Ôn tập Toán 12 - Chuyên đề: Tiệm cận

Nội dung tài liệu: Ôn tập Toán 12 - Chuyên đề: Tiệm cận

1. Các dạng bài toán TIỆM CẬN (VD - VDC) Dạng 1: Bài toán xác định số tiệm cận của đồ thị hàm số cụ thể không chứa tham số. x2 1 Câu 1: [2D1-3] Cho hàm số y . Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: x A. Đồ thị hàm số chỉ có hai tiệm cận trong đó có tiệm cận ngang là y 1 và tiệm cận đứng là x 0 . B. Đồ thị có hai tiệm cận ngang. C. Đồ thị chỉ có một tiệm cận đứng x 0 . D. Đồ thị hàm số chỉ có hai tiệm cận trong đó có tiệm cận ngang là y 1 và tiệm cận đứng là x 0 . Lời giải Chọn C. 1 2 1 2 x 1 2 x 1 Vì lim lim x , lim x x x 1 x 0 x x x2 1 Nên đồ thị hàm số y chỉ có một tiệm cận đứng x 0 . x Câu 2: [2D1-3] Đồ thị hàm số y x2 4x 10 x có bao nhiêu đường tiệm cận? A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 Lời giải ChọnB. 4x 10 Ta có y x2 4x 10 x x2 4x 10 x Nên lim x2 4x 10 x x 10 4 4x 10 lim x2 4x 10 x lim lim x 2 x x 2 x 4 10 x 4x 10 x 1 1 x x2 Vậy đồ thị hàm số có một đường tiệm cận ngang là đường thẳng y 2 . Câu 3: [2D1-3] [THPT Quảng Xương 1 lần 2] Số các đường tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm x 3 2 số y là: x2 1 A. 3 . B. 0 . C. 1. D. 2 . Hướng dẫn giải ChọnD. TXĐ: D  3; \ 1;1.
2. x 3 2 lim y lim 0 nên ĐTHS có 1 đường TCN là y 0. x x x2 1 1 1 lim y lim nên đường thẳng x 1 không phải là tiệm cận đứng. Đồ x 1 x 1 (x 1)( x 3 2) 8 thị hàm số có 1 đường tiệm cận đứng là x 1. Câu 4: [2D1-3] (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ 4x2 1 3x2 2 thị y là: x2 x A. 2. B. 3. C. 4. D. 1. Lời giải Chọn A 1 1 Tập xác định: D ;  ;1  1; 2 2 Tiệm cận đứng: 4x2 1 3x2 2 4x2 1 3x2 2 lim y lim ; lim y lim x 1 x 1 x x 1 x 1 x 1 x x 1 Suy ra x 1 là tiệm cận đứng. Tiệm cận ngang: 4 1 2 3 4x2 1 3x2 2 2 4 2 lim y lim lim x x x 3 y 3 là tiệm cận ngang x x 2 x 1 x x 1 x 4 1 2 3 4x2 1 3x2 2 2 4 2 lim y lim lim x x x 3 y 3 là tiệm cận ngang x x 2 x 1 x x 1 x Vậy đồ thị hàm số có hai tiệm cận. Câu 5: [2D1-3] [THPT Lê Hồng Phong] Tổng số các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ 2017 5 x2 thị hàm số y bằng? x2 5x 6 A. 1. B. 4 . C. 3 . D. 2 . Hướng dẫn giải ChọnA. Hàm số có tập xác định là D 5; 5 \ 2. Do đó không có các quá trình x và x 3. 2017 5 x2 2017 5 x2 Do lim 2 và lim 2 nên x 2 là tiệm cận đứng. x 2 x 5x 6 x 2 x 5x 6 Vậy đồ thị hàm số đã cho chỉ có 1 tiệm cận đứng và không có tiệm cận ngang.
3. Câu 6: [2D1-3] [THPT chuyên Phan Bội Châu lần 2] Số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của 4x2 1 3x2 2 đồ thị y là. x2 x A. 4 . B. 3 . C. 2 . D. 1. Hướng dẫn giải ChọnC. 1 1 Tập xác định: D ;  ;1  1; . 2 2 Tiệm cận đứng: 4x2 1 3x2 2 4x2 1 3x2 2 lim y lim ; lim y lim . x 1 x 1 x x 1 x 1 x 1 x x 1 Suy ra x 1 là tiệm cận đứng. Tiệm cận ngang: 4 1 2 3 4x2 1 3x2 2 2 4 2 lim y lim lim x x x 3 y 3 là tiệm cận ngang. x x 2 x 1 x x 1 x 4 1 2 3 4x2 1 3x2 2 2 4 2 lim y lim lim x x x 3 y 3 là tiệm cận ngang. x x 2 x 1 x x 1 x Vậy đồ thị hàm số có hai tiệm cận. Câu 7: [2D1-3] [THPT chuyên Lương Thế Vinh] Số tiệm cận của đồ thị hàm số 1 f x . x2 2x x2 x A. hai. B. bốn. C. một. D. ba. Hướng dẫn giải ChọnD. Hàm số xác định khi x 0 hoặc x 2 . 1 Ta có: lim f (x) lim nên x 0 là đường tiện cận đứng. x 0 x 0 x2 2x x2 x 1 Ta có: lim f (x) lim . x x x2 2x x2 x 2 1 1 1 x2 2x x2 x lim lim x x 2 . x x x 1 Nên hàm số có tiệm cận ngang y 2. 1 Ta có: lim f (x) lim . x x x2 2x x2 x
4. x2 2x x2 x 2 1 lim lim 1 1 2 . x x x x x Nên hàm số có tiệm cận ngang y 2 . Câu 8: [2D1-3] [TTGDTX Cam Ranh - Khánh Hòa] Đồ thị của hàm số nào sau đây có đúng 1 tiệm cận? A. y x4 x2 1. B. y x 1 x 2 . x 2 2x 1 C. y . D. y . x 2 1 x 2 Hướng dẫn giải ChọnB. 3 Hàm số xác định trên 1; . lim x 1 x 2 lim 0 . Nên x x x 1 x 2 đường thẳng y 0 là tiệm cận ngang. Câu 9: [2D1-3] [TTGDTX Cam Lâm - Khánh Hòa] Đồ thị hàm số nào sau đây có đúng hai tiệm cận ngang? x - 2 4- x2 x2 - x x + 2 A. y = B. y = . C. y = . D. y = . x + 1 x + 1 x + 2 x - 2 . Hướng dẫn giải ChọnA. Ta có. 1 x 1- x2 - x x2 - x ￿ lim = lim = lim x = 1 nên hàm số này chỉ có 1 tiệm cận ngang, x® - ¥ x + 2 x® + ¥ x + 2 x® + ¥ x + 2 loạiA. 4- x2 ￿Hàm số y = có tập xác định là D = [- 2,2]\ {- 1} nên khog6 có tiệm cận ngang. x + 1 x - 2 - x- 2 ￿ lim = lim = - 1Þ y = - 1 là tiệm cận ngang, x® - ¥ x + 1 x® - ¥ x + 1 x - 2 x- 2 lim = lim = 1Þ y = 1 là tiệm cận ngang, chọnC. x® + ¥ x + 1 x® + ¥ x + 1 x + 2 ￿Hàm số y = có tập xác định D = [- 2,+ ¥ )\ {2} nên hàm số này chỉ có tối đa 1 tiệm x - 2 cận ngang, loạiD. Câu 10: [2D1-3] [THPT Yên Lạc-VP] Tìm tất cả các đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 5 x2 3x2 2x 3 y . x2 4x 3 A. x 1 và x 3. B. x 3. C. Không có. D. x 1. Hướng dẫn giải
5. ChọnC. Tập xác định của hàm số 5; 5 \ 1 . 5 x2 2 3x2 2x 5 1 x 3x 5 17 lim y lim lim . x 1 x 1 2 2 x 1 2 x 4x 3 x 4x 3 x 3 5 x 2 x 3 4 Suy ra x 1 không phải là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Dạng 2: Bài toán xác định tiệm cận của đồ thị hàm số có bảng bảng biến thiên cho trước. (5 câu) Câu 11: [2D1-2] Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây sai? A. Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận. B. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y 1. C. lim y . x 1 D. Đồ thị hàm số y f x 1 có đường tiệm cận ngang là y 0. Lời giải ChọnC. + Dễ thấy A, B đúng. + Từ bảng biến thiên ta có lim f x 1 lim f x 1 0 nên D đúng. x x + Ta chỉ có lim y nên C sai. x 1 Câu 12: [2D1-2] Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây sai? A. Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận. B. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x 1. C. Phương trình f x 1có 3 nghiệm phân biệt. D. lim y 1 0 . x Lời giải ChọnC.
6. Vì lim f x 1nên đồ thị hàm số y f x không cắt đường thẳng y 1 ở nhánh thứ 3 . x Câu 13: [2D1-3] Cho hàm số y f (x) có đạo hàm trên ¡ và có bảng biến thiên như hình vẽ. Tìm tổng f (x) 1 số tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số y . x A. 3. B. 0 . C. 2. D. 1. Lời giải ChọnD. f (x) 1 Vì lim f x 1nên lim 0 x x x f (x) 1 Vì lim f x 5nên lim 0 x x x f (x) 1 Vậy đồ thị hàm số y có một tiệm cận ngang. x f (x) 1 f (x) f (0) lim lim f '(0) x 0 x x 0 x 0 Vậy đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng. Câu 14: [2D1-3] Cho hàm số y f (x) có đạo hàm trên ¡ và có bảng biến thiên như hình vẽ. Tìm tổng 1 số tiệm cận đứng và ngang của hàm số y xf x A. 3. B. 0 . C. 2. D. 1. Lời giải ChọnD. æ1ö Ta có lim xf ç ÷= 0.1= 0 x® 0+ èçxø÷ æ1ö lim xf ç ÷= 0.5 = 0 x® 0- èçxø÷ Vậy đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng. 1 Xét lim xf x x
7. 1 1 f (u) f (u) f (0) Đặt u , ta có lim xf lim lim f '(0) 0 x x x u 0 u u 0 u 1 f (u) f (u) f (0) lim xf lim lim f '(0) x x u 0 u u 0 u Vậy đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang. Dạng 3: Cho bảng biến thiên của hàm số f x . Xác định tiệm cận của đồ thị hàm hợp của f x . Loại 1: Hàm hợp y g f x . Câu 15: [2D1-3] Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ \ 1 và có bảng biến thiên như sau: 1 Đồ thị hàm số y có bao nhiêu đường tiệm cận đứng? 2 f x 5 A. 0 . B. 4. C. 2. D. 1. Lời giải Chọn B 5 Ta có: 2 f x 5 0 f x 1 . Phương trình 1 có 4 nghiệm phân biệt x , x , x , x 1 2 1 2 3 4 1 và giới hạn của hàm số y tại các điểm x , x , x , x đều bằng . 2 f x 5 1 2 3 4 1 Mặt khác lim 0 nên x 1 không phải tiệm cận đứng. Vậy đồ thị hàm số x 1 2 f x 5 1 y có 4 đường tiệm cận đứng. 2 f x 5 Câu 16: [2D1-4] Cho hàm số y f x có BBT như sau x2 x 2 Số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y là f 2 x 5 f x A. 3 . B. 4 . C. 1. D. 2 . Lời giải
8. Chọn D x 2 f x 0 x 1 f 2 x 5 f x 0 f x 5 x 1 x 2 2 x 1 x x 2 0 x 2 x2 x 2 Như vậy rút gọn biểu thức y chỉ còn hai nghiệm dưới mẫu thức là x 1, f 2 x 5 f x x 2 Vậy đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng: x 1, x 2. Câu 17: [2D1-4] Cho hàm số bậc ba f x ax3 bx2 cx d có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Hỏi x2 3x 2 2x 1 đồ thị hàm số g x có bao nhiêu đường tiệm cận đứng? x4 5x2 4 . f x A. 4. B. 3. C. 2. D. 6. Lời giải Chọn C Dựa vào BBT của hàm số f x ta thấy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x0 0;1 , có hệ số a 0 và tiếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2. Từ đó suy ra 2 f x a x x0 x 2 . x2 3x 2 2x 1 x2 3x 2 2x 1 Suy ra g x xác định trên 4 2 4 2 2 x 5x 4 . f x x 5x 4 .a x x0 x 2 1 2x 1 D ; \ x0 ,1,2 và g x 2 . 2 a x 1 x 2 x 2 x x0 Ta có lim g x , lim g x và lim g(x) hữu hạn nên đồ thị hàm số có 2 tiệm cận / / x x0 x 2 x 1 đứng là x x0 và x 2 . Câu 18: [2D1-4] Cho hàm bậc bốn y f x có bảng biến thiên như sau.
9. f 2 x x2 x Hỏi đồ thị hàm số y có bao nhiêu tiệm cận 2 5 4 3 2 f (x) 2 f (x) 2x x 10x 5x 8x 4 đứng và ngang? A. 7 . B. 6 . C. 5. D. 4 . Lời giải Chọn D Dựa vào BBT ta có: f x a.x2 x 1 x 2 . f x 0 2 5 4 3 Xét: f (x) 2 f (x) 2x x 10x 8x 4 0 f x 2 5 4 3 2 2x x 10x 5x 8x 4 0 x 0 x 1 x 2 x x1 1 x1 0 x x2 2 x2 3 x 2 x 1 1 x 2 f 2 x x2 x y 2 5 4 3 2 f (x) 2 f (x) 2x x 10x 5x 8x 4 f x x2 x 5 4 3 2 f (x) 2 2x x 10x 5x 8x 4 2 2 ax x 1 x 2 x x ax2 x2 x f (x) 2 x 2 x 1 2x 1 x x1 x x2 x 2 x 1 2x 1 x 1 v x 0 Nên điều kiện xác định của hàm số là: x x , 2, 1 2 
10. Ta có: lim y 0 Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y 0 và hàm số có các đường tiệm cận đứng là x x x2 , x 1, x 2 Vậy đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang. Câu 19: [2D1-3] Hàm số y = f (x) xác định và có đạo hàm trên ¡ \ {- 2;2}, có bảng biến thiên như sau: 1 Gọi k, l lần lượt là số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = . f (x)- 2018 Tính k + l. A. k + l = 2. B. k + l = 3. C. k + l = 4. D. k + l = 5. Lời giải. ChọnD. ĐƯỜNG TIỆM CẬN ĐỨNG 1 Để biết đồ thị hàm số y = có bao nhiêu đường tiệm cận đứng ta xem phương trình f (x)- 2018 f (x)- 2018 = 0 có bao nhiêu nghiệm. Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đường thẳng y = 2018 cắt đồ thị hàm số y = f (x) tại ba điểm. ĐƯỜNG TIỆM CẬN NGANG 1 Để xét tiệm cận ngang thì ta cho x ® - ¥ hoặc x ® + ¥ mà hàm số y = nhận giá trị hữu f (x)- 1 hạn. 1 lim f (x)= + ¥ ¾ ¾® lim = 0 ¾ ¾® y = 0 là TCN. x® - ¥ x® - ¥ f (x)- 2018 1 - 1 lim f (x)= - 1¾ ¾® lim = là TCN. x® + ¥ x® + ¥ f (x)- 2018 2019 Câu 20: [2D1-3] Hàm số y = f (x) xác định và có đạo hàm trên ¡ \ {- 1;1}, có bảng biến thiên như sau:
11. 2018 Hỏi có bao nhiêu giá trị m nguyên thuộc đoạn  10;10 để đồ thị hàm số y = có đúng f (x)- m 2 tiệm cận đứng? A. 2. B. 3. C. 4. D. 8. Lời giải. ChọnD. 2018 Để biết đồ thị hàm số y = có bao nhiêu đường tiệm cận đứng ta xem phương trình f (x)- m f (x)- m = 0 có bao nhiêu nghiệm. Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = f (x) tại hai điểm phân biệt khi m 2 . Kết hợp với m nguyên thuộc đoạn  10;10 nên sẽ có 8 giá trị m thỏa mãn Câu 21: [2D1-3] Cho hàm số y = f (x) xác định liên tục trên ¡ \{- 2} và có bảng biến thiên như hình dưới đây : f (x) m Có bao nhiêu giá trị m nguyên, khác 0 , để đồ thị hàm số g(x) chỉ có tiệm cận ngang f (x) m mà không có tiệm cận đứng. A. 2. B. 3. C. 4. D. 8. Lời giải. ChọnB. Từ BBT ta thấy lim g(x) 1; lim g(x) 1; với mọi giá trị m khác 0 . Nên với mọi giá trị m khác x x 0 đồ thị hàm số luôn có tiệm cận ngang. Lại thấy với mỗi giá trị m khác 0 thì nghiệm của pt f (x) m và pt f (x) m theo như BBT là luôn khác nhau (Trong trường hợp có nghiệm). Vậy để đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng chỉ cần phương trình f (x) m vô nghiệm 2 m 2 2 m 2. Vậy có 3 giá trị m nguyên.
12. Câu 22: [2D1-3] Cho hàm số y = f (x) xác định liên tục trên ¡ \{- 2} và có bảng biến thiên như hình dưới đây : 1 Tính tổng tất cả các giá trị m nguyên thuộc  10;10 để đồ thị hàm số g(x) có tất f (x) m cả 5 tiệm cận A. 45. B. 27. C. 34. D. 40. Lời giải. ChọnB. Từ BBT ta thấy lim g(x) 0; lim g(x) 0; với mọi giá trị m. Nên với mọi giá trị m đồ thị hàm x x số luôn có 1 tiệm cận ngang. Để đồ thị hàm số có tất cả 5 tiệm cận thì cần phải có 4 tiệm cận đứng phương trình f (x) m phải có 4 nghiệm phân biệt m 7 . Vậy m 8;9;10 nên tổng tất cả các giá trị m nguyên thuộc  10;10 là 27. Loại 2: Hàm hợp y g f u x Câu 23: [2D1-3]. Cho hàm số y f (x) có bảng biến thiên như sau: 1 Đồ thị hàm số y có bao nhiêu đường tiệm cận đứng. f (2 x) 2 A. 1. B. 2. C. 3 . D. 4. Lời giải Chọn C Từ bảng biến thiên ta có phương trình f (2 x) 2 có ba nghiệm phân biệt nên đồ thị hàm số 1 y có ba tiệm cận đứng. f (2 x) 2 Nhận xét: ở dạng này 2 x là bậc nhất nên số nghiệm phương trình f (x) 2 bằng số nghiệm phương trình f (2 x) 2 . Do vậy ở dạng này có thể tổng quát: tìm số tiệm cận đứng của hàm 1 số y ( với f (x) là hàm đa thức, u(x) là hàm bậc nhất). f (a x) k
13. Câu 24: [2D1-3]. Cho hàm số y f (x) có bảng biến thiên như sau: 1 Đồ thị hàm số y có bao nhiêu đường tiệm cận đứng. f (4 x2 ) 3 A. 1. B. 2. C. 3 . D. 4. Lời giải Chọn C 4 x2 2 x 6 Xét phương trình f (4 x2 ) 3 2 4 x 4 x 0 Vậy hàm số có 3 tiệm cận đứng. Câu 25: [2D1-3]. Cho hàm số y f (x) xác định trên ¡ \{-1;1}, có đạo hàm trên ¡ \{-1;1} và có bảng biến thiên như sau: 1 Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y là f (2x 3) 2 A. 5 . B. 2. C. 3 . D. 4. Lời giải Chọn A Phương trình f (2x 3) 2 có 3 nghiệm nên đồ thị hàm số có 3 tiệm cận đứng. 1 1 1 lim và lim 0 nên đồ thị có 2 tiệm cận ngang. x f (2x 3) 2 4 x f (2x 3) 2 Vậy đồ thị hàm số có 5 đường tiệm cận. Câu 26: [2D1-3]. Cho hàm số y f (x) có bảng biến thiên như sau:
14. 1 Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y là f 2 (x 2) 1 A. 5 . B. 2. C. 3 . D. 4. Lời giải Chọn C Ta có phương trình f (x 2) 1 có 2 nghiệm nên đồ thị hàm số có 2 tiệm cận đứng. 1 1 Mặt khác lim nên đồ thị có 1 tiệm cận ngang. x f 2 (x 2) 1 3 Vậy đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận. Dạng 4: TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ ĐỂ ĐỒ THỊ HÀM SỐ CÓ SỐ TIỆM CẬN CHO TRƯỚC Ở đây ta chỉ xét đến hai loại tiệm cận: tiệm cận ngang và tiệm cận đứng. 1. Cơ sở lý thuyết ￿ Tiệm cận ngang: Cho hàm số y f x xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng a; , ;b hoặc ; ). Đường thẳng y y0 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y f x nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn lim f x y0 , lim f x y0 . x x ￿ Tiệm cận đứng: Đường thẳng x x0 được gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y f x nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn lim f x , lim f x , lim f x , lim f x . x x0 x x0 x x0 x x0 ￿ Các quy tắc tính giới hạn. 2. Phương pháp ￿ Tìm tập xác định của hàm số (hoặc điều kiện xác định của hàm số). ￿ Nếu tập xác định “không chứa ký hiệu vô cực” thì hàm số không có tiệm cận ngang, nếu “có chứa ký hiệu vô cực” thì phải tìm giới hạn của hàm số (khi x tiến tới hoặc ) theo định nghĩa để tìm tiệm cận ngang. ￿ Nếu tập xác định “có chứa điểm dính” (điểm không thuộc tập xác định nhưng có dãy số tiến tới nó) thì ta tìm giới hạn của hàm số khi x tiến tới điểm dính theo định nghĩa để tìm tiệm cận đứng (thường những điểm đó hàm số không xác định, hoặc cụ thể hơn là thường làm cho mẫu bằng 0 ). 3. Các ví dụ minh họa. 2x 1 Câu 27: [2D1-3] Biết đồ thị hàm số y có đúng 1 đường tiệm cận. Khi mx2 2x 1 4x2 4mx 1 đó m thuộc tập nào sau đây? A. 1;2 . B. ; 1 . C.  . D. 2; . Lời giải ChọnA.
15. mx2 2x 1 0 Hàm số xác định khi và chỉ khi . 2 4x 4mx 1 0 Vì lim y 0 nên hàm số luôn có 1 đường tiệm cận ngang y 0. Do đó ta tìm điều kiện để hàm x số không có tiệm cận đứng. mx2 2x 1 0 1 Xét phương trình: mx2 2x 1 4x2 4mx 1 0 2 4x 4mx 1 0 2 2x 1 1 +) TH1: Xét m 0 , ta được y (thỏa ycbt). 2x 1 4x2 1 4x2 1 2 +) TH2: Xét m 0 . Có: 1 1 m và 2 4m 4 1 m 0 m 1 m Th2a. Cả 2 phương trình 1 và 2 đều vô nghiệm 2  . 4m 4 0 1 m 1 1 Th2b: 1 vô nghiệm, 2 có nghiệm kép x : ta thấy trường hợp này vô lí (vì m 1). 2 1 Th2c: 2 vô nghiệm, 1 có nghiệm kép x : ta thấy trường hợp này vô lí (vì 1 m 1). 2 Vậy m 0 . Câu 28: [2D1-3] [THPT Chuyên Bình Long – 2017] Với giá trị nào của m , đồ thị hàm số x 1 x2 3x y có đúng hai đường tiệm cận? x2 m 1 x m 2 m 1 m 2 m 1 A. m ¡ . B. m 2 . C. . D. . m 3 m 2 m 3 Lời giải ChọnD. x 1 x2 3x x 1 x2 3x y . x2 m 1 x m 2 (x 1)(x m 2) x 3 x 0 Hàm số xác định khi: x 1 . x m 2 lim y 0 y 0 là tiệm cận ngang. Khi đó đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận khi nó x có thêm một tiệm cận đứng nữa.
16. x 1 x2 3x 1 +) TH1: m 2 1 m 3 : y và lim y 2 x 1 x 1 x 1 x2 3x x 1 nên x 1 là tiệm cận đứng. Do đó nhận m 3 . +) TH2: m 3 Ta có x 1 1 1 y và lim y x 1 x m 2 x 1 x2 3x x m 2 x 1 x2 3x x 1 3 m .4 nên x 1 không là tiệm cận đứng nếu m 3 . Khi đó nếu hàm số có tiệm cận đứng thì chỉ có thể là đường x m 2 . Trong trường hợp này, đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng m 2 3 m 1 . m 2 0 m 2 m 1 Vậy đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận khi và chỉ khi . m 2 Câu 29: [2D1-3] [THPT CHUYÊN VINH – 2017] Tìm tất cả các giá trị của tham số a để đồ thị hàm x2 a số y có 3 đường tiệm cận. x3 ax2 A. a 0 , a 1. B. a 0 . C. a 0 , a 1. D. a 0 , a 1. Lời giải ChọnA. Hàm số có tập xác định là D ¡ \ 0, a. x2 a Ta có lim y lim 0 nên y 0 là một tiệm cận ngang. x x x3 ax2 x2 a Khi đó đồ thị hàm số y có 3 đường tiệm cận khi và chỉ khi đồ thị hàm số x3 ax2 x2 a a 0 a 0 y 3 2 có hai tiệm cận đứng. Lúc đó 2 . x ax a a 0 a 1 Câu 30: [2D1-3] Giá trị của tham số m thuộc khoảng nào sau đây thì đồ thị hàm số y 2x mx2 x 1 1 có tiệm cận ngang? A. m 3;6 . B. m 1;3 . C. m 3; 1 . D. m 6; 3 . Lời giải ChọnA. Hàm số xác định khi và chỉ khi mx2 x 1 0 . Để đồ thị hàm số có tiệm cận ngang thì điều kiện cần là m 0 . +) TH1: m 0 thì tập xác định của hàm số là D ;1 . 1 1 1 Mà lim y lim 2x 1 x 1 lim x 2 nên đồ thị hàm số không có 2 x x x x x x tiệm cận ngang trong trường hợp này. +) TH2: m 4
17. 1 1 1 lim y lim 2x 4x2 x 1 1 lim x 2 4 . x x x 2 x x x 1 1 2 x 1 x lim y lim 2x 4x x 1 1 lim 1 lim 1 x x x 2 x 2x 4x x 1 1 1 2 4 2 x x 5 . 4 5 Trường hợp này, đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y . 4 m 0 +) TH3: m 4 1 1 1 lim y lim 2x mx2 x 1 1 lim x 2 m . x x x 2 x x x khi m 0;4 2 1 1 1 lim y lim 2x mx x 1 1 lim x 2 m . x x x 2 x x x khi m 4; Trường hợp này đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang. Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận ngang khi và chỉ khi m 4 . mx2 3mx 1 Câu 31: [2D1-3] Có bao nhiêu giá trị nguyên của m sao cho đồ thị hàm số y có ba x 2 tiệm cận? A. Vô số. B. 2 . C. 0 . D. 1. Lời giải ChọnC. mx2 3mx 1 0 Hàm số xác định khi và chỉ khi . x 2 Điều kiện cần để đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là m 0 . 3m 1 m mx2 3mx 1 2 Ta có lim y lim lim x x m . x x x 2 x 2 1 x 3m 1 m mx2 3mx 1 2 lim y lim lim x x m . x x x 2 x 2 1 x Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang thì m 0. Khi x 2 mx2 3mx 1 1 2m . 1 Với m 1 2m 0 thì đồ thị hàm số sẽ có tiệm đứng là x 2. 2 1 1 Với m 1 2m 0 , ta phải thử với trường hợp m . 2 2
18. 1 3 1 x2 x 1 x 1 x 2 1 m y 2 2 2 . 2 x 2 x 2 Lúc đó ta chỉ được xét giới hạn khi x 2 . 1 (x 1)(x 2) 1 x 1 lim y lim lim . x 2 x 2 2 x 2 2 x 2 x 2 1 Từ đó với m thì đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x 2. 2 1 Do đó đồ thị hàm số có ba tiệm cận 0 m . Mà m nguyên nên không có giá trị m nào 2 thỏa yêu cầu bài toán. m Câu 32: [2D1-3] Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y x2 1 x có tiệm cận 2 ngang. A. 0 . B. 1. C. Vô số. D. 2 . Lời giải ChọnD. Tập xác định D ¡ . +) TH1: Khi m 0 thì lim y . Do đó đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang. x +) TH2: Khi m 0 thì lim y và x 2 2 2 2 m m 2 m 1 x 1 x 1 x 1 1 x 2 m 2 4 4 x lim y lim x 1 x lim lim lim . x x 2 x 2 m x 2 m x 1 m x 1 x x 1 x 1 2 2 x2 2 m2 Giới hạn này hữu hạn khi và chỉ khi 1 0 m 2 do m 0 . Khi đó đồ thị hàm số có một 4 tiệm cận ngang là đường y 0. +) TH3: Khi m 0 thì lim y và x 2 2 2 2 m m 2 m 1 x 1 x 1 x 1 1 x 2 m 2 4 4 x lim y lim x 1 x lim lim lim . x x 2 x 2 m x 2 m x 1 m x 1 x x 1 x 1 2 2 x2 2 m2 Giới hạn này hữu hạn khi và chỉ khi 1 0 m 2 do m 0 . 4 Khi đó đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang là đường y 0. Vậy m 2 nên có 2 giá trị m thỏa đề. x 1 Câu 33: [2D1-4] [Sở GD Trà Vinh – Năm 2017 - 2018] Cho hàm số y có đồ thị C . Tìm ax2 1 tất cả các giá trị của tham số a để đồ thị của hàm số có đường tiệm cận, đồng thời đường tiệm cận đó cách tiếp tuyến của C một khoảng bằng 2 1. A. a 0 . B. a 2 . C. a 3. D. a 1.
19. Lời giải ChọnD. +) Trường hợp 1: a 0 : đồ thị hàm số là đường thẳng, không có tiếp tuyến. +) Trường hợp 2: a 0 : đồ thị hàm số chỉ có tiệm cận đứng, mà đồ thị hàm số lại không có tiếp tuyến song song với trục tung nên không thỏa mãn. 1 +) Trường hợp 3: a 0 : đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là y . a 1 ax 1 Tiếp tuyến song song với tiệm cận ngang y x 0 0 0 x . 0 2 2 0 a ax0 1 ax0 1 1 Khi đó tiếp tuyến có dạng y 1. a 1 1 1 2 1 a a Do khoảng cách giữa tiệm cận và tiếp tuyến bằng 2 1 nên . 1 1 1 2 1 a a t 2 1 t 2 1 1 1 Đặt t t 0 , ta được a t 2 1 t 2 1 2 Dễ thấy t 2 1 t t 2 1 t 1 0, mà t 2 1 t 0 , t 0 nên t 2 1 t 0 , t 0 . ￿ 1 t 2 1 t 2 1 t 2 1 t 2 1 t 1, suy ra a 1. ￿ 2 t 2 1 t 2 1 t 2 1 2 1 t t 1 (loại). Dạng5: Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số nhận đường thẳng x a, y b làm tiệm cận 2m n x2 mx 1 Câu 34: [2D1-3] [Sở Hải Dương – 2017] Biết đồ thị hàm số y nhận trục hoành x2 mx n 6 và trục tung làm hai đường tiệm cận. Tính m n . A. 2. B. 6 . C. 8 . D. 9 . Lời giải ChọnD. Đặt g x 2m n x2 mx 1, f x x2 mx n 6. Ta có lim y 2m n . Suy ra tiệm cận ngang là y 2m n . x Theo giả thiết ta có tiệm cận ngang là y 0. Do đó ta có 2m n 0 . 1 Mặt khác, tiệm cận đứng của đồ thị là x 0 suy ra f 0 0 n 6 0 n 6 . 2 Khi đó g 0 1 0.
20. Từ 1 và 1 suy ra n 6 và m 3 . Vậy m n 9 . Câu 35: [2D1-3] Cho hàm số y ax2 bx 2x . Đặt P a b . Tìm P biết hàm số có đường tiệm cận ngang là y 2 . A. P 3. B. P 12. C. P 8. D. P 0 . Lời giải. ChọnB. + Nếu a 0 thì không tồn tại lim y và lim y . x x + Nếu a 0 lim y lim ax2 bx 2x . x x + Nếu a 0 , chú ý rằng để lim y lim ax2 bx 2x có giới hạn hữu hạn thì a 4 và x x bx b lim y lim ax2 bx 2x lim . Theo yêu cầu bài toán thì x x x ax2 bx 2x 4 b 2 b 8 . Vậy a b 12 . 4 Dạng 6: Bài toán tiệm cận và diện tích, khoảng cách và bài toán tổng hợp Nhận xét: Ở các dạng bài toán trên ta thường xét hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất và lý thuyết tiệm cận thường gắn cùng bài toán tiếp tuyến. Bài toán có thể được cho dưới nhiều dạng, nhiều cách hỏi khác nhau song để giải quyết, hầu hết ta đều quy về việc tìm tọa độ tiếp điểm M . Ta có thể khái quát việc tìm M theo quy trình cơ bản sau: +) Giả sử M m; f m C , khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại M có dạng: : y f ' m x m f m . +) Tìm tọa độ các giao điểm A,B của tiếp tuyến với các đường tiệm cận. (Các giao điểm này có tọa độ tính theo tham số m ) +) Dựa vào giả thiết của bài toán, ta xây dựng một phương trình theo tham số m rồi tìm m và kết luận. Lưu ý +) Nếu yêu cầu bài toán là tiếp tuyến cắt các đường tiệm tạo thành tam giác IAB có diện tích 1 cho trước ( I là giao các đường tiệm cận) thì ta sử dụng công thức S IA.IB .(Ta sẽ chứng IAB 2 minh được diện tích tam giác IAB là một số không đổi). +) Nếu yêu cầu là tiếp tuyến cắt các đường tiệm cận mà tam giác IAB vuông cân thì ta có thể sử dụng điều kiện vuông cân của tam giác hoặc quy về bài toán viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến tạo với tiệm cận ngang một góc 450 , và chú ý rằng tiếp tuyến đó không được đi qua giao điểm của hai tiệm cận. Góc tạo bởi tiếp tuyến và tiệm cận đứng, tiệm cận ngang cũng chính là góc tạo bởi tiếp tuyến và các trục Ox,Oy . +) Nếu yêu cầu tiếp tuyến cắt các đường tiệm cận mà tạo thành tam giác IAB có chu vi nhỏ nhất thì ta thường sử dụng đánh giá 2 2 CIAB IA IB AB IA IB IA IB 2 IA.IB 2IA.IB . Do IA.IB không đổi nên chu vi tam giác IAB nhỏ nhất khi IA IB .
21. 2x 3 Câu 36: [2D1-3] [208-BTN] Cho hàm số C : y . Gọi M là một điểm thuộc đồ thị và d là tổng x 1 khoảng cách từ M đến hai tiệm cận của đồ thị hàm số C . Giá trị nhỏ nhất của d có thể đạt được là: A. 2. B. 5. C. 6. D. 10. Hướng dẫn giải ChọnA. 2a 3 Gọi M a; C , ta có. a 1 2a 3 1 d a 1 2 a 1 2 . Vậy giá trị nhỏ nhất của d bằng 2. a 1 a 1 Câu 37: [2D1-3] [THPT Hoàng Văn Thụ - Khánh Hòa] Gọi M là điểm bất kì thuộc đồ thị C của 9 hàm số y . Tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận của C đạt giá trị nhỏ nhất là. x 2 A. 9. B. 6 3 . C. 6. D. 2 3 . Hướng dẫn giải ChọnC. 9 Hàm số y có tập xác định D ¡ \ 2 . x 2 Tiệm cận đứng x 2; Tiệm cận ngang y 0. 9 9 M là điểm bất kì thuộc đồ thị C của hàm số y M x; . x 2 x 2 Tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận của C là. 9 9 d x 2 2 x 2 d 6 . x 2 x 2 Vậy tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận của C đạt giá trị nhỏ nhất là 6. x + 2 Câu 38: [2D1-3] Cho hàm số y = có đồ thị là (C), I là giao điểm các đường tiệm cận của (C) x + 1 và (D) là một tiếp tuyến bất kì của đồ thị (C). Gọi d là khoảng cách từ điểm I đến (D). Giá trị lớn nhất của d là: 2 3 A. 3 . B. 2 . C. . D. . 2 3 Lời giải Chọn B. Giao điểm hai đường tiệm cận của (C) là I (- 1;1).
22. m 2 3 Giả sử M m; C , m , ta có y m . 1 ' 2 m 1 m 1 Phương trình tiếp tuyến của (C)tại M là: 3 m 2 2 y x m x m y m m m . : 2 1 1 2 0 m 1 m 1 2 m 1 2 Khoảng cách từ I đến là d 2 . 4 1 m 1 1 2 2 m 1 m 1 2 1 4 m 2 Dấu xảy ra khi m m . " " 1 2 1 1 m 1 m 0 Vậy giá trị lớn nhất của d là 2 . 2x + 1 Câu 39: [2D1-4] Cho hàm số y = có đồ thị là (C), I là giao điểm các đường tiệm cận của (C). x - 1 Gọi M là điểm thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai đường tiệm cận tại A và B thỏa mãn chu vi tam giác IAB là nhỏ nhất. Khi đó có mấy điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán? A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3 . Lời giải Chọn C. Giao điểm hai đường tiệm cận của (C) là I (1;2). 3 3 Giả sử M m;2 C , m , ta có y m . 1 ' 2 m 1 m 1 3 3 Phương trình tiếp tuyến của C tại M là: y x m . ( ) : 2 2 m 1 m 1 6 Tọa độ giao điểm A , B của với các đường tiệm cận là: A 1;2 và B 2m 1;2 . m 1 1 1 6 Ta thấy S IA.IB . .2 m 1 2.3 6 (Đvdt). IAB 2 2 m 1 Như vậy tam giác IAB vuông tại I và có diện tích không đổi nên chu vi tam giác này nhỏ nhất 6 m 1 3 khi IA IB 2 m 1 . m 1 m 1 3 Kết luận: Có 2 điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán. 2x - 3 Câu 40: [2D1-4] Cho hàm số y = có đồ thị là (C). Gọi I là giao điểm các đường tiệm cận của x - 2 (C) và M là một điểm bất kì trên (C). Gọi (D) là tiếp tuyến của (C) tại M và A , B lần lượt
23. là giao điểm của (D) với các đường tiệm cận của (C). Khi đó tọa độ điểm M sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất là: 9 A. M 1;1 hoặc M 3; B. M 1;1 hoặc M 3;3 . 5 5 9 5 C. M 1; hoặc M 3;3 . D. M 3; hoặc M 1; . 3 5 3 Lời giải Chọn B. 2m 3 1 Giả sử M m; C , m , ta có y m . 2 ' 2 m 2 m 2 1 2m 3 Phương trình tiếp tuyến của C tại M là: y x m . ( ) : 2 m 2 m 2 2m 2 Tọa độ giao điểm A , B của với các đường tiệm cận là: A 2; và B 2m 2;2 . m 2 x x 2 2m 2 y y 2m 3 Ta thấy A B m x và A B y , suy ra M là trung điểm của 2 2 M 2 m 2 M AB . Mặt khác tam giác IAB vuông tại I 2;2 nên bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB là R MI . Diện tích tam giác IAB là 2 2 2 2m 3 2 1 S .IM m 2 2 m 2 2 . m 2 2 m 2 2 1 4 m 1 Dấu xảy ra khi m m . " " 2 2 2 1 m 2 m 3 Vậy điểm M cần tìm là M 1;1 hoặc M 3;3 . x Câu 41: [2D1-3] Cho hàm số y = có đồ thị là (C). Gọi (D) là phương trình tiếp tuyến của (C) x + 1 sao cho (D) và hai tiệm cận của (C) cắt nhau tạo thành một tam giác cân. Khi đó phương trình của (D) là: 8 8 A. y x và y x . B. y x và y x . 3 3 8 8 C. y x và y x D. y x và y x . 3 3 Lời giải C. 5 . Chọn A. m 1 Giả sử M m; C , m , ta có y m . 1 ' 2 m 1 m 1