Ôn tập TN THPT môn Toán - Chuyên đề: Bài toán tổng hợp về khối tròn xoay (Mức độ vận dụng)

Nội dung tài liệu: Ôn tập TN THPT môn Toán - Chuyên đề: Bài toán tổng hợp về khối tròn xoay (Mức độ vận dụng)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CHUYÊN ĐỀ ÔN TẬP BẮC NINH KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 ¯¯¯¯¯¯¯¯¯ Môn: Toán ¯¯¯¯¯¯¯¯ TÊN CHUYÊN ĐỀ: BÀI TOÁN TỔNG HỢP VỀ KHỐI TRÒN XOAY MỨC ĐỘ VẬN DỤNG Người biên soạn: Nguyễn Thị Trà My Đơn vị công tác: Trường THPT Quế Võ số 1 I. HỆ THỐNG KIẾN THỨC LIÊN QUAN 1. MẶT NÓN TRÒN XOAY VÀ KHỐI NÓN 1.1. Mặt nón tròn xoay Nội dung Hình vẽ Đường thẳng d , cắt nhau tại O và tạo thành góc  với 00  900 , mp P chứa d , D. P quay quanh trục với góc  không đổi mặt nón tròn xoay đỉnh O. • gọi là trục. • đượcd gọi là đường sinh. • Góc 2 gọi là góc ở đỉnh. 1.2. Khối nón Nội dung Hình vẽ Là phần không gian được giới hạn bởi một hình O nón tròn xoay kể cả hình nón đó. Những điểm không thuộc khối nón gọi là những điểm ngoài của khối nón. Những điểm thuộc khối nón nhưng không thuộc h hình nón tương ứng gọi là những điểm trong của khối l nón. Đỉnh, mặt đáy, đường sinh của một hình nón cũng là đỉnh, mặt đáy, đường sinh của khối nón I tương ứng. r M Cho hình nón có chiều cao h, đường sinh l và bán kính đáy.r • Diện tích xung quanh: của hình nón: Sxq rl . • Diện tích đáy (hình tròn): S r 2 . đáy 2 • Diện tích toàn phần: của hình nón: Stp rl r . 1 • Thể tích khối nón: V r 2h . 3 1.3. Thiết diện khi cắt bởi mặt phẳng Điều kiện Kết quả Cắt mặt nón tròn xoay bởi mp (Q) đi qua đỉnh của mặt nón. 1
2. • cắtm pmặt(Q )nón theo 2 đường sinh. • Thiết diện là tam giác cân. • mp(Q) tiếp xúc với mặt nón theo một đường • (Q) là mặt phẳng tiếp diện của hình sinh. nón. Cắt mặt nón tròn xoay bởi mp (Q) không đi qua đỉnh của mặt nón. • mp(Q) vuông góc với trục hình nón. • Giao tuyến là 1 đường tròn. • mp(Q) song song với 2 đường sinh hình • Giao tuyến là 2 nhánh của 1 hypebol. nón. • Giao tuyến là một parabol. • mp(Q) song song với 1 đường sinh hình nón. 2. MẶT TRỤ TRÒN XOAY 2.1. Mặt trụ Nội dung Hình vẽ Trong mặt phẳng P cho hai đường thẳng và l song song với nhau, cách nhau một khoảng bằng r r . Khi quay mặt phẳng P xung quanh thì đường thẳng l sinh ra một mặt tròn xoay được gọi là mặt trụ l tròn xoay, gọi tắt là mặt trụ. • Đường thẳng gọi là trục. r • Đường thẳng l là đường sinh. • r là bán kính của mặt trụ đó. 2.2. Hình trụ tròn xoay và khối trụ tròn xoay Nội dung Hình vẽ Ta xét hình chữ nhật ABCD . Khi quay hình chữ A r nhật ABCD xung quanh đường thẳng chứa một cạnh D nào đó, chẳng hạn cạnh AB thì đường gấp khúc h l ADCB sẽ tạo thành một hình gọi là hình trụ tròn r B xoay, hay gọi tắt là hình trụ. C • Khi quay quanh AB, hai cạnh AD và BC sẽ vạch ra hai hình tròn bằng nhau gọi là hai đáy của hình trụ, bán kính của chúng gọi là bán kính của hình trụ. • Độ dài đoạn CD gọi là độ dài đường sinh của hình trụ. • Phần mặt tròn xoay được sinh ra bởi các điểm trên cạnh CD khi quay xung quanh AB gọi là mặt xung quanh của hình trụ. • Khoảng cách AB giữa hai mặt phẳng song song chứa hai đáy là chiều cao của hình trụ. Khối trụ tròn xoay hay khối trụ là phần không gian được giới hạn bởi một hình trụ tròn xoay kể cả hình trụ tròn xoay đó. Những điểm không thuộc khối trụ gọi là những điểm ngoài của khối trụ. Những điểm thuộc khối trụ nhưng không thuộc hình trụ tương ứng gọi là những điểm trong của khối trụ. Mặt đáy, chiều cao, đường sinh, bán kính của một hình trụ cũng là mặt đáy, chiều cao, đường sinh, bán kính của khối trụ tương ứng.Hình trụ có chiều cao h, đường sinh l và bán kính đáy r . • Diện tích xung quanh: Sxq 2 rl . 2 • Diện tích toàn phần: Stp 2 rl 2 r . 2
3. • Thể tích: V r 2h . 3. MẶT CẦU – KHỐI CẦU 3.1. Mặt cầu Nội dung Hình vẽ Cho điểm I cố định và một số thực dương R . Tập hợp tất cả những điểm M trong không gian cách I một khoảng R được gọi là mặt cầu tâm I, bán kính R. I R Kí hiệu: S I ;R . Khi đó: A B S I ;R M IM R 3.2. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng Cho mặt cầu S I ;R và mặt phẳng P . Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên P d IH là khoảng cách từ I đến mặt phẳng P . Khi đó: d R d R d R Mặt cầu và mặt phẳng Mặt phẳng tiếp xúc mặt Mặt phẳng cắt mặt cầu theo thiết diện không có điểm chung. cầu: P là mặt phẳng tiếp là đường tròn có tâm I và bán kính 2 2 diện của mặt cầu và H : tiếp r R IH điểm. M1 R I I I R d R I' M2 r P H H P P Lưu ý: Khi mặt phẳng P đi qua tâm I của mặt cầu thì mặt phẳng P được gọi là mặt phẳng kính và thiết diện lúc đó được gọi là đường tròn lớn. 3.3. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng Cho mặt cầu S I ;R và đường thẳng . Gọi H là hình chiếu của I lên . Khi đó: IH R IH R IH R không cắt mặt cầu. tiếp xúc với mặt cầu. cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt. : Tiếp tuyến của S H : tiếp điểm. 3
4. H H I R R Δ R H I I B A Lưu ý: Trong trường hợp cắt S tại 2 điểm A, B thì bán kính R của S được tính như sau: d I ; IH 2 . 2 2 2 AB R IH AH IH 2 3.4. Đường kinh tuyến và vĩ tuyến của mặt cầu Nội dung Hình vẽ vó tuyeán Giao tuyến của mặt cầu với nửa mặt phẳng có bờ A là trục của mặt cầu được gọi là kinh tuyến. Giao tuyến (nếu có) của mặt cầu với các mặt phẳng vuông góc với trục được gọi là vĩ tuyến của O mặt cầu. Hai giao điểm của mặt cầu với trục được gọi là hai cực của mặt cầu kinh tuyeán B * Mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp hình đa diện: Nội dung Hình vẽ Mặt cầu nội tiếp hình đa diện nếu mặt cầu đó tiếp xúc với tất cả các mặt của hình đa diện. Còn nói hình đa diện ngoại tiếp mặt cầu. Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện nếu tất cả các đỉnh S của hình đa diện đều nằm trên mặt cầu. Còn nói hình đa diện nội tiếp mặt cầu. Mặt cầu tâm O bán kính r ngoại tiếp hình chóp O S.ABCD khi và chỉ khi A B OA OB OC OD OS r D C Cho mặt cầu S I ;R • Diện tích mặt cầu: S 4 R2 . 4 • Thể tích khối cầu: V R3 . 3 4
5. 4. MỘT SỐ DẠNG TOÁN VÀ CÔNG THỨC GIẢI 4.1. Bài toán mặt nón 4.1.1.Dạng 1. Thiết diện của hình nón cắt bởi một mặt phẳng Nội dung Hình vẽ Thiết diện qua trục của hình nón là tam giác cân. S A I B Thiết diện qua đỉnh của hình nón là những tam S giác cân có hai cạnh bên là hai đường sinh của hình nón. A I B Thiết diện vuông góc với trục của hình nón là S những đường tròn có tâm nằm trên trục của hình nón. A I B 4.1.2. Dạng 2. Bài toán liên quan đến thiết diện qua đỉnh của hình nón Cho hình nón có chiều cao là h , bán kính đáy r và đường sinh l . Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là d. Nội dung Hình vẽ Gọi M là trung điểm của AC. Khi đó: S • AC  SMI • Góc giữa SAC và ABC là góc S·MI . • Góc giữa SAC và SI là góc M· SI . • d I , SAC IH d. Diện tích thiết diện 1 1 2 2 2 2 H Std S SAC SM.AC SI IM .2 AI IM I 2 2 A h2d2 h2d2 B r 2 . h2 2 2 2 2 M h d h d C 4.1.3. Dạng 3. Bài toán hình nón ngoại tiếp và nội tiếp hình chóp Nội dung Hình vẽ Hình nón nội tiếp hình chóp S.ABCD đều là Hình chóp tứ giác đều S.ABCD hình nón có đỉnh là S , đáy là đường tròn nội tiếp S hình vuông ABCD . Khi đó hình nón có: AB A D • Bán kính đáy r IM , I 2 M B C 5
6. • Đường cao h SI , đường sinh l SM . Hình nón ngoại tiếp hình chóp S.ABCD đều là Hình chóp tứ giác đều S.ABCD hình nón có đỉnh là S , đáy là đường tròn ngoại tiếp S hình vuông ABCD . Khi đó hình nón có: A D AC AB 2 • Bán kính đáy: r IA . I 2 2 B C • Chiều cao: h SI . • Đường sinh: l SA. Hình nón nội tiếp hình chóp S.ABC đều là hình Hình chóp tam giác đều S.ABC nón có đỉnh là S , đáy là đường tròn nội tiếp tam giác S ABC. Khi đó hình nón có AM AB 3 • Bán kính đáy: r IM . 3 6 A C • Chiều cao: h SI . I • Đường sinh: l SM . M B Hình nón ngoại tiếp hình chóp S.ABC đều là Hình chóp tam giác đều S.ABC hình nón có đỉnh là S , đáy là đường tròn ngoại tiếp S tam giác ABC. Khi đó hình nón có: 2AM AB 3 • Bán kính đáy: r IA . 3 3 C • Chiều cao: h SI . A I M Đường sinh: l SA. B 4.1.4. Dạng 4. Bài toán hình nón cụt Khi cắt hình nón bởi một mặt phẳng song song với đáy thì phần mặt phẳng nằm trong hình nón là một hình tròn. Phần hình nón nằm giữa hai mặt phẳng nói trên được gọi là hình nón cụt. Nội dung Hình vẽ Khi cắt hình nón cụt bởi một mặt phẳng song song với đáy thì được mặt cắt là một hình tròn. Khi cắt hình nón cụt bởi một mặt phẳng song song với trục thì được mặt cắt là một hình thang cân. 6
7. Cho hình nón cụt có R, r, h lần lượt là bán kính r đáy lớn, bán kính đáy nhỏ và chiều cao. Diện tích xung quanh của hình nón cụt: h Sxq l R r . R Diện tích đáy (hình tròn): 2 S áy1 r 2 2 đ S r R . S R2  đáy đáy2 Diện tích toàn phần của hình nón cụt: 2 2 Stp l R r r R . Thể tích khối nón cụt: 1 V h R2 r 2 Rr . 3 4.1.5. Dạng 5. Bài toán hình nón tạo bởi phần còn lại của hình tròn sau khi cắt bỏ đi hình quạt Nội dung Hình vẽ Từ hình tròn O;R cắt bỏ đi hình quạt AmB. Độ dài cung ¼AnB bằng x. Phần còn lại của hình tròn ghép lại được một hình nón. Tìm bán kính, chiều cao và độ dài đường sinh của hình nón đó. Hình nón được tạo thành có l R 2 2 r x r . x h l 2 r 2 4.2. Một số dạng toán và công thức giải bài toán mặt trụ 4.2.1. Dạng 1. Thiết diện của hình trụ cắt bởi một mặt phẳng Nội dung Hình vẽ O Thiết diện vuông góc trục là một đường tròn bán A M B kính R . G Thiết diện chứa trục là một hình chữ nhật ABCD trong đó AB 2R và AD h . Nếu thiết C diện qua trục là một hình vuông thì h 2R . D H Thiết diện song song với trục và không chứa trục là hình chữ nhật BGHC có khoảng cách tới trục là: d OO '; BGHC OM 4.2.2. Dạng 2. Thể tích khối tứ diện có 2 cạnh là đường kính 2 đáy Nội dung Hình vẽ 7
8. Nếu như AB và CD là hai đường kính bất kỳ A O B trên hai đáy của hình trụ thì: 1 V AB.CD.OO '.sin AB,CD ABCD 6 * Đặc biệt: C Nếu AB và CD vuông góc nhau thì: 1 O' V AB.CD.OO ' . ABCD 6 D 4.2.3. Dạng 3. Xác định góc khoảng cách Nội dung Hình vẽ AB OO ' A Góc giữa và trục : O O O B A A (·AB,OO ')= ·A' AB I O' O' O' B D B M A ' A ' C Khoảng cách giữa AB và trục OO ' : A O O O B A A d AB;OO ' OM . I O' O' O' B D B M A ' A ' C ABCD A Nếu là một hình vuông nộiO tiếp trong O O B hình trụ thì đường chéo của hình vuôngA cũng bằng A đường chéo của hình trụ. I Nghĩa là cạnh hình vuông: O' O' O' 2 2 B D AB 2 4R h . B M A ' A ' C 4.2.4. Dạng 4. Xác định mối liên hệ giữa diện tích xung quanh, toàn phần và thể tích khối trụ trong bài toán tối ưu Nội dung Hình vẽ Một khối trụ có thể tích V không đổi. • Tìm bán kính đáy và chiều cao hình trụ để diện tích toàn phần nhỏ nhất: r V 3 R l 4 S min tp V h 23 4 r • Tìm bán kính đáy và chiều cao hình trụ để diện tích xung quanh cộng với diện tích 1 đáy và nhỏ nhất: V R 3 S min V h 3 4.2.5. Dạng 5. Hình trụ ngoại tiếp, nội tiếp một hình lăng trụ đứng 8
9. Cho hình lăng trụ tam giác đêu nội tiếp trong một hình trụ. Thể tích khối lăng trụ là V thì thể tích khối 4 V trụ là V (T) 9 Cho hình lăng trụ tứ giác đêu ABCD.A 'B 'C 'D ' ngoại tiếp trong một hình trụ. Diện tích xung quanh 2S hình trụ là S thì diện tích xung quanh của hình lăng trụ là S xq xq 5. MỘT SỐ DẠNG TOÁN VÀ CÔNG THỨC GIẢI BÀI TOÁN MẶT CẦU 5.1. Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện 5.1.1. Các khái niệm cơ bản Trục của đa giác đáy: là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp của đa giác đáy và vuông góc với mặt phẳng chứa đa giác đáy Bất kì một điểm nào nằm trên trục của đa giác thì cách đều các đỉnh của đa giác đó. Đường trung trực của đoạn thẳng: là đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng đó. Bất kì một điểm nào nằm trên đường trung trực thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng. Mặt trung trực của đoạn thẳng: là mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng đó. Bất kì một điểm nào nằm trên mặt trung trực thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng. 5.1.2. Tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp: là điểm cách đều các đỉnh của hình chóp. Hay nói cách khác, nó chính là giao điểm I của trục đường tròn ngoại tiếp mặt phẳng đáy và mặt phẳng trung trực của một cạnh bên hình chóp. Bán kính: là khoảng cách từ I đến các đỉnh của hình chóp. 5.1.3. Cách xác định tâm và bán kính mặt cầu của một số hình đa diện 5.1.3.1. Hình hộp chữ nhật, hình lập phương Nội dung Hình vẽ Tâm: trùng với tâm đối xứng của hình hộp chữ nhật (hình lập phương) Tâm là I , là trung điểm của AC ' . Bán kính: bằng nửa độ dài đường chéo hình hộp chữ nhật (hình lập phương). AC ' Bán kính: R . 2 5.1.3.2. Hình lăng trụ đứng có đáy nội tiếp đường tròn Nội dung Hình vẽ ' ' ' ' Xét hình lăng trụ đứng A1A2A3 An .A1A2A3 An , A A A A ' ' ' ' trong đó có 2 đáy 1 2 3 nvàA1A2A3 An nội tiếp đường tròn O và O ' . Lúc đó, mặt cầu nội tiếp hình lăng trụ đứng có: • Tâm: I với I là trung điểm của OO ' . • Bán kính: R IA IA IA' . 1 2 n 5.1.3.3. Hình chóp có các đỉnh nhìn đoạn thẳng nối 2 đỉnh còn lại dưới 1 góc vuông 9
10. Nội dung Hình vẽ Hình chóp S.ABC có S·AC = S·BC = 900 . • Tâm: I là trung điểm của.SC SC • Bán kính: R IA IB IC . 2 Hình chóp S.ABCD có S·AC = S·BC = S·DC = 900 . • Tâm: I là trung điểm của SC . SC • Bán kính: R IA IB IC ID . 2 5.1.3.4. Hình chóp đều Nội dung Hình vẽ Cho hình chóp đềuS.ABC • Gọi O là tâm của đáy SO là trục của đáy. • Trong mặt phẳng xác định bởi SO và một cạnh bên, chẳng hạn như mp SAO , ta vẽ đường trung trực của cạnh SA là cắt SA tại M và cắt SO tại I I là tâm của mặt cầu. Bán kính: SM SI Ta có: SMI ∽ SOA Bán kính: SO SA SM.SA SA2 R IS IA IB IC SO 2SO 5.1.3.5. Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy Nội dung Hình vẽ Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA ^ (ABC ) và đáy ABC nội tiếp được trong đường tròn tâm O . Tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC được xác định như sau: • Từ tâm O ngoại tiếp của đường trònđáy, ta vẽ đường thẳng d vuông góc với mp ABC tại O . • Trong mp d,SA , ta dựng đường trung trực của cạnh SA , cắtSA tại M , cắt dtại I I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và bán kính R IA IB IC IS • Tìm bán kính Ta có: MIOB là hình chữ nhật. 10
11. Xét MAI vuông tại M có: 2 2 2 2 SA R AI MI MA AO . 2 5.1.3.6. Hình chóp khác - Dựng trục của đáy. - Dựng mặt phẳng trung trực của một cạnh bên bất kì. -  I I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. - Bán kính: khoảng cách từ I đến các đỉnh của hình chóp. 5.1.3.7. Đường tròn ngoại tiếp một số đa giác thường gặp Khi xác định tâm mặt cầu, ta cần xác định trục của mặt phẳng đáy, đó chính là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đáy tại tâm O của đường tròn ngoại tiếp đáy. Do đó, việc xác định tâm ngoại O là yếu tố rất quan trọng của bài toán. O O O Hình vuông: O là giao Hình chữ nhật: O là giao ∆ đều: O là giao điểm của 2 điểm 2 đường chéo. điểm của hai đường chéo. đường trung tuyến (trọng tâm). O O ∆ vuông: O là trung điểm ∆ thường: O là giao điểm của hai đường của cạnh huyền. trung trực của hai cạnh ∆. 5.2. Kỹ thuật xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Nội dung Hình vẽ 11
12. Cho hình chóp S.A1A2 An (thoả mãn điều kiện tồn tại mặt cầu ngoại tiếp). Thông thường, để xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ta thực hiện theo hai bước: • Bước 1: Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. Dựng : trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. • Bước 2: Lập mặt phẳng trung trực ( ) của một cạnh bên. Lúc đó • Tâm O của mặt cầu:  mp( ) O • Bán kính: R SA SO . Tuỳ vào từng trường hợp. 5.3. Kỹ năng xác định trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy 5.3.1. Trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy Nội dung Hình vẽ Định nghĩa Trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp đáy và vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính chất M : MA MB MC Suy ra: MA MB MC M Các bước xác định trục • Bước 1: Xác định tâm H của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. • Bước 2: Qua H dựng vuông góc với mặt phẳng đáy. Một số trường hợp đặc biệt • Đáy là tam giác vuông B H C A • Đáy là tam giác đều B C H A • Đáy là tam giác thường 12
13. B C H A 5.3.2. Kỹ năng tam giác đồng dạng Nội dung Hình vẽ SO SM S SMO đồng dạng với SIA . SA SI M O I A 5.3.3. Nhận xét quan trọng MA MB MC M ,S : SM là trục đường tròn ngoại tiếp ABC . SA SB SC 5.4. Kỹ thuật sử dụng hai trục xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp đa diện Nội dung Hình vẽ Cho hình chóp S.A1A2 An (thõa mãn điều kiện Δ tồn tại mặt cầu ngoại tiếp). Thông thường, để xác S định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ta thực hiện theo hai bước: R • Bước 1: I d Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp đa D giác đáy. Dựng : trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. C • Bước 2: A Xác định trục d của đường tròn ngoại tiếp B một mặt bên (dễ xác định) của khối chóp. Lúc đó: • Tâm I của mặt cầu:  d I  • Bán kính: R IA IS . Tuỳ vào từng trường hợp. 5.5. Tổng kết các dạng tìm tâm và bán kính mặt cầu 5.5.1. Dạng 1 Nội dung Hình vẽ Cạnh bên SA vuông góc đáy và A·BC = 900 khi S S SC đó R và tâm là trung điểm SC . 2 A A C D B C B 5.5.2. Dạng 2 13
14. Nội dung Hình vẽ Cạnh bên SA vuông góc đáy và bất kể đáy là S hình gì, chỉ cần tìm được bán kính đường tròn ngoại tiếp của đáy là RD , khi đó : K SA2 R2 R2 I D 4 A C abc • RD O 4 p p a p b p c (p : nửa chu vi). B • Nếu ABC vuông tại A thì: 1 2 2 2 RD = (AB + AC + AS ) . 4 a 2 • Đáy là hình vuông cạnh a thì R D 2 • nếu đáy là tam giác đều cạnh a thì a 3 R . D 3 5.5.3. Dạng 3 Nội dung Hình vẽ Chóp có các cạnh bên bằng nhau: S SA SB SC SD : SA2 R . 2SO • ABCD là hình vuông, hình chữ nhật, khi A D đó O là giao hai đường chéo. B C • ABC vuông, khi đó O là trung điểm cạnh huyền. • đều, A B khiC đó là trọngO tâm, trực tâm. 5.5.4. Dạng 4 Nội dung Hình vẽ Hai mặt phẳng SAB và ABC vuông góc S với nhau và có giao tuyến AB . Khi đó ta gọi R1,R2 lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam O giác SAB và ABC . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp: I 2 A C 2 2 2 AB R R1 R2 4 J K B 5.5.5. Dạng 5 14
15. Chóp S.ABCD có đường cao SH , tâm đường tròn ngoại tiếp đáy là O . Khi đó ta giải phương trình: 2 2 2 2 x R2 x 2 R2 SH x OH x RD . Với giá trị tìm được ta có: D . 5.5.6. Dạng 6 3V Bán kính mặt cầu nội tiếp: r . Stp 6. TỔNG HỢP CÁC CÔNG THỨC ĐẶC BIỆT VỀ KHỐI TRÒN XOAY 6.1. Chỏm cầu Nội dung Hình vẽ S 2 Rh r 2 h2 xq h r 2 h h 2 2 V h R h 3r R 3 6 6.2. Hình trụ cụt Nội dung Hình vẽ Sxq R h1 h2 h h h2 V R2 1 2 h1 R 2 6.3. Hình nêm loại 1 Nội dung Hình vẽ 2 V R3 tan 3 6.4. Hình nêm loại 2 Nội dung Hình vẽ 2 3 V R tan 2 3 6.5. Parabol bậc hai-Paraboloid tròn xoay Nội dung Hình vẽ 3 3 4 S ' x a S Rh; R R parabol 3 S h R h 1 2 1 V R h Vtru 2 2  6.6. Diện tích Elip và Thể tích khối tròn xoay sinh bởi Elip Nội dung Hình vẽ 15
16. Selip ab b a a 4 2 Vxoay quanh 2a ab 3 b 4 2 V a b xoay quanh 2b 3 6.7. Diện tích hình vành khăn Nội dung Hình vẽ S R2 r 2 R r 6.8. Thể tích hình xuyến (phao) Nội dung Hình vẽ 2 2 R r R r V 2 r 2 2 R II. CÁC DẠNG BÀI THƯỜNG GẶP ⮲Dạng 1 : Bài toán thể tích, diện tích của khối tròn xoay được sinh ra từ việc quay 1 hình quanh cạnh nào đó. Ví dụ 1. Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại A , AB 2a và BC 3a , gọi M là trung điểm của BC . Khi quay tam giác MAC quanh cạnh góc vuông AB thì đường gấp khúc MAC tạo thành một hình tròn xoay. Tính thể tích của khối tròn xoay tương ứng. 10 a3 5 a3 5 a3 5 a3 A. . B. . C. . D. . 3 6 2 3 Lời giải Chọn C B M' M I C' C A AC BC 2 AB2 a 5 . Gọi C , M là điểm đối xứng của C, M qua cạnh AB và I là a 5 trung điểm của MM , ta có IM . 2 Thể tích của khối nón tạo bởi tam giác ABC khi quay quanh trục AB là 16
17. 1 1 1 2 10 a3 V r 2h AC 2 AB a 5 2a . 3 3 3 3 Gọi V1 là thể tích của tam giác ABM quay quanh trục AB , ta có 2 1 1 1 a 5 5 a3 V r 2h IM 2 AB 2a . 1 1 1 3 3 3 2 6 10 a3 5 a3 5 a3 Thể tích của khối tròn xoay cần tìm là . 3 6 2 Ví dụ 2. Cho tam giác ABC cân tại A có BC 10cm , AB 6cm . Quay tam giác ABC xung quanh cạnh AB ta được một khối tròn xoay có thể tích bằng 325 A. 200 cm3 .B. cm3 . 2 4216 550 C. cm3 .D. cm3 . 27 9 Lời giải Chọn D Gọi C là điểm đối xứng của C qua AB . Khi đó khối tròn xoay tạo thành khi quay tam giác ABC xung quanh cạnh AB gồm hai hình nón đỉnh A , B có chung đáy CC . Khi đó ta có: 1 1 V r 2 h h .CI 2.AB . 3 1 2 3 1 1 Ta có S d C, AB .AB d A, BC .BC ABC 2 2 2 d A, BC .BC 2 1 5 11 CI , d A, BC AB BC 11 CI . AB 2 3 2 1 5 11 550 3 Vậy V . .6 cm . 3 3 9 Ví dụ 3. Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD có AB = 1 và AD = 3. Đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (ABCD), song song AD và cách BC một khoảng bằng 2 (như hình vẽ bên dưới). Tính thể tích của khối tròn xoay tạo được khi quay hình chữ nhật ABCD quanh d. 17
18. A. 20p. B. 12p. C. 15p. D. 10p. Lời giải Chọn C Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của B,C lên đường thẳng d. Khi đó AD cách d một khoảng AH = 2+ AB = 2+ 1= 3. Gọi V,V1,V2 lần lượt là thể tích của khối trụ tròn xoay thu được khi quay các hình chữ nhật ABCD, ADKH và BCKH quanh đường thẳng d. 2 2 2 2 Khi đó V = V1 - V2 = p.AH .AD- p.BH .AD = p.3.(3 - 2 )= 15p. Ví dụ 4. Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay mô hình như hình vẽ quanh trục DF. Biết · o EAF = 30 . 3pa3 4pa3 4pa3 10pa3 A. . B. . C. . D. . 2 3 9 9 Lời giải Chọn D 18
19. Khi quay mô hình trên quanh trục DF : Tam giác AFE tạo ra khối nón tròn xoay (N ) và hình vuông ABCD tạo ra khối trụ tròn xoay (T ). ïì h = AF = a ï 1 pa3 ï Þ = p 2 = Khối nón (N ) có í 0 a V(N ) r h . ï r = EF = AF.tan 30 = 3 9 îï 3 ïì h = AD = a ï Þ = p 2 = p 3 Khối trụ (T ) có í V(T ) r h a . îï r = AB = a 10pa3 Vậy thể tích cần tính: V = V + V = . (N ) (T ) 9 Ví dụ 5. Cho hình bình hành ABCD có AB = 3a, AD = 2a, B·AD = 45° (như hình vẽ). Thể tích của khối tròn xoay nhận được khi quay hình bình hành ABCD quanh trục AB bằng 5pa3 9pa3 A. . B. . C. 5pa3. D. 6pa3. 2 2 Lời giải Chọn D Gọi H là hình chiếu vuông góc của D lên cạnh AB Þ DH = a 2. Khối tròn xoay nhận được khi quanh hình bình hành ABCD quanh trục AB có thể tích đúng bằng thể tích khối trụ có đường sinh DC và bán kính đáy DH (hai hình nón bù trừ nhau). 2 Vậy V = pDH 2.HK = pDH 2.DC = p(a 2) .3a = 6pa3. Ví dụ 6. Cho hình tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng (DBC) và tam giác ABC vuông tại B. Biết AD = BC = a, AB = a 3. Quay khối tứ diện ABCD xung quanh trục AD ta được khối tròn xoay (H). Thể tích của (H) bằng 3 3 3 2a p 3 5a p pa A. . B. pa .C. .D. . 3 3 3 Lời giải Chọn B 19
20. A a a 3 C D a B Ta có BD = AB 2 - AD 2 = a 2 . DC = BD 2 + BC 2 = a 3 . Khi quay khối tứ diện quanh AD ta được khối nón đỉnh A, đường cao AD, đáy là đường tròn có bán kính R = DC = a 3 . Dạng 2: Bài toán thể tích, diện tích của khối tròn xoay liên quan đến thiết diện cắt bởi một mặt phẳng Ví dụ 1. Cho hình nón có diện tích xung quanh bằng 6 a2 . Tính thể tích V của khối nón đã cho, biết thiết diện của hình nón khi cắt bởi mặt phẳng qua trục của hình nón là một tam giác đều. 3 a3 2 a3 2 A. V . B. V .C. V 3 a3 .D. V a3 . 4 4 Lời giải Chọn C  Gọi hình nón có đỉnh S , tâm đường tròn đấy là O và thiết diện qua trục SO là tam giác SAB . Do đó tam giác SAB đều và SO  AB . SO Xét tam giác SAO vuông tại O có: tan 600 SO AO 3 . AO 2 2 2 Diện tích xung quanh của khối nón là: Sxq Rl .OA.SA .OA. OA SO .2.OA . 2 2 2 Mà Sxq 6 a nên .2.OA 6 a OA a 3 . Suy ra SO 3a . 1 1 1 2  Thể tích khối nón đã cho là: V R2h OA2.SO . . a 3 .3a 3 a3 . 3 3 3 Ví dụ 2. Một hình nón đỉnh S , đáy là hình tròn tâm O và SO h . Một mặt phẳng P qua đỉnh S cắt đường tròn O theo dây cung AB sao cho góc ·AOB 90 , biết khoảng cách từ O đến P h bằng . Tính diện tích xung quanh hình nón theo h . 2 20
21. h2 10 h2 10 A. .B. . 6 3 3 h2 10 h2 10 C. . D. . 3 3 3 Lời giải Chọn D  Gọi I là trung điểm của AB và H là hình chiếu của O trên SI OH  SI . Ta có AB OI và AB  SO nên AB OH h Do đó OH  SAB tại H nên OH d O, SAB . 2 Xét tam giác SOI vuông tại O có 1 1 1 1 4 1 3 h 3 OI . OH 2 SO2 OI 2 OI 2 h2 h2 h2 3 2h 3 h 6 Tam giác OAB vuông cân tại O nên: AB 2OI , R OA OB . 3 3 2 2 2 2 h 6 h 15  Xét tam giác SOB vuông tại O ta có: l SB SO OB h . 3 3 h 6 h 15 h2 10  Diện tích xung quanh của hình nón là: S R.l   . xq 3 3 3 Ví dụ 3. Cắt hình trụ T bằng một mặt phẳng đi qua trục được thiết diện là một hình chữ nhật có diện tích bằng 30cm2 , chu vi bằng 26cm . Biết chiều dài hình chữ nhật lớn hơn đường kính của mặt đáy của hình trụ T . Diện tích toàn phần của T là 69 A. cm2 . B. 69 cm2 . 2 23 C. 23 cm2 . D. cm2 . 2 Lời giải Chọn A 21
22. Gọi chiều cao và bán kính đáy của hình trụ lần lượt là h và r . Do chiều dài hình chữ nhật lớn hơn đường kính của mặt đáy của hình trụ T nên h 2r . Diện tích thiết diện là h.2r 30 h.r 15 Chu vi thiết diện là 2 h 2r 26 h 13 2r . r 5 Ta có: 13 2r r 15 2r 2 13r 15 0 3 . r 2 Với r 5 thì h 3 không thoả mãn yêu cầu bài toán. 3 Với r thì h 10 thoả mãn yêu cầu bài toán. 2 2 2 3 3 69 2 Vậy diện tích toàn phần của T là STP 2 r.h 2 r 2 . .10 2 . cm . 2 2 2 Ví dụ 4. Cắt hình trụ T bằng một mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng bằng 2cm được thiết diện là một hình vuông có diện tích bằng 16 cm2 . Tính thể tích của khối trụ T . A. 32 cm3 . B. 16 cm3 . C. 64 cm3 . D. 8 cm3 . Lời giải Chọn A Gọi thiết diện đã cho là AA B B (như hình vẽ) và I là trung điểm AB . Hình vuông AA B B có diện tích bằng 16 cm2 cạnh hình vuông bằng AA 4cm . Mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng bằng 2cm suy ra OI 2 cm . 2 2 AB 2 2 Ta có bán kính đáy của hình trụ là r OI 2 2 2 2 . 2 22
23. 2 Thể tích của khối trụ T là V r 2h 2 2 .4 32 cm3 . Ví dụ 5. Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn có tâm lần lượt là O , O . Gọi là mặt phẳng qua trung điểm của OO và tạo với đường thẳng OO một góc 45. Biết mặt phẳng cắt hai mặt đáy bởi hai đoạn AB và CD tạo thành hình vuông có diện tích 16. Tính diện tích xung quanh của hình trụ. A. Sxq 4 3 . B. Sxq 8 3 . C. Sxq 8 . D. Sxq 4 . Lời giải Chọn B Gọi r,h là bán kính đường tròn đáy và chiều cao của hình trụ, G là trung điểm của OO . Gọi thiết diện giữa và hình trụ là hình vuông ABCD như hình vẽ. M , N lần lượt là trung điểm của CD và AB . Xét tam giác vuông O GM có O· GM 45 , GM 2 nên suy ra O GM vuông cân tại O h O G O M 2 h 2 2 . 2 2 Xét tam giác vuông O MC có O M 2 , MC 2 r O C 2 22 6 . Vậy hình trụ có bán kính đáy r 6 , chiều cao h 2 2 nên có diện tích xung quanh là: Sxq 2 rh 2 . 6.2 2 8 3 . Ví dụ 6. Trong không gian cho mặt cầu S có bán kính R 3 và một điểm A nằm trong mặt cầu . Mặt phẳng P đi qua A và cắt S theo thiết diện là đường tròn C có diện tích nhỏ nhất, biết IA 5. Bán kính đường tròn C là A. 1.B. 5 .C. 3 .D. 2 . Lời giải Chọn D A 23
24. Mặt cầu S có bán kính R 3. Ta có IA 5 3 nên A nằm trong mặt cầu S . Đặt h là khoảng cách từ I đến mặt phẳng P , r là bán kính đường tròn C . Khi đó: h IA 5 Thiết diện là đường tròn C có diện tích nhỏ nhất khi h 5 khi và chỉ khi 2 IA  P r 2 R2 h2 32 5 4 r 2 . Đường tròn C có diện tích nhỏ nhất nên r 2 . Ví dụ 7. Cho mặt cầu S tâm O , bán kính bằng 3 và mặt phẳng P . Khoảng cách từ O đến P bằng 6 . Từ điểm M thay đổi trên P kẻ các tiếp tuyến MA , MB, MC tới S với A , B , C là các tiếp điểm. Biết mặt phẳng ABC luôn đi qua một điểm I cố định. Tính độ dài đoạn OI . 1 3 3 A. . B. .C. 1.D. . 2 2 2 Lời giải Chọn D O K I M H Gọi K là giao điểm của mặt phẳng ABC và OM . Gọi H là hình chiếu của O trên P H cố định. Trong mặt phẳng OMH kẻ KI  OM I OH tại K . Ta có ABC là mặt phẳng qua K và vuông góc với OM nên KI  ABC . 24
25. OA2 32 3 Ta có OA2 OK.OM OI.OH OI . OH 6 2 Mặt khác I thuộc đoạn thẳng OH cố định nên I cố định. Ví dụ 8. Cho điểm A nằm trên mặt cầu S tâm O bán kính R 9cm . Gọi I, K là hai điểm nằm đoạn OA sao cho OI IK KA . Các mặt phẳng P , Q lần lượt đi qua I, K cùng vuông góc với r1 OA và cắt mặt cầu S theo giao tuyến là đường tròn có bán kính r1,r2 . Tính tỉ số . r2 r 5 r 3 10 A. 1 .B. 1 . r2 3 10 r2 4 r 4 r 10 C. 1 . D. 1 . r2 10 r2 4 Lời giải Chọn C Bán kính mặt cầu là R 9cm nên OA 9cm OI IK KA 3cm; OK 6cm . Gọi một giao điểm của các mặt phẳng P , Q với mặt cầu S là M , N , ta có: IM r1, KN r2 . OM ON 9cm 2 2 2 2 2 2 2 2 Khi đó: r1 OM OI 9 3 6 2 ; r2 ON OK 9 6 3 5 . r 6 2 4 Suy ra: 1 . r2 3 5 10 Dạng 3 : Bài toán thể tích, diện tích và các yếu tố khác của khối nón, khối trụ ngoại tiếp, nội tiếp các khối khác. Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác có AB BC 10a, AC 12a góc tạo bởi hai mặt phẳng SAB và ABC bằng 45. Tính thể tích khối nón nội tiếp hình chóp đã cho. A. 9 a3 . B. 27 a3 . C. 3 a3 . D. 12 a3 . Lời giải Chọn A 10a 10a 12a Nửa chu vi tam giác ABC là p 16a . 2 25
26. Diện tích tam giác ABC là: S p p a p b p c 16a 16a 10a 16a 10a 16a 12a 48a2 . S 48a2 Mà S pr r ABC 3a, với r là bán kính của đường tròn đáy nội tiếp tam ABC p 16a giác ABC . SO Lại có tanS· IO SO IO.tan 45 IO 3a . IO 1 1 2 Thể tích khối nón là: V SO. .r 2 .3a. 3a 9 a3 . 3 3 Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , AB = a; AC = a 3 . Gọi H là trung điểm BC biết SH vuông góc mặt phẳng (ABC) và SA tạo với đáy một góc 60° . Một hình nón có đỉnh S và đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Tính diện tích xung quanh của mặt nón đã cho. 2 3pa2 A. . B. 4pa2 . C. 2 3pa2 . D. 2pa2 . 3 Lời giải Chọn D 1 Ta có: BC = a2 + 3a2 = 2a ; AH = BC = a . 2 · AH Do SH ^ (ABC) Þ (SA,(ABC))= S·AH = 60° . Suy ra SA = = 2a . cos600 Hình nón có đỉnh S và đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có r = a; l = 2a . 2 Vậy diện tích xung quanh của mặt nón đã cho là Sxp = prl = 2pa . Ví dụ 3. Cho lăng trụ đứng ABC.A B C có độ dài cạnh bên bằng 2a , đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , góc giữa AC và mặt phẳng BCC B bằng 30 . Tính thể tích của khối trụ ngoại tiếp lăng trụ ABC.A B C bằng 26