Ôn tập TN THPT môn Toán - Chuyên đề: Ứng dụng tích phân

Nội dung tài liệu: Ôn tập TN THPT môn Toán - Chuyên đề: Ứng dụng tích phân

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CHUYÊN ĐỀ VẬN DỤNG, VẬN DỤNG CAO BẮC NINH KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 ¯¯¯¯¯¯¯¯¯ Môn: Toán ¯¯¯¯¯¯¯¯ TÊN CHUYÊN ĐỀ: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Người biên soạn: Vũ Sỹ Minh Đơn vị công tác: Trường THPT Tiên Du Số 1 I. Hệ thống kiến thức liên quan. 1) Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành Hình phẳng H giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x liên tục trên đoạn a;b , trục hoành và hai đường thẳng x a , x b b Diện tích hình phẳng được xác định theo công thức: S f x dx a Chú ý b b Nếu f x không đổi dấu trên đoạn a;b thì S f x dx f x dx a a • Nếu phương trình f x 0 có nghiệm duy nhất x c thuộc khoảng a;b thì b c b c b S f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx a a c a c • Nếu phương trình f x 0 có hai nghiệm c1 c2 thuộc khoảng a;b thì b c1 c2 b S f x dx f x dx f x dx f x dx a c c1 c2 Đặc biệt: b b • Nếu f x 0 ,x a;b thì S f x dx f x dx a a b b • Nếu f x 0 , x a;b thì S f x dx f x dx a a 1
2. 2) Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong Cho hình phẳng H giới hạn bởi đồ thị C1 : y f x và C2 : y g x liên tục trên đoạn a;b và hai đường thẳng x a , x b b Diện tích hình phẳng là: S f x g x dx a Chú ý • Nếu phương trình f x g x vô nghiệm trên khoảng a;b thì b b S f x g x dx f x g x dx . a a • Nếu phương trình f x g x có nghiệm duy nhất x c thuộc a;b thì c b c b S f x g x dx f x g x dx f x g x dx f x g x dx a c a c • Nếu phương trình f x g x có hai nghiệm c1 c2 thuộc khoảng a;b thì b c1 c2 b S f x dx f x g x dx f x g x dx f x g x dx a c c1 c2 Đặc biệt: b ° Nếu f x g x , x a;b thì S f x g x dx a • Nếu f x g x , x a;b 3) Thể tích vật thể Cắt một vật thể B bởi hai mặt phẳng P và Q vuông góc với trục Ox lần lượt tại x a và x b , với a b . Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với Ox tại điểm có hoành độ x cắt B theo thiết diện có diện tích S x như hình vẽ bên. b Khi đó thể tích vật thể B là V S x dx . a 2
3. 4) Thể tích khối tròn xoay Cho hình phẳng H giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x liên tục trên đoạn a;b , trục Ox và hai đường thẳng x a và x b . Quay H xung quanh trục Ox ta thu được một khối tròn xoay như hình vẽ bên. b 2 Thể tích khối tròn xoay thu được là V f x dx a Nếu đổi vai trò của x và y cho nhau, ta được hình phẳng H giới hạn bởi đồ thị hàm số x g y liên tục trên đoạn c;d , trục Oy và hai đường thẳng y c , y d . Quay H xung quanh trục Oy ta thu được một khối tròn xoay như hình vẽ bên. d Thể tích khối tròn xoay thu được là V g 2 y dy Oy c Cho hình phẳng H giới hạn bởi đồ thị hai hàm số C1 : y f x , C2 : y g x liên tục trên đoạn a;b và hai đường thẳng x a , x b . Quay H xung quanh trục Ox ta thu được một khối tròn xoay như hình vẽ bên. b Khi đó, thể tích khối tròn xoay thu được là V f 2 x g 2 x dx a Chú ý: Trong trường hợp này, ta phải có f x .g x 0 với x a;b thì mới áp dụng được công thức. 3
4. II. Các dạng bài/câu thường gặp Dạng 1: Tính tích phân khi cho trước diện tích của hình phẳng. Phương pháp giải Ta biến đổi tích phân theo một số tích phân sao cho mỗi tích phân xác định tương ứng bằng diện tích của các hình phẳng cho trước. Ta thường sử dụng công thức đổi cận tích phân và kết hợp với phương pháp đổi biến số. Ví dụ 1: Cho hàm số y f (x) liên tục trên ¡ và có đồ thị như hình vẽ bên. Biết rằng diện tích các hình (A),(B) lần lượt bằng 3 và 7 . Tích phân 2 cos x. f (5sin x 1)dx 0 bằng 4 4 A. I .B. I 2 .C. I .D. I 2 . 5 5 Lời giải Chọn A 1 4 Theo đề f (x)dx 3, f (x)dx 7 1 1 1 1 4 2 cos x. f (5sin x 1)dx 2 f (5sin x 1)d(5sin x 1) f (t)dt 0 5 0 5 1 1 1 4 4 f (x)dx f (x)dx 5 1 1 5 Ví dụ 2: Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn  5;6 có đồ thị như hình vẽ. Giá trị của 10 3 f 3x 10 dx bằng. 5 y 6 4 -1 O 1 2 -5 -2 -1 6 x -2 25 19 11 13 A. .B. .C. .D. . 6 6 6 6 Lời giải Chọn D 4
5. y A 6 4 B C D -1 O 1 2 -5 -2 F -1 6 x E G -2 Ta có 1 1 S BC.AB .6.3 9. ABC 2 2 1 1 S DF.EF .1.2 1. DEE 2 2 1 1 3 S GO EF DO .3.1 . FEGO 2 2 2 Khi đó 0 2 1 0 f x dx f x dx f x dx f x dx 5 5 2 1 3 13 S S S 9 1 . ABC DEE FEGO 2 2 10 10 3 1 3 1 0 13 Vậy f 3x 10 dx f 3x 10 d 3x 10 f t dt 5 3 5 3 5 6 Ví dụ 3: Cho f x , g x lần lượt là các hàm đa thức bậc ba và bậc nhất có đồ thị như hình vẽ. 250 2 Biết diện tích hình S bằng . Tính f x dx . 81 0 7 38 8 34 A. . B. .C. .D. . 3 15 3 15 Lời giải Chọn D 4 3 1 Ta có g x là hàm số bậc nhất đi qua A ;1 và B 3;2 nên g x x . 3 5 5 3 1 Với y 1 x 1 x 2 C 2; 1 là giao điểm của hai đồ thị hàm 5 5 số f x và g x . 5
6. 4 Do đó f x g x a x 2 x x 3 . 3 4 4 3 250 3 4 3 Lại có S f x g x dx a x 2 x x 3 dx a . 2 81 2 3 20 Suy ra 3 4 3 4 3 1 f x g x x 2 x x 3 f x x 2 x x 3 x 20 3 20 3 5 5 . 2 2 3 4 3 1 34 Vậy f x dx x 2 x x 3 x dx . 0 0 20 3 5 5 15 Ví dụ 4: Cho hàm số f x liên tục trên ¡ và y g x xf x 2 có đồ thị trên 0;2 như hình vẽ. 5 4 Biết diện tích miền tô đậm là S . Khi đó tích phân f x dx bằng 2 1 32 5 A. 10 .B. 5 .C. .D. . 3 4 Lời giải Chọn B 2 2 2 Ta có: S g x dx= g x dx xf x2 dx . 1 1 1 1 Đặt t x2 dt 2xdx xdx= dt 2 x 1 2 Đổi cận: t 1 4 6
7. 1 4 4 5 S f t dt f t dt 2S 2. 5 . 2 1 1 2 4 Hay . f x dx 5 1 Dạng 2: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi một số đồ thị hàm số và đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước. Phương pháp giải Từ điều kiện cho trước ta đi xác định công thức của đồ thị hàm số và phương trình của đường thẳng (nếu cần) Xác định hoành độ giao điểm của các đồ thị hàm số và đường thẳng (nếu cần) Áp dụng công thức tính diện tích của hình phẳng + Bài toán cho điều kiện đối với các đồ thị hàm số giới hạn hình phẳng 1 Ví dụ 5: Cho hai hàm số f x ax3 bx2 cx 1 và g x dx2 ex a,b,c,d,e R . 2 Biết rằng đồ thị của hàm số y f x và y g x cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt 3; 1;2 . Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng 253 125 253 125 A. .B. .C. .D. . 12 12 48 48 Lời giải: Chọn C Cách 1. Theo giả thiết hai đồ thị hàm số cắt nhau tại các điểm 3;1;2 nên ta có: 1 3 1 27a 9b 3c 1 9d 3e 27a 9 b d 3 c e 0 a 2 2 4 1 3 1 a b c 1 d e a b d c e 0 b d 2 2 2 1 3 5 8a 4b 2c 1 4d 2e 8a 4 b d 2 c e 0 c e 2 2 4 Vậy diện tích cần tính là: 1 3 2 3 S ax3 b d x2 c e x dx ax3 b d x2 c e x dx 3 2 1 2 1 1 26 5 3 1 15 1 5 3 3 4 63 253 . 20 . 4 .2 . .3 . .3 4 2 3 4 2 4 4 2 4 2 2 3 16 48 Cách 2. 7
8. Ta có: f x g x 0 a x 3 x 2 x 1 0 x2 4x 3 x 2 0 x3 2x2 5x 6 0 3 Đồng nhất hệ số với phương trình ax3 b d x2 c e x 0 ta có: 2 3 a 1 1 2 a f x g x x3 2x2 5x 6 1 6 4 4 2 1 253 Do đó S x 3 x 1 x 2 dx . 3 4 48 Ví dụ 6: Cho hai hàm số f x ax4 bx3 cx2 dx 5 và g x ex 1 . Biết rằng đồ thị của hai hàm số y f x và y g x tiếp xúc nhau tại hai điểm có hoành độ lần lượt là 1;2 . Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng 81 81 81 81 A. .B. . C. . D. . 20 10 4 40 Lời giải Chọn B y f x , y g x Hình phẳng H : . x 1, x 2 2 Dựa vào hình vẽ trên diện tích hình phẳng H là: S f x g x dx . 1 Ta có: f x g x ax4 bx3 cx2 d e x 4 Do đồ thị của hai hàm số y f x và y g x tiếp xúc nhau tại hai điểm có hoành độ lần lượt là 1;2 nên x 1, x 2 là hai nghiệm bội chẵn của phương trình f x g x 0 . 2 2 Suy ra f x g x ax4 bx3 cx2 d e x 4 a x 1 x 2 . Đồng nhất hệ số tự do ta được: 4 4a a 1 . 2 2 2 2 2 81 Do đó f x g x x 1 x 2 hay S x 1 x 2 dx . 1 10 1 Ví dụ 7: Cho đồ thị hàm số bậc ba y f x ax3 bx2 x c và đường thẳng y g x 3 8
9. có đồ thị như hình vẽ sau: Biết AB 5 , diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x , trục hoành và hai đường thẳng x 1, x 2 bằng 17 19 5 7 A. .B. .C. .D. . 11 12 12 11 Lời giải Chọn B Gọi g x mx m 0 . Ta có A 1; m ; B 2;2m . 4 m tm 2 3 Khi đó AB 9 9m 5 . 4 m l 3 Ta có f x g x ax3 bx2 x c 0 . Mặt khác ax3 bx2 x c a x2 1 x 2 ax3 bx2 x c ax3 2ax2 ax 2a , 1 Đồng nhất hệ số ta đươc a 1, b 2 , c 2 . Vậy y f x x3 2x2 x 2 . 3 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x , trục hoành và hai đường 2 3 2 1 19 thẳng x 1, x 2 bằng S x 2x x 2 dx . 1 3 12 Ví dụ 8: Cho hàm số y f x 6x4 ax3 bx2 cx d a,b,c,d ¡ . Biết đồ thị hàm số y f x có ba điểm cực trị có hoành độ lần lượt là 2;1;2 và hàm số y g x là hàm bậc hai có đồ thị đi ba điểm cực trị đó. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường y f x và y g x thuộc khoảng nào sau đây? A. 71;72 .B. 72;73 . C. 73;74 .D. 74;75 . Lời giải Chọn D Ta có y ' f ' x 24x3 3ax2 2bx c . Do đồ thị hàm số y f x có ba điểm cực trị có hoành độ 2;1;2 nên phương trình f ' x 0 có ba nghiệm phân biệt 2;1;2 . Suy ra f ' x 24 x 2 x 1 x 2 f ' x 24x3 24x2 96x 96 9
10. f x 6x4 8x3 48x2 96x d . Ta có 1 1 2 2 f x x f ' x 26x 64x d 8 g x 26x 64x d 8. 4 12 Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường y f x và y g x là 2 S f x g x dx 2 2 6x4 8x3 48x2 96x d 26x2 64x d 8 dx 74,63. 2 Ví dụ 9: Cho hàm số f x x4 bx3 cx2 dx e (b,c,d,e ¡ ) có các giá trị cực trị là f x 1,4 và 9 . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số g x và trục f x hoành bằng A. 4. B. 6. C. 2. D. 8. Lời giải Chọn B +) Gọi x1 x2 x3 là ba điểm cực trị của hàm số f x . Ta có bảng biến thiên: +) Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số g x và trục hoành là: f x f x 0 x xi (i 1,2,3) g x 0 f x 0 (TM) f x f x 0 i +) Diện tích cần tìm là x2 x3 f x f x x2 x3 S dx dx 2 f x 2 f x x1 x2 x1 f x x2 f x 4 f x2 2 f x1 2 f x3 6. Ví dụ 10: Cho hàm số y f x là hàm đa thức bậc bốn và có đồ thị như hình vẽ bên. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y f x , y f x có diện tích bằng 10
11. 127 107 87 127 A. .B. .C. .D. . 40 5 40 10 Lời giải Chọn B Ta thấy đồ thị hàm số y f x tiếp xúc với trục hoành tại hai điểm có hoành độ bằng 2 và 1 nên hàm số có dạng f x a x 2 2 x 1 2 . 1 Mà đồ thị hàm số y f x đi qua điểm A 0;1 4a 1 a 4 1 2 2 f x x 2 x 1 4 1 f x x 2 x 1 2x 1 2 Xét phương trình hoành độ giao điểm của y f x và y f x : x 2 1 2 2 1 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 2x 1 4 2 x 1 x 4 Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y f x , y f x có diện tích là 4 1 2 2 1 107 S x 2 x 1 x 2 x 1 2x 1 . 2 4 2 5 + Bài toán cho điều kiện đối với hàm số có đồ thị giới hạn hình phẳng Ví dụ 11: Cho hàm số y f x có đạo hàm trên R thỏa mãn điều kiện 2 f (x) x f (x) 2sin x x cos x, x ¡ và f . Diện tích của hình phẳng 2 2 giới hạn bởi đồ thị hàm số y f (x) , trục Ox , x , x thuộc thuộc tập hợp 2 nào trong các tập hợp dưới đây? A. 0;1 . B. 1;3 . C. 3;4 . D. 4; . Lời giải Chọn B 11
12. Từ giả thiết f (x) x f (x) 2sin x x2 cos x f (x) xf (x) x2 cos x 2xsin x xf x x2 sin x xf x x2 sin x C Mặt khác: f C 0 f x xsin x. 2 2 Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường y f (x) , trục Ox , x , x 2 bằng S xsin x dx 2,14 2 Ví dụ 12: Cho hàm số f x xác định và liên tục trên ¡ \ 0 thỏa mãn x2 f 2 x 2x 1 f x xf ' x 1, với mọi x ¡ \ 0. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f (x) , trục Ox và các đường thẳng x 1, x 2 bằng ln 2 1 A. 1. B. ln 2 . 2 2 3 ln 2 3 C. ln 2 . D. . 2 2 2 Lời giải Chọn D 2 ' Ta có x2 f 2 x 2xf x 1 xf ' x f x xf x 1 xf x 1 ' ' xf x 1 xf x 1 1 Do đó 1 dx 1dx x c 2 2 xf x 1 xf x 1 xf x 1 1 xf x 1 x c 1 x c 1 x c 1 xf x 1 f x x c x c x c x x 1 Cho hàm số f x xác định và liên tục trên ¡ \ 0 nên c 0 f x x2 2 2 1 1 1 1 Vậy f x dx dx ln x |2 ln 2 . 2 1 1 1 x x x 2 Ví dụ 13: Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên 2;4 và f x 0, x 2;4. 3 7 Biết 4x3 f x f x x3 , x 2;4, f 2 . Diện tích của hình phẳng giới 4 hạn bởi đồ thị hàm số y f '(x) , trục Ox và các đường thẳng x 2, x 4 bằng 9 80 5 A. . B. 2 5 5 . 4 9 40 5 C. . D. 2 10 5 . 4 Lời giải Chọn D 12
13. Ta có: f x 0, x 2;4 nên hàm số y f x đồng biến trên 2;4 7 f x f 2 mà f 2 . Do đó: f x 0, x 2;4. 4 3 3 3 3 3 Từ giả thiết ta có: 4x f x f x x x 4 f x 1 f x f x x.3 4 f x 1 f x x . 3 4 f x 1 Suy ra: f x 1 d 4 f x 1 x2 dx xdx C 3 4 f x 1 4 3 4 f x 1 2 2 3 2 x 7 3 1 3 4 f x 1 C mà f 2 2 C C 8 2 4 2 2 3 4 2 x 1 1 3 40 5 1 Suy ra f x f 4 4 4 4 4 Vậy S f '(x)dx f ' x dx f 4 f 2 2 10 5 2 2 Ví dụ 14: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0;2 và thỏa mãn 2 f x 4 f x 8x2 32x 28 với mọi x thuộc 0;2 . Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f '(x) , trục Ox và trục Oy bằng A. 5 . B. 4 . C. 2 . D. 14. Lời giải Chọn B Ta có 2 2 2 2 f x 4 f x 8x2 32x 28 f x dx 2 2 f x dx 1 1 2 8x2 32x 28 dx 1 2 2 2 2 f x dx 2 2x 4 f x dx 2x 4 2dx 1 1 1 2 2 2 2 2 2 8x 32x 28 dx 2x 4 dx f x 2x 4 dx 0 1 1 1 f x 2x 4 . Xét f x 2x 4 0 x 2 Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường y f '(x) , trục Ox , trục Oy 2 2 bằng S f ' x dx 2x 4 dx 4 . 0 0 Ví dụ 15: Cho hàm số f x x3 bx2 cx d với b , c , d là các số thựC. Biết hàm số g x f x 2 f x 3 f x có hai giá trị cực trị là 6 và 42 . Tính diện tích 13
14. f x f x f x hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y và y 1 g x 18 A. ln 5 B. ln 7 C. 2ln 6 D. 2ln 5 Lời giải Chọn A Hàm số f x là hàm số bậc 3 nên g x là hàm số bậc 3 suy ra g x là hàm số bậc hai. Ta có 3 f 3 x 3.3! 18; g x f x 2 f x 18 có hai nghiệm x1 , x2 và g x1 42 , g x2 6 . Xét phương trình tìm cận của tích phân để tính diện tích: f x f x f x f x 2 f x 18 1 0 . g x 18 g x 18 x x1 Suy ra f x 2 f x 18 0 g x 0 . x x2 Diện tích hình phẳng x2 f x f x f x x2 g x x2 g x S 1 dx dx dx . g x 18 g x 18 g x 18 x1 x1 x1 x x1 t1 g x1 18 Đặt t g x 18 dt g x dx . Đổi cận . x x2 t2 g x2 18 12 dt 12 12 Do đó S ln t ln12 ln 60 ln ln 5 ln 5. 60 60 t 60 + Bài toán cho hình phẳng dạng elíp, parabol, Ví dụ 16: Trên bức tường cần trang trí một hình phẳng dạng paranol đỉnh S như hình vẽ, biết OS AB 4 m , O là trung điểm của AB . Parabol trên được chia thành ba phần để sơn ba màu khác nhau với mức chi phí: phần trên là phần kẻ sọc 140000 đồng/ m2 , phần giữa là hình quạt tâm O , bán kính 2 m được tô đậm 150000 đồng/ m2 , phần còn lại 160000 đồng/ m2 . Tổng chi phí để sơn cả 3 phần gần nhất với số nào sau đây? A. 1.597.000 đồng. B. 1.625.000 đồng. C. 1.575.000 đồng.D. 1.600.000 đồng. Lời giải Chọn C 14
15. Dựng hệ trục Oxy như hình vẽ. Gọi parabol P có phương trình: y ax2 bx c a 0 . Khi đó P đi qua các điểm S 0,4 , A 2;0 và B 2;0 . c 4 a 1 2 Suy ra ta có 4a 2b c 0 b 0 . Vậy parabol P : y x 4 . 4a 2b c 0 c 4 Đường tròn C có tâm O 0;0 và bán kính OA 2 . Khi đó phương trình C là: x2 y2 4 . Suy ra phương trình nửa đường tròn là y 4 x2 . Gọi M , N là giao điểm của C và P . Xét phương trình hoành độ giao điểm của C và P ta có: 4 x2 x2 4 2 2 2 x 4 0 x 4 0 x 4 0 x 2 . 2 2 2 4 x 0 x 4 2 2 4 x 4 x x 3 2 x2 3 4 x 1 Suy ra điểm M 3;1 và điểm N 3;1 . 1 Phương trình đường thẳng ON là: y x . 3 3 Chi phí sơn phần kẻ sọc là: T 2 x2 4 4 x2 dx .140000 . 1 0 3 1 Chi phí sơn phần hình quạt là: T 2 4 x2 x dx .150000 . 2 0 3 3 1 2 Chi phí sơn phần còn lại là: T 2 xdx 2 x2 4 dx .160000 . 3 0 3 3 Vậy tổng chi phí sơn là: T T1 T2 T3 1575349,5 . 15
16. Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để diện tích hình phẳng thỏa mãn điều kiện cho trước. Phương pháp giải Từ điều kiện cho trước ta đi xác định công thức đồ thị hàm số và phương trình đường thẳng (nếu cần) Xác định hoành độ giao điểm của các đồ thị hàm số và đường thẳng (nếu cần) Áp dụng công thức tính diện tích của hình phẳng theo tham số. Từ điều kiện cho trước về diện tích hình phẳng từ đó tìm được điều kiện của tham số Ví dụ 17: Gọi m0 là giá trị của tham số m để diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 32 y x2 2x m và trục hoành bằng . Khẳng định nào sau đây là khẳng định 3 đúng ? A. m0 5; 1 .B. . m0 1 C. m0  1;1 .D. . m0 5 Lời giải Chọn A Xét phương trình x2 2x m 0 (1) Để có hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x2 2x m và trục hoành thì có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 ' 1 m 0 m 1 Khi đó, diện tích của hình phẳng là x2 x2 3 2 x 2 Ta có S x 2x m dx x mx x 3 1 x1 Mặt khác 3 2 x1 2 1 3 2 1 2 2 x1 2x1 m 0 x1 mx1 x1 3x1 3mx 2x1 mx1 3x1 3mx1 3 3 3 1 2 1 x1 2mx1 2x1 m 2mx1 3 3 x3 1 Tương tự 2 x2 mx 2x m 2mx 3 2 2 3 2 2 1 1 32 S 2x m 2mx 2x m 2mx x x 2 2m 3 2 2 1 1 3 2 1 3 2 2 2 2 2 2 3 3 x2 x1 1 m 16 2 4m m 1 16 1 m 4 m 3 Vậy m 3 thỏa mãn bài toán. Ví dụ 18: Cho hình thang cong H giới hạn bởi các đường y x, y 0, x 0, x 4 . Đường thẳng x k 0 k 4 chia hình H thành hai phần có diện tích là S1 và S2 như hình vẽ. Để S1 4S2 thì giá trị k thuộc khoảng nào sau đây? 16
17. A. 3,1;3,3  B. 3,7;3,9  C. 3,3;3,5  D. 3,5;3,7  Lời giải Chọn C k 4 3 3 k x 2 2 3 4 x 2 2 3 2 3 S x dx k 2 . S x dx .42 .k 2 . 1 3 2 3 0 3 k 3 3 2 0 2 k 3 3 3 2 2 2 2 2 2 Suy ra S1 4S2 k 4 .4 .k k 3.447 . 3 3 3 1 Ví dụ 19: Cho hàm số y f x x3 ax có đồ thị như hình bên. Gọi S , S lần lượt là 3 1 2 diện tích của hai hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bên. S 7 Khi 1 thì a thuộc khoảng nào dưới đây? S2 40 3 5 1 1 1 1 3 A. ; . B. ; . C. 0; . D. ; . 4 4 3 2 3 2 4 Lời giải Chọn A 17
18. 1 1 a 0 a f 1 0 3 3 1 Dựa vào đồ thị suy ra: a . f 2 0 8 4 3 2a 0 a 3 3 Ta có: 0 1 0 1 0 1 x4 ax2 0 S x3 axdx x3 ax dx x3 ax dx 1 1 3 1 3 1 3 12 2 1 1 a . 12 2 2 2 2 4 2 1 3 1 1 3 x ax 2 4 S x axdx x3 ax dx x ax dx 2a . 2 0 3 0 3 0 3 12 2 0 3 1 a S1 7 12 2 7 3 5 a 1. Vậy a ; . S 40 4 40 4 4 2 2a 3 1 3 Ví dụ 20: Cho hàm số y x3 x2 3x có đồ thị C và đường thẳng d đi qua gốc tọa 2 4 độ tạo thành hai miền phẳng có diện tích S1 và S2 như hình vẽ 27 m Biết S . Khi đó S , giá trị của 2m n bằng 1 4 2 n A. 143. B. 50 . C. 50 . D. 142. Lời giải 18
19. Chọn D  Gọi a 0 là hoành độ giao điểm của C và d . 1 3 a3 a2 3a 1 3 Khi đó, đường thẳng d có hệ số góc là: k 2 4 a2 a 3. a 2 4 Đường thẳng d đi qua gốc tọa độ nên có phương trình là 1 2 3 d : y a a 3 x . 2 4 a 1 3 1 3  Ta có: S x3 x2 3x a2 a 3 x dx 1 0 2 4 2 4 a 27 1 4 1 3 3 2 1 2 3 3 2 x x x a a x 4 8 4 2 4 8 2 0 27 1 4 1 3 3 2 1 2 3 3 2 a a a a a a 4 8 4 2 4 8 2 27 1 1 a4 a3 a 3. 4 8 8 3 Do đó, d : y x . 4 + Phương trình hoành độ giao điểm của C và d là: 3 1 3 3 2 1 3 3 2 9 x x x 3x 0 x x x 0 4 2 4 2 4 4 3 + Phương trình trên có 3 nghiệm: x 3, x 0 và x . 1 2 3 2 0 1 3 9 135 S x3 x2 x dx . 2 3 2 4 4 128 2 Do đó: m 135 , n 128. Vậy: 2m n 142 . Ví dụ 21: Gọi (H ) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x2 4x và trục hoành. Hai đường thẳng y m và y n chia (H ) thành 3 phần có diện tích bằng nhau. Giá trị của biểu thức T (4 m)3 (4 n)3 bằng 19
20. 320 512 75 A. T .B. T .C. T 405 .D. T . 9 15 2 Lời giải Chọn A *) Chứng minh công thức tính nhanh diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị 2 hàm số y ax bx c (a 0) cắt trục hoành tại 2 điểm x1, x2 và trục hoành ( x1 x2 ) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y ax2 bx c (a 0) và trục x2 hoành là S ax2 bx c dx x1 Không mất tính tổng quát, sử a<0. Vì đồ thị hàm số đã cắt trục hoành tại hai điểm 2 phân biệt x1, x2 nên ax bx c 0, x x1; x2 . Do đó, x x2 a b 2 a b S (ax2 bx c)dx ( x3 x2 cx) (x3 x3 ) (x2 x2 ) c(x x ) 3 2 3 2 1 2 2 1 2 1 x1 x1 a b a b2 c b b (x x ) (x2 x x x2 ) (x x ) c ( ) ( ) c 2 1 2 2 1 1 2 1 2 3 2 a 3 a a 2 a 2 2 3 b 4ac b 4ac 2 2 . Vậy S 2 hay S 4 a 6a a 6a 6a 6a 36a *) Vận dụng công thức tính nhanh vào giải bài tập: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x2 4x và trục 16 16 32 hoành. Ta có S 6a2 6 3 2 +) Gọi S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x 4x (P) và y m Tịnh tiến xuống dưới m đơn vị ta được đồ thị hàm số y x2 4x m 2 Khi đó S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x 4x m và trục Ox 3 3 2 2 1 (16 4m) 3 36S1 S1 4 (4 m) 3 (1) 36a1 36 4 2 +) Gọi S2 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x 4x (P) và y n Tịnh tiến xuông n đơn vị ta được đồ thị hàm số y x2 4x n 20
21. 2 Khi đó S2 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x 4x n và trục Ox 3 3 2 2 2 (16 4n) 3 36S2 S2 4 (4 n) 3 (2) 36a2 36 4 S 32 2S 64 Theo bài ra ta có S ; S= 1 3 9 3 9 2 2 36(S1 S2 ) 9 5120 320 Từ và ta có T 3 . 4 16 81 9 . Ví dụ 22: Số thực dương a thỏa mãn diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm x2 2ax 3a2 a2 ax y và y đạt giá trị lớn nhất. Khi đó tỉ số diện tích hình 1 a6 1 a6 phẳng được giới hạn bởi mỗi đồ thị trên với trục hoành, x 0, x 1 là 15 26 32 10 A. .B. .C. .D. . 3 3 3 3 Lời giải Chọn B  Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là: 2 2 2 x 2ax 3a a ax 2 2 x a 6 6 x 3ax 2a 0 x a x 2a 0 1 a 1 a x 2a  Nếu a 0 thì diện tích hình phẳng S 0 . a x2 3ax 2a2 a x2 3ax 2a2 1 a3 + Nếu a 0 thì S dx dx . . 6 6 6 2a 1 a 2a 1 a 6 1 a 2a x 2 3ax 2a 2 2a x 2 3ax 2a 2 1 a3 + Nếu a 0 thì S dx dx . . 6 6 6 a 1 a a 1 a 6 1 a 3 3 1 a 1 a 1  Do đó, với a 0 thì S . . . 6 1 a 6 6 2 a 3 12 3 Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi a 1 a 1 . Vì a 0 nên a 1 . 1 x2 2x 3 13 1 1 x 1 Khi đó S dx , S dx 1 2 6 2 2 4 0 0 S 26  Suy ra 1 . S2 3 Dạng 5: Tính thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh Ox hình phẳng giới hạn bởi một số đồ thị hàm số và đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước. Phương pháp giải Từ điều kiện cho trước ta đi xác định công thức đồ thị hàm số và phương trình đường thẳng (nếu cần) Xác định hoành độ giao điểm của các đồ thị hàm số và đường thẳng (nếu cần) Áp dụng công thức tính thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh Ox hình phẳng đã cho + Bài toán cho trước hình phẳng quay quanh trục Ox 1 Ví dụ 23: Cho hình H giới hạn bởi ba đường P : y x2 , d : y 2x và d : y 2 . Khi 2 1 2 xoay hình H quanh trục Ox tạo thành khối tròn xoay có thể tích là 21
22. 7 56 56 7 A. .B. .C. . D. . 6 15 15 6 Lời giải Chọn C Ta có giao điểm của d1 và d2 là A 1;2 và giao điểm của d2 và P là B 2;2 . Gọi V1 là khối tròn xoay tạo thành khi xoay hình phẳng giới hạn bởi 4 đường d1, P , Oy và x 1 . 1 1 1 4 1 77 V 4x2 x4 dx x3 x5 Suy ra 1 . 0 4 3 20 0 60 Gọi V2 là khối tròn xoay tạo thành khi xoay hình phẳng giới hạn bởi 4 đường d2 , P , x 1 và x 2 . 2 2 1 1 49 V 4 x4 dx 4x x5 Suy ra 2 . 1 4 20 1 20 56 Suy ra V V V . 1 2 15 Cách 2: Gọi V là khối tròn xoay tạo thành khi xoay hình phẳng giới hạn bởi 4 đường 2 d , Ox, Oy x 2 2 2 và . Suy ra V 2 dx 8 . 0 Gọi V3 là khối tròn xoay tạo thành khi xoay hình phẳng giới hạn bởi 4 đường 1 1 4 8 d , d , Oy V 22 4x2 dx 4x x3 1 2 và x 1 . Suy ra 3 . 0 3 0 3 Gọi V4 là khối tròn xoay tạo thành khi xoay hình phẳng giới hạn bởi 4 đường 2 2 1 1 8 V x4 dx x5 Ox, P , Oy và x 2 . Suy ra 4 . 0 4 20 0 5 22
23. 8 8 56 Suy ra thể tích khối tròn xoay cần tìm là V V V V 8 . 3 4 3 5 15 Ví dụ 24: Cho H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y x2 1; y x 1 và hai đường thẳng x 1; x 1. Thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay H quanh trục Ox bằng 176 14 21 16 A. . B. .C. .D. . 15 3 5 15 Lời giải Chọn C 2 Gọi H1 là hình phẳng giới hạn bởi y x 1, y 0; x 1, x 0 . Khi quay H1 quanh trục Ox thì khối tròn xoay được tạo thành có thể tích 0 2 28 V x2 1 dx . 1 1 15 Gọi H2 là hình phẳng được giới hạn bởi y x 1, y 0; x 0, x 1. Khi quay H2 quanh trục Ox thì khối tròn xoay được tạo thành có thể tích 1 2 7 V x 1 dx . 2 0 3 Vậy thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay H quanh trục Ox là 21 V V V . 1 2 5 23
24. Ví dụ 25: Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo thành do quay xung quanh trục hoành một elip x2 y2 có phương trình 1. Giá trị của V có giá trị gần nhất với giá trị nào sau 25 16 đây? A. 550 B. 400 C. 670 D. 335 Lời giải Chọn D Quay elip đã cho xung quanh trục hoành chính là quay hình phẳng: x2  H y 4 1 , y 0, x 5, x 5 . 25  Vậy thể tích khối tròn xoay sinh ra bởi H khi quay xung quanh trục hoành là: 2 3 5 16x 16x 5 320 V 16 dx 16x ; 335,1 5 25 75 5 3 + Bài toán cho điều kiện đối với đồ thị hàm số giới hạn hình phẳng sinh ra khối tròn xoay. Ví dụ 26: Gọi D là miền được giới hạn bởi hai đường cong y f x ax2 bx c và 2 y g x x mx n . Biết S D 9 và đồ thị hàm số y g x có đỉnh I 0;2 . Khi cho miền được giới hạn bởi hai đường cong trên và hai đường thẳng x 1; x 2 quay quanh trục Ox , ta nhận được vật thể tròn xoay có thể tích a V , trong đó a,b là các số nguyên dương. Giá trị biểu thức P a2 b3 bằng b y y=f(x) O 1 1 2 x y=g(x) A. P 2101.B. P 1342. C. P 2021.D. P 63706 . Lời giải Chọn D Parabol y g x có đỉnh I 0;2 suy ra m 0; n 2 y g x x2 2 Phương trình hoành độ giao điểm của y f x và y g x : ax2 bx c x2 2 a 1 x2 bx c 2 0 . 1 Dựa vào hình vẽ, ta có phương trình hoành độ giao điểm của y f x và y g x cũng có dạng là a 1 x 1 x 2 0 a 1 x2 x 2 0 2 2 2 9 Ta có S D 9 a 1 x x 2 dx 9 a 1 9 a 1 2 a 1 1 2 2 2 b 2 Với a 1, từ 1 và 2 ta suy ra: 2x bx c 2 2x 2x 4 c 2 Vì hai đường y f x x2 2x 2 và y g x x2 2 nằm khác phía trục Ox nên ta lấy đối xứng đồ thị hàm số y f x x2 2x 2 qua trục Ox ta được 24
25. đồ thị hàm số y x2 2x 2 x2 2x 2 . 2 2 x 2 x 2x 2 0,x  1;0 Xét x2 2 x2 2x 2 2x 2 2 0 x 2 x 2x 2,x 0;2 Suy ra thể tích khối tròn xoay cần tìm là: 0 2 2 2 259 V x2 2 dx x2 2x 2 dx a 259;b 15 1 0 15 Vậy P 2592 153 63706 . + Bài toán cho điều kiện đối với hàm số có đồ thị giới hạn hình phẳng sinh ra khối tròn xoay. x 1 Ví dụ 27: Cho hàm số f x có f 1 e và f x ex , x 0 . Khi đó thể tích khối x2 tròn xoay tạo thành khi quay hình giới hạn bởi đồ thị hàm số y g x x. f x và các đường thẳng x 1 , x 2 quanh trục Ox bằng 1 A. e4 e2 .B. e4 e2 . 2 2 1 C. e2 e . D. e2 e . 2 2 Lời giải Chọn B x 1 1 1 x x x Ta có: f x 2 .e e 2 e . x x x 1 1 x x Có f x dx e 2 e dx . x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 1 Mặt khác e dx e dx e e dx ex ex dx . x x x x x x2 1 1 f x ex c , với f 1 e c 0 nên f x ex . x x Suy ra thể tích khối tròn xoay cần tìm là 2 2 2 2 1 x 2x 1 2x 4 2 V x. e dx e dx e e e . 1 x 1 2 1 2 Ví dụ 28: Cho hàm số y f (x) có đạo hàm liên tục trên ¡ thỏa mãn x. f (x). f '(x) f 2 (x) x,x ¡ và có f (2) 1. Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh Ox hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f (x) , trục Ox và các đường thẳng x 0, x 2 bằng 3 4 A. B. C. 2 D. 4 2 3 Lời giải Chọn C. Ta có 25