Ôn tập TN THPT môn Toán - Chuyên đề: Phương trình bậc hai với hệ số thực

Nội dung tài liệu: Ôn tập TN THPT môn Toán - Chuyên đề: Phương trình bậc hai với hệ số thực

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CHUYÊN ĐỀ ÔN TẬP BẮC NINH KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 ¯¯¯¯¯¯¯¯¯ Môn: Toán ¯¯¯¯¯¯¯¯ TÊN CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC Người biên soạn: Nguyễn Thị Tỉnh Đơn vị công tác: Trường THPT Nguyễn Du. I. Hệ thống kiến thức liên quan. 1. Căn bậc hai của một số thực âm • w là số thực âm ( w 0 ) thì w có hai căn bậc hai là i w và i w 2. Giải phương trình bậc hai với hệ số thực Xét phương trình az2 bz c 0 a,b,c ¡ ;a 0 Ta có b2 4ac b • Nếu 0 thì phương trình có nghiệm thực z 2a • Nếu 0 thì phương trình có hai nghiệm thực phân biệt: b b z ; z 1 2a 2 2a • Nếu 0 thì phương trình có hai nghiệm thực phân biệt: b i b i b i b i z ; z 1 2a 2a 2a 2 2a 2a 2a Chú ý:  Mọi phương trình bậc n (n 1,n N) : n n 1 A0 z A1z An 1z An 0 luôn có n nghiệm phức (không nhất thiết phân biệt) với n nguyên dương.  Nếu z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình bậc hai với hệ số thực thì z1, z2 là hai số phức liên hợp, tức là z1 z2 . Khi đó, điểm biểu diễn của z1, z2 đối xứng với nhau qua trục hoành Ox 2  Nếu z1 là nghiệm của phương trình az bz c 0 thì + z là giá trị tuyệt đối của z nếu 0 . 1 1 + Ngược lại, z1 là mô đun của số phức z1 nếu 0 . 3. Hệ thức Vi-ét đối với phương trình bậc hai với hệ số thực 2 Phương trình bậc hai ax bx c 0 a 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 (thực hoặc phức) thì b S x x 1 2 a c P x x 1 2 a II. Các dạng bài/câu thường gặp 1
2. Dạng 1: Tìm nghiệm phức của phương trình bậc hai. Tính toán biểu thức liên quan tới nghiệm. Phương pháp giải Ví dụ: Xét phương trình z2 2z 5 0 - Tự luận a) Giải phương trình trên tập số phức Cho phương trình: b) Tính z1 z2 2 az bz c 0 a,b,c ¡ ;a 0 Lời giải: • Giải pương trình bậc hai với hệ số a) Ta có: ' 1 5 4 2i 2 thực theo công thức nghiệm. Phương trình có hai nghiệm là: • Áp dụng các phép toán trên tập số z 2 2i ; z 2 2i phức để biến đổi biểu thức 1 2 2 2 - Casio: b) Ta có z1 z2 2 2 2 2 Suy ra z1 z2 2 2 2 2 4 2 Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Nghiệm của phương trình z2 2z 7 0 trên tập số phức là: A. z 1 6i . B. z 1 2 2i . C. z 1 7i . D. z 1 2i . Lời giải: Chọn A Cách 1: Giải theo tự luận: Ta có: b 2 ac 1 7 6 0 . Suy ra phương trình đã cho có 2 nghiệm phức: z1,2 1 6i . Cách 2: Giải theo phương pháp trắc nghiệm: Thế lần lượt các số phức ở các đáp án vào phương trình, nếu thỏa mãn thì đó là nghiệm của phương trình đã cho. Cụ thể: Thế z 1 6i vào ta thấy thỏa mãn. Vậy chọn đáp án A. Cách 3: Giải theo Casio 580 VN: ➢ Tính nghiệm của phương trình bậc hai z2 2z 7 0 bằng chức năng MODE 5 3 w9221=p2=7== Vậy ta được hai nghiệm z1 1 6i và z2 1 6i 2 Ví dụ 2: Gọi z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình z z 1 0 . Giá trị của z1 z2 bằng : A. 0 B.1 C. 2 D. 4 Lời giải: Chọn C Tự luận: Ta có: b2 4ac 1 4 3 0 . 2
3. 1 3 Suy ra phương trình đã cho có 2 nghiệm phức: z i 1,2 2 2 2 2 1 3 z 1 1 2 2 2 2 1 3 z 1 2 2 2 z1 z2 1 1 2 Cách Casio ➢ Tính nghiệm của phương trình bậc hai z2 z 1 0 bằng chức năng MODE 5 3 w 5 3 1 = p 1 = 1 = = 1 3 1 3 ➢ Vậy ta được hai nghiệm z i và z i . Tính tổng Môđun của 1 2 2 2 2 2 hai số phức trên ta lại dùng chức năng SHIFT HYP w 2 q c a 1 R 2 $ + a s 3 R 2 $ b $ + q c a 1 R 2 $ p a s 3 R 2 $ b = z1 z2 2 ta thấy B là đáp án chính xác. 2 Ví dụ 3: Gọi z0 là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình z 6z 34 0 . Giá trị của z0 2 i là A. 17 B. 17C. 2 17 D. 37 Lời giải: Chọn A Ta có ' 25 5i 2 . Phương trình có hai nghiệm là z 3 5i ; z 3 5i Do đó, nghiệm phức có phần ảo dương là: z0 3 5i z0 2 i 1 4i 17 2 Ví dụ 4: Gọi z1 ; z2 là hai nghiệm của phương trình z 2z 10 0 . Tính giá trị biểu 2 2 thức A z1 z2 . A. 10 3 . B. 5 2 . C. 2 10 . D. 20 . Lời giải: Chọn D 2 z1 1 3i z 2z 10 0 . z2 1 3i 2 2 2 2 Do đó: A z1 z2 1 3i 1 3i 20 . 3
4. 6 4 Suy ra z z . Vậy P . 1 2 3 3 2 Ví dụ 5: Nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình z 2z 5 0 là: A. 1 2i . B. 1 2i . C. 1 2i . D. 1 2i . Lời giải: Chọn A 2 z 1 2i z 2z 5 0 . Vậy nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình là z 1 2i z 1 2i . 2 Ví dụ 6: Gọi z0 là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình z 6z 13 0 . Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức 1 z0 là A. N 2;2 . B. M 4;2 . C. P 4; 2 . D. Q 2; 2 . Lời giải: Chọn C 2 z 3 2i Ta có: z 6z 13 0 . z 3 2i Do z0 là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình đã cho nên z0 3 2i . Từ đó suy ra điểm biểu diễn số phức 1 z0 4 2i là điểm P 4; 2 . Dạng 2: Định lí Vi-ét và ứng dụng Phương pháp giải Ví dụ: Phương trình z2 4z 24 0 có Định lí Vi-ét: Cho phương trình: hai nghiệm phức z1 , z2 nên az2 bz c 0 ; a,b,c ¡ ; a 0 z1 z2 4 ; z1.z2 24 có hai nghiệm phức z1 , z2 thì Chú ý: Học sinh hay nhầm lẫn: b b z z z z 1 2 a 1 2 a c z .z 1 2 a Ví dụ mẫu 2 Ví dụ 1: Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2z 5 0 . Giá trị của 2 2 biểu thức z1 z2 bằng: A. 14B. –9C. –6D. 7 Lời giải: Chọn C 2 Gọi z1 , z2 là nghiệm của phương trình z 2z 5 0 z1 z2 2 Theo định lí Vi-ét ta có: z1.z2 5 2 2 2 2 Suy ra z1 z2 z1 z2 2z1z2 2 2.5 6 Ví dụ 2: Phương trình bậc hai nào sau đây có nghiệm là Chúng ta có thể giải 1 2i ? từng phương trình: 4
5. 2 A. z2 2z 3 0 B. z2 2z 5 0 +) z 2z 3 0 2 2 C. z2 2z 5 0 D. z2 2z 3 0 z 1 2i Lời giải: z 1 i 2 Chọn C z 1 i 2 Phương trình bậc hai có hai nghiệm phức là liên hợp của +) z2 2z 5 0 nhau nên phương trình bậc hai có nghiệm 1 2i thì nghiệm z 1 2 4i2 còn lại là 1 2i z 1 2i Khi đó tổng và tích của hai nghiệm lần lượt là 2; 5 z 1 2i Vậy số phức 1 2i là nghiệm của phương trình +) z2 2z 5 0 2 z 2z 5 0 2 z 1 4i2 z 1 2i z 1 2i +) z2 2z 3 0 z 1 2 2i2 z 1 i 2 z 1 i 2 2 Ví dụ 3: Kí hiệu z1 , z2 là nghiệm phức của phương trình 2z 4z 3 0 . Tính giá trị biểu thức P z1z2 i z1 z2 7 5 A. P 1 B. P C. P 3 D. P 2 2 Lời giải: Chọn D 2 Ta có z1 , z2 là hai nghiệm của phương trình 2z 4z 3 0 z z 2 1 2 Theo định lý Vi-ét ta có 3 z .z 1 2 2 2 3 3 3 2 5 Ta có P z1z2 i z1 z2 i 2 2i 2 2 2 2 2 Ví dụ 4: Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình Cách khác: 2 3 3 Ta có: z 4z 7 0 . Giá tị của P z1 z2 bằng z2 4z 7 0 A. –20B. 20 z 2 2 3i2 C. 14 7 D. 28 7 z1 2 3i Lời giải: z 2 3i Chọn A 2 z z 4 Do đó: Theo định lý Vi-ét ta có 1 2 3 3 z1 z2 z1.z2 7 3 3 3 3 2 2 2 3i 2 3i Suy ra z1 z2 z1 z2 z1 z1z2 z2 2 20 z z z z 3z z 1 2 1 2 1 2 4. 42 3.7 20 5
6. 2 Ví dụ 5: Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình 3z 2z 27 0 . Giá trị của z1 z2 z2 z1 bằng A. 2B. 6C. 3 6 D. 6 Lời giải: Chọn A 2 Áp dụng định lý Vi-ét, ta có z z và z .z 9 1 2 3 1 2 Mà z1 z2 z1 z2 z1.z2 9 3 2 Do đó z z z z z .3 z .3 3 z z 3. 2 1 2 2 1 1 2 1 2 3 Dạng 3: Phương trình quy về phương trình bậc hai Phương pháp giải Ví dụ: Giải phương trình: z4 z2 6 0 - Tự luận thuần túy trên tập số phức. + Biến đổi phương trình về dạng phương Lời giải: trình tích, trong đó mỗi nhân tử là phương 2 trình bậc nhất hoặc bậc hai. Đặt z t , ta có phương trình: + Dùng phương pháp đặt ẩn phụ. 2 t 3 t t 6 0 + Với phương trình trùng phương bậc t 2 bốn: az4 bz2 c 0 a 0 : Đặt t z2 . Với t 3 ta có z2 3 z 3 - Casio Với t 2 ta có z2 2 z i 2 + Thế các đáp án vào phương trình để loại suy. Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm + Với phương trình bậc ba: Dùng chức z 3 ; z i 2 năng giải phương trình bậc ba trên máy tính casio. Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Tổng môđun bốn nghiệm phức của phương trình 2z4 3z2 2 0 là A. 3 2 B. 5 2 C. 2 5 D. 2 3 Lời giải: Chọn A z 2 2 z 2 z 2 Ta có: 2z4 3z2 2 0 2 2 1 1 2 z i z .i 2 2 2 2 z i 2 Khi đó, tổng môđun bốn nghiệm phức của phương trình đã cho bằng 6
7. 2 2 2 2 i i 3 2 2 2 4 2 Ví dụ 2: Kí hiệu z1 , z2 , z3 , z4 là bốn nghiệm phức của phương trình z 4z 5 0 . 2 2 2 2 Giá trị của z1 z2 z3 z4 bằng A. 2 2 5 B. 12C. 0D. 2 5 Lời giải: Chọn B z 1 2 z 1 4 2 z 1 Ta có: z 4z 5 0 z2 5 z 5i z 5i Phương trình có bốn nghiệm lần lượt là: z1 1, z2 1, z3 i 5 , z4 i 5 2 2 2 2 2 2 2 2 Do đó: z1 z2 z3 z4 1 1 5 5 12 Ví dụ 3: Gọi z1 , z2 , z3 , z4 là các nghiệm phức của phương trình 2 2 2 2 2 2 2 z z 4 z z 12 0 . Giá trị của biểu thức S z1 z2 z3 z4 là A. S 18 B. S 16 C. S 17 D. S 15 Lời giải: Chọn C 2 Ta có: z2 z 4 z2 z 12 0 2 2 t 2 Đặt t z z , ta có t 4t 12 0 t 6 z1 1 z 2 2 z2 z 2 0 Suy ra: 1 i 23 2 z3 z z 6 0 2 1 i 23 z 4 2 2 2 2 2 2 2 1 23 1 23 Suy ra S 1 2 17 2 2 2 2 Ví dụ 4: Tập nghiệm của phương trình z4 2z2 8 0 là: A. 2; 2i . B. 2i; 2 . C. 2; 4i . D. 2; 4i    . Lời giải: 7
8. Chọn B Cách 1: Giải theo tự luận: 2 2 t 2 Đặt t z ta được t 2t 8 0 . t 4 z2 2 z i 2 Do đó phương trình đã cho tương đương với 2 z 4 z 2 Cách 2: Giải theo pp trắc nghiệm: Thử lần lượt từng đáp án ta thấy: + z 2 không thỏa mãn phương trình. Loại A. + z i 2 ; z 2 thỏa mãn phương trình. Chọn B. Ví dụ 5: Phương trình z3 8 có bao nhiêu nghiệm phức với phần ảo âm? A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . Lời giải: Chọn A. z 2 z 2 z3 8 z 2 z2 2z 4 0 Ta có 2 . z 2z 4 0 z 1 3i Suy ra nghiệm phức với phần ảo âm của phương trình đã cho là z 1 3i . Ví dụ 6: Tập nghiệm của phương trình z4 2z2 8 0 là: A. 2; 2i . B. 2i; 2 . C. 2; 4i . D. 2; 4i    . Lời giải: Chọn B Cách 1: Giải theo tự luận: 2 2 t 2 Đặt t z ta được t 2t 8 0 . t 4 z2 2 z i 2 Do đó phương trình đã cho tương đương với 2 z 4 z 2 Cách 2: Giải theo pp trắc nghiệm: Thử lần lượt từng đáp án ta thấy: + z 2 không thỏa mãn phương trình. Loại A. + z i 2 ; z 2 thỏa mãn phương trình. Chọn B. Ví dụ 7: Phương trình z3 8 có bao nhiêu nghiệm phức với phần ảo âm? A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . Lời giải: Chọn A. z 2 z 2 z3 8 z 2 z2 2z 4 0 Ta có 2 . z 2z 4 z 1 3i 8
9. Suy ra nghiệm phức với phần ảo âm của phương trình đã cho là z 1 3i . Dạng 4: Vận dụng máy tính cầm tay trong giải các bài toán liên quan tới phương trình bậc hai với hệ số thực. 2 Ví dụ 1: Gọi z1,z2 là hai nghiệm của phương trình z 2z 10 0 . Tính giá trị biểu 2 2 thức A z1 z2 A. 2 10 B. 20 C. 5 2 D.10 3 Lời giải: ❖ Cách Casio ▪ Tìm hai nghiệm của phương trình z2 2z 10 0 w 5 3 1 = 2 = 1 0 = = ▪ Tính tổng bình phương hai môđun bằng lệnh SHIFT HYP w 2 q c p 1 + 3 b $ d + q c p 1 p 3 b $ d = 2 2 Vậy A z1 z2 20 Đáp số chính xác là B 3 Ví dụ 2: Kí hiệu z1, z2 , z3 là nghiệm của phương trình z 27 0 . Tính tổng T z1 z2 z3 A.T 0 B.T 3 3 C.T 9 D.T 3 Lời giải: ❖ Cách Casio ▪ Tính nghiệm của phương trình z3 27 0 bằng chức năng MODE 5 4 w 5 4 1 = 0 = 0 = 2 7 = = 3 3 3 3 3 3 Vậy z 3, z i, z i 1 2 2 2 3 2 2 ▪ Tính tổng môđun T z1 z2 z3 w 5 4 1 = 0 = 0 = 2 7 = = = = w 1 w 2 q c p 3 $ + q c a 3 R 2 $ + a 3 s 3 R 2 $ b $ + q c a 3 R 2 $ p a 3 s 3 R 2 $ b = 9
10. Vậy T 9 Đáp số chính xác là C 4 2 Ví dụ 3: Gọi z1, z2 , z3 , z4 là bốn nghiệm phức của phương trình 2z 3z 2 0 . Tính tổng: T z1 z2 z3 z4 A. 5 B.5 2 C.3 2 D. 2 Lời giải: ❖ Cách Casio ▪ Đặt t z2 . Tìm nghiệm của phương trình 2t 2 3t 2 0 w 5 3 2 = p 3 = p 2 = = t 2 z2 2 Vậy 1 1 t z2 2 2 ▪ Với z2 2 z 2 1 i2 i Với z2 z2 z 2 2 2 ▪ Tính tổng môđun T z1 z2 z3 z4 w 2 q c s 2 $ $ + q c p s 2 $ $ + q c a b R s 2 $ $ $ + q c a p b R s 2 = Vậy T 3 2 Đáp số chính xác là C Ví dụ 4: Xét phương trình z3 1 trên tập số phức. Tập nghiệm của phương trình là : 1 3  1 3  1 3  A. S 1 B. S 1;  C. S 1; i D. S i 2  2 2  2 2  Lời giải: ❖ Cách Casio ▪ Giải phương trình bậc ba z3 1 0 với chức năng MODE 54 w 5 4 1 = 0 = 0 = p 1 = = 10
11. 1 3 1 3 ▪ Phương trình có 3 nghiệm x 1, x i, x i 1 2 2 2 3 2 2 Đáp số chính xác là C III. Những lỗi học sinh thường mắc (nếu có). 2 Ví dụ 1: Phương trình z 4z 24 0 có hai nghiệm phức z1 , z2 nên z1 z2 4 ; z1.z2 24 b Chú ý: Học sinh hay nhầm lẫn: z z 1 2 a Ví dụ 2: Số nghiệm của phương trình z2 2z 7 0 trên tập số phức là: A. 0 . B.1 . C. 2 . D. 3. Lời giải: Giải theo Casio 580: ➢ Tính nghiệm của phương trình bậc hai z2 2z 7 0 bằng chức năng MODE 5 3 w9221=p2=7== Vậy ta được hai nghiệm z1 1 6i và z2 1 6i Chú ý: Học sinh đọc đề không kĩ, vội vàng kết luận phương trình có 0 nghiệm. Ví dụ 3: Phương trình z3 8 có bao nhiêu nghiệm phức? A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . Lời giải: Chọn C. z 2 z 2 z3 8 z 2 z2 2z 4 0 Ta có 2 . z 2z 4 0 z 1 3i Suy ra nghiệm phức với phần ảo âm của phương trình đã cho là z 1 3i . Chú ý: Học sinh thường nhầm như sau: z3 8 z 2 Nên chọn đáp án A. IV. Hệ thống câu hỏi ôn tập: 1. Hệ thống câu hỏi ôn tập. 2 Câu 1. Gọi z1 ; z2 là hai nghiệm của phương trình z 2z 10 0 . Tính giá trị biểu 2 2 thức A z1 z2 . A. 10 3 . B. 5 2 . C. 2 10 . D. 20 . 11
12. 2 Câu 2. Nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình z 2z 5 0 là: A. 1 2i . B. 1 2i . C. 1 2i . D. 1 2i . 2 Câu 3. Gọi z0 là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình z 6z 13 0 . Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức 1 z0 là A. N 2;2 . B. M 4;2 . C. P 4; 2 . D. Q 2; 2 . 2 Câu 4. Gọi z0 là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình z 6z 13 .0 Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức 1 z0 là A. .M 2;2 B. . QC. 4; 2 . D.N . 4;2 P 2; 2 2 Câu 5. Cho z0 là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình z 4z 13 0 . Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn của số phức 1 z0 là A. P( 1; 3). B. M ( 1;3). C. N(3; 3). D. Q(3;3). 2 Câu 6. Gọi z0 là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình z 4z 13 0 . Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn của số phức 1 z0 là A. M 3; 3 . B. P 1;3 . C. Q 1;3 D. N 1; 3 . 2 Câu 7. Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình z z 3 0 . Khi đó z1 z2 bằng A. 3 . B. 2 3 . C. 6 . D. 3 . 2 Câu 8. Gọi x1 và x2 là hai nghiệm phức của phương trình z z 2 0. Khi đó z1 z2 bằng A. 2 . B. 4 . C. 2 2 . D. 2 . 2 Câu 9. Gọi z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình z z 3 0 . Khi đó z1 z2 bằng A. 3 . B. 2 3 C. 3 . D. 6 . 2 Câu 10. Gọi z0 là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình z - 2z + 5 = 0 . Môđun của số phức z0 + i bằng A. 2 . B. 2 . C. 10 . D. 10. 2 Câu 11. Kí hiệu z1 , z2 là hai nghiệm của phương trình z 4 0 . Gọi M , N lần lượt là điểm biểu diễn của z1 , z2 trên mặt phẳng tọa độ. Tính T OM ON với O là gốc tọa độ. A. T 8 B. 4 C. T 2 D. T 2 Câu 12. Phương trình nào dưới đây nhận hai số phức 1 2i và 1 2i là nghiệm. 2 2 2 2 A. z 2z 3 0 B. z 2z 3 0 C. z 2z 3 0 D. z 2z 3 0 12
13. 2 Câu 13. Kí hiệu z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình 3z z 1 0 . Tính P z1 z2 . 2 3 2 3 14 A. P B. P C. P D. P 3 3 3 3 2 Câu 14. Kí hiệu z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 6z 14 0 . Giá trị của 2 2 z1 z2 bằng A. 36 . B. 8 . C. 28 . D. 18. 2 Câu 15. Gọi z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 4z 7 0. Giá trị của 2 2 z1 z2 bằng A. 2. B. 8. C. 16. D. 10. 2 Câu 16. Kí hiệu z1; z2 là hai nghiệm của phương trình z z 1 0. Tính 2 2 P z1 z2 z1z2 . A. P 2 B. P 1 C. P 0 D. P 1 2 Câu 17. Kí hiệu z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 3z 5 0 . Giá trị của z1 z2 bằng: A. 10 B. 2 5 . C. 5 . D. 3 . 2 Câu 18. Kí hiệu z1 ,z 2 là hai nghiệm phức của phương trình z z 6 0 . Tính 1 1 P . z1 z2 1 1 1 A. B. C. 6 D. 6 6 12 2 Câu 19. Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình 4z 4z 3 0 . Giá trị của biểu thức z1 z2 bằng: A. 3 2 B. 2 3 C. 3 D. 3 2 2 2 Câu 20. Gọi z1, z2 là 2 nghiệm phức của phương trình z 4z 5 0 . Giá trị của z1 z2 bằng A. 16. B. 26. C. 6. D. 8. 2 Câu 21. Gọi z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 6z 10 0 . Giá trị của 2 2 z1 z2 bằng: A. 16. B. 56 . C. 20. D. 26 . 2 Câu 22. Gọi z1 ; z2 là hai nghiệm của phương trình z 2z 10 0 . Tính giá trị biểu 2 2 thức A z1 z2 . A. 10 3 . B. 5 2 . C. 2 10 . D. 20 . 13
14. 2 Câu 23. Ký hiệu z1 , z2 là nghiệm của phương trình z 2z 10 0 . Giá trị của z1 . z2 bằng 5 A. 5 . B. . C. 10. D. 20 . 2 2 Câu 24. Kí hiệu z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 3 . Giá trị của z1 z2 bằng A. 6 . B. 2 3 . C. 3 . D. 3 . 2 Câu 25. Gọi z1 , z2 là các nghiệm phức của phương trình z 8z 25 0 . Giá trị z1 z2 bằng A. 5 . B. 3 . C. 8 . D. 6 . Câu 26. Biết z là số phức có phần ảo âm và là nghiệm của phương trình z z2 6z 10 0 . Tính tổng phần thực và phẩn ảo của số phức w . z 7 1 2 4 A. . B. . C. . D. . 5 5 5 5 2 Câu 27. Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 4z 5 0 . Tính 1 1 2 2 w i z1 z2 z2 z1 . z1 z2 4 4 4 A. w 20i . B. w 20i . C. w 4 20i . D. w 20 i . 5 5 5 Câu 28. Với các số thực a,b biết phương trình z2 8az 64b 0 có nghiệm phức z0 8 16i . Tính môđun của số phức w a bi A. w 19 B. w 3 C. w 7 D. w 29 Câu 29. Phương trình z2 a.z b 0 , với a,b là các số thực nhận số phức 1 i là một nghiệm. Tính a b? . A. 2 . B. 4 . C. 4 . D. 0 . 2 Câu 30. Gọi z1 ,z2 là các nghiệm phức của phương trình z 4z 7 0 . Số phức z1.z2 z2 .z1 bằng A. 2 B. 10 C. 2i D. 10i 2 Câu 31. Gọi z1; z2 là hai nghiệm phức của phương trình 3z 2z 27 0 . Giá trị của z z z z 1 2 2 1 bằng: A. 2 B. 6 C. 3 6 D. 6 2 Câu 32. Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 4z 29 0 .Tính giá trị 14
15. 4 4 của biểu thức z1 z2 . A. 841. B. 1682. C. 1282. D. 58 . 2 Câu 33. Kí hiệu z1; z2 là hai nghiệm phức của phương trình 3z z 1 0 . Tính P z1 z2 . 14 2 3 2 3 A. P . B. P . C. P . D. P . 3 3 3 3 2 Câu 34. Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình 3z z 2 0 . Tính giá trị 2 2 biểu thức T z1 z2 . 2 8 4 11 A. T . B. T . C. T . D. T . 3 3 3 9 2. HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 2 Câu 1. Gọi z1 ; z2 là hai nghiệm của phương trình z 2z 10 0 . Tính giá trị biểu 2 2 thức A z1 z2 . A. 10 3 . B. 5 2 . C. 2 10 . D. 20 . Lời giải Chọn D 2 z1 1 3i z 2z 10 0 . z2 1 3i 2 2 2 2 Do đó: A z1 z2 1 3i 1 3i 20 . 6 4 Suy ra z z . Vậy P . 1 2 3 3 2 Câu 2. Nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình z 2z 5 0 là: A. 1 2i . B. 1 2i . C. 1 2i . D. 1 2i . Lời giải Chọn A 2 z 1 2i z 2z 5 0 . Vậy nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình là z 1 2i z 1 2i . 2 Câu 3. Gọi z0 là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình z 6z 13 0 . Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức 1 z0 là A. N 2;2 . B. M 4;2 . C. P 4; 2 . D. Q 2; 2 . Lời giải Chọn C 2 z 3 2i Ta có: z 6z 13 0 . z 3 2i Do z0 là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình đã cho nên z0 3 2i . 15
16. Từ đó suy ra điểm biểu diễn số phức 1 z0 4 2i là điểm P 4; 2 . 2 Câu 4. Gọi z0 là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình z 6z 13 .0 Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức 1 z0 là A. M 2;2 .B. .C.Q 4; 2 . D. N 4;2 P 2; 2 . Lời giải Chọn D z 3 2i TM Ta có z2 6z 13 0 . z 3 2i L Suy ra 1 z0 1 3 2i 2 2i . Điểm biểu diễn số phức 1 z0 là P 2; 2 . 2 Câu 5. Cho z0 là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình z 4z 13 0 . Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn của số phức 1 z0 là A. P( 1; 3). B. M ( 1;3). C. N(3; 3). D. Q(3;3). Lời giải Chọn C 2 z 2 3i Ta có z 4z 13 0 . Do z0 có phần ảo dương nên suy ra z0 2 3i z 2 3i Khi đó 1 z0 1 2 3i 3 3i . Vậy điểm biểu diễn số phức 1 z0 là N 3; 3 2 Câu 6. Gọi z0 là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình z 4z 13 0 . Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn của số phức 1 z0 là A. M 3; 3 .B. P 1;3 .C. Q 1;3 D. N 1; 3 . Lời giải Chọn D 2 Ta có z 4z 13 0 z 2 3i . Vậy z0 2 3i 1 z0 1 3i . Điểm biểu diễn của 1 z0 trên mặt phẳng tọa độ là: N 1; 3 . 2 Câu 7. Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình z z 3 0 . Khi đó z1 z2 bằng A. 3 . B. 2 3 . C. 6 . D. 3 . Lời giải Chọn B 1 11 z i 2 2 2 Giải phương trình z z 3 0 . 1 11 z i 2 2 16
17. 1 11 1 11 Khi đó: z z i i 2 3 . 1 2 2 2 2 2 2 Câu 8. Gọi x1 và x2 là hai nghiệm phức của phương trình z z 2 0. Khi đó z1 z2 bằng A. 2 .B. 4 .C. 2 2 .D. 2 . Lời giải Chọn C 1 i 7 z 2 2 Ta có z z 2 0 1 i 7 z 2 1 i 7 1 i 7 Không mất tính tổng quát giả sử z và z 1 2 2 2 2 2 2 2 1 7 1 7 Khi đó z z 2 2 2 2 . 1 2 2 2 2 2 2 Câu 9. Gọi z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình z z 3 0 . Khi đó z1 z2 bằng A. 3 .B. 2 3 C. 3 .D. 6 . Lời giải Chọn B 1 11 Ta có z2 z 3 0 z i . Suy ra z z 2 3 2 2 1 2 2 Câu 10. Gọi z0 là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình z - 2z + 5 = 0 . Môđun của số phức z0 + i bằng A. 2 .B. 2 .C. 10 .D. 10. Lời giải Chọn B 2 2 2 2 z 1 2i z 1 2i Ta có: z 2z 5 0 z 2z 1 4 z 1 4i . z 1 2 z 1 2i Vì z0 là nghiệm phức có phần ảo âm nên z0 1 2i z0 i 1 2i i 1 i . 2 2 Suy ra: z0 i 1 i 1 1 2 . 2 Câu 11. Kí hiệu z1 , z2 là hai nghiệm của phương trình z 4 0 . Gọi M , N lần lượt là điểm biểu diễn của z1 , z2 trên mặt phẳng tọa độ. Tính T OM ON với O là gốc tọa độ. A. T 8 B. 4 C. T 2 D. T 2 Lời giải Chọn B 17
18. 2 z1 2i Ta có: z 4 0 . z2 2i Suy ra M 0; 2 ; N 0;2 nên T OM ON 2 2 22 4 . Câu 12. Phương trình nào dưới đây nhận hai số phức 1 2i và 1 2i là nghiệm. A. z2 2z 3 0 B. z2 2z 3 0 C. z2 2z 3 0 D. z2 2z 3 0 Lời giải Chọn B z1 z2 2 Theo định lý Viet ta có , do đó z1 ,z2 là hai nghiệm của phương trình z1.z2 3 z2 2z 3 0 2 Câu 13. Kí hiệu z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình 3z z 1 0 . Tính P z1 z2 . 2 3 2 3 14 A. P B. P C. P D. P 3 3 3 3 Lời giải Chọn C Xét phương trình 3z2 z 1 0 có 1 2 4.3.1 11 0 . Phương trình đã cho có 2 nghiệm phức phân biệt 1 i 11 1 11 1 i 11 1 11 z i; z i 1 6 6 6 2 6 6 6 Suy ra 2 2 2 2 1 11 1 11 1 11 1 11 3 3 P z z i i 1 2 6 6 6 6 6 6 6 6 3 3 2 3 3 2 Câu 14. Kí hiệu z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 6z 14 0 . Giá 2 2 trị của z1 z2 bằng A. 36 .B. 8 .C. 28 .D. 18. Lời giải Chọn B 2 2 2 z 3 5i 2 2 Ta có : z 6z 14 0 z1 z2 3 5i 3 5i 8. z 3 5i 2 Câu 15. Gọi z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 4z 7 0. Giá trị 2 2 của z1 z2 bằng Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại 18
19. A. 2.B. 8.C. 16.D. 10. Lời giải Chọn A 2 Ta có 4 7 3 3i . Do đó phương trình có hai nghiệm phức là z1 2 3i, z2 2 3i. 2 2 2 2 Suy ra z1 z2 2 3i 2 3i 4 4 3i 3 4 4 3i 3 2. 2 Câu 16. Kí hiệu z1; z2 là hai nghiệm của phương trình z z 1 0. Tính 2 2 P z1 z2 z1z2 . A. P 2 B. P 1 C. P 0 D. P 1 Lời giải Chọn C Cách 1 1 3 z i 2 2 2 z z 1 0 1 3 z i 2 2 2 2 1 3 1 3 1 3 1 3 P z2 z2 z z i i i i 0 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Cách 2: Theo định lí Vi-et: z1 z2 1; z1.z2 1. 2 2 2 2 Khi đó P z1 z2 z1z2 z1 z2 2z1z2 z1z2 1 1 0 . 2 Câu 17. Kí hiệu z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 3z 5 0 . Giá trị của z1 z2 bằng: A. 10 B. 2 5 .C. 5 .D. 3 . Lời giải Chọn B 3 11 z1 i 2 2 2 Xét phương trình z 3z 5 0 ta có hai nghiệm là: 3 11 z i 2 2 2 z1 z2 5 z1 z2 2 5 . 2 Câu 18. Kí hiệu z1 ,z 2 là hai nghiệm phức của phương trình z z 6 0 . Tính 1 1 P . z1 z2 1 1 1 A. B. C. 6 D. 6 6 12 Lời giải Chọn A 19
20. z z 1 1 1 z z 1 Theo định lí Vi-et, ta có 1 2 nên P 1 2 z1z2 6 z1 z2 z1.z2 6 2 Câu 19. Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình 4z 4z 3 0 . Giá trị của biểu thức z1 z2 bằng: A. 3 2 B. 2 3 C. 3 D. 3 Lời giải Chọn D 1 2 z1 i 2 2 Xét phương trình 4z2 4z 3 0 ta có hai nghiệm là: 1 2 z i 2 2 2 3 z z z z 3 1 2 2 1 2 2 Câu 20. Gọi z1, z2 là 2 nghiệm phức của phương trình z 4z 5 0 . Giá trị của 2 2 z1 z2 bằng A. 16.B. 26.C. 6.D. 8. Lời giải Chọn C V' b'2 ac 4 5 1 Phương trình có 2 nghiệm phức z1 2 i, z2 2 i 2 2 2 2 2 2 2 nên z1 z2 2 i 2 i 4 4i i 4 4i i 8 2i 8 2 6 2 Câu 21. Gọi z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 6z 10 0 . Giá trị 2 2 của z1 z2 bằng: A. 16. B. 56 . C. 20. D. 26 . Lời giải Chọn A z1 z2 6 Áp dụng định lý Viet áp dụng cho phương trình trên ta được: . z1z2 10 2 2 2 Khi đó ta có z1 z2 z1 z2 2z1z2 36 20 16. 2 Câu 22. Gọi z1 ; z2 là hai nghiệm của phương trình z 2z 10 0 . Tính giá trị 2 2 biểu thức A z1 z2 . A. 10 3 .B. 5 2 .C. 2 10 .D. 20 . Lời giải Chọn D 2 z1 1 3i z 2z 10 0 . z2 1 3i 2 2 2 2 Do đó: A z1 z2 1 3i 1 3i 20 . 20
21. 2 Câu 23. Ký hiệu z1 , z2 là nghiệm của phương trình z 2z 10 0 . Giá trị của z1 . z2 bằng 5 A. 5 .B. .C. 10.D. 20 . 2 Lời giải Chọn C 2 z 1 3i Phương trình z 2z 10 0 . Vậy z1 1 3i , z2 1 3i . z 1 3i Suy ra z1 . z2 10. 10 10 . 2 Câu 24. Kí hiệu z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 3 . Giá trị của z1 z2 bằng A. 6 .B. 2 3 .C. 3 .D. 3 . Lời giải Chọn B 2 z i 3 Ta có: z 3 z1 z2 i 3 i 3 2 3 . z i 3 2 Câu 25. Gọi z1 , z2 là các nghiệm phức của phương trình z 8z 25 0 . Giá trị z1 z2 bằng A. 5 .B. 3 .C. 8 . D. 6 . Lời giải Chọn D 2 z1 4 3i Phương trình z 8z 25 0 . z2 4 3i Suy ra: z1 z2 6i 6. Câu 26. Biết z là số phức có phần ảo âm và là nghiệm của phương trình z z2 6z 10 0 . Tính tổng phần thực và phẩn ảo của số phức w . z 7 1 2 4 A. .B. . C. .D. . 5 5 5 5 Lời giải Chọn B Ta có: z2 6z 10 0 z 3 i . Vì z là số phức có phần ảo âm nên z 3 i z 3 i 21
22. z 3 i 4 3 Suy ra w i z 3 i 5 5 4 3 1 Tổng phần thực và phần ảo: . 5 5 5 2 Câu 27. Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 4z 5 0 . Tính 1 1 2 2 w i z1 z2 z2 z1 . z1 z2 4 4 4 A. w 20i .B. w 20i .C. w 4 20i .D. w 20 i . 5 5 5 Lời giải Chọn B z1 z2 4 Theo hệ thức Vi-et, ta có . z1z2 5 z2 z1 4 Suy ra w i z1 z2 z1z2 20i . z1z2 5 Câu 28. Với các số thực a,b biết phương trình z2 8az 64b 0 có nghiệm phức z0 8 16i . Tính môđun của số phức w a bi A. w 19 B. w 3 C. w 7 D. w 29 Lời giải Chọn D z1 z2 8a 16 a 2 Theo Viet ta có . Vậy w 29 . z1.z2 64b 64.5 b 5 Câu 29. Phương trình z2 a.z b 0 , với a,b là các số thực nhận số phức 1 i là một nghiệm. Tính a b? . A. 2 .B. 4 .C. 4 .D. 0 . Lời giải Chọn B Do số phức 1 i là một nghiệm của phương trình z2 a.z b 0 . 2 a b 0 a 2 Nên ta có: 1 i a 1 i b 0 a b a 2 i 0 . a 2 0 b 2 Vậy: a b 4 . 2 Câu 30. Gọi z1 ,z2 là các nghiệm phức của phương trình z 4z 7 0 . Số phức z1.z2 z2 .z1 bằng A. 2 B. 10 C. 2i D. 10i 22
23. Lời giải Chọn A z 2 3i 2 2 Ta có 1 z1.z2 z2 .z1 2 3i 2 3i 2 z2 2 3i 2 Câu 31. Gọi z1; z2 là hai nghiệm phức của phương trình 3z 2z 27 0 . Giá trị z z z z của 1 2 2 1 bằng: A. 2 B. 6 C. 3 6 D. 6 Lờigiải Chọn A 3z2 2z 27 0 1 80i 1 80i z ; z vậy z z z z =2 1 3 2 3 1 2 2 1 2 Câu 32. Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 4z 29 0 .Tính 4 4 giá trị của biểu thức z1 z2 . A. 841.B. 1682. C. 1282.D. 58 . Lời giải Chọn B 2 2 2 2 z1 2 5i Phương trình z 4z 29 0 z 2 25 z 2 5i . z2 2 5i 2 2 Suy ra z1 z2 2 5 29 . 4 4 4 4 Vậy z1 z2 29 29 1682 . 2 Câu 33. Kí hiệu z1; z2 là hai nghiệm phức của phương trình 3z z 1 0 . Tính P z1 z2 . 14 2 3 2 3 A. P . B. P . C. P . D. P . 3 3 3 3 Lời giải Chọn D Cách 1: 2 2 1 1 1 2 11 Ta có 3z z 1 0 z z 0 z 3 3 6 36 1 11 z i 1 2 11 2 6 6 z i . 6 36 1 11 z i 6 6 23
24. 2 2 2 2 1 11 1 11 2 3 Khi đó P . 6 6 6 6 3 Cách 2: Theo tính chất phương trình bậc 2 với hệ số thực, ta có z1; z2 là hai số phức liên hợp 1 3 nên z .z z2 z2 . Mà z .z suy ra z z . 1 2 1 2 1 2 3 1 2 3 2 3 Vậy P z z . 1 2 3 2 Câu 34. Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình 3z z 2 0 . Tính giá 2 2 trị biểu thức T z1 z2 . 2 8 4 11 A. T . B. T . C. T .D. T . 3 3 3 9 Lời giải Chọn C 1 23i z1 2 2 6 Phương trình 3z z 2 0 có ( 1) 4.3.2 23 . 1 23i z 2 6 2 2 2 2 1 23 2 2 2 4 z z T 2 1 6 6 3 3 3 3 24