Ôn tập Toán 12 - Chuyên đề: Max-Min của môđun số phức

Nội dung tài liệu: Ôn tập Toán 12 - Chuyên đề: Max-Min của môđun số phức

1. CHUYÊN ĐỀ: MAX-MIN CỦA MÔĐUN SỐ PHỨC PHƯƠNG PHÁP 1: PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC 1) Các đẳng thức modun cần nhớ: 2 z1 z1 z z, z . z z , z1 . z 2 z 1 . z 2 , z 2 0 z2 z 2 2) Các tính chất hình học của số phức cần nhớ Trong hệ tọa độ Oxy Giả sử M x1;,; y 1 N x 2 y 2 lần lượt biểu diễn cho số phức z1, z 2 . Khi đó ta có    z OM OM, z ON , z z OM ON MN  1 2 1 2    z1 z 2 OM ON 2 OI với I là trung điểm đoạn MN  Bất đẳng thức tam giác z k z1 z kz 1 z k z 1 Dạng 1: Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng, đoạn thẳng, tia, một miền. Ví dụ 1. Trong các số phức thỏa mãn z 2 4 i z 2 i , tìm số phức có mođun nhỏ nhất. A. z 2 2 i . B. z 2 2 i . C. z 2 2 i . D. z 2 i . Lời giải Gọi z x yi,,. x y z có điểm biểu diễn là M x; y và z OM . z 2 4 i z 2 i x 2 2 y 4 2 x2 y 2 2 x2 2 y 4 2 x2 y 2 2 4 x 4 y 16 0 x y 4 0 Do đó tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là đường thẳng :x y 4 0. Cách 1: y 3 H 2 1 -3 -2 -1 O 1 2 3 x -1 -2 Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên . Vì z OM nên z nhỏ nhất khi M là hình chiếu của O trên M trùng H . 0 0 4 Vậy minz OH d O ; 2 2 . 12 1 2 Cách 2: Ta có: x y 4 0 y x 4 . 1
2. z x2 x4 2 2 x 2 816 x 2 x 2 2 822,  x . Vậy giá trị nhỏ nhất của mô đun z bằng 2 2 khi z 2 2 i . Ví dụ 2.Trong các số phức z thỏa mãn z i z 2 3 i . Hãy tìm z có môđun nhỏ nhất. 27 6 6 27 6 27 3 6 A. z i . B. z i . C. z i . D. z i . 5 5 5 5 5 5 5 5 Lờigiải Giả sử z x yi x, y z x yi . Ta có x yi i x yi 2 3 i x y 1 i x 2 y 3 i x2 y 1 2 x 2 2 y 3 2 121346y x y 4128 x y x 23 y . 2 2 2 22 2 2 6 9 9 Do đó z x y 2 y 3 y 5 y 12 y 9 y 5 . 5 5 5 6 3 3 6 Dấu "" xảy ra y , khi đó x z i . 5 5 5 5 Ví dụ 3. Cho số phức z thỏa mãn hệ thức z 2 5 i z i và z 1 i nhỏ nhất. Tổng phần thực và phần ảo của z bằng 16 3 11 11 A. . B. . C. . D. . 5 5 5 5 Lời giải Đặt z x yi x; y . Gọi M x; y là điểm biểu diễn số phức z . 2 2 2 z 2 5 i z i x 2 y 5 x2 y 1 4x 4 10 y 25 2 y 1 4x 12 y 28 0 x 3 y 7 0 . Ta có: z 1 i x 1 2 y 1 2 MA với A 1;1 . Để z 1 i nhỏ nhất khi M là hình chiếu của A lên đường thẳng x 3 y 7 0 . Phương trình đường thẳng qua A vuông góc với x 3 y 7 0 là 3x y 2 0 . 1 x x 3 y 7 0 10 M x; y là nghiệm của hệ phương trình 3x y 2 0 23 y 10 11 Vậy tổng phần thực và phần ảo của z bằng . 5 12 5i z 17 7 i Ví dụ 4. Cho số phức z thỏa mãn 13. Tìm giá trị nhỏ nhất của z . z 2 i 3 13 5 1 A. . B. . C. . C. 2 . 26 5 2 2
3. Lời giải Điều kiện phương trình: z 2 i . Đặt z x yi x, y ; x 2, y 1 . 12 5i z 17 7 i Ta có: 13 12 5i z 17 7 i 13 z 2 i z 2 i 17 7i 12 5i z 13 z 2 i z 1 i z 2 i 12 5i z 1 i2 z 2 i 2 x 1 2 y 1 2 x 2 2 y 1 2 6x 4 y 3 0. Gọi M x; y là điểm biểu diễn của số phức z . Tập hợp điểm M là đường thẳng d:6 x 4 y 3 0 (thỏa mãn điều kiện: M 2;1 ). z x2 y 2 OM nên z có giá trị nhỏ nhất OM nhỏ nhất 3 3 13 OM d O, d . 62 4 2 26 Ví dụ 5.Cho số phức z x yi với x, y là hai số thực thỏa mãn x 2 y 1. Tính z khi biểu thức T z 1 4 i z 2 5 i đạt giá trị nhỏ nhất. 1 1 2 A. . B. 5 . C. . D. . 5 5 5 Lời giải Gọi M a, b là điểm biểu diễn số phức z . Theo đề bài có M : x 2 y 1 0 . Để z 1 4 i z 2 5 i đạt giá trị nhỏ nhất thì MA MB đạt giá trị nhỏ nhất với A 1; 4 và B 2;5 . Ta thấy AB, nằm khác phía với nên MA MB đạt giá trị nhỏ nhất khi MAB,, thẳng hàng.Ta có phương trình đường thẳng AB: 3 x y 1. 1 x x 2 y 1 5 Suy ra tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình: . 3x y 1 2 y 5 1 2 1 Vậy z i z . 5 5 5 Ví dụ 6. Cho hai số phức z1, z 2 thỏa mãn z1 i z 1 2 3 i , z 2 2 i z 2 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z1 iz 2 . A. 1. B.3. C. 2 . D. 4 . Lời giải w Đặt w iz z iw , ta được 2 2 i z2 2 i z 2 2 iw 2 i iw 2 w 2 w 2 i 3
4. Ta có P z1 iz 2 z 1 w MN với MN, lần lượt là điểm biểu diễn cho số phức z1, w Từ giả thiết z1 i z 1 2 3 i suy ra tập hợp điểm M biểu diễn cho số phức z1 là đường thẳng 1 :x y 3 0 Từ giả thiết w 2 w 2 i suy ra tập hợp điểm N biểu diễn cho số phức w là đường thẳng 2 :x y 0 Ta thấy 1// 2 suy ra d MNmin d 1; 2 3 Ví dụ 7. Cho số phức z thỏa mãn hệ thức iz 2 2 i z 1 3 i 34 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 1 i z 1 i . 34 17 A. . B. 17 . C. 34 . D. . 2 2 Lời giải Ta có iz 22 i z 13 i 34 z 22 i z 13 i 34 , Gọi M là điểm biểu diễn cho số phức z , A 2; 2 ; B 1;3 AB 34 từ đó suy ra MA MB AB suy ra tập hợp điểm M nằm trên tia đối của tia BA Từ đó P 2 z i 2 MK với K 0; 1 , vậy Pmin MK min KB 17 P min 34 Ví dụ 8. Cho số phức z thỏa mãn hệ thức z 1 2 i z 2 4 i 3 5 . Tích giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z 1 3 i bằng bao nhiêu? 4
5. A.5 10 . B. 5 2 . C. 10 2 . D. 6 5 . Lời giải Gọi M là điểm biểu diễn cho số phức z , A 1;2 ; B 2; 4 AB 3 5 từ đó suy ra MA MB AB suy ra tập hợp điểm M là đoạn thẳng AB Từ đó P z 1 3 i MK với K 1;3 ,ta có KA2 5; KB 2 50 KB 2 KA 2 AB 2 50 suy ra tam giác KAB vuông tại A. Vậy Pmin KA 5; P max KB 5 2 suy ra PPmin. max 5 10 Ví dụ 9. Cho số phức z thỏa mãn hệ thức 3z z 2 z z 12 . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z 4 3 i . Tính M. m A. 28 . B. 24 . C. 26 . D. 20 . Lời giải Gọi z x yi x; y R , ta có 3z z 2 z z 12 3 x 2 y 6 , 3x 2 y 6 neu x 0, y 0 3x 2 y 6 neu x 0, y 0 Ta có 3x 2 y 6 3x 2 y 6 neu x 0, y 0 3x 2 y 6 neu x 0, y 0 suy ra tập hợp điểm E biểu diễn cho số phức z là hình thoi ABCD như hình vẽ 5
6. Gọi N 4; 3 suy ra P z 4 3 i EN . Quan sát hình vẽ ta thấy 2 Pmax EN max NB 2 13, B 0;3 , Pmin EN min NHdNAD ; 13 ( với AD: 3 x 2 y 6 0) . Vậy M. m 24 Ví dụ 10. Cho hai số phức z1, z 2 thỏa mãn z 3 4 i 8 và z m z 2 i m R . Biết biểu thức z1 z 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Hỏi giá trị m thuộc khoảng nào dưới đây? 5 9 A. 2;0 .B. 2; .C. 4; . D. 0;2 2 2 Lời giải Gọi z x yi x; y R ta có z m z 2 i 2 m 2 x 2 y 5 0 vậy tập hợp điểm biểu diễn cho số phức z là đường thẳng : 2 m 2 x 2 y 5 0 luôn đi qua điểm cố định 5 K 0; 2 Tập hợp điểm biểu diễn số phức cũng là đường tròn tâm IR 3; 4 , 8 Ta có IA 8 suy ra đường thẳng luôn cắt đường tròn tại 2 điểm MN, tương ứng biểu diễn cho 2 số phức z1, z 2 Ta có z z MN 2 R2 d 2 I ; 2 R 2 IA 2 suy ra z z 1 2 1 2 min 5 MA M  K 0; 2 6
7.  13 13 25 Ta có KA 3; , n m 2;1 . Suy ra m 2 .3 0 m 2 2 6 Ví dụ 11. Cho số phức z thỏa mãn đồng thời z 1 i z 3 3 i , z mi 5 m R . Biết biểu thức z 1 i đạt giá trị nhỏ nhât. Tính tổng các giá trị của m thỏa mãn bài toán. A. 4 B. 4 C. 2 D. 3 Lời giải Gọi z x yi x; y R ta có z 1 i z 3 3 i x y 2 0 vậy tập hợp điểmM biểu diễn cho số phức z là miền tô như hình vẽ( Lấy cả các điểm nằm trên đường thẳng : x y 2 0 ) z 1 i MA A 1;1 z 1 i MA d A ; M Ta có với suy ra min min xảy ra khi là hình chiếu của A 1;1 trên suy ra M 1; 1 hay z 1 i từ đó ta được 2 m 1 z mi 5 1 m 1 5 , m 3 Vậy tổng các giá trị của m bằng 2 Dạng 2: Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn, hình tròn 7
8. Ví dụ 1. Cho số phức z thỏa mãn z 4 3 i 2 . Tìm giá trị lớn nhât, giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau a)T z 2 i b) P z 3 2 i Lời giải Ta thấy tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn (C) có tâm I 4; 3 bán kính R 2 a) Gọi điểm M biểu diễn cho số phức z , điểm A 2;1 biểu diễn cho số phức 2 i suy ra T MA Ta thấy IA 2 13 R 2 suy ra điểm A nằm ngoài (C) Vậy Tmax MA max R IA 2 2 13 , Tmin MA min IA R 2 13 2 b) Gọi điểm B 3; 2 biểu diễn cho số phức 3 2i suy ra P MB . Ta thấy IB 2 R 2 suy ra điểm B nằm trong (C) Vậy Pmax IB R 2 2 , Pmin R IB 2 2 Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức ta giác ta có a) Tzizi 2 4364 iTzii 43642213 Tmax 2213 TziziiTzii 2 4364 43642132 Tmin 2132 Ví dụ 2. Cho số phức z thỏa mãn đồng thời z 1 i 2, z 2 i z m m R . Biết bằng biểu thức P z 11 5 i2 z 1 3 i 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng các giá trị tham số m thỏa mãn A. 6. B. 4. C. 6. D. 4. 8
9. Lời giải Ta có tập hợp điểm M biểu diễn cho số phức z thỏa mãn z 1 i 2 là đường tròn tâm IR 1;1 , 2 1 Gọi EF 11;5 , 1; 3 suy ra trung điểm A 5;1 P ME2 MF 2 2 MA 2 FE 2 suy ra để 4 Pmin MA min Ta có IA 4 suy ra Pmin MA min IA R 2 , xảy ra khi điểm M thỏa mãn  1  IM IA M 3;1 ( M là trung điểm của IA) 2 Với M 3;1 z 3 i suy ra 2 m 1 z 2 i z m 1 2 i 3 m i 1 4 3 m 1 m 5 Vậy tổng bằng 4 . Ví dụ 3. Cho 2 số phức z1, z 2 thỏa mãn z1 2 3 i 2, z 2 z 2 1 i . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T z1 z 2 . A. 2 2 . B. 5 . C. 2 2 2 . D. 2 . Lời giải Gọi M, N lần lượt là 2 điểm biểu diễn cho 2 số phức z1, z 2 Ta có z1 2 3 i 2suy ra tập hợp điểm M là đường tròn tâm IR 2;3 , 2 Ta có z2 z 2 1 i suy ra tập hợp điểm N là đường thẳng :x y 1 0 Mà d I; 2 2 R 9
10. Vậy P z1 z 2 MN P min 2 2 2, Pmax 2 2 2 Ví dụ 4. Cho hai số phức z1, z 2 thỏa mãn z1 3 i 2 z2 là số thực đồng thời số phức z z 1 2 là số thực. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P z z 2 3i 1 2 5 10 A. 10 . B. 5 10 . C. . D. 2 10 . 3 Lời giải Gọi M, N lần lượt biểu diễn cho số phức z1, z 2 Ta có tập hợp điểm M là đường tròn tâm IR 0;3 , 2 Tập hợp điểm N là trục hoành z z z z Ta có 1 2 là số thực suy ra 1 2 t z z t 2 3 i t R 2 3i 2 3i 1 2     OM ON t 2 3 i MN tOAvoiA (2;3 ) Suy ra đường thẳng MN song song với đường thẳng OA Ta cũng có P z1 z 2 MN , từ hình vẽ ta thấy độ dài MN lớn nhất như hình vẽ khi đó ta 3 có MN song song OA suy ra MNO sin  MNO sin 13 10
11. OM 5 10 suy ra P MN max max sinMNO 3 Ví dụ 5. Cho số phức z thỏa mãn z 1 i 1, số phức w thỏa mãn w 2 3 i 2 . Tìm giá trịnhỏ nhất của z w . A. 13 3 . B. 17 3. C. 17 3 . D. 13 3 . Lời giải Gọi M x; y biểu diễn số phức z x iy thì M thuộc đường tròn C1 có tâm I1 1;1 , bán kính R1 1. N x ; y biểu diễn số phức w x iy thì N thuộc đường tròn C2 có tâm I2 2; 3 , bán kính R2 2 . Giá trị nhỏ nhất của z w chính là giá trị nhỏ nhất của đoạn MN .  Ta có II1 2 1; 4 II1 2 17 RR1 2 C1 và C2 ở ngoài nhau. MNmin IIRR1 2 1 2 17 3 Chú ý: MNmax IIRR1 2 1 2 17 3 Ví dụ 6. Cho 2 số phức z1, z 2 thỏa mãn z1 4 2 i 3, z 2 i 1. Tìm giá trị lớn nhất P z1 z 2 1 3 i . A.9. B. 8 . C. 1. D. 12 . Hướng dẫn Đặt w z21 3 i z 2 w 1 3 i w 1 2 i 1, gọi A là điểm biểu diễn cho số phức w suy ra tập hợp điểm A là đường tròn tâm IR1 1; 2 , 1 1 Gọi B là điểm biểu diễn cho số phức () z1 ta có z1 4 2 i 3 z 1 4 2 i 3 suy ra tập hợp điểm B là đường tròn tâm IR2 4; 2 , 2 3 Khi đó P w ( z1 ) AB . Ta có IIRR1 2 5 1 2 4 11
12. Suy ra PIIRRmax 1 2 1 2 5 4 9 Ví dụ 7. Cho số phức z thỏa mãn z 2 i z 4 i và z 3 3 i 1. Giá trị lớn nhất của biểu thức P z 2 là: A. 13 1 . B. 10 1. C. 13 . D. 10 . Lờigiải Gọi M x; y là điểm biểu diễn số phức z ta có: z 2 i z 4 i 2 2 x2 y 2 x 2 y 4 y 3; z 3 3 i 1 điểm M nằm trên đường tròn tâm I 3;3 và bán kính bằng 1. Vậy tập hợp số phức z thỏa mãn điều kiện là phần không bị tô đậm trên hình ( lấy cả các điểm nằm trên đường thẳng :y 3 ) Biểu thức P z 2 AM trong đó A 2;0 , theo hình vẽ thì giá trị lớn nhất của P z 2 đạt được khi M 4;3 nên maxP 4 2 2 3 0 2 13 . Ví dụ 8. Gọi T là tập hợp tất cả các số phức z thõa mãn z i 2 và z 1 4 . Gọi z1, z 2 T lần lượt là các số phức có mô đun nhỏ nhất và lớn nhất trong T . Khi đó z1 z 2 bằng: A. 5. B. 4 i . C.5 i . D. 5 i . Hướng dẫn giải 12
13. . Đặt z x yi khi đó ta có: 2 2 z i 2 x y 1 i 2 x y 1 4 . z 1 4 2 2 x 1 yi 4 x 1 y 16 Vậy T là phần mặt phẳng giữa hai đường tròn C1 tâm I1 0;1 bán kính r1 2 và đường tròn C2 tâm I2 1;0 bán kính r2 4 . Dựa vào hình vẽ ta thấy z1 0 i , z 2 5 là hai số phức có điểm biểu diễn lần lượt là MM1 0; 1 , 5;0 có mô-đun nhỏ nhất và lớn nhất. Do đó z1 z 2 5 i Ví dụ 9. Cho số phức z có phần thực không âm và thỏa mãn z i 2 . Tổng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z 4 3 i A. 41 . B. 4 . C. 45 . D. 41. Lời giải x 0 Gọi z z yi x, y R khi đó ta có 2 2 x 3 y 2 4 Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức z như hình tô đậm như hình vẽ 13
14. Gọi A 4;3 suy ra P MA , từ hình ảnh đồ thị ta thấy Pmax MB 41 , Pmin OA R 5 3 2 . Vậy 41 4 45 Ví dụ 10. Cho số phức z x yi x, y R thỏa mãn z 2 3 i z i 2 5 . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x2 y 2 8 x 6 y . Tính M m 156 156 A . 20 10 . B. 60 2 20 . C. 20 10 . D. 60 2 20 . 5 5 Hướng dẫn 2x y 2 0 Ta có z 2 3 i z i 2 5 2 2 x 2 y 1 25 C 2 2 2 2 (C) có tâm BR 2; 1 ,C 5 , P x y 8 x 6 y x 4 y 3 P 25 T có tâm IRPP 4; 3 , 25 25 44 P nhỏ nhất khi đường tròn (T) tiếp xúc với (C) khi đó ta có P d2 I; 25 min 5 2 Pmax IB RC 25 20 10 40 .Chọn C Ví dụ 11. Cho số phức z thỏa mãn z 2 và z 3 3 i z 1 i . Tổng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của z 1 2 i nằm trong khoảng nào dưới đây? A. 7;8 . B. 2;4 . C. 5;7 . D. 9;11 . Lời giải x2 y 2 4 Gọi M là điểm biểu diễn cho số phức z x yi khi đó từ giả thiết ta có suy x y 2 0 ra tập hợp điểm M là hình tô đậm trên hình vẽ ( lấy cả các điểm nằm trên đường thẳng và đường tròn) 14
15. 5 Gọi A 1;2 khi đó ta được z 1 2 i MA . Vậy MA d A; , min 2 MAmax OA R 5 2 5 Vậy tổng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất bằng: 5 2 7,77 2 Ví dụ 12. Cho số phức z thỏa mãn z 2 và z 3 3 i z 1 i . Tổng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của z 1 4 i bằng? 3 2 3 2 A. 17 2 . B. 17 2 3 2 . C. 17 5 2 . D. 17 4 2 2 Lời giải x2 y 2 4 Gọi M là điểm biểu diễn cho số phức z x yi khi đó từ giả thiết ta có suy x y 2 0 ra tập hợp điểm M là hình tô đậm trên hình vẽ ( lấy cả cá điểm nằm trên đường thẳng và đường tròn) 15
16. Gọi A 1; 4 khi đó ta được z 1 4 i MA Vậy MAmin AK 5 với K(0; 2) , MAmax OA R 17 2 Vậy tổng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất bằng: 17 2 5 Ví dụ 13. Biết 2 số phức z1, z 2 thỏa mãn z 1 i 5 và z m i z m 2 i . Khi đó giá trị lớn nhất của biểu thức T z1 z 2 bằng bao nhiêu ? 3 10 A. 2 10 . B. . C.3 10 . D. 4 10 . 2 Lời giải Ta có z 1 i 5 suy ra tập hợp là đường tròn tâm IR 1; 1 , 5 , z m i z m 2 i tập hợp là đường thẳng : 2mx 2 m 1 y 4 m 3 0 , đường thẳng này luôn đi qua điểm 1 3 cố định A ; 2 2 10 Ta có IA R 5 suy ra đường thẳng luôn cắt đường tròn tại 2 điểm phân biệt 2 Gọi M, N lần lượt là 2 điểm biểu diễn cho 2 số phức z1, z 2 thỏa mãn bài toán 16
17. 10 Ta có T MN 2 R2 IH 2 2 R 2 IA 2 2 25 3 10 suy ra T 3 10 4 min Ví dụ 14. Gọi z1, z 2 là 2 nghiệm của phương trình z 1 2 i z 1 2 i thỏa mãn z1 z 2 2 . Biết rằng w là số phức thỏa mãn w 3 2i 2 . Tìm GTNN của biểu thức P w z1 w z 2 . A. 1 3 . B. 2 3 . C. 2 . D. 6 . Lời giải. Giả sử z = x + yi, ta có z 1 2 i z 1 2 i x 0suy ra tập hợp điểm biểu diễn z1, z 2 là trục tung. Giả sử A, B lần lượt là 2 điểm biểu diễn cho z1, z 2 , ta có z1 z 2 2 AB 2 . Gọi w= a + bi , ta có w32 i 2 ( a 3)2 ( b 2) 2 4 suy ra tập hợp điểm biểu diễn M cho số phức w là đường tròn tâm I(3; 2) bán kính R = 2. Ta có P MA MB , gọi E là hình chiếu vuông góc của I lên trục tung, ta thấy P nhỏ nhất khi E là trung điểm AB suy ra 2 2 6 MA MB 1 , 2 2 6 Vậy MinP 2. 6 2 Ví dụ 15. Cho 2 số phức z1, z 2 thỏa mãn z 1 i 1, và z1 z 2 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P z1 z 2 . A. 2 2 3 . B. 2 3 . C. 2 . D. 3 . Hướng dẫn Ta có z1 1 i z 2 1 i 1, đặt w1 z 1 1 i , w 2 z 2 1 i w 1 w 2 1 Ta có w2 w 1 z 2 z 1 w 2 w 1 1và z1 z 2 w 1 w 2 2 2 i và 17
18. P z1 z 2 w 1 w 2 2 2 i Do xuất hiện w1 w 2 có dạng công thức trung điểm suy ra ta làm như sau Gọi A, B lần lượt là điểm biểu diễn cho z1, z 2 và C là điểm biểu diễn cho số phức w w1 w 2 Khi đó ta có OA OB AB 1 và OC w w1 w 2 2 OI với I là trung điểm AB 3 Mà tam giác OAB đều cạnh bằng 1 suy ra OI OC w 3 vậy điểm C chạy trên 2 đường tròn tâm O(0;0) và bán kính R 3 , gọi M là điểm biểu diễn cho số phức 2 2i M 2; 2 , OM 2 2 Ta được P w ( 2 2 i ) MC suy ra Pmax MC max OM R 2 2 3 Ví dụ 16. Cho hai số phức z1, z 2 thỏa mãn z1 1 i 1, z2 1 z 2 i đồng thời số phức iz z 1 2 là số thực. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z iz 2 i 1 2 A. 20 10 . B. 20 1. C. 2 10 1. D. 10 5 . Lời giải Ta có P z1 iz 2 MN với M biểu diễn cho số phức z1 , N biểu diễn cho số phức iz2 Ta tìm tập hợp điểm biểu diễn M, N Ta có z1 1 i 1 suy ra tập hợp điêm M là đường tròn tâm IR 1; 1 , 1 Ta có z2 1 z 2 i suy ra tập hợp điểm N là đường thẳng :x y 0 Có d I; 2 1 R do đó đường thẳng không có điểm chung với đường tròn Ta lại có iz z z iz iz z      1 2 1 2 2 1 tR iz z t 2 i ONOM tOA MNtOA 2 i 1 2 i 2 i 2 1 với A 2; 1 suy ra đường thẳng MN luôn song song với đường thẳng OA Nhìn hình ta thấy để Pmin MN min thì M, N có vị trí như hình vẽ 18
19. Ta có MN// OA  ONM  với  là góc hợp bởi 2 đường thẳng OA,   2.1 1 3 1 Ta có OA 2; 1 , u 1; 1 suy ra cos = sin  10 10 10 OM IO R 2 1 Ta có P MN 20 10 min min sin sin  1 10 Dạng 3. Tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường elip, hình elip Kiến thức cần nhớ. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm cố đinh F1 c;0 , F 2 c ;0 c 0 . Tập hợp các điểm M trong mặt phẳng tọa độ thỏa mãn MF1 MF 2 2 a a 0 là một đường elip x2 y 2 với bán trục lớn bằng a , bán trục nhỏ bằng b b2 a 2 c 2 và phương trình Elip 1. a2 b 2 Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Cho số phức z thỏa mãn z 4 z 4 10. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của z lần lượt là. A. 10 và 4 . B. 5 và 4. C. 4 và 3. D.5 và 3 . Hướng dẫn giải Theo đề: z 4 z 4 10 . Gọi M x, y là điểm biểu diễn cho số phức z , FF1 4;0 , 2 4;0 ta có MF1 MF 2 10 2.5 Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một đường Elip với hai tiêu điểm FF1 4;0 , 2 4;0 x2 y 2 x 2 y 2 Với a 5, c 4 b 52 4 2 3 suy ra phương trình Elip 1 1. a2 b 2 25 9 Dựa vào hình elip. 2 2 2 2 zmax x y max x5 y 0 và x ymin y 3 x 0 Ví dụ 2. Cho số phức z thỏa mãn z 3 i z 3 i 10 . Gọi M1 , M 2 lần lượt là điểm biểu diễn số phức z có môđun lớn nhất và nhỏ nhất. Gọi M là trung điểm của MM1 2 , M a; b biểu diễn số phức w , tổng a b nhận giá trị nào sau đây? 7 9 A. . B. 5. C. 4 . D. . 2 2 Hướng dẫn giải 19
20. Gọi z x yi , x, y . Theo giả thiết, ta có z 3 i z 3 i 10 . x y 3 i x y 3 i 10 . 22 2 2 x y 3 x y 3 10 .Gọi E x; y , F1 0; 3 và F2 0;3 . Khi đó MF1 MF 2 10 F 1 F 2 6 nên tập hợp các điểm E là đường elip E có hai tiêu điểm F1 và F2 . Và độ dài trục lớn bằng 10. Ta có c 3; 2b 10 b 5 và a2 b 2 c 2 16 .Do đó, phương trình chính tắc của E là x2 y 2 1. 16 25 Vậy maxz OB OB 5 khi z 5 i có điểm biểu diễn là M1 0; 5 . và minz OA OA 4 khi z 4 có điểm biểu diễn là M 2 4;0 . 5 5 9 Tọa độ trung điểm của MM1 2 là M 2; .Vậy a b 2 . 2 2 2 Ta xét các ví dụ sau về cách chuyển đổi về dạng (E) dạng chính tắc Ví dụ 3. Cho số phức z thỏa mãn z 2 i z 4 5 i 20 . Tổng bình phương giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức P z 3 2 i bằng: 1225 327 1900 1195 A . . B. .C. . D. . 13 2 13 2 20
21. Lời giải Từ giả thiết ta được: z (3 2) i (13) i z (3 2) i (13) i 20 (3 2)(i z (3 2)) i 10 (3 2)( i z (3 2)) i 10 2010 w Đặt w 3 2i z 3 2 i z 3 2 i 3 2i w w Suy ra P z 5 3 i với M biểu diễn cho số phức w 3 2i 13 Ta cũng có w 10 w 10 20 10 suy ra tập hợp điểm M là (E) với x2 y 2 F 10;0,F10;0, a 1010, b2 a 2 c 2 900 suy ra E : 1 1 2 1000 900 30 10 10 Từ đó ta có w b 30, w 10 10 suy ra PP , min max min 13max 13 1900 Vậy tổng bình phương bằng 13 Ví dụ 4. Cho số phức z thỏa mãn z 1 z 3 4 i 10 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z 1 2 i bằng: 34 A. 17 . B. 34 . C. 2 10 . D. . 2 Lời giải Ta có z 1 z 34 i 10 ( z (12))(22) i i ( z (12)(22 i i 10 (1i )( z (1 2)) i 4 (1 i )( z (1 2)) i 4 102 w w 3 i w 3 i Đặt w (1)( i z (12)) i z 12 i z 1 i 1 i 1 i Suy ra w+4 w 4 10 2 , tập hợp số phức biểu diễn là đường elip x2 y 2 F 4;0, F 4;0, c 4, a 52 b2 34 hay E : 1 1 2 50 34 w 3 i w Thay lại ta có P 1 2 i 1 i 2 Ta tìm min của Q w w suy ra minQ b 34 min P 17 PHƯƠNG PHÁP 2: Phương pháp đại số Ví dụ1. Cho số phức z thỏa mãn z 1. Giá trị lớn nhất của biểu thức P 1 z 2 1 z bằng A. 5 . B. 6 5 . C. 2 5 . D. 4 5 . Lờigiải Gọi số phức z x yi , với x, y  . 21
22. Theo giả thiết, ta có z 1 x2 y 2 1. Suy ra 1 x 1. 2 2 Khi đó, P 1 z 2 1 z x 1 y2 2 x 1 y 2 2x 2 2 2 2 x . 2 2 Suy ra P 1 2 2 x 2 2 2 x hay P 2 5 , với mọi 1 x 1. 3 4 Vậy P 2 5 khi 2 2x 2 2 2 x x , y . max 5 5 Chú ý 1: Ta có thể sử dụng xét hàm số suy ra giá trị lớn nhất Chú ý 2: Ta sử dụng máy tính như sau Ta có z 1 x2 y 2 1 đặt x sin t , y c os t với t 0;2  Khi đó P sin t 1 2 c os2 t 2 sin t 1 2 c os 2 t 2 2 2 Nhập F X sinX 1 c os2 X 2 sinX 1 c os 2 X Start: 0 End: 2 Step: 19 Suy ra maxF X 4,471 25 khi t 5,6217 suy ra chọn đáp án C z Ví dụ 2. Cho số phức z thỏa mãn z không phải số thực và w là số thực. Giá trị 2 z 2 lớn nhất của biểu thức P z 1 i là. A. 2 2 . B. 2 . C. 8 . D. 2 . Lời giải z 2 2 1 w 2 w 2 z z z z 2 0 * . * là phương trình bậc hai với hệ số 2 z w 1 thực . Vì z thỏa * nên z là nghiệm phương trình * . Gọi z1, z 2 là hai nghiệm w của * suy ra z1. z 2 2 z 1 . z 2 2 z 1 z 2 2 z 2 . Suy ra P z 1 i z 1 i 2 2 2 2 . Dấu bằng xảy ra khi z 1 i . Ví dụ 2. Cho số phức z thỏa điều kiện z2 4 z z 2 i . Giá trị nhỏ nhất của z i bằng ? A. 3. B. 4. C.1. D. 2. Hướng dẫn giải Giả sử z x yi x, y . 2 2 2 z 2 i 0 (1) z 4 zzi 2 z 2 i zzi 2 zizizzi 2 2 2 z 2 i z (2) . (1) z 2 i . Suy ra z i 2 i i i 1. 2 (2) xyiixyi2 xy2 2 xy 2 2 xyy 2 2 4 4 xy 2 2 y 1. 22
23. 2 Suy ra z i x yi i x2 y 1 x 2 4 2 ,x .Vậy giá trị nhỏ nhất của z i bằng 1. Ví dụ 4.Tìm giá trị lớn nhất của P z2 z z 2 z 1 với z là số phức thỏa mãn z 1. 13 A. 3 . B. 3. C. . D. 5. 4 Lời giải Đặt z a bi a, b . Do z 1 nên a2 b 2 1 . Sử dụng công thức: u. v u v ta có: z2 z z z 1 z 1 a 1 2 b 2 2 2 a . 2 zz2 1 abi 2 abi 1 aba 2 2 1 2 abbi aba 2 2 1 2 abb 2 2 a2(2 a 1) 2 b 2 2 a 1 2 a 1 (vì a2 b 2 1 ). Vậy P 2 a 1 2 2 a . 1 TH1: a .Suy ra P 2122 a a 22 a 2234233 a (vì 2 0 2 2a 2 ). 1 TH2: a . 2 2 1 1 13 Suy ra P 2122 a a 22 a 223 a 22 a 3 , xảy ra 2 4 4 7 khi a . 16 2 Ví dụ 5. Xét các số phức z a bi , a, b thỏa mãn 4 z z 15 i i z z 1 . Tính 1 F a 4 b khi z 3 i đạt giá trị nhỏ nhất 2 A. F 7 . B. F 6 . C. F 5. D. F 4 . Lời giải 2 Ta có 4 z z 15 i i z z 1 4 abiabi 15 i iabiabi 1 2 8b 15 2 a 1 2 15 suy ra b . 8 1 12 2 1 1 z 3 i 2 a 1 2 b 6 8 b 15 4 b2 24 b 36 4 b 2 32 b 21 2 2 2 2 15 Xét hàm số f x 4 x2 32 x 21 với x 8 23
24. 15 15 f x 8 x 32 0,  x suy ra f x là hàm số đồng biến trên ; nên 8 8 15 4353 f x f . 8 16 1 1 4353 15 1 Do đó z 3 i đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi b ; a . Khi đó 2 2 16 8 2 F a 4 b 7 . Ví dụ 6. Cho số phức z thỏa mãn z 1. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z 1 z2 z 1 . Giá trị của M. m bằng 13 3 13 3 3 3 3 A. . B. . C. . D. . 4 8 3 8 Lờigiải Đặt t z 1 z 1 2 nên t 0;2 . Do z 1 nên z. z 1 P z1 z2 z z . z z 1 z z 1 . 2 Ta có t2 z1 z 1 z 1 z . z z z 1 2 z z nên z z t 2 2 . Vậy P f t t t 2 3 , với t 0;2 . t2 t 3 khi 3 t 2 2t 1 khi 3 t 2 Khi đó, f t nên f t . 2 t t 3 khi 0 t 3 2t 1 khi0 t 3 1 1 13 Ta có f t 0 t . f 0 3; f ; f 3 3 ; f 2 3. 2 2 4 13 13 3 Vậy M ; m 3 nên M. m . 4 4 PHƯƠNG PHÁP 3: Sử dụng phép bình phương vô hướng     2   2   2 2 2 Ta có z1 z 2 OM ON z 1 z 2 OM ON OM ON OM2 OM . ON ON 2 2 z1 2 z 1 . z 2 .cos  MON z 2 Vậy MON coi là góc tạo bởi 2 số phức z1, z 2 suy ra 2 2 2 z1 z 2 z 1 2 z 1 . z 2 .cos z 1 ; z 2 z 2 22 2 2 2 Tổng quát: azbz1 2 az 1 2 abzz 1 . 2 .cos zz 1 ; 2 bz 2 ( với a, b R ) Chú ý: z1;; z 2 z 1 z 2 , _Bất đẳng thức bunhiacopki thường dung trong bài toán tìm GTLN, GTNN: 2 a b ax by a2 b 2 x 2 y 2 dấu bằng xảy ra khi x y Hướng sử dụng bình phương vô hướng kết hợp bất đẳng thức bunhiacopki 24
25. Ví dụ 1: Cho hai số phức z1, z 2 thỏa mãn z1 2 z 2 3, 2 z 1 z 2 2 . 2 2 a) Tính giá trị biểu thức P z1 z 2 . b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T z1 z 2 . Hướng dẫn 2 2 2 z1 2 z 2 9 z 1 4 z 1 . z 2 .cos 4 z 2 9 a) Đặt z; z ta có 1 2 2 2 2 2z1 z 2 4 4 z 1 4 z 1 . z 2 cos z 2 4 2 2 13 2 2 13 Cộng vế với vế ta được z z suy ra P z z 1 2 5 1 2 5 2 2 2 2 13 13 13 b) Ta có T z1 z 2 2 z 1 z 2 T Tmax 10 10 10 Chú ý: Ta không cần phải tìm dấu bằng xảy ra. Ví dụ 2: Cho hai số phức z1, z 2 thỏa mãn z1 2 z 2 2, 2 z 1 3 z 2 5 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T 3 z1 4 z 2 Hướng dẫn 2 2 2 z1 2 z 2 4 z 1 4 z 1 . z 2 .cos 4 z 2 16 Đặt z; z ta có 1 2 2 2 2 2z1 3 z 2 25 4 z 1 12.cos z 1 z 2 9 z 2 25 2 2 3z1 12 z 1 . z 2 .cos 12 z 2 48 2 2 Cộng vế với vế ta được 7z 21 z 73 2 2 1 2 4z1 12 z 1 . z 2 cos 9 z 2 25 2 2 2 3 4 9 16 2 2 3139 Ta có T 3 z1 4 z 2 . 7 z 1 . 21 z 2 7 z 1 21 z 2 7 21 7 21 21 3129 3129 TT 21max 31 Ví dụ 3: Cho hai số phức z1, z 2 thỏa mãn z1 3 z 2 3 4 i , 4 z 1 3 z 2 6 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T 2 z1 z 2 Hướng dẫn Ta có z1 3 z 2 3 4 i z 1 3 z 2 5 2 2 2 z1 3 z 2 25 z 1 6 cos z 1 z 2 9 z 2 25 Đặt z; z ta có 1 2 2 2 2 4z1 3 z 2 36 16 z 1 24 z 1 . z 2 cos 9 z 2 36 2 2 4z1 24 z 1 . z 2 .cos 36 z 2 100 2 2 Cộng vế với vế ta được 20z 45 z 136 2 2 1 2 16z1 24 z 1 . z 2 cos 9 z 2 36 2 2 2 2 1 4 1 2 2 272 Ta có T 2 z1 z 2 .20 z 1 .45 z 2 2045 z 1 z 2 20 45 20 45 9 25
26. 4 17 4 17 TT 3max 3 Ví dụ 4. Cho số phức z thỏa mãn z2 4 3 z . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của z Hướng dẫn Cách 1.Đặt z2 ,4 2 Ta có z2 4 9 z2 z 4 8.cos z 2 169 z 2 z 4 169 z 2 8.cos z 2 Ta thấy nếu z 0 khi đó không thỏa mãn giả thiết suy ra z 0 z 0 Ta có 8z2 8 z 2 .cos 8 z 2 8 z 2 z 4 16 9 z 2 8 z 2 4 2 z 17 z 16 0 2 1 z 4 1 z 2 z 2; z 1 4 2 mzx min z z 16 0 ( ld ) Cách 2: Đặt z x yi x; y R 2 Ta có z2 4 3 z z 2 4 9 z2 z 2 4 z 2 4 9 z 2 2 z2. z 2 4 z 2 z 2 16 9 z 2 mà z2.z 2 z . z 2 z 4 , z2 z 2 4 x 2 2 x 2 y 2 4 x 2 2 z suy ra ta được zxz4 1682 2 169 zzz 2 4 17 2 16120 xxRz 2  1 2 41 z 2 Ví dụ 5. Cho số phức z thỏa mãn z2 3 2 z . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của 1 T z 2 Hướng dẫn Đặt z2 ,3 2 Ta có z2 34 z2 z 4 6.cos94 z 2 z 2 z 4 94 z 2 6.cos z 2 Ta thấy nếu z 0 khi đó không thỏa mãn giả thiết suy ra z 0 z 0 Ta có 6z2 6 z 2 .cos 6 z 2 6 z 2 z 4 9 4 z 2 6 z 2 4 2 z 10 z 9 0 2 1 z 9 1 z 3 4 2 z 2 z 9 0 ( ld ) Suy ra tập hợp điểm M biểu diễn cho số phức z là miền như hình vẽ 26
27. 1 1 1 Giả sử A ;0 biểu diễn cho số phức z Ta có T z MA 2 2 2 7 1 Từ hình vẽ ta thấy T AM ,T AM với MM 3;0 , 1;0 max 12 min 2 2 1 2 Ví dụ 6. Cho 2 số phức z1, z 2 thỏa mãn z1 1, z2 2 và z1 z 2 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P 2 z1 z 2 3 i . 59 2 10 2 59 10 A. 2 59 3 10 . B. . C. . D. 59 10 . 2 2 Hướng dẫn Đặt w1 z 1 z 2 w 1 1 , đặt w2 2 z 1 z 2 w3 3 i w w z 1 2 1 w1 z 1 z 2 3 z1 1 w 1 w 2 3 Ta có , ta có w 2z z w 2 w z 2 w 2 w 6 2 1 2 z 2 1 2 2 1 2 3 2 2 w1 2w.w.os+w 1 2c 2 9 Gọi là góc hợp bởi 2 số phức w , w Ta có kết hợp 1 2 2 2 w1 6w.w.os+w 1 2c 2 36 với w1 1 2 2 2.w.os+w2c 2 8 6.w.os+3w 2 c 2 24 59 Suy ra công vế suy ra w 2 2 2 2 6.w.os+w2c 2 35 6.w.os+w 2 c 2 35 Gọi A điểm biểu diễn cho w2 suy ra tập hợp điểm bểu diễn là đường tròn tâm O(0;0) bán 59 kính R 2 Gọi B là điểm biểu diễn cho số phức w3 3 i suy ra B 3;1 ta có OB 10 59 2 10 Ta có P 2 z z 3 i w w AB suy ra P AB OB R 1 2 2 3 max ma 2 27