Ôn tập TN THPT môn Toán - Chuyên đề: Ứng dụng của tích phân trong hình học

Nội dung tài liệu: Ôn tập TN THPT môn Toán - Chuyên đề: Ứng dụng của tích phân trong hình học

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CHUYÊN ĐỀ ÔN TẬP BẮC NINH KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 ¯¯¯¯¯¯¯¯¯ Môn: Toán ¯¯¯¯¯¯¯¯ TÊN CHUYÊN ĐỀ: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC Người biên soạn: Lê Văn Thế Đơn vị công tác: Trường Phổ thông IVS I. Hệ thống kiến thức liên quan. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Diện tích hình phẳng a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [ a;b] , b trục hoành và hai đường thẳng x = a , x = b được xác định: S =ò f (x) dx a y y f (x) y f (x) b y 0 S f (x) dx (H) x a a c O a 1 c c3 b x 2 x b b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x) , y = g(x) liên tục trên đoạn b [ a;b] và hai đường thẳng x = a , x = b được xác định: S =ò f (x) - g(x) dx a y (C1 ) : y f1(x) (C1 ) (C ) : y f (x) (H) 2 2 x a (C ) 2 x b b a c x S f1 (x) f2 (x) dx O 1 c2 b a Chú ý: b b - Nếu trên đoạn [a;b] , hàm số f (x) không đổi dấu thì: ò f (x) dx =ò f (x)dx a a - Nắm vững cách tính tích phân của hàm số có chứa giá trị tuyệt đối - Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường x = g(y) , x = h(y) và hai đường Trang 1/24
2. d thẳng y = c , y = d được xác định: S =ò g(y) - h(y) dy c 2. Thể tích vật thể và thể tích khối tròn xoay a) Thể tích vật thể: Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b; S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x , (a £ x £ b) . Giả sử S(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a;b] . (V ) b x S(x)dx a V O b x a S(x) b Khi đó, thể tích của vật thể B được xác định: V =òS(x)dx a b) Thể tích khối tròn xoay: Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f (x) , trục hoành và hai đường thẳng x = a , x = b quanh trục Ox: y y f (x) (C) : y f (x) b (Ox) : y 0 2 V f (x) dx a b x x   O x a a x b Chú ý: - Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường x = g(y) , trục hoành và hai đường thẳng y = c , y = d quanh trục Oy: y d (C) : x g(y) d (Oy) : x 0 2 V g( y) dy y   y c c c y d O x - Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường Trang 2/24
3. y = f (x) , y = g(x) và hai đường thẳng x = a , x = b quanh trục Ox: b V =pò f 2 (x) - g 2 (x) dx a II. Các dạng bài/câu thường gặp 1- Câu hỏi tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: Những điểm cần lưu ý: Trường hợp 1. Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới b hạn bởi các đường y = f (x), y = g(x), x = a, x = b là S =ò f (x) - g(x) dx . a Phương pháp giải toán +) Giải phương trình f (x) = g(x) (1) b +) Nếu (1) vô nghiệm thì S =ò( f (x) - g(x)) dx . a +) Nếu (1) có nghiệm thuộc .[ a;b] . giả sử a thì a b S =ò( f (x) - g(x)) dx +ò( f (x) - g(x)) dx a a Chú ý: Có thể lập bảng xét dấu hàm số f (x) - g(x) trên đoạn [a; b] rồi dựa vào bảng xét dấu để tính tích phân. Trường hợp 2. Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới b hạn bởi các đường y = f (x), y = g(x) là S =ò f (x) - g(x) dx . Trong đó a, b là nghiệm nhỏ a nhất và lớn nhất của phương trình f (x) = g(x) (a £ a < b £ b) . Phương pháp giải toán Bước 1. Giải phương trình f (x) = g(x) tìm các giá trị a, b . b Bước 2. Tính S =ò f (x) - g(x) dx như trường hợp 1. a Ví dụ minh họa: Câu 1: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x2 , trục hoành Ox , các đường thẳng x 1, x 2 là: 7 8 A. S . B. S . C. S 7 . D. S 8. 3 3 Lời giải Chọn A Trang 3/24
4. 2 2 2 x3 8 1 7 Diện tích hình phẳng là S x2 dx x2dx . 1 1 3 1 3 3 3 Câu 2: Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x2 x 2 và trục hoành bằng 13 9 3 A. 9. B. . C. . D. . 6 2 2 Lời giải Chọn C Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành là nghiệm của phương trình: 2 x 1 x x 2 0 . x 2 y O -2 1 x 1 1 9 Diện tích hình phẳng S x2 x 2 dx x2 x 2 dx . 2 2 2 Câu 3: Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ được tính theo công thức nào dưới đây? 2 2 A. 2x2 2x 4 dx . B. 2x 2 dx . 1 1 2 2 C. 2x 2 dx . D. 2x2 2x 4 dx . 1 1 Lời giải Chọn D Gọi S là diện tích cần tìm Trang 4/24
5. 2 2 S x2 3 x2 2x 1 dx 2x2 2x 4 dx . 1 1 Câu 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y x2 4 và y x 2? 5 8 9 A. . B. . C. . D. 9 . 7 3 2 Lời giải Chọn C Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là: 2 2 x 1 x 4 x 2 x x 2 0 . x 2 Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y x2 4 và y x 2 là: 2 2 2 3 2 2 2 x x 9 S x 4 x 2 dx x x 2 dx 2x . 3 2 2 1 1 1 Câu 5: Diện tích hình phẳng được gạch chéo trong hình bên bằng 2 2 A. 2x2 2x 4 dx . B. 2x2 2x 4 dx . 1 1 2 2 C. 2x2 2x 4 dx . D. 2x2 2x 4 dx . 1 1 Lời giải Chọn B Diện tích phần hình phẳng được gạch chéo trong hình bên bằng 2 2 x2 5 x2 2x 1 dx 2x2 2x 4 dx. 1 1 Phân tích đáp án nhiễu Đáp án Học sinh nhìn nhầm lấy đường dưới trừ đường trên. Trang 5/24
6. Đáp án Học sinh lấy đường trên trừ đường dưới nhưng bỏ ngoặc sai dấu. Đáp án Học sinh nhìn nhầm lấy đường dưới trừ đường trên và bỏ ngoặc sai dấu. 2-Câu hỏi tính tính thể tích vật tròn xoay giới hạn bởi các đường: Những điểm cần lưu ý: . Tính thể tích khối tròn xoay: Trường hợp 1. Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x) , b y = 0, x = a và x = b (a < b) quay quanh trục Ox là V = pò f 2(x)dx . a Trường hợp 2. Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), y = g(x) , x = a và x = b (a < b) quay quanh trục Ox là b V = pò f 2(x) - g2(x) dx . a Ví dụ minh họa: Câu 1. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y x2 2x, y 0 quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng: 496 4 64 16 A. B. C. D. 15 3 15 15 Hướng dẫn giải Giao điểm của hai đường y2 x 2 2x và y 0 là O(0;0) và A(2;0) . Theo công 2 16 thức ta có thể tích của khối tròn xoay cần tính là: V ( x2 2x)2 dx . 0 15 Câu 2. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y 1 x2 , y 0 quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng: 3 2 4 A. B. C. D. 2 3 2 3 Hướng dẫn giải Giao điểm của hai đường y 1 x 2 và y 0 là B( 1;0) và A(1;0) . Theo công 1 4 thức ta có thể tích của khối tròn xoay cần tính là: V (1 x2 )dx . 1 3 Câu 3. Cho hình phẳng (H ) giới hạn bởi đồ thị (P): y = 2x - x 2 và trục Ox . Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi cho (H ) quay quanh trục Ox . Trang 6/24
7. 19p 13p 17p A. V = . B. V = .C. V = .D. 15 15 15 16p V = . 15 Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (P) và trục Ox là: éx = 0 2x - x 2 = 0 Û ê . êx = 2 ëê 2 2 16p Thể tích khối tròn xoay cần tìm là V = p (2x - x 2) dx = . ò 5 0 Câu 4. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y 1 x, Ox, x = 0, x = 4 quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng: 28 68 28 68 A. 2 B. . C. D. 2. 3 3 3 3 Hướng dẫn giải Theo công thức ta có thể tích của khối tròn xoay cần tính là: 4 68 V .(1 x)2dx . 0 3 4 Câu 5. Cho hình H giới hạn bởi các đường y và y x 5. Quay hình H x quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là: 9 15 33 A. . B. 4ln4 . C. 4ln 4 .D. 9 . 2 2 2 4 2 x 1 Phương trình hoành độ giao điểm: x 5 x 5x 4 0 x 0 x x 4 4 Vì x 5 0 với x 1;4 nên thể tích cần tìm là x 2 4 2 4 4 V x 5 dx dx 9 . 1 1 x III. Những lỗi học sinh thường mắc (nếu có). IV. Hệ thống câu hỏi ôn tập: Trang 7/24
8. Câu 1: Hình phẳng H được giới hạn bởi các đường y x2 , y 3x 2 . Tính diện tích hình phẳng H 2 1 1 A. . B. . C. 1. D. . 3 3 6 Lời giải Chọn D Hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là nghiệm của phương trình: 2 2 x 1 x 3x 2 x 3x 2 0 . x 2 Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường là: 2 2 1 S x2 3x 2 dx x2 3x 2 dx . 1 1 6 Câu 2: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x2 2x 1 trục hoành và hai đường thẳng x 1; x 3 . 64 56 37 68 A. S . B. S . C. S . D. S . 3 3 3 3 Lời giải Chọn A 3 3 2 x 2 3 64 Diện tích cần tính bằng S x 2x 1 dx x x . 1 3 1 3 Câu 3: Diện tích hình phẳng giới hạn bới hai đường thẳng x 0 , x π , đồ thị hàm số y cos x và trục Ox là π π A. S cos x dx . B. S cos2 x dx . 0 0 π π C. S cos x dx . D. S cos x dx . 0 0 Lời giải Chọn C Lý thuyết. Câu 4: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y ex , y 0, x 0 , x 2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? Trang 8/24
9. 2 2 2 2 A. S e2x dx .B. S ex dx . C. S ex dx . D. S e2x dx . 0 0 0 0 Lời giải Chọn B Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y ex , y 0, x 0 , x 2 được tính 2 2 theo công thức S ex dx ex dx . 0 0 Câu 5: Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường y 2x , y 0, x 0 , x 2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 2 2 2 2 A. S 2x dx . B. S 22x dx . C. S 22x dx . D. S 2x dx . 0 0 0 0 Lời giải Chọn A 2 2 S 2x dx 2x dx . 0 0 Câu 6: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y 2x, x 3, x 2 và trục hoành được tính bởi công thức nào dưới đây? 2 2 3 A. S 2xdx . B. S 2xdx . C. S 2xdx . D. 3 3 2 2 2 S 2x dx . 3 Lời giải Chọn A 2 2 Ta có: S 2x dx 2xdx . 3 3 Câu 7: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y x2 x; y 2x 2; x 0; x 3được tính bởi công thức 3 2 A. S x2 3x 2 dx . B. S x2 3x 2 dx . 0 1 3 2 C. S x2 3x 2 dx . D. S x2 x 2 dx 0 1 Lời giải Chọn C Trang 9/24
10. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y f x , y g x , x a, x b được b xác định bởi công thức: S f x g x dx. a Suy ra diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y x2 x; y 2x 2; x 0; x 3được tính bởi công thức: 3 3 S x2 x 2x 2 dx x2 3x 2 dx. 0 0 Câu 8: Hình phẳng H giới hạn bởi các đường y x2 , y 2x 3 và hai đường thẳng x 0, x 2 có diện tích S . Chọn đáp án đúng? 2 2 A. S x2 2x 3 dx. B. S x2 2x 3 dx. 0 0 2 2 C. S x2 2x 3 dx. D. S x2 2x 3 dx. 0 0 Lời giải Chọn A Hình phẳng H giới hạn bởi các đường y x2 , y 2x 3 và hai đường thẳng 2 2 x 0, x 2 có diện tích S x2 2x 3 dx x2 2x 3 dx. 0 0 1 Câu 9: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y , trục hoành và các x đường thẳng x 1, x e . 2 A. . B. e . C. e 1. D. 1. 3 Lời giải Chọn D 1 Ta có: 0 x 1;e nên diện tích hình phẳng đã cho là: x e 1 e 1 S dx dx ln x e ln e ln1 1. 1 1 x 1 x Vậy S 1. Câu 10: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y x2 , y 2x 3, x 2, x 0 . Trang 10/24
11. 2 2 A. . B. . C. 2 . D. 4 . 3 3 Lời giải Chọn D Đặt f x x2, g x 2x 3 , ta xét dấu f x g x . x 1 0;2 Xét f x g x 0 x2 2x 3 0 . x 3 0;2 Ta có bảng xét dấu Vậy diện tích hình phẳng đã cho 2 1 2 5 7 S x2 2x 3 dx x2 2x 3 dx x2 2x 3 dx 4. 0 0 1 3 3 Câu 11: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đôg thị hàm số y x3 4x , trục hoành và các đường thẳng x 3, x 4 là 202 203 201 201 A. . B. . C. . D. . 3 4 5 4 Lời giải Chọn D 4 201 Ta có S x3 4x dx 3 4 Câu 12: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x2 , trục hoành Ox , các đường thẳng x 1, x 2 là 7 8 A. S . B. S . C. S 7 . D. S 8. 3 3 Lời giải Chọn A 2 2 2 x3 8 1 7 Diện tích hình phẳng là S x2 dx x2dx . 1 1 3 1 3 3 3 Câu 13: Gọi M là hình phẳng giới hạn bới các đường x 0, x 1, y 0, y 5x4 3x2 3. Diện tích hình M bằng Trang 11/24
12. A. 5. B. 10. C. 6 . D. 12. Lời giải Chọn A 1 Ta có: Diện tích hình phẳng M là: 5x4 3x2 3 x5 x3 3x 1 5. 0 0 Câu 14: Cho đồ thị y f x như hình vẽ sau đây. Diện tích S của hình phẳng được gạch chéo trong hình dưới dây bằng 2 1 2 A. S f x dx . B. S f x dx f x dx . 1 1 1 1 2 1 2 C. S f x dx f x dx . D. S f x dx f x dx . 1 1 1 1 Lời giải Chọn D Diện tích cần tìm là 2 1 2 1 2 S f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx . 1 1 1 1 1 Câu 15: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường thẳng x 0 , x , đồ thị hàm số y cos x và trục Ox là A. S cos x dx . B. S cos2 x dx . C. S cos x dx . D. 0 0 0 S cos x dx . 0 Lời giải Chọn D Trang 12/24
13. Hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x , trục Ox và hai đường b thẳng x a ; x b có diện tích là S f x dx . a x2 Câu 16: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y , y x , x 2 và 2 x 0 được tính bởi công thức nào dưới đây? 2 2 0 x2 0 x2 A. S x dx . B. S x dx . 2 2 2 2 0 x2 0 x2 C. S x dx . D. S x dx . 2 2 2 2 Lời giải Chọn C x2 Từ định nghĩa về diện tích hình phẳng giới hạn bởi bốn đường y , y x , x 2 2 0 x2 0 x2 và x 0 ta có công thức S x dx x dx . 2 2 2 2 Câu 17: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y 2x3, y , x 4 và trục tung được tính bởi công thức nào sau đây? 4 4 A. S 2x3 dx . B. S 2x3 dx . 0 4 4 C. S 2x3 dx . D. S 2x3 dx . 0 Lời giải Chọn B 4 4 Diện tích cần tính là S 2x3 dx 2x3 dx 0 0 Câu 18: Cho hàm số y f x liên tục trên R và có đồ thị C là đường cong như hình bên. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị C , trục hoành và hai đường thẳng x 0 , x 2 là Trang 13/24
14. 2 1 2 A. f x dx . B. f x dx f x dx . 0 0 1 1 2 2 C. f x dx f x dx . D. f x dx . 0 1 0 Lời giải Chọn C Dựa vào hình vẽ ta nhận thấy: khi x 0;1 thì f x 0 , khi x 1;2 thì f x 0 . 1 2 Vậy S f x dx f x dx . 0 1 Câu 19: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y x và y ex , trục tung và đường thẳng x 1được tính theo công thức. 1 1 A. S ex 1 dx . B. S ex x dx . 0 0 1 1 C. S x ex dx . D. S ex x dx . 0 1 Lời giải Chọn B Vì trong khoảng 0;1 phương trình ex x không có nghiệm và ex x , 1 1 x 0;1 nên S ex x dx ex x dx . 0 0 Câu 20: Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường y x2 , y x. 1 5 1 1 A. S . B. S . C. S . D. S . 6 6 3 2 Lời giải Chọn A Phương trình hoành độ giao điểm: x2 x x 0  x 1 Trang 14/24
15. 1 1 Diện tích hình phẳng là S x2 x dx 0 6 Câu 21: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x2 2019 và hai đường thẳng x 3, x 4 với trục hoành được tính bởi biểu thức: 4 4 A. S x2 2019dx. S x2 2019 dx. 3 B. 3 4 3 2 C. S x2 2019 dx. D. S x2 2019dx. 3 4 Lời giải Chọn A 4 Diện tích hình phẳng cần tìm là: S x2 2019dx. 3 2 Câu 22: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y , trục hoành, x 1 2 đường thẳng x 0 và đường thẳng x 4 là 8 8 1 A. S . B. S . C. S . D. S 1. 5 5 5 Lời giải Chọn A 4 4 2 2 8 Ta có S dx . 2 0 x 1 x 1 0 5 Câu 23: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai parabol y x2 3x 1và y x2 x 3 được tô đậm trong hình bên có giá trị bằng Trang 15/24
16. 1 1 A. 4x 2 dx . B. 2x2 2x 4 dx . 2 2 1 1 C. 4 2x 2x2 dx . D. 4x 2 dx . 2 2 Lời giải Chọn C Diện tích phần tô đậm là: 1 1 2 2 2 S x x 3 x 3x 1 dx 4 2x 2x dx . 2 2 Câu 24: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y x2 4 và y x 2? 5 8 9 A. . B. . C. . D. 9 . 7 3 2 Lời giải Chọn C Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là: 2 2 x 1 x 4 x 2 x x 2 0 . x 2 Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y x2 4 và y x 2 là: 2 2 2 3 2 2 2 x x 9 S x 4 x 2 dx x x 2 dx 2x . 3 2 2 1 1 1 Câu 25: Diện tích hình phẳng phần gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào sau đây? Trang 16/24
17. 2 2 A. S x3 2x2 5x 6 dx . B. S x3 2x2 x 10 dx . 1 1 2 2 C. S x3 2x2 5x 6 dx . D. S x3 2x2 x 10 dx . 1 1 Lời giải Chọn A 2 2 2 3 3 2 S 2x 2x 8 x 3x 2 dx x 2x 5x 6 dx . 1 1 Câu 26: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y 1 x2 , y 3 , x 1, x 2 được tính bởi công thức nào dưới đây 2 2 A. S x2 2 dx . B. S (x2 2)2 dx . 1 1 2 2 C. S (x2 2)dx . D. S (x2 2)dx . 1 1 Lời giải. Chọn C y f x y g x Công thức tính diện tích hình phẳng cho bởi 4 đường là x a x b b S f x g x dx ; a Vậy hình phẳng giới hạn bởi 4 đường y 1 x2 , y 3 , x 1, x 2 có diện tích 2 2 2 2 S 1 x2 3 dx x2 2 dx x2 2 dx x2 2 dx x2 2 0x 1;2 . 1 1 1 1 Câu 27: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y ex , y 1, x 1, x 1được tính bởi công thức nào dưới đây 1 1 A. S 2 ex 1 dx . B. S e2x 1 dx . 0 1 1 1 C. S (ex 1)dx . D. S (1 2ex )dx . 1 1 Lời giải. Chọn C Trang 17/24
18. Vậy hình phẳng giới hạn bởi 4 đường y ex , y 1, x 1, x 1có diện tích 1 1 S ex 1 dx ex 1 dx do x2 2 0x 1;2 . 1 1 Câu 28: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y 2sin x, y 3, x 1 và x 2 được tính bởi công thức nào dưới đây? 2 2 A. S 2sin x 3 dx . B. S 3 2sin x dx . 1 1 2 2 2 C. S 3 2sin x dx . D. S 2sin x 3 dx . 1 0 Lời giải Chọn B 2 2 Diện tích S của hình phẳng là: S 2sin x 3 dx 3 2sin x dx . 0 0 Câu 29: Cho H là hình phẳng giới hạn bởi parabol y x2 , đường thẳng y x 2 và trục hoành. Diện tích của H bằng 5 6 5 12 A. . B. . C. . D. . 6 5 12 5 Lời giải Chọn A Diện tích hình phẳng cần tìm bằng 2 1 2 3 1 2 2 x x 5 S x dx x 2 dx 2x . 3 2 6 0 1 0 1 Trang 18/24
19. 3 Câu 30: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường f1 x x x , 2 f2 x x x , x 0 , x 1. 8 37 9 5 A. S . B. S . C. S . D. S . 3 12 4 12 Lời giải Chọn D Ta có: f1(x) f2 (x) 0 x3 x2 2x 0 x 2 x 0 x 1 3 2 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường f1(x) x x , f2 (x) x x , x 0 , x 1 là 1 1 1 4 3 3 2 3 2 x x 2 5 S x x 2xdx x x 2x dx x . 4 3 12 0 0 0 Câu 31. Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường 4 y , y 0 , x 1, x 4 quanh trục ox là: x A. 6 B. 6 C. 12 D. 6 Hướng dẫn giải 4 4 Theo công thức ta có thể tích của khối tròn xoay cần tính là: V .( )2dx 12 . 1 x Câu 32. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y cos4x, Ox, x = 0, x = quay xung 8 quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng: 2 2 A. B. C. D. 2 16 4 1 . 16 Hướng dẫn giải Trang 19/24
20. Theo công thức ta có thể tích của khối tròn xoay cần tính là: 8 2 V .cos2 4xdx . 0 16 Câu 33. Thể tích khối tròn xoay được giới hạn bởi các đường y 1 x2 , y 0, x 0 và x 2 khi quay quanh trục Ox bằng: 8 2 46 5 A. . B. 2 . C. . D. . 3 15 2 Câu 33. Chọn C. Thể tích khối tròn xoay được giới hạn bởi các đường y 1 x2 , y 0, x 0 và x 2 khi quay quanh trục y Ox là: y=1-x2 x 2 2 2 0 1 2 V 1 x2 dx 1 2x2 x4 dx 0 0 2 2x3 x5 46 x 3 5 15 0 Câu 34. Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi y ln x, y 0, x e quay quanh trục Ox có kết quả là: A. e . B. e 1 . C. e 2 . D. e 1 . Câu 34. Chọn C. Phương trình hoành độ giao điểm: ln x 0 x 1 e e Suy ra V ln x 2 dx ln2 xdx e 2 1 1 Câu 35. Thể tích vật thể quay quanh trục Ox giới hạn bởi y x3 , y 8, x 3 có kết quả là: A. 37 9.25 . B. 37 9.26 . C. 37 9.27 . D. 7 7 7 37 9.28 . 7 Câu 35. Chọn B. Trang 20/24
21. Phương trình hoành độ giao điểm: x3 8 x 2 3 3 3 2 Suy ra V x3 82 dx x6 64 dx (x6 64)dx 2 2 2 3 7 7 7 7 6 7 6 7 6 x 6 3 6 2 6 3 21.2 2 14.2 3 9.2 2 .x 3.2 2.2 7 7 7 7 7 2 Câu 36. Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường y x2 , y 2x . Thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay H xung quanh trục Ox bằng: 16 21 32 64 A. . B. . C. . D. . 15 15 15 15 Câu 36. Chọn D. Hoành độ giao điểm của đồ thị 2 hàm số y x2 và y 2x là nghiệm của phương trình 2 x 0 x 2x x 2 Thể tích của khối tròn xoay tạo thành là 2 2 2 2 5 2 2 2 4 3 x 64π V π 2x dx π x dx π x π 3 5 15 0 0 0 0 Câu 37. Gọi H là hình phẳng giới hạn bởi các đường: y sin x;Ox;x 0;x . Quay H xung quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là: 2 A. . B. . C. . D. 2 . 2 2 Câu 37. Chọn B. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành là π π π 2 2 1 cos 2x 1 1 π V π sin xdx π dx π x sin 2x 0 0 2 2 4 0 2 Câu 38. Gọi H là hình phẳng giới hạn bởi các đường y 1 x2; Ox . Quay H xung quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích bằng ? 16 16 4 4 A. . B. . C. . D. . 15 15 3 3 Câu 38. Chọn B. Trang 21/24
22. Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y 1 x2 với trục Ox là nghiệm của phương trình 2 x 1 1 x 0 x 1 Thể tích khối tròn xoay tạo thành là 1 1 1 5 2 2 2 4 2 3 x 16π V π 1 x dx π 1 2x x dx π x x 3 5 15 1 1 1 Câu 39. Cho hình H giới hạn bởi các đường y x2 ; x 1; trục hoành; trục tung. Quay hình H quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là: 2 2 A. . B. . C. . D. . 5 3 3 5 Câu 39. Chọn A. 1 1 5 1 2 x π Thể tích của khối tròn xoay tạo thành là V π x2 dx π x4dx π . 0 0 5 0 5 Câu 40. Gọi H là hình phẳng giới hạn bởi các đường: y 3x x2;Ox . Quay H xung quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là: 81 83 83 81 A. . B. . C. . D. . 11 11 10 10 Câu 40. Chọn D. 2 x 0 Phương trình hoành độ giao điểm: 3x x 0 . x 3 3 2 81 Thể tích cần tính là V 3x x2 dx . 0 10 Câu 41. Gọi H là hình phẳng giới hạn bởi các đường: y 3x; y x ;x 1. Quay H xung quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là: 8 8 2 A. . B. . C. 8 2 . D. 8 . 3 3 Câu 41. Chọn A. Phương trình hoành độ giao điểm: 3x x x 0 và 3x x 0 với x 0;1 . 1 2 1 8 Thể tích cần tính là V 3x dx x2dx . 0 0 3 Trang 22/24
23. Câu 42. Cho hình H giới hạn bởi các đường y x ; x 4 ; trục hoành. Quay hình H quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là: 15 14 16 A. . B. . C. 8 . D. . 2 3 3 Câu 42. Chọn C. Phương trình hoành độ giao điểm: x 0 x 0 . 4 2 Thể tích cần tính là V x dx 8 . 0 6 Câu 43. Cho hình H giới hạn bởi các đường y x 1; y ; x 1. Quay hình H x quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là: 13 125 35 A. . B. . C. . D. 18 . 6 6 3 Câu 43. Chọn C. 6 2 x 2 Phương trình hoành độ giao điểm: x 1 x x 6 0 x 0 x x 3 l 6 Vì x 1 0 với x 1;2 nên thể tích cần tính là x 2 2 6 2 2 35 V dx x 1 dx . 1 x 1 3 Câu 44. Gọi H là hình phẳng giới hạn bởi C : y x3; d : y x 2;Ox . Quay H xung quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là: 4 10 A. . B. . C. . D. . 21 21 7 3 Câu 44. Chọn B. Giải phương trình x3 0 x 0; x 2 0 x 2; x3 x 2 x 1 Vẽ hình 1 2 2 10 Suy ra thể tích cần tìm là V x6dx x 2 dx . 0 1 21 1 Câu 45. Gọi H là hình phẳng giới hạn bởi C : y 2 x ; d : y x ; x 4 . Quay 2 H xung quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là: Trang 23/24
24. 80 112 16 A. . B. . D. . D. 32 . 3 3 3 Câu 45. Chọn A. 1 Giải phương trình 2 x x x 0 2 Vẽ hình 4 4 2 2 1 80 Suy ra thể tích cần tìm là V 2 x dx x dx . 0 0 2 3 Trang 24/24