Ôn tập TN THPT môn Toán - Chuyên đề: Bài toán cực trị trong không gian OXYZ

Nội dung tài liệu: Ôn tập TN THPT môn Toán - Chuyên đề: Bài toán cực trị trong không gian OXYZ

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CHUYÊN ĐỀ VẬN DỤNG, VẬN DỤNG CAO BẮC NINH KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 ¯¯¯¯¯¯¯¯¯ Môn: Toán ¯¯¯¯¯¯¯¯ TÊN CHUYÊN ĐỀ: BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ Người biên soạn: Nguyễn Thị Huế, Nguyễn Thị Phương Thảo Đơn vị công tác: Trường THPT Chuyên Bắc Ninh I. Hệ thống kiến thức liên quan. Mở đầu về hình học giải tích trong không gian 1. Hệ tọa độ Đề-các vuông góc trong không gian: Cho ba trục Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một và chung một điểm gốc O. Gọi i, j, k là các vectơ đơn vị, tương ứng trên các trục Ox, Oy, Oz. Hệ ba trục như vậy gọi là hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz hoặc đơn giản là hệ tọa độ Oxyz. 2 2 2 Chú ý: i j k 1 và i.j i.k k.j 0 . 2. Tọa độ của vectơ: a) Định nghĩa: u x; y; z u xi y j zk b) Tính chất: Cho a (a1;a2;a3), b (b1;b2;b3), k R a b (a1 b1; a2 b2; a3 b3) ka (ka1; ka2; ka3) a b 1 1 a b a2 b2 a3 b3 0 (0;0;0), i (1;0;0), j (0;1;0), k (0;0;1) a cùng phương b( b 0) a kb (k R) a1 kb1 a1 a2 a3 a2 kb2 , (b1, b2, b3 0) b1 b2 b3 a3 kb3 a .b a1.b1 a2.b2 a3.b3 a  b a1b1 a2b2 a3b3 0 1
2. 2 2 2 2 2 2 2 a a1 a2 a3 a a1 a2 a2 a.b a1b1 a2b2 a3b3 cos(a, b) (với a, b 0 ) a . b 2 2 2 2 2 2 a1 a2 a3 . b1 b2 b3 3. Tọa độ của điểm:  a) Định nghĩa: M(x; y; z) OM (x; y;z) (x : hoành độ, y : tung độ, z : cao độ) Chú ý: M (Oxy) z = 0; M (Oyz) x = 0; M (Oxz) y = 0 M Ox y = z = 0; M Oy x = z = 0; M Oz x = y = 0 b) Tính chất: Cho A(xA; yA; zA ), B(xB; yB; zB )  2 2 2 A B (xB xA; yB yA;zB zA ) AB (xB xA ) (yB yA ) (zB zA ) x kx y ky z kz Tọa độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k (k≠1): M A B ; A B ; A B 1 k 1 k 1 k x x y y z z Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB: M A B ; A B ; A B 2 2 2 Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC: x x x y y y z z z G A B C ; A B C ; A B C 3 3 3 Toaï ñoä troïng taâm G cuûa töù dieän ABCD: x x x x y y y y z z z z G A B C D ; A B C D ; A B C C 4 4 4 4. Tích có hướng của hai vectơ: a) Định nghĩa: Cho a (a1, a2, a3) , b (b1, b2, b3) . a a a a a a a,b a  b 2 3 ; 3 1 ; 1 2 a b a b ;a b a b ;a b a b 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 b2 b3 b3 b1 b1 b2 Chú ý: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ là một số. b) Tính chất: i , j k; j,k i ; k,i  j [a, b]  a; [a, b]  b [ a,b] cùnga . bphương.sin a ,b a, b [a, b] 0 c) Ứng dụng của tích có hướng: Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ: a, b và c đồng phẳng [a, b].c 0   Diện tích hình bình hanh ABCD: SY ABCD AB, AD 1   Diện tích tam giác ABC: S AB, AC ABC 2    Thể tích khối hộp ABCD.A B C D : VABCD.A'B'C 'D' [AB, AD].AA' 2
3. 1    Thể tích tứ diện ABCD: V [AB, AC].AD ABCD 6 Chú ý: – Tích vô hướng của hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai vecto vuông góc, tính góc giữa hai đường thẳng. – Tích có hướng của hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích khối tứ diện, khối hộp; chứng minh các vecto đồng phẳng – không đồng phẳng, chứng minh các vecto cùng phương. a  b a.b 0 a vaø b cuøng phöông a,b 0 a, b, c ñoàng phaúng a,b.c 0 5. Phương trình mặt cầu: Phương trình mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R: (x a)2 (y b)2 (z c)2 R2 Phương trình x2 y2 z2 2ax 2by 2cz d 0 với a2 b2 c2 d 0 là phương trình mặt cầu tâm I(–a; –b; –c) bán kính R = a2 b2 c2 d . Phương trình mặt phẳng 1. Vectơ pháp tuyến – Cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng Vectơ n 0 là VTPT của ( ) nếu giá của n vuông góc với ( ). Hai vectơ a,b không cùng phương là cặp VTCP của ( ) nếu các giá của chúng song song hoặc nằm trên ( ). Chú ý: Nếu n là một VTPT của ( ) thì kn (k ≠ 0) cũng là VTPT của ( ). Nếu a,b là một cặp VTCP của ( ) thì n a,b là một VTPT của ( ). 2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng Ax By Cz D 0 vôùi A2 B2 C2 0 Nếu ( ) có phương trình Ax By Cz D 0 thì n (A;B;C) là một VTPT của ( ). Phương trình mặt phẳng đi qua M0(x0; y0;z0 ) và có một VTPT n (A;B;C) là: A(x x0 ) B(y y0 ) C(z z0 ) 0 3. Các trường hợp riêng 3
4. Các hệ số Phương trình mặt phẳng ( ) Tính chất mặt phẳng ( ) D = 0 Ax By Cz 0 ( ) đi qua gốc toạ độ O A = 0 By Cz D 0 ( ) // Ox hoặc ( )  Ox B = 0 Ax Cz D 0 ( ) // Oy hoặc ( )  Oy C = 0 Ax By D 0 ( ) // Oz hoặc ( )  Oz A = B = 0 Cz D 0 ( ) // (Oxy) hoặc ( )  (Oxy) A = C = 0 By D 0 ( ) // (Oxz) hoặc ( )  (Oxz) B = C = 0 Ax D 0 ( ) // (Oyz) hoặc ( )  (Oyz) Chú ý: Nếu trong phương trình của ( ) không chứa ẩn nào thì ( ) song song hoặc chứa trục tương ứng. x y z Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: 1 a b c ( ) cắt các trục toạ độ tại các điểm (a; 0; 0), (0; b; 0), (0; 0; c) 4. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng ( ), () có phương trình: ( ): A1x B1y C1z D1 0 (): A2x B2y C2z D2 0 ( ), () cắt nhau A1 : B1 :C1 A2 : B2 :C2 A B C D A B C D ( ) // () 1 1 1 1 ( )  () 1 1 1 1 A2 B2 C2 D2 A2 B2 C2 D2 ( )  () A1A2 B1B2 C1C2 0 5. Khoảng cách từ điểm M0(x0; y0; z0) đến mặt phẳng ( ): Ax + By + Cz + D = 0 Ax0 By0 Cz0 D d M0,( ) A2 B2 C2 Phương trình đường thẳng 1. Phương trình tham số của đường thẳng Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M0(x0; y0;z0 ) và có VTCP a (a1;a2;a3) : x x a t o 1 (d) : y yo a2t (t R) z zo a3t 4
5. x x y y z z (d) : 0 0 0 Nếu a1a2a3 0 thì đgl phương trình chính tắc của d. a1 a2 a3 2. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng Cho hai đường thẳng d, d có phương trình tham số lần lượt là: x x ta x x t a 0 1 0 1 d : y y0 ta2 và d : y y0 t a2 z z0 ta3 z z0 t a3 a,a cuøng phöông x ta x t a d // d 0 1 0 1 heä y ta y t a (aån t,t ) voâ nghieäm 0 2 0 2 z0 ta3 z0 t a3 a,a cuøng phöông a,a cuøn g phöông a,a  0  M (x ; y ;z ) d a, M M khoâng cuøng phöông 0 0 0 0 0 0 a, M0M0 0 x ta x t a 0 1 0 1 d  d heä y0 ta2 y0 t a2 (aån t,t ) coù voâ soá nghieäm z0 ta3 z0 t a3 a,a cuøng phöông  a,a , M M ñoâi moät cuøng phöông 0 0 M0(x0; y0;z0 ) d  a,a  a, M0M0 0 x ta x t a 0 1 0 1 d, d cắt nhau hệ y0 ta2 y0 t a2 (ẩn t, t ) có đúng một nghiệm z0 ta3 z0 t a3 a,a khoâng cuøng phöông a,a  0   a,a , M0M0 ñoàng phaúng a,a .M0M0 0 a,a khoâng cuøng phöông x ta x t a d, d chéo nhau 0 1 0 1 heä y ta y t a (aån t,t ) voâ nghieäm 0 2 0 2 z0 ta3 z0 t a3   a,a , M0M0 khoâng ñoàng phaúng a,a .M0M0 0 d  d a  a a.a 0 3. Vị trí tương đối giữa một đường thẳng và một mặt phẳng x x ta 0 1 Cho mặt phẳng ( ): Ax By Cz D 0 và đường thẳng d: y y0 ta2 z z0 ta3 Xét phương trình:A(x0 ta1) B(y0 ta2 ) C(z0 ta3) D 0 (ẩn t) (*) d // ( ) (*) vô nghiệm 5
6. d cắt ( ) (*) có đúng một nghiệm d  ( ) (*) có vô số nghiệm 4. Vị trí tương đối giữa một đường thẳng và một mặt cầu x x0 ta1 2 2 2 2 Cho đường thẳng d: y y0 ta2 (1) và mặt cầu (S): (x a) (y b) (z c) R (2) z z0 ta3 Để xét VTTĐ của d và (S) ta thay (1) vào (2), được một phương trình (*). d và (S) không có điểm chung (*) vô nghiệm d(I, d) > R d tiếp xúc với (S) (*) có đúng một nghiệm d(I, d) = R d cắt (S) tại hai điểm phân biệt (*) có hai nghiệm phân biệt d(I, d) < R 5. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng (chương trình nâng cao) Cho đường thẳng d đi qua M0 và có VTCP a và điểm M.  M0M,a d(M,d) a 6. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau (chương trình nâng cao) Cho hai đường thẳng chéo nhau d và d . 1 2 d1 đi qua điểm M1 và có VTCP a1 , d2 đi qua điểm M2 và có VTCP a2  a1,a2 .M1M2 d(d1,d2 ) a1,a2 Chú ý: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d 1, d2 bằng khoảng cách giữa d 1 với mặt phẳng ( ) chứa d2 và song song với d1. 7. Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song Khoảng cách giữa đường thẳng d với mặt phẳng ( ) song song với nó bằng khoảng cách từ một điểm M bất kì trên d đến mặt phẳng ( ). 8. Góc giữa hai đường thẳng Cho hai đường thẳng d1, d2 lần lượt có các VTCP a1,a2 . Góc giữa d1, d2 bằng hoặc bù với góc giữa a1,a2 . a1.a2 cos a1,a2 a1 . a2 9. Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng Cho đường thẳng d có VTCP a (a1;a2;a3) và mặt phẳng ( ) có VTPT n (A;B;C) . Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng ( ) bằng góc giữa đường thẳng d với hình chiếu d của nó trên ( ). Aa Ba Ca sin ·d,( ) 1 2 3 2 2 2 2 2 2 A B C . a1 a2 a3 II. Các dạng bài câu thường gặp 6
7. Để giải nhanh bài toán cực trị trong hình học tọa độ Oxyz , chúng ta cần tìm được vị trí đặc biệt của nghiệm hình để cực trị (số đo góc, khoảng cách, độ dài) xảy ra. Khi biết vị trí đặc biệt đó, việc tính toán chỉ còn vài dòng đơn giản là ra kết quả. Sau đây là các bài toán cực trị thường gặp, bản chất hình học của nó và công thức giải nhanh các bài toán đó. Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng Bài toán 1. Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm A và cách điểm M (khác A ) một khoảng lớn nhất. Gợi ý: Gọi H là hình chiếu của M lên mặt phẳng P . Suy ra khoảng cách từ M đến mặt phẳng P chính là MH . Mặt phẳng P đi qua điểm A và cách gốc tọa độ M một khoảng lớn nhất khi H  A hay MA  P .  Suy ra vecto pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm là n AM . Ví dụ 1: Điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng đi qua điểm A 1;0; 2 và cách điểm M 2;1;1 một khoảng lớn nhất? A. 1;3; 1 B. 0;2;1 C. 1;2; 1 D. 1;1; 1 Gợi ý: Chọn A  Vecto pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm là n AM 1;1; 3 . Do đó phương trình mặt phẳng cần tìm là 1 x 1 1 y 0 3 z 2 0 x y 3z 7 0 . Bài toán 2: Viết phương trình mặt phẳng đi qua một đường thẳng d và cách một điểm M d một khoảng lớn nhất. Gợi ý: 7
8. Gọi hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng cần tìm và d lần lượt là H, K . Ta có khoảng cách từ M đến mặt phẳng là đoạn MH MK . Vậy MH lớn nhất khi và chỉ khi H trùng K hay mặt phẳng thỏa mãn điều kiện bài toán phải chứa d và vuông góc với mặt phẳng chứa M và d .     Mặt phẳng cần tìm có vecto pháp tuyến là n u ; AM ,u . Trong đó A d và u là vecto d d d chỉ phương của d . x 1 y z 2 Ví dụ 2: Biết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d : và cách điểm 2 1 1 M 2;1;1 một khoảng lớn nhất là ax by cz d 0 . Giá trị của a b c d bằng A. 0 B. 10 C. 1 D. 2 Gợi ý: Chọn A      Ta có u 2;1; 1 , A 1;0; 2 d . Suy ra AM 1;1;3 . Vậy n u ; AM ,u 6;6;18 . d d d Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là x 1 y 3 z 2 0 x y 3z 5 0 . Ví dụ 3: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M 1; 2;1 , song song với đường thẳng x y 1 z d : và cách gốc tọa độ một khoảng lớn nhất. 2 2 1 A. 11x 16y 10z 11 0 B. 11x 16y 10z 33 0 C. 11x 16y 10z 53 0 D. 2x 2y z 1 0 Gợi ý: Chọn C.    n u ;OA ,u là vecto pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm. d d Phương trình mặt phẳng cần tìm là: 11x 16y 10z 53 0 . 8
9. Ví dụ 4: Điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng P đi qua gốc tọa độ, vuông góc với mặt phẳng 1 Q : 2x y z 1 0 và cách điểm M ;0;2 một khoảng lớn nhất. 2 A. 0;3; 1 B. 1;1;1 C. 1;2;1 D. 1;2;1 Gợi ý: Chọn A. Bản chất mặt phẳng cần tìm vẫn đi qua đường thẳng cố định qua O và vuông    góc với P . Nên mặt phẳng cần tìm có vecto pháp tuyến là n n ;OM ,n 3;3;9 . Q Q Phương trình mặt phẳng P là x y 3z 0 . Ví dụ 5: Số giá trị của a để khoảng cách từ điểm M 1;2; 2 đến mặt phẳng P : 1 a x 2 3a y az 1 a 0 lớn nhất. A. 1B. 2C.3D. 4 Gợi ý: Chọn A. Ta có thể áp dụng công thức tính khoảng cách trực tiếp hoặc theo cách sau đây. x 2y 1 0 Mặt phẳng đã cho chứa đường thẳng cố định là d : có vecto chỉ phương là x 3y z 1 0  ud 2; 1; 1 và đi qua điểm A 1;0;0 . Suy ra khoảng cách từ M đến mặt phẳng đã cho lớn     nhất khi và chỉ khi n u ; AM ,u . Từ đó tìm được a 2 . P d d Bài toán 3: Viết phương trình mặt phẳng P chứa đường thẳng d , tạo với đường thẳng d ' ( d ' không song song với d ) một góc lớn nhất. Gợi ý: 9
10. Lấy K là điểm thuộc d , vẽ đường thẳng Kt / /d ' . Lấy điểm M Kt ( M K ) và gọi H, I lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên P và d . MH MI Khi đó sin d '; P cos K· MH . KM KM Vậy góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng P lớn nhất khi và chỉ khi H  I , hay P là mặt  phẳng nhận IM làm vecto pháp tuyến, hay P là mặt phẳng chứa d và vuông góc với mặt phẳng chứa d và song song với d '. Vecto pháp tuyến của mặt phẳng P cần tìm là    n u ;u ;u . d d ' d x 1 y 1 z 2 Ví dụ 6: Viết phương trình mặt phẳng P chứa d : và tạo với đường thẳng 2 1 2 x 1 y z 1 d ': một góc lớn nhất. 1 2 1 A. x 4y z 7 0 B. 2x y z 0 C. x 4y z 3 0 D. 2x 2y z 0 Gợi ý: Chọn A.    Ta có P đi qua A 1; 1;2 và có vecto pháp tuyến n u ;u ;u 3;12; 3 . d d ' d Suy ra phương trình P là: x 1 4 y 1 z 2 0 x 4y z 7 0 . Ví dụ 7: Viết phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ và vuông góc với mặt phẳng P : 2x y z 0 và tạo với trục Oy một góc lớn nhất. A. 2x y 3z 0 B. x y 3z 0 C. 2x 5y z 0 D. x y z 0 Gợi ý: Chọn C. Bản chất bài toán vẫn không thay đổi, mặt phẳng cần tìm có vecto pháp tuyến là   n n ; j ;n 2;5;1 với j là vecto đơn vị của trục Oy ). P P Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là: 2x 5y z 0 . Ví dụ 8: Biết phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ, song song với đường thẳng x 1 y z 2 d : và tạo với mặt phẳng P : x 2y z 1 0 một góc nhỏ nhất là 2 1 3 ax by cz 0 . Giá trị của a b c là 10
11. A. 22 B. 12 C. 15 D. 17 Gợi ý: Chọn A. Bản chất bài toàn vẫn là tìm phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng a (qua O và song song với d ) và tạo với đường thẳng b vuông góc với mặt phẳng P một góc lớn nhất.    Vậy vecto pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm là: n u ;n ;u 12;27; 17 . d P d Nên phương trình mặt phẳng cần tìm là 12x 27y 17z 0 . Ví dụ 9: Cho mặt phẳng đi qua hai điểm A 1;2; 1 ; B 2;1;3 và tạo với trục Ox một góc lớn nhất có một vecto pháp tuyến là n a;1;c . Giá trị a c bằng A. 13 B. 12 C. 15 D. 14 Gợi ý: Chọn A. Mặt phẳng cần tìm đi qua hai điểm A, B cũng là mặt phẳng chứa đường thẳng AB cố định cho trước.   Vậy vecto pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm là n AB;i ; AB 17;1; 4 với i là vecto đơn vị của trục Ox . Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng Bài toán 4: Viết phương trình đường thẳng d đi qua một điểm A cho trước và nằm trong mặt phẳng P cho trước và cách một điểm M cho trước một khoảng nhỏ nhất ( AM không vuông góc với P ). Gợi ý: 11
12. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên P và d . Dễ thấy d M ;d MK MH . Khoảng cách này nhỏ nhất khi và chỉ khi H  K . Hay d là đường thẳng đi qua A và hình chiếu H của M trên P .     Vecto chỉ phương của đường thẳng d cần tìm là u n , AM ;n . d P P Ví dụ 10: Cho đường thẳng d đi qua gốc tọa độ O , nằm trong mặt phẳng P : 2x y z 0 và  cách điểm M 1;2;1 một khoảng nhỏ nhất. Biết ud a;b;5 là một vecto chỉ phương của d . Giá trị 2a b bằng A. 21 B. 12 C. 5 D. 3 Gợi ý: Chọn C.     Ta có vecto chỉ phương của đường thẳng cần tìm là u n ,OM ;n 4;13;5 . d P P x y z Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là . 4 13 5 Ví dụ 11: Cho đường thẳng d đi qua điểm A 1;2;3 , vuông góc với đường thẳng x 1 y z 3  : và cách gốc tọa độ O một khoảng nhỏ nhất. Biết u 1;b;c là một vecto 2 2 4 d chỉ phương của d . Giá trị của b c bằng A. 0 B. 1 C. 1 D. 2 Gợi ý: Chọn C. Bản chất d vẫn là đường thẳng đi qua A và nằm trong mặt phẳng cố định (qua A và vuông góc     với ). Nên vecto chỉ phương vẫn là u u ,OA ;u 3;3;0 . d Ví dụ 12: Cho đường thẳng d đi qua O và song song với mặt phẳng P : 2x y z 1 0 và  cách điểm M 1; 1;2 một khoảng nhỏ nhất. Biết ud 1;b;c là một vecto chỉ phương của d . Giá trị của b c bằng 9 A. 0 B. C. 1 D. 2 2 Gợi ý: Chọn D. Bản chất d vẫn là đường thẳng đi qua O và nằm trong mặt phẳng cố định (qua O và song song     với P ). Nên vecto chỉ phương vẫn là: u n ,OM ;n 4; 5;13 . d P P 12
13. Ví dụ 13: Cho cặp số nguyên dương a;b thỏa mãn khoảng cách từ O đến đường thẳng x 1 a at d : y 2 b bt a 0 là nhỏ nhất. Giá trị của a 2b bằng z 1 2a b 2a b t A. 0 B. 30 C. 19 D. 20 Gợi ý: Chọn B.  Đường thẳng d đã cho đi qua điểm cố định A 1;2;1 và do ud a;b;2a b vuông góc với n 2; 1; 1 nên d nằm trong mặt phẳng P qua A và có vecto pháp tuyến n .   Vậy vecto chỉ phương của đường thẳng cần tìm là u n,OA ;n 8; 11; 5 . Suy ra d a b 2a b . Vậy a 8;b 11. 8 11 5 Bài toán 5: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A cho trước, nằm trong mặt phẳng P và cách điểm M ( M khác A , MA không vuông góc với P ) một khoảng lớn nhất. Gợi ý: Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên P và d . Khi đó ta thấy d M ;d MK MA . Khoảng cách d M ;d lớn nhất khi và chỉ khi K  A , hay d là đường thẳng nằm trong P , đi qua A và vuông góc với AM . Đường thẳng d cần tìm có vecto chỉ    phương là u n , AM . d P 13
14. Ví dụ 14: Cho đường thẳng d đi qua điểm A 1;1; 1 cho trước, nằm trong mặt phẳng P : 2x y z 0 và cách điểm M 0;2;1 một khoảng lớn nhất. Điểm nào sau đây thuộc đường thẳng d ? A. 0; 2;0 B. 2;4;0 C. 3;4; 2 D. 4;1; 3 Lời giải: Chọn A.    Ta có vecto chỉ phương đường thẳng d cần tìm là u n , AM 1;3; 1 . d P x 1 y 1 z 1 Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là . 1 3 1 Ví dụ 15: Cho đường thẳng d đi qua gốc tọa độ O , vuông góc với đường thẳng x 1 y z  d : và cách điểm M 2;1;1 một khoảng lớn nhất. Biết u a;b;1 là một vecto 1 2 1 2 d chỉ phương của d . Giá trị của 2a b bằng 5 A. 0 B. C. 1 D. 2 4 Gợi ý: Chọn C.    Vecto chỉ phương của đường thẳng cần tìm là u u ,OM 1;6; 4 . d d1 Ví dụ 16: Cho đường thẳng d đi qua điểm A 1;0;2 , song song với mặt phẳng P : 2x y z 1 0 và cách gốc tọa độ O một khoảng lớn nhất. Điểm nào sau đây thuộc đường thẳng d ? A. 3;3;1 B. 2;4;0 C. 3;4; 2 D. 4;1; 3 Gợi ý: Chọn A.    Vecto chỉ phương của đường thẳng cần tìm là u n ,OA 2; 3;1 . d P x 1 y z 2 Phương trình đường thẳng d là . 2 3 1 x 1 2a at Ví dụ 17: Cho a thỏa mãn đường thẳng d : y 2 2a 1 a t (t là tham số) cách điểm z 1 t 1 m M ;1;4 một khoảng lớn nhất. Biết a m,n ¢ ;n 0 là một phân số tối giản. Giá trị 2 n 2m n bằng 14
15. A. 0B. 11 C. 1 D. 5 Gợi ý: Chọn D. Dựa vào phương trình tham số của đường thẳng d đã cho ta thấy d đi qua điểm cố định  A 1;0;3 (ứng với t 2) và vuông góc với đường thẳng có vecto chỉ phương u1 1;1; 1 . Do đó khi khoảng cách từ M đến d lớn nhất thì vecto chỉ phương của nó là    1 3 a 1 a 1 4 ud u1, AM 2; ; . Vậy ta có a . 2 2 2 1 3 3 2 2 Bài toán 6: Cho mặt phẳng P và điểm A thuộc P và đường thẳng d ( d cắt P và d không vuông góc với P ). Viết phương trình đường thẳng d ' đi qua A , nằm trong P và tạo với d một góc nhỏ nhất. Gợi ý: Từ A vẽ đường thẳng At / /d . Lấy M At M A và gọi H, I lần lượt là hình chiếu vuông MI MH góc của M trên P và d '. Ta có sin d;d ' sin M· AI . AM MA Vậy góc d;d ' bé nhất khi và chỉ khi I  H hoặc d ' đi qua A và H , hay d ' đi qua A và song song với hình chiếu vuông góc của d trên P . Vecto chỉ phương của đường thẳng d ' cần tìm là     u n ; n ;u . d ' P P d 15
16. Ví dụ 18: Cho đường thẳng d ' đi qua gốc tọa độ O , nằm trong mặt phẳng P : 2x y z 0 và x y 1 z 1 tạo với đường thẳng d : một góc nhỏ nhất. Điểm nào sau đây thuộc d '? 2 1 2 A. 10; 7;13 B. 2;4;0 C. 5;4; 2 D. 11; 2;8 Gợi ý: Chọn A.     Vecto chỉ phương của đường thẳng d ' cần tìm là u n ; n ;u 10;7; 13 . d ' P P d x y z Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là . 10 7 13 Ví dụ 19: Cho đường thẳng đi qua gốc tọa độ O , vuông góc với đường thẳng x 1 y 1 z 1 d : và tạo với mặt phẳng P : x y 2z 1 0 một góc lớn nhất. Biết 2 2 1  u 1;b;c là một vecto chỉ phương của d . Giá trị của b c bằng 3 A. 0 B. C. 1 D. 3 5 Gợi ý: Chọn B. Bản chất vẫn là bài toán 6 với vecto chỉ phương của đường thẳng cần tìm là    u u ;n ;u 5; 13;16 . d P d x y 1 z Ví dụ 20: Cho đường thẳng đi qua gốc tọa độ O , cắt đường thẳng d : và tạo với 1 2 3  trục Oy một góc nhỏ nhất. Biết u a;1;c là một vecto chỉ phương của d . Giá trị của a c bằng 3 A. 0 B. C. 1 D. 3 5 Gợi ý: Chọn A. Bản chất đường thẳng cần tìm đi qua O và nằm trong mặt phẳng O;d . Do đó vecto chỉ   phương của đường thẳng cần tìm là u n ; j ;n với j là vecto đơn vị của trục Oy . O;d O;d Bài toán 7: Cho mặt phẳng P và điểm A thuộc P , đường thẳng d cắt P tại điểm M khác A . Viết phương trình đường thẳng d ' nằm trong P , đi qua A và khoảng cách giữa d và d ' lớn nhất. 16
17. Gợi ý: Gọi Q là mặt phẳng chứa d và song song với d '. Khi đó d d;d ' d Q ;d ' d A; Q . Theo bài toán 2 , khoảng cách này lớn nhất khi và chỉ khi        n u ; u ; AB , B d . Khi đó do d '/ / Q và d '  P nên u n ;n . Q d d d ' Q P      Vecto chỉ phương của đường thẳng d ' cần tìm là u n ; u ; u ; AB , B d . d ' P d d x 1 y z Ví dụ 21: Cho mặt phẳng P : 2x y z 3 0, A 0;2;1 và đường thẳng d ': . 1 2 1 Biết đường thẳng d đi qua điểm A , nằm trong P và khoảng cách giữa d và d ' lớn nhất. Điểm nào sau đây thuộc đường thẳng d ? A. 1;5; 8 B. 2;4;0 C. 5;4; 2 D. 11; 2;8 Gợi ý: Chọn A. Gọi Q là mặt phẳng chứa d ' và cách A một khoảng lớn nhất. Khi đó ta có B 1;0;0 d ',     n u ; u ; AB 10;4;2 , vecto chỉ phương của đường thẳng d cần tìm là Q d ' d '    x y 2 z 1 u n ;n 2;14; 18 . Phương trình đường thẳng d là: . d Q P 1 7 9 Bài toán 8: Cho mặt phẳng P và đường thẳng d song song với mặt phẳng P . Viết phương trình đường thẳng d ' song song với d và cách d một khoảng nhỏ nhất. Gợi ý: Gọi A là điểm thuộc d , A' là hình chiếu của A trên P . Khi đó đường thẳng d ' cần tìm đi qua A' và song song với d . Ví dụ 22: Cho mặt phẳng P : 2x y z 1 0. Cho đường thẳng d nằm trong mặt phẳng P , song song với mặt phẳng Q : x 2y z 2 0 và cách gốc tọa độ O một khoảng nhỏ nhất.  Biết ud a;1;c là một vecto chỉ phương của d . Giá trị của a c bằng A. 0B. 1 C. 1 D. 2 Gợi ý: Chọn D. Đường thẳng d cần tìm đi qua hình chiếu O ' của O trên mặt phẳng P và có vecto chỉ    phương u n ;n 1; 1; 3 . d P Q Bài toán 9: Các bài toán đòi hỏi chúng ta cần có trực giác hình học để giải nhanh. 17
18. x 1 y z 1 Ví dụ 23: Cho đường thẳng d : . Viết phương trình đường thẳng d ' song song 2 1 2 với d , cách d một khoảng bằng 3 và cách điểm K 3;4;3 một khoảng lớn nhất, nhỏ nhất. Gợi ý: Giả sử mặt phẳng P qua K và vuông góc với d cắt d tại I , cắt d ' tại M . Khi đó ta có IM 3, trong mặt phẳng P : ta cần tìm M thuộc đường trong tâm I , bán kính R 3 cách K một khoảng lớn nhất.   Gọi I 1 2t;t;1 2t . Suy ra KI 4 2t;t 4;1 2t . Mà ud 2;1;2 .   Khi đó KI.ud 0 t 0 . Vậy I 1;0;1 và IK 6 3. Dễ thấy KM nhỏ nhất khi M trùng E , KM lớn nhất khi M trùng F .  1  Để tìm E x; y; z ta dùng hệ thức IE IK . Suy ra E 1;2;2 . 2 x 1 y 2 z 2 Vậy phương trình đường thẳng d ' cách K một khoảng nhỏ nhất là . 2 1 2 x 3 y 2 z Tương tự phương trình đường thẳng d ' cách K một khoảng lớn nhất là . 2 1 2 x 3 y 3 z 3 Ví dụ 24: Cho đường thẳng d : . Viết phương trình đường thẳng d ' song 2 1 1 x 2 y x 1 song với d , cách d một khoảng bằng 3 và cách đường thẳng : một 1 2 1 khoảng nhỏ nhất (lớn nhất). Lời giải: Đường thẳng d ' cần tìm là một đường sinh của mặt trụ tròn xoay có trục là d , bán kính R 3 . Gọi P là mặt phẳng chứa và song song với d . Dễ dàng thấy ngay, d ' là giao mặt trụ trên với mặt phẳng Q chứa d và vuông góc với P (trong trường hợp P không cắt 18
19.    mặt trụ). Mặt phẳng P có vecto pháp tuyến là n u ;u 3;3;3 . Phương trình mặt P d phẳng P : x y z 3 0 . Lấy I 3;3;3 d , hình chiếu của I trên P là H 1;1;1 , IH 2 3 . Gọi M x; y; z là giao điểm của IH với mặt trụ (gần P ) nhất. Ta có  1  IM IH M 2;2;2 . 2 x 2 y 2 z 2 Vậy phương trình đường thẳng d cần tìm đi qua M là . 2 1 1 x 2 t Ví dụ 25: Cho đường thẳng d : y 3 2t . Viết phương trình P song song với d , cách d một z 2 t khoảng bằng 2 2 và cách M 0;1;2 một khoảng nhỏ nhất (lớn nhất). Lời giải: Gọi Q là mặt phẳng đi qua M và vuông góc với d tại I . Giả sử đường thẳng qua M vuông góc với P cắt P tại A . Gọi B là hình chiếu của I trên P . Ta thấy các điểm I, M , B, A thuộc mặt phẳng Q và IB d d; P 2 2 , d M ; P MA . Ta tìm được I 1;1;1 và IM 2 2 2 . Trong mặt phẳng Q đường tròn tâm I , bán kính R 2 2 cắt đường IM tại E và F ( M nằm giữa I, E ). Dễ thấy MA MI IE IB MA IB MI , MA nhỏ nhất khi và chỉ khi A  B  E .   Để tìm E ta sử dụng hệ thức IE 2IM . Suy ra E 1;1;3 .   Mặt phẳng P đi qua điểm E và có vecto pháp tuyến n u ; IM 2; 2;2 nên có phương d trình là 2 x 1 2 y 1 2 z 3 0 x y z 1 0 . 19
20. Trường hợp khoảng cách từ M đến P lớn nhất xảy ra khi mặt phẳng P đi qua điểm F và có vecto pháp tuyến như trên. Nhận xét: Nếu IM 2 2 thì khoảng cách từ M đến P lớn nhất khi và chỉ khi P đi qua M và khoảng cách lớn nhất khi P đi qua điểm F . Dạng 3. Tìm tọa độ điểm Bài toán 10. Cho mặt phẳng (P) và hai điểm phân biệt A, B.(với d(A, (P)) d(B, (P)). ) Tìm điểm M thuộc (P) sao cho: 1. MA MB nhỏ nhất. 2. | MA MB | lớn nhất Phương pháp giải. 1. Ta xét các trường hợp sau - TH 1: Nếu A và B nằm về hai phía so với (P) . Khi đó: AM BM AB Đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của AB với (P) . - TH 2: Nếu A và B nằm cùng một phía so với (P) . Gọi A đối xứng với A qua (P) . Khi đó: AM BM A M BM A B Đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của A B với (P) . 2. Ta xét các trường hợp sau 20
21. - TH 1: Nếu A và B nằm cùng một phía so với (P) . Khi đó: | AM BM | AB Đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của AB với (P) . - TH 2: Nếu A và B nằm khác phía so với (P) . Gọi A' đối xứng với A qua P . Khi đó: | AM BM | A M BM A B Đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của A B với (P) . Ví dụ 26: Trong mặt phẳng Oxyz , cho mặt phẳng P : x y 2z 1 0 và hai điểm A 4; 1;2 , B 2;11; 1 . Tìm điểm M thuộc mặt phẳng P sao cho MA MB nhỏ nhất. A. M 2;3;1 .B. M 1;2;1 . C. M 1;4;2 .D. M 3;4;1 . Lời giải Chọn A Xét: xA yA 2zA 1 8 0; xB yB 2zB 1 16 0 nên A, B khác phía so với P . Theo bài toán 1 thì MA MB nhỏ nhất khi M là giao điểm của AB và mp P .  Đường thẳng AB đi qua A và nhận AB 2; 4;1 làm vtcp nên có phương trình: x 4 2t y 1 4t . z 2 t Gọi điểm M 4 2t; 1 4t;2 t AB . Vì M P nên suy ra 4 2t 1 4t 2 2 t 1 0 t 1 Vậy M 2;3;1 . Ví dụ 27: Trong mặt phẳng Oxyz , cho mặt phẳng P : x 2y z 5 0 và hai điểm A 4;8; 3 , B 13;5; 18 . Tìm điểm M thuộc mặt phẳng P sao cho MA MB nhỏ nhất. A. M 3;1;0 .B. M 3; 1; 4 . C. M 1;2;0 .D. M 2;2;1 . Lời giải Chọn B Xét: xA 2yA zA 5 18 0; xB 2yB zB 5 30 0 nên A, B cùng phía so với P . Theo bài toán 1 thì MA MB nhỏ nhất khi M là giao điểm của A' B và mp P trong đó A' đối xứng với A qua mp P . 21
22.   Ta có: AA' đi qua A 4;8; 3 và có vtcp là uA' A n P 1;2; 1 nên có phương trình là: x 4 t y 8 2t . z 3 t Gọi H 4 t;8 2t; 3 t là trung điểm của AA'. Vì H P suy ra 4 t 2 8 2t 3 t 5 0 t 3 H 1;2;0 . Suy ra điểm A' 2; 4;3 .  Đường thẳng A' B đi qua A' và nhận A' B 15;9; 21 làm vtcp nên có phương trình: x 2 5t y 4 3t . z 3 7t Gọi điểm M 2 5m; 4 3m;3 7m A' B . Vì M P nên suy ra 2 5m 2 4 3m 3 7m 5 0 m 1 Vậy M 3; 1; 4 . Ví dụ 28: Trong mặt phẳng Oxyz , cho hai điểm A 3;2;1 , B 1;4; 3 . Tìm điểm M thuộc mặt phẳng Oxy sao cho MA MB lớn nhất. A. M 5; 1;0 B. M 5;1;0 . C. M 5; 1;0 .D. M 5;1;0 Lời giải Chọn B. Phương trình mặt phẳng Oxy : z 0 . Xét zA.zB 0 nên A, B nằm khác phía so với Oxy . Gọi A' đối xứng với A qua Oxy suy ra A' 3;2; 1 . Ta có: MA MB MA' MB A' B . Đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của đường thẳng A' B với mặt phẳng Oxy .  Đường thẳng A' B đi qua A' 3;2; 1 và nhận A' B 4;2; 2 làm vtcp nên có phương trình: x 3 2t y 2 t . z 1 t 22