Ôn tập TN THPT môn Toán - Chuyên đề: Phương trình đường thẳng

76 trang Nguyệt Quế 07/01/2026 140

Download

Bạn đang xem 30 trang mẫu của tài liệu "Ôn tập TN THPT môn Toán - Chuyên đề: Phương trình đường thẳng", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên.

File đính kèm:

on_tap_tn_thpt_mon_toan_chuyen_de_phuong_trinh_duong_thang.docx

Nội dung tài liệu: Ôn tập TN THPT môn Toán - Chuyên đề: Phương trình đường thẳng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CHUYÊN ĐỀ ÔN TẬP BẮC NINH KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 ¯¯¯¯¯¯¯¯¯ Môn: Toán ¯¯¯¯¯¯¯ TÊN CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Người biên soạn: Nguyễn Thị Thanh Trần Thị Thảo Nguyễn thị Thúy Ngần Nguyễn Thị Thu Đơn vị công tác: Trường THPT Nguyễn Văn Cừ I. HỆ THỐNG KIẾN THỨC LIÊN QUAN 1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng Cho đường thẳng . Vectơ u 0 gọi là véc tơ chỉ phương của đường thẳng nếu giá của nó song song hoặc trùng với . Chú ý: k.u * Nếu u là VTCP của thì k.u k 0 cũng là VTCP của . u  * Nếu đường thẳng đi qua hai điểm A, B thì AB là một VTCP.   * Ta chứng minh được nếu hai véc tơ không cùng phương a, b có giá cùng vuông   góc với đường thẳng thì a, b là một véc tơ chỉ phương của đường thẳng . 2. Phương trình tham số của đường thẳng Cho đường thẳng đi qua M x0 ; y0 ; z0 và có VTCP u a;b;c . Khi đó phương trình x x0 at đường thẳng có dạng: y y0 bt t ¡ 1 . z z0 ct 1 được gọi là phương trình tham số của đường thẳng , t được gọi là tham số. Chú ý: Cho đường thẳng có phương trình 1 ● u a;b;c là một VTCP của . ● Điểm M , suy ra M x0 at; y0 bt; z0 ct . 3. Phương trình chính tắc 1
Cho đường thẳng đi qua M x0 ; y0 ; z0 và có VTCP u a;b;c với abc 0 . Khi đó x x y y z z phương trình đường thẳng có dạng: 0 0 0 2 . a b c 2 được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng . 4. Hình chiếu của điểm trên đường thẳng Định nghĩa 1: Trong không gian, cho điểm M và đường thẳng d . - Nếu M d thì hình chiếu của M trên đường thẳng d là chính nó. - Nếu M d thì hình chiếu của M trên đường thẳng d là điểm H d sao cho MH  d Định nghĩa 2: Trong không gian, cho điểm M và mặt phẳng (P) . - Nếu M (P) thì hình chiếu của M trên mặt phẳng (P) là chính nó. - Nếu M (P) thì hình chiếu của M trên mặt phẳng (P) là điểm H (P) sao cho MH  (P) . - 5. Khoảng cách a) Khoảng cách từ giữa đường thẳng và mặt phẳng song song Cho đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) song song với nhau. Khoảng cách giữa đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên đường thẳng (d) đến mặt phẳng (P) . 2
b) Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Khoảng cách từ điểm M đến một đường thẳng d qua điểm M có véctơ chỉ phương  M M ,u d ud được xác định bởi công thức d(M ,d)  ud c) Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng cách từ một điểm thuộc đường thẳng này đến đường thẳng kia. d) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: d đi qua điểm M và có véctơ chỉ phương u và d đi qua điểm M và có véctơ chỉ phương u là  u,u .MM ' d( d,d )  u,u  6. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường thẳng, đường thẳng và mặt phẳng, đường thẳng và mặt cầu. a) Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng:   1 u 1 M ' a M  M 0 0 u 0  1  M '  b  0 M0 u u'  u' 1 2 u' 2 2 ' ' M0 M0 M0 2 3
x x y y z z Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng d : 0 0 0 đi qua 1 a b c  , , , x x0 y y0 z z0 , , , M1 x0 ; y0 ; z0 có VTCP u1 a;b;c và d2 : đi qua M 2 x0 ; y0 ; z0 a ' b' c '  có VTCP u2 a ';b';c ' . Để xét vị trị tương đối của d1 và d2 , ta sử dụng hai phương pháp sau: Phương pháp hình học:   a1 a2 a3     u Pu • d  d u ,u u , M M 0 hoặc 1 2 b b b . 1 2 1 2 1 1 2 1 2 3 M1 d2 M1 d2     a1 a2 a3 u1,u2 0 u1 Pu2 • d1 Pd2   hoặc b1 b2 b3 . M d u1, M1M 2 0 1 2 M1 d2   u ,u 0 1 2 • d1 cắt d2    . u ,u .M M 0 1 2 1 2    • d chéo d u ,u .M M 0. 1 2 1 2 1 2 Phương pháp đại số: x a1t x a1t Dựa vào số nghiệm của hệ phương trình các đường thẳng. y a2t y a2t . z a3t z a3t b) Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng  M a ( ) ( )   a n   n n M M  ( ) a a a a Trong không gian Oxyz , cho  Mặt phẳng : Ax By Cz D 0 có VTPT n A; B;C và đường thẳng x x0 at  d : y y0 bt đi qua M x0 ; y0 ; z0 , có VTCP ud a;b;c . z z0 ct Để xét vị trị tương đối của d và , ta sử dụng hai phương pháp sau: 4
Phương pháp hình học:   ud  n •Nếu thì d  . M x0 ; y0 ; z0   ud  n •Nếu thì d P . M x0 ; y0 ; z0   •Nếu ud không cùng phương với n thì d cắt .     • d  ud và n cùng phương ud k.n với k 0 . Phương pháp đại số: x xo at 1 y yo bt 2 Xét hệ phương trình . z zo ct 3 Ax By Cz D 0 4 Thay 1 , 2 , 3 vào 4 , ta được A xo at B yo bt C zo ct D 0 Aa Bb Cc t D Ax0 By0 Cz0 . * Phương trình * là phương trình bậc nhất, ẩn t . Ta có •Nếu phương trình * vô nghiệm t thì d P . •Nếu phương trình * có nghiệm t duy nhất thì d cắt . •Nếu phương trình * có vô số nghiệm t thì d  . Chú ý: Để tìm điểm chung của đường thẳng và mặt phẳng ta giải phương trình bậc nhất theo t , sau đó thay giá trị của t vào phương trình tham số của d để tìm x; y; z . c) Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu x x0 at Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng và mặt cầu d : y y0 bt , t ¡ z z0 ct và S : x a 2 y b 2 z c 2 R2 . Để xét vị trị tương đối của d và , ta sử dụng hai phương pháp sau: Phương pháp hình học: •Bước 1. Tính khoảng cách từ tâm I của S đến d . 5
•Bước 2. + Nếu d I,d  R thì d không cắt S . + Nếu d I,d  R thì d tiếp xúc S . + Nếu d I,d  R thì d cắt S . Phương pháp đại số: • Bước 1. Thay x, y, z từ phương trình tham số của d vào phương trình S , khi đó ta được phương trình bậc hai theo t . • Bước 2. + Nếu phương trình bậc hai vô nghiệm t thì d không cắt S . + Nếu phương trình bậc hai có một nghiệm t thì d tiếp xúc S . + Nếu phương trình bậc hai có hai nghiệm t thì d cắt S . Chú ý : Để tìm điểm chung của đường thẳng và mặt cầu ta giải phương trình bậc hai theo t , sau đó thay giá trị của t vào phương trình tham số của d để tìm x; y; z . 7. Góc a) Góc giữa hai véctơ Cho hai véctơ a (a1;a2 ;a3 ) và b (b1;b2 ;b3 ). Khi đó góc giữa hai véctơ a và b là góc nhọn hoặc tù. a.b a b a b a b cos(a;b) 1 1 2 2 3 3 với 0 180. 2 2 2 2 2 2 a . b a1 a2 a3 . b1 b2 b3 b) Góc giữa hai đường thẳng   Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng d1, d2 lần lượt có các VTPT là u1, u2 .   Góc giữa d1 và d2 bằng hoặc bù với góc giữa u1 và u2 .     u1.u2 cos d d Tức là: 1, 2 cos u1.u2   . u1 . u2 c) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng 6
  Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d có VTCP ud và mặt phẳng có VTPT n . Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng d với hình chiếu d ' của nó trên .     ud .n sin Tức là: d, cos ud ,n   . ud . n II CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Vấn đề 1: Viết phương trình đường thẳng trong không gian Dạng 1. Viết phương trình đường thẳng trong trường hợp véctơ chỉ phương của đường thẳng được tìm dựa vào định nghĩa. 1. Phương pháp. Để tìm véc tơ chỉ phương của đường thẳng dựa vào định nghĩa, ta tìm một véc tơ có giá song song hoặc trùng với đường thẳng, véc tơ đó chính là véc tơ chỉ phương của đường thẳng. Chú ý:  + Đường thẳng d đi qua A và B thì AB là một véc tơ chỉ phương của đường thẳng d  + Đường thẳng d song song với đường thẳng thì u là một véc tơ chỉ phương của đường thẳng d + Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) thì n(P) là một véc tơ chỉ phương của đường thẳng d 7
2. Ví dụ minh họa Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1;1;2 , B 2; 1;0 . Viết phương trình đường thẳng AB ? x 2 k x 1 3t x y 3 z 4 x y 1 z 2 A. y 1 2k . B. y 1 2t . C. . D. . 1 2 2 1 2 2 z 2k z 2 2t Lời giải Chọn A  Ta có AB 1; 2; 2 là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB .  Đường thẳng AB đi qua điểm B 2; 1;0 và nhận AB 1; 2; 2 là một vectơ chỉ phương x 2 k có phương trình tham số là y 1 2k ,k ¡ . z 2k Câu 2: Trong không gian tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình chính x 1 2t tắc của đường thẳng d : y 3t ? z 2 t x 1 y z 2 x 1 y z 2 x 1 y z 2 x 1 y z 2 A. B. C. D. 2 3 1 1 3 2 2 3 2 2 3 1 Lời giải Chọn D x 1 2t Do đường thẳng d : y 3t đi qua điểm M (1;0; 2) và có véc tơ chỉ phương u(2;3;1) nên z 2 t x 1 y z 2 có phương trình chính tắc là . 2 3 1 Câu 3: Trong không gian Oxyz , đường thẳng đi qua điểm M 1;2; 3 và nhận vectơ u 2; 1;1 làm vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc là 8
x 2 y 1 z 1 x 1 y 2 z 3 A. . B. . 1 2 3 2 1 1 x 1 y 2 z 3 x 2 y 1 z 1 C. . D. . 2 1 1 1 2 3 Lời giải Chọn C + Kiến thức cần nhớ: Đường thẳng qua điểm M x0 ; y0 ; z0 và nhận vectơ u a;b;c với x x y y z z abc 0 làm vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc là 0 0 0 . a b c + Do đó đường thẳng đi qua điểm M 1;2; 3 và nhận vectơ u 2; 1;1 làm vectơ chỉ x 1 y 2 z 3 phương có phương trình chính tắc là . 2 1 1 Câu 4: Trong không gian Oxyz , phương trình của đường thẳng đi qua điểm A 0;3; 1 và vuông góc với mặt phẳng x 3y 4z 2 0 là x 1 y z 3 x y 3 z 1 x y 3 z 1 x y 3 z 1 A. . B. .C. . D. . 1 3 4 1 3 4 1 3 4 1 3 4 Lời giải Chọn A Ta có VTPT của mặt phẳng x 3y 4z 2 0 là n 1; 3;4 1;3; 4 . Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng x 3y 4z 2 0 nhận một vectơ u 1; 3;4 hay  u 1;3; 4 làm vectơ chỉ phương và đi qua điểm A 0;3; 1 nên có phương trình x 1 y z 3 . 1 3 4 Câu 5: Trong không gian Oxyz , phương trình của trục z Oz là x t x 0 x t x 0 A. y t . B. y t . C. y 0 . D. y 0 . z 0 z 0 z 0 z t Lời giải Chọn D Trục z Oz đi qua điểm O 0;0;0 và có một VTCP là k 0;0;1 . 9
x 0 Suy ra phương trình của trục z Oz là y 0. z t Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A 0; 1;3 , B 1;0;1 , C 1;1;2 . Phương trình nào dưới đây là phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua A và song song với đường thẳng BC ? x 2t x y 1 z 3 x 1 y z 1 A. y 1 t . B. x 2y z 0 .C. . D. . 2 1 1 2 1 1 z 3 t Lời giải Chọn C  Đường thẳng đi qua A và song song BC nhận BC 2;1;1 làm vecto chỉ phương x y 1 z 3 Phương trình đường thẳng cần tìm: . 2 1 1 Chú ý:Đáp án A không nhận được, vì đó là phương trình tham số của đường thẳng cần tìm, chứ không phải phương trình chính tắc. Dạng 2. Viết phương trình đường thẳng trong trường hợp véctơ chỉ phương của đường thẳng được tìm dựa vào tích có hướng. 1.Phương pháp. Để tìm vec tơ chỉ phươngcủa đường thẳng dựa vào tích có hướng, ta tìm hai vec tơ không cùng phương, có giá vuông góc với đường thẳng. Khi đó, tích có hướng của hai véc tơ trên là một véc tơ chỉ phương của đường thẳng d. Chú ý: + Đường thẳng d vuông góc hai đường thẳng d , d cho trước, suy ra VTCP :u [u ,u ] 1 2 d d1 d2 + Đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) cho trước, suy ra VTCP :ud [n(P) ,n(Q) ]. + Đường thẳng d song song với hai mặt phẳng (P) và (Q) cho trước, suy ra VTCP :ud [n(P) ,n(Q) ]. + Đường thẳng d vuông góc đường d và song song mặt (P) cho trước, suy ra VTCP :ud [ud ,nP ] . 10
+ Đường thẳng d nằm trong mặt (P) , song song với mặt phẳng (Q) cho trước, suy ra VTCP :ud [ud ,nP ] . 2. Ví dụ minh họa Câu 1.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm A 1; 2;3 và hai mặt phẳng P : x y z 1 0 , Q : x y z 2 0 . Phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng đi qua A , song song với P và Q ? x 1 t x 1 x 1 2t x 1 t A. y 2 B. y 2 C. y 2 D. y 2 z 3 t z 3 2t z 3 2t z 3 t Lời giải Chọn D n 1;1;1 P Ta có và n ,n 2;0; 2 2 1;0; 1 . n 1; 1;1 P Q Q Vì đường thẳng d song song với hai mặt phẳng, nên nhận véc tơ 1;0; 1 làm véc tơ chỉ phương. Ma d đi qua A 1; 2;3 nên ta chọn đáp án D. Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng x t x y 1 z 2 d1 : y 1 4t và d2 : . 2 1 5 z 6 6t Trong các phương trình sau đây, phương trình nào là phương trình của đường thẳng d3 qua M 1; 1;2 và vuông góc với cả d1, d2. x 4 y 1 z 3 x 1 y 1 z 2 A. B. 5 2 7 14 17 9 x 1 y 1 z 2 x 1 y 1 z 2 C. D. d : 14 9 3 3 7 14 9 Lời giải. Đường d1 có VTCP a 1; 4;6 ; d2 có VTCP b 2;1; 5 . Vì d vuông góc với d ; d nên có véc-tơ chỉ phương u a,b 14;17;9 . Chọn B. 3 1 2 11
x 1 t Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : y 2t , điểm M 1;2;1 z 1 và mặt phẳng P : 2x y 2z 1 0. Đường thẳng đi qua M , song song với P và vuông góc với d có phương trình: x 1 y 2 z 1 x 1 y 2 z 1 A. : B. : 4 2 3 4 2 3 x 1 y 2 z 1 x 1 y 2 z 1 C. : D. : 4 2 3 4 2 3 Lời giải  Mặt phẳng P có vectơ pháp tuyến nP 2;1; 2 .  Đường thẳng d có vectơ chỉ phương ud 1;2;0 . Đường thẳng song song với P và vuông góc với d nên có VTCP    u n ,u 4; 2;3 . P d x 1 y 2 z 1 Vậy phương trình đường thẳng : . Chọn D. 4 2 3 Câu 4. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai mặt phẳng P : x 2y z 1 0 , Q : x y 2z 2 0 . Phương trình nào dưới đây là phương trình giao tuyến của P và Q ? x 1 t x 1 t x 1 5t x 1 5t A. y 1 t B. y 1 2t C. y t D. y 1 t z 2t z t z 3 3t z 3t Lời giải Gọi d làgiao tuyến của P và Q n 1;2;1  P Ta có và ud n ,n 5; 1; 3 . n 1; 1;2 P Q Q Cho z 0 M 1; 1;0 thuộc đường thẳng d . Chọn đáp án D. Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng P : x y 2z 1 0 , Q : 2x y 3z 3 0 . Đường thẳng đi qua M 0; 4;1 nằm trong mặt phẳng P và song song với mặt phẳng (Q) có phương trình: 12
x y 4 z 1 x y 4 z 1 A. : B. : 1 1 3 1 1 3 x y 4 z 1 x y 4 z 1 C. : D. : 1 1 3 1 1 3 Lời giải n 1;1; 2  P Ta có và ud n ,n 1; 1;3 . Suy ra đáp án A n 2; 1;3 P Q Q Vấn đề 2: Điểm và đường thẳng Dạng 1: Điểm thuộc đường thẳng 1. Phương pháp giải: Để kiểm tra điểm M có thuộc đường thẳng d hay không, ta làm như sau: x x0 at • Phương trình tham số của d : y y0 bt . z z0 ct xM x0 at Điểm M (xM ; yM ; zM ) thuộc đường thẳng d t ¡ : yM y0 bt zM zo ct x x y y z z • Phương trình chính tắc của d : 0 0 0 a b c x x y y z z Điểm M d M 0 M 0 M 0 a b c 2. Ví dụ minh họa Câu 1. (Đề Minh Họa 2020 Lần1) Trong không gian Oxyz , điểm nào dưới đây x 1 y 2 z 1 thuộc đường thẳng d : ? 1 3 3 A. P 1;2;1 . B.Q 1; 2; 1 . C. N 1;3;2 . D. P 1;2;1 . Lờigiải ChọnA Thay tọa độ các điểm vào phương trình đường thẳng ta thấy điểm P 1;2;1 thỏa mãn 1 1 2 2 1 1 0 . Vậy điểm P 1;2;1 thuộc đường thẳng d . 1 3 3 13
Câu 2. (Chuyên Nguyễn Tất Thành Yên Bái 2019) Trong không gian với hệ tọa x 1 y 2 z 3 độ Oxyz , cho đường thẳng d có phương trình . Điểm nào sau đây 3 2 4 không thuộc đường thẳng d ? A. P 7;2;1 .B. Q 2; 4;7 .C. N 4;0; 1 .D. M 1; 2;3 . Lời giải Chọn A 7 1 2 2 1 3 Thay tọa độ điểm P 7;2;1 vào phương trình đường thẳng d ta có 3 2 4 nên điểm P 7;2;1 d . Câu 3. (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian Oxyz , điểm nào dưới x 1 t đây thuộc đường thẳng d : y 5 t ? z 2 3t A. N 1;5;2 B.Q 1;1;3 C. M 1;1;3 D. P 1;2;5 Lờigiải ChọnA Cách 1. Dựa vào lý thuyết: Nếu d qua M x0 ; y0 ;z0 , có véc tơ chỉ phương u a;b;c x x0 at thì phương trình đường thẳng d là: y y0 bt , ta chọn đáp án A. z z0 ct Cách 2. Thay tọa độ điểm N vào phương trình đường thẳng d , ta có: 1 1 t 5 5 t t 0 . Chọn đáp án A. 2 2 3t Câu 4. (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Trong không gian với hệ tọa độ x t Oxyz . Đường thẳng d y 1 t đi qua điểm nào sau sau đây? z 2 t A. K 1; 1;1 . B. E 1;1;2 . C. H 1;2;0 . D. F 0;1;2 . Lờigiải Chọn D 14
Cách1. Dựa vào lý thuyết: Nếu d qua M x0 ; y0 ;z0 , có véc tơ chỉ phương u a;b;c x x0 at thì phương trình đường thẳng d là: y y0 bt , ta chọn đáp án D. z z0 ct Cách 2: 1 t t 1 Thay tọa độ của K 1; 1;1 vào PTTS của d ta được 1 1 t t 2 : không tồn 1 2 t t 1 tại t. Do đó, K d. 1 t t 1 Thay tọa độ của E 1;1;2 vào PTTS của d ta được 1 1 t t 0 : không tồn tại 2 2 t t 0 t. Do đó, E d. 1 t t 1 Thay tọa độ của H 1;2;0 vào PTTS của d ta được 2 1 t t 1 : không tồn 0 2 t t 2 tại t. Do đó, H d. 0 t t 0 Thay tọa độ của F 0;1;2 vào PTTS của d ta được 1 1 t t 0 t 0. Do đó, 2 2 t t 0 F d. Câu 5. (Sở Thanh Hóa 2019) Trong không gian Oxyz , cho điểm A 3; 2;1 . Đường thẳng nào sau đây đi qua A ? x 3 y 2 z 1 x 3 y 2 z 1 A. .B. . 1 1 2 4 2 1 x 3 y 2 z 1 x 3 y 2 z 1 C. .D. . 1 1 2 4 2 1 Lờigiải Xét đáp án A. Thay tọa độ điểm A 3; 2;1 vào phương trình đường thẳng ta được 0 0 0 x 3 y 2 z 1 đúng. Suy ra đường thẳng đi qua điểm A 3; 2;1 . 1 1 2 1 1 2 15
Dạng 2: Hình chiếu của điểm 1. Phương pháp giải: a) Để tìm hình chiếu H của điểm M lên đường thẳng d , ta làm theo một trong hai cách sau: Cách 1: - Bước 1: Do điểm H thuộc đường thẳng d nên tham số tọa độ điểm H theo tham số t .   - Bước 2: Do MH  d nên MH.ud 0, từ đó giải tìm t . - Bước 3: Thay t vào tọa độ điểm H đã tham số ở bước 1. Cách 2: - Bước 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc M với d. H d - Bước 2: Do điểm H thuộc đường thẳng d nên tham số tọa độ M điểm H theo tham số t . P - Bước 3: Thay tọa độ điểm H vào phương trình mặt phẳng (P) rồi giải tìm t . - Bước 4: Thay t vào tọa độ điểm H đã tham số ở bước 1. • Đặc biệt: Điểm M (xM ; yM ; zM ) có - Hình chiếu trên trục Ox là M1(xM ;0;0) . - Hình chiếu trên trục Oy là M 2 (0; yM ;0) . - Hình chiếu trên trục Oz là M 3 (0;0; zM ) . b) Để tìm hình chiếu H của điểm M trên mặt phẳng (P) , ta làm như sau: - Bước 1: Viết phương trình đường thẳng d qua M và vuông góc với mặt phẳng P . - Bước 2: Tìm tọa độ giao điểm H của đường thẳng d và mặt phẳng (P) . • Đặc biệt: Điểm M (xM ; yM ; zM ) có 16
- Hình chiếu trên mặt phẳngOxy là M1(xM ; yM ;0) . - Hình chiếu trên trục Oyz là M 2 (0; yM ; zM ) . - Hình chiếu trên trục Ozx là M 3 (xM ;0; zM ) . 2. Ví dụ minh họa Câu 1. (Mã 102-2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz , hình chiếu vuông góc của điểm A 1;2;5 trên trục Ox có tọa độ là A B.0;.2C.;0 0;0;5 1;0;0 . D 0;2;5 Lời giải Chọn C Hình chiếu vuông góc của điểm A 1;2;5 trên trục Ox có tọa độ là 1;0;0 . Câu 2. (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz , hình chiếu vuông góc của điểm M 2; 2;1 trên mặt phẳng Oxy có tọa độ là A. 2;0;1 .B. 2; 2;0 .C. 0; 2;1 .D. 0;0;1 . Lời giải ChọnB Ta có hình chiếu của điểm M x0 ; y0 ; z0 trên mặt phẳng Oxy là điểm M x0 ; y0 ;0 . Do đó hình chiếu của điểm M 2; 2;1 trên mặt phẳng Oxy là điểm M 2; 2;0 . Câu 3. (Mã 101-2019) Trong không gian Oxyz , hình chiếu vuông góc của điểm M 2;1; 1 trên trục Oz có tọa độ là A. 2;0;0 . B. 0;1;0 . C. 2;1;0 . D. 0;0; 1 . Lời giải Chọn D Hình chiếu vuông góc của điểm M 2;1; 1 trên trục Oz có tọa độ là: 0;0; 1 . Câu 4. (THCS-THPT Nguyễn Khuyến 2019) Trong không gian Oxyz , tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A 3;2; 1 lên mặt phẳng : x y z 0 là: 5 2 7 1 1 1 A. 2;1;1 . B. ; ; . C. 1;1; 2 .D. ; ; . 3 3 3 2 4 4 Lời giải Chọn B 17
Gọi H là hình chiếu của A 3;2; 1 lên mặt phẳng : x y z 0 . Khi đó: AH nhận x 3 y 2 z 1 n 1;1;1 là vectơ chỉ phương suy ra phương trình AH : . 1 1 1 Do H AH H 3 t; 2 t; 1 t . 4 5 2 7 Do H 3 t 2 t 1 t 0 t H ; ; . 3 3 3 3 Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M ( 4;0;0) và đường thẳng x 1 t : y 2 3t . Gọi H (a;b;c) là hình chiếu của M lên . Tính a+b+c. z 2t A.5 .B. 1. C. 3 . D. 7 . Lời giải ChọnB Gọi H là hình chiếu của M lên nên tọa độ của H có dạng H (1 t; 2 3t; 2t) và   MH  u   11 3 5 22 MH.u 0 14t 11 0 t H ( ; ; ) a b c 1 14 14 14 14 Dạng 3: Khoảng cách 1. Phương pháp giải • Khoảng cách từ giữa đường thẳng và mặt phẳng song song Cho đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) song song với nhau. Khoảng cách giữa đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên đường thẳng (d) đến mặt phẳng (P) . • Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng 18
Khoảng cách từ điểm M đến một đường thẳng d qua điểm M có véctơ chỉ phương  M M ,u d ud được xác định bởi công thức d(M ,d)  ud • Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng cách từ một điểm thuộc đường thẳng này đến đường thẳng kia. • Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: d đi qua điểm M và có véctơ chỉ phương u và d đi qua điểm M và có véctơ chỉ phương u là  u,u .MM ' d( d,d )  u,u  2. Ví dụ minh họa Câu 1. (Đề Tham Khảo 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng x 1 y 2 z 1 P : 2x 2y z 1 0 và đường thẳng : . Tính khoảng cách d giữa 2 1 2 và P . 5 2 1 A. d 2 B. d C. d D. d 3 3 3 Lời giải ChọnA (P) có vecto pháp tuyến n(2; 2; 1) và đường thẳng có vecto chỉ phương u(2;1;2) thỏa mãn n.u 0 nên / /(P) hoặc  (P) . 2.1 2.( 2) 1 1 Do đó: lấy A(1; 2;1) ta có: d( (P)) d(A;(P)) 2 . 4 4 1 19
Câu 2. (Bình Phước-2019) Trong không gian Oxyz , khoảng cách từ điểm x t M 2; 4; 1 tới đường thẳng : y 2 t bằng z 3 2t A. 14 B. 6 C. 2 14. . D. 2 6. Lời giải Chọn C Đường thẳng đi qua N 0;2;3 , có véc tơ chỉ phương u 1; 1;2   MN 2;6;4 ; MN,u 16;8; 4 .  MN,u 336 d M , 2 14. u 6 x 3 y z 1 Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : 2 1 1 và điểm A(2; 1;0) . Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d bằng 7 21 7 A. 7 .B. .C. .D. . 2 3 3 Lời giải ChọnC Gọi M 3;0;1 d .       AM (1;1;1);u ( 2; 1;1) AM ;u 2; 3;1 AM ;u 14 . d d d Vậy khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d bằng   AM ;u d 14 21 d(A,d)  3 ud 6 Câu 4. (Chuyên Trần Đại Nghĩa- TPHCM -2018) Tính khoảng cách giữa hai đường x y 3 z 2 x 3 y 1 z 2 thẳng d : và d : 1 1 2 1 2 1 2 1 2 12 3 2 A. .B. .C. .D. 3 . 3 5 2 Lời giải Chọn C 20
d1 qua M 0;3;2 có vtcp u 1;2;1 , d2 qua N 3; 1;2 có vtcp v 1; 2;1 .  u,v 4;0; 4 , MN 3; 4;0 .  u,v.MN 12 3 2 d d1,d2 . u,v 4 2 2 x 1 t x y 3 z 1 Câu 5. (Chuyên Bắc Giang-2019)Cho d : y 3 t , d ': . Khi đó 3 1 1 z 2 2t khoảng cách giữa d và d ' là 13 30 30 9 30 A. .B. .C. .D. 0 . 30 3 10 Lời giải ChọnC  Ta có A 1; 3;2 d, B 0;3;1 d ' và u 1; 1;2 ,u ' 3; 1;1 lần lượt là vectơ chỉ phương của d,d' Ta có:   u,u ' .AB 27 9 30 d d,d '  30 10 u,u ' Vấn đề 3: Bài tập về vị trí tương đối Dạng 1. Vị trí tương đối giữa 2 đường thẳng Để xét vị trị tương đối của d1 và d2 , ta sử dụng hai phương pháp sau: Phương pháp hình học:   a1 a2 a3     u Pu • d  d u ,u u , M M 0 hoặc 1 2 b b b . 1 2 1 2 1 1 2 1 2 3 M1 d2 M1 d2     a1 a2 a3 u1,u2 0 u1 Pu2 • d1 Pd2   hoặc b1 b2 b3 . M d u1, M1M 2 0 1 2 M1 d2   u ,u 0 1 2 • d1 cắt d2    . u ,u .M M 0 1 2 1 2 21
   • d chéo d u ,u .M M 0. 1 2 1 2 1 2 Phương pháp đại số: x a1t x a1t Dựa vào số nghiệm của hệ phương trình các đường thẳng. y a2t y a2t . z a3t z a3t Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng x 1 3t x 1 y 2 z 3 d1 : y t và d2 : . 3 1 2 z 1 2t Vị trí tương đối của d1 và d2 là: A. Song song. B. Trùng nhau. C. Cắt nhau. D. Chéo nhau. Lời giải Chọn A.  Đường thẳng d1 đi qua M1 1;0;1 và có VTCP u1 3; 1; 2 .  Đường thẳng d2 đi qua M 2 1;2;3 và có VTCP u2 3;1;2 . 3 1 2   Ta có nên u Pu . 1 3 1 2 1 2 1 1 0 2 1 3 nên M d . 2 3 1 2 1 2 Từ 1 và 2 , suy ra d1 và d2 song song. Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng x t x 3 y 2 z 1 d1 : và d2 : y 2 . 1 2 1 z 2 t Vị trí tương đối của d1 và d2 là: A. Song song. B. Trùng nhau. C. Cắt nhau. D. Chéo nhau. Lời giải Chọn D.  Đường thẳng d1 đi qua M1 3;2;1 và có VTCP u1 1;2;1 .  Đường thẳng d2 đi qua M 2 0;2;2 và có VTCP u2 1;0;1 .    Ta có u ,u 2;0; 2 , M M 3;0;1 . 1 2 1 2 22
   Suy ra u ,u .M M 6 0 2 8 0 . Do đó d và d chéo nhau. 1 2 1 2 1 2 Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng x 2t x y z 2 d1 : và d2 : y 3 t . 1 2 3 z 0 Mệnh đề nào sau đây đúng: A. d1 song song d2 .B. d1 và d2 chéo nhau. C. d1 cắt d2 và vuông góc với nhau.D. d1 vuông góc d2 và không cắt nhau. Lời giải Chọn D.  Đường thẳng d1 qua M1 0;0;2 và có VTCP u1 1;2; 3 ,  d2 qua M 2 0; 3;0 và có VTCP u2 2; 1;0 .   ● u1.u2 2 2 0 d1  d2 1       ● u .u 3; 6; 5 , M M 0; 3; 2 M M . u .u 18 10 0 . 1 2 1 2 1 2 1 2 Vậy d1 vuông góc d2 và không cắt nhau. Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng x t x 4 y 2 z 5 d1 : y 2 3t và d2 : . 6 2 3 z 6 4t Mệnh đề nào sau đây đúng: A. d1 song song d2 .B. d1 và d2 chéo nhau. C. d1 cắt d2 và vuông góc với nhau.D. d1 vuông góc d2 và không cắt nhau. Lời giải Chọn C.  Đường thẳng d1 qua M1 0; 2;6 và có VTCP u1 1;3; 4 ,  d2 qua M 2 4;2; 5 và có VTCP u2 6;2;3 .   ● u1.u2 6 6 12 0 d1  d2 1       ● u .u 17; 27; 16 , M M 4;4; 11 M M . u .u 68 108 176 0 . 1 2 1 2 1 2 1 2 Vậy d1 cắt d2 và vuông góc với nhau. 23
Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng x 1 at x y 3 z 2 d : y 2 t và d ': . 2 1 2 z 2t Với giá trị nào sau đây của a thì d và d ' song song với nhau? A. a 0 B. a 1 C. a 2 D. Không tồn tại. Lời giải Chọn C. Đường thẳng d qua M 1; 2;0 và có VTCP u a;1; 2 .  Đường thẳng d ' qua M ' 0;3; 2 và có VTCP u ' 2; 1;2 . 1 2 3 0 2 Thay điểm M 1; 2;0 vào phương trình d ': không thỏa mãn. 2 1 2  a 1 2 Do đó để d song song d ', ta cần có u Pu ' a 2 . 2 1 2 Câu 6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng x n 2t x 1 y 3 z 1 d1 : và d2 : y 1 2t . 1 1 1 z 3 mt Với giá trị nào của m, n thì hai đường thẳng đó trùng nhau? A. m 2, n 5 . B. m 2, n 5. C. m 5, n 2 . D. m 5, n 2 . Lời giải Chọn A.  Đường thẳng d1 qua M1 1;3; 1 và có VTCP u1 1; 1;1 .  Đường thẳng d2 qua M 2 n; 1;3 và có VTCP u2 2; 2;m . n 1 1 3 3 1 M 2 d1 1 1 1 n 5 Để d1  d2   . u Pu 2 2 m m 2 1 2 1 1 1 Dạng 2. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng Để xét vị trị tương đối của d và , ta sử dụng hai phương pháp sau: Phương pháp hình học: 24
  ud  n •Nếu thì d  . M x0 ; y0 ; z0   ud  n •Nếu thì d P . M x0 ; y0 ; z0   •Nếu ud không cùng phương với n thì d cắt .     • d  ud và n cùng phương ud k.n với k 0 . Phương pháp đại số: x xo at 1 y yo bt 2 Xét hệ phương trình . z zo ct 3 Ax By Cz D 0 4 Thay 1 , 2 , 3 vào 4 , ta được A xo at B yo bt C zo ct D 0 Aa Bb Cc t D Ax0 By0 Cz0 . * Phương trình * là phương trình bậc nhất, ẩn t . Ta có •Nếu phương trình * vô nghiệm t thì d P . •Nếu phương trình * có nghiệm t duy nhất thì d cắt . •Nếu phương trình * có vô số nghiệm t thì d  . Chú ý: Để tìm điểm chung của đường thẳng và mặt phẳng ta giải phương trình bậc nhất theo t , sau đó thay giá trị của t vào phương trình tham số của d để tìm x; y; z . Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho cho mặt phẳng P : x 2y 3z 1 0 và x 1 y 2 z 3 đường thẳng d : . 3 3 1 Khẳng định nào sau đây đúng: A. Đường thẳng d cắt mặt phẳng P . B. Đường thẳng d song song với mặt phẳng P . C. Đường thẳng d nằm trong mặt phẳng P . D. Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng P . Lời giải 25