Ôn tập TN THPT môn Toán - Chuyên đề: Góc, khoảng cách

Nội dung tài liệu: Ôn tập TN THPT môn Toán - Chuyên đề: Góc, khoảng cách

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CHUYấN ĐỀ ễN TẬP BẮC NINH KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 ¯¯¯¯¯¯¯¯¯ Mụn: Toỏn ¯¯¯¯¯¯¯¯ TấN CHUYấN ĐỀ: GểC – KHOẢNG CÁCH Người biờn soạn: Đặng Văn Thắng Đơn vị cụng tỏc: THPT Lương Tài số 2 GểC I.Hệ thống kiến thức liờn quan 1. Gúc giữa hai đường thẳng - Gúc giữa hai đường thẳng a và b trong khụng gian là gúc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cựng đi qua một điểm và lần lượt song song với a và b. Chỳ ý: Gọi là gúc giữa hai đường thẳng thỡ 00 900 2.Gúc giữa đường thẳng và mặt phẳng Cho đường thẳng a và Nếu a  thỡ gúc giữa a và bằng 900 Nếu a khụng vuụng gúc với thỡ gúc giữa a và hỡnh chiếu a’ của nú trờn gọi là gúc giữa đường thẳng a và Chỳ ý: 00 aã,( ) 900 3.Gúc giữa hai mặt phẳng a) Định nghĩa: Gúc giữa hai mặt phẳng là gúc giữa hai đường thẳng lần lượt vuụng gúc với hai mặt phẳng đú b) Cỏch xỏc định gúc giữa hai mặt phẳng cắt nhau Giả sử hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến Trong (P) dựng đường thẳng a vuụng gúc với tại điểm I Trong (Q) dựng đường thẳng b vuụng gúc với tại điểm I Khi đú gúc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là gúc giữa a và b. II.Cỏc dạng bài tập Dạng 1: Gúc giữa hai đường thẳng 1. Phương phỏp giải Nếu a  b thỡ gúc giữa a và b bằng 90 Nếu a và b khụng vuụng gúc với nhau Để xỏc định gúc giữa hai đường thẳng a và b ta lấy điểm O bất kỡ. Qua O dựng a //a, b // b . Khi đú aả,b aã ',b' Nhận xột: Để xỏc định gúc giữa hai đường thẳng a và b ta lấy điểm O thuộc một trong hai đường thẳng đú. Qua O vẽ một đường thẳng song song với đường thẳng cũn lại.
2. 2. Bài tập ỏp dụng Vớ dụ 1: Cho hỡnh hộp chữ nhật ABCD.A B C D , biết đỏy ABCD là hỡnh vuụng. Tớnh gúc giữa hai đường thẳng A C và BD . B' C' A' D' C B A D A. 90 . B. 30 . C. 60 . D. 45. HD giải ABCD là hỡnh vuụng nờn BD  AC . Mặt khỏc AA  ABCD BD  AA BD  A C . Do đú gúc giữa A C và BD bằng 90 . Vớ dụ 2: Cho tứ diện ABCD cú hai mặt ABC và ABD là cỏc tam giỏc đều. Tớnh gúc giữa hai đường thẳng AB và CD A. 120 . B. 60 . C C. 90 D. 30 . HD giải Gọi I là trung điểm của AB Vỡ ABC và ABD là cỏc tam giỏc đều A D CI  AB Nờn . I DI  AB Suy ra AB  CD . Chọn C. B Vớ dụ 3: Cho hỡnh lập phương ABCD.A B C D . Tớnh gúc giữa C ' D và B ' D ' . B' C' A' D' C B A D A. 90 . B. 30 . C. 60 . D. 45. HD giải Ta cú : B ' D '/ /BD nờn gúc giữa C ' D và B ' D ' là gúc giữa C ' D và BD Tam giỏc BC ' D đều nờn gúc giữa C ' D và BD bằng 60 . Chọn C. Vớ dụ 4: Cho tứ diện ABCD cú AB CD 2a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm AD và BC . Biết MN a 3 , gúc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng. A. 450 . B. 900 . C. 600 . D. 300 . HD giải
3. Gọi P là trung điểm AC , ta cú PM //CD và PN //AB , suy ra ãAB,CD PãM , PN . Dễ thấy PM PN a . PM 2 PN 2 MN 2 a2 a2 3a2 1 Xột PMN ta cú cosMã PN 2PM.PN 2.a.a 2 Mã PN 1200 ãAB,CD 1800 1200 600 . Vớ dụ 5: Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng cạnh 2a, SA a, SB 3 và SAB vuụng gúc với đỏy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cỏc cạnh AB, BC. Tớnh cụsin của gúc giữa hai đường thẳng SM và DN 1 2 1 1 A. B. C. D. 5 5 5 5 HD giải a Kẻ ME song song với DN với E AD suy ra AE 2 Đặt là gúc giữa hai đường thẳng SM , DN nờn SãM , ME Gọi H là hỡnh chiếu của S lờn AB. Ta cú SH  ABCD Suy ra SH  AD AD  SAB AD  SA 5a2 a 5 a 5 Do đú SE 2 SA2 AE 2 SE và ME 4 2 2 5 Tam giỏc SME cõn tại E, cú cos cos SME 5 Chọn D.
4. Dạng 2: Gúc giữa đường thẳng a và mặt phẳng khụng vuụng gúc với nhau 1. Phương phỏp giải Để xỏc định gúc giữa đường thẳng a và ta thực hiện theo cỏc bước sau: A a φ a' O A' α - Tỡm giao điểm O a  - Dựng hỡnh chiếu A' của một điểm A a xuống - Gúc à OA' là gúc giữa đường thẳng a và . 2. Bài tập ỏp dụng Vớ dụ 1(Đề minh họa 2021) . Cho hỡnh hộp chữ nhật ABCD.A' B 'C ' D ' cú AB AD 2 và AA' 2 2 (tham khảo hỡnh bờn). Gúc giữa đường thẳng CA ' và mặt phẳng ABCD bằng A. 30 . B. 45 . C. 60 . D. 90 . HD giải Gúc cần tỡm là AÂCA = a . Vỡ đỏy là hỡnh vuụng nờn AC = AB 2 = 2 2 và AA tan a = = 1ị a = 45°. AC Vớ dụ 2: Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy là hỡnh vuụng cạnh 3a , SA vuụng gúc với mặt phẳng đỏy và SA 2a . Gúc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) bằng S A D B C A. 450 . B. 600 . C. 300 . D. 900 . HD giải
5. Chọn C Ta cú SA  (ABCD) nờn ta cú (SãC,(ABCD)) SãCA SA 2a 1 tanSãCA SãCA 300 AC 3a. 2 3 Vớ dụ 3: Cho khối chúp S.ABC cú SA ^ (ABC), tam giỏc ABC vuụng tại B , AC = 2a , BC = a , SB = 2a 3 . Tớnh gúc giữa SA và mặt phẳng (SBC). A. 45°. B. 30° . C. 60° . D. 90° . Lời giải S H A C B ùỡ SA ^ BC Trong (SAB) kẻ AH ^ SB (H ẻ SB). Vỡ ớù ị BC ^ (SAB)ị BC ^ AH . ợù AB ^ BC Mà SB ^ AH do cỏch dựng nờn AH ^ (SBC), hay H là hỡnh chiếu của A lờn (SBC) suy ra gúc giữa SA và (SBC) là gúc ãASH hay gúc ãASB . Tam giỏc ABC vuụng ở B ị AB = AC 2 - BC 2 = a 3 AB 1 Tam giỏc SAB vuụng ở A ị sin ãASB = = ị ãASB = 30° SB 2 Vớ dụ 4: Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng cạnh bằng 2a . Tam giỏc SAB cõn tại 4a3 S và SAB  ABCD . Biết thể tớch của khối chúp S.ABCD là . Gọi là gúc giữa SC và 3 ABCD . Tớnh tan . 5 2 5 3 7 A. tan . B. tan . C. tan . D. tan . 5 5 3 7 HD giải Gọi H là trung điểm AB .
6. Vỡ SAB cõn tại S nờn SH  AB . SAB  ABCD Vỡ nờn suy ra SH  ABCD . SAB  ABCD AB 4a3 3. 1 3VS.ABCD 3 Khi đú ta cú: VS.ABCD .SH.SABCD SH 2 a . 3 SABCD 2a Lại cú HC BH 2 BC 2 a 5 . Mặt khỏc, do SH  ABCD , H ABCD nờn HC là hỡnh chiếu của SC lờn mặt phẳng ABCD . Suy ra ãSC , ABCD Sã CH . SH a 5 tan tan Sã CH .Chọn A HC a 5 5 Vớ dụ 5: Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng cạnh a , SA vuụng gúc với đỏy và SA a 3 . Gọi là gúc giữa SD và SAC . Giỏ trị sin bằng 2 2 3 2 A. . B. . C. . D. . 4 2 2 3 HD giải DO  AC Gọi O AC  BD . Ta cú: DO  ABCD . DO  SA SA  ABCD SO là hỡnh chiếu của SD lờn mặt phẳng SAC ãSD; SAC ãSD;SO Dã SO . Xột SAD vuụng tại A : SD 3a2 a2 2a . a 2 DO 2 Xột SOD vuụng tại O : cú SD 2a , OD sin sin Dã SO . 2 SD 4 Dạng 3: Gúc giữa hai mặt phẳng 1. Phương phỏp giải Để xỏc định gúc giữa hai mặt phẳng P và Q ta thực hiện như sau: + Xỏc định giao tuyến P  Q + Tỡm mặt phẳng trung gian R mà R 
7. a R  P ã ã + Xỏc định cỏc giao tuyến thành phần: P , Q a,b b R  Q 2.Bài tập ỏp dụng Vớ dụ 1: Cho hỡnh chúp S.ABC cú tam giỏc ABC vuụng cõn tại B , AB BC a , SA a 3 , SA  ABC . Gúc giữa hai mặt phẳng SBC và ABC là A. 45o .B. 60o .C. 90o .D. 30o . HD giải S A C BC SBC  ABC B Ta cú BC  SAB BC  SB , BC  AB . Gúc giữa hai mặt phẳng SBC và ABC là SA a 3 gúc Sã BA. tan Sã BA 3 Sã BA 60o . Chọn B AB a Vớ dụ 2: Cho hỡnh chúp S.ABCD với đỏy ABCD là hỡnh vuụng cú cạnh 2a , SA a 6 và vuụng gúc với đỏy. Gúc giữa SBD và ABCD bằng? A. 900 .B. 300 . C. 450 . D. 600 . Lời giải S A B D C Gọi O là tõm hỡnh vuụng ABCD BD SBD  ABCD ã Dễ thấy SO  BD, AO  BD , nờn gúc giữa hai mặt phẳng SBD và ABCD là gúc SOA . SA a 6 Xột tam giỏc SOA cú tan SOA 3 . Vậy gúc cần tỡm bằng 600 . OA a 2 Vớ dụ 3: Cho tứ diện OABC cú OA , OB , OC đụi một vuụng gúc và OB OC a 6 , OA a . Tớnh gúc giữa hai mặt phẳng ABC và OBC . A. 60 .B. 30 .C. 45.D. 90 . HD giải
8. A O C I B Gọi I là trung điểm của BC AI  BC . Mà OA  BC nờn AI  BC . OBC  ABC BC ã ã Ta cú: BC  AI OBC , ABC OI, AI Oã IA. BC  OI 1 1 Ta cú: OI BC OB2 OC 2 a 3 . 2 2 OA 3 Xột tam giỏc OAI vuụng tại A cú tan Oã IA Oã IA 30 . Chọn B OI 3 3a Vớ dụ 4: Cho hỡnh chúp tứ giỏc đều S.ABCD cú cạnh đỏy bằng a 3 , đường cao bằng . Gúc giữa 2 mặt bờn và mặt đỏy bằng: A. 30 .B. 45.C. 60 .D. 75 . HD giải Gọi O là tõm của hỡnh vuụng ABCD ; M là trung điểm của CD . Gúc giữa mặt bờn và mặt đỏy là SãMO . 1 a 3 Ta cú OM AD . 2 2 SO Xột tam giỏc SOM vuụng tại O , ta cú tan SãMO 3 SãMO 60. OM Vớ dụ 5: Cho lăng trụ tam giỏc đều ABC.A' B 'C ' cú tất cả cỏc cạnh đều bằng a . Gọi là gúc giữa hai mặt phẳng AB 'C ' và A' B 'C ' . Tớnh giỏ trị của tan ? 2 3 3 3 2 3 A. .B. . C. . D. . 3 3 2 2 HD giải
9. A C B A' C' H B' Gọi H là trung điểm của B 'C ' AH  B 'C ' (do AB 'C ' cõn tại A ) và A' H  B 'C ' (do A' B 'C 'đều). Suy ra ãAB 'C ' , A' B 'C ' ãAH, A' H ãAHA' . AA' a 2 3 Vậy tan ãAHA' . A' H a 3 3 2 KHOẢNG CÁCH I.Hệ thống kiến thức liờn quan 1. Khoảng cỏch từ một điểm đến mặt phẳng Cho điểm O và mặt phẳng . Gọi H là hỡnh chiếu vuụng gúc của O trờn mặt phẳng . Khi đú khoảng cỏch giữa hai điểm O và H được gọi là khoảng cỏch từ điểm O đến mặt phẳng . Kớ hiệu: d O, . 2. Khoảng cỏch giữa hai đường thẳng chộo nhau 2.1.Định nghĩa a) Đường thẳng cắt hai đường thẳng chộo nhau a,b và cựng vuụng gúc với mỗi đường thẳng ấy được gọi là đường vuụng gúc chung của a và b . b) Nếu đường vuụng gúc chung cắt hai đường thẳng chộo nhau a,b lần lượt tại M , N thỡ độ dài đoạn thẳng MN gọi là khoảng cỏch giữa hai đường thẳng chộo nhau a và b . 2.2.Nhận xột a) Khoảng cỏch giữa hai đường thẳng chộo nhau bằng khoảng cỏch giữa một trong hai đường thẳng đến mặt phẳng song song với nú và chứa đường thẳng cũn lại. b) Khoảng cỏch giữa hai đường thẳng chộo nhau bằng khoảng cỏch giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đú. II.Cỏc dạng bài tập Dạng 1. Khoảng cỏch từ điểm M đến mặt phẳng 1. Phương phỏp giải: a. Phương phỏp 1: Tớnh trực tiếp  Phương phỏp: Dựng MH  với H . Ta cú d M , MH . Tớnh độ dài đoạn MH .  Để dựng MH  ta thường làm như sau: Cỏch 1:
10. + Qua M xỏc định mặt phẳng   . + Tỡm giao tuyến a của mặt phẳng và mặt phẳng  . + Trong mặt phẳng  kẻ MH  a . Suy ra MH  . Cỏch 2: + Kẻ MH  tại H . + Chứng minh H là điểm thỏa món tớnh chất nào đú trong mặt phẳng. Vớ dụ như tõm đường trũn ngoại tiếp; b. Phương phỏp 2: Tớnh giỏn tiếp  Phương phỏp: Khi việc dựng MH  gặp khú khăn hoặc đó biết trước tớnh được khoảng cỏch từ điểm N đến mặt phẳng . Ta dịch chuyến việc tớnh khoảng cỏch từ điểm M đến mặt phẳng về tớnh khoảng cỏch từ điểm N đến mặt phẳng . Tức ta tỡm số thực k sao cho d M , k.d N, .  Để tỡm được số thực k ta thường sử dụng cỏc kết quả sau: + Nếu MN P thỡ d M , d N, . d M , IM + Nếu MN  I thỡ . d N, IN 2.Bài tập ỏp dụng: Vớ dụ 1. Cho hỡnh chúp S.ABC cú SA vuụng gúc với mặt phẳng ABC , SA a 3, tam giỏc ABC vuụng tại B và AB a, AC 2a (minh họa hỡnh bờn). Khoảng cỏch từ điểm C đến mặt phẳng SAB bằng A. 2a. B. a 2. C. a 3. D. a.
11. HD giải Tam giỏc ABC vuụng tại B BC a 3 Chứng minh CB  SAB d C, SAB CB a 3 Vớ dụ 2. Cho hỡnh chúp S.ABC cú đỏy là tam giỏc vuụng đỉnh B , AB a , SA vuụng gúc với mặt phẳng đỏy và SA 2a . Khoảng cỏch từ A đến mặt phẳng SBC bằng 2 5a 5a 2 2a 5a A. .B. . C. .D. . 5 3 3 5 HD giải S 2a H A C a B BC  AB Ta cú BC  SAB . BC  SA Kẻ AH  SB . Khi đú AH  BC AH  SBC d A, SBC AH 1 1 1 1 1 5 4a2 2 5a Ta cú AH 2 AH . AH 2 SA2 AB2 4a2 a2 4a2 5 5 Vớ dụ 3. Cho hỡnh chúp S.ABC cú tam giỏc ABC là tam giỏc vuụng tại A , AC a 3 , ãABC 30 . Gúc giữa SC và mặt phẳng ABC bằng60 . Cạnh bờn SA vuụng gúc với đỏy. Khoảng cỏch từ A đến SBC bằng a 6 a 3 2a 3 3a A. . B. . C. .D. 35 35 35 5 HD giải S H a 3 600 A C M 30° B Dựng AM  BC ; AH  SM Ta cú:
12. AM  BC  BC  SAM AH  BC và AH  SM AH  SBC SA  BC  d A, SBC AH Gúc giữa SC và mặt phẳng ABC bằng 60 Sã CA 60 . Tớnh được SA AB 3a 1 1 1 1 1 4 Tam giỏc ABC vuụng tại A AM 2 AB2 AC 2 9a2 3a2 9a2 1 1 1 5 3a Tam giỏc SAM vuụng tại A AH AH 2 SA2 AM 2 9a2 5 Vớ dụ 4. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy là hỡnh chữ nhật, cạnh AB 2AD a . Tam giỏc SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuụng gúc với đỏy ABCD . Khoảng cỏch từ trung điểm của AD đến mặt phẳng SBD bằng a 3 a 3 a 3 A. . B. . C. . D. 2a . 8 2 4 HD giải S I A D H G B C Gọi H là trung điểm của AB . Từ giả thiết suy ra SH  ABCD . Từ H kẻ HG  BD tại G , kẻ HI  SG tại I . Suy ra HI  SBD d H, SBD HI . a 5 a 3 Ta cú BD AB2 AD2 , SH . 2 2 HG BH a 5 Lại cú BGH đồng dạng với BAD nờn HG . AD BD 10 a 3 Suy ra HI . 8 Gọi K là trung điểm AD. Dễ thấy HK / / SBD a 3 Suy ra d K, SBD d H, SBD HI . 8 Vớ dụ 5. Cho hỡnh chúp tứ giỏc đều S.ABCD cú tất cả cỏc cạnh đều bằng a . Khoảng cỏch từ điểm B đến mp SCD bằng a 6 a a 6 a 3 A. . B. .C. .D. . 6 2 3 3 HD giải
13. Gọi O AC  BD SO  ABCD Gọi M là trung điểm của CD ; H là hỡnh chiếu vuụng gúc của O lờn SM OH  SM . OM  CD Ta cú CD  SOM CD  OH SM  CD Suy ra OH  SCD khi đú d O, SCD OH . a 2 a a 3 Ta cú SO SB2 BO2 ; OM ;SM . 2 2 2 a Lại cú : OH.SM SO.OM OH . 6 a 6 Dễ thấy d B, SCD 2d O, SCD 2OH 3 Chỳ ý: Gọi H là hỡnh chiếu vuụng gúc của O lờn SCD . Vỡ OC,OD,OS đụi một vuụng gúc nờn 1 1 1 1 ta cú (khụng cần xỏc định chớnh xỏc vị trớ của điểm H) OH 2 OC 2 OD2 OS 2 Dạng 2. Khoảng cỏch giữa hai đường thẳng chộo nhau a và b 1. Phương phỏp giải:  Nếu a  b : Dựng đoạn vuụng gúc chung và tớnh độ dài đoạn vuụng gúc chung - Dựng mặt phẳng chứa a và vuụng gúc với b tại B . - Trong mặt phẳng dựng BA  a tại A . - Khi đú d a,b AB .  Nếu a và b khụng vuụng gúc với nhau. - Dựng mặt phẳng chứa a và song song với b . - Khi đú d a,b d b, d M , , với M là điểm tựy ý thuộc đường thẳng b . \
14. II. Bài tập ỏp dụng Vớ dụ 1. Cho hỡnh lập phương ABCD.A B C D cạnh a . Tớnh khoảng cỏch giữa hai đường thẳng AB và CD . a 2 A. . B. a. C. a 2. D. 2a. 2 Lời giải B C A D B' C' A' D' Do AB // CDD C nờn ta cú: d AB ;CD d AB ; CDD C d A; CDD C AD a . Vớ dụ 2. Cho tứ diện đều ABCD cú cạnh bằng 2a . Tớnh khoảng cỏch giữa hai đường thẳng AB và CD . a 2 a 3 A. . B. . C. a 2. D. a 3. 2 2 HD giải Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB và CD . Tam giỏc CND cõn tại N MN  CD Tam giỏc AMB cõn tại M MN  AB d(AB, CD) = MN CD Ta cú MD a ; ND a 3 2 Tam giỏc vuụng NMD ta cú: MN ND2 MD2 (a 3)2 a2 a 2 Vậy d(AB, CD) = a 2 Vớ dụ 3. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh chữ nhật AD 2a . Cạnh bờn SA 2a và vuụng gúc với đỏy. Tớnh khoảng cỏch giữa hai đường thẳng AB và SD . 2a A. 2a .B. a 2 . C. a . D. . 5 HD giải
15. S H A D B C Gọi H là hỡnh chiếu của A trờn cạnh SD . Ta cú AB  AD AB  SAD AB  AH . AB  SD Suy ra AH là đoạn vuụng gúc chung của hai đường thẳng chộo nhau AB và SD . Do đú d AB, SD AH a 2 . Vớ dụ 4. Cho hỡnh lăng trụ tam giỏc đều ABC.AÂBÂCÂ cú tất cả cỏc cạnh đều bằng a . M là trung điểm của AAÂ. Tỡm khoảng cỏch giữa hai đường thẳng MBÂvà BC . a a 3 a 6 A. . B. . C. . D. a . 2 2 3 HD giải Do BC / /BÂCÂ nờn d (BÂM , BC)= d (BC,(MBÂCÂ))= d (B,(MBÂCÂ)) = 2d (A,(MBÂCÂ)) BE BBÂ do = = 2 AE AM a 3 a a 3 d (A,(MBÂCÂ))= AÂH , ta cú AÂI = , AÂM = suy ra AÂH = 2 2 4 a 3 Vậy d (BÂM , BC)= 2AÂH = . 2 Vớ dụ 5. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh thoi cú cạnh bằng a 3 , Bã AD 120 và cạnh bờn SA vuụng gúc với mặt đỏy. Biết gúc giữa SBC và ABCD bằng 60 . Tớnh khoảng cỏch giữa hai đường thẳng BD và SC . 3a 39 a 14 a 39 3a 39 A. .B. .C. .D. . 26 6 26 13 HD giải
16. Gọi I là trung điểm của BC , do ABC là tam giỏc đều nờn AI  BC ã SBC , ABCD ãAI, SI SảIA 60 SI  BC S H A D 60 O B I C Dễ thấy BD  SAC SAC là mặt phẳng chứa SC và  BD 1 1 d SC, BD d O, SC d A, SC AH 2 2 3a 3 Xột tam giỏc SAC vuụng tại A ta cú SA AI.tan 60 ; AC AB a 3 2 1 1 1 4 1 13 3a 3 3a 39 AH AH 2 AS 2 AC 2 27a2 3a2 27a2 13 13 1 3a 39 d SC, BD AH . 2 26 III. Hệ thống cõu hỏi ụn tập Cõu 1. Cho hỡnh chúp S.ABC cú SA vuụng gúc với mặt phẳng ABC , SA a 2, tam giỏc ABC vuụng cõn tại B và AC 2a . Gúc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng ABC bằng A. 30. B. 45. C. 60. D. 90. HD SB  ABC B  Ta cú  AB là hỡnh chiếu của SB trờn mặt phẳng ABC SA  ABC  ẳSB, ABC SẳBA Xột tam giỏc vuụng SAB vuụng tại A, cú SA AB a 2 SAB vuụng cõn tại A SẳBA 45. Cõu 2. Cho hỡnh chúp tứ giỏc đều S.ABCD cú tất cả cỏc cạnh bằng a . Gọi M là trung điểm của SD Tang của gúc giữa đường thẳng BM và mặt phẳng ABCD bằng 2 3 2 1 A. B. C. D. 2 3 3 3 HD a 2 Gọi O là tõm của hỡnh vuụng. Ta cú SO  ABCD và SO 2
17. Gọi M là trung điểm của OD ta cú MH / /SO nờn MH  ABCD và 1 a 2 MH SO . 2 4 Do đú gúc giữa đường thẳng BM và mặt phẳng (ABCD) là Mã BH . MH 1 Ta cú tan Mã BH . BH 3 Cõu 3. Cho hỡnh chúp S.ABC cú đỏy là tam giỏc vuụng tại B , cạnh bờn SA vuụng gúc với mặt đỏy, AB 2a , Bã AC 600 và SA a 2 . Gúc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAC) bằng A. 450 . B. 600 . C. 300 . D. 900 . HD Kẻ BH  AC (H AC) và theo giả thiết BH  SA nờn BH  (SAC) Do đú, SH là hỡnh chiếu vuụng gúc của SB lờn mặt phẳng (SAC) Suy ra, (ãSB,(SAC)) (ãSB, SH ) Bã SH . 1 Ta cú: SB a 6 , HB ABsin 600 a 3 sin Bã SH Bã SH 450 . 2 a 3 Cõu 4. Cho hỡnh chúp S.ABC cú SA vuụng gúc với mặt phẳng ABC , SA , tam giỏc ABC 2 đều cạnh bằng a . Gúc tạo bởi giữa mặt phẳng SBC và ABC bằng A. 900 . B. 300 . C. 450 . D. 600 . HD Gọi M là trung điểm BC . a 3 ABC đều cạnh a nờn AM  BC và AM . 2 Ta cú SA ABC Hỡnh chiếu của SM trờn mặt phẳng ABC là AM . Suy ra SM  BC (theo định lớ ba đường vuụng gúc). Do đú gúc giữa mặt phẳng SBC và ABC là gúc giữa SM và AM , hay là gúc Sã MA (do SA ABC SA AM SAM vuụng). SA Xột tam giỏc SAM vuụng tại A cú tan Sã MA 1 Sã MA 450 . AM Cõu 5. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh chữ nhật, AB a , AD SA 2a , SA  ABCD . Tớnh tang của gúc giữa hai mặt phẳng SBD và ( ABCD) . 5 1 2 A. . B. 5 . C. . D. . 2 5 5 HD Ta cú: SBD  (ABCD) BD , hạ AH  BD tại H . AH  BD ã Ta cú  BD  (SAH ) BD  SH SBD ,(ABCD) Hã A, HS Sã HA . BD  SA 
18. SA tan Sã HA 5. AH Cõu 6. Cho tứ diện đều ABCD cú cạnh bằng a. Khoảng cỏch từ A đến mặt phẳng BCD bằng: a 3 a 3 a 6 a 6 A. .B. . C. .D. . 4 3 3 2 HD Gọi G là trọng tõm tam giỏc BCD . Ta cú AG  BCD nờn d A, BCD AG . 2 2 2 2 a 3 a 6 Xột tam giỏc ABG vuụng tại G cú AG AB BG a . 3 3 Cõu 7. Cho hỡnh chúp tứ giỏc đều S.ABCD cú đỏy là hỡnh vuụng cạnh a . Gọi M là trung điểm của SD Khoảng cỏch từ M đến mặt phẳng SAC bằng a 2 a 2 a a A. . B. .C. .D. . 2 4 2 4 HD 1 1 1 a 2 Dễ thấy d M , SAC d D, SAC DO BD . 2 2 4 4 Cõu 8. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú SA vuụng gúc với mặt đỏy và đỏy ABCD là hỡnh chữ nhật. Biết AB 4a , AD 3a , SB 5a . Tớnh khoảng cỏch từ điểm C đến mặt phẳng SBD . 12 41a 41a 12 61a 61a A. .B. .C. .D. . 41 12 61 12 HD 2 2 Ta cú: SA SB2 AB2 5a 4a 3a . Dễ thấy d C, SBD d A, SBD h . Tứ diện ASBD cú cỏc cạnh AB, AD, AS đụi một vuụng gúc với nhau 1 1 1 1 41 12a 41 h h2 AB2 AD2 AS 2 144a2 41 Cõu 9. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng cạnh 4a. Gọi H là điểm thuộc đường thẳng   AB sao cho 3HA HB 0. Hai mặt phẳng SAB và SHC đều vuụng gúc với mặt phẳng đỏy. Tớnh khoảng cỏch từ B đến mặt phẳng SHC . 5a 12a 6a 5a A. .B. .C. . D. . 6 5 5 12 HD Trong mặt phẳng ABCD dựng BI  HC . SAB  SHC SH Ta cú: SH  ABCD . SAB  ABCD ; SHC  ABCD 12a Dễ thấy BI  SHC d B, SHC BI . 5
19. Cõu 10. Cho hỡnh chúp S.ABCD đỏy là hỡnh thoi tõm O cạnh a , ãABC 60 , SA  ABCD , 3a SA . Khoảng cỏch từ O đến mặt phẳng SBC bằng 2 3a 5a 3a 5a A. .B. . C. .D. . 8 8 4 4 HD Cỏch 1: Từ giả thiết, suy ra tam giỏc ABC Gọi I là trung điểm BC , kẻ AH  SI tại H . 3a Dễ thấy AH  SBC d A, SBC AH . 4 d O, SBC OC 1 1 3a Ta cú: d O, SBC d A, SBC . d A, SBC AC 2 2 8 Cỏch 2: 1 a2 3 Diện tớch OBC là: S .S . OBC 2 ABC 8 1 a3 3 Thể tớch của khối chúp S.OBC là: V .SA.S . S.OBC 3 OBC 16 3V 3a Ta cú: d O; SBC S.OBC . S SBC 8 Cõu 11. Cho hỡnh lập phương ABCD.A' B 'C ' D ' cạnh a . Tớnh khoảng cỏch giữa hai đường thẳng BC ' và CD '. a 3 a 2 A. a 2. B. 2a. C. . D. . 3 3 HD Ta cú BC '/ / AD ' BC '/ / ACD ' . d BC ',CD ' d BC ', ACD ' d B, ACD ' d D, ACD ' h Vỡ DA, DC, DD ' đụi một vuụng gúc nờn ta cú 1 1 1 1 1 3 a 3 h . h2 DA2 DC 2 DD '2 h2 a2 3