Ôn tập TN THPT môn Toán - Chuyên đề: Thể tích khối đa diện - Trường THPT Hàn Thuyên

Nội dung tài liệu: Ôn tập TN THPT môn Toán - Chuyên đề: Thể tích khối đa diện - Trường THPT Hàn Thuyên

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CHUYấN ĐỀ VẬN DỤNG, VẬN DỤNG CAO BẮC NINH KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 Mụn: Toỏn TấN CHUYấN ĐỀ: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Người soạn: Trần Thị Hoa Đơn vị cụng tỏc: Tổ Toỏn - Trường THPT Hàn Thuyờn I.Hệ thụng kiến thức liờn quan A.Khoảng cỏch 1. Khoảng cỏch từ một điểm tới một đường thẳng. M H Cho điểm M và một đường thẳng . Trong mp M , gọi H là hỡnh chiếu vuụng gúc của M trờn . Khi đú khoảng cỏch MH được gọi là khoảng cỏch từ điểm M đến . d M , MH Nhận xột: OH OM ,M 2. Khoảng cỏch giữa hai đường thẳng Khoảng cỏch giữa hai đường thẳng và ' : - Nếu và ' cắt nhau hoặc trựng nhau thỡ d( , ') 0 . - Nếu và ' song song với nhau thỡ d( , ') d(M , ') d(N, ) M K ' H N 3. Khoảng cỏch từ một điểm tới một mặt phẳng. M H d  Trang 1
2. Cho mặt phẳng α và một điểm M , gọi H là hỡnh chiếu của điểm M trờn mặt phẳng α . Khi đú khoảng cỏch MH được gọi là khoảng cỏch từ điểm M đến mặt phẳng α . d M , α MH 4. Khoảng cỏch từ một đường thẳng tới một mặt phẳng. M H Cho đường thẳng và mặt phẳng α song song với nhau. Khi đú khoảng cỏch từ một điểm bất kỡ trờn đến mặt phẳng α được gọi là khoảng cỏch giữa đường thẳng và mặt phẳng α . d , α d M , α , M . - Nếu cắt (α ) hoặc nằm trong (α ) thỡ d( ,(α )) 0. 5. Khoảng cỏch giữa hai mặt phẳng. M H  Cho hai mặt phẳng α và β song song với nhau, khoảng cỏch từ một điểm bất kỡ trờn mặt phẳng này đến mặt phẳng kia được gọi là khoảng cỏch giữa hai mặt phẳng α và β . d α , β d M , β d N, α , M α , N β . 6. Khoảng cỏch giữa hai đường thẳng chộo nhau. Cho hai đường thẳng chộo nhau a,b . Độ dài đoạn vuụng gúc chung MN của a và b được gọi là khoảng cỏch giữa hai đường thẳng a và b . M ' N B. Gúc trong khụng gian 1. Gúc giữa hai đường thẳng. a.Định nghĩa: Trang 2
3. Gúc giữa hai đường thẳng cắt nhau a và b là gúc nhỏ nhất trong bốn gúc mà a và b cắt nhau tạo nờn. Gúc giữa hai đường thẳng cắt nhau a và b trong khụng gian là gúc giữa hai đường thẳng a và b cựng đi qua một điểm và lần lượt song song (hoặc trựng) với a vàb . Chỳ ý: gúc giữa hai đường thẳng luụn là gúc nhọn ( hoặc vuụng ). b. Phương phỏp Phương phỏp 1: Sử dụng định lý hàm số cosin hoặc tỉ số lượng giỏc. Phương phỏp 2: Sử dụng tớch vụ hướng: nếu u và v lần lượt là hai vecto chỉ phương ( hoặc vecto phỏp tuyến ) của hai đường thẳng a vàb thỡ gúc φ của hai đường thẳng này được xỏc định bởi cụng thức u.v cosφ cos u,v . u . v 2.Gúc giữa đường thẳng và mặt phẳng Nếu đường thẳng a  P thỡ gúc giữa đường thẳng a và P bằng 900 . Nếu đường thẳng a khụng vuụng gúc với P thỡ gúc giữa đường thẳng a và P là gúc giữa a và hỡnh chiếu a của a trờn P . a a' P 3.Gúc giữa hai mặt phẳng a. Định nghĩa - Gúc giữa hai mặt phẳng α và β là gúc giữa hai đường thẳng lần lượt vuụng gúc với hai mặt phẳng đú. - Nếu hai mặt phẳng đú song song hoặc trựng nhau thỡ gúc giữa chỳng bằng 0 . b. phương phỏp tớnh gúc giữa hai mặt phẳng cắt nhau ❖ Phương phỏp 1: Dựng hai đường thẳng a , b lần lượt vuụng gúc với hai mặt phẳng α và β . Khi đú, gúc giữa hai mặt phẳng α và β là ãα , β aả,b . Tớnh gúc aả,b . ❖ Phương phỏp 2: Trang 3
4. ➢ Xỏc định giao tuyến c của hai mặt phẳng α và β . ➢ Dựng hai đường thẳng a , b lần lượt nằm trong hai mặt phẳng và cựng vuụng gúc với giao tuyến c tại một điểm trờn c . Khi đú: ãα , β aả,b . Hay ta xỏc định mặt phẳng phụ γ vuụng gúc với giao tuyến c mà α  γ a , β  γ b . Suy ra ãα , β aả,b . ❖ Phương phỏp 3: (trường hợp đặc biệt) ➢ Nếu cú một đoạn thẳng nối hai điểm A , B A α , B β mà AB  β thỡ qua A hoặc B ta dựng đường thẳng vuụng gúc với giao tuyến c của hai mặt phẳng tại H . Khi đú ãα , β ãAHB . C. Thể tớch khối đa diện 1 1.Thể tớch khối chúp: V h.S trong đú h là chiều cao và Sd là diện tớch đỏy 3 d 2.Thể tớch khối lăng trụ: V h.Sd trong đú h là chiều cao và Sd là diện tớch đỏy 3.Cỏc trường hợp đặc biệt Định lý Menelaus: Cho tam giỏc ABC đường thẳng d cắt cỏc cạnh AB, BC,CA lần lượt tại MA PB NC M , N, P ta cú . . 1 MB PC NA A M N P B C Bài toỏn 1. Cho hỡnh chúp S.ABC. Trờn cỏc cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy cỏc điểm A’, B’, V / / / SA' SB ' SC ' C’. Khi đú: S.A B C . . VS.ABC SA SB SC Trang 4
5. Bài toỏn 2: Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy là hỡnh bỡnh hành. Một mặt phẳng (α ) cắt cỏc SA/ cạnh bờn SA, SB, SC, SD của hỡnh chúp lần lượt tại cỏc điểm A/ , B/ ,C / , D/ . Đặt x; SA SB/ SC / SD/ y; z; t . Khi đú SB SC SD 1 1 1 1 1) . x z y t V / / / / xyzt 1 1 1 1 2) S.A B C D ( ) VS.ABCD 4 x y z t Lời giải Gọi O là giao điểm của AC và BD ; I A/C /  SO . Suy ra B/ , I, D/ thẳng hàng. Kẻ AM / / A/C / ;CN / / A/C / . Ta cú: 1 1 SA SC SM SN SM SN 2SO x z SA/ SC / SI SI SI SI 1 1 2SO Chứng minh tương tự ta cũng cú: , Suy ra điều phải chứng minh. y t SI V SA/ B/C/ 1 2)Ta cú V / / / V / / / V / / / x.z.y V / / / xzy.VS.ABCD . S.A B C/ D S.A B C S.A D C SA B C VSABC 2 1 1 Chứng minh tương tự ta cú V / / / xzt.VS.ABCD Suy ra V / / / xz(y t) (1) SA D C 2 S.A B C/ D 2 Trang 5
6. 1 Tương tự ta cú V / / / yt(x z) (2) S.A B C/ D 2 xyzt x z y t xyzt 1 1 1 1 Từ (1) và (2) ta được V / / / . S.A B C/ D 4 xz yt 4 x y z t Bài toỏn 3: Cho hỡnh lăng trụ tam giỏc ABC.A1B1C1 . Trờn AA1 , BB1 , CC1 lấy lần lượt cỏc AM BN CP V a b c điểm M , N, P sao cho a , b , c . Khi đú: ABC.MNP AA BB CC V 3 1 1 1 ABC.A1B1C1 Lời giải Khụng mất tớnh tổng quỏt ta giả sử a c b . Khi đú mặt phẳng qua N song song với ABC cắt AA1, CC1 lần lượt tại D, E . Mặt phẳng qua M song song với ABC cắt BB1, CC1 lần lượt tại I, H Ta cú VABC.MNP VABC.DEN VN.DEPM 1 VN.DEPM d N; DEPM .SDEPM 3 1 1 d N; DEPM . DM PE .d DM ; PE 3 2 1 1 PE d N; DEPM . 1 .DM.d DM ; PE 3 2 DM 1 1 PE 1 PE d N; DEPM . 1 .SDEHM 1 VN.DEHM 3 2 DM 2 DM 1 2 PE 1 PE DM 1 DM PE . 1 V . 1 . V . .V . DEN.MIH ABC.A1B1C1 ABC.A1B1C1 2 3 DM 3 DM AA1 3 AA1 AA1 BN V V ABC.DEN ABC.A1B1C1 BB1 BN 1 DM PE Do đú :V V . .V ABC.MNP ABC.A1B1C1 ABC.A1B1C1 BB1 3 AA1 AA1 Trang 6
7. V BN 1 BN AM BN CP V a b c ABC.MNP ABC.MNP . V BB 3 BB AA BB CC V 3 ABC.A1B1C1 1 1 1 1 1 ABC.A1B1C1 Bài toỏn 4: Cho hỡnh hộp ABCD.A1B1C1D1 . Trờn cỏc đoạn thẳng AA1 , BB1 , CC1 lấy cỏc điểm M , N, P sao cho AM aAA1 , BN bBB1 , CP cCC1 . Mặt phẳng MNP cắt DD1 tại Q . V a c b d Ta cú tỉ số thể tớch: ABCD.MNPQ . V 2 2 ABCD.A1B1C1D1 Lời giải       Dựa vào giả thiết đề cho ta cú AM aAA , BN bBB , CP cCC ,      1  1 1 AA1 BB1 CC1 DD1 và giả sử DQ d DD1 . GọiO và I lần lượt là trung điểm AC và MP , khi đú MP là đường trung bỡnh chung của       hỡnh thang AMPC , BNQD . Do đú ta cú AM CP 2OI và BN DQ 2OI . Suy ra         AM CP BN DQ a.AA1 c.CC1 b.BB1 d.DD1 .  a c b d AA1 0 a c b d . VABCD.MNPQ a 2 b d c VABCD.MNPQ a c b d Tiếp theo, ta cú . V 6 V 2 2 ABCD.A1B1C1D1 ABCD.A1B1C1D1 II. Cỏc dạng bài tập thường gặp Dạng I: Tớnh thể tớch khối chúp 1. Vớ dụ minh hoạ Vớ dụ 1. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng, cỏc mặt bờn SBC , SAD cựng tạo với đỏy gúc 60 , mặt bờn SAB vuụng gúc với đỏy. Biết khoảng cỏch từ A đến mặt 21 phẳng SCD bằng , tớnh thể tớch khối chúp S.ABC . 7 3 3 3 3 A. . B. . C. . D. . 12 6 8 8 Lời giải. ChọnA Trang 7
8. S I C B H M A D Hạ SH  AB, H AB , do SAB  ABCD nờn SH  ABCD SH  BC Cú ABCD là hỡnh vuụng AB  BC BC  SAB BC  SB SB  BC, BC  AB  Cú   ABCD , SBC SBH SBC  ABCD BC (Do SAH 90 ) Chứng minh tương tự  ABCD , SAD SAH Từ giả thiết suy ra: SAH SBH 60mà H AB suy ra tam giỏc SAB đều và H là trung điểm của AB . Gọi M là trung điểm của CD HM  CD Cú SH  ABCD SH  CD 3 SHM  SCD . Hạ HI  SM thỡ HI  SCD HI 12 1 1 1 1 1 1 Cú 2 2 2 2 2 2 AB 1 (Do AB BC HM ) HI SH HM 21 AB 3 BC 7 2 1 1 3 1 3 V SH.S . . . S.ABC 3 ABC 3 2 2 12 Vớ dụ 2. Cho hỡnh chúp đều S.ABC cú gúc giữa mặt bờn và mặt đỏy (ABC bằng 60 o . Biết 3a 7 khoảng cỏch giữa hai đường thẳng SA và BC bằng . Tớnh theo a thể tớch V của khối 14 chúp S.ABC a3 3 a3 3 a3 3 a3 3 A.V . B.V . C. V . D.V . 12 16 18 24 Trang 8
9. Giải: Gọi O là trung điểm AC, x là cạnh của tam giỏc đều, G là trọng tõm tam giỏc ABC. +) Ta cú SO  AC; BO  AC ; nờn gúc giữa (SAC) và (ABC) là Sã OB 60o . Vỡ SABC là chúp đều nờn SG  ABC SG  GO . Xột tam giỏc vuụng SAG cú x 3 x SG OG.tan 60o . 3 6 2 +) Từ A kẻ AD / / BC suy ra: d BC, SA d BC, SAD d B,(SAD 2 Mặt khỏc ta cú d G, SAD d B, SAD 3 Vỡ Bã AD 120o , Bã AG 30o ;Gã AD 90o hay AG  AD (1) Lại cú SG AD AD  (AGS) . Kẻ GK  SA GK  AD GK  SAD GK d G, SAD Xột tam giỏc vuụng SGA ta cú: 1 1 1 1 1 7 x 7 2 2 2 2 2 2 GK GK GA GS x 3 x x 7 2 3 x 7 2 3a 7 Suy ra: . x a 7 3 14 Trang 9
10. a a2 3 Vậy SG ;S 2 ABC 4 1 1 a a2 3 a3 3 Thể tớch khối chúp S.ABC là: V SG.S . . 3 ABC 3 2 4 24 Chọn đỏp ỏn D. Vớ dụ 3. Cho hỡnh chúp S.ABC cú tam giỏc SAB nhọn và nằm trong mặt phẳng vuụng gúc với mặt đỏy ABC , tam giỏc ABC vuụng tại C cú AC a, ãABC 30 . Mặt bờn SAC và SBC cựng tạo với đỏy gúc bằng nhau và bằng 60 . Thể tớch của khối chúp S.ABC theo a là: a3 3a3 2a3 2a3 A. V . B. V . C. V . D. .V 2(1 5) 2(1 3) 1 3 2(1 2) Hướng dẫn giải ChọnB. S P A C H Q 30° B + Theo đề SAB  ABC theo giao tuyến AB . Dựng SH  AB SH  SAB . AC + ABC vuụng nờn tan30 BC a 3 . BC 1 a2 3 S AC.BC (1) . ABC 2 2 ã ã 0 + Dựng HP  AC, HQ  BC Sã PH SãQH SAC , ABC SBC , ABC 60 . SPH SQH HP HQ . HPCQ là hỡnh vuụng. Đặt HQ x,0 x a 3 QB a 3 x . Trang 10
11. QB a 3 HQB vuụng nờn tan 60 x 3 a 3 x x HQ . HQ 3 1 SH 3a SHQ vuụng nờn tan 60 SH (2) . HQ 3 1 3a3 Từ (1) và (2) : V . 2 3 1 Vớ dụ 4. Cho khối chúp S.ABC cú đỏy ABC là tam giỏc vuụng cõn tại A , AB a; Sã BA Sã CA 90o , gúc giữa hai mặt phẳng SAB và SAC bằng 60o . Thể tớch của khối đó cho bằng a3 a3 a3 A. a3. B. . C. . D. . 3 2 6 Lời giải Chọn D Hai tam giỏc vuụng SAB và SAC bằng nhau chung cạnh huyền SA . Kẻ BI vuụng gúc với SA suy ra CI cũng vuụng gúc với SA và IB IC . SA  IC, SA  IB SA  IBC tại I . 1 V V V SA.S S.ABC A.IBC S.IBC 3 IBC Bã IC 60 SAB , SAC IB, IC 60o ã o BIC 120 Ta cú IC IB AB a mà BC a 2 nờn tam giỏc IBC khụng thể đều suy ra Bã IC 120o . Trong tam giỏc IBC đặt IB IC x x 0 cú: 2 2 2 2 o 2 2 2 1 a 6 BC IB IC 2IB.IC.cos120 a 2 x x 2x x 2 3 2 2 2 2 a 6 a 3 Trong tam giỏc ABI vuụng tại I cú: AI AB IB a 3 3 Trang 11
12. AB2 a2 Trong tam giỏc SAB vuụng tại B đường cao BI cú: SA a 3 IA a 3 3 1 1 1 a3 Vậy V .SA.S .a 3. IB.IC.sin120o S.ABC 3 IBC 3 2 6 Vớ dụ 5. Cho tứ diện ABCD và cỏc điểm M , N , P lần lượt thuộc cỏc cạnh BC , BD , AC sao cho BC 4BM , AC 3AP , BD 2BN . Tớnh tỉ số thể tớch hai phần của khối tứ diện ABCD được phõn chia bởi mp MNP . 7 7 8 8 A. . B. . C. . D. . 13 15 15 13 Lời giải Chọn A. A P k I B N M D C Gọi I MN  DC, K AD  PI. Áp dụng định lý Menelaus cho tam giỏc BCD và3 điểm M , N, I ta cú IC ND MB IC 1 IC . . 1 .1. 1 3 ID NB MC ID 3 ID Áp dụng định lý Menelaus cho tam giỏc ACD và3 điểm P, K, I ta cú KD PA IC KD 1 KD 2 . . 1 . .3 1 KA PC ID KA 2 KA 3 V CP CM CN 2 3 2 1 CPMN . . . .1 V CA CB CN 3 4 4 2 CABN 1 1 V V V (3) CPMN 2 CABN 4 ABCD Trang 12
13. V AP AK AN 1 3 1 APKN . . . .1 VACDN AC AD AN 3 5 5 VNCPKD 4 4 4 1 2 VNCPKD VACDN VABCD VABCD (4) VACDN 5 5 5 2 5 13 3 , 4 V V V V CMPKDN CPMN NCPKD 20 ABCD V 7 ABMNKP VCMNDK 13 Vớ dụ 6. Cho hỡnh chúp đều S.ABC cú đỏy là tam giỏc đều cạnh a . Gọi E , F lần lượt là trung điểm của cỏc cạnh SB, SC . Biết mặt phẳng (AEF) vuụng gúc với mặt phẳng (SBC) . Tớnh thể tớch khối chúp S.ABC . a3 5 a3 5 a3 3 a3 6 A. . B. . C. . D. . 24 8 24 12 Lời giải Chọn A S F N E A C O M B Gọi O là tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC , do S.ABC là hỡnh chúp đều nờn SO  ABC . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BC và EF . Ta cú S , M , N thẳng hàng và SM  BC tại M , SM  EF tại N . Ta cú AEF  SBC EF  SM  SBC  SM  AEF MN  AN ANM vuụng tại N . SM  EF  AN AM NM Từ đú suy ra ANM ∽ SOM NM.SM AM.OM . SO SM OM Mà ta cú N là trung điểm của SM (vỡ E , F lần lượt là trung điểm của SB , SC ) 1 NM SM ; 2 Trang 13
14. a 3 ABC đều cạnh a và O là tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC AM ; 2 a 3 OM . 6 1 a 3 a 3 a2 a Vậy SM 2 . SM . 2 2 6 4 2 a2 a2 a 15 a2 3 Ta cú SO SM 2 OM 2 ; S . 2 12 6 ABC 4 1 1 a 15 a2 3 a3 5 V .SO.S . . . S.ABC 3 ABC 3 6 4 24 2. Bài tập vận dụng Cõu 1. Cho hỡnh chúp S.ABC cú AB 3, BC 4, AC 5 . Cỏc mặt bờn SAB , SAC , SBC đều cựng hợp với mặt đỏy ABC một gúc 60 và hỡnh chiếu H của S lờn ABC nằm khỏc phớa với A đối với đường thẳng BC . Thể tớch khối chúp S.ABC . A. VS.ABC 6 3 . B. VS.ABC 12 3 . C. VS.ABC 2 3 . D. VS.ABC 4 3 Cõu 2. Cho hỡnh chúp S.ABC , cú đỏy ABC là tam giỏc đều cạnh a . Cỏc mặt bờn SAB , SAC , SBC lần lượt tạo với đỏy cỏc gúc lần lượt là 300 ,450 ,60 . 0Tớnh thể tớch V của khối chúp S.ABC . Biết rằng hỡnh chiếu vuụng gúc của S trờn mặt phẳng ABC nằm bờn trong tam giỏc ABC . a3 3 a3 3 a3 3 a3 3 A. .V B. . C. . D. V. V V 4 3 2 4 3 4 4 3 8 4 3 Cõu 3. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng cạnh a , SA vuụng gúc với mặt đỏy ABCD và gúc giữa SC với mặt phẳng SAB bằng 30 . Gọi M là điểm di động trờn cạnh CD và H là hỡnh chiếu vuụng gúc của S lờn đường thẳng BM . Khi điểm M di động trờn cạnh CD thỡ thể tớch chúp S.ABH lớn nhất là a3 2 a3 2 a3 2 a3 2 A. V . B. V . C. V . D. V . 6 12 15 8 Cõu 4. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy là hỡnh vuụng cạnh a , SA vuụng gúc với mặt phẳng SM đỏy (ABCD) và SA a . Điểm M thuộc cạnh SA sao cho k,0 k 1.Khi đú giỏ trị SA của k để mặt phẳng (BMC) chia khối chúp S.ABCD thành hai phần cú thể tớch bằng nhau là: 1 5 1 5 1 5 1 2 A. k B. k . C. k . D. k . 2 2 4 2 Cõu 5. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng cạnh a , SA vuụng gúc với đỏy SA a 2 . Gọi B ', D ' là hỡnh chiếu của A lần lượt lờn SB, SD . Mặt phẳng AB ' D ' cắt SC tại C '. Tớnh thể tớch khối chúp S.AB 'C ' D ' là: Trang 14
15. 2a3 3 2a3 2 a3 2 2a3 3 A. V . B. V . C. V . D. V . 9 9 9 3 Cõu 6. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh bỡnh hành và cú thể tớch V. Gọi E là điểm trờn cạnh SC sao cho EC = 2ES. Gọi α là mặt phẳng chứa đường thẳng AE và song song với đường thẳng BD, α cắt hai cạnh SB, SD lần lượt tại hai điểm M, N. Tớnh theo V thể tớch khối chúp S.AMEN. 1 1 1 2 A. V. B. V. C. V. D. V. 6 9 27 3 Cõu 7. Cho hỡnh chúp S.ABC cú chõn đường cao nằm trong tam giỏc ABC , cỏc mặt bờn SAB , SBC , SCA cựng tạo với đỏy gúc 60 . Biết AB 3 , BC 4 ,CD 5 , tớnh thể tớch khối chúp S.ABC . A. 2 3 . B. 6 3 . C. 5 3 . D. 10 3 . Cõu 8. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ABCD là hỡnh chữ nhật tõm O với AB a, BC a 3 . Hỡnh chiếu vuụng gúc của S lờn mặt phẳng ABCD là trung điểm AO . Biết SAC ; SBC 60 . Khi đú thể tớch của S.ABCD là: a3 3 a3 3 a3 a3 6 A. . B. . C. . D. . 3 2 2 8 Cõu 9. Để làm một hỡnh chúp tứ giỏc đều từ một tấm tụn hỡnh vuụng cú cạnh bằng 1 3 , người ta cắt tấm tụn theo cỏc tam giỏc cõn bằng nhau MAN, NBP, PCQ,QDM sau đú gũ cỏc tam giỏc ABN, BCP,CDQ, DAM sao cho bốn đỉnh M , N, P,Q trựng nhau(hỡnh vẽ). Biết rằng, cỏc gúc ở đỉnh của mỗi tam giỏc cõn là 1500 . Tớnh thể tớch V của khối chúp đều tạo thành. 3 6 5 2 2 52 30 3 1 A. V . B. V . C. V . D. V 24 3 3 3 Cõu 10. Một đống đất được vun thành hỡnh một khối chúp cụt tứ giỏc đều cú cạnh đỏy lớn bằng 2m, cạnh đỏy nhỏ bằng 1m và chiều cao bằng 2m. Khối lượng (thể tớch) đống đất cú giỏ trị gần nhất với con số A. 4,55m3.B. 4,65m 3.C. 4,7 m 3.D. 4,75m 3. 3. Hướng dẫn giải Cõu 1. Cho hỡnh chúp S.ABC cú AB 3, BC 4, AC 5 . Cỏc mặt bờn SAB , SAC , SBC đều cựng hợp với mặt đỏy ABC một gúc 60 và hỡnh chiếu H của S lờn ABC nằm khỏc phớa với A đối với đường thẳng BC . Thể tớch khối chúp S.ABC . A. VS.ABC 6 3 . B. VS.ABC 12 3 . C. VS.ABC 2 3 . D. VS.ABC 4 3 Hướng dẫn giải ChọnA. Trang 15
16. S A M C P I B H N . Gọi M , N, P là hỡnh chiếu của H lờn CB, BA, AC . Ta cú SHM SHN SHP HM HN HP . Theo bài ra ta cú H là tõm đường trũn bàng tiếp ABC . Ta cú ABC vuụng tại B BMHN là hỡnh vuụng. Gọi I AH  BC . BI 3 3 3 BI BC . IC 5 8 2 BI NH 1 Ta cú B là trung điểm của AN HN AB 3 . AB AN 2 SH HN.tan 60 3 3 . 1 1 S BA.BC 6 V S .SH 6 3 . ABC 2 S.ABC 3 ABC Cõu 2. Cho hỡnh chúp S.ABC , cú đỏy ABC là tam giỏc đều cạnh a . Cỏc mặt bờn SAB , SAC , SBC lần lượt tạo với đỏy cỏc gúc lần lượt là 300 ,450 ,60 . 0Tớnh thể tớch V của khối chúp S.ABC . Biết rằng hỡnh chiếu vuụng gúc của S trờn mặt phẳng ABC nằm bờn trong tam giỏc ABC . a3 3 a3 3 a3 3 a3 3 A. .V B. . C. .D. V V V . 4 3 2 4 3 4 4 3 8 4 3 Hướng dẫn giải: Gọi H là hỡnh chiếu vuụng gúc của S trờn mặt phẳng ABC . Kẻ HD  AB D AB , HE  AC E AC , SH HF  BC E BC . Khi đú ta cú HD SH 3 , tan 300 SH SH SH HE SH , HF . Ta cú tan 450 tan 600 3 Trang 16
17. a2 3 1 1 a2 3 3a S ABC suy ra SH 1 3 a SH . 4 2 3 4 2 4 3 1 3a a2 3 a3 3 Vậy V . . . 3 2 4 3 4 8 4 3 Chọn đỏp ỏn D. Cõu 3. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng cạnh a , SA vuụng gúc với mặt đỏy ABCD và gúc giữa SC với mặt phẳng SAB bằng 30 . Gọi M là điểm di động trờn cạnh CD và H là hỡnh chiếu vuụng gúc của S lờn đường thẳng BM . Khi điểm M di động trờn cạnh CD thỡ thể tớch chúp S.ABH lớn nhất là a3 2 a3 2 a3 2 a3 2 A. V . B. V . C. V . D. V . 6 12 15 8 Lời giải Chọn B Lấy điểm N BC sao cho BN CM x, 0 x a . Gọi H AN  BM Xột ABN và BCM ta cú: BN CM , ãABN Bã CM 90 và AB BC ABN BCM (c.g.c) Bã AN Cã BM Mà Bã AN Bã NA 90 nờn Cã BM Bã NA 90 Bã HN 90 hay AH  BM BM  AH Ta cú: BM  SAH SH  BM BM  SA Hỡnh chiếu vuụng gúc của S lờn BM là H . BH BN BH x ax Do BHN đồng dạng với BCM nờn BH BC BM a x2 a2 x2 a2 Tam giỏc ABH vuụng tại H nờn 2 2 4 2 2 2 2 a x a a AH AB BH a 2 2 2 2 x a x a x2 a2 Trang 17
18. 1 1 a2 ax a3 x S ABH AH.BH . . . 2 2 2 2 x2 a2 x2 a2 2 x a 1 1 a3 x a4 2 a3 2 V SA.S .a 2. . . S.ABH 3 ABH 3 2 x2 a2 12a 12 Cõu 4. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy là hỡnh vuụng cạnh a , SA vuụng gúc với mặt phẳng SM đỏy (ABCD) và SA a . Điểm M thuộc cạnh SA sao cho k,0 k 1.Khi đú giỏ trị SA của k để mặt phẳng (BMC) chia khối chúp S.ABCD thành hai phần cú thể tớch bằng nhau là: 1 5 1 5 1 5 1 2 A. k B. k . C. k . D. k . 2 2 4 2 Lời giải Chọn A. Phõn tớch: Bài toỏn trờn chớnh là bài toỏn về tỉ số thể tớch, vỡ vậy trước hết phải xỏc định thiết diện của hỡnh chúp khi cắt bởi (BMC) . Do (BMC) chứa BC song song với AD nờn (BMC) cắt (SAD) theo giao tuyến song song AD . Để tớnh VS.BCNM nếu xỏc định đường cao thỡ phức tạp vỡ vậy sẽ chia thành hai khối và sử dụng bài toỏn tỉ số thể tớch. Kẻ MN / / AD; N SD khi đú thiết diện của hỡnh chúp S.ABCD với (BMC) là hỡnh thang BCNM . Suy ra (BMC) chia khối chúp thành hai khối đa diện SBCNM và DABCNM . Đặt V1 VS.BCNM ; V2 VDABCNM ; V VS.ABCD . 1 Để V V thỡ V V . 1 2 1 2 VSNMC SN SM 2 1 2 Ta cú . k VSNMC k .V . VSADC SD SA 2 VSMCB SM 1 Ta cú k VSMCB k.V . VSABC SA 2 Trang 18
19. 1 Vậy V (k 2 k).V . 1 2 1 5 k 1 2 2 Khi đú V1 V k k 1 . 2 1 5 k 2 1 5 Do 0 k 1 nờn k . Vậy chọn đỏp ỏn A. 2 Cõu 5. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng cạnh a , SA vuụng gúc với đỏy SA a 2 . Gọi B ', D ' là hỡnh chiếu của A lần lượt lờn SB, SD . Mặt phẳng AB ' D ' cắt SC tại C '. Tớnh thể tớch khối chúp S.AB 'C ' D ' là: 2a3 3 2a3 2 a3 2 2a3 3 A. V . B. V . C. V . D. V . 9 9 9 3 Lời giải Chọn C. S C' D' B' C D A B SB ' SD ' 2a2 2 Ta cú nờn suy ra B ' D '/ /BD mà BD  SAC BD  SC . SB SD 3a2 3 Do đú B ' D '  SC (1) Ta cú BC  SAB BC  AB ' và AB '  SB suy ra AB '  SC (2) Từ (1) và (2) suy ra AB 'C ' D '  SC nờn ta cú AC '  SC SC ' 2a2 1 . SC 4a2 2 V 2V SB ' SC ' 2 1 1 Ta cú SA'B'C 'D' SAB'C ' . . . VSABCD 2VSABC SB SC 3 2 3 1 a3 2 Mà V a2.a 2 . SABCD 3 3 Trang 19
20. 1 a3 2 a3 2 Vậy V . . SAB'C 'D' 3 3 9 Cõu 6. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh bỡnh hành và cú thể tớch V. Gọi E là điểm trờn cạnh SC sao cho EC = 2ES. Gọi α là mặt phẳng chứa đường thẳng AE và song song với đường thẳng BD, α cắt hai cạnh SB, SD lần lượt tại hai điểm M, N. Tớnh theo V thể tớch khối chúp S.AMEN. 1 1 1 2 A. V. B. V. C. V. D. V. 6 9 27 3 Lời giải Chọn A. S E N M I K D A O B C Gọi O AC  BD và I SO  AE. Do α đi qua AE và song song với BD nờn α cắt (SBD) theo một giao tuyến đi qua I và song song với BD. Trong (SAC) từ O kẻ một đường thẳng song song với AE giả sử cắt SC tại K, do O là trung điểm của AC nờn K là trung điểm của EC suy ra SE = EK = KC SI SE 1 Xột tam giỏc SAC ta cú SO SK 2 SM SN SI 1 Xột tam giỏc SBD ta cú SB SD SO 2 VS.AME SM SN 1 1 1 1 Do đú . . VS.AME V VS.ABC SB SD 2 3 6 12 1 1 1 1 Tương tự, ta cú V V. Vậy V V V V V V. S.ANE 12 S.AMEN S.AME S.ANE 12 12 6 Phương phỏp giải: Dựng định lớ Thalet và phương phỏp tỉ số thể tớch để tớnh thể tớch khối chúp cần tỡm theo V Chỳ ý Trang 20
21. +) Nếu ba điểm E, A, I thẳng hàng nờn ỏp dụng định lý Menelaus cho tam giỏc SOC ta cú: SE CA OI OI SI 1 . . 1 1 . EC AO IS SI SO 2 SI 1 Như vậy cú thể tớnh được tỷ số ngay mà khụng cần dựng định lý Ta lột SO 2 Cõu 7. Cho hỡnh chúp S.ABC cú chõn đường cao nằm trong tam giỏc ABC , cỏc mặt bờn SAB , SBC , SCA cựng tạo với đỏy gúc 60 . Biết AB 3 , BC 4 ,CD 5 , tớnh thể tớch khối chúp S.ABC . A. 2 3 . B. 6 3 . C. 5 3 . D. 10 3 . Lời giải ChọnA S A C G H I K B Hạ SH  ABC , H ABC HI  AB, I AB ; HK  BC, K BC , HG  CA,G CA SH  ABC SH  AB   SI  AB IH  AB  SI  AB, IH  AB  Cú   ABC , SAB HIS (Do HIS 90 ) SAB  ABC AB Chứng minh tương tự  ABC , SBC HKS  ABC , SAC SGH Từ giả thiết suy ra: HIS SKH SGH 60 SH HI 3 HK 3 HG 3 Mà H nằm trong tam giỏc ABC nờn H và HI lần lượt là tõm và bỏn kớnh đường trũn nội tiếp của tam giỏc ABC Trang 21
22. Cú AB2 BC 2 AC 2 nờn tam giỏc ABC là tam giỏc vuụng tại B . 2S ABC 4.3 HI 1 SH 3 . AB BC CA 3 4 5 1 1 3.4 V SH.S . 3. 2 3 . S.ABC 3 ABC 3 2 Cõu 8. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ABCD là hỡnh chữ nhật tõm O với AB a, BC a 3 . Hỡnh chiếu vuụng gúc của S lờn mặt phẳng ABCD là trung điểm AO . Biết SAC ; SBC 60 . Khi đú thể tớch của S.ABCD là: a3 3 a3 3 a3 a3 6 A. . B. . C. .D. . 3 2 2 8 Lời giải Gọi I trung điểm AO , suy ra SI  ABCD . a 3 AC 2a; BI . 2 Vẽ BE  SC IE  SC . Vậy SAC ; SBC BE;IE 60 . a Xột BIE vuụng tại I : IE BI.cot 60 . 2 1 1 1 3a 2 Xột SIC vuụng tại I : SI . IE2 SI 2 IC 2 8 1 a3 6 Vậy V SI.S . SABCD 3 ABCD 8 Trang 22
23. Cõu 9. Để làm một hỡnh chúp tứ giỏc đều từ một tấm tụn hỡnh vuụng cú cạnh bằng 1 3 , người ta cắt tấm tụn theo cỏc tam giỏc cõn bằng nhau MAN, NBP, PCQ,QDM sau đú gũ cỏc tam giỏc ABN, BCP,CDQ, DAM sao cho bốn đỉnh M , N, P,Q trựng nhau(hỡnh vẽ). Biết rằng, cỏc gúc ở đỉnh của mỗi tam giỏc cõn là 1500 . Tớnh thể tớch V của khối chúp đều tạo thành. 3 6 5 2 2 52 30 3 1 A. V .B. V . C. V .D. V 24 3 3 3 1+ 3 M N 1500 A D B C Q P Hướng dẫn giải Đỏp ỏn: B + ãAMN Dã MQ 150 ãAMD 600 MAD đều. Vỡ vậy hỡnh chúp tứ giỏc đều tạo thành cú tất cả cỏc cạnh bằng nhau và bằng MA . MN 2 1 3 Trong đú, MA 2 2sin 750 6 2 + Dễ dàng chứng minh được rằng: x3 2 “Một khối chúp tứ giỏc đều cú tất cả cỏc cạnh bằng x thỡ cú thể tớch là V ” 6 2 + Với x 2 thỡ V 3 1+ 3 M N 1500 A D B C Q P Cõu 10. Một đống đất được vun thành hỡnh một khối chúp cụt tứ giỏc đều cú cạnh đỏy lớn bằng 2m, cạnh đỏy nhỏ bằng 1m và chiều cao bằng 2m. Khối lượng (thể tớch) đống đất cú giỏ trị gần nhất với con số A. 4,55m3.B. 4,65m 3.C. 4,7 m 3.D. 4,75m 3. Trang 23
24. Hướng dẫn giải Đỏp ỏn: B Kộo dài cỏc cạnh bờn hỡnh chúp cụt lờn phớa trờn ta được hỡnh chúp lớn là hỡnh chúp sinh ra hỡnh chúp cụt. Hỡnh chúp nhỏ và hỡnh chúp lớn đồng 1 dạng theo tỉ số k = 2 ( là tỉ số giữa độ dài cạnh đỏy nhỏ và độ dài cạnh đỏy lớn hỡnh chúp cụt) 1 1 16 Thể tớch chúp lớn bằng a2.h .22.4 m3 3 3 3 Tỉ số giữa thể tớch chúp nhỏ và thể tớch chúp lớn 1 1 bằng ( )3 2 8 7 Thể tớch chúp cụt bằng thể tớch chúp lớn và 8 14 bằng m3 3 Dạng II. Thể tớch khối lăng trụ 1.Vớ dụ minh hoạ Vớ dụ 1. Cho hỡnh lập phương ABCD.A B C D . I là trung điểm BB . Mặt phẳng DIC chia khối lập phương thành 2 phần cú tỉ số thể tớch phần bộ chia phần lớn bằng. . 7 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 17 3 2 7 Trang 24
25. Hướng dẫn giải ChọnA. Coi như khối lập phương cú cạnh bằng 1. Để giải bài toỏn này, ta phải xỏc định đỳng thiết diện cắt bởi mặt phẳng DIC . Lấy M là trung điểm AB thỡ IM là đường trung bỡnh tam giỏc ABB nờn IM//AB //DC . Suy ra bốn điểm I, M ,C , D cựng thuộc một mặt phẳng C ID . Thiết diện cắt bởi mặt phẳng DIC là tứ giỏc C DMI . Phần cú thể tớch nhỏ hơn là khối đa diện C IBMDC . Để thuận tiện tớnh toỏn ta chia khối trờn thành 2 phần là tứ diện IMBD và hỡnh chúp DIBCC . 1 1 1 1 1 1 1 V .IB.S . .IB.DA.MB . .1. . IMBD 3 BDM 3 2 6 2 2 24 1 1 1 1 1 1 1 VD.IBCC .DC.SIBCC .DC. . IB CC .BC .1. . 1 .1. . 3 3 2 2 2 2 4 1 1 7 Suy ra thể tớch khối cú thể tớch nhỏ hơn là V V V . n IMBD DIBCC 24 4 24 7 17 Thể tớch phần lớn hơn là V V V 1 . l ABCD.A B C D n 24 24 Vậy tỉ lệ cần tỡm là Vn :Vl 7 :17 . Vớ dụ 2. Cho lăng trụ ABC.A B C là lăng trụ đứng, AC = a, BC = 2a gúc ÃCB bằng 120o . Gúc giữa đường thẳng ACÂ và mặt phẳng (ABBÂAÂ) bằng 30o . Tớnh thể tớch lăng trụ đó cho. Lời giải Kẻ CÂK ^ AÂBÂ. Vỡ lăng trụ ABC.A B C là lăng trụ đứng nờn CÂK ^ AAÂ. Do đú CÂK ^ (ABBÂAÂ) . Trang 25
26. Gúc giữa AC và (ABBÂAÂ) bằng gúc CãÂAK và bằng 30° (tam giỏc CÂAK vuụng tại K nờn gúc C ' AK nhọn) Xột tam giỏc ABC , ỏp dụng định lý cosin cho cạnh AB cú: AB2 = AC 2 + BC 2 - 2.AB.AC.cos120o = 7a2 ị AÂBÂ2 = 7a2 . 1 1 a2 3 S = S = CA.CB.sin ACB = a.2a.sin120o = . AÂBÂC ABC 2 2 2 1 1 Mặt khỏc S = CÂK.AÂBÂ= CÂK.a 7 AÂBÂC 2 2 1 a2 3 a 3 Do đú CÂK.a 7 = Û CÂK = 2 2 7 3a Xột tam giỏc AKC ' vuụng tại K nờn AK = CÂK.cot30o = CÂK. 3 = 7 Xột tam giỏc A'C ' K vuụng tại K nờn 3a2 2a AÂK = AÂCÂ2 - KCÂ2 = a2 - = 7 7 a 5 ị AAÂ= AK 2 - AÂK 2 = 7 a 5 a2 3 a3 105 Thể tớch của lăng trụ ABC.A B C là V = AAÂ.S = . = . ABC 7 2 14 Vớ dụ 3. Cho lăng trụ ABC.A B C cú đỏy là tam giỏc đều cạnh a , đỉnh A cỏch đều A, B,C . 3a Biết khoảng cỏch giữa đường thẳng AA và mặt phẳng (BCCÂBÂ) bằng . Tớnh thể tớch khối 4 lăng trụ ABC.A B C theo a . Lời giải Trang 26
27. Vỡ đỉnh A cỏch đều A, B,C nờn hỡnh chiếu vuụng gúc của A trờn (ABC) là tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC . Mà tam giỏc ABC đều nờn hỡnh chiếu vuụng gúc của A trờn (ABC) là trọng tõm O của tam giỏc ABC .Gọi K, I lần lượt là trung điểm của BÂCÂvà BC . Từ A' kẻ A' H ^ IK . Ta cú BC ^ AI, BC ^ A'O ị BC ^ (A' AI) ị A' H ^ BC . Lại cú AÂH ^ BC, AÂH ^ IK ị AÂH ^ (BCCÂBÂ) 3a ị d  = d = AÂH = ( AA ,(BCC 'B')) ( AÂ,( BCCÂBÂ)) 4 Đặt AA' = x > 0. a 3 2 a 3 Tam giỏc BAC đều cạnh a , AI là trung tuyến nờn AI = , AO = AI = . 2 3 3 a2 3x2 - a2 Xột tam giỏc AÂAO vuụng tại O : AÂO = AAÂ2 - AO2 = x2 - = . 3 3 Diện tớch hỡnh bỡnh hành AÂKIA là: 3x2 - a2 a 3 3a S = A'O.AI = . ,S = A'H.IK = .x A'KIA 3 2 A'KIA 4 3x2 - a2 a 3 3a 2a ị . = .x ị x = ị A'O = a 3 2 4 3 a2 3 Diện tớch tam giỏc đều ABC là S = . ABC 4 a2 3 a3 3 Thể tớch của lăng trụ đó cho là V = AÂO.S = a. = . ABC 4 4 Vớ dụ 4. Cho hỡnh lăng trụ đứng ABC.A'B'C' cú đỏy ABC là tam giỏc cõn tại A , gúc Bã AC nhọn. Gúc giữa AA' và BC' là 300 , khoảng cỏch giữa AA' và BC' là a . Gúc giữa hai mặt bờn AA'B'B và AA'C'C là 600 . Thể tớch lăng trụ ABC.A'B'C' là A' C' 2a3 3 a3 3 a3 6 a3 6 A. B. C. D. B' 3 3 6 3 300 Hướng dẫn giải: Ta cú gúc giữa hai mặt bờn AA'B'B và AA'C'C là Bã AC 600 0 C A 60 Trang 27 I B
28. VABC đều. Vỡ AA'/ /CC' ÃA'; BC' CãC'; BC' Bã C'C 300 Kẻ AI  BC AI  BB'C'C d AA'; BC' d AA'; BB'C'C AI a 2a BC 1 2a 2a3 3 BC ,CC' 2a VABC.A ' B' C' 2a. .a. 3 tan 300 2 3 3 Chọn đỏp ỏn A. Vớ dụ 5. Cho hỡnh lăng trụ tam giỏc đều ABC. A’B’C’, cú cạnh đỏy bằng a và cạnh bờn bằng AM A 'N 1 a 2 . Lấy M, N lần lượt trờn cạnh AB’, A’C sao cho = = . Tớnh thể tớch V của AB ' A 'C 3 khối BMNC’C. a3 6 2a3 6 3a3 6 a3 6 A. B. C. D. 108 27 108 27 Hướng dẫn giải: C' Chọn đỏp ỏn B. A' N K B' I G M A C Gọi G, K lần lượt là tõm cỏc hỡnh chữ nhật ABB’A’ và AA’C’C. H AM 1 AM 2 Ta cú: = ị = (Do G trung điểm AB’). B AB ' 3 AG 3 AM 2 Xột tam giỏc ABA’ cú AG là trung tuyến và = . Suy ra M là trọng tõm tam giỏc AG 3 ABA’. Do đú BM đi qua trung điểm I của AA’. A 'N 1 A 'N 2 Ta cú: = ị = (Do K là trung điểm A’C). A 'C 3 A 'K 3 A 'N 2 Xột tam giỏc AA’C’ cú A’K là trung tuyến và = . Suy ra N là trọng tõm của tam giỏc A 'K 3 AA’C’. Do đú C’N đi qua trung điểm I của AA’. Từ M là trọng tõm tam giỏc ABA’ và N là trọng tõm của tam giỏc AA’C’. Suy ra: Trang 28