Ôn tập Toán 12 - Chuyên đề: Nguyên hàm, tích phân, ứng dụng của tích phân

Nội dung tài liệu: Ôn tập Toán 12 - Chuyên đề: Nguyên hàm, tích phân, ứng dụng của tích phân

1. Chủ đề 7: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN I, Nguyên hàm A- Tóm tắt lý thuyết 1. Khái niệm nguyên hàm và tính chất 1. Khái niệm nguyên hàm — Cho hàm số f() x xác định trên K. Hàm số F() x được gọi là nguyên hàm của hàm số f() x trên K nếu: F ( x ) f ( x ),  x K . — Nếu F() x là một nguyên hàm của f() x trên K thì họ nguyên hàm của hàm số f() x trên K là: f( x ) dx F ( x ) C , const C . 2. Tính chất: Nếu f( x ), g ( x ) là 2 hàm số liên tục trên K và k 0 thì ta luôn có: f ()(). x dx f x C kf()(). x dx k f x dx fx()()()() gxdx fxdx gxdx Bảng nguyên hàm của một số hàm thường gặp (với C là hằng số tùy ý) 1 n 1 x n 1 (ax b ) x dx C ()ax b  dx  C 1 a n 1 1 1 1  dx ln x C dx ln ax b C x ax b a 1 1 1 1 1  dx C dx  C x 2 x ()ax b 2 a ax b  sinx dx cos x C 1 sin(ax b ) dx cos( ax b ) C a  cosx dx sin x C 1 cos(ax b )  dx  sin( ax b ) C a 1 1 1 dx cot x C dx cot( ax b ) C sin2 x sin2 (ax b ) a 1 1 1 dx tan x C dx tan( ax b ) C cos2 x cos2 (ax b ) a x x  e dx e C ax b1 ax b e dx  e C a x x a dx1 x a a dx C ln C lna x2 a 2 2a x a 1 ♦ Nhận xét. Khi thay x bằng ()ax b thì lấy nguyên hàm nhân kết quả thêm  a Một số lưu ý 1. Cần nắm vững bảng nguyên hàm. 2. Nguyên hàm của một tích (thương) của nhiều hàm hàm số không bao giờ bằng tích (thương) của các nguyên hàm của những hàm thành phần.
2. 3. Muốn tìm nguyên hàm của một hàm số, ta phải biến đổi hàm số này thành một tổng hoặc hiệu của những hàm số tìm được nguyên hàm (dựa vào bảng nguyên hàm). 2. Các phương pháp tìm nguyên hàm của hàm số Dạng toán 1. TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG BẢNG NGUYÊN HÀM Phương Pháp 1. Tích của đa thức hoặc lũy thừa khai triển. 2. Tích các hàm mũ khai triển theo công thức mũ. 3. Chứa căn chuyển về lũy thừa. 4. Tích lượng giác bậc một của sin và cosin khai triển theo công thức tích thành tổng. 5. Bậc chẵn của sin và cosin Hạ bậc. Dạng toán 2. TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ Định lý: Cho f()() u du F u C và u u() x là hàm số có đạo hàm liên tục thì fux ()()().  uxdx  Fux C 1. Đổi biến số dạng 1: đặt t ( x ). n PP I faxb( )  xdx  t axb dt adx . m n x PP n 1 n I  dx tx 1 dtnxdx ( 1) . , với m, n . n 1 ax 1 2n PP 2 I fax( b )  xdx  t ax b dt 2 axdx . I n f()() x  f x  dx PP  Đặt t n f( x ), trừ một số trường hợp đổi biến dạng 2. 1 I f(ln x )   dx t ln x x PP   Đặt  1 t a bln x I f( a b ln x )   dx x I f() ex  e x  dx PP  Đặt t e x . I f(cos x )  sin xdx PP  Đặt t cos x dt sin xdx . I f(sin x )  cos xdx PP  Đặt t sin x dt cos xdx . 1 1 I f(tan x )  dx PP  Đặt t tan x dt dx (1 tan2 x ) dx . cos2 x cos2 x 1 1 I f(cot x )  dx PP  Đặt t cot x dt  dx (1 cot2 x ) dx . sin2 x sin2 x t sin2 x dt sin 2 xdx I f(sin2 x ;cos 2 x )  sin2 xdx PP  Đặt  t cos2 x dt sin 2 xdx I f(sin x cos x )  (sin x cos x )  dx PP  Đặt t sin x cos x .
3. 2. Đổi biến số dạng 2: đặt x ( t ). I f() a2 x 2  x 2n dx PP  Đặt x a.sin t dx a .cos t . dt . adt I f() x2 a 2  x 2n dx PP  Đặt x a.tan t dx  cos2 t a asin t I f() x2 a 2  x 2n dx PP  Đặt x dx  dt  cost cos2 t dx 1 dt I PP  Đặt x a dx  2 ().x an ax2 bx c t t n1 nk PP n I R ax b, , ax b  dx   Đặt t ax b với n B. C . N . N n ; n ; ; n   1 2 k dx x a 0 I t x a x b khi (x a )( x b ) x b 0 PP  Đặt  x a 0 t x a x b khi x b 0 Dạng toán 3. TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN Phương Pháp Định lý: Nếu hai hàm số và có đạo hàm và liên tục trên thì hay Vận dụng giải toán: — Nhận dạng: Tích 2 hàm khác loại nhân nhau, chẳng hạn: mũ nhân lượng giác — Đặt: Suy ra: — Thứ tự ưu tiên chọn u: log – đa – lượng – mũ và phần còn lại. Nghĩa là nếu có ln hay thì chọn hay và còn lại. Nếu không có thì chọn đa thức và còn lại. Nếu không có log, đa thức, ta chọn lượng giác, . — Lưu ý rằng bậc của đa thức và bậc của ln tương ứng với số lần lấy nguyên hàm. Dạng toán 4. TÍNH NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ HỮU TỶ P() x Bài toán tổng quát: Tính nguyên hàm I  dx, với P() x và Q() x là các đa thức không căn. Q() x
4. Phương pháp giải: — Nếu bậc của tử số P() x bậc của mẫu số Q() x PP  Chia đa thức. — Nếu bậc của tử số P() x bậc của mẫu số Q() x PP  Xem xét mẫu số và khi đó: + Nếu mẫu số phân tích được thành tích số, ta sẽ sử dụng đồng nhất thức để đưa về dạng tổng của các phân số. Một số trường hợp đồng nhất thức thường gặp: 1 1 a b   ()()ax m  bx n an bm ax m bx n mxn A B()() ABxAbBa  A B m  ()()()()xaxbxaxb  xaxb  Ab Ba n 1 A Bx C , với b2 4 ac 0. ()()xmax 2 bxc x m ax 2 bxc 1 ABCD  ()()()()x a2  x b 2x a x a 2 x b x b 2 + Nếu mẫu số không phân tích được thành tích số (biến đổi và đưa về dạng lượng giác). B- Bài tập trắc nghiệm DẠNG 1: DÙNG BẢNG NGUYÊN HÀM CƠ BẢN NHÓM 1 : DÙNG BẢNG NGUYÊN HÀM 2 2 3 Câu 1. Nguyên hàm F x của hàm số f x là hàm số nào? 5 2x x x 2 3 3 A. F x ln 5 2 x 2 ln x C . B. F x ln 5 2 x 2 ln x C . x x 3 3 C. F x ln 5 2 x 2 ln x C . D. F x ln 5 2 x 2 ln x C . x x Câu 2. Cho f( x ) x3 3 x 2 2 x . Một nguyên hàm F() x của f() x thỏa F 1 0 là: x 4 1 x 4 1 A. x3 x 2 B. x3 x 2 4 4 4 4 x 4 x 4 C. x3 x 2 1 D. x3 x 2 1 4 4 2 Câu 3. Kết quả của x x2 1 dx bằng: 3 3 x 2 1 x 2 1 A. F() x C B. F() x C 3 6 x2 x 3 x 2 3 2 C. F() x x C D. F( x ) x 1 C 2 3 6 Câu 4. Tìm họ nguyên hàm F x của hàm số f x 3 x 2 – 3x , ta được kết quả là:
5. 3x 3x A. F() x x3 C B. F() x x3 C ln 3 ln 3 x 3 3x x 3 3x C. F() x C D. F() x C 3 ln 3 3 ln 3 Câu 5. Nguyên hàm của hàm số f( x ) (1 2 x )5 là: 1 A. (1 2x )6 C B. (1 2x )6 C C. 5(1 2x )6 C D. 5(1 2x )4 C 12 Câu 6. Tìm hàm số f x biết rằng f’ x 2 x 1 và f 1 5 A. x2 x 3 B. x2 x 3 C. x2 x D. Kết quả khác Câu 7. Tìm hàm số y f() x biết f ( x ) ( x2 x )( x 1) và f (0) 3 x4 x 2 x4 x 2 A. y f( x ) 3 B. y f( x ) 3 4 2 4 2 x4 x 2 C. y f( x ) 3 D. y f( x ) 3 x 2 1 4 2 NHÓM 2: HÀM SỐ VÔ TỶ ( CHỨA CĂN) 1 Câu 8. Nguyên hàm của hàm số f() x là 2x 1 A. f x dx 2x 1 C . B. f x dx 2 2x 1 C . 2x 1 C. f x dx C . D. f x dx 2 2x 1 C . 2 1 Câu 9. Tìm nguyên hàm của hàm số f() x . 3 x A. f x dx 2 3 x C . B. f x dx 3 x C . C. f x dx 2 3 x C . D. f x dx 3 3 x C . Câu 10. Tìm nguyên hàm của hàm số f( x ) 2x 1 . 1 2 A. f x dx 2x 1 2x 1 C . B. f x dx 2x 1 2x 1 C . 3 3 1 1 C. f x dx 2x 1 C . D. f x dx 2x 1 C . 3 2 Câu 11. Tìm nguyên hàm của hàm số f( x ) 3 x 2 . 3 3 A. f x dx x 2 3 x 2 C . B. f x dx x 2 3 x 2 C . 4 4 2 2 1 C. f x dx x 2 x 2 . D. f x dx x 2 3 C . 3 3 2 Câu 12. Hàm số F x x 1 x 1 2016 là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
6. 5 5 A. f x x 1 x 1 B. f x x 1 x 1 C 2 2 2 C. f x x 1 x 1 D. f x x 1 x 1 C 5 1 2 Câu 13. Biết một nguyên hàm của hàm số f x 1 là hàm số F x thỏa mãn F 1 . Khi 1 3x 3 đó F x là hàm số nào sau đây? 2 2 A. F x x 1 3x 3 B. F x x 1 3x 3 3 3 2 2 C. F x x 1 3x 1 D. F x 4 1 3x 3 3 a Câu 14. Biết F( x ) 6 1 x là một nguyên hàm của hàm số f() x . Khi đó giá trị của a bằng 1 x 1 A. 3. B. 3 . C. 6 . D. . 6 1 1 Câu 15. Tính dx x 2 x x x 1 1 2 x A. C B. 2 x C C. x C D. C 2 2 2 2 x 2 x 2 NHÓM 3: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Câu 16. Cho hàm số f( x ) 2 x sin x 2 cos x . Một nguyên hàm F() x của f() x thỏa F(0) 1 là: A. x2 cos x 2sin x 2 B. x2 cos x 2sin x 2 C. 2 cosx 2 sin x D. x2 cos x 2sin x 2 Câu 17. Một nguyên hàm của hàm số f( x ) tan2 x là: tan3 x tan3 x 1 2 sin x A. B. . C. tanx x D. 3 3 cos2 x cos3 x Câu 18. Một nguyên hàm của hàm số f( x ) cos4 x sin 4 x là: 1 A. cos2x B. sin2x C. 2 sin2x D. cos2 x 2 Câu 19. Biết F( x ) 1 tan2 x dx khi đó F() x là: 1 A. F() x C B. F( x ) tan x C cos2 x C. F( x ) tan x C D. F( x ) cot x C 2 Câu 20. Gọi F1() x là nguyên của hàm số f1( x ) sin x thỏa mãn F1(0) 0 và F2() x là nguyên của hàm số 2 f2( x ) cos x thỏa mãn F2(0) 0 . Khi đó phương trình F1()() x F 2 x có nghiệm là: A. x k , k Z B. x k, k Z C. x k , k Z D. x k2 , k Z 2 2
7. Câu 21. Nguyên hàm của hàm số: y cos2 x .sin x là: 1 1 A. cos3 x C B. cos3 x C C. sin3 x C D. Đáp án khác. 3 3 Câu 22. Một nguyên hàm của hàm số: y cos5 x .cos x là: A. F x cos 6 x B. F x sin 6 x 1 1 1 1 sin 6x sin 4 x C. sin 6x sin 4 x D. 2 6 4 2 6 4 Câu 23. Tìm (sinx 1)3 cos xdx là: (cosx 1)4 sin4 x (sinx 1)4 A. C B. C C. C D. 4(sinx 1)3 C 4 4 4 Câu 24. Nguyên hàm của hàm số y sin3 x .cos x là: 1 1 A. F( x ) sin4 x C B. F( x ) sin4 x C 4 4 1 1 C. F( x ) cos4 x C D. F( x ) cos4 x C 4 4 cos 2x Câu 25. Nguyên hàm của hàm số: y = dx là: sin2x .cos 2 x A. F x cos x – sin x C B. F x cos x sin x C C. F x cot x – tan x C D. F x cot x – tan x C 1 Câu 26. Tìm nguyên hàm dx = 2 2 sinx .cos x A. 2 tan 2x C B. 2cot2x C C. 4cot2x C D. 2cot2x C NHÓM 4: HÀM SỐ MŨ, LOGARIT Câu 27. Tìm nguyên hàm của hàm số f() x ex e x . A. f x dx ex e x C . B. f x dx ex e x C . C. f x dx ex e x C . D. f x dx ex e x C . Câu 28. Tìm nguyên hàm của hàm số f( x ) 2x .3 2x . x x 2 1 9 1 A. f x dx . C . B. f x dx . C . 9 ln2 ln 9 2 ln2 ln 9 x x 2 1 2 1 C. f x dx . C . D. f x dx . C . 3 ln2 ln 9 9 ln2 ln 9 Câu 29. Họ nguyên hàm của hàm số f( x ) ex (3 e x ) là A. F( x ) 3 ex x C . B. F( x ) 3 ex e x ln e x C . 1 C. F( x ) 3 ex C . D. F( x ) 3 ex x C . ex
8. Câu 30. Tìm nguyên hàm của hàm số f() x e 4x 2 . 1 A. f x dx e2x 1 C . B. f x dx e2x 1 C . 2 1 1 C. f x dx e4x 2 C . D. f x dx e2x 1 C . 2 2 Câu 31. Tính (3 cosx 3x ) dx , kết quả là: 3x 3x 3x 3x A. 3 sin x C B. 3 sin x C C. 3 sin x C D. 3 sin x C ln 3 ln 3 ln 3 ln 3 Câu 32. Hàm sốF x ex tan x C là nguyên hàm của hàm số f() x nào? 1 1 1 A. f() x ex B. f() x ex C. f() x ex D. Kết quả khác sin2 x sin2 x cos2 x Câu 33. Nếu f( x ) dx ex sin2 x C thì f() x bằng 1 A. ex cos2 x B. ex cos 2 x C. ex 2cos2 x D. ex cos2 x 2 Câu 34. Tìm nguyên hàm của hàm số f x 2x 4 x . 2 x 2x 2 2x A. F() x C B. F( x ) 1 2x 1 C ln 2 ln 2 ln 2 2x 4 x 2x x C. F( x ) 1 C D. F( x ) 1 2 C . ln 2 ln 2 2 ln 2 2 Tìm ex 3 . Câu 35. 5 x x e 1 1 A. F( x ) 3 ex C B. F( x ) 3 ex C 2x 4 2x 4 1 1 C. F( x ) 3 ex C D. F( x ) 3 ex C 2x 4 2x 4 NHÓM 5: HÀM PHÂN THỨC 3x 5 Câu 36. Một nguyên hàm của hàm số y là: x 2 A. F( x ) 3 x 4 ln x 2 C B. F( x ) 3 x ln x 2 C C. F( x ) 3 x ln x 2 C D. F( x ) 3 x ln x 2 C x Câu 37. Một nguyên hàm của hàm số f() x là: x 1 A. lnx 1 B. x ln x 1 C. x ln x 1 D. 2 lnx 1 x2 2 x 1 Câu 38. Cho hàm số f() x . Một nguyên hàm F() x của f() x thỏa F(1) 0 là: x2 2 x 1
9. 2 2 2 2 A. x 2 B. x 2 C. x 2 ln x 1 D. x 2 x 1 x 1 x 1 x 2 x Câu 39. Hàm số nào sau đây không là nguyên hàm của hàm số f x ? 2 x 1 x2 x 1 x2 x 1 x 2 x2 x 1 A. B. C. D. x 1 x 1 x 1 x 1 2 x 2 1 Câu 40. Cho hàm số f x . Một nguyên hàm F x của f x thỏa F 1 4 là : x 3 x 2 2 x 2 1 A. 2 lnx 4 B. 2 lnx 4 2 x 2 2 2x 2 x 2 2 C. 2 lnx 4 D. F x x3 2 x C 2 x 2 x 3 1 Câu 41. Nguyên hàm của hàm số f x là: x 1 x3 x 2 x3 x 2 A. F x x 2 ln x 1 C B. F x x 2ln x 1 C 3 2 3 2 x3 x 2 x3 x 2 C. F x x ln x 1 C D. F x x 2 ln x 1 C 3 2 3 2 x3 3 x 2 3 x 1 1 Câu 42. Gọi hàm số F() x là một nguyên hàm của f() x , biết F(1) . Vậy F() x là: x2 2 x 1 3 x 2 2 13 x 2 2 13 A. F() x x B. F() x x 2x 1 6 2x 1 6 x 2 1 x 2 2 C. F() x x C D. F() x x 2x 1 2x 1 x2 2 x 1 1 Câu 43. Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f() x biết F(1) . Kết quả là: x 2 x 2 x 2 A. F( x ) 2 x ln x 2 B. F( x ) 2 x ln x 2 2 2 x 2 1 x 2 1 C. F( x ) 2 x ln x D. F( x ) 2 x ln x 2 2 2 2 A 3 2 3x 3 x 3 A B C Câu 44. Ta có: f( x ) B 2 . x3 3 x 2 2 x 1 x 2 x 1 C 1 Tính f()() x dx F x C , ta được kết quả là: 3 2 1 F() x C A. 2 x 1 x 1 x 2
10. 3 B. F( x ) 2 ln x 1 ln x 2 C x 1 2 C. F( x ) 3 ln x 1 ln x 2 C x 1 1 D. F( x ) 3 ln x 1 2 ln x 2 C x 1 1 1 Câu 45. Nguyên hàm của hàm số f() x là : x x 2 1 1 A. lnx ln x2 C B. ln x C C. lnx C D. Kết quả khác x x 1 Câu 46. Tính nguyên hàm dx ta được kết quả sau: 2x 1 1 1 A. ln 2x 1 C B. ln 2x 1 C C. ln 2x 1 C D. ln 2x 1 C 2 2 2x 4 3 Câu 47. Nguyên hàm của hàm số f x = là : x 2 2x 3 3 2x 3 3 2x 3 A. C B. C C. 3 ln x2 C D. Kết quả khác 3 x 3 x 2 3 x dx 2 Câu 48.Kết quả của 1 x là: 1 1 A. 1 x2 C B. C C. C D. 1 x2 C 1 x 2 1 x 2 1 Câu 49. Một nguyên hàm F(x) của hàm số f x là 2x 5 1 A. F( x ) ln 2 x 5 2016 B. F(x) ln 2x 5 2 2 1 F() x F() x C. 2 D. 2 2x 5 2x 5 1 y f x Câu 40.Nguyên hàm của hàm số 2 là: 1 2x 1 1 2 A. F x . C B. F x ln 1 2 x C 2 1 2x 1 1 1 C. F x . C D. F x C 2 1 2x 1 2x DẠNG 2: PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN
11. x 1 Câu 1. Tính dx x2 2 x 5 2x 2 A. C B. 2x2 2 x 5 C x2 2 x 5 x2 2 x 5 C. C D. x2 2 x 5 C 2 x Câu 2. Họ nguyên hàm của hàm số f x là x 2 1 A. F x ln x2 1 C B. F x x2 1 C 2 C. F x 2 x2 1 C D. F x C 3 x 2 1 Câu 3. Một nguyên hàm của hàm số f x cos x . e sin x là A. F x esin x B. F x ecos x C. F x e sin x D. F x sin x . e sin x 2016 Câu 4. Cho hàm số f x x x 2 1 . Khi đó : 2017 2016 x 2 1 x 2 1 A. f x dx C B. f x dx 4034 4032 2016 2017 x 2 1 x 2 1 C. f x dx D. f x dx 2016 2017 2 Câu 5. Hàm số F x ex là nguyên hàm của hàm số x2 2 e 2 A. f x 2 xex B. f x e2x C. f x D. f x x2 ex 1 2x Câu 6. Kết quả của cosx s in x 1 dx bằng: 2 3 2 3 A. F( x ) s in x 1 C B. F( x ) s in x 1 C 3 3 2 2 3 C. F( x ) s in x 1 C D. F( x ) s in x 1 C 3 3 ex Câu 7. Kết quả của dx bằng: ex 3 A. F( x ) ex 3 C B. F( x ) 2 ex 3 C ex C. F( x ) ex 3 C D. F() x C ex 3 x lnx Câu 8. Hàm số f() x có các nguyên hàm là: x
12. 1 A. F( x ) ln2 x C B. F( x ) ln x C 2 1 1 C. F( x ) ln2 x C D. F() x C 2 x. x 2 1 x Câu 9. Hàm số f( x ) ln x ( ) có các nguyên hàm là: xln x ln2x x 2 A. F( x ) ln2 x x 2 C B. F() x C 2 ln2 x x 2 C. F() x x2 C D. F( x ) ln x (ln x ) C 2 2 ln x x Câu 10. Gọi F() x là nguyên của hàm số f() x thỏa mãn F(2) 0 . Khi đó phương trình 8 x 2 F() x x có nghiệm là: A. x 0 B. x 1 C. x 1 D. x 1 3 x 3 Câu 11. Một nguyên hàm của hàm số: y là: 2 x 2 1 A. F( x ) x 2 x 2 B. x2 4 2 x 2 3 1 1 C. x22 x 2 D. x2 4 2 x 2 3 3 2x Câu 12. Tìm nguyên hàm F x biết f() x . Kết quả là: x x 2 1 2 2 2 2 A. F( x ) x3 x 2 1 x 2 1 B. F( x ) x3 x 2 1 x 2 1 3 3 3 3 2 2 2 2 C. F( x ) x3 x 2 1 x 2 1 D. F( x ) x3 x 2 1 x 2 1 3 3 3 3 sin x Câu 13. Tìm nguyên hàm F x biết f() x . Kết quả là: sinx cos x 1 1 A. F( x ) x ln sin x cos x C B. F( x ) x ln sin x cos x C 2 2 1 1 C. F( x ) x ln sin x cos x C D. F( x ) x ln sin x cos x C 2 2 2 Câu 14. Tính nguyên hàm xex 1 dx , ta được: 1 2 1 2 A. F() x ex 1 C B. F() x ex 1 C 2 2 1 2 1 2 C. F() x ex 1 C D. F() x ex C 2 2 ln 2 Câu 15. Tính 2 x dx . Kết quả sai là: x
13. A. F( x ) 2 2x 1 C B. F( x ) 2 2x 1 C C. F( x ) 2 x C D. F( x ) 2 x 1 C 1 Câu 16. Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của f() x ? 1 x 2 x A. F() x B. F( x ) ln 1 x 2 1 x 2 C. F( x ) ln x 1 x 2 D. F( x ) ln x 1 x 2 cosx Câu 17. Tìm dx . sin20 x 1 1 A. F() x C B. F() x C 19 sin19 x 19 sin19 x 1 1 C. F() x C D. F() x C 19 cos19 x 19 cos19 x ex Câu 18. Một nguyên hàm F() x của hàm số f() x thỏa F 0 ln 3 là ex 2 A. F( x ) ln ex 2 ln 3 B. F( x ) ln ex 2 ln 3 C. F( x ) ln ex 2 2 ln 3 D. F( x ) ln ex 2 2 ln 3 Câu 19. Tìm nguyên hàm của hàm số f( x ) e3 cosx .sin x 1 A. f( x ) dx e3 cosx .cos x C B. f( x ) dx 3 e3 cosx C 3 1 C. f() x dx e3cosx C D. f( x ) dx 3 e3cosx .cos x C 3 dx Câu 20. Nguyên hàm của hàm số: I  là: 2x 1 4 A. F(x) = 2x 1 4ln 2x 1 4 C B. F(x) = 2x 1 4 ln 2x 1 4 C C. F(x) = 2x 1 4 ln 2x 1 4 C 7 D. F(x) = 2x 1 ln 2x 1 4 C 2 ()x2 x ex Câu 21. Nguyên hàm của hàm số: y dx là: x e x A. F(x) = xex 1 ln xe x 1 C B. F(x) = ex 1 ln xe x 1 C C. F(x) = xex 1 ln xe x 1 C D. F(x) = xex 1 ln xe x 1 C
14. dx Câu 22. Nguyên hàm của hàm số: y là: x2 a 2 1 x a 1 x a 1 x a 1 x a A. ln +C B. ln +C C. ln +C D. ln +C 2a x a 2a x a a x a a x a dx Câu 23. Nguyên hàm của hàm số: y là: a2 x 2 1 a x 1 a x 1 x a 1 x a A. ln +C B. ln +C C. ln +C D. ln +C 2a a x 2a a x a x a a x a Câu 24. Nguyên hàm của hàm số: y x4 x 7 dx là: 1 25 2 3 1 25 2 3 A. 4x 7 2 7  4 x 7 2 C B. 4x 7 2 7  4 x 7 2 C 20 5 3 18 5 3 1 25 2 3 1 25 2 3 C. 4x 7 2 7  4 x 7 2 C D. 4x 7 2 7  4 x 7 2 C 14 5 3 16 5 3 DẠNG 3 : PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN Câu 1. Một nguyên hàm của hàm số f() x xex là: x 2 A. ex C B. ex x 1 C C. ex x 1 C D. ex C 2 Câu 2. Một nguyên hàm của hàm số f( x ) ( x2 2 x ). e x là: A. (2x 2). ex B. x2 e x C. (x2 x ). ex D. (x2 2 x ). ex Câu 3. Cho hàm số f(). x x e x . Một nguyên hàm F() x của f() x thỏa F(0) 1 là: A. (x 1) e x 1 B. (x 1) e x 2 C. (x 1) e x 1 D. (x 1) e x 2 2 Câu 4. Nguyên hàm của hàm số f() x xex là hàm số: 2 1 2 2 2 2 A. F( x ) 2 ex B. F() x ex C. F( x ) 2 x2 ex D. F() x ex xe x 2 x Câu 5. Cho f( x ) ln tdt . Đạo hàm f'( x ) là hàm số nào dưới đây? 1 1 1 A. B. lnx C. ln2 x D. ln2 x x 2 Câu 6. Hàm số f( x ) ( x 1)sin x có các nguyên hàm là: A. F() x ( x 1)cos x sin x C B. F() x ( x 1)cos x sin x C C. F() x ( x 1)cos x sin x C D. F() x ( x 1)cos x sin x C Câu 7. Gọi hàm số F() x là một nguyên hàm của f( x ) x cos 3 x , biết F(0) 1 . Vậy F() x là: 1 1 1 1 A. F( x ) x sin 3 x cos 3 x C B. F( x ) x sin 3 x cos 3 x 1 3 9 3 9 1 1 1 8 C. F( x ) x2 sin 3 x D. F( x ) x sin 3 x cos 3 x 6 3 9 9
15. Câu 8. Tìm xcos2 xdx là: 1 1 1 1 A. xsin2 x cos2 x C B. xsin2 x cos2 x C 2 4 2 2 x2 sin 2 x C. C D. sin2x C 4 Câu 9. Kết quả nào sai trong các kết quả sau ? x2.cos x A. xsin xdx C B xsin xdx x cos x sin x C 2 xcos2 x 1 C. xcos xdx x sin x cos x C D. xsin2 xdx sin2 x C 2 4 Câu 10. Kết quả nào sai trong các kết quả sau ? xe 3x 1 A. xe3x dx e 3 x C B. xex dx xe x e x C 3 9 x 2 x x 1 C. xex dx . e x C D. dx C 2 ex e x e x Câu 11. Kết quả nào sai trong các kết quả sau ? 1 A. lnxdx x ln x x C B. lnxdx C x x2 x 2 x3 x 3 C. xln xdx ln x C D. x2 ln xdx .ln x C 2 4 3 9 Câu 12. Kết quả nào sai trong các kết quả sau ? ln3 x A. ln2xdx x ln 2 x 2 x ln x x C B. ln2 xdx C 3 lnx ln x 1 lnx ln x 1 C. dx C D. dx C x 2 x x x32 x 2 4 x 2 Câu 13. Kết quả nào sai trong các kết quả sau ? x x 1 A. dx C B. xe x dx xe x e x C e2x2 e 2 x 4 e 2 x xe 3x 1 x 2 C. xe3x dx e 3 x C D. xe2x dx . e 2 x C 3 9 2 Câu 14. Kết quả nào sai trong các kết quả sau ? x 3 1 A. x2 ln xdx . C 3 x x3 x 3 B. x2 ln xdx .ln x C 3 9 C. ln x 1 x2 dx x ln x 1 x 2 1 x 2 C ex sin x cos x D. ex sin xdx C 2 Câu 15. Tìm nguyên hàm của hàm số f( x ) x .sin 2 x 1
16. x 1 A. f( x ) dx .cos 2 x 1 .sin 2 x 1 C 2 4 x 2 B. f( x ) dx .cos 2 x 1 C 4 x 1 C. f( x ) dx .cos 2 x 1 .sin 2 x 1 C 2 4 x 1 D. f( x ) dx .cos 2 x 1 .sin 2 x 1 C 2 2 Câu 16. Tìm nguyên hàm của hàm số f( x ) x .ln 1 x x 2 A. f() x dx C 2(x 1) x 2 1 B. f( x ) dx ln 1 x x3 ln(1 x ) C 2 6 1 1 x C. f( x ) dx x2 1 .ln 1 x x 2 C 2 4 2 x2 1 x 1 D. f( x ) dx ln 1 x x2 ln( x 1) C 2 4 2 2 Câu 17. Nguyên hàm của hàm số: I x 2 sin 3 xdx là: x 2 cos 3 x 1 x 2 cos 3 x 1 A. F(x) = sin 3x C B. F(x) = sin 3x C 3 9 3 9 x 2 cos 3 x 1 x 2 cos 3 x 1 C. F(x) = sin 3x C D. F(x) = sin 3x C 3 9 3 3 II, TÍCH PHÂN Khái niệm tích phân ① Cho hàm số f() x liên tục trên K và a, b K . Hàm số F() x được gọi là nguyên hàm của f() x trên b K thì F()() b F a được gọi là tích phân của f() x từ a đến b và được kí hiệu là f(). x dx Khi đó: a b b I fxdx()()()(),  Fx Fb Fa với a gọi là cận dưới, b là cận trên. a a ② Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ khác nhau thay cho x , nghĩa là: b b b I fxdx()  ftdt ()  fudu ()   Fb ()(). Fa a a a ③ Nếu hàm số y f() x liên tục và không âm trên đoạn a; b thì diện tích S của hình thang cong giới hạn b bởi đồ thị của y f( x ), trục Ox và hai đường thẳng x a, x b là: S f() x  dx  a Tính chất của tích phân
17. b a a b b  f()() x dx f x dx và f( x ) dx 0.  kf()(), x dx k f x dx với (k 0). a b a a a b b b b c b  fx()()()(). gxdx fxdx gxdx  fxdx()()(). fxdx fxdx a a a a a c Dạng toán 1. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP DÙNG BẢNG NGUYÊN HÀM 6 4 6 Câu 1. Nếu f x dx 10 và f x dx 7 thì f x dx có giá trị là: 0 0 4 A. 17 B. 170 C. 3 D. –3 2 4 4 Câu 2. Cho f x dx 1và f t dt 3 . f u du có giá trị là : 1 1 2 A.– 2 B. – 4 C. 2 D. 4 5 5 5 f x dx 3; g x dx 9 A f x g x dx Câu 3. Cho biết . Giá trị của là 2 2 2 A. Chưa xác định B. 12 C. 3 D. 6 b b c Câu 4. Giả sử f( x ) dx 2 và f( x ) dx 3 và a < b < c thì f() x dx bằng? a c a A. 5 B. 1 C. –1 D. –5 10 6 Câu 5. Cho hàm số f x liên tục trên đoạn 0;10 thoả: f x dx 7, f x dx 3 . Khi đó, giá trị 0 2 2 10 của P f x dx f x dx là 0 6 A. P 1 B. P 4 C. P 3 D. P 2 4 Câu 6. Nếu f 1 12 , f' x liên tục và f' x dx 17 . Giá trị của f 4 bằng 1 A. 29 B. 5 C. 15 D. 19 4 2 Câu 7. Nếu f x liên tục và f x dx 10 thì f 2 x dx bằng 0 0 A. 29 B. 5 C. 9 D. 19 d d b Câu 8. Nếu f x dx 5 và f x dx 2, với a d b thì f x dx có giá trị là: a a b A. 7 B. 3 C. 3 D. 5 Câu 9. Cho f() x là hàm số liên tục trên a; b . Đẳng thức nào sau đây sai? b a b A. f()() x dx f x dx B. kdx k() b a  k a b a b c b b a C. fxdx()()(),; fxdx fxdxc ab D. f()() x dx f x dx a a c a b
18. b Câu 10. Biết 2x 4 dx 0, khi đó b nhận giá trị bằng 0 b 1 b 0 b 1 b 0 A. B. C. D. b 4 b 2 b 2 b 4 m Câu 11. Tìm m , biết 2x 5 dx 6 . 0 A. m 1, m 6. B. m 1, m 6. C. m 1, m 6. D. m 1, m 6. x F()() x t2 t dt 1;1 Câu 12. Cho . Giá trị nhỏ nhất của F() x trên là: 1 5 5 5 A. B. 1 C. D. 3 6 6 2 2 f x dx 3 4f x 3 dx Câu 13. Cho . Khi đó bằng: 0 0 A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 x Câu 14. Các số thực x sau đây thỏa mãn đẳng thức I 1 t dt 0 là. 0 A. x 0 hoặc x –2 .B. x 0 hoặc x 2 .C. x 0 hoặc x 1 . D. x 0 hoặc x –1 5 dx Câu 15. Giả sử lnK . Giá trị của K là: 1 2x 1 A. 9 B. 8 C. 81 D. 3 0 3x2 5 x 1 2 Câu 16. Giả sử I dx aln b . Khi đó giá trị a 2 b là 1 x 2 3 A.30 B. 40 C. 50 D. 60 0 dx Câu 17. Tính tích phân I (a là tham số thực dương). 2 a a ax A. I a. B. I 2 2 2 a . C. I 2 2 2 D. I a . 4m 2 Câu 18. Cho f x sin x . Tìm m để nguyên hàm F x của hàm số f x thỏa mãn F 0 1 v à F 4 8 4 3 4 3 A. m B. m C. m D. m 3 4 3 4
19. 4 2 Câu 19. Giả sử I sin 3 x sin2 xdx a b khi đó a b là 0 2 1 3 3 1 A. B. C. D. 6 10 10 5 1 Câu 20. Để hàm số f x asin x b thỏa mãn f 1 2 và f x dx 4 thì a,b nhận giá trị : 0 A. a , b 0 B.a , b 2 C. a 2 , b 2 D. a 2 , b 3 2 Câu 21. Cho f( x ) A sin 2 x B . Tìm A và B , biết f ' 0 4 và f( x ). dx 3 0 1 3 3 1 A. AB 2, .B. AB 1, .C. AB 2, . D. AB 1, 2 2 2 2 1 x Câu 22. Cho I ax e dx . Xác định a để I 1 e . 0 A. a 4 e . B. a 4 e 1. C. a 2 e . D. a 2 e 2. 0 x Câu 23. Nếu I 4 e2 dx K 2 e thì giá trị của K là : 2 A. 11 B. 10 C. 12,5 D. 9 2 x2 2 x x 1 Câu 24. Cho tích phân dx a bln3 c ln2 (,, a b c  ) . Chọn khẳng định đúng trong các 1 x 1 khẳng định sau: A. a 0 B. c 0 C. b 0 D. a b c 0 2 Câu 25. Tìm các hằng số AB, để hàm số f x A.sin x B thỏa các điều kiện: f ' 1 2 ; f( x ) dx 4 0 2 2 2 A A A A A. . B. . C. 2 . D. . B 2 B 2 B 2 B 2 Dạng toán 2. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ b b fx()()()()()  uxdx  Fux Fub Fua  a a – Bước 1. Biến đổi để chọn phép đặt t u()() x dt u x  dx (xem lại các phương pháp đổi biến số trong phần nguyên hàm) x b t u() b – Bước 2. Đổi cận: (nhớ: đổi biến phải đổi cận) x a t u() a u() b – Bước 3. Đưa về dạng I f() t  dt đơn giản hơn và dễ tính toán. u() a
20. 3 x 2 Câu 1.Biến đổi dx thành f t dt với t 1 x . Khi đó f t là hàm nào trong các hàm sau 0 1 1 x 1 đây? A. f t 2 t2 2 t B. f t t2 t C. f t 2 t2 2 t D. f t t2 t 1 Câu 2. Cho tích phân 3 1 x d x ,với cách đặt t 3 1 x thì tích phân đã cho bằng với tích phân nào 0 1 1 1 1 A. 3 t3 dt . B.3 t2 d t . C. t3d t . D. 3 t d t . 0 0 0 0 2 3 3 Câu 3. Tích phân I d x bằng: 2 2 x x 3 A. . B. . C. . D. . 6 3 2 a Câu 4. Tích phân x2 a 2 x 2 d x a 0 bằng 0 .a4 .a4 .a3 .a3 A. . B. . C. . D. . 8 16 16 8 1 M M Câu 5. Biết tích phân x3 1 xdx , với là phân số tối giản. Giá trị MN bằng: 0 N N A. 35 B.36 C. 37 D. 38 1 dx Câu 6. Đổi biến x = 2sint tích phân trở thành: 2 0 4 x 6 6 6 1 3 A. tdt B. dt C. dt D. dt t 0 0 0 0 Dạng toán 3. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN a; b Định lý: Nếu u u() x và v v() x là hai hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn thì: b b b b b b I uxvxdx()()()()()()   uxvx  uxvxdx   hay I udv u v vdu a a a a a a Thực hành: — Nhận dạng: Tích 2 hàm khác loại nhân nhau, chẳng hạn: mũ nhân lượng giác, Vi phân b b b u   du  dx — Đặt:  Suy ra: I udv u v vdu dv  dx  Nguyên ha m v  a a a — Thứ tự ưu tiên chọn u: log – đa – lượng – mũ và dv phần còn lại. Nghĩa là nếu có ln hay loga x thì 1 chọn u ln hay u log x .ln x và dv còn lại. Nếu không có ln ; log thì chọn u đa thức a lna và dv còn lại. Nếu không có log, đa thức, ta chọn u lượng giác, . — Lưu ý rằng bậc của đa thức và bậc của ln tương ứng với số lần lấy nguyên hàm. 1 Câu 1. Biết rằng tích phân 2x 1 ex dx a be . . Khi đó tích ab bằng 0
21. A. 1. B. 1 . C. 15. D. 2. a x Câu 2. Tìm a 0 sao cho x. e2 dx 4 0 1 1 A. 4 . B. . C. . D. 2 . 4 2 a 1 Câu 3. Cho hàm số : f(). x bxex Tìm a và b biết rằng f '(0) 22 và f( x ) dx 5 3 (x 1) 0 A. a 2, b 8 . B. a 2, b 8 . C. a 8, b 2 . D. a 8, b 2 . 1 1 Câu 4. Biết rằng : xcos2 xdx (as2 in b cos2 c ) , với a, b ,c Z . Mệnh đề nào sau đây là đúng: 0 4 A. 2a b c 1 B. a 2 b c 0 C. a b c 0 D. a b c 1 . . . . m Câu 5. Cho m là một số dương và I (4x ln 4 2 x ln 2) dx . Tìm m khi I = 12 0 A. m 4 B. m 3 C. m 1 D. m 2 . . . . 2 Câu 6: Biết (2x 1)cos xdx m n . Tính T m 2 n . 0 A. T 5. B. T 3. C. T 1. D. T 7. Câu 7: Cho tích phân I 2 sin2 xesinx dx . Một học sinh giải như sau: 0 x 0 t 0 1 t Bước 1: Đặt t sin x dt cos xdx . Đổi cận I 2 te dt x t 1 0 2 u t du dt 11 1 1 t t t t Bước 2: Chọn t t tedt te edt e e 1 dv e dt v e 00 0 0 1 Bước 3: I 2 tet dt 2 0 Hỏi bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào? A. Bài giải trên sai từ bước 1. B. Bài giải trên sai từ bước 2 . C. Bài giải trên hoàn toàn đúng. D. Bài giải trên sai ở bước 3.