Ôn tập TN THPT môn Toán - Chuyên đề: Dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân

Nội dung tài liệu: Ôn tập TN THPT môn Toán - Chuyên đề: Dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân

1. Trư￿ng PTLC Lương Th￿ Vinh DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN §1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC – DÃY SỐ A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Phương pháp chứng minh quy nạp 1.1. Khái niệm : Để chứng minh mệnh đề chứa biến A n là một mệnh đề đúng với mọi giá trị nguyên dương n , ta thực hiện như sau: • Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n 1. • Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương n k tuỳ ý k 1 , chứng minh rằng mệnh đề đúng với n k 1. 1.2. Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề A n là đúng với với mọi số nguyên dương n p thì : •Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với n p •Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương bất kì n k p và phải chứng minh mệnh đề đúng với n k 1. 2. Dãy số 2.1. Định nghĩa : Dãy số là hàm số với đối số là số tự nhiên u : ¥ * ¡ n u(n) 2.2. Dãy số tăng, dãy số giảm * • un là dãy số tăng un 1 un , n ¥ * un 1 un 0, n ¥ un 1 * 1 , un 0 ,n ¥ un * • un là dãy số giảm un 1 un , n ¥ * un 1 un 0, n ¥ un 1 * 1 , un 0 ,n ¥ un 2.3. Dãy số bị chặn * • un là dãy số bị chặn trên M ¡ : un M , n ¥ . * • un là dãy số bị chặn dưới m ¡ : un m , n ¥ . * • un là dãy số bị chặn m , M ¡ : m un M , n ¥ . B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP : 1. Chứng minh các mệnh đề bằng quy nạp 1.1. Phương pháp : Ta thực hiện đúng theo 2 bước : • Bước 1 : (bước cơ sở) Chứng minh đẳng thức đúng khi n 1 (hoặc n p ) . • Bước 2 : (bước quy nạp) Giả sử đẳng thức đúng khi n k với k 1 hay k p ,ta phải chứng minh đẳng thức đó cũng đúng khi n k 1. 1.2. Các ví dụ minh họa : Ví dụ 1. Chứng minh các đẳng thức sau đúng với mọi n ¥ * : n(n 1) n(n 1)(2n 1) a) 1 2 3  n (1) ; b) 12 22  n2 (2) . 2 6 Ví dụ 2. Chứng minh các đẳng thức sau đúng với mọi n ¥ * : n(n 1)(n 2) 1 1 1 n a) 1.2 2.3 n(n 1) (1) ; b) (2) . 3 1.2 2.3 n(n 1) n 1 Chuyên đ￿ dãy s￿ 35
2. Trư￿ng PTLC Lương Th￿ Vinh Ví dụ 3. Chứng minh các bất đẳng thức sau : 1 1 a) 2n 3 3n 1 , n 8 (1) ; b) 1 2 n , n ¥ * (2) . 2 n Ví dụ 4. Chứng minh các mệnh đề sau : 3 2 * 2n 1 n 2 * a) un n 3n 5n chia hết cho 3 , n ¥ b) vn 3 2 chia hết cho 7 , n ¥ 2. Tìm các số hạng của dãy số và tìm số hạng tổng quát của dãy số khi cho bằng hệ thức truy hồi . 2.1. Phương pháp : • Dựa theo cách cho của dãy số để tìm ra các số hạng cần tìm , nếu dãy số cho dưới dạng tổng quát thì muốn tìm số hạng thứ k ta chỉ việc thay n k vào công thức tổng quát . Nếu dãy số cho dưới dạng truy hồi thì ta phải tính các số hạng truy hồi dần lên đến số hạng cần tìm . • Để tìm số hạng tổng quát của một dãy số khi nó được cho dưới dạng truy hồi ta có rất nhiều cách nhưng thông thường ta nên viết một số só hạng đầu , rồi dự đoán công thức và chứng minh lại bằng quy nạp . 2.2. Các ví dụ minh họa : Ví dụ 5. Hãy viết 5 số hạng đầu của dãy số un biết : n 1 u 15 , u 9 a) u ; b) u : 1 2 . n 2 n n 1 un 2 un un 1 Ví dụ 6. Tìm số hạng tổng quát của dãy số un biết : u 3 u1 1 1 a) un : ; b) un : . u 2u 3 2 n 1 n un 1 1 un 3. Xét tính tăng , giảm và tính bị chặn của dãy số . 3.1. Phương pháp : • Dựa theo định nghĩa : * o un là dãy số tăng un 1 un , n ¥ * un 1 un 0, n ¥ un 1 * 1 , un 0 ,n ¥ un * o un là dãy số giảm un 1 un , n ¥ * un 1 un 0, n ¥ un 1 * 1 , un 0 ,n ¥ un * o un là dãy số bị chặn m , M ¡ : m un M , n ¥ . 3.2. Các ví dụ minh họa : Ví dụ 7. Xét tính tăng , giảm của các dãy số un biết : 2n 1 2 n ( 1)n a) u ; b) u ; c) u . n 3n 2 n n n n 2 Ví dụ 8. Xét tính bị chặn của các dãy số un biết : 2 n 2n n n a) un 2 ; b) un ; c) un ( 1) cos . n n 1 n2 2n n 2n C. BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1. Chứng minh các đẳng thức sau đúng n ¥ * : a) 1.4 2.7 n(3n 1) n(n 1)2 ; 36 Chuyên đ￿ dãy s￿
3. Trư￿ng PTLC Lương Th￿ Vinh n(n 1) n n 1 n 2 b) 1 3 6 10  ; 2 6 2 2 n(4n 1) c) 12 32 52  2n 1 ; 3 2 2n n 1 2n 1 d) 22 42 62  2n ; 3 1 1 1 1 n n 3 e)  ; 1.2.3 2.3.4 3.4.5 n. n 1 . n 2 4 n 1 n 2 1 1 1 n 1 f) 1 1  1 2 ; 4 9 n 2n Bài 2. Chứng minh các bất đẳng thức sau : a) 2n 2 2n 5 , n ¥ * ; 1 1 1 b) 1  2 , n 2 ; 22 n2 n 1 3 5 2n 1 1 c)    , n ¥ * ; 2 4 6 2n 3n 1 1 1 1 13 d)  , n 2 ; n 1 n 2 2n 24 e) 3n 1 n n 2 , n 4 . 1 1 1 1 f)  1, n ¥ * . n 1 n 2 n 3 3n 1 Bài 3. Chứng minh các mệnh đề sau đúng n ¥ * : a) n3 2n chia hết cho 3 ; b) 7.22n 2 32n 1 chia hết cho 5 ; c) n3 11n chia hết cho 6 ; d) 13n 1 chia hết cho 6 ; e) 11n 1 122n 1 chia hết cho 133 ; f) 523n 2 33n 1 chia hết cho 19 . n Bài 4. a) Cho số thực a 1 . Chứng minh rằng : 1 a 1 na , n ¥ . n n n * a b a b b) Chứng minh rằng nếu a 0 , b 0 , n ¥ thì ta có : 2 2 c) Cho n số thực x1 , x2 , x3 ,, xn 0 ;1 . Chứng minh rằng : 1 x1  1 x2  1 xn 1 x1 x2  xn ,n 2 . Bài 5. (*) Tìm số hạng tổng quát của dãy số un biết : 5 u1 u1 1 4 a) un : ; b) un : ; u 2u 1 u 1 n 1 n u n n 1 2 u1 1 u1 1 c) un : ; d) un : u ; u n un 1 un 5 n 1 1 un u1 1 e) un : . un 1 5un Chuyên đ￿ dãy s￿ 37
4. Trư￿ng PTLC Lương Th￿ Vinh Bài 6. Xét tính tăng , giảm của dãy số un biết : n2 n 1 4n 1 a) u ; b) u ; n n2 1 n 4n 5 n 11 c) u n 3 n ; d) u ; n n n u 3 1 u1 6 e) un : 2u ; f) un : . u n n 1 un 1 6 un un 3 Bài 7. Xét tính bị chặn của các dãy số un biết : 1 a) u ; b) u n2 4 ; n n(n 1) n 1 1 3n2 2n 1 c) u cos ; d) u . n n n n n2 2 Bài 8. Xét tính bị chặn của các dãy số un biết : 1 1 1 a) u  ; n 13 35 2n 1 2n 1 1 1 1 b) un  . n2 1 n2 2 n2 n Bài 9. (*) Xét tính tăng , giảm và bị chặn của các dãy số sau : u1 2 1 1 1 a) un : ; b) un  . n 1 n 2 2n un 1 2 un u1 1 Bài 10. Cho dãy số : un : 2 . Chứng minh un là dãy số không đổi (dãy số có tất cả các số hạng u n 1 2 un 1 đều bằng nhau) . b2n2 1 Bài 11. (*) Cho dãy số u biết u và b ¡ . Hãy xác định b để n n n2 3 a) un là dãy số giảm ; b) un là dãy số tăng . Bài 12. Cho dãy số u biết u sin 4n 1 . Tính tổng 15 số hạng đầu tiên của dãy số trên : n n 6 S15 u1 u2  u15 .  38 Chuyên đ￿ dãy s￿
5. Trư￿ng PTLC Lương Th￿ Vinh §2. CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Cấp số cộng * 1.1. Định nghĩa : Dãy số un là cấp số cộng un 1 un d , n ¥ d là số không đổi , gọi là công sai của cấp số cộng . * 1.2. Số hạng tổng quát : un u1 (n 1)d , n 2 , n ¥ . uk 1 uk 1 * 1.3. Tính chất : uk , k 2 , k ¥ . 2 1.4. Tổng n số hạng đầu tiên : n(u u ) n2u (n 1)d  S u u u 1 n 1 n 1 2 n 2 2 2. Cấp số nhân * 2.1. Định nghĩa : Dãy số un là cấp số nhân un 1 un q , n ¥ q là số không đổi , gọi là công bội của cấp số nhân . n 1 * 2.2. Số hạng tổng quát : un u1.q , n 2 , n ¥ . 2 * 2.3. Tính chất : uk uk 1.uk 1 , k 2 , k ¥ . 2.4. Tổng n số hạng đầu tiên : Sn u1 u2 un nu1 khi q 1 n . u1(1 q ) Sn u1 u2 un khi q 1 1 q B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP : 1. Chứng minh các dãy số là cấp số 1.1. Phương pháp : Dựa theo định nghĩa của cấp số cộng và cấp số nhân để chứng minh * •  un un 1 un d un 1 un d , n ¥ , ( d : không đổi) . un 1 * •  un 1 un q q, n ¥ , ( q : không đổi) .  un 1.2. Các ví dụ minh họa : Ví dụ 1. Trong các dãy số sau , dãy nào là cấp số cộng , nếu phải hãy tìm công sai của cấp số cộng đó : n 7 3n a) u 1 ; b) u ; n 2 n 2 n u1 3 c) un 1 2n ; d) un 1 1 un , n 1 Ví dụ 2. Trong các dãy số sau , dãy nào là cấp số nhân , nếu phải hãy tìm công bội của cấp số nhân đó : 5 a) u ; b) u ( 1)n .33n 1 ; n 2n n u 1 1 c) un n 3 ; d) 2 u u u , n 1 n 1 n 5 n 2. Tìm u1 ; d ; q ; Sn của cấp số 2.1. Phương pháp : Dựa vào các công thức về số hạng tổng quát , tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng hoặc cấp số nhân để suy ra kết quả . 2.1.1. Nếu un là cấp số cộng thì : Chuyên đ￿ dãy s￿ 39
6. Trư￿ng PTLC Lương Th￿ Vinh * • un u1 (n 1)d , n 2 , n ¥ n(u u ) n2u (n 1)d  • S u u u 1 n 1 . n 1 2 n 2 2 2.1.2. Nếu un là cấp số nhân thì : n 1 * • un u1.q , n 2 , n ¥ . Sn u1 u2 un nu1 khi q 1 • n u1(1 q ) Sn u1 u2 un khi q 1 1 q 2.2. Các ví dụ minh họa : Ví dụ 3.Tìm u1 , d , u15 , S20 của các cấp số cộng sau : u9 5u2 a) un : 2,5,8,11, ; b) un biết . u13 2u6 5 Ví dụ 4.Tìm u1 , d của các cấp số cộng biết : u1 u5 u3 10 u7 u3 8 a) ; b) ; u1 u6 7 u2.u7 75 152 2 u3 u5 14 S c) ; d) 16 3 . S12 129 S21 3S10 Ví dụ 5.a) Tìm 5 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng là 25 và tổng các bình phương của chúng là 165 ; b) Tìm 4 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng là 10 và tổng các bình phương của chúng là 70 . Ví dụ 6.Tìm u1 , q , u15 , S20 của các cấp số nhân sau : u3 u5 90 u1 u3 u5 65 a) ; b) . u2 u6 240 u1 u7 325 Ví dụ 7.Tìm u1 , q biết u1 0 của các cấp số nhân biết : u1.u5 25 u1 u2 u3 14 a) ; b) . u2 u3 u4 31 u1.u2.u3 64 Ví dụ 8.a) Tìm 3 số hạng liên tiếp của một cấp số nhân biết tổng của chúng là 14 và tổng các bình phương của chúng là 84 . b) Tìm 4 số hạng liên tiếp của một cấp số nhân biết tổng của chúng là 15 và tổng các bình phương của chúng là 85 . 3. Các bài toán ứng dụng tính chất của cấp số 3.1. Phương pháp : Dựa vào các công thức về tính chất các số hạng của cấp số cộng hoặc cấp số nhân : uk 1 uk 1 * • Nếu un là cấp số cộng thì : uk , k 2 , k ¥ 2 2 * • Nếu un là cấp số nhân thì : uk uk 1.uk 1 , k 2 , k ¥ . 3.2. Chú ý : Ta có thể dễ dàng chứng minh được : • a , b , c lập thành cấp số cộng a c 2b . • a , b , c lập thành cấp số nhân a.c b2 . 3.3. Các ví dụ minh họa : Ví dụ 9. Cho ba số a , b , c lập thành cấp số cộng . Chứng minh các hệ thức sau: 2 a) a2 2bc c2 2ab ; b) a2 8bc 2b c . 40 Chuyên đ￿ dãy s￿
7. Trư￿ng PTLC Lương Th￿ Vinh Ví dụ 10. Cho ba số a2 , b2 , c2 lập thành một cấp số cộng có công sai d 0 . Chứng minh rằng ba số 1 1 1 , , cũng lập thành một cấp số cộng. b c c a a b Ví dụ 11. Cho ba số a , b , c lập thành cấp số nhân .Chứng minh các hệ thức sau: a) (a2 b2 ).(b2 c2 ) (ab bc)2 ; b) a2 4c2 4ab 8bc (a 2b 2c)2 . 2 1 2 Ví dụ 12. Chứng minh rằng nếu 3 số , , lập thành một cấp số cộng thì 3 số x , y , z lập thành một y x y y z cấp số nhân . Ví dụ 13. Tìm các số dương a và b sao cho 2a 1 , 2a b , 2b 1 lập thành một cấp số cộng và 2 2 b 3 , ab 4 , a 1 lập thành một cấp số nhân. 4. Tính tổng hữu hạn 4.1. Phương pháp: Để tính một tổng có hữu hạn phần tử ta có thể làm như sau: • Xét xem các số hạng của nó có lập thành một cấp số cộng hoặc cấp số nhân hay không , nếu chưa hãy biến đổi các số hạng hoặc tách thành các tổng khác nhau mà các số hạng của chúng tạo thành cấp số . • Dựa và công thức số hạng tổng quát của cấp số để tìm xem các tổng cần tính có bao nhiêu số hạng . • Tính các tổng trên dựa vào các công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số , rồi suy ra kết quả . 4.2. Chú ý : • un lập thành cấp số cộng thì : n(u u ) n2u (n 1)d  S u u u 1 n 1 . n 1 2 n 2 2 • un lập thành cấp số nhân thì : Sn u1 u2 un nu1 khi q 1 n . u1(1 q ) Sn u1 u2 un khi q 1 1 q 4.3. Các ví dụ minh họa : Ví dụ 14. Tính các tổng sau : a) A 15 20 25  7515 ; b) .B 10002 9992 9982 9972  22 12 Ví dụ 15. Tính các tổng sau : a) A 27 81 243  531441 ; b) B 9 99 999  999 . n soá 9 Ví dụ 16. Tính các tổng sau : a) A 1 2.2 3.22 100.299 ; 2 2 2 1 2 1 n 1 b) B 3 3 2  3 n . 3 3 3 C. BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1. Trong các dãy số un dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng, khi đó cho biết số hạng đầu và công sai của nó: 2n 1 a) u 5n 3 ; b) u ; c) u n3 ; n n 3 n n 4 3n u1 2 d) un 4 1 ; e) un ; f) un : . 5 un 1 3 un Bài 2. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng, biết: u u u 10 u u u 10 u2 u4 5 a) 1 5 3 ; b) 2 5 3 ; c) 2 2 u2 u5 7 u4 u6 26 u1 u5 25 Bài 3. a) Giữa các số 7 và 35 hãy đặt thêm 6 số nữa để được một cấp số cộng. b) Giữa các số 4 và 67 hãy đặt thêm 20 số nữa để được một cấp số cộng. Chuyên đ￿ dãy s￿ 41
8. Trư￿ng PTLC Lương Th￿ Vinh Bài 4. a) Tìm 3 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, biết tổng của chúng là 27 và tổng các bình phương của chúng là 293. b) Tìm 4 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, biết tổng của chúng bằng 28 và tổng các bình phương của chúng bằng 1176 . Bài 5. a) Số đo các góc của một đa giác lồi có 9 cạnh lập thành một cấp số cộng có công sai d 30 . Tìm số đo của các góc đó. b) Số đo các góc của một tứ giác lồi lập thành một cấp số cộng và góc lớn nhất gấp 5 lần góc nhỏ nhất. Tìm số đo các góc đó. Bài 6. Chứng minh rằng nếu 3 số a , b , c lập thành một cấp số cộng thì : 2 2 3 a2 b2 c2 6 a b a b c . Bài 7. Chứng minh rằng nếu 3 số a , b , c lập thành một cấp số cộng thì các số x , y , z cũng lập thành một cấp số cộng , biết : a) x b2 bc c2 ; y c2 ca a2 ; z a2 ab b2 . b) x a2 bc ; y b2 ca ; z c2 ab . Bài 8. Tìm x để 3 số a , b , c lập thành một cấp số cộng , với: a) a 10 3x ; b 2x2 3 ; c 7 4x . b) a x 1 ; b 3x 2 ; c x2 1 . Bài 9. Tìm các nghiệm số của phương trình: 4x3 6 6x2 14x 6 0 , biết rằng các nghiệm số phân biệt và tạo thành một cấp số cộng. Bài 10.Tìm các giá trị của m để phương trình : x4 2 m 2 x2 2m 3 0 có 4 nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng . u1 a , a ¡ Bài 11. Cho dãy số un : . un 1 3 2un , n 1 Tìm các giá trị của a để dãy số un là cấp số cộng . Bài 12.Cho cấp số cộng un uk m uk m * a) Chứng minh : uk , m,k ¥ , m k . 2 b) Tính tổng 2k 1 số hạng đầu tiên của un , biết uk m uk m a . n 1 2n Bài 13. Cho dãy số u , biết tổng n số hạng đầu tiên : S n n 2 a) Hãy xác định số hạng tổng quát của un . b) Chứng minh un là một cấp số cộng , tìm công sai của nó . Bài 14.Cho cấp số cộng un . Chứng minh : 1 1 1 n 1 a)  . u1.u2 u2.u3 un 1un un .u1 1 1 1 n 1 b)  , un 0 u1 u2 u2 u3 un 1 un un u1 u1 2 Bài 15. Cho dãy số un : un 1 un 3n 2 , n 1 Xét dãy số vn biết : vn un 1 un , n 1 a) Chứng minh dãy số vn là cấp số cộng , tìm số hạng đầu và công sai của nó. b) Tìm số hạng tổng quát của dãy số un . Bài 16. Trong các dãy số sau đây dãy nào là cấp số nhân , nếu phải hãy tìm công bội của nó . n 1 a) un 3. ; b) un n 3 ; 2 42 Chuyên đ￿ dãy s￿
9. Trư￿ng PTLC Lương Th￿ Vinh u1 1 u1 2 c) ; d) . 2 2 un 1 un un 1 un un 5 Bài 17.Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân, biết: u1 u2 u3 21 u1 u3 10 a) ; b) 1 1 1 7 , q 0 ; 2 2 u1 u3 50 u1 u2 u3 12 u1 u2 u3 u4 30 u1.u2 .u3 64 c) ; d) . 2 2 2 2 u1 u2 u3 u4 340 u1 u2 u3 14 Bài 18.a) Giữa các số 160 và 5 hãy chèn vào 4 số nữa để tạo thành một cấp số nhân . b) Giữa các số 243 và 1 hãy đặt thêm 4 số nữa để tạo thành một cấp số nhân. Bài 19. Tìm 3 số hạng liên tiếp của một cấp số nhân biết tổng của chúng là 19 và tích là 216. Bài 20. a) Tìm số hạng đầu của một cấp số nhân, biết rằng công bội là 3, tổng số các số hạng là 728 và số hạng cuối là 486 . b) Tìm công bội của một cấp số nhân có số hạng đầu là 7, số hạng cuối là 448 và tổng số các số hạng là 889 . Bài 21.Tìm bốn số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, trong đó số hạng thứ hai nhỏ hơn số hạng thứ nhất 35, còn số hạng thứ ba lớn hơn số hạng thứ tư 560. Bài 22.Số số hạng của một cấp số nhân là một số chẵn. Tổng tất cả các số hạng của nó lớn gấp 3 lần tổng các số hạng có chỉ số lẻ. Xác định công bội của cấp số nhân đó. Bài 23.Bốn số a , b ,c , d lập thành cấp số nhân . Chứng minh : 2 2 2 2 a) b c c a d b a d ; 2 b) ab bc cd a2 b2 c2 b2 c2 d 2 . Bài 24. Chứng minh : a) Nếu a , b , c lập thành một cấp số nhân thì ab , b2 , cb cũng lập thành một cấp số nhân . b) Nếu bốn số dương a , b , c , d lập thành cấp số nhân thì ba số : ab, bc, cd cũng lập thành cấp số nhân . 148 Bài 25.Tìm 4 số hạng đầu của một cấp số nhân, biết rằng tổng 3 số hạng đầu là , đồng thời, theo thứ tự, chúng 9 là số hạng thứ nhất, thứ tư và thứ tám của một cấp số cộng. 5n 3 Bài 26.Cho dãy số u , biết tổng n số hạng đầu tiên : S n n 5n 1 a) Hãy xác định số hạng tổng quát của un . b) Chứng minh un là một cấp số nhân , tìm công bội của nó . Bài 27.Cho cấp số nhân un có q 0 , u1 0 * a) Chứng minh : uk uk m  uk m , m, k ¥ , m k . k m b) Chứng minh : uk um  q . b) Tính tổng k số hạng đầu tiên của un , biết uk m  uk m a , q 0 . u1 1 , u2 2 Bài 28. Cho dãy số un : . un 1 3un 2un 1 , n 2 Xét dãy số vn biết : vn un 1 un , n 1 a) Chứng minh dãy số vn là cấp số nhân. b) Tìm số hạng tổng quát của dãy số un . Bài 29.Tìm 3 số hạng đầu của một cấp số nhân, biết rằng khi tăng số thứ hai thêm 2 thì các số đó tạo thành một cấp số cộng, còn nếu sau đó tăng số cuối thêm 9 thì chúng lại lập thành một cấp số nhân. Bài 30.Tìm 4 số trong đó ba số đầu là ba số hạng kế tiếp của một cấp số nhân, còn ba số sau là ba số hạng kế tiếp của một cấp số cộng; tổng hai số đầu và cuối bằng 32, tổng hai số giữa bằng 24. Chuyên đ￿ dãy s￿ 43
10. Trư￿ng PTLC Lương Th￿ Vinh Bài 31.Tìm các số x, y sao cho x 3y , 5x 2y , x 3y lập thành một cấp số cộng và 2 2 x 1 , xy 3 , y 2 lập thành một cấp số nhân . Bài 32.Chứng minh các dãy un sau vừa là cấp số cộng vừa là cấp số nhân u1 2 u1 4 a) u : 2 ; b) u : . n un 4 n un 1 , n 1 un 1 un 12 , n 1 4 Bài 33.Tính các tổng sau : a) A 7 77 777 777. 7 ; n soá 7 b) B 15 155 1555 15555 ; n soá 5 2 2 2 1 2 1 2010 1 c) C x x 2  x 2010 , x 0 ; x x x d) D 1 2.3 3.32  2010.32009 ; e) E 1 4.3 7.32  3n 2 .3n ; 1 3 5 2n 1 f) F  . 2 22 23 2n 2 2 2 2 g) G 2n 2n 1 2n 2 2n 3  22 1 . 44 Chuyên đ￿ dãy s￿
11. Trư￿ng PTLC Lương Th￿ Vinh Chuyên đ￿ dãy s￿ 45