Ôn tập TN THPT môn Toán - Chuyên đề: Dãy số, tổ hợp, xác suất (Mức độ nhận biết, thông hiểu)

Nội dung tài liệu: Ôn tập TN THPT môn Toán - Chuyên đề: Dãy số, tổ hợp, xác suất (Mức độ nhận biết, thông hiểu)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CHUYÊN ĐỀ ÔN TẬP BẮC NINH KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 ¯¯¯¯¯¯¯¯¯ Môn: Toán ¯¯¯¯¯¯¯¯ TÊN CHUYÊN ĐỀ: DÃY SỐ - TỔ HỢP – XÁC SUẤT MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT, THÔNG HIỂU Người biên soạn: NGUYỄN THỊ HẢO Đơn vị công tác: THPT HOÀNG QUỐC VIỆT I. Hệ thống kiến thức liên quan. 1. Dãy số: cấp số cộng, cấp số nhân a) Định nghĩa cấp số cộng: Nếu un là một cấp số cộng với công sai d , ta có công thức truy * hồi un 1 un d, n ¥ . Số hạng tổng quát un u1 (n 1)d, n 2. u u Tính chất của CSC: u k 1 k 1 Với k 2 . k 2 Tổng của n số hạng đầu của một cấp số cộng n(n 1) n(u1 un ) S hoặc Sn nu1 d. n 2 2 = b) Định nghĩa cấp số nhân: Dãy số (un ) được gọi là cấp số nhân khi và chỉ khi un+ 1 un.q với " n Î ¥ * và q là số cho trước không đổi ( q còn gọi là công bội). n- 1 * Số hạng tổng quát: un = u1.q với n ³ 2,n Î ¥ . 2 * Tính chất: uk = uk- 1.uk+ 1 với k ³ 2,k Î ¥ . é = = êSn nu1 ; q 1 ê Tổng n số hạng đầu: ê 1- qn êSn = u1 ; q ¹ 1 ëê 1- q 2. Tổ hợp a) Quy tắc cộng – Quy tắc nhân. Quy tắc cộng: Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động. Nếu hành động này có cách thực hiện, hành động kia có 푛 cách thực hiện không trùng với bất kì cách nào của hành động thứ nhất thì công việc đó có + 푛 cách thực hiện. 1
2. Quy tắc nhân: Một công việc được hoành thành bởi hai hành động liên tiếp. Nếu có cách thực hiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có 푛 cách thực hiện hành động thứ hai thì có .푛 cách hoàn thành công việc. b) Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp Định nghĩa hoán vị: Cho tập hợp A gồm n phần tử (n 1). Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó. Số các hoán vị:  Định lí: Pn = n(n – 1) 2.1 = n!  Qui ước: 0! = 1 Định nghĩa chỉnh hợp: Cho tập A gồm n phần tử (n 1). Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho. k Số các chỉnh hợp: Định lí: An = n(n–1) (n–k+1) Định nghĩa tổ hợp:  Giả sử tập A có n phần tử (n 1). Mỗi tập con gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.  Qui ước: Gọi tổ hợp chập 0 của n phần tử là tập rỗng. Ak n! Số các tổ hợp: Định lí: Ck n n k! k!(n k)! ❖ Tính chất 1: Cho số nguyên dương n và số nguyên k với 0 k n . k n k Khi đó Cn Cn ❖ Tính chất 2: Cho các số nguyên n và k với 1 k n . k k k 1 Khi đó Cn 1 Cn Cn 3. Xác suất của biến cố Giả sử một phép thử có không gian mẫu  gồm hữu hạn các kết quả có cùng khả năng xảy ra và A là một biến cố. Xác suất của biến cố A là một số, kí hiệu là P( A) , được xác định bởi công thức: n A  P(A) A n    Trong đó: 푛( ) và 푛(Ω) lần lượt kí hiệu số phần tử của tập và Ω. 2
3. Chú ý: 0 P(A) 1. P() 1, P() 0 .  Cho là một biến cố. Khi đó biến cố “Không xảy ra ”, kí hiệu là , được gọi là biến cố đối của .  = Ω\ ; 푃 +푃( ) = 1. Từ đó suy ra: P A 1 P A II. Các dạng bài/câu thường gặp Dạng toán 1: Xác định u1,d,un ,Sn của một cấp số cộng PP: Áp dụng công thức un u1 (n 1)d ,n 1,n ¥ n(u u ) S 1 n n 2 Bài tập minh họa: Câu 1: Cho cấp số cộng un với u1 3 và u2 9 . Công sai của cấp số cộng đã cho bằng A. 6 . B. 3 . C. 12. D. 6 . Lời giải Chọn D Ta có: u2 u1 d 9 3 d d 6 Câu 2: Cho cấp số cộng un có u2 4 và u3 3. Giá trị của u1 là A. u1 6 . B. u1 1. C. u1 5. D. u1 1. Lời giải Chọn C Gọi d là công sai của cấp số cộng u2 4 u1 d 4 d 1 Ta có . u3 3 u1 2d 3 u1 5 Câu 3: Cho cấp số cộng có số hạng đầu u1 10 và số hạng thứ hai u2 13 . Tính số hạng thứ tư u4 của cấp số cộng đã cho. A. u4 20. B. u4 18. C. u4 19. D. u4 16. Lời giải 3
4. Chọn C Vì cấp số cộng có số hạng đầu u1 10 và số hạng thứ hai u2 13 nên công sai d u2 u1 13 10 3 Do đó số hạng thứ tư u4 u1 3d 10 3.3 19. Câu 4: Cho cấp số cộng un có u5 6,u7 22 . Tính số hạng u3 . A. 4. B. 25. C. 10. D. 1. Lời giải Chọn C u5 u1 4d 6 u1 4d u1 26 Ta có . u7 u1 6d 22 u1 6d d 8 Số hạng u3 u1 2d 26 2.8 10. * Câu 5: Cho cấp số cộng un có số hạng tổng quát un 3n 1,n ¥ . Khi đó số hạng đầu u1 và công sai d là A. u1 3,d 2 . B. u1 1,d 3 . C. u1 2,d 3 . D. u1 2,d 1. Lời giải Chọn C Ta có. u1 3.1 1 2 u2 3.2 1 5 d u2 u1 5 2 3 Dạng toán 2: Xác định u1,d,un ,Sn của một cấp số nhân n 1 PP: Áp dụng công thức un u1.q ,n 1,n ¥ u (1 qn ) S 1 n 1 q Bài tập minh họa u u 2 u Câu 1: Cho cấp số nhân n với 1 , công bội q 3. Số hạng 4 của cấp số nhân bằng A. 54 . B. 11. C. 12. D. 24 . Lời giải 4
5. Chọn A Số hạng u của cấp số nhân được tính theo công thức:u u .q3 2.33 54 . 4 4 1 Câu 2: Cho cấp số nhân un có u1 3 và u2 1. Công bội của cấp số nhân đã cho bằng 1 1 A. . B. 3. C. . D. 2 . 3 2 Lời giải Chọn A u 1 1 Ta có: q 2 . Vậy công bội của cấp số nhân đã cho là . u1 3 3 1 Câu 3: Cho cấp số nhân u , với u 9,u . Công bội của cấp số nhân đã cho bằng n 1 4 3 1 1 A. 3 . B. . C. . D. 3 . 3 3 Lời giải Chọn C 1 1 u u .q3 9.q3 q 4 1 3 3 Câu 4: Cho cấp số nhân un với u2 2 và u4 18 . Công bội của cấp số nhân đã cho bằng 1 A. 16. B. 3 . C. . D. 9 . 9 Lời giải Chọn B u u .q 2 n 1 2 1 q2 9 q 3 Ta có: un u1.q nên 3 u4 u1.q 18 Câu 5: Cho cấp số nhân u với u 3 và u 24 Số hạng u bằng n 1 4 . 2 A. 12. B. 9 . C. 6 . D. 6 . Lời giải Chọn D 3 3 u4 u1.q 24 3.q q 2 . Khi đó: u2 u1.q 3.( 2) 6 . 5
6. Dạng toán 3: Tìm số hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp Câu 1: Cho tập hợp M có 10 phần tử. Số tập con gồm hai phần từ của M là 8 2 2 2 A. A10 B. A10 C. C10 D. 10 Lời giải Chọn C Mỗi cách lấy ra 2 phần tử trong 10 phần tử của M để tạo thành tập con gồm 2 phần 2 tử là một tổ hợp chập 2 của 10phần tử Số tập con của M gồm 2 phần tử là C10 . Câu 2: Có bao nhiêu cách chọn hai học sinh từ một nhóm gồm 34 học sinh? 34 2 2 2 A. 2 . B. A34 . C. 34 . D. C34 . Lời giải Chọn D Mỗi cách chọn hai học sinh từ một nhóm gồm 34 học sinh là một tổ hợp chập 2 của 2 34 phần tử nên số cách chọn là C34 . Câu 3: Một tổ có 7 học sinh nam và 5 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 6 học sinh trong đó có đúng 2 học sinh nữ? A. 16800. B. 350 . C. 45 . D. 860 . Lời giải Chọn B Chọn ra 6 học sinh trong đó có đúng 2 học sinh nữ nên có 4 học sinh nam. 4 2 Vậy số cách chọn là: C7 .C5 350. Câu 4: Có bao nhiêu cách xếp năm người thành một hàng dọc? 5 5 A. 5 . B. 5!. C. 5 . D. C5 . Lời giải Chọn B Số cách xếp năm người thành một hàng dọc là 5!. Câu 5: Từ các chữ số 1; 2; 4; 5; 7; 9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 2 chữ số khác nhau? 2 2 2 6 A. 6 . B. A6 . C. C6 . D. 2 . 6
7. Lời giải Chọn B Mỗi số thỏa yêu cầu là một chỉnh hợp chập 2 của 6 phần tử 2 Vậy có A6 số thỏa yêu cầu. Dạng toán 4: Tính xác suất của biến cố Câu 1: Một đoàn đại biểu gồm 5 người được chọn ra từ một tổ gồm 8 nam và 7 nữ để tham dự hội nghị. Xác suất để chọn được đoàn đại biểu có đúng 2 người nữ là 56 140 1 28 A. . B. . C. . D. . 143 429 143 715 Lời giải Chọn A 5 Số phần tử của không gian mẫu: n  C15 . Gọi biến cố A : “Chọn được đoàn đại biểu có đúng 2 người nữ” 2 3 n A C7 .C8 . n A 56 Vậy xác suất cần tìm là: P A . n  143 Câu 2: Một hộp chứa 11 quả cầu gồm 5 quả màu xanh và 6 quả cầu màu đỏ. Chọn ngẫu nhiên đồng thời 2 quả cầu từ hộp đó. Xác suất để 2 quả cầu chọn ra cùng màu bằng 5 5 6 8 A. . B. . C. . D. . 11 22 11 11 Lời giải Chọn A 2 Chọn 2 quả cầu từ 11 quả cầu có C11 cách. 2 Chọn 2 quả cầu từ 5 quả cầu màu xanh có C5 cách. 2 Chọn 2 quả cầu từ 6 quả cầu màu đỏ có C6 cách. 2 2 C5 C6 5 Xác suất để chọn 2 quả cầu cùng màu bằng 2 . C11 11 Câu 3: Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 4 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi từ hộp đó. Tính xác suất lấy được ít nhất 1 viên đỏ. 37 1 5 20 A. . B. . C. . D. . 42 21 42 21 7
8. Lời giải Chọn D 3 Lấy 3 viên bi từ 5 4 9 viên bi có C9 cách. 1 2 + Lấy 1 viên đỏ và 2 viên xanh có C5C4 cách. 2 1 + Lấy 2 viên đỏ và 1 viên xanh có C5 C4 cách. 3 + Lấy 3 viên đỏ có C5 cách. 1 2 2 1 3 C5C4 C5 C4 C5 20 Vậy xác suất cần tìm là 3 . C9 21 Câu 4: Xếp ngẫu nhiên 5 học sinh A, B, C , D, E ngồi vào một dãy 5 ghế thẳng hàng. Tính xác suất để hai bạn A và B không ngồi cạnh nhau. A. 1 . B. 3 . C. 2 . D. 4 . 5 5 5 5 Lời giải Chọn B Số phần tử của không gian mẫu: n  5! 120. Gọi X là biến cố “Hai bạn A và B không ngồi cạnh nhau”. X “Hai bạn A và B ngồi cạnh nhau” Có 4 vị trí để hai bạn A và B ngồi cạnh nhau, hai bạn đổi chỗ được một cách xếp mới. Nên số cách xếp để hai bạn A và B ngồi cạnh nhau là 4.2!.3! 48 n X 48 2 Xác suất của biến cố X là: P X n  120 5 3 Vây xác suất của biến cố X là: P X 1 P X 5 Câu 5: Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau lập thành từ các chữ số 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 . Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S . Tính xác suất để số được chọn có đúng 2 chữ số chẵn. 24 144 72 18 A. . B. . C. . D. . 35 245 245 35 Lời giải Chọn D 3 Có 7.A7 số có 4 chữ số khác nhau được lập từ tập S . Xét các số có đúng hai chữ số chẵn, hai chữ số lẻ. + TH1: Số đó có chữ số 0 8
9. 1 2 Có C3 cách chọn thêm chữ số chẵn khác và C4 cách chọn 2 chữ số lẻ; có 3.3! cách 1 2 sắp xếp 4 chữ số được chọn, suy ra có C3.C4 .3.3! 324 số thỏa mãn. + TH2: Số đó không có chữ số 0 2 2 Có C3 cách chọn 2 chữ số chẵn, C4 cách chọn 2 chữ số lẻ; có 4! cách sắp xếp 4 chữ 2 2 số đã chọn, suy ra có C3 .C4 .4! 432 số thỏa mãn. Vậy có 324 432 756 số có đúng hai chữ số chẵn thỏa mãn. 756 18 Xác suất cần tìm là . P 3 7.A7 35 III. Những lỗi học sinh thường mắc (nếu có). 1. Dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân - Học sinh thường nhầm lẫn khái niệm, tính chất của 2 cấp số - Học sinh không nhớ công thức - Học sinh không phân biệt được các đại lượng có trong công thức. 2. Tổ hợp - Học sinh không phân biệt được sự khác nhau của quy tắc nhân, quy tắc cộng, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp. 3. Xác suất của biến cố - Do học sinh không phân biệt được sự khác nhau của quy tắc nhân, quy tắc cộng, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp nên tính sai n(),n(A) . - Học sinh không tính được hết các trường hợp của bài toán IV. Hệ thống câu hỏi ôn tập: Ít nhất 10 câu có hướng dẫn. 1. Dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân Câu 1: Cho cấp số cộng un với u3 2 và u4 6 . Công sai của cấp số cộng đã cho bằng A. 4. B. 4 . C. 2 . D. 2 . Câu 2: Cho cấp số cộng un với u1 2 và công sai d 1. Khi đó u3 bằng A. 3 . B. 1. C. 4 . D. 2 . Câu 3: Cho cấp số cộng un với u10 25 và công sai d 3. Khi đó u1 bằng A. u1 2 . B. u1 3. C. u1 3. D. u1 2 . Câu 4: Cho cấp số cộng un với số hạng đầu u1 1 và công sai d 3. Hỏi số 34 là số hạng thứ mấy? A. 12 B. 9 C. 11 D. 10 9
10. Câu 5: Cho cấp số cộng un với u1 21 và công sai d 3. Tổng 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng bằng A. S16 24 . B. S16 24. C. S16 26 . D. S16 25. Câu 6: Cho cấp số cộng un : 2,a,6,b. Khi đó tích a.b bằng A. 22 . B. 40 . C. 12. D. 32 . Câu 7: Cho cấp số nhân un với u1 2 và công bội q 3. Khi đó u2 bằng A. u2 1. B. u2 6 . C. u2 6 . D. u2 18 . 2 Câu 8: Cho cấp số nhân u với số hạng đầu u 3 và công bội q . Số hạng thứ năm của n 1 3 cấp số nhân bằng 27 16 27 16 A. . B. . C. . D. . 16 27 16 27 Câu 9: Cho cấp số nhân un với u4 1; q 3. Tìm u1 ? 1 1 A. u . B. u 9 . C. u 27 . D. u . 1 9 1 1 1 27 1 Câu 10: Cho cấp số nhân u với u ; u 32 . Công bội của cấp số nhân đã cho bằng n 1 2 7 1 A. q 2 B. q C. q 4 D. q 1 2 Câu 11: Một cấp số nhân có số hạng đầu u1 3, công bội q 2 . Tổng 8 số hạng đầu tiên của cấp số nhân bằng A. S8 381. B. S8 189. C. S8 765. D. S8 1533. Câu 12: Cho cấp số nhân un với số hạng đầu u1 1 và công bội q 2 . Hỏi số 1024 là số hạng thứ mấy? A. 11 B. 9 C. 8 D. 10 Câu 13: Cho một cấp số cộng có u4 2 , u2 4 . Hỏi u1 và công sai d bằng bao nhiêu? A. u1 6 và d 1. B. u1 1và d 1. C. u1 5và d 1. D. u1 1và d 1. HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: Cho cấp số cộng un với u3 2 và u4 6 . Công sai của cấp số cộng đã cho bằng A. 4. B. 4 . C. 2 . D. 2 . Lời giải Chọn B Ta có u4 u3 d d u4 u3 6 2 4 . 10
11. Câu 2: Cho cấp số cộng un với u1 2 và công sai d 1. Khi đó u3 bằng A. 3 . B. 1. C. 4 . D. 2 . Lời giải Chọn C Ta có u3 u1 2d 2 2.1 4 . Câu 3: Cho cấp số cộng un với u10 25 và công sai d 3. Khi đó u1 bằng A. u1 2 . B. u1 3. C. u1 3. D. u1 2 . Lời giải Chọn D Ta có u10 u1 9d u1 u10 9d 25 9.3 2 . Câu 4: Cho cấp số cộng un với số hạng đầu u1 1 và công sai d 3. Hỏi số 34 là số hạng thứ mấy? A. 12 B. 9 C. 11 D. 10 Lời giải Chọn A Ta có un u1 n 1 d 34 1 n 1 .3 n 1 .3 33 n 1 11 n 12 . Câu 5: Cho cấp số cộng un với u1 21 và công sai d 3. Tổng 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng bằng A. S16 24 . B. S16 24. C. S16 26 . D. S16 25. Lời giải Chọn A Áp dụng công thức tính tổng n số hạng đầu tiên ta có: n 2u1 n 1 d 16 2. 21 16 1 .3 S 24. 16 2 2 Câu 6: Cho cấp số cộng un : 2,a,6,b. Khi đó tích a.b bằng A. 22 . B. 40 . C. 12. D. 32 . Lời giải Chọn D 2 6 2a a 4 Theo tính chất của cấp số cộng: a.b 32. a b 12 b 8 Câu 7: Cho cấp số nhân un với u1 2 và công bội q 3. Khi đó u2 bằng A. u2 1. B. u2 6 . C. u2 6 . D. u2 18 . Lời giải 11
12. Chọn B Số hạng u2 là u2 u1.q 6 . 2 Câu 8: Cho cấp số nhân u với số hạng đầu u 3 và công bội q . Số hạng thứ năm của n 1 3 cấp số nhân bằng 27 16 27 16 A. . B. . C. . D. . 16 27 16 27 Lờigiải Chọn D 4 n 1 2 16 Ta có un u1.q u5 3. . 3 27 Câu 9: Cho cấp số nhân un với u4 1; q 3. Tìm u1 ? 1 1 A. u . B. u 9 . C. u 27 . D. u . 1 9 1 1 1 27 Lời giải Chọn D u 1 1 Ta có:u u .q3 u 4 . 4 1 1 q3 33 27 1 Câu 10: Cho cấp số nhân u với u ; u 32 . Công bội của cấp số nhân đã cho bằng n 1 2 7 1 A. q 2 B. q C. q 4 D. q 1 2 Lời giải Chọn A Áp dụng công thức số hạng tổng quát cấp số nhân ta có n 1 6 6 q 2 un u1q u7 u1.q q 64 . q 2 Câu 11: Một cấp số nhân có số hạng đầu u1 3, công bội q 2 . Tổng 8 số hạng đầu tiên của cấp số nhân bằng A. S8 381. B. S8 189. C. S8 765. D. S8 1533. Lời giải Chọn C 8 8 u1 1 q 3. 1 2 Áp dụng công thức tổng của cấp số nhân ta có: S 765 . 8 1 q 1 2 Câu 12: Cho cấp số nhân un với số hạng đầu u1 1 và công bội q 2 . Hỏi số 1024 là số hạng thứ mấy? 12
13. A. 11 B. 9 C. 8 D. 10 Lời giải Chọn A n 1 n 1 n 1 10 Ta có un u1.q 1.2 1024 2 2 n 1 10 n 11. Câu 13: Cho một cấp số cộng có u4 2 , u2 4 . Hỏi u1 và công sai d bằng bao nhiêu? A. u1 6 và d 1. B. u1 1và d 1. C. u1 5và d 1. D. u1 1và d 1. Lời giải Chọn C Ta có: un u1 n 1 d . Theo giả thiết ta có hệ phương trình u4 2 u1 3d 2 u1 5 . u2 4 u1 d 4 d 1 Vậy u1 5và d 1. 2. Tổ hợp Câu 1: Có bao nhiêu cách chọn ba học sinh từ một nhóm gồm 8 học sinh nữ và 7 học sinh nam ? 3 3 A. A15 . B. 45 . C. C15 . D. 168. Câu 2: Có bao nhiêu cách chọn bốn học sinh từ một nhóm gồm 15 học sinh? 4 15 4 4 A. A15 . B. 4 . C. 15 . D. C15 . Câu 3: Có bao nhiêu cách xếp nhóm 5 học sinh vào một hàng ngang? 5 5 0 A. C5 . B. 5 . C. 5!. D. A5 . Câu 4: Cho 9 điểm, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Hỏi có bao nhiêu tam giác mà ba đỉnh của nó được chọn từ 9 điểm trên? A. 168. B. 84 . C. 56 . D. 729 . Câu 5: Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 học sinh thành một hàng dọc? A. 55. B. 5. C. 4!. D. 5!. Câu 6: Có bao nhiêu cách chọn 2 học sinh từ một tổ gồm có 9 học sinh giữ chức danh tổ trưởng và tổ phó? 9 2 2 2 A. 2 . B. C9 . C. 9 . D. A9 . Câu 7: Có bao nhiêu cách sắp xếp 7 bạn học sinh thành một hàng ngang? 7 1 1 A. P7 . B. C7 . C. C7 . D. A7 . 13
14. Câu 8: Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số khác nhau mà các chữ số được lấy từ tập hợp X 1;2;3;4;5 ? 2 2 5 2 A. C5 . B. 5 . C. 2 . D. A5 . Câu 9: Từ các chữ số 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau? 3 3 6 3 A. C6 . B. A6 . C. 3 . D. 6 . Câu 10: Một tổ học sinh có 5 nam và 5 nữ xếp thành một hàng dọc thì số các cách xếp khác nhau là: A. 10!. B. 5!5!. C. 5.5!. D. 40 . Câu 11: Cho tập hợp T gồm 7 phần tử khác nhau. Số tập hợp con gồm 3 phần tử của tập hợp T là 7! A. . B. 21. C. A3 . D. C3 . 3! 7 7 Câu 12: Từ một tổ có 6 bạn nam và 4 bạn nữ, có bao nhiêu cách chọn 1bạn nam và 3 bạn nữ? A. 80 . B. 24 . C. 10. D. 144. Câu 13: Một tổ có 7 học sinh nam và 5 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 6 học sinh trong đó có đúng 2 học sinh nữ? A. 16800. B. 350 . C. 45 . D. 860 . HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: Có bao nhiêu cách chọn ba học sinh từ một nhóm gồm 8 học sinh nữ và 7 học sinh nam ? 3 3 A. A15 . B. 45 . C. C15 . D. 168. Lời giải Chọn C 3 Số cách chọn ba học sinh từ một nhóm gồm 8 học sinh nữ và 7 học sinh nam là : C15 . Câu 2: Có bao nhiêu cách chọn bốn học sinh từ một nhóm gồm 15 học sinh? 4 15 4 4 A. A15 . B. 4 . C. 15 . D. C15 . Lời giải Chọn D 4 Số cách chọn bốn học sinh từ nhóm gồm 15 học sinh là: C15 . 14
15. Câu 3: Có bao nhiêu cách xếp nhóm 5 học sinh vào một hàng ngang? 5 5 0 A. C5 . B. 5 . C. 5!. D. A5 . Lời giải Chọn C Xếp 5 học sinh vào 5 chỗ có 5! cách. Câu 4: Cho 9 điểm, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Hỏi có bao nhiêu tam giác mà ba đỉnh của nó được chọn từ 9 điểm trên? A. 168. B. 84 . C. 56 . D. 729 . Lời giải Chọn B Mỗi tập con gồm 3 điểm của tập hợp 9 điểm đã cho xác định duy nhất một tam giác. 3 Từ đó ta có số tam giác có thể lập được từ 9 điểm đã cho là: C9 84 . Câu 5: Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 học sinh thành một hàng dọc? A. 55. B. 5. C. 4!. D. 5!. Lời giải Chọn D Số cách sắp xếp 5 học sinh thành một hàng dọc là 5!. Câu 6: Có bao nhiêu cách chọn 2 học sinh từ một tổ gồm có 9 học sinh giữ chức danh tổ trưởng và tổ phó? 9 2 2 2 A. 2 . B. C9 . C. 9 . D. A9 . Lời giải Chọn D Số cách chọn 2 học sinh từ một tổ gồm có 9 học sinh giữ chức danh tổ trưởng và tổ 2 phó là A9 . Câu 7: Có bao nhiêu cách sắp xếp 7 bạn học sinh thành một hàng ngang? 7 1 1 A. P7 . B. C7 . C. C7 . D. A7 . Lời giải Chọn A 15
16. Mỗi cách sắp xếp là một hoán vị của 7 phần tử nên số cách sắp xếp 7 bạn học sinh thành một hàng ngang là P7 . Câu 8: Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số khác nhau mà các chữ số được lấy từ tập hợp X 1;2;3;4;5 ? 2 2 5 2 A. C5 . B. 5 . C. 2 . D. A5 . Lời giải Chọn D Từ 5 chữ số của tập X , ta lấy 2 chữ số bất kì rồi sắp xếp vị trí được một số có hai chữ số. 2 Như vậy có A5 số được tạo thành. Câu 9: Từ các chữ số 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau? 3 3 6 3 A. C6 . B. A6 . C. 3 . D. 6 . Lời giải Chọn B Mỗi số tự nhiên được lập như vậy là một chỉnh hợp chập 3 của 6 phần tử. 3 Vậy, có thể lập được A6 số tự nhiên. Câu 10: Một tổ học sinh có 5 nam và 5 nữ xếp thành một hàng dọc thì số các cách xếp khác nhau là: A. 10!. B. 5!5!. C. 5.5!. D. 40 . Lời giải Chọn A Mỗi cách sắp xếp 10 học sinh thành một hàng dọc là một hoán vị của 10 phần tử. Vậy số cách xếp 10 học sinh gồm 5 nam và 5 nữ là: 10!. Câu 11: Cho tập hợp T gồm 7 phần tử khác nhau. Số tập hợp con gồm 3 phần tử của tập hợp T là 7! A. . B. 21. C. A3 . D. C3 . 3! 7 7 Lời giải Chọn D 16
17. Mỗi cách chọn 3 phần tử trong 7 phần tử của tập hợp T là một tổ hợp chập 3 của 7 phần tử trong tập hợp T . 3 Số tập hợp con gồm 3 phần tử của tập hợp T là C7 . Câu 12: Từ một tổ có 6 bạn nam và 4 bạn nữ, có bao nhiêu cách chọn 1bạn nam và 3 bạn nữ? A. 80 . B. 24 . C. 10. D. 144. Lời giải Chọn B 3 Có 6.C4 24 cách chọn 1bạn nam và 3 bạn nữ. Câu 13: Một tổ có 7 học sinh nam và 5 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 6 học sinh trong đó có đúng 2 học sinh nữ? A. 16800. B. 350 . C. 45 . D. 860 . Lời giải Chọn B Chọn ra 6 học sinh trong đó có đúng 2 học sinh nữ nên có 4 học sinh nam. 4 2 Vậy số cách chọn là: C7 .C5 350. 3. Xác suất của biến cố Câu 1: Một hộp bút gồm 6 bút màu xanh, 4 bút màu đỏ, 5 bút màu đen. Chọn ngẫu nhiên 6 bút bất kỳ. Tính xác suất để 6 bút được chọn có đúng 2 màu. 58 6 158 108 A. . B. . C. . D. . 385 323 1001 715 Câu 2: Xếp ngẫu nhiên 3 học sinh lớp A , 2 học sinh lớp B và 1 học sinh lớp C vào 6 ghế xếp xung quanh một bàn tròn. Tính xác suất để học sinh lớp C ngồi giữa hai học sinh lớp B . A. 2 . B. 1 . C. 2 . D. 3 . 13 10 7 14 Câu 3: ` Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh từ một nhóm gồm 8 học sinh nam và 7 học sinh nữ. Xác suất để trong 5 học sinh được chọn có cả học sinh nam và học sinh nữ mà số học sinh nam nhiều hơn số học sinh nữ là 70 60 238 82 A. . B. . C. . D. . 143 143 429 143 Câu 4: Từ một hộp chứa 4 bi xanh, 5 bi đỏ và 6 bi vàng, lấy ngẫu nhiên đồng thời năm bi. Xác suất để 5 bi lấy được có đủ ba màu bằng 17
18. 185 310 106 136 A. . B. . C. . D. . 273 429 273 231 Câu 5: Có 30 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 30. Chọn ra ngẫu nhiên 10 thẻ. Tính xác suất để 10 thẻ được chọn có 5 thẻ lẻ và 5 thẻ chẵn trong đó chỉ có đúng 1 thẻ chia hết cho 10 200 1001 99 568 A. . B. . C. . D. . 3335 3335 667 667 Câu 6: Một hộp đựng 11 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 11. Chọn ngẫu nhiên 3 tấm thẻ. Xác suất để tổng số ghi trên 3 tấm thẻ ấy là một số lẻ bằng A. 12 . B. 17 . C. 4 . D. 16 . 33 33 33 33 Câu 7: Từ một hộp chứa 13 quả bóng gồm 4 quả màu đỏ, 6 quả màu xanh và 3 quả màu vàng. Lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả. Xác suất để lấy được 3 quả có màu khác nhau bằng 33 1 25 40 A. . B. . C. . D. . 143 22 286 143 Câu 8: Một hộp đựng 4 quả cầu xanh, 3 quả cầu đỏ, 5 quả cầu vàng. Biết rằng các quả cầu đều giống nhau về kích thước và chất liệu. Chọn đồng thời cùng một lúc 4 quả cầu. Xác suất chọn được 4 quả cầu có đủ cả 3 màu bằng 1 5 6 5 A. . B. . C. . D. . 2 11 11 8 Câu 9: Một hộp chứa 4 viên bi trắng, 5 viên bi đỏ và 6 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 4 viên bi. Xác suất để 4 viên bi được chọn có đủ ba màu và số bi đỏ nhiều nhất là 1 2 1 1 3 2 1 2 1 1 2 1 C4C5 C6 C4C5 C6 C4C5 C6 C4C5 C6 A. P 4 . B. P 2 . C. P 2 . D. P 2 . C15 C15 C15 C15 Câu 10. Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 6 chữ số phân biệt được lấy từ các số 1, 2 , 3 , 4 ,5 , 6 , 7 ,8 ,9 . Chọn ngẫu nhiên một số từ S . Xác suất chọn được số chỉ chứa 3 số lẻ là 16 16 10 23 A. P . B. P . C. P . D. P . 42 21 21 42 Câu 11. Một nhóm gồm 8 nam và 7 nữ. Chọn ngẫu nhiên 5 bạn. Xác suất để trong 5 bạn được chọn có cả nam lẫn nữ mà nam nhiều hơn nữ là: 60 2 3 8 210 82 A. . B. . C. . D. . 143 4 2 9 429 143 Hướng dẫn giải Câu 1: Một hộp bút gồm 6 bút màu xanh, 4 bút màu đỏ, 5 bút màu đen. Chọn ngẫu nhiên 6 bút bất kỳ. Tính xác suất để 6 bút được chọn có đúng 2 màu. 18
19. 58 6 158 108 A. . B. . C. . D. . 385 323 1001 715 Lời giải 6 Chọn ngẫu nhiên 6 bút bất kỳ 15 bút trong hộp: n  C15 5005. Gọi A là biến cố: “6bút được chọn có đúng 2 màu” 6 TH1 : Chọn 6 bút màu đỏ và đen C9 84 . 6 6 TH2 : Chọn 6 bút màu đỏ và xanh C10 C6 209 . 6 6 TH3 : Chọn 6 bút màu xanh và đen C11 C6 461. Nên n A 84 209 461 754 . n A 754 58 Xác suất của biến cố A : P A . n  5005 385 Câu 2: Xếp ngẫu nhiên 3 học sinh lớp A , 2 học sinh lớp B và 1 học sinh lớp C vào 6 ghế xếp xung quanh một bàn tròn. Tính xác suất để học sinh lớp C ngồi giữa hai học sinh lớp B . A. 2 . B. 1 . C. 2 . D. 3 . 13 10 7 14 Lời giải Số cách xếp ngẫu nhiên 6 học sinh vào 6 ghế quanh một bàn tròn là: 5!. Cố định vị trị để học sinh lớp C .Có 2! cách xếp vị trí cho 2 học sinh lớp B . Còn lại ba vị trí để xếp 3 học sinh A . Nên số cách xếp là: 3! 2!3! 1 Vậy xác suất cần tính là: P . 5! 10 Câu 3: ` Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh từ một nhóm gồm 8 học sinh nam và 7 học sinh nữ. Xác suất để trong 5 học sinh được chọn có cả học sinh nam và học sinh nữ mà số học sinh nam nhiều hơn số học sinh nữ là 70 60 238 82 A. . B. . C. . D. . 143 143 429 143 Lời giải 5 n  C15 3003 cách chọn Gọi biến cố A: 5 học sinh được chọn có cả học sinh nam và học sinh nữ mà số học sinh nam nhiều hơn số học sinh nữ" 19
20. 4 1 + TH 1 : Chọn 4 học sinh nam và 1 học sinh nữ C8 C7 490 cách 3 2 + TH 2 : Chọn 3 học sinh nam và 2 học sinh nữ C8 C7 1176 cách n A 490 1176 1666 cách. n A 238 P A . n  429 Câu 4: Từ một hộp chứa 4 bi xanh, 5 bi đỏ và 6 bi vàng, lấy ngẫu nhiên đồng thời năm bi. Xác suất để 5 bi lấy được có đủ ba màu bằng 185 310 106 136 A. . B. . C. . D. . 273 429 273 231 Lời giải 5 Số cách chọn 5 viên bi trong 15 viên bi là n  C15 3003. Gọi A :’’ 5 viên bi lấy được có đủ 3 màu ” Gọi A :’’ 5 viên bi lấy được có không đủ 3 màu ” Chọn 5 viên bi không đủ 3 màu xảy ra các trường hợp + 5 viên màu đỏ có 1 cách 5 + 5 viên màu vàng và 1 viên màu xanh hoặc đỏ có C6 6 cách. 4 1 3 2 2 3 1 4 + Chỉ có xanh và đỏ có C4 .C5 C4 .C5 C4 .C5 C4C5 125 . 4 1 3 2 2 3 1 4 + Chỉ có xanh và vàng có C4 .C6 C4 .C6 C4 .C6 C4C6 246 . 4 1 3 2 2 3 1 4 + Chỉ có đỏ và vàng có C5 .C6 C5 .C6 C5 .C6 C5C6 455. n A 310 Vậy n A 833 n  n A 2170 p A . n  429 Câu 5: Có 30 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 30. Chọn ra ngẫu nhiên 10 thẻ. Tính xác suất để 10 thẻ được chọn có 5 thẻ lẻ và 5 thẻ chẵn trong đó chỉ có đúng 1 thẻ chia hết cho 10 200 1001 99 568 A. . B. . C. . D. . 3335 3335 667 667 Lời giải Trong 30 thẻ có 15 thẻ lẻ, có 3 thẻ chia hết cho 10, có 12 thẻ chỉ chia hết cho 2 mà không chia hết cho 10 5 Chọn 5 thẻ trong 15 thẻ lẻ là C15 4 Chọn 4 thẻ trong 12 thẻ lẻ là C12 1 Chọn 1 thẻ trong 3 thẻ lẻ là C3 10 Không gian mẫu C30 5 4 1 C15.C12.C3 99 Xác suất để chọn theo yêu cầu bài toán là P 10 C30 667 20
21. Câu 6: Một hộp đựng 11 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 11. Chọn ngẫu nhiên 3 tấm thẻ. Xác suất để tổng số ghi trên 3 tấm thẻ ấy là một số lẻ bằng A. 12 . B. 17 . C. 4 . D. 16 . 33 33 33 33 Lời giải 3 Không gian mẫu  n  C11 Gọi A: "tổng số ghi trên 3 tấm thẻ ấy là một số lẻ" Từ 1 đến 11 có 6 số lẻ và 5 số chẵn. Để có tổng của 3 số là một số lẻ ta có 2 trường hợp. 1 2 Trường hợp 1: Chọn được 1 thẻ mang số lẻ và 2 thẻ mang số chẵn có: C6 C5 60 cách. 3 Trường hợp 2: Chọn được 3 thẻ mang số lẻ có: C6 20 Do đó n( A) 60 20 80. 16 Vậy P(A) 33 Câu 7: Từ một hộp chứa 13 quả bóng gồm 4 quả màu đỏ, 6 quả màu xanh và 3 quả màu vàng. Lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả. Xác suất để lấy được 3 quả có màu khác nhau bằng 33 1 25 40 A. . B. . C. . D. . 143 22 286 143 Lời giải 3 Lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả bóng từ 13 quả bóng đã cho có C13 cách. 1 Lấy được 1 quả màu đỏ từ 4 quả màu đỏ đã cho có C4 cách. 1 Lấy được 1 quả màu xanh từ 6 quả màu xanh đã cho có C6 cách. 1 Lấy được 1 quả màu vàng từ 3 quả màu vàng đã cho có C3 cách. 1 1 1 C4.C6C3 33 Vậy xác suất để lấy được 3 quả màu có màu khác nhau là P 3 . C13 143 Câu 8: Một hộp đựng 4 quả cầu xanh, 3 quả cầu đỏ, 5 quả cầu vàng. Biết rằng các quả cầu đều giống nhau về kích thước và chất liệu. Chọn đồng thời cùng một lúc 4 quả cầu. Xác suất chọn được 4 quả cầu có đủ cả 3 màu bằng 1 5 6 5 A. . B. . C. . D. . 2 11 11 8 Lời giải 4 Ta có: n  C12 495 21
22. Gọi A: “ 4 quả lấy ra có đủ 3 màu” Để chọn ra 4 quả cầu có đủ cả 3 màu gồm các trường hợp sau: 1 1 2 TH1: 1 quả cầu xanh, 1 quả cầu đỏ, 2 quả cầu vàng có: C4.C3.C5 cách. 1 2 1 TH2: 1 quả cầu xanh, 2 quả cầu đỏ, 1 quả cầu vàng có: C4.C3 .C5 cách. 2 1 1 TH3: 2 quả cầu xanh, 1 quả cầu đỏ, 1 quả cầu vàng có: C4 .C3.C5 cách. 1 1 2 1 2 1 2 1 1 n A C4.C3.C5 C4.C3 .C5 C4 .C3.C5 270 270 6 P A . 495 11 Câu 9: Một hộp chứa 4 viên bi trắng, 5 viên bi đỏ và 6 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 4 viên bi. Xác suất để 4 viên bi được chọn có đủ ba màu và số bi đỏ nhiều nhất là 1 2 1 1 3 2 1 2 1 1 2 1 C4C5 C6 C4C5 C6 C4C5 C6 C4C5 C6 A. P 4 . B. P 2 . C. P 2 . D. P 2 . C15 C15 C15 C15 Lời giải Chọn A 4 Số phần tử không gian mẫu: n  C15 . 1 2 1 Gọi A là biến cố cần tìm. Khi đó: n A C4.C5 .C6 (vì số bi đỏ nhiều nhất là 2 ) 1 2 1 n A C4.C5 .C6 Xác suất của biến cố A là P A 4 . n  C15 Câu 10. Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 6 chữ số phân biệt được lấy từ các số 1, 2 , 3 , 4 ,5 , 6 , 7 ,8 ,9 . Chọn ngẫu nhiên một số từ S . Xác suất chọn được số chỉ chứa 3 số lẻ là 16 16 10 23 A. P . B. P . C. P . D. P . 42 21 21 42 Lời giải Chọn C 6 Số phần tử không gian mẫu: n  A9 60480 . (mỗi số tự nhiên abcdef thuộc S là một chỉnh hợp chập 6 của 9- số phần tử của S là số chỉnh hợp chập 6 của 9). 3 3 3 Gọi A : “số được chọn chỉ chứa 3 số lẻ”. Ta có: n A C5 .A6 .A4 28800 . (bốc ra 3 số lẻ từ 5 số lẻ đã cho- chọn ra 3 vị trí từ 6 vị trí của số abcdef xếp thứ tự 3 số vừa chọn – bốc ra 3 số chẵn từ 4 số chẵn đã cho xếp thứ tự vào 3 vị trí còn lại của số abcdef ) 22
23. n A 28800 10 Khi đó: P A . n  60480 21 Câu 11. Một nhóm gồm 8 nam và 7 nữ. Chọn ngẫu nhiên 5 bạn. Xác suất để trong 5 bạn được chọn có cả nam lẫn nữ mà nam nhiều hơn nữ là: 60 238 210 82 A. . B. . C. . D. . 143 429 429 143 Lời giải Chọn B Gọi A là biến cố: “5 bạn được chọn có cả nam lẫn nữ mà nam nhiều hơn nữ “ 5 -Không gian mẫu:  C15 . 4 1 -Số cách chọn 5 bạn trong đó có 4 nam, 1 nữ là: C8 .C7 . 3 2 - Số cách chọn 5 bạn trong đó có 3 nam, 2 nữ là: C8 .C7 . 4 1 3 2 n A C8 .C7 C8 .C7 1666 n A 1666 238 P A 5 .  C15 429 23