Ôn tập TN THPT môn Toán - Chuyên đề: Bài toán tổng hợp về tọa độ trong không gian đặc biệt là các bài toán quỹ tích và các bài toán có sử dụng tính chất hình học

Nội dung tài liệu: Ôn tập TN THPT môn Toán - Chuyên đề: Bài toán tổng hợp về tọa độ trong không gian đặc biệt là các bài toán quỹ tích và các bài toán có sử dụng tính chất hình học

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CHUYÊN ĐỀ VẬN DỤNG, VẬN DỤNG CAO BẮC NINH KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 Môn: Toán TÊN CHUYÊN ĐỀ: BÀI TOÁN TỔNG HỢP VỀ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN ĐẶC BIỆT LÀ CÁC BÀI TOÁN QUỸ TÍCH VÀ CÁC BÀI TOÁN CÓ SỬ DỤNG TÍNH CHẤT HÌNH HỌC Người biên soạn: Đinh Ngọc Phúc Đơn vị công tác: Trường THPT Nguyễn Đăng Đạo. I. Hệ thống kiến thức liên quan I.1. Các quỹ tích cơ bản trong không gian 1. Trong không gian, cho 3 điểm A, B,C cố định. Tập hợp các điểm M cách đều 3 điểm A, B,C là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . M A B O C 1
2. 2. Trong không gian, cho 2 điểm A, B cố định. Tập hợp các điểm M cách đều 2 điểm A, B là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB . A H M B 3. Trong không gian, cho điểm I cố định và số thực R 0 không đổi. Tập hợp các điểm M cách I một khoảng bằng R là mặt cầu tâm I bán kính R . O R M 4. Trong không gian, cho 2 điểm A, B cố định. Tập hợp các điểm M nhìn đoạn thẳng AB dưới góc 900 là mặt cầu đường kính AB . A O B M 2
3. 5. Trong không gian, cho đường thẳng cố định. Tập hợp các điểm cách đường thẳng một khoảng bằng R không đổi là mặt trụ có trục là đường thẳng . Δ R M 6. Trong không gian, cho đường thẳng cố định. Tập hợp các đường thẳng song song và cách đường thẳng một khoảng bằng R không đổi là mặt trụ có trục là đường thẳng . Mỗi đường thẳng thỏa mãn điều kiện trên là một đường sinh của mặt trụ đó. 7. Trong không gian, cho đường thẳng cố định và điểm I cố định thuộc . Tập hợp các đường thẳng qua I và tạo với một góc không đổi là mặt nón đỉnh I có trục là và góc ở đỉnh bằng 2 . I Δ I.2. Một số tính chất 3
4. 1. Cho mặt phẳng P và mặt cầu S I; R . Nếu d I; P R thì P cắt S I; R theo một đường tròn có tâm H là hình chiếu vuông góc của I trên P và bán kính 2 2 r R d I; P . 2. Từ một điểm M nằm ngoài mặt cầu S I; R có thể kẻ được vô số tiếp tuyến tới mặt cầu đó. Tập hợp các tiếp tuyến là mặt nón đỉnh M và nhận MI làm trục. 3. Cho mặt cầu S tâm I bán kính R . Từ một điểm M kẻ đường thẳng cắt S tại hai điểm A, B . Khi đó ta có: MA.MB MI 2 R2 . I B A M II. Các dạng bài thường gặp II.1. Chứng minh một điểm thuộc một mặt hoặc một đường cố định. Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz , cho 2 điểm A 1; 3;0 , B 1; 3;0 và điểm C di động trên trục Oz . Gọi H là trực tâm của tam giác ABC . Biết rằng khi C di động trên Oz thì H luôn thuộc một đường tròn cố định. Tính bán kính đường tròn đó. 3 3 3 3 A. .B. .C. . D. . 6 3 2 4 Lời giải Chọn A. 4
5. S H B O K M A Ta thấy A, B thuộc mp Oxy OC  OAB . Gọi K là trực tâm OAB và M là trung điểm của AB . Ta chứng minh được KH  ABC KH  HM H thuộc mặt cầu đường kính KM . Mặt khác, H MOz Do đó H thuộc đường tròn giao tuyến của mặt cầu đường kính KM và mp MOz . Do mp MOz chứa đường kính KM của mặt cầu nên giao tuyến của mặt cầu với mp MOz là KM đường tròn lớn của mặt cầu r R . 2 AB 3 2 3 3 OAB đều KM r . 6 6 6 Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A 2;0;0 , B 0;4;0 , C 0;0;6 . Điểm M thay đổi trên mặt phẳng ABC và N là điểm trên tia OM sao cho OM.ON 12 . Biết rằng khi M thay đổi, điểm N luôn thuộc một mặt cầu cố định. Tính bán kính của mặt cầu đó. 5 7 A. 2 3 . B. . C. . D. 3 2 . 2 2 Lời giải 5
6. Chọn C O N H M K x y z Phương trình mặt phẳng ABC : 1 6x 3y 2z 12 0 2 4 6 72 36 24 H ; ; 49 49 49 Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên mặt phẳng ABC 12 OH 7  49  Trên tia OH lấy điểm K sao cho OH.OK 12 OK 7 OK OH K 6;3;2 . 12 OH OM Ta có OH.OK OM.ON Hai tam giác OHM và ONK đồng dạng ON OK OK 7 O· NK O· HM 900 N thuộc mặt cầu đường kính OK R . 2 2 Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P) : x y z 3 0 và hai điểm A(1;1;1) , B( 3; 3; 3) . Mặt cầu S đi qua A , B và tiếp xúc với P tại C . Biết rằng C luôn thuộc một đường tròn cố định. Tìm bán kính R của đường tròn đó. 2 33 2 11 A. R 4. B. R . C. R . D. R 6. 3 3 6
7. Lời giải Chọn D Gọi I AB  P . Ta có IC 2 IA.IB IC IA.IB .  AB 4; 4; 4 . x 1 t Phương trình của đường thẳng AB là: y 1 t . z 1 t I AB  P I 3;3;3 IA 2 3, IB 6 3 IC 6 C thuộc mặt cầu tâm I , bán kính bằng 6 . Mà C P suy ra C thuộc đường tròn giao tuyến của mặt cầu S I;6 với P . Vì I P P cắt S I;6 theo giao tuyến là đường tròn lớn. Do đó R 6 . Ví dụ 5: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 6;8;0 , S 0;0;10 . Gọi M là điểm di động trên đường tròn đường kính OA nằm trong mặt phẳng Oxy ; H là hình chiếu vuông góc của O trên SM . Biết rằng H thuộc một đường tròn cố định. Tính bán kính đường tròn đó. 5 2 5 2 5 5 A. . B. .C. . D. 4 2 4 2 7
8. Lời giải Chọn B S H K A O M Từ giả thiết suy ra AM  OM AM  SOM AM  OH OH  SAM . Gọi K là hình chiếu vuông góc của O trên SA SA  OKH mp OKH cố định. Do S, A cố định nên K cố định. Vì OH  SAM OH  HK H thuộc mặt cầu đường kính OK . Mà H OHK OK Vậy H thuộc đường tròn đường kính OK nằm trong mặt phẳng OHK R . 2 SA 5 2 Dễ thấy SOA vuông cân tại O OK 5 2 R . 2 2 II.2. Bài toán cực trị 8
9. Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz , cho điểm A 0;3; 2 . Xét đường thẳng d thay đổi, song song với trục Oz và cách Oz một khoảng bằng 2. Khi khoảng cách từ A đến d lớn nhất, d đi qua điểm nào sau đây ? A. P 0; 2; 5 .B. N 0;2; 5 .C. M 0;8; 5 . D. Q 2;0; 3 . Lời giải Chọn A z 3 y -2 O 2 -2 x A' A Do d d;Oz 2 nên d là đường sinh của mặt trụ có trục là Oz . x 0 x 0 A Oyz ; Oyz cắt mặt trụ theo 2 đường thẳng d1 : y 2 và d2 : y 2 z t z t Dễ thấy : Max d A;d d A;d2 5 khi d  d2 d đi qua P 0; 2; 5 . Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz , cho A 1;3;4 , B 1;3;4 . Gọi M là điểm nằm trong mặt phẳng   Oxy thỏa mãn MA.MB 24 . Tìm giá trị lớn nhất của độ dài đoạn thẳng OM . A. 3 .B. 5 .C. 6 . D. 10. 9
10. Lời giải Chọn C Gọi I là trung điểm của AB I 0;3;4 .       Ta có MA.MB MI IA MI IB MI 2 IA2 MI 2 1 MI 2 1 24 MI 5 M thuộc mặt cầu S tâm I bán kính bằng 5. Mặt khác M thuộc Oxy Từ đó suy ra M thuộc đường tròn C là giao tuyến của S và Oxy . Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên Oxy H 0;3;0 và IH 4 bán kính của C là : r 3 O C . M O H OM là một dây cung của C Max OM 2r 6 . 2 Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz , cho điểm A 3;0;0 mặt cầu S : x2 y2 z 2 3 . M là điểm di động trên mặt phẳng Oxy sao cho có ít nhất 2 tiếp tuyến của S đi qua M và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau. Tìm giá trị lớn nhất của độ dài đoạn thẳng AM . A. 4 .B. 1. C. 3 .D. 5 . Lời giải Chọn D 10
11. S có tâm I 0;0; 2 , bán kính R 3 . Để từ M có thể kẻ được ít nhất 2 tiếp tuyến đến S thì IM R . Khi IM R thì tập hợp các tiếp tuyến kẻ từ M đến S là một mặt nón đỉnh M và mỗi tiếp tuyến là một đường sinh của mặt nón đó. Để có ít nhất 2 đường sinh vuông góc với nhau thì góc ở đỉnh của mặt nón phải lớn hơn hoặc bằng 900 IM R 2 Vậy R IM R 2 . Gọi M a;b;0 3 a2 b2 2 6 1 a2 b2 4 1 OM 2 M nằm giữa 2 đường tròn cùng tâm O và có bán kính lần lượt bằng 1 và 2 (kể cả biên) nằm trong mặt phẳng Oxy . Điểm A 3;0;0 thuộc mặt phẳng Oxy và nằm ngoài cả hai đường tròn. A O M Suy ra Max AM OA 2 5 . Ví dụ 4: Trong không gian Oxyz , cho A 0;0;10 , B 3;4;6 . Xét các điểmM thay đổi sao cho tam giác OAM không có góc tù và có diện tích bằng 15. Giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng MB thuộc khoảng nào sau đây? A. 4;5 .B. 3;4 .C. 2;3 . D. 6;7 . Lời giải 11
12. Chọn B 1 Ta có: S OA.d M ;OA 15 d M ;OA 3 . OAM 2 Suy ra M thuộc mặt trụ trục OA , bán kính bằng 3. D 1 D2 3 3 A O H F Xét điểm D thuộc đường tròn đường kính AO sao cho d D; AO 3 Gọi H là hình chiếu vuông góc của D trên AO HA.HO DH 2 9 HA 1 Ta có : HA HO AO 10 HO 9 Vì ·AMO 900 nên M thuộc hình trụ có trục lần lượt là AH, FO như hình vẽ sau z A H M 9 3 6 5 B 1 F O 12
13. Từ hình vẽ suy ra min MB 22 32 13 . III. Hệ thống câu hỏi ôn tập Câu 1. Trong không gian Oxyz, cho điểm A 2;6;0 và mặt phẳng P :3x 4y 89 0 . Đường thẳng d thay đổi nằm trên Oxy và luôn đi qua A . Gọi H là hình chiếu vuông góc của M 4; 2;3 trên d . Khoảng cách nhỏ nhất từ H đến P bằng: 68 93 A. 15.B. 20.C. . D. . 5 5 Câu 2. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S tâm I 1; 2;3 bán kính R 5 và mặt phẳng P : x 2y 2z 1 0 . Một đường thẳng d qua O , song song P cắt mặt cầu S tại hai điểm phân biệt A, B . Tính giá trị lớn nhất của đoạn AB . A. 8.B. 6.C. 4.D. 3. Câu 3. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng : x 2y 2z 0 và 3 điểm A 2;0;2 , B 4;0;4 ,C 5;2;4 . Gọi M là điểm di động trên P sao cho có một mặt cầu S đi qua A và tiếp xúc với tại M . Khi đó, độ dài đoạn CM có giá trị nhỏ nhất là A. 3.B. 10 .C. 109 . D. 13 . Câu 4. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S : x 1 2 y 2 2 z 3 2 27 . Lấy điểm M trong không gian sao cho từ M kẻ được các tiếp tuyến MA, MB, MC đến S ( A, B,C là các tiếp điểm) sao cho ·AMB 600 , B· MC 900 ,C· MA 1200 . Biết rằng M thuộc một mặt cầu cố định. Tính bán kính mặt cầu đó. A. 3.B. 6.C. 4.D. 8. Câu 5. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu tâm I 1;2;3 , bán kính R 5 và điểm P 2;4;5 nằm trong mặt cầu. Qua P dựng 3 dây cung AA , BB , CC của mặt cầu S đôi một vuông góc 13
14. với nhau. Dựng hình hộp chữ nhật có 3 cạnh là PA, PB,PC . Gọi PQ là đường chéo của hình hộp chữ nhật đó. Biết rằng Q luôn chạy trên một mặt cầu cố định. Bán kính của mặt cầu đó bằng 219 219 A. .B. 61 .C. .D. 57 . 6 2 Câu 6. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 3;1;2 , B 1; 1;2 và mặt phẳng P : x y 2z 18 0 . Khi M thay đổi trên P lấy điểm N thuộc tia OM sao cho OM.ON 36 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức NA2 NB2 . A. 16 8 3 .B. 24 8 3 .C. 20 8 3 . D. 8 4 3 . Câu 7. Trong không gian Oxyz , cho điểm A 1;2; 3 và mặt phẳng P : 2x 2y z 9 0 . Đường thẳng d qua A vuông góc với Q :3x 4y 4z 5 0 cắt mặt phẳng P tại B . Điểm M nằm trong P và nhìn AB dưới góc 900 . Tìm giá trị lớn nhất của độ dài đoạn MB . 41 5 A. .B. .C. 5 .D. 41 . 2 2 x y - 1 z + 1 Câu 8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : = = và đi A(1;1;1) 2 - 1 - 1 . Hai điểm B , C di động trên đường thẳng d sao cho mặt phẳng (OAB) vuông góc với mặt phẳng (OAC). Gọi điểm B là hình chiếu vuông góc của điểm B lên đường thẳng AC . Biết rằng quỹ tích các điểm B ' là đường tròn cố định, tính bán kính r đường tròn này. 60 3 5 70 3 5 A. r = . B. r = . C. r = . D. r = . 10 5 10 10 Câu 9. Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC có A 3;4;4 , B 1;2;3 ,C 5;0; 1 . Điểm M thay đổi trong không gian thỏa mãn ·ABM ·AMC 900 . Tìm giá trị lớn nhất của độ dài đoạn thẳng OM . A. 24 6 6 .B. 24 6 6 .C. 3 11. D. 11 3. 14
15. Câu 10. Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC có A 3;4;4 , B 1;2;3 ,C 5;0; 1 . Điểm M thay đổi trong không gian thỏa mãn ·ABM ·AMC 900 . Mặt phẳng đi qua B và vuông góc với AC cắt AM tại N . Khoảng cách từ N đến ABC có giá trị lớn nhất bằng 4 10 3 5 2 10 6 5 A. .B. .C. . D. . 5 5 5 5 HƯỚNG DẪN GIẢI CÂU HỎI ÔN TẬP Câu 1. Trong không gian Oxyz, cho điểm A 2;6;0 và mặt phẳng P :3x 4y 89 0 . Đường thẳng d thay đổi nằm trên Oxy và luôn đi qua A . Gọi H là hình chiếu vuông góc của M 4; 2;3 trên d . Khoảng cách nhỏ nhất từ H đến P bằng: 68 93 A. 15.B. 20.C. . D. . 5 5 Hướng dẫn giải Gọi K là hình chiếu vuông góc của A trên Oxy K 4; 2;0 và tam giác AKH vuông tại H H thuộc đường tròn đường kính AK nằm trong Oxy . M A I H d K Gọi I là tâm của đường tròn thì I 1;2;0 Ta có Min d H; P d I; P r 15. 15
16. Câu 2. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S tâm I 1; 2;3 bán kính R 5 và mặt phẳng P : x 2y 2z 1 0 . Một đường thẳng d qua O , song song P cắt mặt cầu S tại hai điểm phân biệt A, B . Tính giá trị lớn nhất của đoạn AB . A. 8.B. 6.C. 4.D. 3. Hướng dẫn giải Từ giả thiết suy ra d thuộc mặt phẳng Q qua O và song song với P Phương trình Q : x 2y 2z 0 Gọi C là giao tuyến của Q và S thì Max AB 2r ( r là bán kính của C ) 2 2 Vậy Max AB 2 R d I; Q 8 . Câu 3. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng : x 2y 2z 0 và 3 điểm A 2;0;2 , B 4;0;4 ,C 5;2;4 . Gọi M là điểm di động trên P sao cho có một mặt cầu S đi qua A và tiếp xúc với tại M . Khi đó, độ dài đoạn CM có giá trị nhỏ nhất là A. 3.B. 10 .C. 109 . D. 13 . Hướng dẫn giải I B A O M 16
17. Ta thấy AB  O 0;0;0 Ta có OA.OB OM 2 OM 4 M thuộc đường tròn tâm O bán kính r 4 nằm trong . Gọi H là hình chiếu của C trên H 4;4;2 . C H M O Ta có CM CH 2 MH 2 CH 2 OH r 2 13 . Câu 4. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S : x 1 2 y 2 2 z 3 2 27 . Lấy điểm M trong không gian sao cho từ M kẻ được các tiếp tuyến MA, MB, MC đến S ( A, B,C là các tiếp điểm) sao cho ·AMB 600 , B· MC 900 ,C· MA 1200 . Biết rằng M thuộc một mặt cầu cố định. Tính bán kính mặt cầu đó. A. 3.B. 6.C. 4.D. 8. Hướng dẫn giải 17
18. S có tâm E 1;2; 3 , bán kính R 3 3 . AB x Đặt MA x BC x 2 ABC vuông tại B . CA x 3 Gọi I ME  ABC I là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC I là trung điểm của AC . AM.AE x.3 3 Trong tam giác AME có AI ME x2 27 AC x 3 Lại có AI 2 2 x.3 3 x 3 2 x 3 EM 3 3 32 6 x2 27 2 M thuộc mặt cầu tâm E , bán kính bằng 6. Câu 5. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu tâm I 1;2;3 , bán kính R 5 và điểm P 2;4;5 nằm trong mặt cầu. Qua P dựng 3 dây cung AA , BB , CC của mặt cầu S đôi một vuông góc với nhau. Dựng hình hộp chữ nhật có 3 cạnh là PA, PB,PC . Gọi PQ là đường chéo của hình hộp chữ nhật đó. Biết rằng Q luôn chạy trên một mặt cầu cố định. Bán kính của mặt cầu đó bằng 219 219 A. .B. 61 .C. .D. 57 . 6 2 18
19. Hướng dẫn giải B P C G Q A   Gọi G PQ  ABC G là trọng tâm ABC và PQ 3PG Q V P;3 G     Ta có: PA PB PC 3PG 9PG2 PA2 PB2 PC 2     9PG2 3PI 2 IA2 IB2 IC 2 2PI IA IB IC   9PG2 3PI 2 3R2 6PI.IG Gọi G x; y; z 9 x 2 2 y 4 2 z 5 2 27 75 6 x 1 2 y 2 2 z 3 10 20 26 79 9x2 9y2 9z2 30x 60y 78z 237 0 x2 y2 z2 x y z 0 3 3 3 3 5 10 13 57 G thuộc mặt cầu tâm J ; ; , bán kính r 3 3 3 3 Q thuộc mặt cầu bán kính 57 . Câu 6. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 3;1;2 , B 1; 1;2 và mặt phẳng P : x y 2z 18 0 . Khi M thay đổi trên P lấy điểm N thuộc tia OM sao cho OM.ON 36 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức NA2 NB2 . A. 16 8 3 .B. 24 8 3 .C. 20 8 3 . D. 8 4 3 . Hướng dẫn giải 19
20. H 3;3;6 Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên P OH 3 6 Trên tia OH , lấy điểm K sao cho OH.OK 36  2  OK OH K 2;2;4 3 O N H M K Ta thấy hai tam giác ONK và OHN đồng dạng ONK vuông tại N N thuộc mặt cầu S đường kính OK có tâm I 1;1;2 , bán kính R 6 . Gọi J là trung điểm của AB J 2;0;2 4NJ 2 AB2 Ta có NA2 NB2 2NJ 2 4 2 NA2 NB2 NJ min min 2 Ta thấy min NJ IJ R 6 2 min NA2 NB2 2 6 2 4 20 8 3 . Câu 7. Trong không gian Oxyz , cho điểm A 1;2; 3 và mặt phẳng P : 2x 2y z 9 0 . Đường thẳng d qua A vuông góc với Q :3x 4y 4z 5 0 cắt mặt phẳng P tại B . Điểm M nằm trong P và nhìn AB dưới góc 900 . Tìm giá trị lớn nhất của độ dài đoạn MB . 20
21. 41 5 A. .B. .C. 5 .D. 41 . 2 2 Hướng dẫn giải x 1 3t Phương trình d : y 2 4t B 2; 2;1 . z 3 4t · 0 1 41 Vì AMB 90 M thuộc mặt cầu S đường kính AB có tâm I ;0; 1 , bán kính R 2 2 Mà M P Suy ra M thuộc đường tròn C là giao tuyến của S và P 2 2 Do B C MB là một dây cung của C Max MB 2 R d I; P 5 . x y - 1 z + 1 Câu 8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : = = và đi A(1;1;1) 2 - 1 - 1 . Hai điểm B , C di động trên đường thẳng d sao cho mặt phẳng (OAB) vuông góc với mặt phẳng (OAC). Gọi điểm B là hình chiếu vuông góc của điểm B lên đường thẳng AC . Biết rằng quỹ tích các điểm B ' là đường tròn cố định, tính bán kính r đường tròn này. 60 3 5 70 3 5 A. r = . B. r = . C. r = . D. r = . 10 5 10 10 Hướng dẫn giải r r uur Một véctơ chỉ phương của đường thẳng d là u = (2;- 1;- 1). Suy ra u ^ OA. Gọi H là hình chiếu của O trên đường thẳng d Þ H (2t;1- t;- 1- t). Do OH ^ d nên 4t - 1+ t + 1+ t = 0 Þ t = 0 Þ H (0;1;- 1). uuur uur Suy ra OH.OA = 0 Þ OH ^ OA và OA ^ BC nên OA ^ (OBC) 21
22. ü Þ OA ^ OB ï ï (OAB)^ (OAC) ý Þ OB ^ (OAC). ï ï OA = (OAB)Ç(OAC)þï B H O I A B' C ïì OB ^ AC Do đó ta có: íï Þ AC ^ (OBB¢)Þ AB¢^ OB¢. îï BB¢^ AC Vậy B¢ thuộc mặt cầu (S) đường kính OA = 3 . æ1 1 1ö Gọi I ç ; ; ÷ là trung điểm OA èç2 2 2ø÷ æ 1ö2 æ 1ö2 æ 1ö2 3 Phương trình mặt cầu (S):çx- ÷ + çy - ÷ + çz - ÷ = èç 2ø÷ èç 2ø÷ èç 2ø÷ 4 Mặt khác B¢Î (ABC)º (A;d). Mặt phẳng (ABC) có một véctơ pháp tuyến là r uuur r n = éAH;uù= (2;5;- 1). ëê ûú Phương trình mặt phẳng (ABC) : 2x + 5y - z - 6 = 0 . 22
23. I 3 R= 2 r (ABC) Vậy B¢ thuộc đường tròn cố định là đường tròn (C), giao tuyến của mặt cầu (S) và (ABC). 3 5 3 30 (C) có bán kính r = R2 - d 2 = , với R = và d = d (I,(ABC))= . 10 2 10 Câu 9. Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC có A 3;4;4 , B 1;2;3 ,C 5;0; 1 . Điểm M thay đổi trong không gian thỏa mãn ·ABM ·AMC 900 . Tìm giá trị lớn nhất của độ dài đoạn thẳng OM . A. 24 6 6 .B. 24 6 6 .C. 3 11. D. 11 3. Hướng dẫn giải Ta có BM  AB M thuộc mp P qua B và vuông góc với AB ·AMC 900 M thuộc mặt cầu S đường kính AC Do đó, M thuộc đường tròn C là giao tuyến của P và S Phương trình P : 2x 2y z 9 0 2 2 2 3 45 Phương trình S : x 4 y 2 z 2 4 C có tâm H 3;1; 1 và bán kính r 3 23
24. O K H M Gọi K là hình chiếu vuông góc của O trên P K 2;2;1 2 Ta có OM OK 2 KM 2 OK 2 KH r 2 9 6 3 24 6 6 . Vậy Max OM 24 6 6 . Câu 10. Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC có A 3;4;4 , B 1;2;3 ,C 5;0; 1 . Điểm M thay đổi trong không gian thỏa mãn ·ABM ·AMC 900 . Mặt phẳng đi qua B và vuông góc với AC cắt AM tại N . Khoảng cách từ N đến ABC có giá trị lớn nhất bằng 4 10 3 5 2 10 6 5 A. .B. .C. . D. . 5 5 5 5 Hướng dẫn giải Dễ thấy ABC vuông tại B , AB 3, BC 6 . AB  BC Từ giả thiết AB  MBC AB  MC MC  ABM MC  BM AB  BM Gọi K là hình chiếu vuông góc của B trên AC AC  BKN 24
25. A N K H B C M 6 5 Tính được BK 5 Kẻ NH  BK tại H NH  ABC NH d N; ABC Chứng minh được BN  AMC BN  NK N thuộc đường tròn đường kính BK nằm trong 1 3 5 mặt phẳng NH BK . 2 5 25