Ôn tập Toán 12 - Chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm trong bài toán chuyển động

Nội dung tài liệu: Ôn tập Toán 12 - Chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm trong bài toán chuyển động

1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI TỐN CHUYỂN ĐỘNG Câu 1. [2D3-2.8-3] Một xe ơ tơ sau khi chờ hết đèn đỏ đã bắt đầu chuyển động với vận tốc được biểu thị bằng đồ thị là đường cong dạng parabol. Biết rằng sau 5 phút thì xe đạt đến vận tốc cao nhất 1000 (m/phút) và bắt đầu giảm tốc, đi được 6 phút thì xe chuyển động đều (hình vẽ). Hỏi quãng đường xe đã đi được trong 10 phút đầu tiên kể từ lúc bắt đầu là bao nhiêu mét? A. 8160 (m). B. 8610 (m). C. 10000 (m). D. 8320 (m). Lời giải Chọn A Giả sử parabol trong hình vẽ cĩ phương trình P : v at 2 bt c . Vì P đi qua các điểm 0;0 , 5;1000 và cĩ hồnh độ đỉnh bằng 5, nên ta cĩ hệ: c 0 c 0 25a 5b c 1000 a 40. b b 400 5 2a Suy ra P : v 40t 2 400t với 0 t 6 . Khi đĩ v 6 960 (m/phút). Vậy quãng đường xe đã đi được trong 10 phút đầu tiên kể từ lúc bắt đầu chuyển động là 6 10 s 40t 2 400t dt 960dt 8160 (m). 0 6 Câu 2. [2D3-2.8-3] Một vật chuyển động với hàm số gia tốc là a t (với đơn vị là m s2 ). Biết rằng đồ thị hàm số a t trên đoạn 0;6 được cho như hình vẽ và vận tốc tại thời điểm t 0 là 1 (m/s). Tại thời điểm t 6 giây, vận tốc của vật là bao nhiêu? A. 1 2 3 3 2 (m/s). B. 1 3 3 2 2 (m/s). Trang 1
2. C. 2 3 3 2 (m/s). D. 3 2 3 2 (m/s). Lời giải Chọn A Gọi H là phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số a t , trục hồnh và x 0 , x 6 . 1 2 3 4 Khi đĩ H cĩ diện tích là S .2. 2 3 2 2 3 . H 2 2 6 6 Mặt khác, ta cĩ a t dt S v t S v 6 v 0 S v 6 v 0 S . H 0 H H H 0 Suy ra v 6 1 3 2 2 3 (m/s). Câu 3. [2D3-2.8-3] Một chất điểm chuyển động với vận tốc v t (với đơn vị là m/s) biến thiên theo thời gian t (với đơn vị là giây). Biết đồ thị của hàm số vận tốc là một phần của parapol với đỉnh I 2;3 khi 0 t 5 và cĩ dạng đường thẳng khi 5 t 10 như hình vẽ dưới đây. Hỏi quãng đường chất điểm đi được sau 10 giây đầu tiên là bao nhiêu mét? 181 545 A. . B. 90. C. 92. D. . 2 6 Lời giải Chọn D Ta cĩ v t at2 bt c (với a 0 ) khi 0 t 5. Đồ thị hàm số v t at2 bt c đi qua I 2;3 , A 0;11 và cĩ hồnh độ đỉnh I bằng 2 nên cĩ 4a 2b c 3 a 2 c 11 b 8 . 4a b 0 c 11 Khi đĩ quãng đường vật di chuyển trong khoảng thời gian từ 0 t 5 là 5 115 S 2t 2 8t 11 dt (m). 1 0 3 Ta cĩ v 5 21; Trang 2
3. v t mt n khi 5 t 10. Mà đồ thị đi qua điểm B 5; 21 , C 10;0 nên 21 5m n 21 m 5 . 10m n 0 n 42 Khi đĩ quãng đường vật di chuyển trong khoảng thời gian từ 5 t 10 là 10 21 105 S t 42 dt (m). 2 5 5 2 545 Quãng đường chất điểm đi được trong thời gian 0 t 10 là S S S (m). 1 2 6 Câu 4. [2D3-2.8-3] Ơng A đi làm lúc 7 giờ và đến cơ quan lúc 7 giờ 12 phút bằng xe gắn máy, trên đường đến cơ quan ơng A gặp một người băng qua đường nên ơng phải giảm tốc độ để đảm bảo an tồn rồi sau đĩ lại từ từ tăng tốc độ để đến cơ quan làm việc. Đồ thị dưới đây mơt tả vận tốc chuyển động của ơng A theo thời gian khi đến cơ quan. Quãng đường từ nhà đến cơ quan của ơng A bằng A. 6,2 (km). B. 5,2 (km). C. 5,0 (km). D. 6,1 (km). Lời giải Chọn A t2 Ta cĩ: S v t dt S S S S S S . 1 2 3 4 5 6 t1 Trong đĩ: S là quãng đường cần tìm: S1 là diện tích giới hạn bởi đồ thị y v1 t và trục hồnh trong khoảng từ 7h : 00 đến 7h : 01; S2 là diện tích giới hạn bởi đồ thị y v2 t và trục hồnh trong khoảng từ 7h : 01 đến 7h : 02 ; S3 là diện tích giới hạn bởi đồ thị y v3 t và trục hồnh trong khoảng từ 7h : 02 đến 7h : 05 ; S4 là diện tích giới hạn bởi đồ thị y v4 t và trục hồnh trong khoảng từ 7h : 05 đến 7h : 06 ; S5 là diện tích giới hạn bởi đồ thị y v5 t và trục hồnh trong khoảng từ 7h : 06 đến 7h : 07 ; S6 là diện tích giới hạn bởi đồ thị y v6 t và trục hồnh trong khoảng từ 7h : 07 đến 7h :10 ; S7 là diện tích giới hạn bởi đồ thị y v7 t và trục hồnh trong khoảng từ 7h :10 đến 7h :12 . Với phương trình vận tốc tính theo đơn vị thời gian km/h . v1 t 720t ; v2 t 1440t 12 ; v3 t 36 ; v4 t 2160t 210 ; v5 t 2880t 288 ; v6 t 48 ; v7 t 1440t 288 . Trang 3
4. 1 1 1 1 7 60 30 12 10 60 Do đĩ S 720tdt 1440t 12 dt 36dt 2160t 216 dt 2880t 288 dt 0 1 1 1 1 60 30 12 10 1 1 6 5 1 2 9 3 2 1 12 4 48dt 1440t 288 dt 6,2 . 7 1 10 5 5 10 5 5 5 5 60 6 6000 Câu 5. [2D3-2.8-3] Hàm số R v cĩ thể được sử dụng để xác định nhịp tim R của một người v mà tim của người đĩ cĩ thể đẩy đi được 6000 (ml) máu trên mỗi phút và v (ml) máu trên mỗi nhịp đập. Tốc độ thay đổi của nhịp tim khi lượng máu tim đẩy đi ở một nhịp là v 80 (ml) bằng 15 15 5 5 A. . B. . C. . D. . 16 16 16 16 Lời giải Chọn A Nếu R v là một hàm số theo lượng máu v thì tốc độ thay đổi của nhịp tim theo lượng máu v 6000 6000 6000 là R v . Khi đĩ R v R v 2 . v v v Khi v 80 (ml) trên một nhịp tim thì tốc độ thay đổi của nhịp tim theo v đạt được là 6000 15 R 80 . 80 2 16 Câu 6. [2D3-2.8-3] Định luật Hooke phát biểu rằng một lực cần thiết để kéo dài lị xo vượt qua chiều dài tự nhiên của nĩ x đơn vị tỷ lệ với x : f x kx , trong đĩ k là một hằng số dương được gọi là hệ số đàn hồi (xem hình). Định luật Hooke đúng với điều kiện x khơng quá lớn. Cần một lực 40 N để giữ một lị xo đã được kéo dài từ chiều dài tự nhiên 10cm đến chiều dài 15cm . Tính cơng được thực hiện khi kéo dài lị xo từ 15cm đến 18cm . A. 1,32J .B. 1,48J . C. 1,4J .D. 1,56J . Lời giải Chọn D Theo định luật Hooke, khi kéo dài lị xo vượt qua chiều dài tự nhiên x mét thì lực đàn hồi f x kx . Khi kéo dài từ chiều dài tự nhiên 10cm đến chiều dài 15cm thì lượng kéo dài được 40 là 5cm 0,05m . Ta cĩ f 0,05 40 0,05k 40 k 800 . Vậy f x 800x . 0,05 Trang 4
5. Cơng được thực hiện khi kéo dài lị xo từ 15cm đến 18cm là 0,08 0,08 x2 W 800xdx 800. 1,56J . 0,05 2 0,05 Câu 7. [2D3-2.8-3] Một vật đang chuyển động với vận tốc 10 m/s thì tăng tốc với gia tốc xác định bởi a t 3t t 2 m/s2 , trong đĩ t (giây) là thời gian vật chuyển động. Hỏi quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc là bao nhiêu? 6800 4300 5800 A. 11100 m . B. m . C. m . D. m . 3 3 3 Lời giải Chọn C 3 1 Ta cĩ: a t 3t t 2 v t a t dt 3t t 2 dt t 2 t3 C . 2 3 3 t3 Theo đề bài vận tốc tại thời điểm t 0 của vật là 10 m/s C 10 v t t 2 10. 2 3 10 10 3 4 3 2 t 1 2 t 4300 Quãng đường vật đi được sau 10 (s) là S t 10 dt t 10t m . 2 3 2 12 3 0 0 Câu 8. [2D3-2.8-3] Một mơ tơ chạy với vận tốc v0 m/s thì gặp chướng ngại vật nên người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đĩ mơ tơ chuyển động chậm dần với gia tốc a 8t m/s2 trong đĩ t là thời gian tính bằng giây. Biết từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ơ tơ cịn di chuyển được1 2 m . Tính v0 . A. 18 m/s . B. 3 86 m/s . C. 3 1269 m/s . D. 3 1296 m/s . Lời giải Chọn D Ta cĩ: a 8t m/s2 v 8tdt 4t 2 C . 2 Tại thời điểm t 0 thì vận tốc của vật là v0 m/s nên ta cĩ v0 C . Vậy v 4t v0 . 2 2 Tại thời điểm t0 vận tốc của vật là 0 nên ta cĩ 0 4t0 v0 4t0 v0 . t0 4t 3 4t 3 3 36 Ta cĩ: 4t 2 v dt 12 0 v t 12 0 4t 3 12 t . 0 0 0 0 0 0 3 3 2 2 3 36 v 4. 3 1296 m/s . 0 2 Câu 9. [2D3-2.8-4] Hai con chuồn chuồn bay trên hai quỹ đạo khác nhau, xuất phát cùng thời điểm. Con chuồn chuồn thứ nhất bay theo quỹ đạo là đường thẳng từ điểm A 0;100 đến điểm O 0;0 với vận tốc 5 m/s . Con thứ hai bay theo quỹ đạo là đường thẳng từ điểm B 60;80 đến điểm O 0;0 với vận tốc 10 m/s . Hỏi tại một thời điểm nào đĩ trong quá trình bay, khoảng cách ngắn nhất hai con chuồn chuồn đạt được là bao nhiêu mét? Trang 5
6. A. 18 5 m . B. 20 5 m . C. 20 3 m . D. 18 3 m . Lời giải Chọn B Xét tại thời điểm t (giây), t 0;10 , con chuồn chuồn thứ nhất ở vị trí A 0;100 5t .   4 Con chuồn chuồn thứ hai bay cĩ quỹ đạo là đường thẳng cĩ hệ số gĩc k tan nên 3 3 4 cos = , sin . Do đĩ tại thời điểm t , nĩ cĩ tọa độ B x; y thỏa mãn 5 5 x 60 10t cos x 60 6t B 60 6t;80 8t . y 80 10t sin y 80 8t  Ta cĩ A B 60 6t; 20 3t . Khi đĩ, khoảng cách giữa hai con chuồn chuồn là 2 2 d A B 60 6t 20 3t d 45t 2 600t 4000 . d nhỏ nhất khi hàm số f t 45t 2 600t 4000 đạt giá trị nhỏ nhất trên 0;10 .   2 20 Ta cĩ f t 5 3t 20 2000 2000 , t 0;10 min f t f 2000 . t 0;10 3 Vậy khoảng cách ngắn nhất của hai con chuồn chuồn là 2000 20 5 m . Câu 10. [2D3-2.8-3] Cá hồi Thái Bình Dương đến mùa sinh sản chúng thường bơi từ biển đến thượng nguồn con sơng để đẻ trứng trên sỏi đá rồi chết. Khi nghiên cứu một con cá hồi sinh sản, người t 2 ta phát hiện ra quy luật nĩ chuyển động trong nước yên lặng là s t 4t , trong đĩ t (giờ) 10 là khoảng thời gian từ lúc con cá bắt đầu chuyển động và s t ( km ) là quãng đường con cá bơi trong khoảng thời gian đĩ. Nếu thả con cá hồi vào dịng sơng cĩ vận tốc dịng nước chảy là 2 km/h , tính quãng đường xa nhất mà con cá hồi đĩ cĩ thể bơi ngược dịng nước để đến nơi đẻ trứng. A. 8 km . B. 10 km . C. 20 km . D. 30 km . Lời giải Chọn B t Vận tốc của con cá khi nước yên lặng là v t s t 4 . 5 t Vận tốc thực của con cá khi bơi ngược dịng là v t 2 2 . 5 Quãng đường con cá bơi được trong khoảng thời gian t kể từ lúc bắt đầu là Trang 6
7. t 2 t t 1 2 s t 2 dt 2t t 10 10 10 . 0 5 10 10 Vậy khoảng cách xa nhất là 10 km . Câu 11. [2D3-2.8-2] Một ơ tơ đang chạy với vận tốc 40 m/s thì hãm phanh. Sau khi hãm phanh ơ tơ chuyển động chậm dần đều với vận tốc v t 40 8t m/s , trong đĩ t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc hãm phanh. Quãng đường ơ tơ di chuyển trong giây cuối cùng trước khi dừng lại là A. 50 m . B. 4 m . C. 1 m . D. 100 m . Lời giải Chọn B Khi ơ tơ dừng lại thì vận tốc bằng 0, nên ta cĩ v t 40 8t 0 t 5 s . Do đĩ sau 5s thì ơ tơ dừng lại. Quãng đường S ơ tơ di chuyển trong giây cuối cùng trước khi dừng lại (từ giây thứ 4 đến giây 5 5 thứ 5) là S v t dt 40 8t dt 4 m . 4 4 Câu 12. [2D3-2.8-3] Một chất điểm A xuất phát từ O , chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo 1 59 thời gian bởi quy luật V t t 2 t m/s , trong đĩ t (giây) là khoảng thời gian tính từ 150 75 lúc bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm B cũng xuất phát từ O , chuyển động thẳng cùng hướng với A nhưng chậm hơn 3 giây so với A và cĩ gia tốc a m/s2 (với a là hằng số). Sau khi B xuất phát được 12 giây thì đuổi kịp A . Vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A bằng A. 20 m/s . B. 16 m/s . C. 13 m/s . D. 15 m/s . Lời giải Chọn B Gọi t1 , t2 lần lượt là thời gian chuyển động của A và B . Khi đĩ t2 12 t1 15 . 15 15 1 59 Ta cĩ S V t .dt t 2 t dt 96 m ; A 1 1 1 1 1 0 0 150 75 12 V a.dt 12a . B 2 0 a Do vật B chuyển động thẳng biến đổi đều với vận tốc ban đầu bằng 0 nênS 144 72a m . B 2 4 Theo đề bài khi A và B gặp nhau thì 72a 96 a m/s2 . 3 4 Vậy vận tốc của vật B tại thời điểm đuổi kịp A là V .12 16 m/s . B 3 Câu 13. [2D3-2.8-2] Một vật chuyển động theo phương trình s t 2t 2 20t 100 , với t (giây) là khoảng thời gian kể từ lúc vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường mà vật đi được. Hỏi tại thời điểm nào vật cĩ vận tốc tức thời bằng 4 (m/s)? A. t 3 . B. t 5 . C. t 6 . D. t 4. Lời giải Chọn D Trang 7
8. Ta cĩ v t s t 4t 20 (m/s). Do đĩ v t 4 4t 20 4 t 4 . Vậy tại thời điểm t 4 (s) thì vật cĩ vận tốc tức thời bằng 4 (m/s). Câu 14. [2D3-2.8-3] Cho một vật chuyển động với đồ thị biểu diễn vận tốc theo thời gian trong 12 giây (như hình vẽ). Trong khoảng thời gian 6 giây kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đĩ là một đoạn thẳng, khoảng thời gian cịn lại đồ thị là một phần của đường parabol với đỉnh cĩ tung độ bằng 20. Quãng đường vật đi được sau 10 giây đầu tiên bằng 340 380 1096 A. 120 (m). B. (m). C. (m). D. (m). 9 3 9 Lời giải Chọn D v 0 2 b 2 b 2 Với t 0;6 thì v t at b . Ta cĩ . v 6 14 6a b 14 a 2 Vậy vận tốc của vật với t 0;6 là v t 2t 2 (m/s). 6 12 Với t 6;12 thì v t At 2 Bt C . Theo đồ thị, ta thấy đỉnh cĩ hồnh độ là 9. 2 2 A v 6 14 36A 6B C 14 3 Ta cĩ v 9 20 81A 9B C 20 B 12 . 144A 12B C 14 C 34 v 12 14 2 Vậy vận tốc của vật với t 6;12 là v t t 2 12t 34 (m/s). 3 Quãng đường vật đi được sau 10 giây đầu tiên là 6 10 2 2 1096 s 2t 2 dt t 12t 34 dt (m). 0 6 3 9 Câu 15. [2D3-2.8-2] Một vật chuyển động thẳng với quãng đường biến thiên theo thời gian bởi quy luật s t t3 3t 2 6t (mét), trong đĩ t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động. Vận tốc của vật tại thời điểm gia tốc bị triệt tiêu là A. 0 (m/s).B. 6 (m/s).C. 4 (m/s). D. 3 (m/s). Lời giải Chọn D Vận tốc của vật là v s 3t 2 6t 6 (m/s). Gia tốc của vật là a v 6t 6 (m/s2). Gia tốc bị triệt tiêu khi và chỉ khi 6t 6 0 t 1. Trang 8
9. Vậy vận tốc của vật tại thời điểm gia tốc bị triệt tiêu là v 1 3.12 6.1 6 3 (m/s). Câu 16. [2D3-2.8-3] Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc v (với đơn vị là km/h) phụ thuộc thời gian t (với đơn vị là giờ) cĩ đồ thị của vận tốc như hình vẽ. Trong khoảng thời gian 1 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đĩ là một phần của đường parabol cĩ đỉnh I 2;9 và trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian cịn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hồnh. Tính quãng đường s mà vật di chuyển được trong 3 giờ đĩ (kết quả làm trịn đến hàng phần trăm). A. s 23,25 (km/h). B. s 21,58 (km/h). C. s 15,50 (km/h). D. s 13,83 (km/h). Lời giải Chọn B Gọi phương trình vận tốc của vật chuyển động theo đường parabol cĩ dạng v t at 2 bt c . c 4 c 4 Theo hình vẽ, ta cĩ 4a 2b c 9 b 5 . b 5 2 a 2a 4 5 31 Suy ra v t t 2 5t 4 với 0 t 1 và do đĩ v 1 . 4 4 31 Khi đĩ, phương trình vận tốc của vật chuyển động theo đoạn thẳng là v t với 1 t 3. 4 Vậy quãng đường mà vật đi được trong 3 giờ là 1 3 5 2 31 259 s t 5t 4 dt dt ; 21,58 (km/h). 0 4 1 4 12 1 Câu 17. [2D3-2.8-2] Một vật chuyển động theo quy luật s t t3 9t 2 với t (giây) là khoảng thời 2 gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian đĩ. Hỏi trong khoảng thời gian 10 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được là bao nhiêu? A. 18 (m/s). B. 54 (m/s). C. 36 (m/s). D. 64 (m/s). Lời giải Chọn B 3 3 2 Ta cĩ v t s t t 2 18t t 6 54 54 . 2 2 Vậy vận tốc lớn nhất vật đạt được trong khoảng 10 giây từ lúc chuyển động là vmax 54 (m/s) tại thời điểm t 6 (s). Trang 9
10. Câu 18. [2D3-2.8-3] Cho đồ thị biểu diễn vận tốc của hai xe A và B khởi hành cùng một lúc, cùng một vị trí và trên cùng một con đường như hình dưới. Biết đồ thị biểu diễn vận tốc của xeA là parabol và đồ thị biểu diễn vận tốc của xe B là đường thẳng. Hỏi sau khi đi được 3 giây thì khoảng cách giữa hai xe là bao nhiêu? A. 90 (m). B. 60 (m). C. 0 (m). D. 270 (m). Lời giải Chọn A 2 Phương trình vận tốc của xe A là vA t at bt c . vA 0 0 c 0 a 20 Dựa vào đồ thị, ta cĩ vA 3 60 9a 3b c 0 b 80 . 16a 4b c 0 c 0 vA 4 0 2 Suy ra vA t 20t 80t với 0 t 4 . 3 3 Quãng đường xe A đi trong 3 giây là s v t dt 20t 2 80t dt 180 (m). A A 0 0 Phương trình vận tốc xe B là vB t at b . vB 0 0 b 0 a 20 Dựa vào đồ thị, ta cĩ . 3a b 60 b 0 vB 3 60 Suy ra vB t 20t với t 0 . 3 3 Quãng đường xe B đi trong 3 giây là s v t dt 20tdt 90 (m). B B 0 0 Khoảng cách giữa hai xe bằng 180 90 90 (m). Câu 19. [2D3-2.8-2] Một vật chuyển động theo hàm số s t t3 3t 2 9t 2 m , với t là khoảng thời gian tính từ khi vật bắt đầu chuyển động và s t là vị trí của vật tại thời điểm t . Tìm vị trí của vật tại thời điểm mà vận tốc của vật đạt giá trị nhỏ nhất. A. 10 m .B. 1 m .C. 6 m .D. 9 m . Lời giải Chọn D Ta cĩ: v t s t 3t 2 6t 9 3 t 1 2 6 6 . Vậy vận tốc nhỏ nhất của vật là 6 m/s khi t 1 s 1 9 m . Câu 20. [2D3-2.8-2] Một vật dao động điều hịa theo quy luật x t 5cos 2 t cm , trong đĩ x t 3 là vị trí của vật tại thời điểm t s . Tìm vị trí của vật tại thời điểm vật đạt vận tốc lớn nhất. Trang 10
11. 5 2 A. . B. 5 . C. 5. D. 0. 2 Lời giải Chọn D Ta cĩ v t x t 10 sin 2 t . Mà 1 sin 2 t 1 10 v t 10 . 3 3 Vận tốc của vật lớn nhất là 10 cm/s khi sin 2 t 1 cos 2 t 0 x 0 . 3 3 Câu 21. [2D3-2.8-2] Một vật chuyển động theo phương trình s t t 2 9t 13 , trong đĩ t được tính bằng giây và s được tính bằng mét. Tính vận tốc tức thời của chuyển động khi t 8 s . A. 23 m/s . B. 24 m/s . C. 149 m/s . D. 25 m/s . Lời giải Chọn D Ta cĩ: s t t 2 9t 13 v t s t 2t 9 v 8 2.8 9 25 m/s . Câu 22. [2D3-2.8-3] Trên đoạn thẳng AB dài 200 (mét) cĩ hai chất điểm X , Y . Chất điểm X xuất phát từ A , chuyển động thẳng hướng đến B với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật 1 1 v t t 2 t m/s , trong đĩ t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc X bắt đầu chuyển 80 3 động. Từ trạng thái nghỉ, chất điểm Y xuất phát từ B và xuất phát chậm hơn 10 giây so với X và Y chuyển động thẳng theo chiều ngược lại với X , cĩ gia tốc bằng a m/s2 ( a là hằng số). Biết rằng hai chất điểm X , Y gặp nhau tại đúng trung điểm đoạn thẳng AB . Gia tốc của chất điểm Y bằng A. 2 m/s2 . B. 1,5 m/s2 . C. 2,5 m/s2 . D. 1 m/s2 . Lời giải Chọn D 1 t 2 Quãng đường chuyển động của chất điểm X cĩ phương trình s t v t dt t3 C . 240 6 1 t 2 Khi t 0 thì s 0 0 nên C 0 suy ra s t t3 . Do đĩ s t 100 t 20 . 240 6 Vận tốc của chất điểm Y là v t at (vì v 0 0) nên s t at 2 (vì s 0 0 ). Theo giả thiết s 10 100a 100 a 1 m/s2 . Câu 23. [2D3-2.8-2] Một ơ tơ đang chạy với vận tốc 18 m/s thì người lái hãm phanh. Sau khi hãm phanh, ơ tơ chuyển động chậm dần đều với vận tốc v t 18 36t m/s , trong đĩ t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu hãm phanh. Hỏi từ lúc hãm phanh đến khi dừng hẳn, ơ tơ cịn di chuyển được bao nhiêu mét? A. 4,5 m . B. 5,5 m . C. 3,5 m . D. 6,5 m . Lời giải Chọn A 1 Khi ơ tơ dừng hẳn v t 0 18 36t 0 t s . 2 Từ lúc hãm phanh đến khi dừng hẳn lại, ơ tơ di chuyển được quãng đường là Trang 11
12. 1 1 2 2 1 s v t dt 18 36t dt 18t 2 18t 2 4,5 m . 0 0 0 Vậy s 4,5 m . Câu 24. [2D3-2.8-2] Một vật chuyển động với gia tốc a t 3t 2 t m/s2 . Vận tốc ban đầu của vật là 2 m/s . Hỏi tại thời điểm t 2 s , vận tốc của vật là bao nhiêu? A. 8 m/s . B. 12 m/s . C. 16 m/s . D. 10 m/s . Lời giải Chọn B 1 Vận tốc chuyển động là v(t) a t dt 3t 2 t dt t3 t 2 C . 2 1 Theo giả thiết, vận tốc ban đầu của vật là 2 m/s , nên v 0 2 C 2 v t t3 t 2 2 . 2 Suy ra v 2 12 m/s . Câu 25. [2D3-2.8-3] Một vật chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s t3 3t 2 9t 2 trong đĩ thời gian t t 0 tính bằng giây, quãng đường s tính bằng mét. Tính gia tốc của vật tại thời điểm vận tốc chuyển động triệt tiêu. A. a 10 m/s2 . B. a 11 m/s2 . C. a 9 m/s2 . D. a 12 m/s2 . Lời giải Chọn D Vận tốc của chuyển động tại thời điểm t là v t s t 3t 2 6t 9 m/s . 2 t 3 Khi vận tốc triệt tiêu ta cĩ: v t 0 3t 6t 9 0 . t 1 loại Gia tốc chuyển động tại thời điểm t là a t v t 6t 6 m/s2 . Vậy khi vận tốc chuyển động triệt tiêu thì gia tốc chuyển động là a 3 6.3 6 12 m/s2 . Câu 26. [2D3-2.8-4] Một hạt chuyển động chậm dần trên một đường thẳng. Độ lớn gia tốc của hạt liên hệ với vận tốc của hạt theo phương trình v 4a2 . Tại thời điểm ban đầu ( t 0 ), hạt cĩ vận tốc v0 9 m/s . Tìm quãng đường hạt đi được cho đến khi dừng lại. A. 12 m . B. 24 m . C. 36 m . D. 12 m . Lời giải Chọn C a2 t 1 a t 1 Từ phương trình v 4a2 , ta cĩ: (do a 0 , v 0 ). v t 4 v t 2 a t 1 v t 1 1 Nguyên hàm hai vế ta được: .dt .dt .dt .dt 2 v t t C v t 2 v t 2 2 2 1 1 Mà v 0 9 nên C 6 . Suy ra: 2 v t t 6 hay v t t 3 . 2 4 Trang 12
13. t Khi hạt dừng lại thì v t 0 3 t 12 s . 4 Vậy quãng đường hạt đi được từ ban đầu cho đến khi dừng lại là 2 12 12 12 t 12 3t t 2 3t 2 t3 S v t dt 3 dt 9 dt 9t 36 m . 4 2 16 4 48 0 0 0 0 Câu 27. [2D3-2.8-3] Một viên đạn được bắn lên trời từ một vị trí cách mặt đất 500 m theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu v0 196 m/s (bỏ qua sức cản của khơng khí). Hỏi khi viên đạn đạt độ cao lớn nhất và bắt đầu rơi thì viên đạn cách mặt đất bao nhiêu mét? A. 2560 m . B. 3410 m . C. 5410 m . D. 2460 m . Lời giải Chọn D Chọn trục Oy theo phương thẳng đứng, chiều dương hướng từ dưới mặt đất lên trời, gốc O ở mặt đất và điểm M 0;500 nằm trên tia Oy là vị trí viên đạn bắt đầu được bắn lên (thời điểm t 0 ). Khi đĩ chuyển động của viên đạn là chuyển động theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu 2 v0 196 m/s với gia tốc g 9,8 m/s (vectơ gia tốc ngược chiều với chiều dương của trục). Vận tốc tức thời của viên đạn tại thời điểm t là: v t 9,8 .dt 9.8t C . Mà v0 196 nên C 196 , vậy v t 9,8t 196 m/s . 9,8t 2 Khoảng cách giữa viên đạn và mặt đất tại thời điểmt là s t v t .dt 196t C . 2 Mà tại thời điểm ban đầu thì viên đạn cách mặt đất 500 m s 0 500 nên C 500, vậy 9,8t 2 s t 196t 500 m . 2 Viên đạn đạt độ cao lớn nhất cũng là lúc vận tốc bằng 0, khi đĩ: v t 0 9,8t 196 0 t 20 s . Tại thời điểm đĩ viên đạn cách mặt đất một khoảng bằng: s 20 2460 m Câu 28. [2D3-2.8-2] Vận tốc tại thời điểm t của một vật chuyển động theo quy luật v t 10 8t 6t 2 , t (giây), v (m/s). Tính quãng đường vật đi được trong giây thứ 3. A. 52 m . B. 68 m . C. 78 m/s . D. 120 m . Lời giải Chọn B Ta cĩ quãng đường S vật đi được trong giây thứ 3 là: 3 2 3 3 S v t dt v t dt 10 8t 6t 2 dt 10t 4t 2 2t3 120 52 68 m 2 0 0 2 Câu 29. [2D3-2.8-3] Một chiếc xe đua F1 đạt tới vận tốc lớn nhất là 360 km/h . Đồ thị bên dưới biểu thị vận tốc v của xe trong 5 giây đầu tiên kể từ lúc xuất phát. Đồ thị trong 2 giây đầu là một phần của một parabol đỉnh tại gốc tọa độ O , giây tiếp theo là đoạn thẳng và sau đúng ba giây thì xe đạt vận tốc lớn nhất. Biết rằng mỗi đơn vị trục hồnh biểu thị 1 giây, mỗi đơn vị trục tung biểu thị 1 m/s và trong 5 giây đầu xe chuyển động theo đường thẳng. Hỏi trong 5 giây đĩ xe đi được quãng đường là bao nhiêu? Trang 13
14. A. 340 (m). B. 420 (m). C. 400 (m). D. 320 (m). Lời giải Chọn D Trong 2 giây đầu, vận tốc của xe tại thời điểm t được tính theo cơng thức: 2 2 v1 t at m/s , với v 2 60 nên a 15 , suy ra v1 t 15t m/s . 2 2 Quãng đường xe đi được trong 2 giây đầu là s v t dt 15t 2 dt 40 m . 1 1 0 0 Trong giây tiếp theo, vận tốc của xe cĩ cơng thức: v2 t mt n m/s . Do sau đúng 3 giây xe đạt vận tốc lớn nhất là 360 km/h tương ứng với 100 m/s nên v 2 60 2m n 60 m 40 v2 t 40t 20 m/s . v 3 100 3m n 100 n 20 3 3 Quãng đường xe đi được trong giây tiếp theo là s v t dt 40t 20 dt 80 m . 2 2 2 2 Trong 2 giây cuối, xe cĩ vận tốc tối đa bằng v3 t 100 m/s . 5 5 Quãng đường vật đi được trong 2 giây cuối là s v t dt 100dt 200 m . 3 3 3 3 Vậy trong 5 giây đĩ xe đã đi được quãng đường là 40 80 200 320 m . Câu 30. [2D3-2.8-2] Một vật chuyển động theo quy luật s t 6t 2 2t3 với t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật đi được trong thời gian đĩ. Hỏi trong khoảng 6 giây kể từ lúc vật bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật là bao nhiêu? A. 6 m/s . B. 4 m/s . C. 3 m/s . D. 5 m/s . Lời giải Chọn A Vận tốc của vật là: v t s t 6t 2 12t m/s . Ta cĩ v t 6 t 1 2 6 6 , đẳng thức xảy ra khi t 1 0;6. Vận tốc lớn nhất của vật trong 6 giây đầu tiên là 6 m/s . Trang 14
15. Câu 31. [2D3-2.8-3] Một tay đua đang điều khiển chiếc xe đua của mình với vận tốc 180 km/h . Tay đua nhấn ga để về đích, kể từ đĩ xe chạy với gia tốc a t 2t 1 m/s2 . Hỏi rằng sau 4 giây sau khi tay đua nhấn ga thì xe đua chạy với vận tốc bao nhiêu km/h? A. 240 km/h . B. 252 km/h . C. 280 km/h . D. 232 km/h . Lời giải Chọn B Đổi đơn vị 180 km/h 50 m/s . Từ khi tay đua nhấn ga, xe chạy với vận tốc v t 2t 1 dt t 2 t C . Chọn mốc thời gian t 0 là lúc tay đua bắt đầu nhấn ga. Khi đĩ v 0 C 50 v t t 2 t 50. Sau khi tay đua nhấn ga 4 giây thì xe chạy với vận tốc v 4 42 4 50 70 m/s . Đổi đơn vị 70 m/s 252 km/h . Câu 32. [2D3-2.8-3] Một ơ tơ xuất phát với vận tốc v1 t 2t 16 m/s , sau khi đi được một khoảng thời gian t1 thì bất ngờ gặp chướng ngại vật nên tài xế phanh gấp, xe chuyển động với vận tốc v2 t 24 4t m/s và đi thêm một khoảng thời gian t2 nữa thì dừng lại. Hỏi từ khi xuất phát đến lúc dừng lại thì ơ tơ đã đi được bao nhiêu mét? A. 100 m . B. 72 m . C. 152 m . D. 90 m . Lời giải Chọn C Ta cĩ v2 0 24 4.0 24 m/s . Do đĩ lúc bất ngờ gặp chướng ngại vật thì xe ơ tơ cĩ vận tốc là 24 m/s . Suy ra v1 t1 2t1 16 24 t1 4 s . Xe ơ tơ dừng lại khi v2 t2 24 4t2 0 t2 6 s . Quãng đường ơ tơ đi được từ khi xuất phát đến lúc dừng lại là 4 6 4 6 S v t dt v t dt 2t 16 dt 24 4t dt 152 m . 1 1 2 0 0 0 0 Câu 33. [2D3-2.8-2] Một chất điểm chuyển động cĩ phương trình S t 2sin t , trong đĩ S tính 6 bằng mét (m) và t tính bằng giây (s). Tính gia tốc của chuyển động tại thời điểm t 4s theo đơn vị là m/s2 . A. 2 3 . B. 2 3 . C. 2 . D. 2 . Lời giải Chọn D Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t là v t S t 2 cos t m/s . 6 Gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t là 2 2 a t v t S t 2 sin t m/s . 6 Trang 15
16. 2 2 2 Với t 4 (giây), ta cĩ gia tốc cần tìm là a 4 2 sin 4 m/s . 6  HẾT  Trang 16