Ôn tập TN THPT môn Toán - Chuyên đề: Đồ thị hàm số, tiệm cận của đồ thị, sự tương giao

Nội dung tài liệu: Ôn tập TN THPT môn Toán - Chuyên đề: Đồ thị hàm số, tiệm cận của đồ thị, sự tương giao

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CHUYÊN ĐỀ ÔN TẬP BẮC NINH KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 Môn: Toán TÊN CHUYÊN ĐỀ: ĐỒ THỊ HÀM SỐ, TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ, SỰ TƯƠNG GIAO Người biên soạn: Vũ Thị Thành – Nguyễn Thị Nhàn Đơn vị công tác: Trường THPT Thuận Thành số 2. I. HỆ THỐNG KIẾN THỨC LIÊN QUAN 1. Hàm số bậc ba y ax3 bx2 cx d a 0 . 1.1. Tập xác định: D R. 1.2. Giới hạn: - Với a 0 thì lim y và lim y . x x - Với a 0 thì lim y và lim y . x x 1.3. Đạo hàm và cực trị: y 3ax2 2bx c . Khi đó: - Hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình y 0 có hai nghiệm phân biệt y 0 . - Gọi A x1; y1 và B x2 ; y2 là hai tọa độ điểm cực trị thì theo định lý Viet ta có: 2b S x x 1 2 3a . c P x x 1 2 3a - Hàm số không có cực trị khi và chỉ khi phương trình y 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép y 0 . Chú ý: Đối với hàm bậc 3 ta luôn có yCD yCT và: - Nếu a 0 thì xCD xCT . - Nếu a 0 thì xCD xCT . 1.4. Bảng biến thiên TH1. Hàm số có 2 điểm cực trị x1, x2 . Hệ số a 0 Hệ số a 0 TH2. Hàm số không có cực trị 1
2. Hệ số a 0 Hệ số a 0 1.5. Đồ thị hàm số TRƯỜNG HỢP a 0 a 0 PTy/ 0 có 2 nghiệm phân biệt PT y/ 0 có nghiệm kép PT y/ 0 vô nghiệm ` 2. Hàm số trùng phương y ax4 bx2 c a 0 2.1. Tập xác định: D R. 2.2. Giới hạn: - Với a 0 thì lim y . x - Với a 0 thì lim y . x x 0 2.3. Đạo hàm và cực trị: y 4ax2 2bx 2x 2ax2 b nên y 0 b . x2 2a - Với ab 0 : hàm số có một điểm cực trị x 0 . b - Với ab 0 : hàm số có ba điểm cực trị x 0, x . 2a 2.4. Bảng biến thiên TH1: Phương trình y ' 0 có ba nghiệm phân biệt. a 0 a 0 TH2: Phương trình y ' 0 có nghiệm duy nhất x 0 . 2
3. a 0 a 0 2.5. Đồ thị hàm trùng phương :y ax4 bx2 c a 0 TRƯỜNG HỢP a 0 a 0 PT y/ 0 có 3 nghiệm phân biệt / PT y 0 có một nghiệm duy nhất x 0 . ax b 3. Hàm số bậc nhất / bậc nhất :y c 0,ad bc 0 cx d d  3.1. Tập xác định: D ¡ \  . c  ad bc d 3.2. Đạo hàm: y ,x . cx d 2 c - Nếu ad bc 0 : hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định. - Nếu ad bc 0: hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định. 3.3. Giới hạn, tiệm cận ax b a a lim y lim suy ra y là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. x x cx d c c ax b d lim y lim suy ra x là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. d d x x cx d c c c 3.4. Bảng biến thiên ad bc 0 ad bc 0 ax b 3.5. Đồ thị hàm số y c 0,ad bc 0 cx d ad bc 0 ad bc 0 3
4. II. Một số dạng toán thường gặp: Phương pháp giải: Dựa vào các kiến thức liên quan đến giới hạn, đạo hàm, cực trị, tiệm cận, bảng biến thiên và hình dạng của đồ thị và chú ý thêm các đặc điểm nhận dạng sau: 1. Hàm bậc ba y ax3 bx2 cx d a 0 Hệ số a : Quan sát dáng đồ thị: - Nét cuối “đi lên”: a 0 . - Nét cuối “đi xuống”: a 0 . Hệ số d : Xác định giao điểm của đồ thị với trục tung Oy . - Giao điểm nằm phía trên gốc tọa độ O : d 0 . - Giao điểm nằm phía dưới gốc tọa độ O : d 0 . - Giao điểm trùng với gốc tọa độ O : d 0 . Tích số ac hệ số c : Xác định vị trí hai điểm cực trị - 2 điểm cực trị nằm về 2 phía so với trục Oy : ac 0 . - 2 điểm cực trị nằm về cùng một phía so với trục Oy : ac 0 . - Có 1 điểm cực trị nằm trên trục tung Oy : c 0 . b Tích số ab hệ số b : Xác định vị trí điểm uốn y'' 6a x 2b;y'' 0 xuon 3a - Điểm uốn nằm bên phải trục:.Oy ab 0 - Điểm uốn nằm bên trái trục:.Oy ab 0 - Điểm uốn nằm trên trục Oy :b 0 . Một số điểm đặc biệt thuộc đồ thị: Giao với Ox ,Oy , các điểm có tọa độ sẵn trên hình. 2. Hàm bậc bốn trùng phương y ax4 bx2 c a 0 Hệ số a : Quan sát dáng đồ thị: - Nét cuối “đi lên”: a 0 . - Nét cuối “đi xuống”: a 0 . Hệ số c : Xác định giao điểm của đồ thị với trục tung Oy . - Giao điểm nằm phía trên gốc tọa độ O : c 0 . - Giao điểm nằm phía dưới gốc tọa độ O : c 0 . - Giao điểm trùng với gốc tọa độ O : c 0 . Tích số ab hệ số b : Dựa vào số điểm cực trị. - Hàm số có 3 cực trị: ab 0 . - Hàm số có 1 cực trị: ab 0 . Một số điểm đặc biệt thuộc đồ thị: Giao với Ox ,Oy , các điểm có tọa độ sẵn trên hình. 4
5. ax b 3. Hàm bậc nhất/ bậc nhất y c 0,ad bc 0 cx d Quan sát dáng đồ thị: - Nét cuối “đi lên” hàm số đồng biến: ad bc 0 - Nét cuối “đi xuống” hàm số nghịch biến: ad bc 0 d TCĐ: x . c a TCN: y . c b b Giao với Ox: Cho y 0 x A ,0 . a a b b Giao với Oy: Cho x 0 y B 0, . d d Các điểm đặc biệt khác trên đồ thị. Dạng 1. Nhận dạng hàm số khi biết đồ thị VD1. Đồ thị như hình vẽ là của đồ thị hàm số nào? y 3 1 1 -1 O x -1 A. y x3 3x2 1. B. y x3 3x 1. C. y x3 3x2 1. D. y x3 3x 1. Lời giải Dựa vào đồ thị hàm số trên hình vẽ suy ra hệ số a 0 nên loại đáp án A và C. VD2. Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây? y 4 1 x -3 -1 O 1 2x 1 2x 5 2x 3 2x 5 A. y . B. y . C. y . D. y . x 1 x 1 x 1 x 1 Lời giải Dựa vào độ thị hàm số ta có: Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm có tung độ bằng 5 nên loại đáp án A, B và C. VD3. Đường cong trong hình bên là đồ thị một hàm số được liệt kê ở bốn phương án 5
6. A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? y 1 1 1 O x 1 A. y x3 3x2 1. B. y 2x4 4x2 1. C. y 2x4 4x2 1. D. y 2x4 4x2 . Lời giải Đồ thị đã cho là đồ thị hàm trùng phương có hệ số a 0 nên loại các đáp án A, C, D. Vậy đó là đồ thị hàm số y 2x4 4x2 1. VD4. Cho hàm số y ax4 bx2 c ( a , b , c là các hằng số thực; a 0 ) có đồ thị C như sau: y O x Xác định dấu của a c và b A. a c 0 và b 0 . B. a c 0 và b 0 . C. a c 0 và b 0 . D. a c 0 và b 0 . Lời giải lim y a 0 x . y 0 0 c 0 . a c 0 . y 4ax3 2bx 2x 2ax2 b Hàm số có 3 cực trị y 0 có 3 nghiệm phân biệt a.b 0 b 0 . ax b VD5. Cho hàm số y có đồ thị như hình dưới. x 1 6
7. y 1 2 x O 1 2 Khẳng định nào dưới đây là đúng? A. b 0 a . B. 0 b a . C. b a 0 . D. 0 a b . Lời giải Nhìn vào đồ thị ta thấy : Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y a và tiệm cận đứng x 1.Đồ a 1 b 1 thị cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x 1. Ta có : b a 1 0 . a b 1 a VD6. Cho hàm số y f x có đồ thị C như hình vẽ. Hỏi C là đồ thị của hàm số nào trong bốn hàm số cho dưới đây? y 1 O x 1 A. y x3 1. B. y x 1 3 . C. y x 1 3 . D. y x3 1. Lời giải Quan sát đồ thị ta thấy đây là đồ thị của hàm số y ax3 bx2 cx d a 0 . a 0 ; x 0 y 1; y 0 x 1 suy ra đáp án B hoặc D. 1 0 1 2 1 3 2 Mặt khác y x 1 y 3 x 1 0 x 1; nên tiếp tuyến tại M 1;0 trùng với trục Ox ax b VD7. Cho hàm số y có đồ thị như hình vẽ, với a , b , c là các số nguyên. Tính x c giá trị của biểu thức T a 3b 2c . 7
8. y O x 1 1 2 2 A. T 12 . B. T 7 . C. T 10 . D. T 9 . Lời giải Tiệm cận ngang y 1 a 1. Tiệm cận đứng x 1 c 1. b Đồ thị hàm số đi qua điểm A 0; 2 2 b 2 . c Vậy T a 3b 2c 1 3.2 2. 1 9 . Dạng 2. Nhận dạng hàm số khi biết bảng biến thiên. VD1. Bảng biến thiên sau đây là của hàm số nào? x 1 2x 1 2x 3 2x 1 A. y . B. y . C. y . D. y . 2x 1 x 1 x 1 x 1 Lời giải Dựa vào bảng biến thiên, đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x 1, tiệm cận ngang y 2, đồng biến trên từng khoảng xác định ; 1 và 1; . x 1 1 1 Đồ thị hàm số y có tiệm cận đứng x , tiệm cận ngang y , do đó đáp án A sai. 2x 1 2 2 2x 1 Đồ thị hàm số y có tiệm cận đứng x 1, tiệm cận ngang y 2 . x 1 2x 1 3 Hơn nữa, y 2 0 , x ; 1  1; ; do đó hàm số đồng biến x 1 x 1 trên từng khoảng xác định ; 1 và 1; . Chọn đáp án B. VD2. Bảng biến thiên trong hình bên dưới của hàm số nào dưới đây? 8
9. x 1 A. y . B. y x4 2x2 3 . C. y x3 3x 2. D. y x3 3x 4 . 2x 1 Lời giải Theo bảng biến thiên thì lim y nên chọn đáp án C x VD3. Bảng biến thiên ở bên là của hàm số nào trong 4 hàm số sau? A. y 1 x x2 . B. y x2 2 . C. y x4 x2 2 . D. y x4 x2 2 . Lời giải Từ chiều biến thiên của hàm số ta loại đáp án B. Do hàm số chỉ có một cực trị nên ta loại đáp án D. Khi x 0 thì y 2 nên ta chọn đáp án C. VD4. Bảng biến thiên dưới đây là của hàm số nào x 1 0 1 y 0 0 0 y 3 4 4 A. y x4 2x2 3 . B. y x4 2x2 3 . C. y x4 2x2 3 . D. y x4 2x2 3. Lời giải Hàm số có dạng: y ax4 bx2 c Ta có lim y a 0 (loại B). x Hàm số có 3 điểm cực trị ab 0 y x4 2x2 3 . VD5. Bảng biến thiên sau là của hàm số nào dưới đây. 9
10. x 1 0 1 y 0 0 0 3 y 4 4 1 3 A. y x4 x2 3 . B. y 2x4 4x2 3 . C. y 2 x 3 x 3 . D. y 2 x3 3x2 3 . 2 Lời giải 3 2 2 x 0 Cách 1: Xét f x 2x 3x 3; f x 6x 6x ; f x 0 . x 1 Bảng biến thiên của hàm số f x 2x3 3x2 3: Từ đó suy ra bảng biến thiên của hàm số y 2 x3 3x2 3 là Cách 2: Từ bảng biến thiên ta có: y 1 4 nên loại A và B. y 1 0 nên loại C. Dạng 3. Điểm đặc biệt của đồ thị hàm số 2x 1 VD1. Trên đồ thị hàm số y có bao nhiêu điểm có tọa độ nguyên? 3x 4 A. 1. B. 2 . C. 0 . D. 4 . Lời giải 2x 1 2 11 11 Ta có: y 3y 2 . 3x 4 3 3 3x 4 3x 4 x 1 y 3 3x 4 1 5 x l 3x 4 1 3 Để y ¢ thì 3x 4 11 7 x l 3x 4 11 3 x 5 y 1 VD2. Điểm nào sau đây không thuộc đồ thị hàm số y x4 2x2 1? A. 1;2 .B. 2;7 . C. 0; 1 . D. 1; 2 . 10
11. Lời giải Điểm A 1;2 không thuộc đồ thị hàm số y x4 2x2 1. VD3. Đồ thị của hàm số y x3 3x2 mx m ( m là tham số) luôn đi qua một điểm M cố định có tọa độ là A. M 1; 4 . B. M 1; 4 . C. M 1;2 . D. M 1; 2 . Lời giải Gọi M x0 ; y0 là điểm cố định mà họ đồ thị luôn đi qua m . 3 2 3 2 y0 x0 3x0 mx0 m m m x0 1 x0 3x0 y0 0 m x0 1 0 x0 1 3 2 3 2 M 1; 4 . x0 3x0 y0 0 y0 x0 3x0 4 VD4. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để trên đồ thị hàm số y x3 x2 m 1 có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua điểm I 0;1 . A. m 2 . B. 1 m 2 . C. m 1. D. m 1. Lời giải Giả sử M x0 ; y0 là điểm thuộc đồ thị hàm số đã cho, ta được 3 2 y0 x0 x0 m 1 1 . Khi đó nếu N xN ; yN là điểm đối xứng với M qua I thì x0 xN 0 2 xN x0 N x0 ;2 y0 . y y y 2 y 0 N 1 0 0 2 Để N cũng thuộc đồ thị hàm số đã cho thì ta có phương trình 3 2 2 y0 x0 x0 m 1 (2) . 2 Lấy 1 cộng 2 vế theo vế và biến đổi ta được phương trình x0 m 2 , phương trình này có nghiệm khi và chỉ khi m 2 . Hơn nữa để M N x0 x0 x0 0 , ta chọn m 2 . 3x 1 VD5. Tọa độ điểm M thuộc đồ thị hàm số y cách đường tiệm cận đứng của đồ thị x 1 hàm số một khoảng bằng 1 là A. 0; 1 ; 2;7 . B. 1;0 ; 2;7 . C. 0;1 ; 2; 7 . D. 0; 1 ; 2;7 . Lời giải 3x 1 Gọi C là đồ thị hàm số y ; C có tiệm cận đứng x 1. x 1 3m 1 M C M m; , m 1. m 1 m 2 Khoảng cách từ M tới đường tiệm cận đứng bằng d m 1 m 1 1 . m 0 11
12. Vậy M 0; 1 hoặc M 2;7 . III. Một số sai lầm thường gặp của học sinh: ax b Câu 1. Cho hàm số y có đồ thị là đường cong (C) như hình vẽ: cx d Tâm đối xứng của đồ thị (C) là A. 1; 1 .B. 1; 1 . C. 1;1 .D. 1;1 . Sai lầm thường gặp: Học sinh không nhớ tính chất của hàm số bậc nhất / bậc nhất: ax b y : giao điểm của hai đường tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị. Từ đó dễ bỏ qua cx d câu hỏi này. Lời giải đúng: Nhìn đồ thị hàm số, ta thấy: Tiệm cận đứng x 1, tiệm cận ngang y 1. Tâm đối xứng của đồ thị là giao điểm I 1; 1 của hai đường tiệm cận. Câu 2: Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ. Số giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là: A. 3. B. 2. C. 1. D. 0. Sai lầm thường gặp: Trục hoành y 0 cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt x1 ;0 , x2 0, x3 1; . Do vậy chọn đáp án A. Học sinh mắc sai lầm do không loại được nghiệm x 0 . Lời giải đúng: TXĐ: D R \ 0;1. 12
13. Trục hoành y 0 cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt x1 ;0 , x2 1; . Giá trị x 0 không thuộc tập xác định của hàm số. Do vậy chọn đáp án A. IV. Câu hỏi ôn tập Câu 1. Đường cong trong hình sau là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? A. y x3 3x 1. B. y x3 3x 1. C. y x3 3x 1. D. y x3 3x2 1. Hướng dẫn giải Hàm đa thức bậc ba, a 0 loại C. Đồ thị hàm số đi qua điểm 1;1 loại A, D. Chọn B. Câu 2. Đường cong ở hình vẽ bên dưới là của đồ thị hàm số nào? A. y x3 3x 4 B. y x3 3x2 2. C. y x3 4 D. y x4 3x2 2 . Hướng dẫn giải Hàm đa thức bậc ba loại D. a 0 loại C. Đồ thị giao trục tung tại điểm có tung độ dương c 0 , loại A. Chọn B. Câu 3. Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số được cho bởi các phương án A, B, C, D dưới đây? A. y 2x3 1. B. y x3 x 1. 13
14. C. y x3 1. D. y x3 2x 1. Hướng dẫn giải Hàm đa thức bậc ba a 0 loại D. Đồ thị hàm số đi qua điểm 1;2 loại A, B. Chọn C. Câu 4. Cho hàm số y x3 3x2 2. Đồ thị của hàm số là hình nào dưới đây? A. . B. . C. .D. . Hướng dẫn giải Hàm đa thức bậc ba, loại A. a 1 0 loại C. Đồ thị hàm số giao trục tung tại điểm 0;2 loại B. Chọn D. Câu 5. Hàm số y ax3 bx2 cx d có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. a 0,b 0,c 0,d 0 . B. a 0,b 0,c 0,d 0 . C. a 0,b 0,c 0,d 0 .D. a 0,b 0,c 0,d 0. Hướng dẫn giải Nhìn đồ thị ta thấy a 0 loại A. Đồ thị hàm số giao trục tung tại điểm có tung độ dương d 0 , loại B. c Hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung, tức x x 0 , mà a 0 c 0. CD CT 3a 14
15. 2b x 1;0 , x 1;2 x x 0, mà a 0 b 0 . Chọn D. CD CT CD CT 3a Câu 6. Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số sau: x 2 A. y . B. y x4 2x2 2. C. y x4 2x2 2 . D. y x3 2x2 2 . x 1 Hướng dẫn giải Nhìn đồ thị ta thấy đây là đồ thị hàm bậc bốn trùng phương loại A, D. a 0 , loại C, chọn B. Câu 7. Đồ thị sau đây là đồ thị của hàm số nào? A. y x4 2x2 1. B. y x4 2x2 . C. y x4 2x2 . D. y x4 2x2 1. Hướng dẫn giải Nhìn đồ thị ta thấy đây là đồ thị hàm bậc bốn trùng phương có a 0 loại C, D. Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ O 0;0 loại A, chọn B. Câu 8. Đường cong trong hình vẽ sau là đồ thị của hàm số nào dưới đây? A. y x4 2x2 3 . B. y x4 2x2 3 . 15
16. C. y x4 2x2 3 . D. y x2 3 . Hướng dẫn giải Nhìn đồ thị ta thấy đây là đồ thị hàm bậc bốn trùng phương hoặc hàm số bậc hai có a 0 loại B. Đồ thị hàm số đi qua điểm 1;0 loại C, D, chọn A. Câu 9. Cho hàm số y ax4 bx2 c có đồ thị như hình vẽ bên. Kết luận nào sau đây đúng? A. a 0,b 0,c 0. B. a 0,b 0,c 0. C. a 0,b 0,c 0. D. a 0,b 0,c 0. Hướng dẫn giải Nhìn đồ thị ta thấy a 0 loại D. Đồ thị hàm số giao với trục tung tại điểm có tung độ âm c 0 , loại B, C, chọn A. Câu 10. Hình vẽ bên đây là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số sau: x x x x A. y . B. . C. y . D. y . 2x 1 2x 1 2x 1 2x 1 Hướng dẫn giải 1 Nhìn đồ thị ta thấy đây là hàm số phân thức có tiệm cận đứng x loại C, D. 2 1 Tiệm cận ngang y loại B, chọn A. 2 Câu 11. Đồ thị sau là đồ thị của hàm số nào dưới đây? 16
17. x 2x 3 x 1 x 1 A. y . B. y . C. y . D. y . x 1 2x 2 x 1 x 1 Hướng dẫn giải Nhìn đồ thị ta thấy đây là hàm số phân thức có tiệm cận đứng x 1 loại D. Đồ thị hàm số giao với trục hoành tại điểm 1;0 loại A, B, chọn C. Câu 12: Hàm số y x3 3x2 1 có đồ thị nào sau đây? Hình 1 Hình 2 Hình 3 Hình 4 A. Hình 1. B. Hình 3. C. Hình 2. D. Hình 4. Hướng dẫn giải Hàm số y x3 3x2 1 có dạng y ax3 bx2 cx d với a 1 0 loại B, D. Đồ thị hàm số giao với trục tung tại điểm 0; 1 loại A. Chọn C. Câu 13: Biết rằng hình vẽ sau đây là đồ thị của một trong bốn hàm số cho ở các phương án A, B, C, D. Hỏi đó là hàm số nào? A. y x4 2x2 1. B. y x4 2x2 1. 2x 1 C. y x3 2x2 1. D. y . x 1 Hướng dẫn giải Nhìn đồ thị ta thấy đây là đồ thị hàm bậc bốn trùng phương, loại C, D. Hệ số a 0 Loại A. Chọn B. Câu 14: Đường cong trong hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số nào? 17
18. A. y x3 3x 1. B. y x3 3x 1. C. y x3 3x 1. D. y x4 4x2 1. Hướng dẫn giải Nhìn đồ thị ta thấy đây là đồ thị hàm bậc bốn trùng phương, loại C, D. Hệ số a 0 Loại A. Chọn B. Câu 15. Hàm số nào sau đây có bảng biến thiên như hình vẽ? A. y x3 3x2 2 .B. y x3 3x2 2 C. .y x3 +3x2 1 D. . y x3 +3x2 1 Hướng dẫn giải Nhìn bảng biến thiên ta thấy đây là bảng biến thiên hàm đa thức bậc ba, a 0 loại C. Đồ thị hàm số đi qua điểm 0;2 Loại B, D. Chọn A. Câu 16. Hàm số nào sau đây có bảng biến thiên như hình vẽ? A. y x3 +3x2 3x .B. y x3 3x2 3x C. y x3 +3x2 3x . D. y x3 +3x2 3x . Hướng dẫn giải Nhìn bảng biến thiên ta thấy đây là bảng biến thiên hàm đa thức bậc ba, a 0 loại C. Đồ thị hàm số đi qua điểm 1;1 Loại A. Phương trình y ' 0 có nghiệm kép x 1 Chọn B. Câu 17. Cho hàm số y f (x) có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới. Hỏi đó là hàm số nào? 18
19. 1 A. y x4 2x2 3 . B. y x4 3x2 3 . C. y x4 2x2 3 . D. y x4 2x2 3 . 4 Hướng dẫn giải Nhìn bảng biến thiên ta thấy đây là bảng biến thiên hàm bậc bốn trùng phương, a 0 loại A, B. Hàm số có ba cực trị: a.b 0 Loại C. Chọn D. Câu 18. Hàm số nào dưới đây có bảng biến thiên như hình vẽ? x 3 2x 1 A. y x4 3x2 1. B. y . C. x3 3x2 4 . D. y . x 1 x 1 Hướng dẫn giải Nhìn bảng biến thiên ta thấy đây là hàm số bậc nhất / bậc nhất, loại A, C. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y 2 Loại B. Chọn D. Câu 19. Hàm số nào sau đây có bảng biến thiên như hình bên: 2x 3 x 3 2x 7 x 3 A. y .B. y . C. y . D. y . x 2 x 2 x 2 x 2 Hướng dẫn giải Nhìn bảng biến thiên ta thấy đây là hàm số bậc nhất / bậc nhất. Tiệm cận ngang y 1 loại A, C. Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định, suy ra y ' 0. Loại D. Chọn B. Câu 20. Bảng biến thiên sau đây là của hàm số nào? 19
20. x 3 x 3 x 3 2x 3 A. f x . B. f x . C. f x . D. f x . x 2 2 x x 2 x 2 Hướng dẫn giải Nhìn bảng biến thiên ta thấy đây là hàm số bậc nhất / bậc nhất. Tiệm cận ngang y 1 loại B, D. Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định, suy ra y ' 0 . Loại C. Chọn A. ax 1 Câu 21. Cho hàm số y a,b,c R có bảng biến thiên như hình vẽ. bx c Hỏi trong ba số a,b,c có bao nhiêu số dương? A. 1.B. 3 . C. 0 . D. 2 . Hướng dẫn giải Nhìn bảng biến thiên ta thấy đây là hàm số bậc nhất / bậc nhất. c Tiệm cận đứng x 2 c 2b (1). b a Tiệm cận đứng y 1 a b (2). b 1 1 Đồ thị hàm số giao với trục Oy : x 0 y ; 1 0 c 0 (3). c c Từ (1) và (3), suy ra b 0 . Từ (2) và (3), suy ra a 0 . Chọn D. Câu 22. Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. f 1,5 0 f 2,5 . B. f 1,5 0, f 2,5 0 . C. f 1,5 0, f 2,5 0 . D. f 1,5 0 f 2,5 . Hướng dẫn giải Nhìn đồ thị ta thấy: f 1,5 0; f 2,5 0 . Chọn D. Câu 23: Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ. Số giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là: 20
21. A. 4. B. 2. C. 1. D. 0. Hướng dẫn giải Nhìn bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số có một đường tiệm cận ngang x 0 Oy . Do vậy đồ thị hàm số không cắt trục tung. Chọn D. ax b Câu 24. Cho hàm số y có đồ thị là đường cong (C) như hình vẽ: cx d Tâm đối xứng của đồ thị (C) là A. 1; 1 .B. 1; 1 . C. 1;1 .D. 1;1 . Hướng dẫn giải Nhìn đồ thị hàm số, ta thấy: Tiệm cận đứng x 1, tiệm cận ngang y 1. Tâm đối xứng của đồ thị là giao điểm I 1; 1 của hai đường tiệm cận. Chọn B. Câu 25: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên sau: x 2 4 y 0 0 3 y 2 Khẳng định nào sau đây là đúng? A. f 0 3. B. Hàm số đạt cực đại tại x 3. C. Hàm số đạt cực tiểu tại x 2. D. Hàm số đạt cực đại tại x 4. Hướng dẫn giải 21
22. Với x 0 f 0 ;3 . Chọn A. Câu 26: Hàm số y f x thỏa mãn f 2021 f 2021 có đồ thị là hình nào trong bốn đồ thị sau: y ‰ y 1 –1 1 x 1 O O x –1 Hình1 Hình 2 Hình 3 Hình 4 A. Hình 4. B. Hình 3. C. Hình 1. D. Hình 2 . Hướng dẫn giải Nhìn đồ thị ta thấy, chỉ có đồ thị trong hình 4 là đối xứng qua trục Oy , do đó nó là hàm số chẵn. Suy ra f 2021 f 2021 . Chọn A. Câu 27: Cho hàm số f x ax4 bx2 c a,b,c ¡ . Đồ thị của hàm số y f x như hình vẽ bên. Số giao điểm của đồ thị hàm số đã cho với trục hoành là A. 0. B. 3. C. 2. D. 4. Hướng dẫn giải Chọn B. Câu 28: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau: 22
23. Số giao điểm của đồ thị hàm số đã cho với trục hoành là A. 0. B. 3. C. 2. D. 4. Hướng dẫn giải Chọn B. Câu 29: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau. Tổng số giao điểm của đồ thị hàm số đã cho với các trục tọa độ là A. 0. B. 3. C. 2. D. 4. Hướng dẫn giải Chọn C. Câu 30. Hàm số y f x liên tục trên ¡ và có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Tìm số điểm chung của đồ thị hàm số y f x và trục hoành A. 4. B. 2. C. 1. D. 0. Hướng dẫn giải Chọn B. Câu 31: Điểm nào sau đây không thuộc đồ thị hàm số cho ở hình bên dưới? A. 0;2 . B. 2;0 . C. 2; 2 . D. 3;4 . Hướng dẫn giải 23
24. Chọn B. Câu 32. Điểm nào sau đây thuộc đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số A. 1;2 . B. 1;4 . C. 1;6 . D. 6;1 . Hướng dẫn giải Nhìn bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số có một đường tiệm cận ngang y 6. Chọn C. Câu 33: Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ. Số giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là: A. 4. B. 2. C. 1. D. 0. Hướng dẫn giải TXĐ: D R \ 0;1. Trục hoành y 0 cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt x1 ;0 , x2 1; . Giá trị x 0 không thuộc tập xác định của hàm số. Do vậy chọn đáp án SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CHUYÊN ĐỀ ÔN TẬP BẮC NINH KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 Môn: Toán TÊN CHUYÊN ĐỀ: TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Người biên soạn: Nguyễn Thị Thanh Giang Đơn vị công tác: Trường THPT Thuận Thành số 2 I. Hệ thống kiến thức liên quan Cho hàm số y f (x) xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng a; , ;b hoặc ; ). 1. Đường tiệm cận ngang Đường thẳng y y0 là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y f (x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: lim f (x) y0 , lim f (x) y0. x x 24
25. 2. Đường tiệm cận đứng Đường thẳng x x0 được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y f (x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: lim f (x) , lim f (x) , lim f (x) , lim f (x) . x x0 x x0 x x0 x x0 II. Các dạng bài thường gặp Dạng 1. Xác định đường tiệm cận thông qua bảng biến thiên, đồ thị Phương pháp: Bước 1. Dựa vào bảng biến thiên tìm tập xác định của hàm số. Bước 2. Quan sát bảng biến thiên để suy ra giới hạn khi x đến biên của miền xác định. Bước 3. Kết luận. Ví dụ 1. (Mã 103 - 2022) Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau: Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng có phương trình: A. x 1. B. y 1. C. y 2. D. x 2. Lời giải Chọn D Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy: lim f (x) , lim f (x) . x 2 x 2 Vậy tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là x 2. Ví dụ 2. Cho đồ thị hàm số y f (x) như hình bên. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x 0, tiệm cận ngang y 1. B. Hàm số có hai cực trị. C. Đồ thị hàm số chỉ có một đường tiệm cận. D. Hàm số đồng biến trong khoảng ;0 và 0; . Lời giải Chọn A Dựa vào hình vẽ, đồ thị nhận x 0 là tiệm cận đứng, y 1 là tiệm cận ngang. Dạng 2. Xác định đường tiệm cận của đồ thị hàm số 25
26. Phương pháp: • Để tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y f (x) ta thực hiện: Bước 1. Tìm tập xác định D của hàm số y f (x) Bước 2. Tính lim y, lim y. x x0 x x0 Bước 3. Nếu lim y hoặc lim y thì kết luận x x là tiệm cận đứng của đồ thị hàm 0 x x0 x x0 số. • Để tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y f (x) ta thực hiện: Bước 1. Tìm tập xác định D của hàm số y f (x) ( D phải chứa hoặc ) Bước 2. Tính lim y, lim y. x x Bước 3. Nếu lim y y0 hoặc lim y y0 thì kết luận y y0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm x x số. Chú ý: ax b a - Đồ thị hàm số y , ad bc 0,c 0 luôn có tiệm cận ngang là y và tiệm cận cx d c d đứng x . c P(x) - Với y f (x) là hàm số phân thức hữu tỷ: Q(x) + Nếu Q(x) 0 có nghiệm là x0 và x0 không là nghiệm của P(x) 0 thì đồ thị có tiệm cận đứng là x x0. + Nếu degP(x) degQ(x) : thì đồ thị không có tiệm cận ngang. + Nếu degP(x) degQ(x) : thì đồ thị có tiệm cận ngang y 0. + Nếu degP(x) degQ(x) : thì đồ thị có tiệm cận ngang y k ( k là tỉ số hệ số bậc cao nhất của tử và mẫu). Ví dụ minh họa: 2x 1 Ví dụ 3. (Mã 101-2022) Tiệm cận ngang của đồ thì hàm số y là đường thẳng có 2x 4 phương trình: A. x 2. B. x 1. C. y 1. D. y 2 . Lời giải Chọn C 2x 1 Ta có: lim 1 suy ra tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là đường thẳng y 1. x 2x 4 x 1 Ví dụ 4. (Mã 102 - 2020 Lần 2) Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y là: x 3 A. x 3. B. x 1. C. x 1. D. x 3. Lời giải Chọn D x 1 Ta có: lim . Suy ta tiệm cận đứng là đường thẳng x 3. x 3 x 3 26
27. x 2 Ví dụ 5. (Mã 104 2017) Đồ thị hàm số y có mấy tiệm cận. x2 4 A. 3 B. 1 C. 2 D. 0 Lời giải Chọn C Ta có x2 4 0 x 2. x 2 1 lim 2 nên đường thẳng x 2 không phải là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. x 2 x 4 4 x 2 1 x 2 1 lim lim , lim lim , nên đường thẳng x 2 2 2 x 2 x 4 x 2 x 2 x 2 x 4 x 2 x 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. x 2 lim 2 0 nên đường thẳng y 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. x x 4 Vậy có đồ thị có hai đường tiệm cận. Ví dụ 6. Đồ thị của hàm số nào trong các hàm số dưới đây có tiệm cận đứng? 1 1 1 1 A. y . B. y . C. y . D. y . x x2 x 1 x4 1 x2 1 Lời giải Chọn A 1 Hàm số y có mẫu thức có nghiệm x 0 Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng. x Ví dụ 7. Đồ thị hàm số nào sau đây không có tiệm cận ngang? 1 x 1 x2 x A. y . B. y . C. y . D. y . x x 1 x 3 x 1 Lời giải Chọn C x2 x2 Xét hàm số y . Ta có lim y ; lim y Đồ thị hàm số y không có x 3 x x x 3 tiệm cận ngang. Ví dụ 8. Cho hàm số y f (x) xác định trên ¡ \ 1 và có lim f (x) 2, lim f (x) , x x 1 lim f (x) , lim f (x) 2. Khẳng định nào sau đây đúng? x 1 x A. Đồ thị hàm số có đúng một tiệm cận ngang là đường thẳng y 1. B. Đồ thị hàm số có đúng hai tiệm cận ngang là đường thẳng y 2 và y 2. C. Đồ thị hàm số có đúng hai tiệm cận đứng là đường thẳng x 2 và x 2. D. Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận đúng. Lời giải Chọn B Dựa vào định nghĩa đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số ta chọn đáp án B. Ví dụ 9. Cho hàm số y f (x) có lim f (x) 1 và lim f (x) 1. Tìm phương trình đường x x tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y 5 2018 f (x). A. y 2018. B. y 2018. C. y 1. D. y 2023. 27
28. Lời giải Chọn D Ta có: lim y lim 5 2018 f (x) 5 2018 lim f (x) 5 2018 2023. x x x lim y lim 5 2018 f (x) 5 2018 lim f (x) 5 2018 2023. x x x Vậy phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y 5 2018 f (x) là y 2023. Ví dụ 10. Cho hàm số y f (x) xác định trên D và tồn tại các giới hạn hữu hạn lim f (x) a, x lim f (x) a 2 trong đó a là số thực. Để đồ thị hàm số y f (x) có đúng một tiệm cận x ngang thì a bằng: A. a 1. B. a 1. C. a 0. D. Không tồn tại a. Lời giải Chọn B Để đồ thị hàm số y f (x) có đúng một tiệm cận ngang thì lim f (x) lim f (x) hay x x a a 2 2a 2 a 1. III. Những lỗi học sinh thường mắc 1. Sai lầm khi tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số x2 3x 2 Ví dụ 1. Đồ thị hàm số y có mấy tiệm cận đứng? x2 1 A. 3 B. 1 C. 2 D. 0 Lời giải sai: HS thường mắc lỗi chọn đáp án C, vì: x2 1 0 x 1, nên nhiều HS bằng trực giác đã cho rằng tiệm cận đứng là nghiệm của của mẫu và kết luận hàm số có 2 tiệm cận đứng là các đường thẳng x 1. Phân tích: Nếu kiểm tra các giới hạn bên trái, bên phải của hàm số khi biến số tiến dần tới nghiệm của mẫu, ta sẽ thấy đường thẳng x 1 không phải là tiệm cận đứng. Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: HS không nhớ chính xác khái niệm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số, mà nhớ một cách máy móc. Cách khắc phục: GV yêu cầu HS củng cố lại định nghĩa sau: Đường thẳng x x0 được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y f (x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: lim f (x) , lim f (x) , lim f (x) , lim f (x) . x x0 x x0 x x0 x x0 Từ đó, GV hướng dẫn HS tìm lời giải đúng của bài toán. Lời giải đúng: Tập xác định: D ¡ \ 1. Ta có: x2 3x 2 x 2 1 lim y lim 2 lim , x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 2 x2 3x 2 x 2 1 lim y lim 2 lim . x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 2 Suy ra đường thẳng x 1 không phải là tiệm cân đứng của đồ thị hàm số đã cho. 28
29. x2 3x 2 x 2 lim y lim 2 lim , x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x2 3x 2 x 2 lim y lim 2 lim . x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 Suy ra đường thẳng x 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho. Chọn đáp án B. 2. Sai lầm khi tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 1 3x Ví dụ 2. Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y là x 2 A. y 1. B. y 3 . C. x 3. D. y 3 . Lời giải sai: HS thường mắc lỗi sai chọn đáp án A, C. Phân tích: Nếu kiểm tra các giới hạn của hàm số khi biến số tiến dần tới , ta sẽ thấy đường thẳng y 3 là tiệm cận ngang. Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: HS không nhớ chính xác, không phân biệt được giữa đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng. ax b 3x 1 Cách khắc phục: GV gợi ý HS đưa về dạng tổng quát: y . Từ đó xác định cx d x 2 a được đường tiệm cận ngang là y . c Lời giải đúng: 1 3x Ta có: lim y lim 3 suy ra tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là đường thẳng y 3. x x x 2 Chọn đáp án B. Ví dụ 3. Cho hàm số y f (x) xác định trên ¡ \ 1, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như hình dưới đây. Với giá trị nào m thì đồ thị hàm số có đúng 2 tiệm cận ngang? x 1 2 y ' 0 3 2m 5 y 2 A. Với mọi m . B. m 4. C. m 4. D. m 4. Lời giải sai: Học sinh thường mắc lỗi sai chọn đáp án A. Phân tích: Quan sát bảng biến thiên, ta thấy lim y 2m 5, lim y 3 nên suy ra đường thẳng x x y 2m 5, y 3 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. Thoạt nhìn, HS sẽ nhận định rằng đồ thị hàm số có 2 tiệm cận ngang, tuy nhiên để đồ thị hàm số có 2 tiệm cần ngang thì 2m 5 3. Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: HS không bao quát được hết bảng biến thiên, dẫn đến việc bỏ xót trường hợp giới hạn của hàm số khi biến số tiến dần tới hoặc . 29