Ôn tập Toán 12 - Chuyên đề: Thể tích khối chóp

Nội dung tài liệu: Ôn tập Toán 12 - Chuyên đề: Thể tích khối chóp

1. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP I – LÝ THUYẾT Định nghĩa:Thể tích khối chóp bằng một phần ba tích số của diện tích mặt đáy và chiều cao của khối chóp đó. Các công thức cần nhớ: a. HÌNH HỌC PHẲNG 1. Các hệ thức lượng trong tam giác vuông: Cho tam giác ABC vuông tại A , AH là đường cao, AM là đường trung tuyến. Ta có: A B 2 2 2 ❖ BC = AB + AC ❖ AH.BC = AB.AC ❖ AB 2 = BH.BC, AC 2 = CH.CB 1 1 1 ❖ = + , AH 2 = HB.HC AH 2 AB 2 AC 2 B C H M ❖ 2AM = BC 2. Các hệ thức lượng trong tam giác thường: a. Định lý cosin: A b2 + c2 - a2 * a2 = b2 + c2 - 2bc cosA Þ cosA = 2bc 2 2 2 b 2 2 2 a + c - b c * b = a + c - 2ac cosB Þ cosB = 2ac 2 2 2 2 2 2 a + b - c a * c = a + b - 2abcosC Þ cosC = B C 2ab b. Định lý sin: A a b c = = = 2R c b sin A sin B sinC R (R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC) B a C c. Công thức tính diện tích tam giác: A 1 1 1 ❖ S = a.h = b.h = c.h DABC 2 a 2 b 2 c 1 1 1 c b ❖ S = absinC = bc sin A = ac sin B DABC 2 2 2 abc ❖ S = , S = p.r DABC 4R DABC B a C ❖ p 1 p p a p b p c
2. p - nửa chu vi r - bán kính đường tròn nội tiếp d. Công thức tính độ dài đường trung tuyến: A AB 2 + AC 2 BC 2 * AM 2 = - 2 4 K N BA2 + BC 2 AC 2 * BN 2 = - 2 4 B C M CA2 + CB 2 AB 2 * CK 2 = - 2 4 3. Định lý Thales: A AM AN MN * MN / / BC Þ = = = k AB AC BC M N 2 S æAM ö * DAMN = ç ÷ = k2 ç ÷ SDABC èAB ø B C (Tỉ diện tích bằng tỉ bình phương đồng dạng) 4. Diện tích đa giác: B a. Diện tích tam giác vuông: 1 Þ S = AB.AC DABC 2 ❖ Diện tích tam giác vuông bằng ½ tích 2 cạnh C góc vuông. A b. Diện tích tam giác đều: B ïì 2 2 ï a 3 (cạnh) . 3 ï SDABC = ❖ Diện tích tam giác đều: SD = ï 4 đều 4 a Þ í h ï a 3 (cạnh) . 3 ï h = ❖ Chiều cao tam giác đều: h = A C îï 2 D đều 2 c. Diện tích hình vuông và hình chữ nhật: A B ïì S = a2 ❖ Diện tích hình vuông bằng cạnh bình phương. ï HV a Þ íï O ï AC = BD = a 2 ❖ Đường chéo hình vuông bằng cạnh nhân 2. îï ❖ Diện tích hình chữ nhật bằng dài nhân rộng. D C d. Diện tích hình thang: 2
3. 1 A D ❖S Hình Thang = .(đáy lớn + đáy bé) x chiều cao 2 (AD + BC ).AH Þ S = 2 B H C e. Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông B góc: 1 A C Þ S = AC.BD ❖ Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc H .Thoi 2 nhau bằng ½ tích hai đường chéo. ❖ Hình thoi có hai đường chéo vuông góc nhau D tại trung điểm của mỗi đường. 1 1. Thể tích khối chóp: V = B.h 3 B : Diện tích mặt đáy. h : Chiều cao của khối chóp. MỘT SỐ CÔNG THỨC TÍNH NHANH THỂ TÍCH KHỐI CHÓP THƯỜNG GẶP TÍNH CHẤT HÌNH VẼ Cho hình chóp SABC với các mặt phẳng A SAB , SBC , SAC vuông góc với nhau từng đôi một, diện tích các tam giác SAB,SBC,SAC lần lượt S C là S1,S2,S3 . 2S .S .S Khi đó: V 1 2 3 B S.ABC 3 Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với S ABC , hai mặt phẳng SAB và SBC vuông góc với nhau, B· SC ,A· SB  . SB 3.sin 2 .tan  A C Khi đó: V S.ABC 12 B 3
4. Cho hình chóp đều S.ABC có đáy ABC là tam giác S đều cạnh bằng a, cạnh bên bằng b . a2 3b2 a2 Khi đó: VS.ABC 12 A C G M B Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy S bằng a và mặt bên tạo với mặt phẳng đáy góc . a3 tan Khi đó: VS.ABC 24 A C G M B Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có các cạnh S bên bằng b và cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc  . 3 2 3b .sin  cos  A C Khi đó: V G S.ABC 4 M B Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có các cạnh S đáy bằng a, cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc  . 3 a .tan  A C Khi đó: VS.ABC G 12 M B Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD S là hình vuông cạnh bằng a, và SA SB SC SD b. 2 2 2 a 4b 2a D A Khi đó: VS.ABC 6 O M C B Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy S bằng a, góc tạo bởi mặt bên và mặt phẳng đáy là . 3 a .tan A D Khi đó: VS.ABCD 6 O M B C 4
5. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy S · bằng a, SAB , với ; 4 2 D A a3 tan2 1 Khi đó: V O M S.ABCD 6 C B Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh S bên bằng a, góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy là với 0; . 2 A D 4a3.tan O M Khi đó: V B C S.ABCD 3 3 2 tan2 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy S bằng a. Gọi P là mặt phẳng đi qua A song song F N A E với BC và vuông góc với SBC , góc giữa P với C x G mặt phẳng đáy là . M 3 a cot B Khi đó: V S.ABCD 24 A' B' Khối tám mặt đều có đỉnh là tâm các mặt của hình O' lập phương cạnh a. D' O1 C' 3 a O4 O2 Khi đó: V 6 A O3 B O D C Cho khối tám mặt đều cạnh a. Nối tâm của các S mặt bên ta được khối lập phương. G2 3 D 2a 2 A G1 N Khi đó: V M 27 B C S' CÁC CÔNG THỨC ĐẶC BIỆT THỂ TÍCH TỨ DIỆN: ĐIỀU KIỆN TỨ DIỆN CÔNG THỨC abc SA a,SB b,SC c V 1 cos2 cos2  cos2 2cos cos cos S.ABC 6 A· SB ,B· SC ,C· SA Công thức tính khi biết 3 cạnh, 3 góc ở đỉnh 1 tứ diện 5
6. 1 AB a,CD b V abd sin ABCD 6 d AB,CD d, AB,CD Công thức tính khi biết 2 cạnh đối, khoảng cách và góc 2 cạnh đó S S ,S S ,SA a 2S1S2 sin SAB 1 SAC 2 V SABC SAB , SAC 3a Công thức tính khi biết một cạnh, diện tích và góc giữa 2 mặt kề SA a,SB b,SC c abc V sin sin  sin S.ABC 6 SAB , SAC Công thức tính khi biết 3 cạnh, 2 góc ở đỉnh và 1 góc A· SB ,A· SC nhị diện Tứ diện đều a3 2 V tất cả các cạnh bằng a ABCD 12 Tứ diện gần đều AB CD a 2 V a2 b2 c2 b2 c2 a2 a2 c2 b2 AC BD b ABCD 12 AD BC c CÁC DẠNG BÀI TẬP DẠNG 1. KHỐI CHÓP CÓ CẠNH BÊN VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY. NHẬN XÉT: Nếu một hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy thì cạnh đó chính là đường cao của hình chóp. Ví dụ 1: Cho hình chóp tam giác S.ABC. Đáy ABC là tam giác vuông tại B. Cạnh bên SA vuông góc với đáy. SA=AB=BC=a. Tính thể tích khối chóp S.ABC 1 1 1 A. V a2 . B. V a3 .C. V a3 . D. V a3 . 6 3 6 Ví dụ 2 : Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy . SA=AC .Tính thể tích khối chóp S.ABCD. 2 1 1 2 A. V a3 . B. V a3 .C. V a3 .D. V a3 . 3 3 6 3 Ví dụ 3: Cho hinh chóp S.ABCD . Đáy ABCD là hình thang cân. Có AB=BC=CD=a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy, SA=a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD. 3 3 1 2 A. V a3 . B. V a3 .C. V a3 .D. V a3 . 4 2 6 3 Ví dụ 4: Cho khối chóp S.ABC có SA vuông góc với ABC , đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , BC 2a , góc giữa SB và ABC là 30 . Tính thể tích khối chóp S.ABC . a3 6 a3 6 a3 3 a3 2 A. . B. . C. . D. . 9 3 3 4 Lời giải Chọn A. 6
7. S A C 30° B Ta có AB là hình chiếu của SB lên ABC suy ra góc giữa SB và ABC là góc S· BA 30 . Tam giác ABC vuông cân tại A , BC 2a AB AC a 2 . 3 a 6 Xét SAB vuông tại A có SA AB.tan 30 a 2. . 3 3 1 1 1 a 6 a3 6 Ta có S AB2 a2 .Vậy V .SA.S . .a2 . ABC 2 S.ABC 3 ABC 3 3 9 Ví dụ 5: (THPTQG 2017 - câu 40 đề 110) Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB a , AD a 3 , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và mặt phẳng SBC tạo với đáy một góc 60o . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD . 3a3 a3 A. V 3a3 . B. V . C. V a3 . D. V . 3 3 Lời giải Chọn C S A a 60 B a 3 D C 2 Ta có SABCD AB.AD a.a 3 3a . Dễ thấy BC  AB; BC  SB S· BA 60o . SA Xét tam giác vuông SAB µA 1v có: tan 60o SA AB tan 60o a 3 AB 1 1 Vậy V S .SA a2 3.a 3 a3 . S.ABCD 3 ABCD 3 7
8. Ví dụ 6: [2H1-2.2-2] 20 (THPT LƯƠNG TÂM – HẬU GIANG) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD vuông tại A và D có AB 2AD 2CD , SA vuông góc với đáy ABCD . a 42 Góc giữa SC và đáy bằng 60 . Biết khoảng cách từ B đến SCD là . Tính thể tích V 7 của khối chóp S.ABCD . 3 6 A. a3 . B. a3 . 2 3 6 3 C. a3 . D. a3 . 2 3 Lời giải Chọn C. a 42 Ta có AB / / SCD nên d B,(SCD) d A,(SCD) AH . 7 Đặt AB = 2AD = 2CD = 2x AC = x 2 . S· CA 600 AS AC.tan 600 x 6 AS.AD a 42 x 6.x Mặt khác AH x a SA a 6 AS 2 AD2 7 7x2 AB CD .AD 2a a .a 3a2 Diện tích hình thang ABCD : S ABCD 2 2 2 1 3a2 6 Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là: V a 6 a3 . S.ABCD 3 2 2 b) Bài tập luyện tập(NB-TH) Câu 1: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , AB a , AC 2a , cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và SA a . Tính thể tích V của khối chóp S.ABC . a3 a3 a3 A.V a3 . B.V . C.V . D.V . 2 3 4 Câu 2: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và SA a . Tính thể tích V của khối chóp S.ABC . 2a3 a3 3 a3 3 a3 3 A.V B.V C.V D.V . 3 12 3 4 8
9. Câu 3: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và SA a 2 . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD . a3 2 a3 2 a3 2 A. .B. .C. a3 2 . D. . 6 4 3 Câu 4: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a , cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và SB a 5 . Tính thể tíchV của khối chóp S.ABC . a3 3 a3 3 a3 3 A.V .B. V a3 3 .C. V .D. V . 3 2 6 Câu 5: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a 2 , cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và SC = a 5 . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD 2a3 a3 4a2 A.V .B. V . C.V 2a3 . D.V . 3 3 3 Câu 6: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và SA AC a 2 . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD a3 2 a3 6 a3 6 A.V .B. V .C. V a3 2 . D.V 3 9 3 Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Biết SA  ABCD và SB a 3 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD . a3 2 a3 2 a3 2 A.V .B. a3 3 .C. V .D. V . 2 3 6 (VD) Câu 8: Cho hình chóp S.ABC có SA a và vuông góc với đáy ABC . Biết rằng tam giác ABC đều và mặt phẳng SBC hợp với đáy ABC một góc30 . Tính thể tích V của khốichóp S.ABC . a3 3 2a3 a3 3 a3 A. V . B. V . C. V . D. V . 3 3 12 3 Câu 9: Cho khối chóp S.ABC có SA vuông góc với ABC , đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , BC 2a , góc giữa SB và ABC là 30 . Tính thể tích khối chóp S.ABC . a3 6 a3 6 a3 3 a3 2 A. . B. . C. . D. . 9 3 3 4 Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Hai mặt phẳng SAC và SAB cùng vuông góc với ABCD . Góc giữa SCD và ABCD là 60 . Tính thể tích của khối chóp S.ABCD . a3 3 a3 6 a3 3 a3 3 A. . B. . C. . D. . 3 3 6 3 Câu 11: (Sở Giáo dục & Đào tạo Bình Phước) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O , cạnh 2a . Biết SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a 2. Thể tích của khối chóp S.ABO là 9
10. 4a3 2 2a3 2 a3 2 a3 2 A. B. C. D. 3 12 3 12 Câu 12: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a, BD 2a ; Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa mp(SBD) và mp(ABCD) bằng 60 . Thể tích V của khối chóp S.ABCD là: a3 3 a3 3 a3 3 A.V . B.V . C.V . D.V a3 . 2 4 6 Câu 13: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , BC a 2 , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy , mặt bên SBC tạo với mặt đáy ABC một góc bằng 45. Tính thể tích V của khốichóp S.ABC . a3 3 a3 2 a3 2 a3 3 A. V . B. V . C. V . D. V 12 4 6 18 Câu 14: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy ABCD . Mặt bên SCD hợp với đáy một góc 60 . Tính thể tích V của khốichóp S.ABCD . a3 3 a3 3 a3 3 a3 2 A. V . B. V . C. V . D. V 6 3 12 6 Câu 15: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a ,cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy,góc giữa mặt phẳng SBD và mặt phẳng đáy bằng 60 . Tính thể tích V của khốichóp S.ABCD . a3 6 a3 3 a3 3 a3 3 A. V . B. V . C. V . D. V 6 2 12 7 Câu 16: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Đường thẳng SD tạo với mặt phẳng SAB một góc 30 . Tính thể tích V của khốichóp S.ABCD . a3 3 a3 3 a3 3 a3 3 A. V . B. V . C. V .D. V 2 4 12 3 Câu 17: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B AB BC a , SA a và vuông góc với mặt phẳng ABCD .Khoảng cách từ D đến mặt phẳng SAC bằng a 2 . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD . a3 3 a3 a3 3 a3 A. V .B. V . C. V . D. V 4 2 6 3 DẠNG 2: KHỐI CHÓP CÓ MẶT BÊN VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY NHẬN XÉT: Nếu khối chóp có mặt bên vuông góc với đáy thì đường thẳng hạ từ đỉnh của mặt bên đó xuống vuông góc với giao tuyến (giao giữa mặt bên đó với đáy) sẽ là đường cao của hình chóp. Ví dụ 1: (THPT TRẦN PHÚ) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a , tam giác SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABC . 10
11. a3 3a3 A. V . B. V a3 . C. V . D. V 3a3 . 2 2 Hướng dẫn giải Chọn B. S Gọi H là trung điểm của AB . SAB  ABC  SAB  ABC AB C  SH  ABC A SH  AB H SH  SAB  B AB 3 AB2 3 SH a 3 , S a2 3 . 2 ABC 4 1 V SH.S a3 . S.ABC 3 ABC Ví dụ 2: (TRƯỜNG THPT TH CAO NGUYÊN) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B , AB BC a , AD 2a . Hình chiếu của S lên mặt phẳng ABCD trùng với trung điểm cạnh AB . Biết rằng SC a 5 . Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABCD . a3 5 a3 15 a3 15 2a3 5 A. V B. V . C. V . D. V . 4 3 4 3 LỜI GIẢI Chọn C. S A D M B C a 5 a 15 Gọi M là trung điểm AB . Ta có: MC BC 2 MB2 suy ra SM . 2 2 1 a 15 a 2a a a3 15 Nên V . . S.ABCD 3 2 2 4 Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy ABCD . Biết SD 2a 3 và góc tạo bởi đường thẳng SC và mặt phẳng ABCD bằng 300 . Tính thể tích V của khốichóp S.ABCD . 2a3 3 a3 3 a3 3 4a3 6 A. V . B. V . C. V D.V 7 13 4 3 Lời giải Chọn.D. 11
12. Ta có SC SD 2a 3 , SI SC.sin S· CI 2a 3.sin 300 a 3 , CI SC.cosS· CI 2a 3.cos300 3a . AB 3 2 SI AB 2a . BC CI 2 BI 2 3a a2 2a 2 2 2 Từ đó: SABCD AB.BC 2a.2a 2 4a 2 1 1 4a3 6 Vậy V .S .SI .4a2 2.a 3 . S.ABCD 3 ABCD 3 3 b) Bài tập vận dụng NB-TH Câu 18: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Mặt bên SAB là tam giác đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD). Tính thể tích của khối chóp S.ABCD. a3 3 a3 3 a3 A. . B. . C. . D. a3 . 6 2 3 Câu 19: (THPT CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIÊU )Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, BC 2a . Mặt bên SBC là tam giác vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABC . 2a3 2a3 a3 A. V a3. B. V . C. V . D. V . 3 3 3 Câu 20: (TRƯỜNG PTDTNT THCS&THPT AN LÃO) Cho khối chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh 3a . Tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD , biết góc giữa SC và ABCD bằng 60o . 9a3 15 A. V 18a3 3. B. V . C. V 9a3 3 D. V 18a3 15. 2 (VD) Câu 21: (THPT LƯƠNG TÂM – HẬU GIANG) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B , AB a , AC 2a . Hình chiếu vuông góc của S lên ABC là trung điểm M của AC . Góc giữa SB và đáy bằng 60 . Thể tích S.ABC là bao nhiêu? 12
13. a3 3 a3 a3 a3 2 A. . B. . C. . D. . 2 2 4 12 Câu 22: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB 2a , AD a . Hình chiếu của S lên mặt phẳng ABCD là trung điểm H của cạnh AB , đường thẳng SC tạo với đáy một góc 450 . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD . 2 2a3 a3 2a3 3a3 A. V . B. V . C. V . D. V 3 3 3 2 Câu 23: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy ABCD . Biết SD 2a 3 và góc tạo bởi đường thẳng SC và mặt phẳng ABCD bằng300 . Tính thể tích V của khốichóp S.ABCD . 2 3a3 a3 3 A. V . B. V . 7 13 3a3 4 6a3 C. V . D. V . 4 3 Câu 24: (THPT Lạc Hồng-Tp HCM)Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a ; 3a hình chiếu của S trên ABCD trùng với trung điểm của cạnh AB ; cạnh bên SD . Tính 2 theo a thể tích của khối chóp S.ABCD . a3 7 a3 a3 3 a3 5 A. .B. . C. . D. . 3 3 3 3 Câu 25: Cho hình chóp S.ABC có SAB đều cạnh a , tam giác ABC cân tại C . Hình chiếu của S lên ABC là trung điểm của cạnh AB ; góc hợp bởi cạnh SC và mặt đáy là 30 . Thể tích khối chóp S.ABC tính theo a là: a3 3 a3 2 a3 3 a3 3 A. V B. V C. V D.V . 4 8 2 8 (VD) Câu 26:( THPT QUẢNG XƯƠNG I)Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SAB đều cạnh a nằm trong mặt phẳng vuông góc với ABCD . Biết SCD tạo với ABCD một góc bằng 300 . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD. a3 3 a3 3 a3 3 a3 3 A. V . B. V . C. V . D. V . 8 4 2 3 Câu 27: (THPT PHAN ĐÌNH TÙNG ) Cho hình chóp S.ABC có đáy là ABC tam giác vuông cân đỉnh A, AB AC a . Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABC là trung điểm H của BC . Mặt phẳng SAB hợp với mặt phẳng đáy một góc bằng 60 . Tính thể tích khối chóp S.ABC . a3 2 a3 3 a3 3 a3 3 A. V . B. V . C. V . D. V . 12 4 6 12 13
14. Câu 28: [2H1-2.2-3] [THPT Xuân Trường - Giữa HKI (2017 - 2018)]Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , có BC a ; Mặt bên SAC vuông góc với đáy, các mặt bên còn lại đều tạo với mặt đáy một góc 450. Tính thể tích khối chóp SABC . a3 a3 a3 A. . B. a3 . C. . D. . 12 6 24 (VDT) Câu 29: (SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTỈNH PHÚ THỌ)Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB a , AD a 3 , tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông 3a góc với đáy, khoảng cách giữa AB và SC bằng . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD . 2 2a3 3 A. V a3 3 . B. V 2a3 3 . C. V . D. V 3a3 3 . 3 Câu 30: (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ LẦN 8) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , AB a 2 , AC a 5 . Hình chiếu của điểm S trên mặt phẳng ABC trùng với trung điểm của đoạn thẳng BC . Biết rằng góc giữa mặt phẳng SAB và mặt phẳng ASC bằng 60 . Thể tích của khối chóp S.ABC là 5a3 6 5a3 10 a3 210 a3 30 A. . B. . C. .D. . 12 12 24 12 DẠNG 3: KHỐI CHÓP CÓ 2 MẶT BÊN CÙNG VUÔNG GÓC VƠI ĐÁY NHẬN XÉT : Nếu khối chóp có 2 mặt bên cùng vuông góc với đáy thì giao tuyến của 2 mặt bên đó chính là đường cao của khối chóp. Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD.Đáy ABCD là hình chữ nhật. Góc giữa cạnh SD và đáy là 30’ độ. Mặt (SAB) và ( SBD) cùng vuông góc với đáy. SD=a ,AB= a/2 .Tính thể tích khối chóp S.ABCD. Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a. I là trung điểm của AB. Mặt (SBD) và mặt (SIC) cùng vuông góc với đáy.Góc giữa cạnh SB và đáy là 600 .Tính thể tích khối S.ABCD. DẠNG 4 : KHỐI CHÓP ĐỀU Nhận xét : Trong khối chóp đều thì đường cao là đường thẳng nối đỉnh và tâm của đáy. Ví dụ 1: [2H1-2] (câu 27 đề 104) Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a . Tính thể tích V của khối chóp S.ABC 13a3 11a3 11a3 11a3 A. V . B. V . C. V . D. V . 12 12 6 4 Lời giải Chọn B. 14
15. S A C O I B Do đáy là tam giác đều nên gọi I là trung điểm cạnh BC , khi đó AI là đường cao của tam a2 a 3 2 2a 3 a 3 giác đáy. Theo định lý Pitago ta có AI a2 , và AO AI . 4 2 3 3.2 3 a2 11a Trong tam giác SOA vuông tại O ta có SO 4a2 3 3 1 1 a 3 11a 11a3 Vậy thể tích khối chóp S.ABC là V . a . . 3 2 2 3 12 Ví dụ 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy một góc 600 . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD . a3 6 a3 6 a3 3 a3 6 A. V . B. V . C. V . D. V 2 3 2 6 Lời giải Chọn.D. 2 Ta có: SABCD a . a 2 a 6 Chiều cao SO : SO OB.tan S· BO .tan 600 . 2 2 1 1 a 6 a3 6 Vậy V .S .SO .a2. . S.ABCD 3 ABCD 3 2 6 Ví dụ 3: [B2D4M2](THPT LƯƠNG VĂN CHÁNH) Một hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng b và cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy một góc . Thể tích của hình chóp đó là 15
16. 3 3 3 3 A. b3 cos2 sin . B. b3 sin2 cos . C. b3 cos2 sin . D. b3 cos sin . 4 4 4 4 Lời giải Chọn A. Gọi M là trung điểm BC , H là tâm tam giác ABC . Ta có: SH  ABC . SH SAsin bsin Xét tam giác SHA vuông tại H , ta có: AH SAcos bcos 3 3 AM AH bcos . 2 2 AB 3 2AM Mà: AM AB 3 cos . 2 3 2 1 1 3 3bcos V .SH.S .bsin . SABC 3 ABC 3 4 3 b3 cos2 sin 4 NB-TH Câu 31: (GK1-THPT Nghĩa Hưng C) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và chiều cao của hình chóp là a 2 . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC a3 6 a3 6 a3 a3 6 A. .B. . C. . D. . 4 12 6 6 Câu 32: Tính thể tích của chóp tam giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a . a3 2 a3 2 a3 2 a3 2 A. .B. . C. . D. . 12 4 6 2 Câu 33: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a 3 , cạnh bên bằng 2a . Tính thể tíchV của khối chóp S.ABC . a3 3 3a3 3 3a3 3 3a3 A.V . B.V . C. V .D. V . 4 2 4 4 Câu 34: (THPT TRIỆU SƠN 2) Kim tự tháp Kê – ốp ở Ai Cập được xây dựng vào khoảng 2500 năm trước Công nguyên. Kim tự tháp này là một khối chóp tứ giác đều có chiều cao 147m , cạnh đáy dài 230m . Thể tích của nó là 16
17. A. 2592100m3 . B. 2592100m2 . C. 7776300m3 . D. 3888150m3 . Câu 35: (THPT A HẢI HẬU) Cho H là khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a . Thể tích của H bằng a3 3 a3 3 a3 a3 2 A. . B. . C. . D. . 4 2 3 6 Câu 36: (THPT CHUYÊN TUYÊN QUANG) Cho hình chóp đều S.ABCD có chiều cao bằng a 2 và độ dài cạnh bên bằng a 6 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD . 8a3 2 10a3 2 8a3 3 10a3 3 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Câu 37: [Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - KSCL - Lần 1 (2017 - 2018)]Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a , cạnh bên bằng 3a . Tính thể tích V của khối chóp đã cho 4 7a3 4a3 4 7a3 A. V 4 7a3 . B. V . C. V .D. V . 9 3 3 Câu 38: (THPT QUANG TRUNG)Cho hình chóp đều S.ABC , cạnh đáy bằng a . Gọi M , N theo thứ tự là trung điểm SB , SC . Biết (AMN)  (SBC) . Khi đó VS.ABC là 3a3 3 a3 2 a3 5 a3 5 A. . B. . C. . D. . 2 15 24 12 (VD.) Câu 39: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a , góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 600. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD 2a3 3 2a3 6 4a3 3 a3 3 A. . B. .C. . D. . 3 3 3 3 Câu 40: (GK1-THPT Nghĩa Hưng C) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 3a . Góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng300 . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD 3a3 6 3a3 6 a3 6 A. . B. .C. . D. 3a3 6 . 4 2 2 Câu 41: (THPT TIÊN DU SỐ 1)Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a . Góc giữa cạnh bên và mặt đáy là 45. Thể tích hình chóp S.ABC là: a3 3 a3 a3 a3 3 A. . B. .C. . D. . 4 4 12 12 Câu 42: (SGD – HÀ TĨNH )Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng nhau, đường cao của một mặt bên là a 3 . Thể tích V của khối chóp đó là: 2 2 4 2 2 2 A. V a3 . B. V a3 . C. V a3 . D. V a3 . 3 3 6 9 Câu 43: (THPT CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN) Một hình chóp tứ giác đều có đáy là hình vuông cạnh a , các mặt bên tạo với đáy một góc . Thể tích khối chóp đó là a3 a3 a3 a3 A. sin . B. tan . C. cot .D. tan . 2 2 6 6 17
18. Câu 44: (THPT CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN)Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằngb . Thể tích của khối chóp là a2 a2 a2 A. 3b2 a2 . B. 3b2 a2 . C. 3b2 a2 . D. a2 3b2 a2 . 4 12 6 Câu 45: [THCS, THPT Nguyễn Khuyến - KT Định kỳ ]Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a , góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng . Khi đó thể tích khối chóp S.ABCD bằng a3 2 a3 a3 2 a3 2 A. tan . B. tan .C. tan . D. cot . 2 6 6 6 Câu 46: [THPT Xuân Trường - Giữa HKI ]Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a và cạnh bên tạo đáy góc 600 . Thể tích của khối chóp đó bằng: a3 3 a3 3 a3 3 a3 3 A. . B. . C. . D. . 12 6 36 18 Câu 47: (TRƯỜNG THPT TH CAO NGUYÊN) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD , đáy ABCD có diện tích 16cm2 , diện tích một mặt bên là 8 3 cm2. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD . 32 2 32 13 32 11 32 15 A. V cm3. B. V cm3. C. V cm3. D. V cm3. 3 3 3 3 (VD) Câu 48: [2H1-2.3-3] [THPT Trấn Biên - Đồng Nai - Giữa HKI (2017 - 2018)]Cho một hình chóp tứ giác đều có góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy bằng 600 và diện tích xung quanh bằng 8a2. Tính diện tích S của mặt đáy hình chóp. A. 4a2 3 .B. 4a2 . C. 2a2 . D. 2a2 3 . Câu 49: Cho hình chóp đều S.ABC ,góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy (ABC) là 600 khoảng 3a cách giữa 2 đường thẳng SA và BC bằng . Tính thể tích khối chóp S.ABC 2 7 a3 3 a3 3 a3 3 a3 3 A. . B. . C. . D. . 24 18 16 12 18