Ôn tập TN THPT môn Toán - Chuyên đề: Cực trị của hàm số

Nội dung tài liệu: Ôn tập TN THPT môn Toán - Chuyên đề: Cực trị của hàm số

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CHUYÊN ĐỀ ÔN TẬP BẮC NINH KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 ¯¯¯¯¯¯¯¯¯ Môn: Toán ¯¯¯¯¯¯¯¯ TÊN CHUYÊN ĐỀ: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Người biên soạn: Nguyễn Thị Hà Đơn vị công tác: Trường THPT Quế Võ số 2 I. Hệ thống kiến thức liên quan 1. Khái niệm cực trị của hàm số Cho f : D ¡ và x0 D . a) x0 được gọi là một điểm cực đại của f nếu tồn tại khoảng a;b sao cho x0 a;b  D f x f x0 x a;b \ x0. b) x0 được gọi là một điểm cực tiểu của f nếu tồn tại khoảng a;b sao cho x0 a;b  D f x f x0 x a;b \ x0. c) Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. 2. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị Nếu hàm số y f (x) có đạo hàm trên khoảng a;b và đạt cực trị tại x0 thì f ' x0 0. 3. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị a) Quy tắc 1 • Nếu f ' x đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x0 thì f (x) đạt cực đại tại x0 ; • Nếu f ' x đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x0 thì f (x) đạt cực tiểu tại x0 . b) Quy tắc 2: f ' x0 0 • f (x) đạt cực đại tại x0 ; f " x0 0 f ' x0 0 • f đạt cực tiểu tại x0 . f " x0 0 II. Các dạng toán về cực trị của hàm số thường gặp Dạng 1: Câu hỏi lí thuyết Câu 1. Cho hàm số y f (x) xác định và có đạo hàm cấp một và cấp hai trên khoảng a;b và x0 a;b . Khẳng định nào sau đây sai? A. y '(x0 ) 0 và y ''(x0 ) 0 thì x0 là điểm cực trị của hàm số. B. y '(x0 ) 0 và y ''(x0 ) 0 thì x0 là điểm cực trị của hàm số. C. Hàm số đạt cực đại tại x0 thì y '(x0 ) 0. 1
2. D. y '(x0 ) 0 và y ''(x0 ) 0 thì x0 không là điểm cực trị của hàm số. Lời giải Chọn D 4 Xét hàm số y x trên ¡ thỏa mãn y '(0) 0 và y ''(0) 0 nhưng x0 0 vẫn là điểm cực tiểu của hàm số. Vậy khẳng định D là sai. Câu 2. Cho hàm số y f (x) có đạo hàm tại điểm x0 . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Nếu f '(x0 ) 0 thì hàm số đạt cực trị tại điểm x0 . B. Nếu hàm số đạt cực trị tại điểm x0 thì f '(x0 ) 0 . C. Hàm số đạt cực trị tại x0 thì f (x) đổi dấu khi qua x0 . D. Nếu hàm số đạt cực trị tại điểm x0 thì f (x0 ) 0 . Lời giải Chọn B Nếu hàm số đạt cực trị tại điểm x0 thì f '(x0 ) 0 . Câu 3. Phát biểu nào sau đây đúng? A. Hàm số y f (x) đạt cực trị tại điểm x0 khi và chỉ khi f '(x0 ) 0 . B. Nếu f '(x0 ) 0 và f ''(x0 ) 0 thì x0 không phải là cực trị của hàm số. C. Nếu f '(x0 ) đổi dấu khi x qua điểm x0 và f (x) liên tục tại x0 thì hàm số y f (x) đạt cực trị tại điểm x x0 . D. Nếu f '(x0 ) 0 và f ''(x0 ) 0 thì x0 hàm số đạt cực đại tại x x0 . Lời giải Chọn C Nếu f '(x0 ) đổi dấu khi x qua điểm x0 và f (x) liên tục tại x0 thì hàm số y f (x) đạt cực trị tại điểm x x0 . Câu 4. Giả sử hàm số (C) : y f (x) xác định trên tập  và x0  . Cho các phát biểu sau: (I). Nếu f '(x0 ) 0 thì hàm số y f (x) không đạt cực trị tại x0 . (II). Nếu f '(x0 ) 0 thì hàm số y f (x) đạt cực trị tại x0 . (III). Nếu x0 là điểm cực trị của hàm số y f (x) thì điểm x0 ; f (x0 ) là điểm cực trị của đồ thị hàm số (C) . (IV). Hàm số y f (x) có thể đạt cực trị tại x0 mà không có đạo hàm tại x0 . Số phát biểu đúng là A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Lời giải Chọn C (I) đúng ; (II) sai; (III) đúng ; (IV) đúng. Vậy có 3 phát biểu đúng. Câu 5. Giả sử hàm số (C) : y f (x) có đạo hàm trên khoảng K. Xét các phát biểu sau: 2
3. (I). Nếu hàm số y f (x) đạt cực tiểu trên khoảng K thì cũng sẽ đạt cực đại trên khoảng đó. (II). Nếu hàm số y f (x) có hai điểm cực tiểu thì phải có một điểm cực đại. (II). Số nghiệm của phương trình f '(x) 0 bằng số điểm cực trị của hàm số đã cho. (IV). Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm. Số phát biểu đúng là A. 1. B. 2. C. 0. D. 3. Lời giải Chọn A (I) ; (II) sai vì hàm số có thể có điểm cực đại mà không có điểm cực tiểu và ngược lại. Chẳng hạn, hàm số y x4 có điểm cực tiểu mà không có điểm cực đại. (III) sai. Vì f '(x) 0 chỉ là điều kiện cần để hàm số đạt cực trị. Nói cách khác f '(x0 ) 0 thì chưa thể nói rằng x0 là điểm cực trị. (IV) đúng. Vậy có 1 phát biểu đúng. Dạng 2. Tìm cực trị của hàm số khi biết y, y’ Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số. Tính y ' x0 . Bước 2. Giải phương trình y ' x 0. Bước 3. Lập bảng biến thiên và kết luận về cực trị hàm số. 2x 3 Câu 1: (Mã 104 -2017) Hàm số y có bao nhiêu điểm cực trị? x 1 A. 3. B. 0. C. 2 .D. 1. Lời giải Chọn B 1 Có y 0,x 1 nên hàm số không có cực trị. x 1 2 3 Câu 2: (Đề minh họa - 2017) Giá trị cực đại yC§ của hàm số y x 3x 2 là A. yC§ 4 .B. yC§ 1 . C. yC§ 0 .D. yC§ 1. Lời giải Chọn A Ta có y 3x2 3 . x 1 y 1 0 y 0 3x2 3 0 x 1 y 1 4. 3 3 3 2 lim x 3x 2 lim x 1 2 3 , x x x x 3 3 3 2 lim x 3x 2 lim x 1 2 3 . x x x x 3
4. Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên, ta thấy giá trị cực đại của hàm số bằng 4 . Câu 3. (HSG Bắc Ninh 2019) Hàm số nào dưới đây không có cực trị? x2 1 2x 2 A. y . B. y . C. y x2 2x 1. D. y x3 x 1. x x 1 Lời giải Chọn B 2x 2 Xét hàm số y . x 1 4 Tập xác định D ¡ \ 1 , y 0,x D . x 1 2 Nên hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định. 2x 2 Do đó hàm số y không có cực trị. x 1 2 Câu 4. (Mã 104 - 2019) Cho hàm số f x có đạo hàm f x x x 1 ,x ¡ . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là A. 0 .B. 1.C. 2 .D. 3 . Lời giải Chọn B 2 Ta có f x x x 1 chỉ đổi dấu đúng một lần khi qua nghiệm x 0 . Suy ra, hàm số có đúng một điểm cực trị là x 0 . Câu 5. (Đề tham khảo - 2019) Cho hàm số f x có đạo hàm f x x x 1 x 2 3 ,x R . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là A. 3.B. 2. C. 5.D. 1. Lời giải Chọn A Ta có x 0 f x 0 x 1 x 2. 4
5. Bảng dấu f x Từ bảng dấu suy ra hàm số đã cho có 3 điểm cực trị. 3 2 Câu 6. Hàm số y x 3x 9x 4 đạt cực trị tại x1 và x2 thì tích các giá trị cực trị bằng A. 25. B. 82. C. 207. D. 302. Lời giải Chọn C Ta có y ' 3x2 6x 9 . x 1 y ' 0 x 3. Từ đó y1 y( 1) 9, y2 y(3) 23. Vậy y1.y2 207 . Câu 7. Hàm số y x3 3x2 2 có đồ thị (C) . Gọi A, B là các điểm cực trị của (C) . Độ dài đoạn AB bằng A. 2 5 B. 5 . C. 4 .D. 5 2 Lời giải Chọn A Ta có y ' 3x2 6x . x 0 y ' 0 x 2. Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là A(0;2) và B(2; 2) . Độ dài AB bằng (2 0)2 ( 2 2)2 2 5 . Dạng 3. Tìm cực trị của hàm số dựa vào bảng biến thiên, đồ thị của hàm số y, y’ Câu 1. (Mã 104 - 2018) Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là A. 3 .B. 1.C. 2 . D. 0 . 5
6. Lời giải Chọn A Hàm số có ba điểm cực trị. Câu 2. Cho hàm số y f (x) xác định, liên tục trên ¡ và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ. Hàm số f (x) đạt cực đại tại A. x 0 . B. x 1. C. y 0. D. x 1. Lời giải Chọn A Hàm số y f (x) đạt cực đại tại x 0 . Câu 3. (Mã 103 - 2019) Cho hàm số f (x) có bảng biến thiên như sau: Hàm số đạt cực đại tại A. x 2.B. x 3 .C. x 1. x 2 . Lời giải Chọn C Hàm số f x xác định tại x 1, f '(1) 0 và đạo hàm đổi dấu từ ( ) sang ( ) . Câu 4. (Mã 101 – 2020 Lần 1) Cho hàm f x có bảng biến thiên như sau: 6
7. Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng A. 3 .B. 5 .C. 0 .D. 2 . Lời giải Chọn B. Từ bảng biến thiên ta có hàm số đạt giá trị cực tiểu f 3 5 tại x 3 Câu 5. (Mã 104 - Năm 2021) Cho hàm số y f x có bảng xét dấu của đạo hàm như sau: Số điểm cực trị của hàm số đã cho là A. 3 .B. 4 .C. 2 .D. 5 . Lời giải Chọn B. Đạo hàm của hàm số đã cho đổi dấu 4 lần qua các điểm 2, 1, 2, 4 . Nên hàm số đã cho có 4 cực trị. Câu 6. Cho hàm số y f x có bảng xét dấu của đạo hàm như sau: Số điểm cực trị của hàm số đã cho là A. 3 .B. 4 .C. 2 . D. 1. Lời giải Chọn B Dựa vào bảng xét dấu đạo hàm ta thấy đạo hàm đổi dấu qua các điểm 2,2 . Vậy hàm số có 2 điểm cực trị. Câu 7. Cho hàm số y f x xác định và có đạo hàm f '(x) . Đồ thị hàm số y f '(x) như hình vẽ Khẳng định nào sau đây đúng? A. Hàm số y f x có 2 cực trị. 7
8. B. Hàm y f x đã cho có 2 cực tiểu và 1 cực đại. C. Hàm số y f x đạt cực tiểu tại x 2 . D. Hàm số y f x đạt cực đại tại x 2 . Lời giải Chọn D Đồ thị hàm số y f ' x cắt trục Ox tại ba điểm -2, 1, 2. Nên hàm số y f x có 3 cực trị. Mà f ' x đổi dấu từ dương sang âm khi qua x 2 . Vậy hàm số y f x đạt cực đại tại x 2 . Dạng 4. Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x0 cho trước Bước 1. Tính y ' x0 , y '' x0 Bước 2. Giải phương trình y ' x0 0 m? y '' 0 x0 CT Bước 3. Thế m vào y '' x0 nếu giá trị y '' 0 x0 CD Câu 1. (Mã 110 - 2017) Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số 1 y x3 mx2 m2 4 x 3 đạt cực đại tại x 3. 3 A. m 1.B. m 7 . C. m 5 . D. m 1. Lời giải Chọn C Ta có y x2 2mx m2 4 ; y 2x 2m . 1 Hàm số y x3 mx2 m2 4 x 3 đạt cực đại tại x 3 3 y 3 0 9 6m m2 4 0 y 3 0 6 2m 0 m 1 L m2 6m 5 0 m 5 TM m 3 m 3. Vậy m 5 là giá trị cần tìm. Câu 2. (Chuyên Hạ Long 2019) Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm số y x3 2mx2 mx 1 đạt cực tiểu tại x 1 . A. m 1.B. m 1.C. m 1.D. m 1;2. Lời giải Để x 1 là điểm cực tiểu của hàm số 8
9. m 1 y 1 0 3 4m m 0 3 m 1. y 1 0 6 4m 0 m 2 Thử lại với m 1, hàm số đã cho trở thành y x3 2x2 x 1 . x 1 Ta có y 3x2 4x 10 1 x . 3 Bảng biến thiên Quan sát bảng biến thiên ta thấy m 1 thỏa yêu cầu bài toán. Câu 3. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y x3 3x2 mx 1 đạt cực tiểu tại x 2 . A. m 0 .B. m 4 .C. 0 m 4 .D. 0 m 4 . Lời giải Chọn A y 3x2 6x m ; y 6x 6. y 2 0 m 0 Hàm số đạt cực tiểu tại x 2 m 0 . y 2 0 6 0 Vậy m 0 thỏa mãn yêu cầu đề bài. Câu 4. (THPT An Lão Hải Phòng 2019) Có bao nhiêu số thực m để hàm số 1 y x3 mx2 m2 m 1 x 1 đạt cực đại tại x 1. 3 A. 0 B. 2 C. 1 D. 3 Lời giải Chọn C y ' x2 2mx m2 m 1 y '' 2x 2m Hàm số đạt cực đại tại x 1 nên ta có 2 m 1 y ' 1 0 m 3m 2 0 m 2 m 2 . y '' 1 0 2 2m 0 m 1 Vậy m 1 thỏa mãn yêu cầu đề bài. 9
10. Dạng 5. Cực trị của hàm bậc ba y ax3 bx2 cx d g Xét hàm số bậc ba y ax3 bx2 cx d ì ï a ¹ 0 Hàm số có hai điểm cực trị khi íï ï D ' = b2 - 3ac > 0. îï Hàm số không có cực trị khi y¢= 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép. gGọi x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình y 0. b S x x 1 2 a Theo Viét, ta có c P x x . 1 2 a Câu 1. (THPT Hai Bà Trưng - Huế - 2019) Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m 3 2 để hàm số y mx 2mx (m 2)x 1 không có cực trị. A. m ( ;6)  (0; ) . B. m 6;0 .C. m  6;0 .D. m  6;0 Lời giải Chọn D Ta có y' 3mx2 4mx (m 2) . TH1: m 0 y ' 2 0 (x ¡ ) . Nên hàm số không có cực trị. Do đó m 0 (TM) (1). TH2: m 0 Hàm số không có cực trị y ' không đổi dấu ' 0 4m2 3m(m 2) 0 m2 6m 0 6 m 0 (do m 0 ) (2). Kết hợp (1) và (2) ta được 6 m 0 . Câu 2. Với giá trị nào của tham số m để đồ thị hàm số y x3 3x2 m có hai điểm cực trị A, B thỏa mãn OA OB (O là gốc tọa độ)? 3 1 5 A. m .B. m 3 .C. m . D. m . 2 2 2 Lời giải Chọn D Tập xác định D ¡ . Ta có y 3x2 6x . 2 x 0 y 0 3x 6x 0 x 2. Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là A 0;m và B 2; 4 m . Theo giả thiết OA OB 02 m2 22 4 m 2 10
11. m2 4 4 m 2 5 20 8m 0 m . 2 5 Vậy m thỏa mãn yêu cầu đề bài. 2 Câu 3. (Chuyên Biên Hòa - Hà Nam - 2020) Có tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham số 2 3 2 2 2 m để đồ thị hàm số y x mx 2 3m 1 x có hai điểm cực trị có hoành độ x 1 , x2 3 3 sao cho x1x2 2 x1 x2 1. A. 1. B. 0 .C. 3 .D. 2 . Lời giải Chọn A y ' 2x2 2mx 2 3m2 1 0 g x x2 mx 3m2 1 0 . Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi y ' có hai nghiệm phân biệt g x có hai nghiệm phân biệt 2 13 m 2 13 13m 4 0 (*) 2 13 m . 13 x x m x x 1 2 1 , 2 là các nghiệm của g x nên theo định lý Vi-ét, ta có 2 x1x2 3m 1. m 0 2 2 Do đó x1x2 2 x1 x2 1 3m 2m 1 1 3m 2m 0 2 m . 3 2 Đối chiếu với điều kiện (*), ta có m thỏa mãn yêu cầu bài toán. 3 Vậy có 1 giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 4. (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Tìm tất cả cả các giá trị của tham số m để hàm số y x3 3x2 mx 1 đạt cực trị tại x , x thỏa mãn x2 x2 6 . 1 2 1 2 A. m 3 .B. m 3 .C. m 1.D. m 1. Lời giải Chọn A Ta có y ' 3x2 6x m . Hàm số đạt cực trị tại x1, x2 Phương trình y ' 0 có hai nghiệm phân biệt ' 9 3m 0 m 3. 11
12. x x 2 1 2 Theo viet ta có m x .x . 1 2 3 2 2 2 Theo giả thiết x1 x2 6 (x1 x2 ) 2x1x2 6 2m 4 6 m 3 (thỏa mãn). 3 Vậy m 3 thỏa mãn yêu cầu đề bài. Câu 5. (Chuyên Hạ Long - 2018) Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y x3 3mx2 2 có hai điểm cực trị A và B sao cho các điểm A , B và M 1; 2 thẳng hàng. A. m 2 .B. m 2 .C. m 2 . D. m 2 ; m 2 . Lời giải Ta có: y 3x2 6mx ; y 0 3x2 6mx 0 x 0 , x 2m . Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị y 0 có hai nghiệm phân biệt 2m 0 m 0 . Khi đó hai điểm cực trị là A 0;2 , B 2m;2 4m3 .   Ta có MA 1;4 , MB 2m 1;4 4m3 .   Ba điểm A , B và M 1; 2 thẳng hàng MA , MB cùng phương 2m 1 4 4m3 2m 1 1 m3 2m 1 m3 1 m3 2m 1 4 1 1 m 0 m 0 (l) 2 m 2 m 2 (TM ). Vậy m 2 thỏa mãn yêu cầu đề bài. Dạng 5. Biện luận số cực trị của hàm bậc bốn y ax4 bx2 c (a 0) Hàm số y ax4 bx2 c có ba cực trị khi ab < 0. Hàm số y ax4 bx2 c có 1 cực trị khi ab ³ 0. Câu 1. (Đề Tham Khảo - 2017) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y m 1 x4 2 m 3 x2 1 không có cực đại? A. 1 m 3 B. m 1 C. m 1 D. 1 m 3 Lời giải Chọn D TH1: Nếu m 1 y 4x2 1. Suy ra hàm số không có cực đại. TH2: Nếu m 1. Để hàm số không có cực đại thì 2 m 3 0 m 3. Suy ra 1 m 3. Vậy 1 m 3. 1 Câu 2. Cho hàm số f (x) x3 mx2 (4m 3)x 1. Tìm m để hàm số có hai cực trị. 3 12
13. A. m 1 hoặc m 3. B. m 13 . C. m 3 . D. m 1 hoặc m 3 . Lời giải Chọn A Tập xác định D ¡ . Ta có y ' x2 2mx 4m 3 . Hàm số có hai điểm cực trị y ' 0 có hai nghiệm phân biệt và đổi dấu qua hai nghiệm ấy. a 1 0 m 3 2 ' m 4m 3 0 m 1. Vậy m 1 hoặc m 3. Câu 3. (Chuyên Sơn La - Lần 2 - 2019) Tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y x4 m 3 x2 m 1 có điểm cực đại mà không có điểm cực tiểu là A. m 3 .B. m 3 .C. m 3. D. m 3 . Lời giải Chọn A y ' 4x3 2 m 3 x 2x 2x2 m 3 . x 0 y ' 0 3 m x2 . 2 Vì hàm số đã cho là hàm trùng phương với a 1 0 nên hàm số có điểm cực đại mà không có điểm cực tiểu 3 m y ' 0 có đúng 1 nghiệm bằng 0 0 m 3. 2 Câu 4. (Quang Trung - Bình Phước - Lần 5 - 2019) Cho hàm số y x4 2mx2 m . Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số có 3 cực trị. A. m 0 .B. m 0 .C. m 0 .D. m 0 . Lời giải Chọn A Tập xác định D ¡ . y ' 4x3 4mx 4x x2 m . x 0 2 y ' 0 4x x m 0 2 x m . Hàm số có 3 cực trị y ' 0 có 3 nghiệm phân biệt phương trình có 2 nghiệm phân biệt x 0 m 0 . Câu 5. (Chuyên Hà Tĩnh - Lần 1 - 2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y m2 x4 m2 2019m x2 1 có đúng một cực trị? A. 2019 .B. 2020 .C. 2018 . D. 2017 . Lời giải Chọn A 13
14. Trường hợp 1: m 0 y 1 nên hàm số không có cực trị. m 0 (loại). Trường hợp 2: m 0 m2 0 . Hàm số y m2 x4 m2 2019m x2 1 có đúng một cực trị m2. m2 2019m 0 m2 2019m 0 0 m 2019 . Vì m 0 0 m 2019 . Do m ¢ nên có 2019 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn. Dạng 6. Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị Câu 1. (Mã 123 - 2017) Đồ thị hàm số y x3 3x2 9x 1 có hai cực trị A và B . Điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng AB ? A. M 0; 1 .B. N 1; 10 .C. P 1;0 . D. Q 1;10 . Lời giải Chọn B 2 x 1 Ta có: y 3x 6x 9 0 x 3. Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là A(1; 10) và B 3; 26 . Do đó, điểm N 1; 10 thuộc đường thẳng AB . Câu 2. (Mã 104 - 2017) Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng d : y 2m 1 x 3 m vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y x3 3x2 1. 3 3 1 1 A. m .B. m . C. m .D. m . 2 4 2 4 Lời giải Chọn B 2 x 0 Ta có y 3x 6x 0 x 2. Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A 0;1 , B 2; 3 . Đường thẳng qua hai điểm cực trị có phương trình y ax b . b 1 a 2 Ta có hệ 2a b 3 b 1. Đường thẳng qua hai điểm cực trị có phương trình y 2x 1. Đường thẳng này vuông góc với đường thẳng y 2m 1 x 3 m khi và chỉ khi 3 2m 1 2 1 m . 4 Câu 3. Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng y 2m 1 x m 3 song song với đường thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số y x3 3x2 1. 14
15. 3 1 3 1 A. m .B. m . C. m .D. m . 4 2 4 2 Lời giải Chọn D Hàm số y x3 3x2 1 có TXĐ: R ; 2 x 0 y 3x 6x ; y ' 0 x 2.  Suy ra đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là A 0;1 , B 2; 3 AB 2; 4 . x y 1 Đường thẳng d đi qua hai điểm A , B có phương trình: y 2x 1. 2 4 Đường thẳng y 2m 1 x m 3 song song với đường thẳng 2m 1 2 1 d m . m 3 1 2 Câu 4. (Lương Văn Chánh - Phú Yên – 2018) Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng d : y 3m 1 x 3 m vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y x3 3x2 1. 1 1 1 1 A. .B. .C. m .D. . 3 6 6 3 Lời giải Chọn B 3 2 2 x 0 Hàm số y x 3x 1 có TXĐ: R ; y 3x 6x ; y ' 0 x 2.  Suy ra đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là A 0; 1 , B 2; 5 AB 2; 4 . x y 1 Đường thẳng d đi qua hai điểm A , B có phương trình: y 2x 1. 2 4 1 Để d vuông góc với thì 3m 1 . 2 1 m . 6 1 Vậy giá trị cần tìm của m là m . 6 III. Những lỗi học sinh thường mắc Sai lầm thứ nhất : Không phân biệt được các khái niệm liên quan đến cực trị Ví dụ 1: Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y x4 2x2 3 là A. x 1. B. 1;4 . C. 0;3 . D. x 0 . Trong ví dụ này, học sinh hay nhầm lẫn giữa phương án C và D. Nếu x0 là điểm cực trị của hàm số y f (x) thì điểm x0 ; f (x0 ) là điểm cực trị của đồ thị hàm số (C) . Phương án đúng C. 15
16. Ví dụ 2: Cho hàm số có bảng biến thiên như sau : Khẳng định nào sau đây đúng ? A. Hàm số đạt cực đại tại x 2 .B. Hàm số đạt cực đại tại x 3. C. Hàm số đạt cực đại tại x 4 . D. Hàm số đạt cực đại tại x 2. Trong ví dụ này học sinh hay nhầm lẫn giữa A và C. Phương án đúng C. Cách khắc phục: Nắm vững các khái niệm sau Cho hàm số y f (x) nếu x0 là điểm cực trị của hàm số thì Hàm số đạt cực trị tại x0 ( x0 là điểm cực trị của hàm số). Cực tiểu (giá trị cực tiểu) của hàm số là y f (x0 ) . Điểm cực trị của đồ thị hàm số là x0 ; f (x0 ) . Sai lầm thứ 2: Phương trình f '(x) 0 vô nghiệm thì kết luận hàm số không có cực trị Ví dụ 1 : Số cực trị của hàm số y 3 (x 2)2 là A. 0 .B. 2 .C. 1.D. 3 . 2 Ta có y ' . 3 x 2 Phương trình y ' 0 vô nghiệm nên hàm số đã cho không có cực trị. Lời giải như trên là sai. Ta có bảng biến thiên của hàm số đã cho như sau Vậy hàm số đã cho có 1 cực trị. Sai lầm thứ 3: Hàm số không có đạo hàm tại x0 thì không đạt cực trị tại điểm đó Ví dụ 1: Cho hàm số y f x xác định, liên tục trên ¡ và có bảng biến thiên như sau : 16
17. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là A. 0 .B. 2 .C. 1.D. 3 . Học sinh có thể mắc sai lầm chọn B vì hàm số không có đạo hàm tại x 0 . Phương án đúng là D. Do f '(x) đổi dấu khi qua 4,0,4 nên hàm số đã cho có 3 cực trị. Ví dụ 2: Cho hàm số y f x xác định, liên tục trên ¡ và có bảng biến thiên như sau: Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. Hàm số có đúng một cực trị. B. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 2 . C. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 2 và giá trị nhỏ nhất bằng 3 . D. Hàm số đạt cực đại tại x 0 và đạt cực tiểu tại x 1 . Học sinh có thể chọn phương án A vì f '(x) không xác định tại x 0 . Học sinh cũng chọn phương án C vì đồng nhất giữa giá trị cực tiểu và giá trị nhỏ nhất, giá trị cực đại và giá trị lớn nhất. Phương án đúng D. Cách khắc phục: Lập bảng biến thiên của hàm số, f '(x) đổi dấu thì hàm số có cực trị. Sai lầm thứ 4: Nếu x0 là nghiệm của phương trình f '(x) 0 thì x0 là điểm cực trị của hàm số Ví dụ: Số cực trị của hàm số y x3 1 là A. 0 .B. 2 .C. 1.D. 3 . Học sinh dễ chọn C do tính được y ' 3x2 có một nghiệm x 0 . Tuy nhiên do x 0 là nghiệm bội chẵn nên f '(x) không đổi dấu khi đi qua x 0 nên hàm số không đạt cực trị tại đó. Phương án đúng A. Cách khắc phục: Lập bảng biến thiên của hàm số, f '(x) đổi dấu thì hàm số có cực trị. Sai lầm thứ 4: Nếu x0 là điểm cực đại của hàm số y f (x) thì f ''(x0 ) 0 (tương tự đối với cực tiểu) Ví dụ : Tìm m để hàm số y x4 mx2 đạt cực tiểu tại x 0 . A. m 0 .B. m 0 .C. m 0 .D. m 0 . 17
18. Lời giải sai Ta có y ' 4x3 2mx, y '' 8x 2m . y '(0) 0 Hàm số đạt cực tiểu tại x 0 2m 0 m 0 . Chọn D. y ''(0) 0 Sai lầm : Với m 0 hàm số trở thành y x4 . Hàm số đạt cực đại tại x 0 . Do đó , m 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Lời giải đúng Ta có y ' 4x3 2mx 2x(x2 m) . Nếu m 0 thì y ' 0 có một nghiệm x 0 . Ta có bảng biến thiên Hàm số đạt cực tiểu tại x 0 . Nếu m 0 thì y ' 0 có ba nghiệm. Ta có bảng biến thiên Hàm số đã cho đạt cực đại tại x 0 (loại). Vậy m 0 thỏa mãn yêu cầu đề bài. Chọn C IV- Hệ thống câu hỏi ôn tập Câu 1. (THPT Ba Đình 2019) Cho hàm số y x4 2x2 1. Xét các mệnh đề sau đây : 1) Hàm số có 3 điểm cực trị. 2) Hàm số đồng biến trên các khoảng 1;0 ; 1; . 3) Hàm số có 1 điểm cực trị. 4) Hàm số nghịch biến trên các khoảng ; 1 ; 0;1 . Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong bốn mệnh đề trên? A. 2.B. 1. C. 4.D. 3. Lời giải Chọn D 18
19. x 0 y 1 y ' 4x3 4x y ' 0 x 1 y 0 x 1 y 0. Bảng biến thiên Hàm số có 3 điểm cực trị, đồng biến trên khoảng 1;0 ; 1; và nghịch biến trên khoảng ; 1 ; 0;1 . Vậy các mệnh đề 1, 2 , 4 đúng. Câu 2. (Mã 104 - 2021) Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau: Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng A. 0 .B. 3 .C. 1.D. 1. Lời giải Chọn C Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng 1. Câu 3. (Đề minh họa 2023) Cho hàm số y ax4 bx2 c có đồ thị là đường cong như hình vẽ Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có tọa độ là A. ( 1; 2) .B. (1; 2) .C. (0;1) .D. (1;0) . Lời giải 19
20. Chọn C Nhìn vào đồ thị ta thấy điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là (0;1) . é ù Câu 4. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn ëê- 2;3ûú, có bảng biến thiên như hình vẽ Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ? A. Giá trị cực tiểu của hàm số là 0 . B. Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 1. C. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 1. D. Giá trị cực đại của hàm số là 5. Lời giải Chọn C Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đã cho đạt cực tiểu tại điểm x = 1. Câu 5. Biết M 0;2 , N 2; 2 là các điểm cực trị của đồ thị hàm số y ax3 bx2 cx d . Tính giá trị của hàm số tại x 2. A. y 2 2 . B. y 2 22 . C. y 2 6 . D. y 2 18. Lời giải Chọn D Ta có y 3ax2 2bx c . Vì M 0;2 , N 2; 2 là các điểm cực trị của đồ thị hàm số nên y 0 0 c 0 a 1 y 2 0 12a 4b c 0 b 3 y x3 3x2 2 . y 0 2 d 2 c 0 8a 4b 2c d 2 d 2. y 2 2 Vậy y 2 18. Câu 6. Cho hàm số f x , bảng xét dấu của f x như sau: Số điểm cực trị của hàm số đã cho là A. 0 .B. 2 .C. 1.D. 3 . 20
21. Lời giải Chọn B x 1 Ta có f x 0 x 0 x 1. Từ bảng biến thiên ta thấy f x đổi dấu khi x qua nghiệm 1 và nghiệm 1; không đổi dấu khi x qua nghiệm 0 nên hàm số có hai điểm cực trị. Câu 7. Cho hàm số f x có đạo hàm f x x3 x 1 x 2 ,x ¡ . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là A. 1.B. 3 .C. 5 .D. 2 . Lời giải Chọn B x 0 3 Ta có: f x 0 x x 1 x 2 0 x 1 x 2. Bảng xét dấu Dựa vào bảng xét dấu nhận thấy hàm số f x có 3 điểm cực trị. Câu 8. Cho hàm số f x có đạo hàm f x trên khoảng  . Đồ thị hàm số y f x như hình vẽ Số điểm cực trị của hàm số f x là A. 1.B. 3 .C. 0 .D. 2 . Lời giải Chọn B 21
22. Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình f x 0chỉ có một nghiệm đơn (và hai nghiệm kép) nên f x chỉ đổi dấu khi qua nghiệm đơn này. Do đó suy ra hàm số f x có đúng một cực trị. Câu 9. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y 2x4 (m 1)x2 4 có ba điểm cực trị? A. m 1.B. m 0 .C. m 1. D. m 0 . Lời giải Chọn C Ta có y ' 8x3 2(m 1)x . x 0 y ' 0 m 1 x2 (1). 4 Hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi y ' 0 có ba nghiệm phân biệt m 1 Phương trình một có hai nghiệm phân biệt khác 0 0 m 1. 4 Vậy m 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Cách nhanh: Hàm số có ba điểm cực trị ab 0 (m 1) 0 m 1. Câu 10. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y 2x3 3(m 1)x2 6(m 2)x đạt cực đại và cực tiểu . A. Không có giá trị nào của m . B. Với mọi m . C. m 3 .D. m 3 . Lời giải Chọn D Ta có y ' 6x2 6(m 1)x 6(m 2) . Hàm số đạt cực đại và cực tiểu thì y ' 0 có hai nghiệm phân biệt (m 3)2 0 m 3 . Vậy m 3 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 11. Cho hàm số y mx4 (2m 1)x2 1. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có một điểm cực đại? 1 1 1 1 A. m . B. m 0 C. m 0 .D. m . 2 2 2 2 Lời giải Chọn D Với m 0 , hàm số trở thành y x2 1 . Đồ thị hàm số là một Parabol có một điểm cực đại. Từ đó m 0 thỏa mãn. Với m 0 22
23. a 0 m 0 1 b 0 2m 1 0 m 0 Hàm số đã cho có một điểm cực đại 2 a 0 m 0 m 0. b 0 2m 1 0 1 Vậy m thỏa mãn yêu cầu đề bài. 2 Câu 12. Cho hàm số y x3 3mx2 3(m2 1)x . Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số đạt cực đại tại x0 1. A. m 0 . B. m 0 hoặc m 2 . C. m 0 và m 2 .D. m 2 . Lời giải Chọn D Ta có y ' 3x2 6mx 3(m2 1); y '' 6x 6m . 2 m 0 y '(1) 0 3m 6m 0 Hàm số đạt cực đại tại x0 1 m 2 y ''(1) 0 m 1 m 1. Vậy m 2 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 13. (THPT Thăng Long - Hà Nội - Lần 2 - 2019) Tìm tập hợp tất cả các giá trị của m để hàm số y x3 3m 1 x2 m2 x 3 đạt cực tiểu tại x 1. A. 5;1 .B. 5 . C.  . D. 1 . Lời giải Chọn B Ta có y 3x2 2 3m 1 x m2 y 6x 6m 2 . Hàm số đạt cực tiểu tại x 1 m 1 2 f 1 0 m 6m 5 0 m 5 m 5. f 1 0 6m 8 0 4 m 3 Câu 14. (Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 2019) Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m trên miền  10;10 để hàm số y x4 2 2m 1 x2 7 có ba điểm cực trị? A. 20 B. 10 C. Vô sốD. 11 Lời giải Chọn D 2 Ta có y ' 4x x 2m 1 . x 0 y 0 2 x 2m 1 * 23
24. Hàm số đã cho có ba cực trị khi và chỉ khi y 0 có ba nghiệm phân biệt, hay 1 (*) có hai nghiệm phân biệt khác 0 2m 1 0 m . 2 Do m  10;10 nên có 11 giá trị thỏa mãn. Câu 15. (Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - 2018) Biết m0 là giá trị của tham số m để 3 2 2 2 hàm số y x 3x mx 1 có hai điểm cực trị x1, x2 sao cho x1 x2 x1x2 13. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. m0 1;7 . B. m0 7;10 . C. m0 15; 7 . D. m0 7; 1 . Lời giải Chọn C TXĐ: D R y 3x2 6x m . Xét y 0 3x2 6x m 0 ; 9 3m . Hàm số có hai điểm cực trị 0 m 3. m Hai điểm cực trị x ; x là nghiệm của y 0 nên x x 2; x .x . 1 2 1 2 1 2 3 2 2 2 Để x1 x2 x1x2 13 x1 x2 3x1.x1 13 4 m 13 m 9. Vậy m0 9 15; 7 . Câu 16. (THPT Thanh Miện I - Hải Dương 2018) Biết rằng đồ thị hàm số 1 1 f x x3 mx2 x 2 có giá trị tuyệt đối của hoành độ hai điểm cực trị là độ dài hai 3 2 cạnh của tam giác vuông có cạnh huyền là 7 . Số giá trị của m là A. 3 . B. 1. C. Không có m . D. 2 . Lời giải Chọn D Có y x x2 mx 1, y 0 x2 mx 1 0 1 . • Để hàm số có cực trị thì 1 có hai nghiệm phân biệt 2 m 2 0 m 4 0 m 2. x1 x2 m • Gọi hai nghiệm của 1 là x1 , x2 . Khi đó, ta có x1.x2 1. Độ dài hai cạnh của tam giác vuông đó là x1 , x2 . Theo bài ra ta có phương trình 2 2 2 2 2 x1 x2 7 x1 x2 2x1x2 7 m 2 7 m 9 m 3 (thỏa mãn). Vậy có 2 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Hết 24