Ôn tập TN THPT môn Toán - Chuyên đề: Lũy thừa và logarit, hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit

Nội dung tài liệu: Ôn tập TN THPT môn Toán - Chuyên đề: Lũy thừa và logarit, hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CHUYÊN ĐỀ ÔN TẬP BẮC NINH KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 ¯¯¯¯¯¯¯¯¯ Môn: Toán ¯¯¯¯¯¯¯¯ TÊN CHUYÊN ĐỀ: LŨY THỪA VÀ LOGARIT, HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LOGARIT Người biên soạn: Nguyễn Thị Lan Đơn vị công tác: Trường Phổ thông PTNK TDTT Olympic CHỦ ĐỀ 1. LŨY THỪA 1. Lũy thừa với số mũ nguyên Lũy thừa với số mũ nguyên dương. Cho a R và n nguyên dương. Khi đó an a.a.a a (n thừa số a). Lũy thừa với số mũ nguyên âm, lũy thừa với số mũ 0 1 Cho a là số thực khác 0 và n nguyên dương. Ta có: a n ;a0 1. an Lũy thừa với số mũ nguyên có các tính chất tương tự tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên dương. Chú ý: 00 và 0 n n ¥ * không có nghĩa. 2. Căn bậc n Cho số thực b và số nguyên dương n 2 . Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu an b . Khi n lẻ, b ¡ : Tồn tại duy nhất một căn bậc n của số b là n b . Khi n chẵn và b 0 thì không tồn tại căn bậc n của số b. Khi n chẵn và b 0 thì có duy nhất một căn bậc n của số b là n 0 0. Khi n chẵn và b 0 có 2 căn bậc n của số thực b là n b và n b . 3. Lũy thừa với số mũ hữu tỷ m m Cho số thực a 0 và số hữu tỷ r , trong đó m ¢ ; n ¥ , n 2 . Khi đó ar a n n am . n 4. Lũy thừa với số mũ vô tỷ Giả sử a là một số dương và là một số vô tỷ và rn là một dãy số hữu tỷ sao cho lim rn . Khi n đó lim arn a . n 5. TÍNH CHẤT CỦA LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ THỰC Cho hai số dương a; b và m; n ¡ . Khi đó ta có các công thức sau. Nhóm công thức 1 Nhóm công thức 2 m m n m n m 1. a .a a n n m n m 1. a a a a m n 1 n 2. n a m 0 n a n n n n n n a a 2. a .b ab , a. b ab n 3. am am.n an a n n a a n 3. n , b b n b b  Tính chất 1: a0 1 a 0 và a1 a . 1
2. a 1;am an m n  Tính chất 2 (tính đồng biến, nghịch biến): . m n 0 a 1: a a m n am bm m 0  Tính chất 3 (so sánh lũy thừa khác cơ số): Với a b 0 thì . m a b m 0 6. CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN: Ví dụ 1: Cho biểu thức P x.3 x2. x3 , với x 0 . Mệnh đề nào sau đây là đúng? 13 13 13 13 A. P x12 .B. P x 24 .C. P x 6 . D. P x 8 . Lời giải 3 7 7 13 13 3 3 Ta có: P x.3 x2. x3 x. x2.x 2 x. x 2 x.x 6 x 6 x12 . Chọn A. Ví dụ 2: Biết rằng x.3 x2. x xn với x 0 . Tìm n. 2 4 A. n 2 .B. n .C. n .D. n 3. 3 3 Lời giải 1 1 1 5 1 5 1 5 4 3 3 Ta có: x.3 x2. x x 2 . x2.x 2 x 2 . x 2 x 2 .x 6 x 2 6 x 3 . Chọn C. 23 Ví dụ 3: Cho biểu thức P x.3 x2.k x3 , với x 0 . Biết rằng P x 24 , giá trị của k bằng: A. k 6 .B. k 2 .C. k 3.D. k 4 . Lời giải 23 23 11 Ta có: P x.3 x2.k x3 x 24 x.3 x2.k x3 x12 3 x2.k x3 x12 11 11 3 3 2 x2.k x3 x 4 k x3 x 4 x k x 4 k 4 . Chọn D. 1 3 a2 3 . a1 3 Ví dụ 4: Cho biểu thức P , với a 0 . Mệnh đề nào sau đây là đúng? a1 3 1 1 A. P a 3 .B. P .C. P a .D. P . a a 3 Lời giải 1 3 2 3 1 3 2 3 1 3 1 3 2 3 2 3 a . a a .a a .a a 1 Ta có: P . Chọn B. a1 3 a1 3 a1 3 a1 3 a m a b a a Ví dụ 5: Cho biểu thức P 3 .4 với a; b 0 . Tìm m. b a b b 7 7 7 7 A. m .B. m .C. m .D. m . 24 12 12 24 Lời giải 1 1 1 7 7 a b 3 4 3 4 3 3 Đặt x x 1 . Khi đó P 3 x 4 x 1 x x x 1.x 2 x x 2 x.x 8 x 8 x 24 . b a 7 a b a a 24 7 Do đó P 3 .4 m . Chọn A. b a b b 24 2
3. 7 1 a 6 .b3 Ví dụ 6: Cho biểu thức với Q a; b 0 . Mệnh đề nào sau đây là đúng? 6 ab2 a A. Q a .B. Q .C. Q ab .D. Q a b . b Lời giải 7 1 7 1 7 1 a 6 .b3 a 6 .b3 a 6 .b3 Ta có: Q a . Chọn A. 6 2 1 1 2 ab ab2 6 a 6 .b 6 Ví dụ 7: Cho x là số thực dương, viết biểu thức Q x.3 x2 .6 x dưới dạng lũy thừa với số hữu tỉ 5 2 A. Q x36 .B. Q x 3 .C. Q x .D. Q x2 . Lời giải 2 1 5 1 Ta có: Q x.3 x2 .6 x x.x 3 .x 6 x 6 .x 6 x . Chọn C. Ví dụ 8: Cho biểu thức P 3 x.4 x2. x3 với x 0 . Mệnh đề nào dưới đây là đúng? 5 2 5 3 A. P x 6 .B. P x 3 .C. P x8 . D. P x 4 . Lời giải 1 1 3 7 15 5 3 4 3 3 4 2 3 4 2 Ta có: P x. x . x x. x .x 2 3 x. x 2 x 8 x8 . Chọn C. 2 a2. a 2.b3 .b 1 Ví dụ 9: Rút gọn biểu thức T 3 với a, b là hai số thực dương. a 1.b .a 5.b 2 A. T a4.b6 .B. T a6.b6 .C. T a4.b4 . D. T a6.b4 . Lời giải 2 a2. a 2.b3 .b 1 2 4 6 1 2 5 a .a .b .b a .b 6 4 Ta có: T 3 3 3 5 2 8 a .b . Chọn D. a 1.b .a 5.b 2 a .b .a .b a .b a2 x 9 Ví dụ 10: Biết rằng 2 x với x 1và a b 3 . Tính giá trị của biểu thức P a b . xb A. P 1.B. P 3.C. P 2 .D. P 4 . Lời giải a2 x 9 a2 b2 9 x 1 2 2 9 9 Ta có: 2 x x x  a b 9 a b a b 9 a b 3 . Chọn xb a b 3 B. 3 x m 2 1 n Ví dụ 11: Cho x, y 0 . Biết rằng x.4 x và y . y.3 y . Tính m n . x3 y2 A. 0.B. 2.C. 1.D. 2. Lời giải 1 3 8 2 1 1 x x3 4 1 Ta có: x.4 x.4 x. x 3 x.x 3 x3 x 6 m . x3 x3 6 3
4. 2 1 1 13 2 1 2 2 2 2 2 13 Lại có: y . y.3 y . y.3 y y . y.y 3 y . y 3 y .y 6 y 6 n . y2 6 Do đó: m n 2 . Chọn D. 2018 2019 Ví dụ 12: Giá trị của biểu thức P 5 2 6 . 5 2 6 bằng: A. P 5 2 6 .B. P 5 2 6 . C. P 10 4 6 .D. P 10 4 6 . Lời giải Ta có: 5 2 6 5 2 6 25 24 1. 2018 2019 2018 Do đó: P 5 2 6 . 5 2 6 5 2 6 5 2 6 . 5 2 6 5 2 6 . Chọn B. 2019 2018 Ví dụ 13: Giá trị của biểu thức M 3 2 2 . 3 2 4 bằng: A. 21009 .B. 3 2 2 .21009 .C. 3 2 2 .21009 .D. 3 2 2 . Lời giải 2019 2018 2018 Ta có: 3 2 4 2 3 2 2 M 3 2 2 . 2 . 3 2 2 . 2 2018 2018 Lại có: 3 2 2 3 2 2 32 2 2 9 8 1 nên 3 2 2 . 3 2 2 1. Do đó: M 3 2 2 .21009 . Chọn C. Ví dụ 14: Cho 2x 5. Giá trị của biểu thức T 4x 1 22 x bằng: 504 104 104 504 A. .B. .C. .D. . 5 5 25 25 Lời giải 2 x 1 2 x x 2 x 2 4 2 4 504 Ta có: T 4 2 4 .4 x 2 .4 x 4.5 . Chọn A. 2 2 5 5 2x 2 x 3 Ví dụ 15: Cho 4x 4 x 34 . Tính giá trị của biểu thức T . 1 2x 1 21 x 3 3 3 3 A. T .B. T .C. T .D. T . 4 11 11 13 Lời giải 2 Ta có: 4x 4 x 34 22x 2 2 2x 36 2x 2 x 36 2x 2 x 6 (Do 2x 2 x 0 ). 6 3 3 3 Khi đó: T . Chọn C. 1 2 2x 2 x 1 2.6 11 9x Ví dụ 16: Cho hàm số f x , với a,b ¡ và a b 1. Tính T f a f b . 9x 3 A. T 0 .B. T 1.C. T 1. D. T 2 . Lời giải 9 9a 91 a 9a a Ta có: T f a f b f a f 1 a 9 a 1 a a 9 9 3 9 3 9 3 3 9a 9a 9 9a 3 1. Chọn B. 9a 3 9 3.9a 9a 3 9a 3 4
5. a x Tổng quát: Cho hàm số f x ta có f x f 1 x 1. a x a 4x Ví dụ 17: Cho hàm số f x . 4x 2 1 2 2004 2005 Tính tổng S f f f f . 2005 2005 2005 2005 3008 2005 A. S 1002 .B. S .C. S 1003.D. S . 3 2 Lời giải a x Sử dụng tính chất tổng quát: Với hàm số f x ta có f x f 1 x 1. a x a 1 2004 2 2003 1002 1003 Khi đó S f f f f f f f 1 2005 2005 2005 2005 2005 2005 4 3008 1 1 1 f 1 1002 . Chọn B. 6 3 1 x 1 x 1 x 1 x 1 Ví dụ 18: Rút gọn biểu thức Q . với x 1 ta được x x 1 x 1 x 1 x 1 A. Q 1.B. Q 2x .C. Q 2 .D. Q 2 . Lời giải 2 2 Ta có: x 1 x 1 x 1 x 1 2x 2 x2 1 2x 2 x2 1 4x . Và x 1 x 1 . 1x 1 x 1 x 1 x 1 2 . 2 2 1 x 1 x 1 x 1 x 1 1 4x Suy ra Q . . 2 .Chọn C. x x 1 x 1 . 1x 1 x 1 x 2 a b a 4 ab Ví dụ 19: Đơn giản biểu thức T ta được 4 a 4 b 4 a 4 b A. T 4 a .B. T 4 b .C. T 4 a 4 b .D. T 4 b Lời giải 2 2 4 a 4 b 4 a 4 a 4 b Ta có: T 4 a 4 b 4 a 4 b . Chọn B. 4 a 4 b 4 a 4 b a2 4ab 3a2 10ab 1 3 a Ví dụ 20: Cho a, b là hai số thực khác 0. Biết rằng 625 . Tính tỉ số . 125 b 76 4 76 A. .B. 2.C. . D. . 21 21 3 Lời giải 2 3a2 10ab a 4ab 2 4 3a 10ab a2 4ab 2 4 2 1 3 3 3 a 4ab 3a 10ab Ta có: 625 5 53 5 5 3 125 4 3 a2 4ab 3a2 10ab 4 3a2 10ab 9 a2 4ab 0 3 a 4 21a2 4ab a,b 0 21a 4b . Chọn C. b 21 5
6. x x 6 3 3 3 a a Ví dụ 21: Cho 9x 9 x 14, ( là phân số tối giản). Tính P ab . 2 3x 1 31 x b b A. P 10.B. P 10 .C. P 45 .D. P 45 . Lời giải 2 Ta có: 9x 9 x 3x 3 x 2 14 3x 3 x 4. 6
7. CHỦ ĐỀ 2. LOGARIT 1. Định nghĩa: Cho 2 số dương a,b với a 1. Số thõa mãn đẳng thức a b được gọi là logarit cơ số a của b kí hiệu là loga b . Như vậy a b loga b Chú ý: - Không tồn tại Logarit của số âm và số 0. - Cho 2 số dương a,b với a 1, ta có các tính chất sau: loga 1 0;loga a 1 2. Các công thức Logarit x • Công thức 1: loga a x với x ¡ ;1 a 0 • Công thức 2: loga x loga y loga xy với x, y,a 0 và a 1 x log x log y log với x, y,a 0 và a 1 a a a y Chú ý: Với x; y 0 và 0 a 1 ta có: loga xy loga x loga y n 1 • Công thức 3: log b n.log b và log n b .log b a,b 0;a 1 a a a n a n Như vậy: log bn .log b am m a loga c • Công thức 4: (đổi cơ số) logb c loga b Cách viết khác của công thức đổi cơ số: loga b.logb c loga c với a;b;c 0 và a;b 1 1 Hệ quả: Khi cho a = c ta có: logc b.logb c logc c 1 logc b (gọi là nghịch đảo) logb c Tổng quát với nhiều số: log x .log x log x log x 1 (với 1 x ; x 0 ) x1 2 x2 3 xn 1 n x1 n 1 n • Công thức 5: alogb c clogb a với a;b;c 0 ;b 1 3. Logarit thập phân, logarit tự nhiên. • Logarit thập phân: Logarit cơ số a = 10 gọi là logarit thập phân ký hiệu: log x(x 0) ( log x được hiểu là log10 x ). Đọc là Lốc x. • Logarit tự nhiên: Logarit cơ số a e 2,712818 gọi là logarit tự nhiên ký hiệu: ln x(x 0) .Đọc là len x hoặc lốc nepe của x ( ln x được hiểu là lne x ) 4. Các dạng toán liên quan: DẠNG 1. SỬ DỤNG CÔNG THỨC LOGARIT a2.3 a2 .5 a4 Ví dụ 1: Cho số thực a thõa mãn 0 a 1. Tính giá trị của biểu thức T log a 15 7 a 12 9 A. T 3 B. T C. T D. T 2 5 5 Lời giải 2 4 2 2 3 2 5 4 2 4 7 a . a . a a 3 5 2 Ta có: T log log log a 3 5 15 log a3 3 . Chọn A a 15 7 a 7 a a a a15 Ví dụ 2: Cho các số thực a, b, c thõa mãn 1 a,b,c 0 và các khằng định sau a3 5 (1) log 3 log b (2) log b log b a a a5 a b 2 (3) loga b c loga b.loga c (4) logbc a logb a logc a Số khẳng định đúng là: A. 1B. 2C. 3D. 4 7
8. Lời giải 3 a 3 Ta có: loga loga a loga b 3 loga b (1) đúng b 1 1 1 1 log b log b 2 . log b log b (2) sai a5 a5 5 2 a 10 a loga b c loga b.loga c (3) sai 1 1 1 log a (4) sai bc log bc log b log c 1 1 a a a logb a logc a Vậy có 1 khẳng định đúng. Chọn A. Ví dụ 3: Cho các số thực a, b, c thõa mãn 1 a,b,c 0 và các khằng định sau (1) log ab 3 3log b (2) log b log b6 2log b a3 a a a4 a a 1 (3) ln ln a ln b (4) log b c log b log c b 2 a a a Số khẳng định đúng là: A. 1B. 2C. 3D. 4 Lời giải 1 1 1 1 Ta có: log 3 ab log ab log a log b log b (1) sai a 3 a 3 a a 3 3 a 1 6 1 3 log b log b6 log b 2 log b log b log b 2log b (2) đúng a a4 a 4 a 2 a 2 a a a 1 1 ln ln a ln b ln a ln b 2 ln a ln b (3) đúng b 2 loga b c loga b loga c (4) sai Vậy có 2 khẳng định đúng. Chọn B Ví dụ 4: Cho các số thực a, b thỏa mãn a < b < 0 và các khẳng định sau : 2 1 (1) ln ab 2 ln a ln b (2) ln ab ln a ln b 2 2 a 2 2 (3) ln 4 ln a 2ln b (4) ln ab ln a ln b b Số khẳng định đúng là: A. 1B. 2C. 3D. 4 Lời giải Chú ý: Do a b 0 nên ln ab ln a . b ln a ln b ln a ln b Do đó ln ab 2 2ln ab 2 ln a ln b (1) sai 1 1 ln ab ln ab ln a ln b (2) đúng 2 2 2 a 2 4 2 2 ln 4 ln a ln b ln a 2ln b (3) đúng b ln ab ln a ln b (4) đúng Vậy có 3 khẳng định đúng. Chọn C Ví dụ 5: Cho các số thực dương và các mệnh đề sau: 3 x 1 x 9 (1) log log x 2log y (2) log log x 9log y a 2 a a a3 a a y 2 y 2 8
9. 2 x 1 (3) log2 4 log x log y (4) log x y2 log x log y a a a a2 a a y 4 Số khẳng định đúng là: A. 1B. 2C. 3D. 4 Lời giải x 1 Ta có: log log x log y2 log x 2log y (1) đúng a y2 a a 2 a a 3 x 1 x x 1 log .3log log log x log y (2) sai a3 a a a a y 3 y y 2 2 2 2 2 x x 2 2 loga loga 2 loga x loga y 4 loga x loga y (3) sai y y 1 log x y2 log x log y (4) sai. Chọn A a2 4 a a Ví dụ 6: Cho log x 2log a log b 1 và log y 2log a log b3 với a;b 0 . Tính giá trị biểu thức 3 3 1 2 2 8 3 x P theo a và b y 3 3a6 A. P 3a2b B. P C. P D. P 3a2 a2 b2 Lời giải Ta có: log x 2log a log b 1 2log a log b 1 3 3 1 1 3 1 3 32 3a4 3a4 4log a log b 1 log a4 log b log 3 log x 3 3 3 3 3 3 b b 1 a2 a2 Lại có log y 2log a log b3 log a2 log b3 log a2 3. log b log y 2 2 8 2 23 2 3 2 2 b b x 3a4 a2 : 3a2 . Chọn D y b b a Ví dụ 7: Cho 1 a;b 0,ab 1, 1 và các mệnh đề sau b 1 loga b (1) logab a (2) log a b 1 loga b b loga b 1 2 a 1 (3) log ab 4 4loga b (4) log 2 1 loga b a a b 4 Số khẳng định đúng là: A. 1B. 2C. 3D. 4 Lời giải 1 1 Ta có logab a (1) đúng loga ab 1 loga b 1 1 1 log b log b a (2) sai a a 1 b logb a 1 1 loga b logb 1 b loga b log ab2 log ab2 2log ab2 2 4log b (3) sai a 1 a a a 2 9
10. a 1 1 a 1 log 2 . log 1 log b (4) đúng. Chọn B a b 2 2 a b 4 a a2. b Ví dụ 8: Cho log b 3 và log c 4 với a;b;c 0;a 1. Tính giá trị của P log a a a 3 c 13 9 17 A. P B. P C. P 3 10 D. P 2 32 2 Lời giải a2. b 1 Ta có: P log log a2 log b log c3 2 log b 2 3log c a 3 a a a a a c 1 3 17 2 log b 3log c 2 12 . Chọn D 2 a a 2 2 Ví dụ 9: Cho loga b 3 và logc a 2 với a,b,c 0;a 1,c 1 .Tính giá trị của biểu thức ab3 Q log a 2 c A. Q 9 B. Q 4 C. Q 6 D. Q 1 Lời giải ab3 1 3 Ta có: Q log log a. b3 log c2 log a 2 log b 2 2log c a 2 a a a a a c 1 3 1 1 9 2 loga b 2. 4 . Chọn B 2 2 logc a 2 2 2 Ví dụ 10: Cho các số thực dương a, b. Mệnh đề nào sau đây đúng? 2 3 a 1 1 2 3 a 1 A. log 1 log a log b B. log 1 log a 3log b 2 b3 3 2 3 2 2 b3 3 2 2 2 3 a 1 1 2 3 a 1 C. log 1 log a log b D. log 1 log a 3log b 2 b3 3 2 3 2 2 b3 3 2 2 Lời giải 2 3 a 1 1 log log 2 log 3 a log b3 1 log a 3 3log b 1 log a 3log b . Chọn D 2 b3 2 2 2 2 2 3 2 2 2 Ví dụ 11: Cho log2 a 4 và log3 b 2 . Giá trị của biểu thức P 2log2 log2 8a 9 log 1 b là 9 A. P 6 B. P 4 C. P 8 D. P 10 Lời giải Ta có: P 2log log 8a 9 log b2 2log log 8 log a 9 log b2 2 2 1 2  2 2  3 2 9 2 2log 3 4 9 log b 2log 16 log b 8 2 6 .Chọn A 2 2 3 2 3 Ví dụ 12: Cho loga x 4 và logb x 5. Tính giá trị của biểu thức P 3logab x log a x b 80 40 A. P 16 B. P C. P D. P 27 3 3 Lời giải 1 Sử dụng công thức loga b logb a 10
11. 3 1 3 1 Ta có P 3log x log x ab a log ab a log a log b log a log b b x log x x x x x b 3 1 3 1 80 . Chọn B 1 1 1 1 1 1 1 1 3 loga x loga y loga x loga y 4 5 4 5 Ví dụ 13: Với 3 số thực a, b, c bất kỳ. Mệnh đề nào dưới đây là đúng? 2 2 8ab 8ab A. log 3 2blog a log c B. log 3 b2 log a log c 2 c 2 2 2 c 2 2 2 2 8ab 1 8ab C. log 3 log a log c D. log 3 b2 log a log c 2 c b2 2 2 2 c 2 2 Lời giải b2 8a 2 Ta có log log 8 log ab log c 3 b2 log a log c . Chọn B 2 c 2 2 2 2 2 4 Ví dụ 14: Biết rằng a, b, c >1 thõa mãn logab bc 2 .Tính giá trị của biểu thức P log c a log c ab b a A. P 1 B. P 2 C. P 3 D. P 4 Lời giải 2 2 2 2 Ta có: logab bc 2 bc ab a b c a b 4 4 4 Khi đó P log 2 a log 2 ab log 2 a log ab 1 3 . Chọn C a b a b a ab 2 b a a3 Ví dụ 15: Biết rằng log b 3 . Tính giá trị của biểu thức A log a a b 2 b A. A 24 14 3 B. A 12 14 3 C. A 12 7 3 D. A 2 3 Lời giải 3 3 1 3 3 2 2 Cách 1: loga b 3 b a .Khi đó a b a. a a.a a a3 a3 1 Và a3 2 3 A . 3 2 3 log a 24 14 3 2 2 3 a b a 3 1 2 A3 Cách 2: log b 3 b a 3 .Chọn a 2 b 2 3 nhập vào máy tính biểu thức log sau a A B 2 B đó CALC với A 2; B 2 3 A 24 14 3 . Chọn A b3 Ví dụ 16: Biết rằng loga b 4 . Tính giá trị của biểu thức A log 3 ab a 23 23 23 23 A. A B. A C. A D. A 5 12 13 9 Lời giải 13 3 4 3 4 13 2 Ta có: loga b 4 b a . Khi đó ab a. a a a 3 4 b3 a a12 23 2 23 23 Và a 2 A . log a .Chọn C a 1 1 13 2 a 13 a 2 a 2 11
12. Ví dụ 1: Cho a, b > 0 thõa mãn a2 b2 25ab . Khẳng định nào sau đây là đúng? 1 log3 ab a b log3 a log3 b A. log3 a b B. log3 2 3 2 a b 1 log3 a log3 b a b log3 a log3 b C. log3 D. log3 1 3 2 3 2 Lời giải 2 2 2 2 Ta có a b 25ab a b 27ab log3 a b log3 27ab 2log3 a b log3 27 log3 a log3 b 3 log3 ab 3 log ab log a b 3 3 2 1 log ab a b 1 log ab log a b 1 3 log 3 . Chọn C 3 2 3 3 2 Ví dụ 18: Cho a, b > 0 và thõa mãn a2 b2 14ab . Khẳng định nào sau đây là đúng? a b log2 a log2 b a b log2 a log2 b A. log2 B. log2 4 2 2 4 a b log2 a log2 b a b 1 log2 a log2 b C. log2 D. log2 2 2 4 2 Lời giải Ta có a2 b2 14ab a b 2 16ab 2 log2 a b log2 16ab 2log2 a b 4 log2 ab log ab log ab log a b 2 2 log a b log 4 2 2 2 2 2 2 a b log a log b log 2 2 . Chọn A 2 4 2 Ví dụ 19: Cho f x a ln x x2 1 bsin x 6 với a,b ¡ . Biết f log log e 2 . Tính giá trị của f log ln10 A. 4B. 10C. 8D. 2 Lời giải 1 Ta có: f log ln10 f log f log log e log e 1 Mặt khác f x a ln x2 1 x bsin x 6 a ln bsin x 6 x2 1 x a ln x x2 1 bsin x 6 f x 6 6 f x 12 Do đó f log log e f log log e 12 10 . Chọn B 12
13. DẠNG 2: BIỂU DIỄN BIỂU THỨC LOGARIT THEO BIỂU THỨC CHO TRƯỚC Ví dụ 1: Với các số thực dương x,y tùy ý, đặt log2 x ,log2 y  . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 4 4 x3 3 x3 A. log 2 B. log 24 32 16 2 16 2 y 2 y 4 4 x3 2 x3 2 C. log 2 D. log 2 16 2 16 2 y 3 y 3 Lời giải 4 4 3 3 3 x x x 3 2 3 Ta có log log 4 log log x log y log x 2log y 16 2 2 2 2 2 2 2 2 2 y y y 2 3 = 2 .Chọn A 2 Ví dụ 2: Với các số thực dương x, y tùy ý, đặt log2 x ,log2 y  . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 2 2 2 x3 3 2 x3 A. log 1 2 B. log 4 6 8 2 2 2 2 y 2 y 2 2 2 x3 3 2 x3 C. log 1 2 D. log 4 6 8 2 2 2 2 y 2 y Lời giải 2 2 3 3 3 2 x 2 x 2 x 3 2 Ta có log log 1 4log 4. log 2 log x log y 2 2 2 2 2 2 2 2 2 y 2 y y 3 2 3 4 1 log2 x 2log2 y 4 1 log2 x 2log2 y 4 6log2 x 8log2 y 4 6 8 . Chọn D 2 Ví dụ 3: Cho log a x;log c y . Hãy biểu diễn log 3 b5c4 theo x và y b b a2 5 4y 20y 5 3y4 20y A. B. C. D. 2x 6x 3x 3x2 3 Lời giải 1 1 1 5 4 1 5 1 4 5 4 Ta có: log 3 b5c4 log b5c4 3 log b3c 3 log b3 log c 3 log b log c a2 a a a a a a 2 2 2 2 6 6 5 1 4 log c 5 4y 5 4y . b . Chọn A 6 logb a 6 logb a 6x 6x 6x Ví dụ 4: Cho loga x m;logb x n;logc x p . Hãy biểu diễn log ab x theo m, n, p c mnp mnp 1 mnp A. B. C. D. mn mp np np mp mn m n p m n p Lời giải 1 1 1 Ta có log x ab ab 1 1 1 c log x a log x b log x c log x c loga x logb x logc x 1 mnp . Chọn B 1 1 1 np mp mn m n p 13
14. Ví dụ 5: Đặt log2 7 a;log3 7 b . Hãy tính log14 12 theo a,b a 2b a 2b A. log 12 B. log 12 14 ab a 14 ab b 2a b 2a b C. log 12 D. log 12 14 ab a 14 ab b Lời giải a log 22.3 2 log2 12 2 2 log2 3 2 log2 7.log7 3 b a 2b Ta có log14 12 log2 14 log2 2.7 1 log2 7 1 a a 1 ab b Cách 2 (Casio): Nhập log2 7 SHIFT STO A ( mục đích gán log2 7 A ) Nhập log3 7 SHIFT STO B (gán log3 7 B ) A 2B A 2B Lấy log 12 ;log 12 trong 4 kết quả kết quả nào cho đáp án bằng 0 thì đáp án 14 AB A 14 AB B đó là đáp án đúng. Chọn B Ví dụ 6: Cho log2 3 a,log2 5 b . Tính log6 45 theo a,b a 2b A. log 45 B. log 45 2a b 6 2 1 a 6 2a b C. log 45 D. log 45 a b 1 6 1 a 6 Lời giải log 32.5 log2 45 2 2log2 3 log2 5 2a b Ta có log6 45 . Chọn C log2 6 log2 2.3 1 log2 3 1 a Ví dụ 7:Đặt a log3 4,b log5 4. Hãy biểu diễn log12 80 theo a, b 2a2 2ab a 2ab A. log 80 B. log 80 12 ab b 12 ab a 2ab 2a2 2ab C. log 80 D. log 80 12 ab b 12 ab Lời giải 1 2 log 80 log 16 log 5 a 2ab Ta có log 80 4 4 4 b . Chọn C 12 log 12 log 3 log 4 1 ab b 4 4 4 1 a Ví dụ 8: Đặt a log2 3;b log5 2;c log2 7 . Hãy log42 15 biểu diễn theo a, b, c ab 1 ac 1 A. log 15 B. log 15 42 b a c 1 42 c a c 1 ac 1 a c C. log 15 D. log 15 42 ab b c 42 a b bc Lời giải 1 a log2 15 log2 3 log2 5 b ab 1 Ta có log42 15 . Chọn A log2 42 log2 2 log2 3 log2 7 1 a c b a c 1 Ví dụ 9: Đặt a log2 5;b log3 5 . Hãy biểu diễn log 75 theo a,b a 2ab 2a2 2ab A. log 75 B. log 75 ab b ab a ab 2a2 2ab C. log 75 D. log 75 ab ab b 14
15. Lời giải 2 log 75 log2 5 .3 2log 5 log 3 2a log 5.log 3 Ta có log 75 2 2 2 2 5 log2 10 log2 2.5 1 log2 5 1 a a 2a a 2ab b .Chọn C 1 a a 1 b Ví dụ 10: Đặt a log2 3;b log5 3. Hãy biểu diễn log6 45 theo a và b a 2ab 2a2 2ab A. log 45 B. log 45 6 ab 6 ab a 2ab 2a2 2ab C. log 45 D. log 45 6 ab b 6 ab b Lời giải log2 45 log2 5.9 log2 5 log2 9 log2 3.log3 5 2log2 3 Ta có log6 45 log2 6 log2 2.3 1 log2 3 1 a a 2a a 2ab b . Chọn C 1 a a 1 b Ví dụ 11: Biết log27 5 a,log8 7 b,log2 3 c thì log12 35 tính theo a, b và c bằng 3b 2ac 3(b ac) 3b 2ac 3(b ac) A. B. C. D. c 2 c 2 c 1 c 1 Lời giải log2 35 log2 7 log2 5 3log8 7 log2 3.log3 5 3b 3c.log27 15 3 ac b log12 35 . Chọn B log2 12 log2 4 log2 3 c 2 c 2 c 2 Ví dụ 12: Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn xy 10a , yz 102b , zx 103c a,b,c ¡ . Tính P log x logy logz theo a, b, c a 2b 3c A. P 3abc B. P a 2b 3c C. P 6abc D. P 2 Lời giải Ta có xy 10a , yz 102b , zx 103c xyz 2 10a 2b 3c 1 2 1 a 2b 3c Suy ra P log x log y log z log xyz log xyz log10a 2b 3c . Chọn D 2 2 2 15
16. Chủ đề 3. HÀM SỐ LŨY THỪA, MŨ, LOGARIT I. HÀM SỐ LŨY THỪA 1. Định nghĩa: Hàm số y x với ¡ , được gọi là hàm số lũy thừa. 2. Tập xác định Tập xác định của hàm số y x là: • ¡ với là số nguyên dương • ¡ \ 0 với là số nguyên âm hoặc bằng 0. • 0; với không nguyên. 3. Đạo hàm Hàm số y x với ¡ có đạo hàm với mọi x 0 và x ' .x 1 4. Tính chất của hàm số lũy thừa trên khoảng 0; • y x 0 x 0; • Đồ thị hàm số luôn đi qua điểm 1;1 • Khi 0 y ' x ' .x 1 0 x 0; hàm số luôn đồng biến Trong trường hợp này lim x ; lim x 0 do đó đồ thị hàm số không có đường tiệm cận x x 0 • Khi 0 y ' x ' .x 1 0 x 0; hàm số luôn nghịch biến Trong trường hợp này lim x 0; lim x do đó đồ thị hàm số nhận trục Ox là đường tiệm x x 0 cận ngang và trục Oy là đường tiệm cận đứng. 5. Đồ thị hàm số lũy thừa y xa trên khoảng 0; Đồ thị hàm số y x luôn đi qua điểm I 1;1 . Lưu ý: Khi khảo sát hàm số lũy thừa với sỗ mũ cụ thể, ta phải xét hàm số đó trên toàn bộ tập xác định của nó. Chẳng hạn: Hàm số: y x3 x ¡ . Hàm số: y x 4 x 0 . 1 Hàm số: y x3 x 0 . II. HÀM SỐ MŨ 1. Định nghĩa a 0 x Cho số thực . Hàm số y a được gọi là a 1 hàm số mũ cơ số a. 2. Tập xác định Tập xác định của hàm số y a x là : D ¡ Do y a x 0;x ¡ suy ra tập giá trị của hàm số y a x là T 0; 16
17. 3. Đạo hàm a x a x ln a et 1 Đạo hàm: au au ln a.u ' ex ex . Công thức giới hạn: lim 1. t 0 t eu eu .u ' Với hàm số y a x ta có: y ' a x ln a • Với a 1 khi đó y ' a x ln a 0. Hàm số luôn đồng biến Trong trường hợp a 1 ta có lim y lim a x 0 do đó đồ thị hàm số nhận trục hoành là tiệm cận x x ngang • Với 0 a 1 khi đó y ' a x ln a 0. Hàm số luôn nghịch biến Trong trường hợp a 1 ta có lim y lim a x 0 do đó đồ thị hàm số nhận trục hoành là tiệm cân x x ngang 4. Đồ thị hàm số y a x Đồ thị hàm số y a x nhận trục Ox là tiệm cận ngang và luôn đi qua các điểm 0;1 và 1;a Đồ thị hàm số y a x nằm phía trên trục hoành y a x 0x ¡ III. HÀM SỐ LOGARIT 1. Định nghĩa a 0 Cho số thực . Hàm số y loga x được gọi là hàm a 1 số lôgarít cơ số a. 2. Tập xác định • Hàm số: y loga x 0 a 1 có tập xác định: D 0; Do loga x ¡ nên hàm số y loga x có tập giá trị là T ¡ . • Hàm số y loga P x điều kiện: P x 0. Nếu a chứa biến x thì ta bổ sung điều kiện 0 a 1. n Đặc biệt: y loga P x điều kiện: P x 0 nếu n lẻ; P x 0 nếu n chẵn. 3. Đạo hàm u 1 u Đạo hàm: loga u loga x . Đặc biệt: loga u . u ln a x ln a u ln a 4. Tính chất 1 Với hàm số y loga x y ' x 0; . Do đó: x ln a 1 • Với a 1 ta có log x ' 0 Hàm số luôn đồng biến trên khoảng 0; . a x ln a Trong trường hợp này ta có: lim y do đó đồ thị hàm số nhận trục tung là tiệm cận đứng. x 0 17
18. 1 • Với 0 a 1 ta có: log x ' 0 Hàm số luôn nghịch biến trên khoảng 0; . a x ln a • Trong trường hợp này ta có: lim y do đó đồ thị hàm số nhận trục tung là tiệm cận đứng. x 0 5. Đồ thị hàm số y loga x Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là trục Oy và luôn đi qua các điểm 1;0 và a;1 và nằm phía bên phải trục tung vì có tập xác định là D 0; . Đồ thị nhận trục tung là tiệm cận đứng.  Nhận xét: Đồ thị hàm số y a x và y loga x, 0 a 1 đối xứng nhau qua đường thẳng y x, (góc phần tư thứ nhất và thứ 3 trong hệ trục tọa độ Oxy). IV. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP  DẠNG 1. TÌM TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ LŨY THỪA, MŨ, LOGARIT 1 2 3 Ví dụ 1: Tìm tập xác định D của hàm số y 9 x log2 x 1 . A. D 1; . B. D 1;3 . C. D 3;3 . D. D 1;3. Lời giải: 9 x2 0 3 x 3 Hàm số đã cho xác định khi 1 x 3. x 1 0 x 1 Vậy D 1;3 . Chọn B log100 Ví dụ 2: Tìm tập xác định D của hàm số y x2 x 2 A. D 1;2 . B. D ¡ \ 1;2 . C. D ¡ \ 1;2. D. D ¡ Lời giải: 2 log100 2 x 1 Ta có: log100 2 ¢ hàm số y x x 2 xác định khi x x 2 0 . x 2 Vậy D ¡ \ 1;2. Chọn C. e Ví dụ 3: Tìm tập xác định D của hàm số y x x2 32x 1 1 1 A. D ¡ \ 0;1. B. D 0;1 . C. D ;1 . D. D ;1 . 2 2 Lời giải: e Do 32x 1 0 x ¡ ;e ¢ nên hàm số y x x2 32x 1 xác định khi x x2 0 0 x 1. Vậy D 0;1 . Chọn B. 18
19. 4 x2 Ví dụ 4: Tìm tập xác định D của hàm số y 2019 log2 2x 3 3 3 3 A. D ;2 . B. D ;2 . C. D 2;2. D. D ;2 2 2 2 Lời giải: 4 x2 0 2 x 2 3 Hàm số đã cho xác định khi x 2. 2x 3 0 2x 3 0 2 3 Vậy D ;2 . Chọn A. 2 x 1 2 Ví dụ 5: Tìm tập xác định D của hàm số y 2019 1 log2 x 2 A. D  1; . B. D  1; \ 2. C. D 1; \ 2. D. D 0; \ 2. Lời giải: 2019x 1 1 0 2019x 1 20190 x 1 0 x 1 Hàm số đã cho xác định khi . x 2 0 x 2 x 2 x 2 Vậy D  1; \ 2. Chọn B. x 3 Ví dụ 5: Tìm tập xác định D của hàm số y log 4 x 2 x 4 A. D ; 4  3;4 . B. D ; 4  3;4. C. D ; 4  3; \ 4. D. D ; 4 3; \ 4. Lời giải: x 3 x 3 0 Hàm số đã cho xác định khi x 4 x 4 D ; 4  3;4 . 4 x 0 x 4 Chọn A. Ví dụ 6: Tìm tập xác định D của hàm số y 3x 1 log x 2 2018 A. D 2; . B. D 0; \ 2 C. D 0; \ 2. D. D 2; Lời giải: 3x 30 x 0 Hàm số đã cho xác định khi . x 2 x 2 Chọn C. 1 Ví dụ 7: Tìm tập xác định D của hàm số y 2 log3 2x x 1 1 1  A. D ;0 ; . B. D ;0  ; \ ;1. 2 2 2  1 1  1 C. D ;0 ; \ ;1. D. D ;0  ; . 2 2  2 19
20. Lời giải: 1 1 x 2 x 2 2x x 0 2 Hàm số đã cho xác định khi x 0 log 2x2 x 0 x 0 3 2 1 2x x 1 x 1; x 2 1 1  Do đó D ;0  ; \ ;1. 2 2  Chọn B. 2 Ví dụ 8: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y 3x2 2mx 3 xác định với mọi x ¡ A. 7. B. 6.C. 4. D. 5. Lời giải: Hàm số đã cho xác định với mọi x ¡ 3x2 2mx 3 0 x ¡ a 1 0 3 m 3 2 ' m 9 0 Kết hợp với m ¢ có 5 giá trị nguyên của tham số m. Chọn D. 2 Ví dụ 9: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m 100;100 để hàm số y log2 x 2x m 1 xác định với mọi x ¡ A. 199. B. 200.C. 99. D. 100. Lời giải: Hàm số đã cho xác định với mọi x ¡ x2 2x m 1 0 x ¡ a 1 0 m 0 ' m 0 m ¢ Kết hợp với có 99 giá trị nguyên của tham số m. Chọn C. m 100;100 2 Ví dụ 10: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y ln m 1 x 2 m 3 x 1 có tập xác định là ¡ . A. 3. B. 5.C. 4. D. 2. Lời giải: 1 TH1: Với m 1 y ln 4x 1 TXĐ: D ; . 4 TH2: Với m 1. Hàm số đã cho xác định với mọi x ¡ m 1 x2 2 m 3 x 1 0 x ¡ a m 1 0 m 1 2 m 5. 2 2 ' m 3 m 1 0 m 7m 10 0 Kết hợp với m ¢ có 2 giá trị nguyên của tham số m. Chọn D. 2 Ví dụ 11: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m 10;10 để hàm số y log2 x 2x m xác định với mọi x 0; . A. 8. B. 7.C. 9. D. 18. 20