Ôn tập TN THPT môn Toán - Chuyên đề: Nguyên hàm và tích phân (Mức độ nhận biết, thông hiểu)

Nội dung tài liệu: Ôn tập TN THPT môn Toán - Chuyên đề: Nguyên hàm và tích phân (Mức độ nhận biết, thông hiểu)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CHUYÊN ĐỀ ÔN TẬP BẮC NINH KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM ¯¯¯¯¯¯¯¯¯ 2023 Môn: Toán ¯¯¯¯¯¯¯¯ TÊN CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN ( Mức độ nhận biết, thông hiểu) Người biên soạn: Đỗ Thị Thủy và Nguyễn Thị Lụa Đơn vị công tác:Trường THPT Lý Nhân Tông I. Hệ thống kiến thức liên quan. 1. Nguyên hàm 1.1.Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F' x =f x với mọi x thuộc K. 1.2. Định lí: * Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) +C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K. * Ngược lại, nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x)+C với C là một hằng số. Kí hiệu họ nguyên hàm của f(x) là f x dx . f x dx =F x +C (C: hằng số) 1.3. Tính chất của nguyên hàm +) Tính chất 1: f' x dx =f x +C +) Tính chất 2: kf x dx =k f x dx (k là hằng số khác 0) +) Tính chất 3: f x ±g x dx = f x dx ± g x dx 1.4. Bảng nguyên hàm của một số hàm thường gặp ò 0dx = C. ¾ ¾® òkdx = kx + C. xn+ 1 1 (ax + b)n+ 1  xn dx = + C; n ¹ - 1. ¾ ¾® (ax + b)n dx = + C; n ¹ - 1. ò n + 1 ò a n + 1 1 1 1  dx = ln x + C. ¾ ¾® dx = ln ax + b + C. ò x ò ax + b a 1
2. 1 1 1 1 1  dx = - + C. ¾ ¾® dx = - × + C. ò 2 2 x x ò (ax + b) a ax + b  sin xdx = - cosx + C. 1 ò ¾ ¾® sin(ax + b)dx = - cos(ax + b) + C. ò a cosxdx = sin x + C. 1 ò ¾ ¾® cos(ax + b)dx = sin(ax + b) + C. ò a 1 dx 1 dx = - cot x + C. ¾ ¾® = - cot(ax + b) + C. ò sin2 x ò sin2(ax + b) a 1 dx 1  dx = tan x + C. ¾ ¾® = tan(ax + b) + C. ò cos2 x ò cos2(ax + b) a ex dx = ex + C. 1 ò ¾ ¾® eax+bdx = eax+b + C. ò a ax 1 aax+ b  ax dx = + C. ¾ ¾® aax+ b dx = + C. ò lna ò a lna 1 ♦ Nhận xét. Khi thay x bằng (ax + b) thì khi lấy nguyên hàm nhân kết quả thêm × a 2. Tích phân 2.1. Định nghĩa: Cho hàm số y f x liên tục trên K ; a,b là hai phần tử bất kì thuộc K , F x là một nguyên hàm của f x trên K . Hiệu số F b F a gọi là tích phân của của f x từ a đến b và được kí hiệu: b f x dx F x b F b F a a . a 2.2. Các tính chất của tích phân: a b b b f x dx 0 f x g x dx f x dx g x dx a a a a a b b c b f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx b a a a c b b b b k. f x dx k. f x dx Nếu f x g x x a;b thì f x dx g x dx . a a a a 2.3. Phương pháp đổi biến số loại 1 để tính tích phân b Yêu cầu : Tính tích phân I f x f x dx 1 2 a Phương pháp: 2
3. b + Biến đổi về dạng I f u x u x dx. a + Đặt t u x dt u x dx. + Đổi cận: x a t u a t1; x b t u b t 2 . t2 + Khi đó: I f t dt là tính phân đơn giản hơn. t1 Một số dấu hiệu cơ bản và cách chọn t u x Dấu hiệu Cách chọn t Hàm số chứa mẫu số t là mẫu số Hàm số chứa căn f x, u(x) t là căn: t u(x) Hàm số có dạng  f (x)n lũy thừa t là biểu thức trong lũy thừa, t f (x) Hàm số lượng giác có góc xấu t là góc xấu Hàm số mũ, mà mũ xấu t là mũ xấu Hàm số logu mà u xấu t u R(cos x).sin xdx Đặt t cos x R(sin x).cos xdx Đặt t sin x 1 Đặt t tan x R(tan x). dx cos2 x 1 Đặt t cot x R(cot x). dx sin2 x Hàm có ex ,a x Đặt t ex, t ax 1 Đặt t ln x Hàm số vừa có ln x vừa có x 2.4. Phương pháp đổi biến số loại 2 để tính tích phân b Yêu cầu: Tính tích phân I f x dx a Phương pháp: Đặt x t dx t dt + Đổi cận: x a t t1; x b t t2 t2 + Khi đó: I f t t dt t1 2.5. Phương pháp từng phần để tính tích phân Công thức từng phần: 3
4. b b b u x v x dx u x v x v x u x dx . a a a b b b Viết gọn: udv uv vdu a a a b Áp dụng: Tính tích phân I f x dx a Phương pháp: b I f x . f x dx + Bước 1: Biến đổi 1 2 a du f x dx u f1 x 1 + Bước 2: Đặt dv f x dx v f x dx 2 2 b b + Bước 3: Khi đó I uv vdu a a ● Dạng 1. I P x sin ax b dx , trong đó P x là đa thức. du P x .dx u P x Với dạng này, ta đặt 1 . dv sin ax b dx v cos ax b a ● Dạng 2. I P x cos ax b dx , trong đó P x là đa thức. du P x .dx u P x Với dạng này, ta đặt 1 . dv cos ax b dx v sin ax b a ● Dạng 3. I P x eax bdx , trong đó P x là đa thức. du P x .dx u P x Với dạng này, ta đặt . ax b 1 ax b dv e dx v e a ● Dạng 4. I P x ln g x dx , trong đó P x là đa thức. u ln g x Với dạng này, ta đặt . dv P x dx II. Các dạng bài/câu thường gặp Dạng 1: Tính tích phân sử dụng định nghĩa, tính chất 4 4 4 VD1 (Câu 8:_TK2023 )Nếu f x dx 2 và g x dx 3 thì f x g x dx bằng 1 1 1 A. 5 . B. 6 . C. 1 D. 1. Lời giải 4 4 4 Ta có f x g x dx f x dx g x dx 2 3 5 . 1 1 1 2 2 1 VD2 (Câu 24: _TK2023 )Nếu f x dx 4 thì f x 2 dx bằng 0 0 2 4
5. A. 0. B. 6. C. 8. D. 2. Lời giải 2 1 1 2 2 1 f x 2 dx f x dx 2dx .4 4 2 . 0 2 2 0 0 2 8 12 VD3: Cho hàm số f (x) liên tục trên ¡ thoả mãn f x dx 9 , f x dx 3, 1 4 8 f x dx 5. 4 12 Tính I f x dx . 1 A. I = 17 . B. I = 1. C. I = 11. D. I = 7 . Lời giải 12 8 12 Ta có: I f x dx f x dx f x dx . 1 1 8 8 12 8 f x dx f x dx f x dx 9 3 5 7 . 1 4 4 4 VD4: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 1;4, f 1 1 và f x dx 2 . 1 Giá trị f 4 là. A. 1. B. 3 . C. 2 . D. 4 . Lời giải Chọn B 4 f x |4 2 f 4 f 1 2 f (1) 1 f (4) 3 Ta có f x dx 2 1 mà . 1 Dạng 2: Tính nguyên hàm sử dụng định nghĩa, tính chất và bảng nguyên hàm cơ bản 1 VD5 (Câu 23_TK2023 ) Cho dx F x C . Khẳng định nào dưới đây đúng? x 2 1 A. F x . B. F x lnx . C. F x . D. x2 x 1 F x . x2 Lời giải 1 1 Ta có F x dx . x x VD6 (Câu 25_TK2023) Cho hàm số f x cos x x . Khẳng định nào dưới đây đúng? A. f x dx sin x x2 C. B. f x dx sin x x2 C. x2 x2 C. f x dx sin x C. D. f x dx sin x C. 2 2 5
6. Lời giải x2 f x dx cos x xdx sin x C. 2 VD7 : Hàm số F x 2x sin 2x là một nguyên hàm của hàm số nào dưới đây? 1 A. f x 2 2cos 2x . B. f x x2 cos 2x . 2 1 C. f x 2 2cos 2x . D. f x x2 cos 2x . 2 Dạng 3: Nguyên hàm có điều kiện 3 VD8: Cho F x là một nguyên hàm của hàm số f (x) ex 2x thỏa mãn F 0 . Tìm 2 F x . 1 5 3 A. F x ex x2 B. F x ex x2 C. F x ex x2 D. 2 2 2 1 F x 2ex x2 2 Lời giải Chọn A x x 2 Ta có F x e 2x dx e x C 3 1 Theo bài ra ta có: F 0 1 C C . 2 2 f x f x 2e2x 1, x, f 0 2 VD9: Hàm số có đạo hàm liên tục trên ¡ và: . Hàm f x là A. y 2ex 2x . B. y 2ex 2 . C. y e2x x 2 . D. y e2x x 1. Lời giải Ta có: f x dx 2e2x 1 dx e2x x C . Suy ra f x e2x x C . Theo bài ra ta có: f 0 2 1 C 2 C 1. Vậy: f x e2x x 1. Dạng 4: Tìm nguyên hàm, tích phân sử dụng phương pháp đổi biến số, từng phần e 3ln x 1 VD10: Cho tích phân I dx . Nếu đặt t ln x thì 1 x 6
7. 1 3t 1 e 3t 1 e A. I dt . B. I dt . C. I 3t 1 dt . D. t 0 e 1 t 1 1 I 3t 1 dt . 0 Lời giải 1 Đặt t ln x dt dx . Đổi cận x e t 1; x 1 t 0 . x e 3ln x 1 1 Khi đó I dx 3t 1 dt . 1 x 0 VD11: Tìm khẳng định đúng. A. x cos xdx xsin x sin xdx. B. x cos xdx xsin x sin xdx. C. x cos xdx xsin x sin xdx. D. x cos xdx xsin x sin xdx. Lời giải u x du dx Đặt . dv cos xdx v sin xdx Suy ra x cos xdx xsin x sin xdx. Dạng 5: Tìm tích phân của hàm phân thức hữu tỷ 1 1 VD12: Cho dx a ln 2 bln 3, với a,b là các số hữu tỷ. Khi đó a b bằng 2 0 x 3x 2 A. 0 . B. 2 . C. 1. D. 1. Lời giải Chọn C Xét 1 1 1 1 1 1 1 x 1 1 dx dx dx ln 2ln 2 ln 3. 2 0 x 3x 2 0 x 1 x 2 0 x 1 x 2 x 2 0 Vậy a 2, b 1 a b 1. III. Những lỗi học sinh thường mắc (nếu có). 1. Những lỗi đơn giản mà học sinh vẫn thường mắc phải như: - Không nắm vững định nghĩa nguyên hàm, tích phân; - Tính nguyên hàm sai, hiểu sai bản chất công thức; - Đổi biến số nhưng không đổi cận; - Khi đổi biến không tính vi phân; - Giải sai hoặc tính toán nhầm do kỹ năng tính toán chưa thuần thục 2. Những lỗi tinh vi mà học sinh thường mắc phải như: 7
8. - Hàm số không liên tục nhưng vẫn sử dụng công thức Newtơn- Leibnitz; - Đổi biến số t = u(x) nhưng u(x) không phải là một hàm số liên tục và có đạo hàm liên tục trên [a; b]; - Không nắm vững phương pháp đổi biến số; - Chọn cách đổi biến số nhưng gặp khó khăn khi đổi cận (không tìm được giá trị chính xác) ; - Không nắm vững phương pháp nguyên hàm (tích phân) từng phần. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Sai lầm khi vận dụng định nghĩa nguyên hàm Ví dụ1 : Chứng minh rằng F (x) (1 x)e x là một nguyên hàm của hàm f (x) xe x trên R. Từ đó hãy tìm nguyên hàm của hàm g(x) (x 1)e x . * Lời giải có sai lầm: F’(x) = -e - x + (1+x)e- x =f(x) với mọi x =>F(x) là một nguyên hàm của hàm f(x) trên R. x x x x x g x dx x 1 e dx xe dx e dx 1 x e C e C (1 x)e x e x xe x . * Phân tích: Học sinh viết chung hằng số C cho mọi phép tính nguyên hàm * Lời giải đúng: g x dx x 1 e xdx xe xdx e xdx 1 x e x C e x C 1 2 x xe C với C = C1 – C2. Sai lầm khi vận dụng bảng nguyên hàm cơ bản Ví dụ 2 . Tính nguyên hàm I 2x 1 5 dx 6 5 2x 1 * Lời giải có sai lầm: I 2x 1 dx C 6 * Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: xn 1 Học sinh vận dụng công thức xn dx c với n ≠ – 1 n 1 * Lời giải đúng: Đặt 2x + 1 = t 6 6 dt 5 dt t 2x 1 dt 2dx dx 2x 1 dx t5 C C 2 2 12 12 8
9. Sai lầm do nhớ nhầm công thức nguyên hàm 3 Ví dụ 3. Tính tích phân I x 1dx 0 3 3 3 1 1 * Lời giải có sai lầm: I x 1dx x 1.d x 1 0 0 2 x 1 0 2 * Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Sự hình thành nguyên hàm ít nhiều cũng liên quan đến kiến thức đạo hàm, các em hay nhầm lẫn giữa hai loại công thức này * Cách khắc phục: Yêu cầu các em học thuộc bảng nguyên hàm các hàm số cơ bản. Giúp các em tạo thói quen kiểm tra công thức: lấy đạo hàm của nguyên hàm tìm được xem có bằng hàm số đã cho? 1 3 3 3 2 2 3 14 * Lời giải đúng: I x 1dx x 1 .d x 1 x 1 2 0 0 3 0 3 1 4 Ví dụ 4. Tính tích phân I 2x 1 dx 0 4 5 1 1 2x 1 2 * Lời giải có sai lầm: I 2x 1 dx 0 5 5 0 Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Học sinh vận dụng sai công thức nguyên hàm của hàm 1 1 x 1 (ax b) hợp, đã dùng x dx C thay vì (ax b) dx C 1 a 1 4 5 1 1 2x 1 1 * Lời giải đúng: I 2x 1 dx 0 2.5 5 0 (Có thể hướng dẫn các em giải cách khác: Đặt t 2x 1) * Cách khắc phục: Yêu cầu các em học thuộc bảng nguyên hàm các hàm số cơ bản và nguyên hàm hàm hợp tương ứng, tự lặp ra bảng nguyên hàm của hàm hợi tưng ứng với u ax b . Giúp các em khắc sâu thói quen kiểm tra công thức: lấy đạo hàm của nguyên hàm tìm được xem có bằng hàm số đã cho? Sai lầm do nhớ nhầm tính chất tích phân 1 Ví dụ 5. Tính tích phân I xe xdx 0 1 1 1 1 x2 1 1 1 e 1 * Lời giải có sai lầm : I xe xdx xdx. e xdx . e x . 1 0 0 0 0 2 0 2 e 2e 9
10. * Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Học sinh tự “sáng tạo” ra quy tắc nguyên hàm của một tích thay vì sử dụng công thức tích phân từng phần 1 1 1 1 e 2 * Lời giải đúng: I xe x e xdx e x 0 0 0 e 2 * Cách khắc phục: Yêu cầu các em học thuộc các tính chất của nguyên hàm và tích phân. Giúp các em tổng quát hoá các dạng toán sử dụng phương pháp tích phân từng phần Cách làm: Biểu diễn f x dx về dạng u.dv u.v'dx - Chọn u sao cho du dễ tính - Chọn dv sao cho dễ tính v dv - Áp dụng công thức IV. Hệ thống câu hỏi ôn tập: 3 3 Câu 1: Nếu f x dx 2 thì f x 2x dx 2 bằng 1 1 A. 20 . B. 10. C. 18. D. 12. Lời giải 3 3 3 3 Ta có: f x 2x dx f x dx 2xdx 2 x2 2 32 12 10 . 1 1 1 1 3 3 3 Câu 2: Biết f x dx 4 và g x dx 1. Khi đó: f x g x dx bằng: 2 2 2 A. 3 . B. 3 . C. 4 . D. 5. Lời giải 3 3 3 Ta có f x g x dx f x dx g x dx 4 1 3 2 2 2 3 3 3 Câu 3: Biết f x dx 3 và g x dx 1. Khi đó f x g x dx bằng 2 2 2 A. 4 . B. 2 . C. 2 . D. 3 . Lời giải Chọn A 10
11. 3 3 3 Ta có: f x g x dx f x dx g x dx 4 . 2 2 2 Câu 4: Cho f , g là hai hàm liên tục trên đoạn 1;3 thoả: 3 3 3 f x 3g x dx 10 , 2 f x g x dx 6. Tính f x g x dx . 1 1 1 A. 7. B. 6. C. 8. D. 9. Lời giải 3 3 3 f x 3g x dx 10 f x dx 3 g x dx 10 1 . 1 1 1 3 3 3 2 f x g x dx 6 2 f x dx g x dx 6 2 . 1 1 1 3 3 Đặt X f x dx , Y g x dx . 1 1 X 3Y 10 X 4 Từ 1 và 2 ta có hệ phương trình: . 2X Y 6 Y 2 3 3 Do đó ta được: f x dx 4 và g x dx 2 . 1 1 3 Vậy f x g x dx 4 2 6 . 1 10 6 Câu 5: Cho hàm số f x liên tục trên đoạn 0;10 và f x dx 7 ; f x dx 3 0 2 2 10 . Tính P f x dx f x dx . 0 6 A. P 4 B. P 10 C. P 7 D. P 4 Lời giải 10 2 6 10 Ta có: f x dx f x dx f x dx f x dx . 0 0 2 6 7 P 3 P 4 . Câu 6: Cho f , g là hai hàm số liên tục trên 1;3 thỏa mãn điều kiện 3 3 f x 3g x dx=10 đồng thời 2 f x g x dx=6 . 1 1 3 Tính f x g x dx . 1 A. 9 . B. 6 . C. 7 . D. 8 . Lời giải 11
12. 3 3 3 Ta có: f x 3g x dx=10 f x dx+3 g x dx=10. 1 1 1 3 3 3 2 f x g x dx=6 2 f x dx- g x dx=6 . 1 1 1 3 3 u 3v 10 Đặt u f x dx; v = g x dx .Ta được hệ phương trình: 1 1 2u v 6 3 f x dx=4 3 u 4 1 Vậy f x g x dx=6 . 3 v 2 1 g x dx=2 1 2 x- 1 Câu 7: Cho biết dx = a ln 5+ bln 3, với a,bÎ ¤ . Tính T = a2 + b2 ò 2 + + 0 x 4x 3 bằng A. 13. B. 10. C. 25. D. 5. Lời giải x- 1 x- 1 A B Ta có: = = + x2 + 4x + 3 (x + 1)(x + 3) x + 1 x + 3 x- 1 x- 1 A = = - 1, B = = 2 x + 3 x = - 1 x + 1 x = - 3 2 x- 1 2 æ- 1 2 ö 2 2 dx = ç + ÷dx = - ln x + 1 + 2ln x + 3 = - ln 3+ 2ln 5- 2ln 3 ò 2 + + òèç + + ø÷ 0 0 0 x 4x 3 0 x 1 x 3 = 2ln 5- 3ln 3 = a ln 5+ bln 3 Þ a = 2,b = - 3 Þ T = 13. Câu 8: Cho hàm số y f x có đạo hàm trên ¡ đồng thời thỏa mãn 1 f 0 f 1 5 . Tính tích phân I f x e f x dx . 0 A. I 10 B. I 5 C. I 0 D. I 5 Lời giải 1 1 1 I f x e f x dx e f x d f x e f x e f 1 e f 0 e5 e5 0 . 0 0 0 21 dx Câu 9: Cho a ln 3 bln 5 c ln 7 , với a,b,c là các số hữu tỉ. Mệnh đề 5 x x 4 nào sau đây đúng? A. a b 2c B. a b 2c C. a b c D. a b c Lời giải Đặt t x 4 2tdt dx . Với x 5 t 3; x 21 t 5 12
13. 21 5 dx dt 1 5 1 1 1 Ta có 2 ln t 2 ln t 2 ln 2 ln 5 ln 7 . 2 3 5 x x 4 3 t 4 2 2 2 2 Câu 10. Phát biểu nào sau đây là đúng A. ex sin xdx ex cos x ex cos xdx .B. ex sin xdx ex cos x ex cos xdx . C. ex sin xdx ex cos x ex cos xdx D. ex sin xdx ex cos x ex cos xdx . Lời giải Xét ex sin xdx u ex du exdx Đặt . dv sin xdx v cos x ex sin xdx ex cos x ex cos xdx . Câu 11. Mệnh đề nào dưới đây đúng: A. 5x 3 exdx 5x 3 ex exdx .B. 5x 3 exdx 5x 3 ex 5 exdx . C. 5x 3 exdx 5x 3 ex 5 exdx .D. 5x 3 exdx 5x 3 ex exdx . Lời giải u 5x 3 du 5dx Đặt 5x 3 exdx 5x 3 ex ex .5dx x x dv e dx v e 5x 3 exdx 5x 3 ex 5 exdx . Câu 12. Cho f x , g x là các hàm số có đạo hàm liên tục trên 0;1 và 1 1 1 g x . f x dx 1, g x . f x dx 2. Tính tích phân I f x .g x dx . 0 0 0 A. I 3 .B. I 1. C. I 2 .D. I 1. Lời giải Ta có f x .g x f x .g x g x . f x . 1 1 1 Do đó I f x .g x dx f x .g x dx f x .g x dx 1 2 3. 0 0 0 2 Câu 13. Hàm số F x ex là một nguyên hàm của hàm số: x2 2 e 2 A. f x x2ex 1. B. f x . C. f x e2x .D. f x 2xex . 2x Lời giải F x là một nguyên hàm của hàm số y f x nếu F ' x f x . 2 2 2 Ta có: ex ' x2 '.ex 2xex . 1 Câu 14. Cho hàm số f x 2 sin 3x , x 0 . Khẳng định nào dưới đây đúng? x 2 13
14. 1 1 A. f x dx cos 3x C . B. x 3 2 1 1 f x dx cos 3x C . x 3 2 2 1 1 1 C. f x dx ln x cos 3x C .D. f x dx cos3x C . 3 2 x 3 Lời giải 1 1 1 Ta có sin 3x dx cos 3x C . 2 x 2 x 3 2 10 6 Câu 15: Cho f x liên tục trên đoạn 0;10 thỏa mãn f x dx 7 , f x dx 3 Khi 0 2 2 10 đó, P f x dx f x dx có giá trị là: 0 6 A. 3 . B. 2 . C. 1. D. 4 . Lời giải 10 2 2 10 P f x dx f x dx f x dx f x dx 0 10 6 2 10 6 f x dx f x dx 7 3 4 . 0 2 14