 1. min f x m 1 . 0;2 m ,m 0;3 Khi đó: min f x m 1 ,m  3; 1 . [0;2] 0 ,m  1;0 15
Dựa vào đồ thị ta thấy min f x đạt giá trị lớn nhất bằng 3 khi m 3 . [0;2] Câu 10. Ta xét f (x) x 4 2x 3 m liên tục trên đoạn 0;1 , f '(x) 4x3 6x 2 . x 0 0;1 f '(x) 0 3 . x 0;1 2 f (0) m; f (1) m 1. Ta xét các trường hợp sau: - Nếu m 0 thì max f (x) 1 m; min f (x) m . 0;1 0;1 Khi đó: max f (x) 2min f (x) 10 (1 m) 2( m) 10 m 3 ( thỏa điều kiện). 0;1 0;1 - Nếu m 1 thì max f (x) m; min f (x) m 1. 0;1 0;1 Khi đó: max f (x) 2min f (x) 10 m 2(m 1) 10 m 4 (thỏa điều kiện). 0;1 0;1 1 - Nếu m 1 thì max f (x) m; min f (x) 0 . 2 0;1 0;1 Khi đó: max f (x) 2min f (x) 10 m 10 ( không thỏa điều kiện). 0;1 0;1 1 - Nếu 0 m thì max f (x) 1 m; min f (x) 0 . 2 0;1 0;1 Khi đó: max f (x) 2min f (x) 10 1 m 10 m 9 ( không thỏa điều kiện). 0;1 0;1 Do đó có hai giá trị m 3 và m 4 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Vậy tổng tất cả các giá trị của m sao cho max f (x) 2min f (x) 10 là 1. 0;1 0;1 16
CHUYÊN ĐỀ SỐ 2: TÊN CHUYÊN ĐỀ: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM HỢP. Người biên soạn: Nguyễn Bá Cao Đơn vị công tác:Trường THPT Thuận Thành số 1. I. Hệ thống kiến thức liên quan. * Công thức đạo hàm của hàm số hợp y f u x : y u x . f u x . * Một số quy tắc biến đổi đồ thị: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) . Khi đó, với số a > 0 ta có: • Hàm số y = f(x) + a có đồ thị (C') là tịnh tiến (C) theo phương của Oy lên trên a đơn vị. • Hàm số y = f(x) - a có đồ thị (C') là tịnh tiến (C) theo phương của Oy xuống dưới a đơn vị. • Hàm số y = f(x + a) có đồ thị (C') là tịnh tiến (C) theo phương của Ox qua trái a đơn vị. • Hàm số y = f(x - a) có đồ thị (C') là tịnh tiến (C) theo phương của Ox qua phải a đơn vị. • Hàm số y = -f(x) có đồ thị (C') là đối xứng của (C) qua trục Ox. • Hàm số y = f(-x) có đồ thị (C') là đối xứng của (C) qua trục Oy. • Hàm số y f x có đồ thị (C') bằng cách: 17
- Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên phải trục Oy và bỏ phần (C) nằm bên trái Oy. - Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm bên phải trục Oy qua Oy. * Hàm số chẵn có đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng. Hàm số lẻ có đồ thị nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng. * Hàm số y f x đồng biến trên đoạn a;b thì Max f x f b ;Min f x f a a;b a;b * Hàm số y f x nghịch biến trên đoạn a;b thì Max f x f a ;Min f x f b a;b a;b II. Các dạng bài/câu thường gặp * Bài toán 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(u(x)),y = f(u(x))±h(x) khi biết bảng biến thiên hoặc đồ thị của hàm số y = f(x) * Phương pháp giải Thực hiện theo một trong hai cách Cách 1: Bước 1. Đặt t = u(x). Đánh giá giá trị của t trên khoảng K. Chú ý: Có thể sử dụng khảo sát hàm số, bất đẳng thức để đánh giá giá trị của t = u(x). Bước 2. Từ bảng biến thiên hoặc đồ thị của hàm số cho ta giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(t). Bước 3. Kết luận. Cách 2: Bước 1. Tính đạo hàm y' u (x) f (u(x)). Bước 2. Tìm nghiệm y' u (x) f (u(x)) =0. Chú ý: f u x 0 ứng với u x là hoành độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số y f (x). Bước 3. Lập bảng biến thiên. 18
Bước 4. Kết luận về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y f (u(x)), y f (u(x)) h(x) Ví dụ 1: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên tập ¡ và có bảng biến thiên như sau Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y f (x2 2x) trên 3 7 đoạn ; . Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau. 2 2 M A. M.m 10. B. 2 . C. M m 3. D. M m 7 . m Hướng dẫn giải Cách 1: Đặt t x2 2x . 3 7 5 5 2 21 21 Ta có x ; x 1 1 (x 1) 1 t 1; 2 2 2 2 4 4 21 Xét hàm số y f (t),t 1; . 4 Từ bảng biến thiên suy ra 21 m min f (t) f (1) 2; M max f (t) f 5 21 21 1; 1; 4 4 4 19
M 2 . m Chọn B. Cách 2: Ta có y (2x 2) f (x2 2x) 0 x 1 2x 2 0 7 x2 2x 1 x 2 y 0 2 . x 2x 1 3 x 2 21 x 2x 2 4 x 1 2 Vẽ bảng biến thiên và kết luận được M M 5;m 2 2. m Chọn B. Ví dụ 2: Cho hàm số y f (x) có bảng biến thiên trên đoạn  4;4 như sau: Giá trị lớn nhất của hàm số g(x) f x 3 3 x trên 1;1 bằng   A. 2. B. 4 . C. 3 . D. 5 . Hướng dẫn giải 20
Ta có g x g x nên g(x) chẵn hay đồ thị của hàm số y g(x) đối xứng qua trục tung. max g(x) max g(x) max f x3 3x max f x3 3x  1;1 0;1 0;1 0;1 Xét hàm số y f x3 3x trên 0;1. Đặt t x3 3x t 0;4 max y max f (t) 3. [0;1] 0;4 Chọn C * Bài toán 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(u(x)),y = f(u(x))±h(x) khi biết đồ thị của hàm số y f x . * Phương pháp giải +) Đối với hàm số y f u x . Bước 1. Tính đạo hàm y' u (x) f (u(x)). Bước 2. Tìm nghiệm y' u (x) f (u(x)) =0. Chú ý: f u x 0 ứng với u x là hoành độ các giao điểm của đồ thị hàm số y f (x) và trục hoành. Bước 3. Lập bảng biến thiên. Bước 4. Kết luận về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y f (u(x)) . +) Đối với hàm số y f u x h x . Bước 1. Tính đạo hàm y u (x) f (u(x)) h x . h x Bước 2. Phân tích y u (x) f (u(x)) h x u x f u x , u x 0. u x Bước 3. Đặt u x t và đánh giá giá trị của t trên khoảng K là khoảng K . Đưa y về dạng y k t f t g t với t K . Chú ý: f t g t 0 ứng với t là hoành độ các giao điểm của đồ thị hàm số 21
y f (t) ( là đồ thị y f x đã cho ) và đồ thị hàm số y g(x). Bước 4. Lập bảng biến thiên. Bước 5. Kết luận về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y f (u(x)) h x . Ví dụ 3: Cho hàm số f x , đồ thị hàm số y f x là đường cong trong hình bên. x Giá trị nhỏ nhất của hàm số g x f trên đoạn 5;3 bằng 2 y 2 -2 1 x O A. f 2 . B. f 1 . C. f 4 .D. f 2 Hướng dẫn giải x 2 1 x 2 x 4 g x 0 f 0 . 2 2 x x 2 1 2 x x g x 0 f 0 2 x 4 . 2 2 Bảng biến thiên Giá trị nhỏ nhất của hàm số g x trên  5;3 bằng g 4 f 2 . 22
Chọn A Ví dụ 4: Cho hàm số f (x) xác định trên ¡ và có đồ thị f x như hình vẽ bên dưới. 1 Giá trị nhỏ nhất của hàm số g x f 2x 2x 1 trên đoạn ;1 bằng 2 . A. f 0 1. B. f 1 . C. f 2 1. D. f 1 2 Hướng dẫn giải 1 Xét hàm số g x f 2x 2x 1 trên đoạn ;1 2 1 Ta có g ' x 2 f ' 2x 2, g ' x 0 f ' 2x 1 2x 1 x . Số nghiệm của phương 2 trình g¢(x)= 0 chính là số giao điểm giữa đồ thị của hàm số f ' 2x và đường thẳng y = 1. Dựa vào đồ thị ta có bảng biến thiên 23
1 Giá trị nhỏ nhất của hàm số g x f 2x 2x 1 trên đoạn ;1 bằng g 1 f 2 1. 2 Chọn C Ví dụ 5: Cho hàm số y f (x) có đạo hàm trên ¡ và hàm số y f '(x) có đồ thị như x 2 hình vẽ. Trên  2;4, gọi x0 là điểm mà tại đó hàm số g(x) f 1 ln x 8x 16 2 đạt giá trị lớn nhất. Khi đó x0 thuộc khoảng nào? 1 5 1 1 A. ;2 . B. 2; . C. 1; . D. 1; . 2 2 2 2 Hướng dẫn giải 1 x 2x 8 1 x 2 Ta có g '(x) f ' 1 2 f ' 1 . 2 2 x 8x 16 2 2 x 4 24
x 4 Cho g '(x) 0 f ' 1 . 2 x 4 x Đặt t 1 t 0;3 2 4 2 Phương trình trở thành f '(t) . 2t 2 t 1 2 Vẽ đồ thị y lên cùng một hệ tọa độ ta được: x 1 Từ đồ thị ta thấy hàm số đạt giá trị lớn nhất tại t 1 x 0. Chọn D * Bài toán 3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(u(x)),y = f(u(x))±h(x) khi biết đồ thị của hàm số y f x a . * Phương pháp giải: Từ đồ thị hàm số y f x a suy ra đồ thị hàm số y f x .Từ đó đưa về bài toán 2. Ví dụ 6: Cho hàm số y f x có đạo hàm cấp 2 trên ¡ , hàm số y f x 1 có đồ thị như hình vẽ bên dưới 25
sin x 3 cos x 5 Giá trị lớn nhất của hàm số y f trên đoạn ; bằng 2 6 6 5 A. f . B. f 0 . C. f . D. f . 3 6 6 Lời giải Từ đồ thị hàm số y f x 1 ta suy ra đồ thị hàm số y f x bằng cách tịnh tiến đồ thị y f x 1 sang trái 1 đơn vị. Vậy đồ thị y f x như hình bên dưới. 26
sin x 3 cos x Đặt t sin x . 2 3 5 Vì x ; x ; t  1;1. 6 6 3 2 2 Dựa vào đồ thị của hàm số f x , ta có bảng biến thiên sin x 3 cos x Ta có: max f max f t t 0 sin x 0 x . 5  1;1 ; 2 3 3 6 6 sin x 3 cos x Vậy max f f . 5 ; 2 3 6 6 Chọn A. III. Hệ thống câu hỏi ôn tập: Câu 1. Cho hàm số f x , đồ thị của hàm số y f x là đường cong trong hình bên. 27
3 Giá trị lớn nhất của hàm số g x f 2x 4x trên đoạn ;2 bằng 2 A. f 0 . B. f 3 6 . C. f 2 4 . D. f 4 8 . Câu 2. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như hình dưới đây. Tìm giá trị lớn nhất 1 1 của hàm số g x f 4x x2 x3 3x2 8x trên đoạn 1;3. 3 3 25 19 A. 15. B. . C. . D. 12. 3 3 Câu 3. Cho hàm số y f x , đồ thị của hàm số y f x là đường cong trong hình bên. 2 2 Giá trị nhỏ nhất của hàm số g x f 3x 3x2 4x 1 trên đoạn ; bằng 3 3 28
1 A. f 0 1. B. f 6 . C. f 2 . D. f 3 8 . 3 Câu 4. Cho hàm số y f x . Hàm số y f x có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Giá trị lớn nhất của hàm số g x f 2x sin2 x trên đoạn  1;1 là - -2 -1 0 1 2 + 0 0 0 A. f 1 . B. f 0 . C. f 2 . D. f 1 . Câu 5. Cho hàm số y f x liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ 29
2 Hàm số g x f x 1 đạt giá trị lớn nhất trên đoạn 1; 2 tại điểm nào sau đây? A. x 2 . B. x 0 C. x 1 . D. x 1 . Câu 6. Cho hàm số f (x) xác định trên ¡ và có đồ thị f x như hình vẽ bên dưới. Giá trị nhỏ nhất 1 của hàm số g x f 2x 2x 1 trên đoạn ;1 bằng 2 . A. f 0 1. B. f 1 . C. f 2 1. D. f 1 2 Câu 7. Cho hàm số f x , đồ thị của hàm số y f x là đường cong trong hình vẽ bên dưới. Giá trị lớn nhất của hàm số g x 12 f 2x 32x3 12x2 12x 2021 trên đoạn 3 1 ; bằng 2 2 A. 12 f 1 2026 . B. 12 f 3 1958 . C. 12 f 1 2022 . D. f 1 Câu 8. Cho hàm số f x , đồ thị của hàm số y f ' x 1 là đường cong trong hình bên. 30
2 Giá trị lớn nhất của hàm số g x 2 f x 1 x 1 trên đoạn  3;3 bằng A. f 0 1. B. f 3 4. C. 2 f 2 4. D. f 3 16. Câu 9. Cho hàm số bậc ba y f (x) có bảng biến thiên của hàm số g(x) f (x 1) 2 như sau Giá trị lớn nhất của hàm số y f 3 sin x cos x 2 2cos 2x 4sin x 1 là: A. 9 . B. 2. C. 2 . D. 4 . Câu 10. Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn  4;4 và có bảng biến thiên như hình vẽ bên 31
Có tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham số m thuộc đoạn  4;4 để hàm số g x f x3 2x 3 f m có giá trị lớn nhất trên đoạn  1;1 bằng 8 ? A. 10. B. 11. C. 9. D. 12. HƯỚNG DẪN GIẢI. Câu 1. Chọn C Ta có: g x 2 f 2x 4 . 3 2x x 3 x x 1 1 2 2x 0 g x 0 2 f 2x 4 0 f 2x 2 x 0 2x 2 x 1 2x x2 4 x2 2 Ta có bảng biến thiên của hàm số y g x : 32
3 Từ bảng biến thiên ta có: trên ;2 hàm số g x f 2x 4x đạt giá trị lớn 2 nhất tại x 1 và max y f 2 4 . 3 ;1 2 Câu 2. Chọn D é 4- xù Ta có g¢(x)= f ¢(4x- x2 ).(4- 2 x) + x2 - 6x + 8 = 2(2- x)êf ¢(4x- x2 ) + ú ëê 2 ûú Xét thấy " x Î [1;3]Þ 3 £ 4x- x2 £ 4 Þ f ¢(4x- x2 ) > 0 4- x Mặt khác > 0 " x Î [1;3] 2 Suy ra g¢(x)= 0 Û x = 2 19 17 17 32 g(1)= f (3) + < f (4) + = 5+ = 3 3 3 3 19 19 19 34 g(3) = f (3) + < f (4) + = 5+ = 3 3 3 3 g(2) = 5+ 7 = 12. Þ g(1)< g(3)< g(2) Vậy max g(x)= 12 tại x = 2. [1;3] Câu 3. Chọn C 33
Ta có 4 2 4 g x 3 f 3x 6x 4 g x 0 f 3x 2x f 3x 3x 3 3 3 1 . t 2 2 Đặt 3x t x vì x ; nên t  2;2. 3 3 3 2 4 Phương trình 1 trở thành f t t . 3 3 Vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ ta được: 2 4 t 1 Xét trên  2;2, f t t . 3 3 t 2 1 x 2 2 3x 1 3 Do đó, trên ; có g x 0 3 3 3x 2 2 x 3 2 2 Bảng biến thiên hàm số g x trên ; 3 3 34
2 1 Từ bảng biến thiên, suy ra min g x g f 2 . 2 2 ; 3 3 3 3 Câu 4. Chọn B Ta có x  1;1 2x  2;2 . Từ bảng biến thiên của y f ' x thì bảng biến thiên y f x như sau: - -2 0 2 + - 0 + 0 - 0 + f 2x f 0 Ta thấy x 1;1 ta có , do đó g x g 0 f 0 .   2 sin x 0 sin 0 Dấu “=” xảy ra khi x 0 . Câu 5. Chọn A x 0 x 0 2 2 Ta có: g x 2xf x 1 0 x 1 1 . x 2 2 x 1 1 35
Khi đó: g 1 0; g 0 2; g 2 2 Câu 6. Chọn C 1 Xét hàm số g x f 2x 2x 1 trên đoạn ;1 2 1 Ta có g ' x 2 f ' 2x 2, g ' x 0 f ' 2x 1 2x 1 x . Số nghiệm 2 của phương trình g¢(x)= 0 chính là số giao điểm giữa đồ thị của hàm số f ' 2x và đường thẳng y = 1. Dựa vào đồ thị ta có bảng biến thiên 1 Giá trị nhỏ nhất của hàm số g x f 2x 2x 1 trên đoạn ;1 bằng 2 g 1 f 2 1. 36
Câu 7. Chọn A 2 2 Ta có g x 24 f 2x 96x 24x 12 12 2 f 2x 8x 2x 1 2 2 g x 0 12 2 f 2x 8x 2x 1 0 2 f 2x 8x 2x 1 0 * 3 1 Đặt t 2x, x ; t  3;1 2 2 Khi đó phương trình * trở thành phương trình sau: 1 1 2 f t 2t 2 t 1 0 f t t 2 t 2 2 Ta có đồ thị như sau: 3 x 2 t 3 1 f t 0 t 1 x 2 t 1 1 x 2 Ta có bảng biến thiên như sau: 37
Dựa vào bảng biến thiên và đồ thị hàm số ta có giá trị lớn nhất của hàm số g x 1 1 đạt tại x g 12 f 1 2026 2 2 Câu 8. Chọn C Ta có g x 2 f x 2 x 1 x 1 g x 0 f x x 1 . x 3 Dựa vào hình vẽ ta có bảng biến thiên 2 Suy ra giá trị lớn nhất của hàm số g x 2 f x x 1 trên đoạn  3;3 là g 1 2 f 1 4 . Câu 9. Chọn D 38
y f 3 sin x cos x 2 2cos 2x 4sin x 1 f 3 sin x cos x 2 2 2sin x 1 2 f 3 sin x cos x 2 2 x k2 6 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 2sin x 1 0 5 x k2 6 Đặt t 1 3sin x cos x 2 3sin x cos x 3 t Mà 0 3sin x cos x 2 nên 0 3 t 2 1 t 3 g t f t 1 2 4 g t 4 t 3 3 sin x cos x 0 x k 6 Vậy y 4 x k2 max 6 Câu 10. Chọn A Đặt t x3 2x t 3x2 2 0 x ¡ . Hàm số t x3 2x luôn đồng biến trên ¡ . Do đó 39