Ôn tập TN THPT môn Toán - Chuyên đề: Đồ thị của hàm số và sự tương giao

Nội dung tài liệu: Ôn tập TN THPT môn Toán - Chuyên đề: Đồ thị của hàm số và sự tương giao

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CHUYÊN ĐỀ VẬN DỤNG, VẬN DỤNG CAO BẮC NINH KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 ¯¯¯¯¯¯¯¯¯ Môn: Toán ¯¯¯¯¯¯¯¯ TÊN CHUYÊN ĐỀ: ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ VÀ SỰ TƯƠNG GIAO Người biên soạn: Nguyễn Văn Thuỵ - Nguyễn Đức Nhật. Đơn vị công tác: Trường THPT Gia Bình số 1. CHUYÊN ĐỀ: ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ VÀ SỰ TƯƠNG GIAO NỘI DUNG TRỌNG TÂM: Bài toán về hàm hợp, bài toán chứa tham số I. Hệ thống kiến thức liên quan. ❖ Quy trình khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ❖ Tương giao của hai đồ thị của hai hàm số y f (x) và y g(x) : Số giao điểm của hai đồ thị là số nghiệm của phương trình f (x) g(x) (1) và nghiệm của phương trình (1) cũng chính là hoành độ của giao điểm. II. Các dạng bài/câu thường gặp Dạng 1: Bài toán tương giao với hàm xác định. Dạng 1.1 Bài toán tương giao của đường thẳng với đồ thị hàm số bậc 3  Bài toán tổng quát: Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng d : y px q cắt đồ thị hàm số (C) : y ax3 bx2 cx d tại 3 điểm phân biệt thỏa điều kiện K ? (dạng có điều kiện)  Phương pháp giải: Bước 1. Lập phương trình hoành độ giao điểm của d và (C) là: ax3 bx2 cx d px q Đưa về phương trình bậc ba và nhẩm nghiệm đặc biệt x xo để chia Hoocner được: x x (x x )(ax2 b x c ) 0 o  o 2 g(x) ax b x c 0 Bước 2. Để d cắt (C) tại ba điểm phân biệt phương trình g(x) 0 có 2 nghiệm phân g (x) 0 biệt khác xo  Giải hệ này, tìm được giá trị m D1. g(xo ) 0 Bước 3. Gọi A(xo ; pxo q), B(x1; px1 q), C(x2 ; px2 q) với x1, x2 là hai nghiệm của g(x) 0. b c Theo Viét, ta có: x x và x x (1) 1 2 a 1 2 a Bước 4. Biến đổi điều kiện K về dạng tổng và tích của x1, x2 (2) Thế (1) vào (2) sẽ thu được phương trình hoặc bất phương trình với biến là m. Giải chúng sẽ tìm được giá trị m D2. Kết luận: m D1  D2. Một số công thức tính nhanh “ thường gặp ” liên quan đến cấp số 1
2. ￿ Tìm điều kiện để đồ thị hàm số y ax3 bx2 cx d cắt trục hoành tại 3điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng. Điều kiện cần: 3 2 Giả sử x1, x2 , x3 là nghiệm của phương trình ax bx cx d 0 b Khi đó: ax3 bx2 cx d a(x x )(x x )(x x ) , đồng nhất hệ số ta được x 1 2 3 2 3a b Thế x vào phương trình ax3 bx2 cx d 0 ta được điều kiện ràng buộc về tham số 2 3a hoặc giá trị của tham số. Điều kiện đủ: Thử các điều kiện ràng buộc về tham số hoặc giá trị của tham số để phương trình ax3 bx2 cx d 0 có 3 nghiệm phân biệt. ￿ Tìm điều kiện để đồ thị hàm số y ax3 bx2 cx d cắt trục hoành tại 3điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số nhân. Điều kiện cần: 3 2 Giả sử x1, x2 , x3 là nghiệm của phương trình ax bx cx d 0 3 2 d Khi đó: ax bx cx d a(x x )(x x )(x x ) , đồng nhất hệ số ta được x 3 1 2 3 2 a d 3 2 Thế x 3 vào phương trình ax bx cx d 0 ta được điều kiện ràng buộc về tham 2 a số hoặc giá trị của tham số. Điều kiện đủ: Thử các điều kiện ràng buộc về tham số hoặc giá trị của tham số để phương trình ax3 bx2 cx d 0 có 3 nghiệm phân biệt. Ví dụ 1: Cho hàm số y x3 3mx2 2m . Có bao nhiêu giá trị của tham số thực m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng? A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 0 . Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm: x3 3mx2 2m 0 * Phương trình ax3 bx2 cx d 0 có ba nghiệm lập thành cấp số cộng  phương trình b có một nghiệm x . 0 3a Suy ra phương trình * có một nghiệm x m. Thay x m vào phương trình * , ta được 3 2 3 m 1 m 3m.m 2m 0 2m 2m 0  . m 0 Thử lại: 2
3. x 1 3 3 2 Với m 1, ta được x 3x 2 0  x 1 . x 1 3 Do đó m 1 thỏa mãn. x 1 3 3 2 Với m 1, ta được x 3x 2 0  x 1 . x 1 3 Do đó m 1 thỏa mãn. Với m 0 , ta được x3 0 x 0 . Do đó m 0 không thỏa mãn. Vậy m 1 là hai giá trị cần tìm. Chọn B 3 2 3 2 3 Ví dụ 2. Cho hàm số y x 3mx m có đồ thị Cm và đường thẳng d : y m x 2m . Biết rằng m1,m2 m1 m2 là hai giá trị thực của m để đường thẳng d cắt đồ thị Cm tại 3 4 4 4 điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 , x3 thỏa mãn x1 x2 x3 83 . Phát biểu nào sau đây là đúng về quan hệ giữa hai giá trị m1, m2 ? 2 2 A. m1 m2 0. B. m1 2m2 4 . C. m2 2m1 4 . D. m1 m2 0 . Lời giải Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và Cm x3 3mx2 m3 m2 x 2m3 x3 3mx2 m2 x 3m3 0 x3 m2 x 3mx2 3m3 0 x x2 m2 3m x2 m2 0 x 3m x2 m2 0 x 3m x m x m Để đường thẳng d cắt đồ thị Cm tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 , x3 m 0 . 4 4 4 4 4 4 Khi đó, x1 x2 x3 83 m m 3m 83 83m4 83 m 1 Vậy m1 1,m2 1 hay m1 m2 0. Chọn A Ví dụ 3. (Mã 123 2017) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng y mx m 1cắt đồ thị hàm số y x3 3x2 x 2 tại ba điểm A, B,C phân biệt sao AB BC 5 A. m ; B. m 2; C. m ¡ D. m ;0 4; 4 Lời giải Ta có phương trình hoành độ giao điểm là: x3 3x2 x 2 mx m 1 x3 3x2 x mx m 1 0 1 x 1 x 1 x2 2x m 1 0 2 . x 2x m 1 0 3
4. Để đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt thì phương trình x2 2x m 1 0 có 1 m 1 0 m 2 hai nghiệm phân biệt khác 1 m 2 . 1 2 m 1 0 m 2 Với m 2 thì phương trình 1 có ba nghiệm phân biệt là 1, x1, x2 ( x1, x2 là nghiệm của x x x2 2x m 1 0 ). Mà 1 2 1 suy ra điểm có hoành độ x 1luôn là trung điểm của hai 2 điểm còn lại nên luôn có 3 điểm A,B,C thoả mãn AB BC Vậy m 2 .Chọn B Ví dụ 4. Tất cả giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y x3 m2 2 x 2m2 4 cắt các trục tọa độ Ox, Oy lần lượt tại A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 8 là A. m 2 . B. m 1. C. m 3 . D. m 2 . Lời giải Giao điểm của đồ thị hàm số đã cho với trục tung là B 0;2m2 4 Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị đã cho với trục hoành là: x 2 x3 m2 2 x 2m2 4 0 x 2 x2 2x m2 2 0 2 2 x 1 m 1 0 vn Giao điểm của đồ thị đã cho với trục hoành là A 2;0 . 1 1 Diện tích tam giác ABC là: S OA.OB .2. 2m2 4 8 m 2. Chọn D 2 2 Ví dụ 5. Cho đồ thị hàm số f x x3 bx2 cx d cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có 1 1 1 hoành độ x1 , x2 , x3 . Tính giá trị của biểu thức P . f x1 f x2 f x3 1 1 A. P 3 2b c . B. P 0 . C. P b c d . D. P . 2b c Lời giải Vì x1 , x2 , x3 là ba nghiệm của phương trình bậc ba f x 0 f x x x1 x x2 x x3 Ta có f x x x1 x x2 x x2 x x3 x x1 x x3 . f x1 x1 x2 x1 x3 Khi đó: f x2 x2 x3 x2 x1 f x3 x3 x1 x3 x2 1 1 1 Suy ra P . x1 x2 x1 x3 x2 x3 x2 x1 x3 x1 x3 x2 x x x x x x 2 3 1 3 1 2 0 . Chọn B x1 x2 x1 x3 x2 x3 Dạng 1.2. Bài toán tương giao của đường thẳng với đồ thị hàm số nhất biến Bài toán tổng quát ax b Cho hàm số y có đồ thị C . Tìm tham số m để đường thẳng d : y x  cắt C cx d tại hai điểm phân biệt A, B thỏa mãn điều kiện K? 4
5. Phương pháp giải ￿ Bước 1. (Bước này giống nhau ở các bài toán tương giao của hàm nhất biến) ax b Lập phương trình hoành độ giao điểm giữa d và C : x  cx d d g x cx2 c d a x d b 0, x . c d - Để d cắt C tại hai điểm phân biệt g x 0 có 2 nghiệm nghiệm phân biệt c c 0; 0 d . Giải hệ này, ta sẽ tìm được m D1 i g 0 c -Gọi A x1; x1  , B x2 ; y2  với x1, x2 là 2 nghiệm của g x 0 c d a d b Theo Viét: S x x ; P x x ii 1 2 c 1 2 c ￿ Bước 2. -Biến đổi điều kiện K cho trước về dạng có chứa tổng và tích của x1, x2 iii -Thế ii vào iii sẽ thu được phương trình hoặc bất phương trình với biến số là m. Giải nó sẽ tìm được m D2 -Từ i , m D1  D2 và kết luận giá trị m cần tìm. Một số công thức tính nhanh “ thường gặp ” liên quan đến tương giao giữa đường thẳng ax b y kx p và đồ thị hàm số y cx d ax b Giả sử d : y kx p cắt đồ thị hàm số y tại 2 điểm phân biệt M , N . cx d ax b Với kx p cho ta phương trình có dạng: Ax2 Bx C 0 thỏa điều kiện cx d 0 , cx d có B2 4AC . Khi đó:  1). M (x ;kx p), N(x ;kx p) MN (x x ;k(x x )) MN (k 2 1) 1 1 2 2 2 1 2 1 A2 Chú ý: khi min MN thì tồn tại min ,k const 2 2 2 2 2 2 2). OM ON (k 1)(x1 x2 ) (x1 x2 )2kp 2 p   2 2 3). OM.ON (x1.x2 )(1 k ) (x1 x2 )kp p 2 4). OM ON (x1 x2 )(1 k ) 2kp 0 5
6. x Ví dụ 1. Cho hàm số y C và đường thẳng d : y x m . Gọi S là tập các số thực x 1 m để đường thẳng d cắt đồ thị C tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB (O là gốc tọa độ) có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 2 2 . Tổng các phần tử của S bằng A. 4 . B. 3 . C. 0 . D. 8 . Lời giải x Xét phương trình x m, (điều kiện x 1). x 1 Phương trình tương đương x2 mx m 0 1 . Đồ thị C và đường thẳng d cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B khi và chỉ khi phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt x 1 điều kiện cần và đủ là m 0  m 4 . Khi đó hai giao điểm là A(x1; x1 m) ; B(x2 ; x2 m) . m Ta có OA m2 2m ;OB m2 2m ; AB 2(m2 4m) ; d O,d . 2 1 1 m OA.OB.AB S .AB.d O,d . . 2(m2 4m) . OAB 2 2 2 4R 1 m (m2 2m). 2(m2 4m) Suy ra . 2(m2 4m) 2 2 4.2 2 m 0 (l) 2 . m 2m 4 m m 6 (n) m 2 (n) Vậy tổng các phần từ của S bằng 4 . Chọn A x 3 Ví dụ 2. Cho hàm số y có đồ thị C và đường thẳng d : y x m , với m là tham số x 1 thực. Biết rằng đường thẳng d cắt C tại hai điểm phân biệt A và B sao cho điểm G 2; 2 là trọng tâm của tam giác OAB (O là gốc toạ độ). Giá trị của m bằng A. 6 . B. 3 . C. 9 . D. 5 . Lời giải x 3 2 Hàm số y có y 0 , x D và đường thẳng d : y x m có hệ số x 1 x 1 2 a 1 0 nên d luôn cắt C tại hai điểm phân biệt A xA; yA và B xB ; yB với mọi giá trị của tham số m . x 3 Phương trình hoành độ giao điểm của d và C là: x m x 1 x2 mx m 3 0 x 1 . 2 Suy ra xA , xB là 2 nghiệm của phương trình x mx m 3 0 . Theo định lí Viet, ta có xA xB m . Mặt khác, G 2; 2 là trọng tâm của tam giác OAB nên xA xB xO 3xG x x 6 m 6 . A B Vậy m 6 thoả mãn yêu cầu đề bài. Chọn A 6
7. x 3 Ví dụ 3. Tìm m để đường thẳng y 2x m cắt đồ thị hàm số y tại hai điểm A, B x 1 sao cho độ dài AB là nhỏ nhất. A. 2 . B. 1. C. 1. D. 3 . Lời giải x 3 Gọi hàm số y có đồ thị là C và đường thẳng y 2x m có đồ thị là d . x 1 x 3 Xét phương trình hoành độ giao điểm của C và d : 2x m, x 1. x 1 x 3 2x2 2x mx m 2x2 m 1 x m 3 0, x 1 1 Để d cắt C tại hai điểm A, B Phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt khác 1 0 2 với g x 2x m 1 x m 3 g 1 0 2 m 1 4.2. m 3 0 2 m 6m 25 0, m. 2 0 Giả sử hoành độ giao điểm của C và d là x1, x2 . Khi đó A x1;2x1 m B x2 ;2x2 m . m 1 m 3 Theo hệ thức Vi-ét ta có x x ; x x 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 Ta có AB x2 x1 2x2 2x1 5 x1 x2 5 x1 x2 20x1x2 2 2 m 1 m 3 5m2 10m 5 40m 120 5 m 3 80 AB 5. 20. 2 5. 2 2 4 2 Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi m 3. Vậy m 3 thì độ dài AB đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 5. Chọn D x Ví dụ 4. Cho hàm số y C và điểm A 1;1 . Tìm m để đường thẳng 1 x d : y mx m 1 cắt C tại hai điểm phân biệt M , N sao cho AM 2 AN 2 đạt giá trị nhỏ nhất. 2 A. m 1. B. m 0.C. m 2. D. m 3 Lời giải x Phương trình hoành độ giao điểm của C và d là: mx m 1 (đk: x 1) 1 x 7
8. x 1 x mx m 1 x mx m 1 mx2 mx x mx2 2mx m 1 0 (*) Để C và d cắt nhau tại hai điểm phân biệt M, N thì (*) phải có 2 nghiệm phân biệt khác 1 m 0 ' m2 m m 1 m 0 m 2m m 1 0 m 0 m 1 Giả sử M x ; y , N x ; y . Theo hệ thức viét : x x 2; x x 1 1 2 2 1 2 1 2 m y1 y2 m x1 x2 2m 2 2m 2m 2 2 2 2 và y1.y2 mx1 m 1 mx2 m 1 m x1x2 m m 1 x1 x2 m 1 2 m(m 1) 2m m 1 m 1 m 1 2 2 2 2 2 2 Ta có: AM AN x1 1 y1 1 x2 1 y2 1 2 2 x1 x2 2 2 x1 1 x2 1 y1 y2 2 2 y1 1 y2 1 2 2 x1 x2 2 2 x1x2 x1 x2 1 y1 y2 2 2 y1y2 y1 y2 1 2 m 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 m 1 2 1 m m 1 1 1 18 2 2m 18 2 2. 2m 16 2. ( m) 16 2.2 20 (Áp dụng m m m BĐT Côsi) 2 2 1 2 m 1 Suy ra: AM AN đạt giá trị nhỏ nhất là 20 khi m m 1 m m 1 Vậy m 1 (vì m 0 ). Chọn A x 4 Ví dụ 5. Giá trị k thỏa mãn đường thẳng d : y kx k cắt đồ thị H : y tại hai 2x 2 điểm phân biệt A, B cùng cách đều đường thẳng y 0. Khi đó k thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây? A. 2; 1 . B. 1;2 . C. 1;0 . D. 0;1 . Lời giải x 4 Xét phương trình hoành độ các giao điểm: kx k ( điều kiện: x 1 ). 2x 2 8
9. 2kx2 x 2k 4 0 1 . Đường thẳng d cắt đồ thị H tại hai điểm phân biệt A, B khi và chỉ khi phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt khác 1 k 0 k 0 4 15 k 0 k 2k 1 2k 4 0 . 2 4 16k 32k 1 0 1 4.2k.(4 2k) 0 4 5 k 4 Gọi x1 , x2 là 2 nghiệm của phương trình 1 , ta có: A x1 ;kx1 k , B x2 ;kx2 k . Do A, B cách đều đường thẳng y 0 nên kx1 k kx2 k kx1 k kx2 k ( vì A, B là hai 1 1 điểm phân biệt ) x x 2 2 ( áp dụng Viet) k ( thỏa mãn điều kiện ). 1 2 2k 4 Chọn C Dạng 1.3. Bài toán tương giao của đường thẳng với hàm số trùng phương . Bài toán tổng quát: Tìm m để đường thẳng d : y cắt đồ thị (C) : y f (x;m) ax4 bx2 c tại n điểm phân biệt thỏa mãn điều kiện K cho trước?  Phương pháp giải: Bước 1. Lập phương trình hoành độ giao điểm của d và (C) là: ax4 bx2 c 0 (1) Đặt t x2 0 thì (1) at 2 bt c 0 (2) Tùy vào số giao điểm n mà ta biện luận để tìm giá trị m D1. Cụ thể: Để d  (C) n 4 điểm phân biệt (1) có 4 nghiệm phân biệt 0 (2) có 2 nghiệm t1, t2 thỏa điều kiện: 0 t1 t2 S 0 m D1. P 0 Để d  (C) n 3 điểm phân biệt (1) có 3 nghiệm phân biệt c 0 (2) có nghiệm t , t thỏa điều kiện: 0 t1 t2 b m D1. 1 2 0 a Để d  (C) n 2 điểm phân biệt (1) có 2 nghiệm phân biệt ac 0 (2) có 2 nghiệm trái dấu hoặc có nghiệm kép dương 0 m D1. S 0 Để d  (C) n 1 điểm phân biệt (1) có đúng 1 nghiệm 9
10. c 0 t1 0 0 (2) có nghiệm kép 0 hoặc  b m D1. t2 0 c 0 0 a Bước 2. Biến đổi điều kiện K về dạng có chứa tổng và tích của t1, t2 (3) Thế biểu thức tổng, tích vào (3) sẽ thu được phương trình hoặc bất phương trình với biến số là m. Giải chúng ta sẽ tìm được m D2. Kết luận: m D1  D2. ￿ Biểu diễn nghiệm của phương trình ax4 bx2 c 0 qua các nghiệm của phương trình at2 bt c 0 . Ta có: ax4 bx2 c 0 (1) , đặt t x2 0 , thì có: at2 bt c 0 (2) 0 Để (1) có 4 nghiệm phân biệt thì (2) có hai nghiệm phân biệt dương, tức là: t1 t2 0 t1.t2 0 Khi đó (1) có 4 nghiệm phân biệt lần lượt là t2 ; t1 ; t1 ; t2 Ví dụ 1. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để đồ thị hàm số y x4 4x3 m 2 x2 8x 4 cắt trục hoành tại đúng hai điểm có hoành độ lớn hơn 1. A. 8 . B. 7 . C. 5 . D. 3 . Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm x4 4x3 m 2 x2 8x 4 0 (*) Đồ thị hàm số y x4 4x3 m 2 x2 8x 4 cắt trục hoành tại đúng hai điểm có hoành độ lớn hơn 1 (*) có đúng hai nghiệm lớn hơn 1. * x4 4x3 8x 4 2 m x2 8 4 2 m x2 4x x x2 8 4 Đây là phương trình hoành độ giao điểm của C : y x2 4x x 1 với đường x x2 thẳng y 2 m song song với trục hoành. 8 4 Xét hàm số y x2 4x x 1 . x x2 8 8 2x4 4x3 8x 8 y 2x 4 . x2 x3 x2 x 1 3 L Cho y 0 . x 1 3 t / m Bảng biến thiên 10
11. Dựa vào bảng biến thiên ta thấy, ycbt 0 2 m 9 7 m 2. Vì m nguyên nên m 6, 5, ,1. Vậy có 8 giá trị nguyên của m thỏa bài toán. Chọn A Ví dụ 2. Cho hàm số y x4 2mx2 m (với m là tham số thực). Tập tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số đã cho cắt đường thẳng y 3 tại bốn điểm phân biệt, trong đó có một điểm có hoành độ lớn hơn 2 còn ba điểm kia có hoành độ nhỏ hơn 1, là khoảng a;b (với a,b ¤ , a ,b là phân số tối giản). Khi đó, 15ab nhận giá trị nào sau đây? A. 63 . B. 63 . C. 95 . D. 95 . Lời giải Xét phương trình hoành độ giao điểm x4 2mx2 m 3 . Đặt x2 t , t 0 . Khi đó phương trình trở thành t 2 2mt m 3 0 1 và đặt f t t 2 2mt m 3 . Để đồ thị hàm số cắt đường thẳng y 3 tại 4 điểm phân biệt thì phương trình 1 có hai nghiệm thỏa mãn 0 t1 t2 và khi đó hoành độ bốn giao điểm là t2 t1 t1 t2 . t2 2 Do đó, từ điều kiện của bài toán suy ra hay 0 t1 1 4 t2 . t1 1 f 0 0 m 3 0 19 Điều này xảy ra khi và chỉ khi f 1 0 3m 4 0 3 m . 9 9m 19 0 f 4 0 19 Vậy a 3, b nên 15ab 95 . Chọn C 9 Ví dụ 3. Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình x4 2x2 3 2m 1 có đúng 6 nghiệm thực phân biệt. 3 5 A. 1 m . B. 4 m 5 . C. 3 m 4. D. 2 m . 2 2 Lời giải Xét g x x4 2x2 3 có tập xác định: D ¡ g x 4x3 4x x 0 3 2 . g x 0 4x 4x 0 4x x 1 0 x 1 x 1 11
12. Đồ thị hàm số f x x4 2x2 3 là: Để phương trình x4 2x2 3 2m 1 có đúng 6 nghiệm thực phân biệt. 5 3 2m 1 4 4 2m 5 2 m Chọn D 2 Ví dụ 4. Một đường thẳng cắt đồ thị hàm số y x4 2x2 tại 4 điểm phân biệt có hoành độ là 0,1,m,n . Tính S m2 n2 . A. S 1 . B. S 0 . C. S 3 . D. S 2 . Lời giải Gọi phương trình đường thẳng là d : y ax b. Theo đề ta có 0,1,m,n là các nghiệm của phương trình: x4 2x2 ax b 0 (1). b 0 Vì x=0 ,x=1 là nghiệm của phương trình (1) nên ta có: a b 1 Khi đó phương trình (1) trở thành: x4 2x2 +x=0 x(x-1)(x2 x 1) 0 . Dễ thấy m,n là nghiệm của phương trình: x2 x 1 0 . S m2 n2 (m n)2 2mn ( 1)2 2 3. Chọn C 4 2 Ví dụ 5. Cho hàm số y x 2x có đồ thị (C) , có bao nhiêu đường thẳng d có đúng 3 điểm chung với đồ thị (C) và các điểm chung có hoành độ x , x , x thỏa mãn 1 2 3 3 3 3 x1 x2 x3 1. A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3. Lời giải Vì đường thẳng d cắt đồ thị hàm số (C) tại 3 điểm phân biệt nên đường thẳng d là đường thẳng có hệ số góc dạng y ax b . 4 2 Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C) là: x 2x ax b . 12
13. Mà phương trình là phương trình bậc 4 nên phương trình muốn có 3 nghiệm phân biệt thì trong đó sẽ có 1 nghiệm kép gọi là x1 , hai nghiệm còn lại là x2 , x3 . Suy ra đường thẳng d là tiếp tuyến của đồ thị (C) , không mất tính tổng quát giả sử đường thẳng d tiếp xúc với đồ thị hàm số (C) tại x1 . Gọi d là tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x1 , d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt có hoành 3 3 3 độ x2 , x3 ( x1 ) thỏa mãn x1 x2 x3 1. 3 4 2 Ta có: d : y (4x1 4x1)(x x1) x1 2x1 . Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C) là: 4 2 3 4 2 x 2x (4x1 4x1)(x x1) x1 2x1 (1) 3 3 3 Yêu cầu bài toán (1) có 3 nghiệm phân biệt thỏa mãn x1 x2 x3 1. x x (1) (x x )2 (x2 2x x 3x 2 2) 0 1 1 1 1 2 2 f (x) x 2x1x 3x1 2 0 3 3 3 Để phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt thỏa mãn x1 x2 x3 1thì phương trình f (x) 0 phải có 2 nghiệm phân biệt x2 , x3 khác x1 và thỏa mãn định lí Vi – ét: x2 x3 2x1 2 x2.x3 3x1 2 2 2 ' x1 3x1 2 0 1 x1 1 2 2 2 2 Ta có: x1 2x1 3x1 2 0 3x1 1 0 3 3 3 3 2 x1 (x2 x3 ) 3x2 x3 (x2 x3 ) 1 x1 ( 2x1) 3(3x1 2).( 2x1) 1 11 165 x . Vậy có đúng 1 đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn B 1 22 Dạng 1.4. Bài toán tương giao của hai đường bất kỳ Cơ sở lý thuyết để suy luận: số giao điểm của hai đồ thị của hai hàm số y f (x) và y g(x) là số nghiệm của phương trình f (x) g(x) (1) và nghiệm của phương trình (1) cũng chính là hoành độ của giao điểm. Khi có tham số ta thực hiện giải bài toán theo quy trình sau: B1: Cô lập tham số đưa phương trình về dạng f (x) m B2: Lập bảng biến thiên (vẽ đồ thị) của hàm số y f (x) B3: Sử dụng kiến thức tương giao, quan sát bảng biến thiên hoặc quan sát đồ thị để chọn các giá trị của tham số m phù hợp với yêu cầu bài toán. x 3 x 2 x 1 x Ví dụ 1. (Mã 101 2019) Cho hai hàm số y và y x 2 x m x 2 x 1 x x 1 ( m là tham số thực) có đồ thị lần lượt là C1 và C2 . Tập hợp tất cả các giá trị của m để C1 và C2 cắt nhau tại đúng bốn điểm phân biệt là A. 2; . B. ;2 . C. 2; . D. ;2 . Lời giải 13
14. x 3 x 2 x 1 x Xét phương trình x 2 x m x 2 x 1 x x 1 x 3 x 2 x 1 x x 2 x m (1) x 2 x 1 x x 1 x 3 x 2 x 1 x Hàm số p x x 2 x . x 2 x 1 x x 1 x 3 x 2 x 1 x 2 khi x 2 x 2 x 1 x x 1 x 3 x 2 x 1 x 2x 2 khi x 2 x 2 x 1 x x 1 1 1 1 1 0,x 2; \ 1;0;1;2 2 2 2 2  x 2 x 1 x x 1 Ta có p x 1 1 1 1 2 0,x 2 2 2 2 2 x 2 x 1 x x 1 nên hàm số y p x đồng biến trên mỗi khoảng ; 1 , 1;0 , 0;1 , 1;2 , 2; . Mặt khác ta có lim p x 2 và lim p x . x x Bảng biến thiên hàm số y g x : Do đó để C1 và C2 cắt nhau tại đúng bốn điểm phân biệt thì phương trình (1) phải có 4 nghiệm phân biệt. Điều này xảy ra khi và chỉ khi đường thẳng y m cắt đồ thị hàm số y p x tại 4 điểm phân biệt m 2 . Chọn A x x 1 x 2 Ví dụ 2. Cho hai hàm số y và y ex 2023 3m ( m là tham số thực) x 1 x x 1 có đồ thị lần lượt là (C1) và (C2 ) . Có bao nhiêu số nguyên m thuộc ( 2022;2023) để (C1) và (C2 ) cắt nhau tại 3 điểm phân biệt ? A. 2696 . B. 2695. C. 2692 . D. 2693. Lời giải x x 1 x 2 Xét phương trình hoành độ giao điểm ex 2023 3m x 1 x x 1 x x 1 x 2 ex 2023 3m (1). x 1 x x 1 14
15. x x 1 x 2 Đặt g(x) ex 2023. x 1 x x 1 1 1 1 Ta có g (x) ex 0 với mọi x thuộc các khoảng sau ; 1 , (x 1)2 x2 x 1 2 1;0 , 0;1 và 1; nên hàm số y g(x) nghịch biến trên mỗi khoảng đó. Mặt khác ta có lim g(x) 2020 và lim g(x) . x x Bảng biến thiên hàm số y g(x) Do đó để (C1) và (C2 ) cắt nhau tại đúng ba điểm phân biệt thì phương trình (1) phải có ba nghiệm phân biệt. Điều này xảy ra khi và chỉ khi đường thẳng y 3m cắt đồ thị hàm số 2020 y g(x) tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi 3m 2020 m 673,3 . 3 Do m nguyên thuộc ( 2022;2023) nên m 673; 672; ;2022. Vậy có tất cả 2696 giá trị m thỏa mãn. Chọn A Ví dụ 3. Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hai hàm số 11 1 y 2x2 1 x 1 và y 11 m cắt nhau tại 2 điểm phân biệt? 3x 4 2 x A. ;0 . B. ;1 . C. ;1 . D. ;2 . Lời giải 11 1 Xét phương trình hoành độ giao điểm: 2x2 1 x 1 11 m * 3x 4 2 x x 1 0 x 1 4 4 Điều kiện: x x 3 3 x 2 x 2 11 1 Ta có: * 2x2 1 x 1 11 m 3x 4 2 x 2 11 1 4  Xét hàm số f (x) 2x 1 x 1 11 trên 1; \ ;2 3x 4 2 x 3  4 4 Nhận thấy, hàm số f x liên tục trên các khoảng 1; , ;2 , 2; 3 3 15
16. 2 11 1 Ta có, f (x) 2x 1 x 1 11 3x 4 2 x 2 2 1 33 1 10x 8x 1 33 1 4x x 1 2x 1 2 2 2 2 0 2 x 1 3x 4 2 x 2 x 1 3x 4 2 x 4  4  với x 1; \ ;2 Suy ra, hàm số f x đồng biến trên 1; \ ;2. 3  3  Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên ta suy ra đồ thị hai hàm số y 2x2 1 x 1 và 11 1 y 11 m cắt nhau tại 2 điểm phân biệt khi m ( ;1) . Chọn B 3x 4 2 x Ví dụ 4. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số 4 3 2 y = x + x - 5x - x + m cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có các hoành độ là 2 2 2 2 x1, x2, x3, x4 thỏa mãn (x1 + 1)(x2 + 1)(x3 + 1)(x4 + 1) ³ 68 .Tập S có bao nhiêu tập con ? A. 16 .B. 8 . C. 32 .D. 4 . Hướng dẫn giải Xét hàm h(x) = x 4 + x 3 - 5x 2 - x + m, é êx » - 1, 9 3 2 ê TXD : ¡ , h '(x) = 4x + 3x - 10x - 1 = 0 Û êx » 1.3 ê x » - 0.09 ëê Có BBT 16
17. m 0.05 0 Dựa vào BBT YCBT 0.05 m 4.69 m 4.69 0 Khi đó y(x) (x x1)(x x2 )(x x3 )(x x4 ) y( x) ( x x1)( x x2 )( x x3 )( x x4 ) 2 2 2 2 2 2 2 2 y(x).y( x) (x x1 )(x x2 )(x x3 )(x x4 ) 2 2 2 2 y(i).y( i) (x1 1)(x2 1)(x3 1)(x4 1) 2 2 2 2 4 3 2 4 3 2 (x1 1)(x2 1)(x3 1)(x4 1) i i 5i m i i 5i m 6 m 2i 6 m 2i 6 m 2 4 68 14 m 2 Kết hợp trên ta có S 0;1;2 . Vậy số tập con của S là 23 8 . Chọn B Ví dụ 5. Cho hai hàm số y x2 x 1 và y x3 2x2 mx 3. Giá trị của tham số m để đồ thị của hai hàm số có 3 giao điểm phân biệt và 3 giao điểm đó nằm trên đường tròn bán kính bằng 3 thuộc vào khoảng nào dưới đây? A. ; 4 . B. 4; 2 . C. 0; . D. 2;0 . Lời giải Giả sử m là số thực thỏa mãn bài toán. Phương trình hoành độ giao điểm giữa hai đồ thị là x2 x 1 x3 2x2 mx 3 x3 x2 m 1 x 2 0 1 . Gọi M x0 ; y0 là một trong 3 giao điểm. Ta có 2 2 4 3 2 y0 x0 x0 1 y0 x0 2x0 x0 2x0 1 2 . x3 x2 m 1 x 2 0 3 2 0 0 0 x0 x0 m 1 x0 2 0 3 Từ 2 và 3 suy ra 2 3 2 2 2 y0 x0 1 x0 x0 m 1 x0 2 m 1 x0 m 1 x0 3 m 1 x0 m 1 x0 3. 2 2 2 Hay y0 x0 mx0 m 1 x0 3 m y0 x0 1 m 1 x0 3 . 2 2 Rút gọn ta được x0 y0 x0 my0 m 3 0 4 . 2 2 1 m Đây là phương trình đường tròn khi m 3 0 * . 2 2 2 2 1 m Với điều kiện * thì M x0 ; y0 thuộc đường tròn có bán kính R m 3 . 2 2 m2 1 m 2 3 3 Theo đề bài R 3 m 3 9 m2 4m 23 0 . 4 m 2 3 3 Thử lại. Với m 2 3 3 thì phương trình 1 có 1 nghiệm. Do đó, m 2 3 3 không thỏa mãn. 17
18. Với m 2 3 3 thì phương trình 1 có 3 nghiệm và cũng thỏa mãn * . Vậy giá trị m cần tìm là m 2 3 3 4; 2 . Chọn B Dạng 2: Bài toán tương giao với hàm hợp, hàm ẩn Dạng 2.1. Bài toán tương giao với hàm hợp, hàm ẩn không có tham số Định hướng phương pháp: Giải bài toán bằng phương pháp đặt ẩn phụ và phương pháp biến đổi tương đương. Ví dụ 1. (Mã 102 - 2020 Lần 1) Cho hàm số f x có đồ thị là đường cong như hình vẽ bên dưới. Số nghiệm thực phân biệt của phương trình f x3 f x 1 0 là A. 6 . B. 4 . C. 5. D. 8. Lời giải x3 f x a 6; 5 1 Dựa vào đồ thị, ta thấy f x3 f x 1 0 f x3 f x 1 x3 f x b 3; 2 2 3 x f x 0 3 x 0 x 0 + Phương trình 3 tương đương . f x 0 x x1, 6 x1 a 5 a b + Các hàm số g x và h x đồng biến trên các khoảng ;0 và 0; , và x3 x3 f x g x nhận xét rằng x 0 không phải là nghiệm của phương trình 1 nên: 1 . f x h x lim f x ; lim f x 1 x x 0 + Trên khoảng ;0 , ta có lim g x lim h x 0 x x lim g x lim h x x 0 x 0 nên các phương trình f x g x và f x h x có nghiệm duy nhất. lim f x ; lim f x 1 x x 0 + Trên khoảng 0; , ta có lim g x lim h x 0 x x lim g x lim h x x 0 x 0 nên các phương trình f x g x và f x h x có nghiệm duy nhất. Do đó, phương trình f x3 f x 1 0 có 6 nghiệm phân biệt. Chọn A 18
19. Ví dụ 2. Cho hàm số bậc ba y f (x) có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm thực của phương trình f x4 2x2 2 là A. 8. B. 9. C. 7. D. 10. Lời giải f x4 2x2 2 Phương trình f x4 2x2 2 . 4 2 f x 2x 2 x4 2x2 b,( 1 b 0) f x4 2x2 2 * Phương trình 4 2 4 2 . x 2x c,(0 c 1); x 2x d,(2 d 3) * Phương trình f x4 2x2 2 x4 2x2 a,( 2 a 1) . Đồ thị hàm số y x4 2x2 như hình vẽ sau: 19
20. Dựa vào đồ thị trên ta có: - Phương trình x4 2x2 a,( 2 a 1) không có nghiệm thực. - Phương trình x4 2x2 b,( 1 b 0) có 4 nghiệm thực phân biệt. - Phương trình x4 2x2 c,(0 c 1) có 2 nghiệm thực phân biệt. - Phương trình x4 2x2 d,(2 d 3) có 2 nghiệm thực phân biệt. Vậy phương trình f x4 2x2 2 có 8 nghiệm thực phân biệt. Chọn A Nhận xét: Khi bài toán chứa dấu giá trị tuyệt đối ta đi phá dấu giá trị tuyệt đối bằng phép biến f (x) A đổi tương đương f (x) A . f (x) A Ví dụ 3. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau: Số nghiệm của phương trình f x 2021 2022 2023 là A. 4 . B. 6 . C. 2 . D. 3 . Lời giải Ta có : f x 2021 2022 2023 f x 2021 1 f x 2021 2022 2023 . f x 2021 2022 2023 f x 2021 4045 Từ bảng biến thiên suy ra: +) Phương trình: f x 2021 1 có 3 nghiệm. +) Phương trình: f x 2021 4045 có 1 nghiệm. Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm. Chọn A Ví dụ 4. Cho hàm số bậc ba y f (x) có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Số nghiệm 1 thực phân biệt của phương trình f 4 x2 x2 1 là 2023 20