Ôn tập TN THPT môn Toán - Chuyên đề: Phương trình mặt phẳng (Mức độ nhận biết, thông hiểu)

28 trang Nguyệt Quế 03/01/2026 170

Download

Bạn đang xem tài liệu "Ôn tập TN THPT môn Toán - Chuyên đề: Phương trình mặt phẳng (Mức độ nhận biết, thông hiểu)", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên.

File đính kèm:

on_tap_tn_thpt_mon_toan_chuyen_de_phuong_trinh_mat_phang_muc.docx

Nội dung tài liệu: Ôn tập TN THPT môn Toán - Chuyên đề: Phương trình mặt phẳng (Mức độ nhận biết, thông hiểu)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CHUYÊN ĐỀ ÔN TẬP BẮC NINH KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 Môn: Toán TÊN CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG ( MỨC ĐỘ NHẬN BIÊT, THÔNG HIỂU) Người biên soạn: NGUYỄN THỊ HỒNG NHUNG Đơn vị công tác: Trường THPT TỪ SƠN I.HỆ THỐNG KIẾN THỨC 1. Vecto pháp tuyến Định nghĩa: r r Cho mặt phẳng (a) Nếu vectơ n khác 0 và có giá r vuông góc với mặt phẳng (a) thì n được gọi là vectơ pháp tuyến của (a). r Chú ý. Nếu n là vectơ pháp tuyến của một mặt r phẳng thì k.n với k ¹ 0 cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó. 2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng. Định nghĩa: Phương trình có dạng Ax + By + Cz + D = 0 trong đó A, B,C không đồng thời bằng 0 được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng. Chú ý. Nếu mặt phẳng (P) có phương trình tổng quát là Ax + By + Cz + D = 0 thì nó có một vectơ pháp r tuyến là n = (A, B,C) Phương trình mặt phẳng đi qua điểm r r M0 (x0 ; y0 ; z0 ) nhận vectơ n = (A;B;C) khác 0 1
làm vectơ pháp tuyến là A(x - x0 )+ B(y- y0 )+ C(z - z0 )= 0. r r Hai vectơ a,b không cùng phương là cặp vectơ chỉ phương của (P) nếu các giá của chúng song song hoặc nằm trên (P) Chú ý: r Nếu n là một vectơ pháp tuyến của (P) thì r kn k 0 cũng là vectơ pháp tuyến của (P) r r Nếu a,b là một cặp vectơ chỉ phương của (P) r r r thì n a,b là một vectơ pháp tuyến của (P) 3. Các trường hợp đặc biệt Các hệ số Phương trình mặt phẳng Tính chất mặt phẳng D 0 Ax By Cz 0 đi qua gốc tọa độ O A 0 By Cz D 0 / /Ox hoặc  Ox B 0 Ax Cz D 0 / /Oy hoặc  Oy C 0 Ax By D 0 / /Oz hoặc  Oz A B 0 Cz D 0 / / Oxy hoặc  Oxy A C 0 By D 0 / / Oxz hoặc  Oxz B C 0 Ax D 0 / / Oyz hoặc  Oyz  Chú ý: Phương pháp: Nếu mặt phẳng (P) cắt ba trục tọa độ lần lượt tại các điểm x y z A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) với (abc 0) thì (P) : 1 gọi là mặt phẳng a b c đoạn chắn. 4. Các vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng. 2
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): A1x + B1 y + C1z + D1 = 0 (Q): A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0. A B C D (P )º (Q) Û 1 = 1 = 1 = 1 . A2 B2 C2 D2 A B C D (P )P(Q) Û 1 = 1 = 1 ¹ 1 . A2 B2 C2 D2 A1 B1 B1 C1 (P)Ç(Q) Û ¹ hoặc ¹ . A2 B2 B2 C2 •(P)^ (Q) Û A1 A2 + B1B2 + C1C2 = 0. 5. Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng Định lý: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (a): Ax + By + Cz + D = 0 và điểm M0 (x0 ; y0 ;z0 ). Khoảng cách từ điểm M 0 đến mặt phẳng (a), được tính theo công thức: Ax + By + Cz + D é ù 0 0 0 d ëM ,(a)û= . A2 + B 2 + C 2 6. Góc giữa hai mặt phẳng  Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng P : ax by cz d 0 Q : a' x b' y c' z d ' 0   nP ; nQ lần lượt là các vectơ pháp tuyến của mặt phẳng P và Q .  Góc giữa hai mặt phẳng P và Q được xác định bởi 3
    nP .nQ cos P ; Q cos nP ;nQ   nP . nQ II.CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP DẠNG 1. XÁC ĐỊNH VECTO PHÁP TUYẾN CỦA MẶT PHẲNG Phương pháp: Sử dụng định nghĩa: Vectơ n 0, n có giá vuông góc với (P) n là 1 VTPT của (P) Chú ý . Nếu n là một VTPT của mặt phẳng (P) thì kn (k 0) cũng là một VTPT của mặt phẳng (P) . Nếu mp (P) có phương trình Ax By Cz D 0 thì nó có một VTPT là n(A; B;C) . Mặt phẳng P có cặp VTCP là a, b thì có một VTPT n a; b Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng :3x 2y 4z 1 0 . Vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ?     A. n2 3;2;4 B. n3 2; 4;1 C. n1 3; 4;1 D. n4 3;2; 4 Lời giải Chọn D Mặt phẳng : 3x 2 y 4z 1 0 có vectơ pháp tuyến n 3;2; 4 Ví dụ 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng P :3x z 2 0 . Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của P ? r r r r A. n2 3;0; 1 B. n1 3; 1;2 C. n3 3; 1;0 D. n4 1;0; 1 Lời giải Chọn A Mặt phẳng P :3x z 2 0 3x 0y z 2 0 r Vectơ pháp tuyến của là n2 3;0; 1 . 4
Ví dụ 3. Trong không gian với hệ tọa độ, cho mặt phẳng : 2x 3y 4z 1 0 . Khi đó, một véc tơ pháp tuyến của A. n 2;3; 4 . B. n 2; 3;4 . C. n 2;3;4 . D. n 2;3;1 . Lời giải Chọn C  Mặt phẳng : 2x 3y 4z 1 0 có một véc tơ pháp tuyến n0 2; 3; 4 .   Nhận thấy n 2;3;4 n0 , hay n cùng phương với n0 . Do đó véc tơ n 2;3;4 cũng là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng x y z Ví dụ 4. Trong không gian Oxyz , một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng 1 2 1 3 A. n (3;6; 2) B. n (2; 1;3) C. n ( 3; 6; 2) D. n ( 2; 1;3) Lời giải Chọn A x y z 1 1 Phương trình 1 x y z 1 0. 3x 6y 2z 6 0. 2 1 3 2 3 Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng n (3;6; 2) . Ví dụ 5. Trong không gian Oxyz , cho hai vecto a 2;4; 1 , b 1;5; 2 có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng P . Một vecto pháp tuyến của mặt phẳng P là: A. n1 3; 5;14 B. n3 3;5;14 C. n2 13; 3;6 D. n4 2;20;2 Lời giải Chọn B Do hai vecto a 2;4; 1 , b 1;5; 2 có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng P . Nên mặt phẳng P có một VTPT n a; b 3;5;14 Ví dụ 6. Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A 2; 1;3 , B 4;0;1 và C 10;5;3 . Vectơ nào dưới đây là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ABC ? A. n 1;2;2 . B. n 1; 2;2 . C. n 1;8;2 . D. n 1;2;0 . Lời giải Chọn A 5
    Ta có AB 2;1; 2 , AC 12;6;0 , AB, AC 12;24;24 12. 1;2;2   ABC có một vectơ pháp tuyến là n AB; AC 1;2;2 . DẠNG 2. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Cách giải: Bài toán 1.Viết phương trình mặt phẳng khi biết một điểm và vectơ pháp tuyến của nó. qua M (x ; y ; z ) Mặt phẳng (P) 0 0 0 thì phương trình mặt phẳng P là: VTPT n (A; B;C) A x x0 B y y0 C z z0 0. 1 Ví dụ 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua điểm M 1;2; 3 và có một vectơ pháp tuyến n 1; 2;3 . A. x 2y 3z 12 0 C. x 2y 3z 12 0 B. x 2y 3z 6 0 D. x 2y 3z 6 0 Lời giải Chọn A Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M 1;2; 3 và có một vectơ pháp tuyến n 1; 2;3 là: 1 x 1 2 y 2 3 z 3 0 x 2y 3z 12 0 . Ví dụ 2. Trong không gian Oxyz , mặt phẳng P đi qua điểm M 3; 1;4 đồng thời vuông góc với giá của vectơ a 1; 1;2 có phương trình là A. 3x y 4z 12 0. C. x y 2z 12 0 B. 3x y 4z 12 0 . D. x y 2z 12 0 . Lời giải Chọn C Mặt phẳng P đi qua điểm M 3; 1;4 đồng thời vuông góc với giá của a 1; 1;2 nên nhận a 1; 1;2 làm vectơ pháp tuyến. Do đó, P có phương trình là 1 x 3 1 y 1 2 z 4 0 x y 2z 12 0 . 6
Ví dụ 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua điểm M 1;2; 3 và có một vectơ pháp tuyến n 1; 2;3 . A. x 2y 3z 12 0 C. x 2y 3z 12 0 B. x 2y 3z 6 0 D. x 2y 3z 6 0 Lời giải Chọn A Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M 1;2; 3 và có một vectơ pháp tuyến n 1; 2;3 là 1 x 1 2 y 2 3 z 3 0 x 2y 3z 12 0 . Ví dụ 4. Trong không gian Oxyz phương trình mặt phẳng đi qua điểm A(1; 2;3) và vuông góc với giá của véctơ v ( 1;2;3) là A. x 2y 3z 4 0. B. x 2y 3z 4 0. C. x 2y 3z 4 0. D. x 2y 3z 4 0. Lời giải Chọn C Phương trình mặt phẳng đi qua điểm A(1; 2;3) và vuông góc với giá của véctơ v ( 1;2;3) là: 1(x 1) 2(y 2) 3(z 3) 0 x 2y 3z 4 0 x 2y 3z 4 0. Ví dụ 5. Trong không gian Oxyz , phương trình của mặt phẳng đi qua điểm A 3;0; 1 và có véctơ pháp tuyến n 4; 2; 3 là A. 4x 2y 3z 9 0 . B. 4x 2y 3z 15 0 . C. 3x z 15 0. D. 4x 2y 3z 15 0. Lời giải Chọn B Mặt phẳng đi qua điểm A 3;0; 1 và có véctơ pháp tuyến n 4; 2; 3 có phương trình: 4 x 3 2 y 0 3 z 1 0 4x 2y 3z 15 0 . Bài toán 2.Viết phương trình mặt phẳng P đi qua 1 điểm M 0 x0 ; y0 ; z0 và vuông góc với đường thẳng AB cho trước  . Mặt phẳng P vuông góc với đường thẳng AB nên có 1 VTPT n AB . Phương trình mặt phẳng P được viết như 1 7
❖ Lưu ý: Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là mặt phẳng đi qua trung điểm của AB và vuông góc với AB Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A 1;1;1 , B 2;1;0 C 1; 1;2 . Mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng BC có phương trình là A. 3x 2z 1 0 C. x 2y 2z 1 0 B. x 2y 2z 1 0 D. 3x 2z 1 0 Lời giải Chọn B  Ta có BC 1; 2;2 là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng P cần tìm.  n BC 1;2; 2 cũng là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng P . Vậy phương trình mặt phẳng P là x 2y 2z 1 0. Ví dụ 2. Trong không gian Oxyz , cho 2 điểm A 1;2;3 , B 3; 2; 1 . Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là A. x y z 0. B. x y z 6 0 . C. x y z 6 0 . D. x y z 0 . Lời giải Chọn D Gọi I là trung điểm của AB I 1;0;1 .  Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB đi qua I 1;0;1 và nhận BA 4;4;4 là vectơ pháp tuyến: Do đó phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là 4 x 1 4y 4 z 1 0 x y z 0. Ví dụ 3. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A 1;2;0 và B 2;3; 1 . Phương trình mặt phẳng qua A và vuông góc với AB là A. 2x y z 3 0. C. x y z 3 0. B. x y z 3 0. D. x y z 3 0. Lời giải Chọn C  AB 1;1; 1 .  Mặt phẳng qua A và vuông góc với AB nhận AB làm vectơ pháp tuyến có phương trình là x 1 y 2 z 0 x y z 3 0. 8
Ví dụ 4. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(2;1;2) và B(6;5; 4) . Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có phương trình là A. 2x 2y 3z 17 0 .C. 2x 2y 3z 17 0 . B. 4x 3y z 26 0 .D. 2x 2y 3z 11 0 . Lời giải Chọn A Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB đi qua trung điểm của AB là M (4;3; 1) và  có véctơ pháp tuyến là AB (4;4; 6) nên có phương trình là 4(x 4) 4(y 3) 6(z 1) 0 2(x 4) 2(y 3) 3(z 1) 0 2x 2y 3z 17 0 Ví dụ 5. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 1;3; 4 và B 1;2;2 . Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB . A. : 4x 2 y 12z 7 0 . C. : 4x 2 y 12z 17 0 . B. : 4x 2 y 12z 17 0 . D. : 4x 2 y 12z 7 0 . Lời giải Chọn C 5  Gọi I 0; ; 1 là trung điểm của AB ; AB 2; 1;6 . 2 5 Mặt phẳng qua I 0; ; 1 và có VTPT n 2; 1;6 nên có PT: 2 5 : 2 x y 6 z 1 0 4x 2 y 12z 17 0 . 2 Bài toán 3. Viết phương trình mặt phẳng P đi qua 1 điểm M 0 x0 ; y0 ; z0 và song song với 1 mặt phẳng  : Ax By Cz D 0 cho trước.  Cách 1: . Mặt phẳng  có một VTPT là n A; B;C .   . P //  nên mặt phẳng P có 1 VTPT là nP n A, B,C . Phương trình mặt phẳng P được viết như 1 Cách 2: . P //  nên mặt phẳng P có dạng: Ax + By + Cz + m =0 . Vì P đi qua M 0 x0 ; y0 ; z0 nên Ax0 By0 Cz0 m 0 . Tìm m . Suy ra phương trình mặt phẳng P . Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz , cho điểm M 2; 1;4 và mặt phẳng 9
P :3x 2y z 1 0 . Phương trình của mặt phẳng đi qua M và song song với mặt phẳng P là A. 2x 2y 4z 21 0 . C. 3x 2y z 12 0 B. 2x 2y 4z 21 0 D. 3x 2y z 12 0 . Lời giải Chọn C Gọi mặt phẳng Q là mặt phẳng đi qua M và song song với P Khi đó Q có một VTPT nQ nP 3; 2;1 Phương trình của mặt phẳng Q đi qua M và có VTPT nQ 3; 2;1 là: 3 x 2 2 y 1 z 4 0 3x 2y z 12 0 . Ví dụ 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M 1;0;6 và mặt phẳng có phương trình x 2y 2z 1 0. Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua M và song song với mặt phẳng . A. ( ):x + 2y + 2z - 13 = 0 . B. ( ):x + 2y + 2z - 15 = 0. C. ( ):x + 2y + 2z + 15 = 0 . D. ( ):x + 2y + 2z + 13 = 0 . Lời giải Chọn A Mặt phẳng ( ) song song với mặt phẳng nên có dạng x 2y 2z m 0 m 1 . Do M Î ( ) nên ta có: 1 2.0 2.6 m 0 m 13 0 m 13 (thỏa mãn). Vậy ( ):x + 2y + 2z - 13 = 0 . Ví dụ 3. Trong không gian Oxyz , mặt phẳng đi qua điểm A 2; 1;2 và song song với mặt phẳng P : 2x y 3z 2 0 có phương trình là A. 2x y 3z 11 0 B. 2x y 3z 11 0 C. 2x y 3z 11 0 D. 2x y 3z 9 0 Lời giải Chọn C Gọi Q là mặt phẳng đi qua điểm A 2; 1;2 và song song với mặt phẳng P Do Q // P nên phương trình của Q có dạng 2x y 3z d 0 ( d 2 ). Do A 2; 1;2 Q nên 2.2 1 3.2 d 0 d 11 (nhận). Vậy Q : 2x y 3z 11 0. Ví dụ 4. Trong không gian Oxyz , cho điểm A 2; 1; 3 và mặt phẳng 10
P :3x 2y 4z 5 0 . Mặt phẳng Q đi qua A và song song với mặt phẳng P có phương trình là A. Q :3x 2y 4z 4 0. B. Q :3x 2y 4z 4 0. C. Q :3x 2y 4z 5 0. D. Q :3x 2y 4z 8 0. Lời giải Chọn B Do mặt phẳng Q song song với mặt phẳng P nên có vectơ pháp tuyến là n 3; 2;4 . Phương trình mặt phẳng Q : 3 x 2 2 y 1 4 z 3 0 3x 2y 4z 4 0 . Ví dụ 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M 1;0;6 và mặt phẳng có phương trình x 2y 2z 1 0. Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua M và song song với mặt phẳng . A. ( ):x + 2y + 2z - 13 = 0 . B. ( ):x + 2y + 2z - 15 = 0. C. ( ):x + 2y + 2z + 15 = 0 . D. ( ):x + 2y + 2z + 13 = 0 . Lời giải Chọn A Mặt phẳng ( ) song song với mặt phẳng nên có dạng x 2y 2z m 0 m 1 . Do M Î ( ) nên ta có: 1 2.0 2.6 m 0 m 13 0 m 13 (thỏa mãn). Vậy ( ):x + 2y + 2z - 13 = 0 . Bài toán 4. Viết phương trình mặt phẳng P đi qua 3 điểm A , B , C không thẳng hàng.   . Mặt phẳng P có các cặp VTCP là AB, AC    . Mặt phẳng P có 1 VTPT là: n AB, AC P . Mặt phẳng P đi qua điểm A (hoặc B hoặc C ). . Viết phương trình mặt phẳng qua 1 điểm và có VTPT như 1 Ví dụ 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt phẳng đi qua ba điểm A 2; 3; 5 , B 3; 2; 4 và C 4; 1; 2 có phương trình là A. x y 5 0.B. x y 5 0 .C. y z 2 0.D. 2x y 7 0 Lời giải Chọn B 11
  Vì AB, AC có giá nằm trên mặt phẳng ABC nên mặt phẳng ABC sẽ nhận   n AB, AC làm một vectơ pháp tuyến.     Ta có AB 1; 1; 1 , AC 2; 2; 3 suy ra n AB, AC 1; 1; 0 . Do đó mặt phẳng ABC đi qua A 2; 3; 5 và có một VTPT là n 1;1;0 có phương trình là 1 x 2 1 y 3 0 z 5 0 x y 5 0 . Ví dụ 2. Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A 3; 2; 2 , B 3;2;0 ,C 0;2;1 . Phương trình mặt phẳng ABC là A. 2x 3y 6z 12 0 .B. 2x 3y 6z 12 0. C. 2x 3y 6z 0 .D. 2x 3y 6z 12 0 . Lời giải Chọn C Ta có:     AB 0;4;2 , AC 3;4;3 , n AB; AC 4; 6;12 . Ta có n 4; 6;12 cùng phương n1 2; 3;6 Mặt phẳng ABC đi qua điểm C 0;2;1 và có một vectơ pháp tuyến n1 2; 3;6 nên ABC có phương trình là: 2 x 0 3 y 2 6 z 1 0 2x 3y 6z 0 . Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là: 2x 3y 6z 0 . Ví dụ 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A 1;1;4 , B 2;7;9 , C 0;9;13 . A. 2x y z 1 0.B. x y z 4 0 . C. 7x 2y z 9 0 . D. 2x y z 2 0 . Lời giải Chọn B   Ta có AB 1;6;5 , AC 1;8;9 ,   ABC đi qua A 1;1;4 có vtpt n AB, AC 14; 14;14 14 1; 1;1 có dạng x y z 4 0 . Ví dụ 4. Trong không gian Oxyz , gọi M , N , P lần lượt là hình chiếu vuông góc của A 2; 3;1 lên các mặt phẳng tọa độ. Phương trình mặt phẳng MNP là x y z A. 1.B. 3x 2y 6z 6 . 2 3 1 12
x y z C. 0 .D. 3x 2y 6z 12 0. 2 3 1 Lời giải Chọn D Không mất tính tổng quát, ta giả sử M , N , P lần lượt là hình chiếu vuông góc của A 2; 3;1 lên các mặt phẳng tọa độ Oxy , Oxz , Oyz . Khi đó, M 2; 3;0 , N 2;0;1 và P 0; 3;1   MN 0;3;1 và MP 2;0;1 .   Ta có, MN và MP là cặp vectơ không cùng phương và có giá nằm trong MNP   Do đó, MNP có một vectơ pháp tuyến là n MN, MP 3; 2;6 . Mặt khác, MNP đi qua M 2; 3;0 nên có phương trình là: 3 x 2 2 y 3 6 z 0 0 3x 2y 6z 12 0. Ví dụ 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A 0;1;2 ,B 2; 2;1 ,C 2;1;0 . Khi đó, phương trình mặt phẳng ABC là ax y z d 0 . Hãy xác định a và d . A. a 1,d 1.B. a 6,d 6.C. a 1,d 6 .D. a 6,d 6. Lời giải Chọn A   Ta có: AB 2; 3; 1 ; AC 2;0; 2 .   3 1 1 2 2 3 AB, AC ; ; 6;6; 6 . 0 2 2 2 2 0  1   Chọn n AB; AC 1;1; 1 là một VTPT của mp ABC . 6 Ta có pt mp ABC là: x y 1 z 2 0 x y z 1 0 . Vậy a 1,d 1. Bài toán 5. Viết phương trình mặt phẳng P qua hai điểm A , B và vuông góc với mặt phẳng  .   . Mặt phẳng P có cặp VTCP là n , AB    . Mặt phẳng P có 1 VTPT là: n n , AB P  . Mặt phẳng P đi qua điểm A (hoặc B ) . Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT như (1) 13
Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz , cho điểm A 1; 1;2 ; B 2;1;1 và mặt phẳng P : x y z 1 0. Mặt phẳng Q chứa A , B và vuông góc với mặt phẳng P . Mặt phẳng Q có phương trình là A. 3x 2y z 3 0 .C. x y z 2 0 . B. x y 0 .D. 3x 2y z 3 0 . Lời giải Chọn A   Ta có: AB 1 ;2 ; 1 . Mặt phẳng P có một véc tơ pháp tuyến là m 1;1;1 . Vì mặt phẳng (Q) chứa A , B và vuông góc với mặt phẳng P nên mặt phẳng Q có   một véc tơ pháp tuyến là n AB, m 3 ; 2 ; 1 . Mặt phẳng Q đi qua điểm M 1; 1;2 và có một VTPT n 3; 2; 1 có phương trình là: Q : 3 x 1 2 y 1 z 2 0 3x 2y z 3 0. Ví dụ 2. Trong không gian Oxyz , phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm A 0;1;0 , B 2;0;1 và vuông góc với mặt phẳng P : x y 1 0 là: A. x y 3z 1 0 .B. 2x 2y 5z 2 0 . C. x 2y 6z 2 0 . D. x y z 1 0 . Lời giải Chọn D  Ta có: AB 2; 1;1 . Mặt phẳng P có 1 véctơ pháp tuyến là: n P 1; 1;0 . Gọi n là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm. Khi đó  n  AB  n AB;n P 1;1; 1 . n  n P Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là: 1 x 0 1 y 1 1 z 0 0 x y z 1 0 Ví dụ 3. Trong không gian Oxyz , mặt phẳng P đi qua hai điểm A 0;1;0 , B 2;3;1 và vuông góc với mặt phẳng Q :x 2y z 0 có phương trình là A. 4x 3y 2z 3 0.B. 4x 3y 2z 3 0 . C. 2x y 3z 1 0 .D. 4x y 2z 1 0 . Lời giải Chọn B   Ta có AB 2;2;1 , vectơ pháp tuyến mặt phẳng Q : nQ 1;2; 1 . 14
Theo đề bài ta có vectơ pháp tuyến mặt phẳng P :   n nQ ; AB 4; 3; 2 . P Phương trình mặt phẳng P có dạng 4x 3y 2z C 0. Mặt phẳng P đi qua A 0;1;0 nên: 3 C 0 C 3 . Vậy phương trình mặt phẳng P là 4x 3y 2z 3 0 Ví dụ 4. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng P : ax by cz 9 0 chứa hai điểm A 3;2;1 , B 3;5;2 và vuông góc với mặt phẳng Q :3x y z 4 0 . Tính tổng S a b c . A. S 12 .B. S 2 .C. S 4 .D. S 2 . Lời giải Chọn C  AB 6;3;1 .  n Q 3;1;1 là VTPT của mp Q . Mp P chứa hai điểm A 3;2;1 , B 3;5;2 và vuông góc với mặt phẳng Q .    n AB,n 2;9; 15 là VTPT của mp P p Q A 3;2;1 P P :2x 9y 15z 9 0 hoặc P : 2x 9y 15z 9 0 Mặt khác P : ax by cz 9 0 a 2;b 9;c 15. Vậy S a b c 2 9 15 4 . Ví dụ 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 2;4;1 , B 1;1;3 và mặt phẳng P : x 3y 2z 5 0 . Một mặt phẳng Q đi qua hai điểm A , B và vuông góc với P có dạng là ax by cz 11 0 . Tính a b c . A. a b c 10.B. a b c 3 .C. a b c 5 .D. a b c 7 . Lời giải Chọn C   Ta có AB 3; 3;2 , P có vtpt n 1; 3;2 , Q có vtpt k AB,n 0;8;12 Q có dạng: 2 y 4 3 z 1 0 2y 3z 11 0. Vậy a b c 5 . Bài toán 6. Các mặt phẳng cơ bản VTPT Mặt phẳng Oyz có phương trình x 0  n Oyz 1;0;0 VTPT  Mặt phẳng Oxz có phương trình y 0  n Oxz 0;1;0 15
VTPT  Mặt phẳng Oxy có phương trình z 0  n Oxy 0;0;1  Phương trình mặt phẳng đoạn chắn Mặt phẳng P đi qua ba điểm A a;0;0 , B 0;b;0 , C 0;0;c có phương trình: x y z 1 abc 0 a b c Ví dụ 1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt phẳng Oyz ? A. y 0 B. x 0 C. y z 0 D. z 0 Lời giải Chọn B Mặt phẳng Oyz đi qua điểm O 0;0;0 và có vectơ pháp tuyến là i 1;0;0 nên ta có phương trình mặt phẳng Oyz là : 1 x 0 0 y 0 0 z 0 0 x 0. Ví dụ 2. Trong không gian với hệ tọa độO xyz, phương trình nào sau đây là phương trình của mặt phẳng Oxz là: A. x 0. B. y 1 0. C. y 0. D. z 0. Lời giải Chọn C Ta có mặt phẳng Ozx đi qua điểm O 0;0;0 và vuông góc với trục Oy nên có VTPT n 0;1;0 . Do đó phương trình của mặt phẳng Ozx là y 0. Ví dụ 3. Trong không gian Oxyz , mặt phẳng (Oxy) có phương trình là A. z = 0 . B. x = 0 . C. y = 0 . D. x + y = 0 . Lời giải Chọn A Mặt phẳng (Oxy) đi qua gốc tọa độ O(0;0;0), nhận vectơ đơn vị k = (0;0;1) là vectơ pháp tuyến Þ Phương trình tổng quát: 0.(x- 0)+ 0.(y - 0)+ 1.(z - 0)= 0 Þ (Oxy): z = 0. Ví dụ 4. Trong không gian Oxyz , cho ba điểm M 2;0;0 , N 0; 1;0 , P 0;0;2 . Mặt phẳng MNP có phương trình là: 16
x y z x y z A. 1. C. 1 2 1 2 2 1 2 x y z x y z B. 1. D. 0 . 2 1 2 2 1 2 Lời giải Chọn C x y z Ta có: M 2;0;0 , N 0; 1;0 , P 0;0;2 MNP : 1 2 1 2 Ví dụ 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2;0;0), B(0;-1;0), C(0;0;-3). Viết phương trình mặt phẳng (ABC). A. 3x 6y 2z 6 0 . C. 3x 6y 2z 6 0 B. 3x 6y 2z 6 0 . D. 3x 6y 2z 6 0 . Lời giải Chọn C Mặt phẳng ABC đi qua ba điểm A 2;0;0 , B 0; 1;0 ,C 0;0; 3 suy ra mặt phẳng x y z ABC có phương trình đoạn chắn là : 1 3x 6y 2z 6 0 2 1 3 Ví dụ 6. Trong không gian Oxyz , cho điểm M 1;2;3 . Gọi A, B,C lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm M lên các trục Ox,Oy,Oz . Viết phương trình mặt phẳng ABC . x y z x y z A. 1. C. 0 . 1 2 3 1 2 3 x y z x y z B. 1. D. 1. 1 2 3 1 2 3 Lời giải Chọn A Ta có A 1;0;0 , B 0;2;0 ,C 0;0;3 lần lượt là hình chiếu của M lên Ox,Oy,Oz . x y z Phương trình đoạn chắn có dạng: 1. 1 2 3 DẠNG 3. ĐIỂM THUỘC MẶT PHẲNG Cách giải: Cho mặt phẳng P : Ax By Cz D 0 Điểm M x0 ; y0 ; z0 P Ax0 By0 Cz0 D 0 Điểm M x0 ; y0 ; z0 P Ax0 By0 Cz0 D 0 17
Ví dụ 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng :x y z 6 0 . Điểm nào dưới đây không thuộc ? A. Q 3;3;0 B. N 2;2;2 C. P 1;2;3 D. M 1; 1;1 Lời giải Chọn D Ta có: 3 3 0 6 0 Q 3;3;0 là điểm thuộc 2 2 2 6 0 N 2;2;2 là điểm thuộc 1 2 3 6 0 P 1;2;3 là điểm thuộc 1 1 1 6 5 0 M 1; 1;1 là điểm không thuộc . Ví dụ 2. Trong không gian Oxyz , điểm nào dưới đây nằm trên mặt phẳng P : 2x y z 2 0 A. Q 1; 2;2 . B. P 2; 1; 1 . C. M 1;1; 1 . D. N 1; 1; 1 . Lời giải Chọn D + Thay toạ độ điểm Q vào phương trình mặt phẳng P ta được 2.1 2 2 2 4 0 nên Q P . + Thay toạ độ điểm P vào phương trình mặt phẳng P ta được 2.2 1 1 2 2 0 nên P P . + Thay toạ độ điểm M vào phương trình mặt phẳng P ta được 2.1 1 1 2 2 0 nên M P . + Thay toạ độ điểm N vào phương trình mặt phẳng P ta được 2.1 1 1 2 0 nên N P . Ví dụ 3. Trong không gian Oxyz , điểm M 3;4; 2 thuộc mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau? A. Q : x 1 0 . B. P : z 2 0 . C. R : x y 7 0 . D. S : x y z 5 0. Lời giải Chọn C 18
Xét đáp án A ta thấy 3 1 2 0 vậy M không thuộc Q . Xét đáp án D ta thấy 2 2 4 0 vậy M không thuộc P . Xét đáp án C ta thấy 3 4 7 0 vậy M thuộc R . Xét đáp án D ta thấy 3 4 2 5 10 0 vậy M không thuộc S . Ví dụ 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt phẳng P : 2x 3y 4z 12 0 cắt trục Oy tại điểm có tọa độ là A. 0; 4; 0 . B. 0; 6; 0 . C. 0; 3; 0 . D. 0; 4; 0 . Lời giải Chọn D Gọi M Oy  P M Oy . Gọi M 0; b; 0 Lại có M P 3b 12 0 b 4 . Vậy M 0; 4; 0 . Ví dụ 5. Gọi là mặt phẳng đi qua M 1; 1;2 và chứa trục Ox . Điểm nào trong các điểm sau đây thuộc mặt phẳng ? A. N 2;2; 4 . B. P 2;2;4 . C. Q 0;4;2 . D. M 0;4; 2 . Lời giải Chọn A  Gọi n là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng khi đó ta có n OM ,i . Với  OM 1; 1;2 , i 1;0;0 n 0;2;1 . Phương trình mặt phẳng đi qua điểm O 0;0;0 và có một véc tơ pháp tuyến n 0;2;1 là 2y z 0 . Do 2.2 4 0 nên điểm N 2;2; 4 thuộc mặt phẳng . DẠNG 4. KHOẢNG CÁCH Phương pháp: Bài toán 1. Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng. 19
Trong không gian Oxyz, cho điểm M0 (x0; y0; z0 ) và mặt phẳng : Ax By Cz D 0. Khi đó khoảng cách từ điểm M0 đến mặt phẳng ( ) được | Ax0 + By0 + Cz0 + D | tính: d(M 0 ,(a )) = A2 + B2 + C 2 .Đặc biệt: d M , Oxy z0 ;d M , Oxz y0 ;d M , Oyz x0 . Bài toán 2. Khoảng cách giữa hai mp song song là khoảng cách từ một điểm thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. Chú ý: 1. Nếu hai mặt phẳng không song song thì khoảng cách giữa chúng bằng 0. 2. Hai mặt phẳng song song P : Ax By Cz D 0 và Q : Ax By Cz D ' 0 Khi đó khoảng cách giữa hai mặt phẳng có thể được tính bằng CT: D D ' d P ; Q A2 B2 C 2 Ví dụ 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng cho mặt phẳng P có phương trình 3x 4y 2z 4 0 và điểm A 1; 2;3 . Tính khoảng cách d từ A đến P 5 5 5 5 A. d B. d C. d D. d 29 29 3 9 Lời giải Chọn B 3.1 4. 2 2.3 4 5 Khoảng cách từ điểm A đến P là d  32 42 22 29 Ví dụ 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng P : 2x 2y z 4 0 . Tính khoảng cách d từ điểm M 1;2;1 đến mặt phẳng P . 1 A. d 3. B. d 4 . C. d 1. D. d . 3 Lời giải Chọn C 2.1 2.2 1 4 Khoảng cách d từ điểm M 1;2;1 đến mp P là: d d M , P 1. 22 2 2 12 20
Ví dụ 3. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm A 1; 2;3 lên mặt phẳng P : 2x y 2z 5 0 . Độ dài đoạn thẳng AH là A. 3 . B. 7 . C. 4 . D. 1. Lời giải Chọn D Do H là hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng P nên AH  P 2 2 6 5 AH d A, P 1. 22 1 2 2 2 Ví dụ 4. Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng P : x 2y 2z 1 0 và Q : x 2y 2z 7 0 . Khoảng cách giữa hai mặt phẳng P và Q bằng 8 A. 8 . B. . C. 6 . D. 2 . 3 Lời giải Chọn D Khi đó khoảng cách giữa hai mặt phẳng P và Q là 1 7 d P , Q 2. 12 2 2 2 2 Ví dụ 5. Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng P : x 2y 2z 3 0 và Q : 2x 4y 4z 11 0. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng P và Q bằng 17 8 5 A. . B. . C. . D. 2 . 6 3 6 Lời giải Chọn A 11 Ta có Q : 2x 4y 4z 11 0 x 2y 2z 0 2 11 3 2 17 Khi đó d P ; Q 12 22 22 6 DẠNG 5. GÓC Phương pháp: 21
 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng P : ax by cz d 0 Q : a' x b' y c' z d ' 0   nP ; nQ lần lượt là các vectơ pháp tuyến của mặt phẳng P và Q .  Góc giữa hai mặt phẳng P và Q được xác định bởi     nP .nQ cos P ; Q cos nP ;nQ   nP . nQ Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng P :x 2y z 1 0 , Q :x y 2z 7 0 . Tính góc giữa hai mặt phẳng đó. A. 600 . B. 450 . C. 1200 . D. 300 . Lời giải Chọn A  nP 1; 2; 1 là một véctơ pháp tuyến của P .  nQ 1;1;2 là một véctơ pháp tuyến của Q . n .n P Q 1 2 2 1 0 Gọi là góc giữa hai mặt phẳng P và Q cos 60 nP . nQ 6. 6 2 Ví dụ 2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm H 2; 1; 2 là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ O xuống mặt phẳng P , số đo góc giữa mặt P và mặt phẳng Q : x y 11 0bằng bao nhiêu? A. 45.B. 30 . C. 90 .D. 60 . Lời giải Chọn A H 2; 1; 2 là hình chiếu vuông góc của O xuống mặt P nên OH  P . Do đó P có vectơ pháp tuyến là n P 2; 1; 2 . 22
Q có vectơ pháp tuyến là n Q 1; 1; 0 . n .n P Q 2.1 1. 1 2.0 2 cos P , Q cos n P , n Q . 4 1 4. 1 1 0 2 n P . n Q Suy ra P , Q 45 . Ví dụ 3. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng P : x 2y 2z 3 0 , mặt phẳng Q : x 3y 5z 2 0 . Cosin của góc giữa hai mặt phẳng P , Q là 35 35 5 5 A. . B. . C. . D. . 7 7 7 7 Lời giải Chọn A  Ta có véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng P là nP 1;2; 2 , véc tơ pháp tuyến của  mặt phẳng Q là nQ 1; 3;5 . Gọi là góc giữa hai mặt phẳng P , Q ta có   nP .nQ 1.1 2. 3 2.5 15 35 cos   . 2 2 2 2 2 2 3 35 7 nP nQ 1 2 2 1 3 5 III.HỆ THỐNG CÂU HỎI ÔN TẬP MỨC ĐỘ 1. Câu 1. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P): x - 3y + 1 = 0 Véc tơ nào sau đây là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)? uur uur A. nP = (1;- 3;0). B. nP = (1;- 3;1). uur uur C. n = 1;- 3;- 1 . D. n = 1; 3; 0 . P ( ) P ( ) Câu 2. Mặt phẳng 2x - y + 3z - 2 = 0 có vectơ pháp tuyến là ur ur A. n = (2;- 1;3) B. n = (- 2;- 1;3) ur ur C. n = (2;1;3) D. n = (2;- 1;- 3) Câu 3. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng (P) có phương trình - 2x + 2y - z - 3 = 0. Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là: ur ur A. n(4;- 4;2) . B. n(- 2;2;- 3) . 23