Ôn tập TN THPT môn Toán - Chuyên đề: Tính đơn điệu của hàm số

Nội dung tài liệu: Ôn tập TN THPT môn Toán - Chuyên đề: Tính đơn điệu của hàm số

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CHUYÊN ĐỀ VẬN DỤNG, VẬN DỤNG CAO BẮC NINH KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 ¯¯¯¯¯¯¯¯¯ Môn: Toán ¯¯¯¯¯¯¯¯ TÊN CHUYÊN ĐỀ: Tính đơn điệu của hàm số Người biên soạn: Hoàng Duy Thắng Đơn vị công tác: THPT Lê Văn Thịnh I. Hệ thống kiến thức liên quan.  Định lí (thừa nhận): Giả sử hàm số y = f (x) có đạo hàm trên khoảng K . Nếu f ¢(x) > 0, " x Î K thì hàm số đồng biến trên khoảng K . Nếu f ¢(x) < 0, " x Î K thì hàm số nghịch biến trên khoảng K . Nếu f ¢(x) = 0, " x Î K thì hàm số không đổi trên khoảng K . II. Các dạng bài/câu thường gặp Dạng 1. Tìm khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số hợp Bước 1. Tìm tập xác định D của hàm số. Bước 2. Tính đạo hàm y f (x). Tìm các điểm xi , (i 1,2,3, ,n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định. Bước 3. Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên. Bước 4. Nêu kết luận về các khoảng đồng biến và nghịch biến (cực trị) dựa vào bảng biến thiên. 2 Ví dụ 1: Cho hàm số y f x có đạo hàm f x x 1 x 2 x 4 . Hàm số y f x 1 đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. 5;1 . B. 0; . C. ;0 . D. 0;1 . Lời giải Chọn C x 1 2 Ta có f x 0 x 1 x 2 x 4 0 x 2 (trong 3 nghiệm trên thì nghiệm x 4 x 4 là nghiệm kép) x 1 1 x 0 y f x 1 0 x 1 2 x 1 x 1 4 x 5 Bảng biến thiên 1
2. Hàm số đồng biến trên khoảng ;0 . Ví dụ 2: Cho hàm số f (x) , bảng xét dấu của f (x) như sau: Hàm số y f (5 2x) nghịch biến trên khoảng nảo dưới đây? A. (2;3) .B. (0;2) .C. (5; ) .D. (3;5) . Lời giải Chọn B Ta có: y 2 f (5 2x) . Để hàm số nghịch biến thì: y 0 . 3 5 2x 1 3 x 4 2 f 5 2x 0 f 5 2x 0 . 5 2x 1 x 2 Ví dụ 3: Cho hàm số y f (x) xác định và liên tục, có đồ thị của hàm số y f '(x) như hình bên. Hàm số y g(x) f 2 x đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau? A. 1;3 . B. 2; . C. 2;1 . D. ; 2 . Lời giải Chọn C Từ đồ thị ta có bảng xét dấu của đạo hàm là: x 1 1 4 f (x) 0 0 0 2 x 1 x 3 Ta có: g (x) f 2 x 0 2 x 1 x 1 . 2 x 4 x 2 Bảng xét dấu:
3. Vậy hàm số y g(x) f 2 x đồng biến trên khoảng 2;1 . Ví dụ 4: Cho hàm số bậc bốn y f (x) . Hàm số y f (x) có đồ thị như hình vẽ. Đặt hàm số g(x) f (x) x2 x . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. g 1 g 1 B. g 1 g 2 C. g 1 g 1 D. g 1 g 2 Lời giải Chọn D Ta có g x f x x2 x g ' x f ' x 2x 1. g ' x 0 f ' x 2x 1. Nghiệm của phương trình là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y f ' x và đường thẳng y 2x 1. Ta có: x 1 Do đó: . Ta có bảng biến thiên: g ' x 0 x 1 x 2
4. Từ BBT suy ra g 1 g 2 . Ví dụ 5: Cho hàm số đa thức bậc bốn f x . Đồ thị hàm số y f 3 2x được cho như hình bên. Hàm số y f x2 1 nghịch biến trên khoảng nào? A. ;0 .B. 2; .C. 1;0 .D. 0;1 . Lời giải Chọn C Do f x là hàm số đa thức bậc bốn, nên dựa vào đồ thị hàm số trên ta có: f 3 2x a x 1 x x 2 , a 0 . 3 t 3 t 3 t 3 t a Đặt 3 2x t x f t a 1 2 5 t 3 t 1 t . 2 2 2 2 8 x 2 2 a 2 2 2 2 Suy ra y 2x. f x 1 2x 4 x 2 x 2 x , f x 1 0 x 2 . 8 x 0 Ta có bảng xét dấu: Từ bảng xét dấu hàm số nghịch biến trên khoảng 1;0 . Ví dụ 6: Cho hàm số y f x có bảng xét dấu đạo hàm như ở bảng dưới đây. 1 Hỏi hàm số g x 3 2 f x đồng biến trên khoảng nào dưới đây? x 1 1 1 1 A. ;0 .B. ;2 .C. 2; .D. 0; . 2 2 2 2 Lời giải Chọn A
5. 1 1 g ' x 2 f ' x . 1 2 x x 1 1 x2 1 x2 1 g ' x 0 2 f ' x . 1 2 0 f ' . 2 0 x x x x 2 x 1 0 2 x 1 2 2 2 x 1 x 1 x 1 f ' 0 2  0 2 x x x x2 1 0 x2 1 x2 1 x2 1 x2 1 f ' 0 2 0  2 x x x x2 1 TH1: x2 1 x2 1 2  0 2 (1) x x 2 2 2 x 2x 1 2 x 1 x 2x 1 0 x 1 0 x 1 0 x 1 (1) 0  x 0  x x x x 0 x 0 x 0 x 0 Kết hợp với điều kiện x2 1, ta được: 1 x 0 . x2 1 TH2: x2 1 x2 1 2 0  2 (2) x x x2 2x 1 0 x2 2x 1 x 0 (2) x  0 . x x 1 x 0 Kết hợp điều kiện x2 1, ta được: x 1. Vậy các khoảng đồng biến là: 1;0 , 1; . Ví dụ 7: Cho hàm số f x . Hàm số y f ' x có đồ thị như hình bên. Hàm số x3 g x f x 1 3x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? 3 A. 1;2 .B. 2; 0 .C. 0;4 .D. 1;5 . Lời giải Chọn A
6. 2 Ta có g ' x f ' x 1 x 2 3 f ' x 1 x 1 2 x 1 2 . 2 Khi đó g ' x 0 f ' x 1 x 1 2 x 1 2 (1) Đặt t x 1 . BPT 1 trở thành f ' t t 2 2t 2 2 Xét tương giao của ĐTHS y f ' t và y t 2 2t 2 ta có nghiệm của BPT là 0 t 3 0 x 1 3 1 x 2 . x3 Suy ra hàm số g x f x 1 3x nghịch biến trên 1;2 . 3 Ví dụ 8: Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ có đồ thị hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ Hàm số g x 2 f x 1 x2 2x 2020 đồng biến trên khoảng nào A. 2;0 .B. 3;1 .C. 1;3 .D. 0;1 . Lời giải Chọn D Ta có: g x 2 f x 1 x2 2x 2020 g x 2 f x 1 x 1 2 2021 2 Xét hàm số k x 1 2 f x 1 x 1 2021. Đặt t x 1 Xét hàm số: h t 2 f t t 2 2021 h t 2 f t 2t . Kẻ đường y x như hình vẽ.
7. t 1 Khi đó: h t 0 f t t 0 f t t . 1 t 3 x 1 1 x 0 Do đó: k x 1 0 . 1 x 1 3 2 x 4 2 Ta có bảng biến thiên của hàm số k x 1 2 f x 1 x 1 2021. Khi đó, ta có bảng biến thiên của g x 2 f x 1 x 1 2 2021 bằng cách lấy đối xứng qua đường thẳng x 1 như sau: Vậy hàm số đồng biến trên 0;1 . Ví dụ 9: Cho hàm số y f x là hàm đa thức bậc 4. Đồ thị hàm số f ' x 2 được cho trong hình vẽ bên Hàm số g x 4 f x2 x6 5x4 4x2 1 đồng biến trên khoảng nào sau đây? A. 4; 3 .B. 2; . C. 2; 2 . D. 2; 1 . Lời giải Chọn A
8. Ta có ĐTHS y f ' x như sau. 2 5 3 2 3 4 5 2 Ta có g ' x 8x. f ' x 6x 20x 8x 8x f ' x x x 1 4 2 x 0 Ta có g ' x 0 3 5 f ' x2 x4 x2 1 * 4 2 x2 0 x 0 2 Từ đồ thị suy ra * x 2 x 2 . 2 x 2 x 4 Bảng xét dấu g ' x . Từ bảng xét dấu của g ' x suy ra hàm số đồng biến trên ; 2 nên hàm số cũng đồng biến trên 4; 3 . Ví dụ 10: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a 10; để hàm số y x3 a 2 x 9 a2 đồng biến trên khoảng 0;1 ? A. 12. B. 11. C. 6. D. 5. Lời giải Chọn B Xét f x x3 a 2 x 9 a2 f ' x 3x2 a 2 Để y f x đồng biến trên khoảng 0;1 f ' x 0,x 0;1 TH1: f 0 0 2 2 3x a 2 0,x 0;1 a Max 3x 2 a 2 0;1 a  2;3 9 a2 0 2 3 a 3 9 a 0 a 2; 1;0;1;2;3; → 6 giá trị
9. f ' x 0,x 0;1 TH2: f 0 0 a 5 2 2 3x a 2 0,x 0;1 a Min 3x 2 0;1 a 3 a 5 2 9 a 0 9 a2 0 a 3 Kết hợp với điều kiện bài toán a 9; 8; 7; 6; 5 →có 5 giá trị Vậy có 11 giá trị thoả mãn. 2 Ví dụ 11: Cho hàm số y f x có đạo hàm là f x x2 2x 1 x 1 ,x ¡ . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là A. 2 B. 3 C. 0 D. 1 Lời giải Chọn B x 0 kep 2 1 Ta có f x x2 2x 1 x 1 0 x kep 2 x 1 Vì phương trình f ' x 0 có 1 nghiệm bội lẻ nên hàm số đã cho có 1 cực trị. Ví dụ 12: hàm số y f x liên tục trên R và có đồ thị có 3 điểm cực trị như hình dưới đây. Số điểm cực trị của hàm số g x f x3 3x 2 là A. 5 . B. 9 . C. 11. D. 7 . Lời giải Chọn D x 1 3 x 3x 2 m1 (1) Ta có g x 3x2 3 f x3 3x 2 , g x 0 x3 3x 2 m (2) , với 2 3 x 3x 2 m3 (3) m1 4; 1 ;m2 1;0 ;m3 0;1 Xét hàm số y x3 3x 2 , có y 3x2 3
10. Với m1 4; 1 1 có 1 nghiệm Với m2 1;0 2 có 1 nghiệm Với m3 0;1 3 có 3 nghiệm phân biệt Vậy g x 0 có 7 nghiệm bội lẻ, nên có 7 điểm cực trị. Ví dụ 13: Cho hàm đa thức bậc ba y f x như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y f f x m có đúng 6 điểm cực trị? A. 4.B. 5.C. 3.D. 2. Lời giải Chọn A Giả sử y f x ax3 bx2 cx d . Vì đồ thị của hàm số y f x đi qua các điểm có toạ độ là 0;1 , 1;3 , 2;5 , 3;1 d 1 a 1 a b c d 3 b 3 3 2 f x x 3x 1 8a 4b 2c d 5 c 0 27a 9b 3c d 1 d 1 2 x 0 f x 3x 6x 0 . x 2 f x 0 Xét hàm số y f f x m y f x . f f x m 0 f f x m 0
11. x 0 x 0 x 2 x 2 . f x m 0 f x m f x m 2 f x m 2 m 1 m 2 1 1 m 1 Hàm số y f f x m có đúng 6 điểm cực trị . m 2 5 5 m 3 m 5 Mà m ¢ m 4; 3; 1;0. Vậy có 4 giá trị m nguyên thoả mãn yêu cầu bài toán. Ví dụ 14: Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ. Hàm số y 4 f 2 x có bao nhiêu điểm cực trị? A. 4. B. 5 . C. 3 . D. 6 . Lời giải Chọn B Điều kiện 4 f 2 x 0 2 f x 2 2 x 2 . x a 2; 1 x 0 1 f x 0 Ta có y . f x . f x ; y 0 x b 1;2 4 f 2 x f x 0 x 1 x 1. Lập bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên, ta có hàm số đã cho có 5 điểm cực trị. Ví dụ 15: Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên ¡ . Đồ thị của hàm số y f ' x như
12. hình vẽ bên. Số điểm cực trị của hàm số y f x 2x là A. 2.B. 3 .C. 4 .D. 1. Lời giải Chọn B Ta có y f x 2 . Số điểm cực trị của hàm số y f x 2x là số nghiệm đơn (hoặc bội lẻ) của phương trình y 0 f x 2 0 f x 2 . Số nghiệm của phương trình y f x 2x là số giao điểm của đồ thị hàm số y f x và đường thẳng y 2 . Dựa vào đồ thị hàm số y f x , phương trình f x 2 có 3 nghiệm đơn hay hàm số có 3 điểm cực trị. Ví dụ 16: Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ có đạo hàm f x x 1 2x2 3x 9 ,x ¡ . Hàm số g x f x x3 3x2 9x 6 có bao nhiêu điểm cực trị? A. 2.B. 1.C. 0.D. 3. Lời giải Chọn D Ta có g x f x x3 3x2 9x 6 g x f x 3x2 6x2 9 x 1 2x2 3x 9 x 1 3x 9 x 1 2x2 18 x 1 Ta có g x 0 . x 3 Do g x 0 có 3 nghiệm bội lẻ nên g x có 3 điểm cực trị.
13. Dạng 2. Một số bài tập có tham số m Ví dụ 1: Cho hàm số y x3 mx2 4m 9 x 5, với m là tham số. Số giá trị nguyên của m để hàm số đã cho nghịch biến trên ; là A. 5. B. 6 . C. 7 . D. 4 . Lời giải Chọn C Hàm số nghịch biến trên ¡ a 3 0 (ld) y 3x2 2mx 4m 9 0, x  ¡ 2 m 3(4m 9) 0 m2 12m 27 0 9 m 3. Mà m ¢ m 9; 8; 7; 6; ; 3 Vậy có 7 số nguyên thỏa mãn. x m Ví dụ 2: Hàm số y đồng biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi tham số m thỏa x 1 mãn A. m 1. B. m 1. C. m 1. D. m 1. Lời giải Chọn A Tập xác định D ¡ \ 1 . x m 1 m y y . x 1 x 1 2 Hàm số đã cho đồng biến trên từng khoảng xác định y 0,x 1 1 m 0 m 1. mx 4 Ví dụ 3: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y nghịch biến trên khoảng x m ;1 . A. m 2;2 . B. m 2; 1 . C. m 2;2. D. m 2; 1. Lời giải Chọn D Tập xác định D ¡ \ m . m2 4 * y . x m 2 m ;1 m 1 * ycbt y 0, x ;1 2 m 1 . 2 m 4 0 2 m 2 Ví dụ 4: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số m y x3 2mx2 (3m 5)x 2023 đồng biến trên ; ? 3 A. 2. B. 6. C. 5. D. 4. Lời giải Chọn B TXĐ: D ¡ .
14. Ta có y mx2 4mx (3m 5) . Xét hai trường hợp sau Khi m 0 thì y 5 0 hàm số đồng biến trên ¡ . Khi m 0 . Hàm số đồng biến trên ¡ thì y 0 với mọi x ¡ . Nghĩa là m 0 m 0 mx2 4mx (3m 5) 0, x 0 m 5.  ¡ 2 0 4m m(3m 5) 0 Vậy có 6 giá trị thỏa mãn đề bài. Ví dụ 5: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn  10;10 sao cho hàm số 1 y x3 2x2 m 1 x 1 nghịch biến trên 0; ? 3 A. 8 . B. 7 . C. 10. D. 12. Lời giải Chọn A 1 y x3 2x2 m 1 x 1 y x2 4x m 1. 3 Hàm số nghịch biến trên 0; y 0 ,x 0; x2 4x m 1 0,x 0; . m x2 4x 1,x 0; . Xét hàm số g x x2 4x 1 Bảng biến thiên của hàm số g x x2 4x 1 trên 0; . Từ BBT suy ra m 3 thì hàm số nghịch biến trên 0; . Do m nguyên và thuộc đoạn  10;10 nên có 8 giá trị nguyên của tham số m . Ví dụ 6: Cho hàm số f x có bảng xét dấu đạo hàm f x như hình vẽ bên dưới. Số giá trị nguyên của tham số m để hàm số f x2 2x m đồng biến trên khoảng 1;3 là
15. A. 5 . B. 8 . C. 3 . D. 4. Lời giải Chọn D Từ bảng xét dấu f x , ta có f x 0 3 x 4 . Xét hàm số g x f x2 2x m . Ta có g x 2x 2 . f x2 2x m . Do 2x 2 0,x 1;3 , nên để hàm số g x đồng biến trên khoảng 1;3 g x 2x 2 . f x2 2x m 0,x 1;3 f x2 2x m 0,x 1;3 3 x2 2x m 4,x 1;3 m 3 x2 2x m 4,x 1;3 . 1 Xét hàm số h x x2 2x trên 1;3 . Ta có h x 2x 2 0,x 1;3 nên hàm số h x đồng biến trên 1;3 . m 3 h 1 m 3 1 Suy ra 1 2 m 1. m 4 h 3 m 4 3 Do m ¢ nên m 2; 1;0;1 . Ví dụ 7: Cho hàm số y f x x3 mx2 x 1. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để số điểm cực trị của đồ thị hàm số y f x 1 bằng 5. A. 3 . B. 2 . C. 1. D. 0 . Lời giải Chọn D Ta có: 3 2 y g(x) f x 1 x 1 m x 1 x 1 1 x 3 3 m x 2 2 2m x 1 m Xét hàm số: h(x) x3 3 m x2 2 2m x 1 m . Để số điểm cực trị của đồ thị hàm số y f x 1 bằng 5 thì hàm số h(x) x3 3 m x2 2 2m x 1 m có hai điểm cực trị dương, hay phương trình h'(x) 3x2 2 3 m x 2 2m 0 có hai nghiệm dương phân biệt. 2 2 3 m 3 2 2m m 3 0 2 3 m m 3 Suy ra: 0 (vô lí). 3 m 1 2 2m 0 3 Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn. Ví dụ 8: Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ và có f x x3 4x . Tìm tất cả các giá trị 2 nguyên của m thuộc đoạn 22;22 để hàm số g x f x 2x m có 7 cực trị. A. 21. B. 22 . C. 23 . D. 24 . Lời giải
16. 2 x 0 Ta có f x 0 x x 4 0 . x 2 x 1 x 1 2 2 x 2x m 0 x 2x m 1 Xét g x 2x 2 . f x2 2x m 0 2 2 x 2x m 2 x 2x m 2 2 x2 2x m 2 2 x 2x m 2 3 Để hàm số g x có 7 cực trị thì mỗi phương trình 1 , 2 , 3 có 2 nghiệm phân biệt khác 1 m 2 1 m 1, lại có m ¢ và m 22;22 m 2;3;4; ;22 Ví dụ 9: Cho hàm số y f x có đạo hàm y f x liên tục, xác định với mọi x ¡ và có đồ thị như hình vẽ. O Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số g x f x 2 8x m có 5 điểm cực trị? A. 15. B. 16. C. 17. D. 18. Lời giải Chọn A Ta có g x 2 x 4 f x2 8x m x 4 2 x 8x m 1 nghieäm boäi 2 2 g x 0 2 x 4 f x 8x m 0 2 . x 8x m 0 1 2 x 8x m 2 2 Yêu cầu bài toán g x 0 có 5 nghiệm bội lẻ Û mỗi phương trình (1), (2) đều có hai ïì 16- m > 0 ï ï 16- m + 2 > 0 nghiệm phân biệt khác 4 Û íï Û m < 16 . ï m ¹ 16 ï îï m ¹ 18 Vậy có 15 giá trị m nguyên dương thỏa mãn điều kiện. Ví dụ 10: Cho hàm số f x có đạo hàm f x x2 x,x ¡ . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y f x4 3x2 2 m có đúng 3 cực trị?
17. A. 2. B. 0. C. 1. D. 3. Lời giải Chọn C Xét hàm g x f x4 3x2 2 m . Có g x 4x3 6x . f x4 3x2 2 m . Cho 3 x 0 x 0 4x 6x 0 g x 0 x4 3x2 2 m 0 x4 3x2 2 m f x4 3x2 2 m 0 4 2 4 2 x 3x 2 m 1 x 3x 2 m 1 Bảng biến thiên của hàm h x x4 3x2 2: m 1 2 Để hàm số có đúng 3 cực trị thì 2 m 1. m 2 Vậy có 1 giá trị nguyên của m thỏa yêu cầu bài toán. III. Những lỗi học sinh thường mắc (nếu có). IV. Hệ thống câu hỏi ôn tập: Câu 1. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục liên tục trên ¡ . Biết đường cong trong hình vẽ bên dưới là đồ thị của hàm số y = f ¢(x). Khi đó, hàm số y = f (x2 - 1) nghịch biến trên khoảng nào sau đây? A. (- 1;1). B. (- 2;0). C. (- 4;- 2). D. (0;2). Lời giải Chọn B Ta có: y¢= 2x. f ¢(x2 - 1)£ 0
18. éïì x £ 0 éïì x £ 0 éì x £ 0 êï êï êï êí êí 2 í ï - 2 £ x £ 2 ï f ¢ x - 1 ³ 0 ê 2 êîï êîï ( ) êîï x - 1£ 3 ê é- 2 £ x £ 0 Û ê Û Û ïì x ³ 0 Û ê ê ê êï ê ïì x ³ 0 êïì x ³ 0 êï ëx ³ 2 êï êíï êí éx £ - 2 êí 2 êï 2 êï ê êï f ¢(x - 1)£ 0 ëîï x - 1³ 3 ï ê ëî ëêîï ëx ³ 2 Câu 2. Cho hàm số y f x . Hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ Hàm số y f x2 nghịch biến trên khoảng nào sau đây? 1 1 1 A. 0;2 . B. 0; . C. 2;0 . D. ; . 2 2 2 Lời giải Chọn B Ta có: f x2 2x. f x2 . x 0 2 2 2 Khi đó, f x 0 2x. f x 0 x 1 . 2 x 4 Ta có bảng xét dấu 1 Dựa vào bảng xét dấu suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng 0;10  0; . 2 Câu 3. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên ¡ , dấu của đạo hàm được cho bởi bảng sau
19. Hàm số y f 2x 2 nghịch biến trong khoảng nào? A. ; 1 . B. 1;2 . C. 1;1 . D. 2; . Lời giải Chọn B Ta có: y 2x 2 . f 2x 2 2 f 2x 2 2x 2 0 x 1 Khi y 0 f 2x 2 0 2x 2 2 x 2 Bảng xét dấu y f 2x 2 Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng 1;2 . Câu 4. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên ¡ có đồ thị như hình vẽ Hàm số y = f (1- x- x3 ) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? æ 1ö A. ç- ¥ ; ÷. B. (- 1;2). C. (0;5). D. (1;+ ¥ ). èç 2ø÷ Lời giải Chọn D Hàm số nghịch biến khi y¢= (- 1- 3x2 ) f ¢(1- x- x3 )£ 0 é1- x- x3 ³ 1 éx3 + x £ 0 éx £ 0 Û f ¢1- x- x3 ³ 0 Û ê Û ê Û ê ( ) ê 3 ê 3 ê ëê1- x- x £ - 1 ëêx + x- 2 ³ 0 ëx ³ 1 Câu 5. Cho f x là hàm số liên tục trên ¡ , có đạo hàm f x như hình vẽ bên dưới. Hàm số x2 y f x x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây ? 2
20. A. 0;1 . B. 1;2 . C. 1;0 . D. 2; 1 . Lời giải Chọn C x2 Đặt h x f x x . Ta có h x f x x 1 2 x x1 x 0 h x 0 f x x 1 (hình vẽ) x x2 x 1 Trên khoảng 1;0 đồ thị f x nằm phía dưới đường thẳng y x 1 nên h x 0 hay hàm số h x nghịch biến. Câu 6. Cho hàm số y f x có bảng xét dấu đạo hàm như bảng sau. 1 Hỏi hàm số y f x nghịch biến trên khoảng nào? x
21. 1 1 1 1 A. ;0 . B. 0; . C. 2; . D. ;2 . 2 2 2 2 Lời giải Chọn A 1 1 1 1 Đặt f x a x 2 x x 2 (với a 0 ) f x a x 2 x x 2 x x x x 2 2 2 1 a x 1 x 1 x 1 f x 3 . x x 2 2 2 2 1 x2 1 1 a x 1 x 1 x 1 x 1 Ta có y f x y 2 f x 5 . x x x x x 1 y 0 . x 1 Ta có bảng xét dấu đạo hàm 1 Dựa vào bảng xét dấu suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng 1;0  ;0 . 2 Câu 7. Cho hàm số y f x có đồ thị hàm số y f ' x như hình vẽ Hàm số y f 3 x đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. 4;7 . B. ; 1 . C. 2;3 . D. 1;2 . Lời giải Chọn D f 3 x , x 3 f 3 x , x 3 Ta có: y f 3 x y f x 3 , x 3 f x 3 , x 3
22. 3 x 1 x 4 l Xét: f 3 x 0 3 x 1 x 2 n 3 x 4 x 1 n x 3 1 x 2 l Xét: f x 3 0 x 3 1 x 4 n x 3 4 x 7 n y không xác định tại x 3. BBT: Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng 1;2 . 1 Câu 8: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y x3 mx2 m 2 x 3 3 đồng biến trên ; A. Vô số. B. 3. C. 2. D. 4. Lời giải Chọn D y ' x2 2mx m 2 Hàm số đồng biến trên ¡ y ' 0 ,x ¡ x2 2mx m 2 0,x ¡ ' 0 m2 m 2 0 1 m 2 m ¢ m 1;0;1;2 Vậy có 4 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn bài toán. mx 1 Câu 9: Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y nghịch biến trên từng x m khoảng xác định là A. ; 1 . B. 1;1 . C. 1; . D. ;1 . Lời giải Chọn B TXĐ: D R \ m m2 1 y . x m 2 Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định m2 1 0 1 m 1
23. 2x 4 Câu 10: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y đồng biến trên 1; m x A. 1.B. 2.C. 4.D. 3. Lời giải Chọn D Để hàm số đồng biến trên 1; thì y 0 với x 1; . 2m 4 1 0 m 2 m 2 Ta có 2 m 1. m x 0, x 1; x m, x 1; m 1 Vậy có 3 giá trị nguyên của m thỏa mãn. Câu 11: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y 4 m2 x3 m 2 x2 x m 1 đồng biến trên ; ? A. 5 . B. 3 . C. 4 . D. 2 . Lời giải Chọn C Ta có y 3 4 m2 x2 2 m 2 x 1. * Với m 2 không thỏa mãn. * Với m 2 thỏa mãn. * Với m 2 . Ta có m 2 2 3 4 m2 4m2 4m 8 0 m2 m 2 0 1 m 2 Để thỏa mãn yêu cầu bài toán 1 m 2 . 2 4 m 0 2 m 2 2 m 2 Do m ¢ m 1,m 0, m 1 và m 2 . Câu 12: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn  10;10 để hàm số 1 y x3 2x2 mx 3 đồng biến trên khoảng 2;6 ? 3 A. 6 . B. 4. C. 5 . D. 7 . Lời giải Chọn D Ta có: y x2 4x m. Hàm số đồng biến trên 2;6 y 0 x 2;6 m x2 4x x 2;6 . Xét g(x) x2 4x x 2;6 . Ta thấy hàm số g(x) x2 4x nghịch biến trên khoảng 2;6 . Do đó m g(x) x 2;6 m Max g(x) m g(2) m 4 . x 2;6 Vậy m 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10 . Vậy có 7 giá trị của m . Câu 13: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc  10;10 để hàm số y x3 mx 2 x 3 nghịch biến trên 2;4 ? A. 3. B. 4. C. 5. D. 6. Lời giải
24. Chọn C Ta có TXĐ D ¡ . Hàm số nghịch biến trên 2;4 khi và chỉ khi y 3x2 2mx 1 0,x 2;4 1 3x2 m ,x 2;4 1 . 2x 1 3x2 Xét hàm số g x trên 2;4 . 2x 3x2 1 Ta có g x 0,x 2;4 . 2x2 1 3x2 Do hàm số g x liên tục tại x 2 và x 4 nên 2x 47 1 m min g x m g 4 m . 2;4 8 Vì m nguyên thuộc  10;10 nên m 10; 9; 8; 7; 6. Câu 14: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y m2 x5 mx3 m2 m 20 x2 2021 nghịch biến trên ; . A. 7.B. 2.C. 5.D. 1. Lời giải Chọn D TXĐ: D R y ' 5m2 x4 3mx2 2 m2 m 20 x Ycbt y 0 , x R 2 3 2 R x 5m x 3mx 2 m m 20 0, x Đặt g x 5m2 x3 3mx 2 m2 m 20 2 m 5 Ycbt g 0 0 2 m m 20 0 m 4 Thử lại: m 5 y 125x4 15x2 0, x ¡ nhận m 5 . 15 x 10 m 4 y 80x4 12x2 0 x 0 loại m 4 . 15 x 10 Vậy, m 5 thoả mãn yêu cầu bài toán. Câu 15: Cho hàm số y x3 m 1 x2 2m2 3m 2 x 2m 2m 1 . Biết a;b là tập tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số đã cho đồng biến trên 2; . Tổng a b bằng 1 3 1 A. .B. - .C. 0 .D. . 2 2 2 Lời giải
25. Chọn A Ta có x ¡ , y/ 3x2 2(m 1)x 2m2 3m 2 m 1 7m2 7m 7 y/ 0 luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m 3 m 1 7m2 7m 7 m 1 7m2 7m 7 Yêu cầu bài toán 2;  , nên 2  3 3 3 7m2 7m 7 5 m 2 m . 2 1 Vậy a b 2 tan x 2 Câu 16: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y đồng biến trên tan x m khoảng 0; . 4 A. m 0 hoặc1 m 2 B. m 0 C. 1 m 2 D. m 2 Lời giải Chọn A Đặt t tan x , vì x 0; t 0;1 4 t 2 Xét hàm số f t t 0;1 . Tập xác định: D ¡ \ m t m 2 m Ta có f t . t m 2 tan x 2 Ta thấy hàm số t x tan x đồng biến trên khoảng 0; . Nên để hàm số y đồng 4 tan x m biến trên khoảng 0; khi và chỉ khi: f t 0t 0;1 4 m 2 2 m 2 m 0 2 0t 0;1 m 0 m ;01;2 t m m 0;1 m 1 cos x 2 Câu 17: Tìm m để hàm số y nghịch biến trên khoảng 0; cos x m 2 m 2 m 0 A. B. m 2 C. D. 1 m 1 m 2 1 m 2 Lời giải Chọn C 2 m Ta có: y ' 2 . sin x ,sin x 0, x 0; . cos x m 2 Do đó: Hàm số nghịch biến trên khoảng 0; khi và chỉ khi 2
26. 2 m 0 m 2 m 0 y 0,x 0; . 2 cos x m 0x 0; m 0;1 1 m 2 2 x5 Câu 18: Cho hàm số f (x) x2 (m 1)x 4029. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để 5 hàm số y | f (x 1) 2022 | nghịch biến trên ( ;2) ? A. 2005 .B. 2006 .C. 2007 .D. 2008 . Lời giải Chọn B Đặt t x 1. Đặt g t f (t) 2022 ,t ( ;1) . y t | f (t) 2022 | nghịch biến trên ( ;1) thì điều kiện là f t 2022 0 f 1 2022 0 1 , t ;1 , t ;1 4 f ' t 0 t 2t m 1 0 2 1 10056 1 m 1 1 2007 0 1 m 1 5 , t ;1 5 , t ;1 4 4 t 2t m 1 0 2 t 2t m 1 0 2 t 4 2t m 1 0 m t 4 2t 1 ,t ( ;1) . 1 Đặt h t t 4 2t 1 h' t 4t3 2 h' t 0 t 3 . 2 Bảng biến thiên: 3 Điều kiện m 1 2.19 .(3). 3 2 Từ (1) và (3) thì số giá trị nguyên của m là 2008 3 1 2006 . 1 Câu 19. Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số y x3 mx đồng biến 5x2 trên khoảng 0; A. 2.B. 4.C. 5.D. 3. Lời giải Chọn A
27. 2 Ta có y 3x2 m , x 0; 5x3 2 Để hàm số đồng biến trên khoảng 0; y 3x2 m 0,x 0; . Dấu bằng 5x3 xảy ra tại hữu hạn điểm 2 m 3x2 g x , x 0; 5x3 6 30x5 6 1 m max g x . Ta có: g x 6x 4 4 ; g x 0 x 0; 5x 5x 5 5 Ta có bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên ta có m 5 53 . Vì m nguyên âm nên m 1; 2 . Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn. Câu 20. Cho hàm số f (x) có bảng xét dấu đạo hàm như sau: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn 10 m 10 và hàm số y f x2 2x m đồng biến trên khoảng (0;1) ? A. 6. B. 4. C. 1. D. 5. Lời giải Để hàm số y f x2 2x m đồng biến trên khoảng (0;1) thì y (2x 2). f (x2 2x m) 0,x (0;1) Do 2x 2 0,x (0;1) nên ta có: (2x 2). f (x2 2x m) 0,x (0;1) f (x2 2x m) 0,x (0;1) Đặt u x2 2x m , do x (0;1) u (m;m 3) . f (x2 2x m) 0,x (0;1) f (u) 0,u (m;m 3) Từ bảng xét dấu đạo hàm của hàm số f (x) ta có hai trường hợp: + Trường hợp 1: (m;m 3)  (0;3) m 0 + Trường hợp 2: (m;m 3)  ( ; 2) m 3 2 m 5
28. Kết hợp điều kiện m nguyên và 10 m 10 ta thấy m { 9; 8; 7; 6; 5;0} thỏa mãn bài toán. Vậy có 6 giá trị nguyên m thỏa mãn bài toán. 2 Câu 21: Cho hàm số y f x có đạo hàm f ' x x x 1 x2 mx 9 với mọi x ¡ . Có bao nhiêu số nguyên dương m để hàm số g x f 3 x đồng biến trên khoảng 3; ? A. 6 .B. 7 .C. 5 .D. 8 . Lời giải Chọn A 2 2 Ta có g x f 3 x x 3 x 2 3 x m 3 x 9 . g x đồng biến trên 3; g x 0,x 3; 3 x 2 m 3 x 9 0,x 3; t 2 mt 9 0,t ;0 (với t 3 x ; x 3; ta có t ;0 ). 9 m t ,t ;0 . t 9 9 Ta có trên ;0 ta có t và đều là các số dương nên có t 6 . t t 9 Vậy m t ,t ;0 m 6 . t Câu 22: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m 8;8 sao cho hàm số y 2x3 3mx 2 đồng biến trên 1; . A. 10. B. 9. C. 8. D. 11. Lời giải Chọn B Hàm số y 2x3 3mx 2 đồng biến trên 1; khi và chỉ khi hàm số y 2x3 3mx 2 đồng biến trên 1; Xét hàm số f x 2x3 3mx 2 f ' x 6x2 3m . TH 1: Nếu m 0 thì f ' x 6x2 3m 0, x R Hàm số y 2x3 3mx 2 đồng biến trên 1; f 1 4 3m 0 đúng với m 0 . m TH 2: Nếu m 0 thì f ' x 6x2 3m 0 x 2
29. f 1 4 3m 0 3 4 Hàm số y x 3mx 2 đồng biến trên 1; m m . 1 3 2 Do m ¢ ,m 8;8 nên m 7, 6, ,1 .Vậy có 9 giá trị của m thỏa mãn . Câu 23: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m sao cho hàm số y x4 mx3 2m2 x2 m 1 đồng biến trên 1; . Tổng tất cả các phần tử của S là A. 1.B. 0 .C. 2 D. 2 . Lời giải Chọn A Đặt g x x4 mx3 2m2 x2 m 1 và g x 4x3 3mx2 4m2 x x 4x2 3mx 4m2 Hàm số y f x x4 mx3 2m2 x2 m 1 đồng biến trên 1; khi và chỉ khi g 1 0 g 1 0 hoặc g x 0,x 1; g x 0,x 1; 2 g 1 0 m m 1 0 TH 1: 2 2 g x 0,x 1; 4x 3mx 4m 0,x 1; Hệ vô nghiệm vì lim 4x2 3mx 4m2 . x 2 g 1 0 m m 1 0 TH 2: 2 2 g x 0,x 1; 4x 3mx 4m 0,x 1; 1 5 1 5 m 2 2 2 2 4x 3mx 4m 0,x 1; 3 73 x m 2 2 8 Ta có 4x 3mx 4m 0 3 73 x m 8 1 5 3 73 8 + Với m 0 thì 4x2 3mx 4m2 0,x 1; m 1 m 2 8 3 73 8 m 0,m ¢ m 1;0 3 73 1 5 3 73 8 + Với 0 m thì 4x2 3mx 4m2 0,x 1; m 1 m 2 8 3 73