Ôn tập TN THPT môn Toán - Chuyên đề: Tích phân hàm ẩn, hàm hợp

Nội dung tài liệu: Ôn tập TN THPT môn Toán - Chuyên đề: Tích phân hàm ẩn, hàm hợp

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CHUYÊN ĐỀ VẬN DỤNG, VẬN DỤNG CAO BẮC NINH KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 ¯¯¯¯¯¯¯¯¯ Môn: Toán ¯¯¯¯¯¯¯¯ TÊN CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN HÀM ẨN, HÀM HỢP Người biên soạn: Ngô Văn Khánh Đơn vị công tác:Trường THPT Lý Thái Tổ I. HỆ THỐNG KIẾN THỨC LIÊN QUAN 1. Định nghĩa tích phân 1.1. Định nghĩa Cho hàm số y f x thỏa: + Liên tục trên đoạn a;b . + F x là nguyên hàm của f x trên đoạn a;b . Lúc đó hiệu số F b F a được gọi là tích phân từ a đến b và kí hiệu b f x dx F b F a a Chú ý: + a, b được gọi là 2 cận của tích phân. b b + Tích phân không phụ thuộc và biến số, tức là f x dx f t dt F b F a . a a 1.2. Tính chất của tích phân: b c b + f x dx f x dx f x dx, a c b . a a c b b + kf x dx k f x dx, với k là hằng số khác 0. a a b b b + f x g x dx f x dx g x dx . a a a 1.3. Các phương pháp tính tích phân: - Sử dụng bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp - Sử dụng phương pháp đổi biến số. - Sử dụng phương pháp tính phân từng phần 4. Một số kết quả đặc biệt 4.1. Tích phân của hàm chẵn, lẻ a ￿ Nếu hàm số f x liên tục và lẻ trên  a;a thì f x .dx 0. a a a f x dx 2 f x dx a 0 ￿ Nếu hàm số f x liên tục và chẵn trên  a;a thì . a f x a dx f x dx x a b 1 0
2. 4.2. Tích phân của hàm số liên tục b b ￿ Nếu hàm số f x liên tục trên a;b thì f x dx f a b x dx . a a ￿ Nếu hàm số f x liên tục trên 0;1 thì 2 2 + f sin x dx f cos x dx . 0 0 a a + xf sin x dx f sin x dx và x. f sin x dx f sin x dx . a 2 a 0 2 0 2 a 2 a 2 2 + xf cos x dx f cos x dx và x. f cos x dx f cos x dx a a 0 0  Về mặt thực hành, sẽ đặt x cận trên cận dưới t x a b t . Từ đó tạo tích phân xoay vòng (tạo ra I), rồi giải phương trình bậc nhất với ẩn I. II. CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP Dạng 1.1 Giải bằng phương pháp đổi biến b Thông thường nếu trong bài toán xuất hiện f u x dx thì ta sẽ đặt u x t a 2 4 f x Câu 1. Cho f x dx 2 . Khi đó dx bằng 1 1 x A. 1. B. 4 . C. 2 . D. 8 . Lời giải 1 1 Đặt x t dx dt dx 2dt . Khi x 1 thì t 1; x 4 thì t 2 . 2 x x 4 f x 2 2 Suy ra dx f t .2dt 2 f t dt 2.2 4 . 1 x 1 1 4 f x Vậy dx 4 . 1 x 3 Câu 2. Cho f , g là hai hàm số liên tục trên 1;3 thỏa mãn điều kiện f x 3g x dx=10 1 3 3 2 đồng thời 2 f x g x dx=6 . Tính f 4 x dx +2 g 2x 1 dx 1 1 1 A. 9 . B. 6 . C. 7 . D. 8 . Lời giải 3 3 3 Ta có: f x 3g x dx=10 f x dx+3 g x dx=10. 1 1 1 3 3 3 2 f x g x dx=6 2 f x dx- g x dx=6 . 1 1 1 3 3 Đặt u f x dx; v = g x dx . 1 1 Trang 2
3. 3 f x dx=4 u 3v 10 u 4 1 Ta được hệ phương trình: 2u v 6 v 2 3 g x dx=2 1 3 + Tính f 4 x dx 1 Đặt t 4 x dt dx; x 1 t 3; x 3 t 1. 3 1 3 3 f 4 x dx f t dt f t dt f x dx 4 . 1 3 1 1 2 + Tính g 2x 1 dx 1 Đặt z 2x 1 dz 2dx; x 1 z 1; x 2 z 3. 2 1 3 1 3 g 2x 1 dx g z dz g x dx 1. 1 2 1 2 1 3 2 Vậy f 4 x dx +2 g 2x 1 dx = 6. 1 1 Câu 3. Cho f (x) là hàm số liên tục trên tập xác đinh ¡ + và thỏa mãn f (x2 + 3x + 1)= x + 2 . 5 Tính I = ò f (x)dx 1 37 527 61 464 A. . B. . C. . D. . 6 3 6 3 Lời giải f (x2 + 3x + 1)= x + 2 Û (2x + 3) f (x2 + 3x + 1)= (2x + 3)(x + 2) 1 1 61 Û ò(2x + 3) f (x2 + 3x + 1)dx = ò(2x + 3)(x + 2)dx = 0 0 6 Đặt t = x2 + 3x + 1Þ dt = (2x + 3)dx x 0 1 t 1 5 5 61 Suy ra ò f (t)dt = . 1 6 2 16 f x Câu 4. Cho hàm số f x liên tục trên ¡ và thỏa mãn cot x. f sin2 x dx dx 1. 1 x 4 1 f 4x Tính tích phân dx . 1 x 8 3 5 A. I 3 . B. I . C. I 2 . D. I . 2 2 Lời giải Trang 3
4. 2 16 f x Đặt I cot x. f sin2 x dx 1, I dx 1. 1 2 1 x 4 Đặt t sin2 x dt 2sin x.cos xdx 2sin2 x.cot xdx 2t.cot xdx . x 4 2 1 t 1 2 1 1 2 1 1 1 1 f t 1 4 f 4x 1 4 f 4x I cot x. f sin2 x dx f t . dt dt d 4x dx . 1 1 2t 2 1 t 2 1 4x 2 1 x 4 2 2 8 8 1 4 f 4x Suy ra dx 2I 2 1 1 x 8 Đặt t x 2tdt dx . x 1 16 t 1 4 16 f x 4 f t 4 f t 1 f 4x 1 f 4x I dx 2tdt 2 dt 2 d 4x 2 dx . 2 2 1 x 1 t 1 t 1 4x 1 x 4 4 1 f 4x 1 1 Suy ra dx I 2 1 x 2 2 4 1 1 f 4x 4 f 4x 1 f 4x 1 5 Khi đó, ta có: dx dx dx 2 . 1 x 1 x 1 x 2 2 8 8 4 x2 3x 2, víi x 3 1 Câu 5. Cho hàm số f x . Tích phân I f 5 4x dx bằng 4x 10, víi x 3 0 98 98 49 13 A. . B. . C. . D. . 5 3 12 6 Lời giải * Đặt t 5 4x dt 4dx . - Đổi cận: g x 0 t 5 g x 1 t 1 . 1 1 1 1 5 1 5 * I f 5 4x dx f t dt f t dt f x dx 0 4 5 4 1 4 1 3 5 1 2 4x 10 dx x 3x 2 dx 4 1 3 13 . 6 3 5 Câu 6. Cho hàm số f (x) liên tục trên ¡ và có f (x)dx 8 và f (x)dx 4. Tính 0 0 1 f ( 4x 1)dx. 1 Trang 4
5. 9 11 A. . B. . C. 3. D. 6. 4 4 Lời giải 1 1 4 1 Ta có f ( 4x 1)dx f ( 4x 1)dx f ( 4x 1)dx 1 1 1 4 1 4 1 f (1 4x)dx f (4x 1)dx I J. 1 1 4 1 4 +) Xét I f (1 4x)dx. 1 Đặt t 1 4x dt 4dx; 1 Với x 1 t 5; x t 0. 4 1 4 0 1 1 5 1 5 I f (1 4x)dx f (t)( dt) f (t)dt f (x)dx 1. 1 5 4 4 0 4 0 1 +) Xét J f (4x 1)dx. 1 4 Đặt t 4x 1 dt 4dx; 1 Với x 1 t 3; x t 0. 4 1 3 1 1 3 1 3 J f (4x 1)dx f (t)( dt) f (t)dt f (x)dx 2. 1 0 4 4 0 4 0 4 1 Vậy f ( 4x 1)dx 3. 1 f (2 x 1) ln x Câu 7. Cho hàm số y f (x) liên tục trên 1;4 và thỏa mãn f (x) . Tính x x 4 tích phân I f (x)dx . 3 A. I 3 2ln2 2 . B. I 2ln2 2 . C. I ln2 2 . D. I 2ln 2 . Lời giải 4 4 f (2 x 1) ln x 4 f (2 x 1) 4 ln x Ta có: f (x) dx dx dx dx A B . 1 1 x x 1 x 1 x 4 2 2 2 4 ln x 4 ln x ln 4 ln1 Xét B dx ln x d(ln x) 2ln2 2 . 1 x 1 2 2 2 1 4 f (2 x 1) Xét A dx . 1 x 1 4 f (2 x 1) 3 3 Đặt t 2 x 1 dt dx . Khi đó A dx f (t) dt f (x) dx x 1 x 1 1 Trang 5
6. 4 3 4 3 2 2 2 Vậy f (x) dx f (x) dx 2ln 2 f (x) dx f (x) dx 2ln 2 I 2ln 2 . 1 1 1 1 Câu 8. Cho hàm số f x liên tục trên khoảng 0; và thỏa mãn f x 2x 1 17 f x2 1 .ln x 1 với mọi x 0; . Biết f x dx a ln 5 2ln b c 4x x 2x 1 với a,b,c ¤ . Giá trị a b 2c bằng? 29 19 A. 7 . B. . C. 5 . D. . 2 2 Lời giải f x 2x 1 Từ giả thiết: f x2 1 .ln x 1 4x x 2x f x 2x f x2 1 2x 1 .ln x 1 ,x 0; , lấy tích phân 2 vế ta được: 2 x 4 4 f x 4 2xf x2 1 dx dx 2x 1 .ln x 1 dx (1). 1 1 2 x 1 4 +) Xét M 2xf x2 1 dx . 1 Đặt t x2 1 dt 2xdx . Đổi cận: x 1 4 t 2 17 17 17 Khi đó M f t dt f x dx (2). 2 2 4 f x +) Xét N dx . 1 2 x dx Đặt t x dt . 2 x Đổi cận: x 1 4 t 1 2 2 2 Khi đó N f t dt f x dx (3). 1 1 4 +) Xét P 2x 1 .ln x 1 dx . 1 dx u ln x 1 du Đặt x 1 . dv 2x 1 dx 2 v x x x x 1 4 4 4 2 2 2 x 15 Khi đó P x x ln x 1 xdx x x ln x 1 20ln 5 2ln 2 (4). 1 2 2 1 1 17 2 15 Thế (2), (3), (4) vào (1) được: f x dx f x dx 20ln 5 2ln 2 2 1 2 Trang 6
7. 17 15 f x dx 20ln 5 2ln 2 . 1 2 15 Kết hợp giả thiết ta suy ra được: a 20 ; b 2 ; c a b 2c 7 . 2 Vậy a b 2c 7 . Dạng 1.2 Giải bằng phương pháp từng phần b u g x Thông thường nếu bài toán xuất hiện g x f ' x dx ta sẽ đặt a dv f ' x dx 1 Câu 9. (Đề tham khảo 2017) Cho hàm số f x thỏa mãn x 1 f x dx 10 và 0 1 2 f 1 f 0 2 . Tính f x dx . 0 A. I 12 B. I 8 C. I 1 D. I 8 Lời giải 1 u x 1 du dx 1 Đặt . Khi đó I x 1 f x f x dx 0 dv f x dx v f x 0 1 1 Suy ra 10 2 f 1 f 0 f x dx f x dx 10 2 8 0 0 1 Vậy f x dx 8. 0 2 4 x Câu 10. Cho hàm số f x liên tục trên ¡ và f 2 16, f x dx 4 . Tính I xf dx 0 0 2 A. I 12 .B. I 112.C. I 144. D. I 28 Lời giải x x Đặt u x du dx , dv f dx v 2 f 2 2 4 4 x x 4 x 4 x 4 x I xf dx 2xf 2 f dx 8 f 2 2 f dx 128 2 f dx 0 2 2 0 0 2 0 2 0 2 4 x Tính I f dx 1 0 2 x 2 2 Đặt t dx 2dt , khi đó I 2 f t dt 2 f x dx 8 1 2 0 0 Vậy I 128 16 112 . Câu 11.(HSG Bắc Ninh 2019) Cho hàm số y f (x) có đạo hàm liên tục trên ¡ và thỏa mãn 2 1 f (2) 16, f (x)dx 4 . Tính I xf (2x)dx . 0 0 A. I 20 B. I 7 C. I 12 D. I 13 Lời giải 1 1 1 1 1 1 1 1 Ta có: I xf (2x)dx xf 2x f 2x dx f (2) f 2x d 2x 0 2 0 0 2 2 4 0 1 1 2 1 1 I f (2) f (x)dx .16 .4 7 . 2 4 0 2 4 Trang 7
8. Câu 12. Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên R và thỏa mãn f (0) 3 và 2 f (x) f (2 x) x2 2x 2,x R . Tích phân xf (x)dx bằng 0 4 2 5 10 A. . B. . C. .D. . 3 3 3 3 Lời giải Thay x 0 vào biểu thức ta được: f (0) f (2 0) 2 f (0) f (2) 2 f (2) 2 f (0) 2 3 1. 2 Ta có: I f (2 x)dx . 1 0 Đặtt 2 x dt dx . Đổi cận : x 0 t 2; x 2 t 0. 2 0 2 2 Suy ra: I f (2 x)dx f (t)dt f (t)dt f (x)dx . 1 0 2 0 0 2 2 2 Mà: f (x) f (2 x) x2 2x 2,x R f (x)dx f (2 x)dx x2 2x 2 dx . 0 0 0 2 2 8 2 f (x)dx x2 2x 2 dx . 0 0 3 2 4 f (x)dx . 0 3 2 Ta có: xf (x)dx . 0 u x du dx Đặt . dv f (x)dx v f (x) 2 2 2 4 10 Suy ra: xf (x)dx xf (x) f (x)dx 2 . 0 0 0 3 3 2 10 Vậy xf (x)dx . 0 3 2 2 • Lưu ý : Ta có thể sử dụng tính chất f (x)dx f (2 x)dx 0 0 Câu 13. Cho hàm số y f x liên tục và có đạo hàm trên ¡ thỏa mãn 1 a 5 f x 7 f 1 x 3 x2 2x ,x ¡ . Biết rằng tích phân I x. f ' x dx ( với a,b 0 b a là các số nguyên dương và là phân số tối giản). Tính T 3a b. b A. T 0. B. T 48. C. T 16. D. T 1. Lời giải 1 1 1 1 1 Ta có: I x. f ' x dx x.d f x I x. f x f x dx f 1 f x dx. (1) 0 0 0 0 0 1 1 2 2 Theo giả thiết: 5 f x 7 f 1 x 3 x 2x 5 f x 7 f 1 x dx 3 x 2x dx 0 0 Trang 8
9. 1 1 1 1 1 5 f x dx 7 f 1 x dx 3 x2 2x dx 5 f x dx 7 f 1 x dx 2. (2) 0 0 0 0 0 1 0 1 1 Bằng cách đổi biến t 1 x , ta có f 1 x dx f t dt f t dt f x dx . (3) 0 1 0 0 1 1 1 Thay (3) vào (2), ta có 5 f x dx 7 f x dx 2 f x dx 1. 0 0 0 Mặt khác do 5 f x 7 f 1 x 3 x2 2x nên lần lượt chọn x 0, x 1 ta có 5 f 0 7 f 1 0 5 f 1 . 5 f 1 7 f 0 3 8 5 1 1 5 3 Thay f 1 và f x dx 1 vào (1) ta có I f 1 f x dx 1 . 8 0 0 8 8 Vậy a 3; b 8 T 3a b 9 8 1. Câu 14. Cho hàm số f x liên tục trên ¡ và thỏa mãn 4 tan x. f cos2 x dx 1; 0 2 e2 f ln x 2 f 2x dx 1. Tính tích phân I 1 dx . e x ln x 4 x A. I 1. B. I 2 . C. I 3 . D. I 4 . Lời giải 4 2 2 1 • Xét I1 tan x. f cos x dx 1, đặt t cos x . Khi đó x 0 t 1, x t ; 0 4 2 sin x.cos x 1 dt 1 1 f t 1 f t tan xdx dx . . Do vậy I . Suy ra 2I 2 . 2 1 1 1 1 cos x 2 t 2 2 t 2 t 2 2 e f ln x 2 • Xét I dx , đặt t ln2 x . Khi đó x e t 1;x e t 4; 2 e x ln x dx 1 dt 1 4 f t 4 f t . . Do vậy I dt . Suy ra dt 2I 2 . x.ln x 2 t 2 2 1 t 1 t 2 2 f 2x 1 1 dx dt • Xét I 1 dx , đặt t 2x . Khi đó x t , x 2 t 4 ; . Do vậy 4 x 4 2 x t 4 f t 1 f t 4 f t I 1 dt = 1 dt dt 2 2 4 . 1 2 t 2 t t Câu 15. Cho hàm số f (x) liên tục trên 0; và thỏa mãn f (x2 4x) 2x2 7x 1 5 ,x 0; . Biết f (5) 8. Tính I xf (x)dx ? 0 68 35 52 62 A. I . B. I . C. I .D. I . 3 3 3 3 Lời giải 5 5 5 5 Ta có I xf (x)dx xd f (x) xf (x) 5 f (x)dx 40 f (x)dx . 0 0 0 0 0 Ta có f (x2 4x) 2x2 7x 1 f (x2 4x) 2x 4 2x2 7x 1 2x 4 ,x 0; 1 1 52 f (x2 4x) 2x 4 dx 4x3 22x2 26x 4 dx . 0 0 3 Đặt t x2 4x dt 2x 4 dx Trang 9
10. Khi x 0 t 0 ,khi x 1 t 5 1 52 5 52 5 52 f (x2 4x) 2x 4 dx f t dt f x dx 0 3 0 3 0 3 5 5 52 68 Suy ra I xf (x)dx xd f (x) 40 . 0 0 3 3 æ ö é ù é2 ù ç 2 ÷ 2 Câu 16.Cho hàm số f (x)liên tục trên ê ;1úvà thỏa mãn 2 f (x)+ 5 f ç ÷= 3x, " x Î ê ;1ú. Khi ëê5 ûú èç5xø ëê5 ûú 1 3 đó I = ò ln 3x. f '(3x)dx bằng: 2 15 1 2 3 1 5 3 1 5 3 1 2 3 A. ln + . B. ln - . C. - ln - . D. - ln + . 5 5 35 5 2 35 5 2 35 5 5 35 Lời giải æ ö é ù ç 2 ÷ 2 Ta có: 2 f (x)+ 5 f ç ÷= 3x, " x Î ê ;1ú (1) èç5xø ëê5 ûú æ2 ö f ç ÷ f (x) èç5xø÷ é2 ù Û 2 + 5 = 3, " x Î ê ;1ú x x ëê5 ûú æ ö ç 2 ÷ 1 1 f ç ÷ 1 f (x) èç5xø÷ 9 Û 2ò dx + 5ò dx = ò3dx = (2) 2 x 2 x 2 5 5 5 5 æ ö ç 2 ÷ 1 f ç ÷ èç5xø÷ 2 2 2 du Xét I = 5 dx đặt u = Þ du = - dx Þ - = dx . 1 ò 2 2 2 x 5x 5x 5 u 5 ïì 2 ï x = Þ u = 1 ï 5 Đổi cận: íï ï 2 ï x = 1Þ u = îï 5 2 5 f (u) 1 f (u) 1 f (x) Þ I = - 5 du = 5 du = 5 dx 1 ò u ò u ò x 1 2 2 5 5 1 f (x) 1 f (x) 9 Từ (2) suy ra, 2ò dx + 5ò dx = 2 x 2 x 5 5 5 1 f (x) 9 Û ò dx = 2 x 35 5 1 3 Tính I = ò ln 3x. f '(3x)dx . 2 15 Trang 10
11. ïì 2 2 ï x = Þ t = 1 ï 15 5 Đặt t = 3x Þ dt = 3dx Þ dt = dx . Đổi cận: íï 3 ï 1 ï x = Þ t = 1 îï 3 1 1 Þ I = ò ln t. f '(t)dt 3 2 5 ïì 1 ïì u = ln t ï du = dt Đặt: íï Þ í t îï dv = f '(t) ï îï v = f (t) 1 1 1 1 f (t) 1 2 2 3 I = (ln t. f (t)) 2 - ò dt = - ln . f ( )- 3 5 3 2 t 3 5 5 35 5 æ ö é ù ç 2 ÷ 2 Tính 2 f (x)+ 5 f ç ÷= 3x, " x Î ê ;1ú èç5xø ëê5 ûú 2 Cho x = 1; x = vào (1) ta có hệ phương trình sau: 5 ïì æ2ö ï 2 f 1 + 5 f ç ÷= 3 ì f (1) = 0 ï ( ) ç ÷ ï ï è5ø ï í Û í æ2ö 3 ï æ2ö 6 ï f ç ÷= ï 2 f ç ÷+ 5 f 1 = ï èç ø÷ ï ç ÷ ( ) îï 5 5 îï è5ø 5 1 3 2 3 1 5 3 Suy ra, I = - . ln - = ln - . 3 5 5 35 5 2 35 Câu 17. (Mã 104 - 2019) Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên ¡ . Biết f 3 1 và 1 3 xf 3x dx 1, khi đó x2 f x dx bằng 0 0 25 A. . B. 3 . C. 7 . D. 9 . 3 Lời giải 1 Đặt t 3x dt 3dx dx dt . 3 1 1 3 3 Suy ra 1 xf 3x dx tf t dt tf t dt 9 . 0 9 0 0 du f t dt u f t Đặt t2 . dv tdt v 2 3 3 t2 3 t2 9 1 3 tf t dt f t f t dt f 3 t2 f ' t dt . 2 2 2 2 0 0 0 0 9 1 3 3 9 t2 f t dt t2 f t dt 9 . 2 2 0 0 Trang 11
12. 3 Vậy x2 f x dx 9. 0 Câu 18.Cho hàm số y f x có đạo hàm trên 0;3; f 3 x . f x 1, f x 1 với mọi 1 3 x. f x x 0;3 và f 0 . Tính tích phân: dx . 2 2 2 0 1 f 3 x . f x 5 1 3 A. 1. B. . C. . D. . 2 2 2 Lời giải 2 1 f 3 x . f 2 x f 2 x 2. f 3 x . f 2 x f 2 3 x . f 2 x 2 f 2 x 2. f x 1 f x 1 . 3 x. f x I dx 2 0 1 f x u x du dx Đặt f x 1 dv dx v 2 1 f x 1 f x 3 x 3 dx 3 I I 1 f x 1 f x 1 f 3 1 0 0 1 f 0 f 3 2 2 Đặt t 3 x dt dx Đổi cận x 0 t 3 x 3 t 0 3 dt 3 dx 3 f x .dx I 1 1 f 3 t 1 1 f x 0 0 1 0 f x 3 1 f x 3 2I dx 3 I 1 1 0 1 f x 2 3 1 Vậy I 1 . 2 2 Dạng 1.3. Bài toán với điều kiện hàm ẩn có dạng: 1) f ' x g(x).h f x 2) f ' x .h f x g x Phương pháp giải: f ' x d f (x) 1) f ' x g(x).h f x g x g x dx h f x h f x 2) f ' x .h f x g x h f x df x g x dx 1 2 Câu 19. (Mã 104 2018) Cho hàm số f x thỏa mãn f 2 và f x x3 f x 5 với mọi x ¡ . Giá trị của f 1 bằng Trang 12
13. 4 71 79 4 A. B. C. D. 35 20 20 5 Lời giải Chọn D 2 2 2 f x f x Ta có: f x x3 f x x3 dx x3dx 2 2 f x 1 f x 1 2 1 15 1 1 15 4 f 1 . f x 4 f 2 f 1 4 5 1 Câu 20.Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên 2;4 và f x 0, x 2;4. Biết 3 7 4x3 f x f x x3 , x 2;4, f 2 . Giá trị của f 4 bằng 4 40 5 1 20 5 1 20 5 1 40 5 1 A. . B. . C. . D. . 2 4 2 4 Lời giải Chọn D Ta có: f x 0, x 2;4 nên hàm số y f x đồng biến trên 2;4 f x f 2 mà 7 f 2 . Do đó: f x 0, x 2;4. 4 3 3 3 3 3 Từ giả thiết ta có: 4x f x f x x x 4 f x 1 f x f x x.3 4 f x 1 f x x . 3 4 f x 1 2 2 f x d 4 f x 1 2 1 x 3 3 x Suy ra: dx xdx C 4 f x 1 C . 3 4 f x 1 4 3 4 f x 1 2 8 2 7 3 1 f 2 2 C C . 4 2 2 3 4 2 x 1 1 3 40 5 1 Vậy: f x f 4 4 4 Câu 21. Cho hàm số f x 0,x 0 và có đạo hàm f ' x liên tục trên khoảng 0; 1 thỏa mãn f ' x 2x 1 f 2 x ,x 0 và f 1 . Giá trị của biểu thức 2 f 1 f 2 f 2020 bằng 2015 2020 2019 2016 A. . B. . C. . D. . 2019 2021 2020 2021 Lời giải Ta có: f ' x 2x 1 f 2 x ,x 0 f '(x) f '(x) 1 2x 1 dx (2x 1)dx x2 x C f 2 (x) f 2 (x) f (x) 1 1 1 Mặt khác: f 1 1 1 C C 0 f (x) . 1 2 2 x x 2 1 1 2020 2020 1 1 1 1 2020 Do đó: f (x)  f n  . x x 1 n 1 n 1 n n 1 1 2021 2021 Trang 13
14. Câu 22. Cho hàm số f x có đạo hàm f x dương, liên tục trên đoạn 1;2 thỏa mãn 2 f x 3x f x 1 ,x 1;2 và f 1 2 . Giá trị của f 2 bằng A. 3e7 . B. 3e7 1. C. 3e7 1. D. e7 . Lời giải Do f x dương trên đoạn 1;2 , suy ra hàm số f x đồng biến trên 1;2 , f x 1 0 f 2 f x f 1 2,x 1;2 ,x 1;2. Do đó f 2 0 2 f x 3x f x 1 ,x 1;2 f x 3x2 ,x 1;2. f x 1 Dễ thấy cả hai vế đều là các hàm số liên tục trên đoạn 1;2 . Lấy tích phân từ 1 đến 2 hai vế, ta được 2 f x 2 dx 3x2dx 7 . 1 f x 1 1 Đặt t f x 1 dt f x dx . Đổi cận x 1 t f 1 1 3; x 2 t f 2 1 0 , ta có f 2 1 dt f 2 1 f 2 1 ln t ln 7 f 2 3e7 1. t 3 3 3 Câu 23. Cho hàm số f x xác định và liên tục trên ¡ \ 0 thỏa mãn x2 f 2 x 2x 1 f x xf ' x 1, với mọi x ¡ \ 0 đồng thời thỏa f 1 2 . Tính 2 f x dx 1 ln 2 1 3 ln 2 3 A. 1. B. ln 2 . C. ln 2 . D. . 2 2 2 2 2 Lời giải Chọn D 2 ' Ta có x2 f 2 x 2xf x 1 xf ' x f x xf x 1 xf x 1 ' ' xf x 1 xf x 1 1 Do đó 1 dx 1dx x c 2 2 xf x 1 xf x 1 xf x 1 1 xf x 1 x c 1 1 1 1 Mặt khác f 1 2 nên 2 1 c 0 xf x 1 f x 1 c x x2 x 2 2 1 1 1 1 Vậy f x dx dx ln x |2 ln 2 . 2 1 1 1 x x x 2 Dạng 1.4. Bài toán với điều kiện hàm ẩn có dạng: A. f x B.u' x f u x C. f a b x g x Câu 24. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên ¡ thỏa mãn f 1 1 và 1 xf 1 x3 f x x7 x 2, x ¡ . Tính tích phân I f x dx . 0 Trang 14
15. 2 5 5 2 A. . B. . C. . D. . 3 9 9 3 Lời giải Cách 1: PP tự luận: Từ xf 1 x3 f x x7 x 2, x ¡ suy ra x2 f 1 x3 xf x x8 x2 2x, x ¡ 1 1 1 Do đó x2 f 1 x3 dx xf x dx x8 x2 2x dx . 0 0 0 Đặt t 1 x3 ta có dt 3x2dx do đó ta được 1 1 0 1 1 1 1 x2 f 1 x3 dx f t dt f t dt f x dx . 0 3 1 3 0 3 0 1 1 1 Vậy ta có x2 f 1 x3 dx xf x dx x8 x2 2x dx 0 0 0 1 1 1 5 f x dx xf x dx 3 0 0 9 1 1 1 1 5 f x dx xf x f x dx 0 3 0 0 9 2 1 5 4 1 2 f x dx f 1 0. f 0 f x dx . 3 0 9 9 0 3 1 2 Vậy I f x dx . 0 3 Cách 2: PP chọn hàm đại diện Từ đẳng thức xf 1 x3 f x x7 x 2, x ¡ suy ra chọn đặt hàm số f x là hàm số bậc 2 dạng f (x) ax2 bx c với a,b,c ¡ . Ta có xf 1 x3 f (x) x7 x 2 . 2 Do đó x a 1 x3 b 1 x3 c 2ax b x7 x 2 6 3 7 x ax 2a b x a b c 2ax b x x 2 ax7 2a b x4 3a b c x b x7 x 2 a 1 a 1 2a b 0 b 2 . 3a b c 1 c 0 b 2 1 1 2 Do vậy f (x) x2 2x thỏa mãn f (1) 1, từ đó ta có I f x dx x2 2x dx . 0 0 3 Câu 25. Cho hàm số y f x có đạo hàm trên ¡ thỏa mãn f 1 1và 2 f 2x xf x2 5x 2x3 1với mọi x ¡ Tính tích phân I xf ' x dx. 1 A. I 3. B. I 1. C. I 2. D. I 5. Lờigiải Trang 15
16. 2 2 2 2 Ta có: I xf ' x dx x d f x xf x f x dx. 1 1 1 1 1 1 1 Từ giả thiết f 2x xf x2 5x 2x3 1 f 2x dx xf x2 dx 5x 2x3 1 dx 1. 0 0 0 1 1 2 1 2 Đặt K f 2x dx. Đổi biến t 2x dt 2dx K f t dt f x dx. 0 2 0 2 0 1 1 1 1 1 Đặt L xf x2 dx.Đổi biến t x2 dt 2xdx L f t dt f x dx. 0 2 0 2 0 1 2 1 1 1 2 1 2 Khi đó f x dx f x dx 1 f x dx f x dx 1 f x dx 2. 2 0 2 0 2 0 0 1 Từ giả thiết f 2x xf x2 5x 2x3 1 ta suy ra f 2 3. 2 2 2 Như vậy: I xf x f x dx 2. f 2 1. f 1 f x dx 2.3 1.1 2 3. 1 1 1 Câu 26. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên ¡ thỏa mãn f 1 1 và 1 xf 1 x3 f x x7 2x4 3x 1 với mọi x ¡ . Tính f x dx . 0 5 13 5 13 A. . B. .C. .D. . 6 12 6 12 Lời giải xf 1 x3 f x x7 2x4 3x 1 x2 f 1 x3 xf x x8 2x5 3x2 x 1 1 2 3 8 5 2 x f 1 x xf x dx x 2x 3x x dx 0 0 1 1 1 9 6 2 2 3 x x 3 x x f 1 x dx xf x dx 2 x 9 6 2 0 0 0 1 1 5 2 3 x f 1 x dx xf x dx * 0 0 18 1 +) Tính I x2 f 1 x3 dx . Đặt t 1 x3 dt 3x2dx 1 0 Đổi cận 1 0 1 1 1 1 1 I x2 f 1 x3 dx f t dt f t dt f x dx 1 0 1 3 3 0 3 0 1 u x du dx +) Tính I xf x dx . Đặt 2 dv f x dx v f x 0 1 1 1 1 I xf x dx xf x f x dx 1 f x dx 2 0 0 0 0 Trang 16
17. 1 1 1 5 2 1 13 * f x dx 1 f x dx f x dx 3 0 0 18 3 0 18 1 13 f x dx 0 12 Câu 27. Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn 0;1 và thoả mãn x3 1 a b 2 f x 8x3 f x4 0 . Tích phân I f x dx có kết quả dạng , 2 x 1 0 c a b a,b,c ¢ , , tối giản. Tính a b c . c c A. 6 . B. 4 .C. 4 .D. 10 . Lời giải x3 x3 f x 8x3 f x4 0 f x 8x3 f x4 . x2 1 x2 1 1 1 1 x3 I f x dx 8x3 f x4 dx dx 1 2 0 0 0 x 1 1 1 1 Xét 8x3 f x4 dx 2 f x4 d x4 2 f x dx 2I 0 0 0 1 x3 Xét dx . 2 0 x 1 Đặt t x2 1 t 2 x2 1 tdt xdx . Đổi cận x 0 t 1, x 1 t 2 . 2 2 1 x3 2 t 1 tdt t3 2 2 Nên dx t 2 t 3 3 3 0 x 1 1 1 2 2 2 2 Do đó 1 I 2I I . 3 3 Nên a 2 , b 1, c 3. Vậy a b c 6 . Câu 28. Cho hàm số f x liên tục trên ¡ thỏa mãn 0 xf x5 f 1 x4 x11 x8 x6 3x4 x 3,x ¡ . Khi đó f x dx bằng 1 35 15 7 5 A. . B. . C. . D. . 6 4 24 6 Lời giải Chọn D Với x ¡ ta có : xf x5 f 1 x4 x11 x8 x6 3x4 x 3 x4 f x5 x3 f 1 x4 x14 x11 x9 3x7 x4 3x3 (*) 1 1 1 x4 f x5 dx x3 f 1 x4 dx x14 x11 x9 3x7 x4 3x3 dx 0 0 0 1 1 1 1 33 f x5 d x5 f 1 x4 d 1 x4 5 0 4 0 40 Trang 17
18. 1 1 1 1 33 1 11 f x dx f x dx f x dx 5 0 4 0 40 0 6 0 0 0 Mặt khác : (*) x4 f x5 dx x3 f 1 x4 dx x14 x11 x9 3x7 x4 3x3 dx 1 1 1 1 0 1 0 7 (*) f x5 d x5 f 1 x4 d 1 x4 5 1 4 1 24 1 0 1 1 7 0 7 1 11 5 f x dx f x dx f x dx 5 . . 5 1 4 0 24 1 24 4 6 6 Câu 29. Cho hàm số f x liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn 1 4x. f x2 3 f 1 x 1 x2 . Tính I f x dx . 0 A. . B. . C. . D. . 4 16 20 6 Lời giải 1 1 2 2 Lấy tích phân hai vế, ta có 4x. f x 3 f 1 x dx 1 x dx * . 0 0 1 Xét tích phân J 1 x2 dx . Đặt x sin t dx costdt . Khi đó, ta có 0 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 sin 2t J 1 x dx 1 sin t.costdt cos tdt 1 cos 2t dt t . 0 0 0 2 0 2 2 0 4 1 Xét tích phân K 4x. f x2 dx . Đặt t x2 dt 2xdx . Khi đó, ta có 0 1 1 1 K 4x. f x2 dx 2 f t dt 2 f x dx . 0 0 0 1 Xét tích phân L 3 f 1 x dx . Đặt t 1 x dt dx . Khi đó, ta có 0 1 0 1 1 L 3 f 1 x dx 3 f t dt 3 f t dt 3 f x dx . 0 1 0 0 1 1 Vậy * 5 f x dx f x dx . 0 4 0 20 Dạng 1.5. Bài toán biến đổi giả thiết về đạo hàm của một tổng – hiệu; tích – thương. Một số bài toán thường gặp Bài toán 1. Bài toán tích phân liên quan đến đẳng thúrc u(x) f (x) u' (x) f (x) h(x) Phương pháp: Dễ dàng thấy rằng u(x) f (x) u (x) f (x) [u(x) f (x)] Do dó u(x) f (x) u (x) f (x) h(x) [u(x) f (x)] h(x) Suy ra u(x) f (x) h(x)dx Từ đây ta dễ dàng tính được f (x) Trang 18
19. Bài toán 2. Bài toán tích phân liên quan đến biếu thúrc f (x) p(x) f (x) h(x) (Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1) Phương pháp: p(x)dx Nhân hai vế với e ta được p(x)dx p(x)dx p(x)dx p(x)dx p(x)dx f (x)e p(x)e  f (x) h(x)e f (x)e h(x)e p(x)dx p(x)dx Suy ra f (x)e e h(x)dx Từ đây ta dễ dàng tính được f (x) Câu 30.Cho hàm số f x liên tục trên ¡ \ 1;0 thỏa mãn điều kiện f 1 2ln 2 và x. x 1 . f x f x x2 x 1 . Biết f 2 a b.ln 3 a, b ¤ . Giá trị của 2 a2 b2 27 3 9 A. . B. 9 . C. . D. . 4 4 2 Lời giải 2 Xét trên đoạn 1;2 , chia cả hai vế của phương trình 1 cho x 1 , ta được: x 1 x x x  f x  f x  f x x 1 x 1 2 x 1 x 1 x 1 x x  f x dx dx x 1 x 1 x 1 x  f x C1 1 dx  f x x ln x 1 C 2 . x 1 x 1 x 1 Theo giả thiết, f 1 2ln 2 nên thay x 1 vào phương trình 2 , ta được: 1 f 1 1 ln 2 C ln 2 1 ln 2 C C 1. 2 Thay x 2 vào 2 , ta được: 2 3 3 3 3 f 2 2 ln 3 1 f 2 ln 3 a , b . Vậy 2 a2 b2 9 . 3 2 2 2 2 Câu 31. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên ¡ và thỏa mãn các điều kiện sau: 3 f 0 2 và x2 1 f x xf x x , x ¡ . Tính tích phân I xf x dx . 0 5 3 3 5 A. I .B. I .C. I .D. I . 2 2 2 2 Lời giải • Theo giả thiết: x2 1 f x xf x x x x x2 1. f x . f x x2 1 x2 1 x2 1. f x x2 1 x2 1. f x x2 1 C . • f 0 2 1. f 0 1 C C 1. Trang 19
20. 1 • x2 1. f x x2 1 1 f x 1 . x2 1 Khi đó: 3 3 3 x 1 3 5 I xf x dx x dx x2 x2 1 3 1 0 1 2 0 0 x 1 2 0 2 2 Câu 32. Cho hàm số f x liên tục và có đạo hàm tại mọi x 0; đồng thời thỏa mãn 3 2 điều kiện: f x x sin x f ' x cos x và f x sin xdx 4. Khi đó, f nằm trong 2 khoảng nào? A. 6;7 . B. 5;6 . C. 12;13 . D. 11;12 . Lời giải Ta có: f x x sin x f x cos x f x xf x sin x cos x x2 x x2 f x 1 f x 1 cos x cos x c x x x x f x cos x cx Khi đó: 3 3 2 2 f x sin xdx 4 cos x cx sin xdx 4 2 2 3 3 2 2 cos xsin xdx c xsin xdx 4 0 c 2 4 c 2 2 2 f x cos x 2x f 2 1 5;6 . Câu 33. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên khoảng 4 ; + ¥ và thỏa mãn đẳng thức ( ) ( ) (x3 - 6x2 + 9x) f (x)+ (x2 - 7x + 12) f ¢(x)= với mọi x Î (4 ; + ¥ ). Giá trị f (5) của bằng x2 + 9 A. f (5)= 34 - 5 . B. f (5)= 2 34 + 10 . C. f (5)= 2 34 - 10 . D. f (5)= 34 + 5. Lời giải Ta có Trang 20
21. (x3 - 6x2 + 9x) f (x)+ (x2 - 7x + 12) f ¢(x)= x2 + 9 x(x - 3)2 Û f (x)+ (x - 3)(x - 4) f ¢(x)= x2 + 9 1 x - 4 x ¢ Þ 2 . f (x)+ . f (x)= (x - 3) x - 3 x2 + 9 éx - 4 ù¢ x x - 4 x Þ ê . f (x)ú = Þ . f (x)= ò = x2 + 9 + C (*) ëêx - 3 ûú x2 + 9 x - 3 x2 + 9 Vì hàm số f (x) có đạo hàm liên tục với mọi x Î (4 ; + ¥ ) và thỏa mãn (*) vớ i x Î (4 ; + ¥ ) nên ta thay x = 4 vào (*) ta được C = - 5. x - 4 1 Suy ra . f (x)= x2 + 9 - 5 Þ f (5)= 34 - 5 Þ f (5)= 2 34 - 10. x - 3 2 Câu 34. Cho hàm số f x có đạo hàm cấp 2 liên tục trên ¡ thoả mãn 2 2 2 f x f x . f x 3x 2x 4 . Biết f 1 0. Tính f 3 116 58 A. . B. . C. 58 . D. 116. 3 3 Lời giải 2 f x f x . f x 3x2 2x 4 Ta có 2 f x . f x f x . f x 3x 2x 4 2 f x . f x 3x 2x 4 f x . f x 3x2 2x 4 dx f x . f x x3 x2 4x C Vì f 1 0 nên f 1 . f 1 13 12 4 C 0 C 4 . Vậy f x . f x x3 x2 4x 4 Khi đó 3 3 f x . f x dx x3 x2 4x 4 dx 1 1 3 58 f x d f x 1 3 3 f 2 x 58 2 3 1 f 2 3 f 2 1 58 2 2 3 116 f 2 3 3 Câu 35. Cho hàm số f x đồng biến, có đạo hàm đến cấp hai trên đoạn 0;2 và thỏa 2 2 6 mãn f x f x . f x f x 0 . Biết f 0 1, f 2 e . Khi đó f 1 bằng 3 5 A. e2 . B. e 2 . C. e3 . D. e 2 . Trang 21
22. Lời giải Theo bài ra ta có hàm số f x đồng biến trên 0;2 f x f 0 1 0 do đó f x 0 x 0;2. 2 f x f x . f x f x Ta có f x 2 f x 2 2 Theo đề bài f x f x . f x f x 0 2 2 f x f x . f x f x f x 1 f x f x 2 f x 2 2 1 x2 2 x C dx x C dx d f x Cx f x 0 f x 0 0 f x 2 0 2 f x ln f x 2 2C ln e6 ln 1 2 2C C 2 x 2 . 0 f x 1 x2 1 5 5 Do đó ln f x 2x ln f 1 f 1 e 2 . 0 2 0 2 Câu 36. Cho hàm số f x không âm, có đạo hàm trên đoạn 0;1 và thỏa mãn f 1 1, 1 2 2 f x 1 x f x 2x 1 f x , x 0;1 . Tích phân f x dx bằng 0 1 3 A. 1. B. 2. C. . D. . 3 2 Lời giải 2 Xét trên đoạn 0;1 , theo đề bài: 2 f x 1 x f x 2x 1 f x 2 f x . f x 2x x2 1 . f x 2x. f x 2 2 2 f x x x 1 . f x f 2 x x2 x2 1 . f x C 1 . Thay x 1 vào 1 ta được: f 2 1 1 C C 0 (vì f 1 1). Do đó, 1 trở thành: f 2 x x2 x2 1 . f x f 2 x 1 x2 1 x2 1 . f x 2 f x 1 . f x 1 x 1 . f x 1 f x 1 x2 1 (vì f x 0 f x 1 0 x 0;1 ) f x x2 . 1 1 1 x3 1 Vậy f x dx x2dx . 0 0 3 0 3 Câu 37. Cho hàm số f x liên tục và nhận giá trị dương trên ¡ , thỏa mãn f 0 e2 và cos2x 2 2sin 2x f x e f x f x 0,x ¡ . Khi đó f thuộc khoảng 3 A. 1;2 . B. 2;3 . C. 3;4 .D. 0;1 . Lời giải Trang 22