Ôn tập Toán 12 - Chuyên đề: Ứng dụng thể tích để tính diện tích và khoảng cách

Nội dung tài liệu: Ôn tập Toán 12 - Chuyên đề: Ứng dụng thể tích để tính diện tích và khoảng cách

1. Chủ đề 5. Ứng dụng thể tích để tính diện tích và khoảng cách Câu 1. Khối chóp S.ABC có thể tích là 6 và diện tích tam giác ABC bằng 2.Tính chiều cao khối chóp S.ABC A.3 . B.9 . C.6. D.12. 3 HD: ℎ = 푆 Câu 2. Khối chóp S.ABCD có thể tích là 12 và chiều cao bằng 6.Tính diện tích tứ giácABCD A.2 . B.6 . C.24. D.4. 3 HD: 푆 = ℎ Câu 3. Khối lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D’ đáy là hình vuông cạnh a,khối lăng trụ có thể tích là 24 và chiều cao bằng 4 .Tìm a. A.a=6 . B.a=18 . C. = 6. D. = 3 2. 2 Hd: = ℎ Câu 4. Khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ đáy là tam giác đều cạnh bằng 2,khối lăng trụ có thể tích là 4 .Tính chiều cao lăng trụ. A.a=2 . B.a=6 . C. = 4 3. D. = 4 3. 3 3 HD:ℎ = 푆 Câu 5. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. Góc giữa mặt bên với mặt đáy bằng 600 Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng: a a 3a 3a A . B. .C. . D. . 2 4 4 2 1 1 a a 3 3 GI a 3 a2 3 HD :Ta có: V = . .a.a.sin 600. = , SI = = , suy ra S = . S.ABC 3 2 2 24 cos 600 3 DSBC 6 a3 3 3V 3a Vậy d(A;(SBC)) = S.ABC = 8 = . 2 SDSBC a 3 4 6 Câu 6. Cho hình chóp S.ABC có SA, AB, AC đôi một vuông góc, AB = a, AC = a 2 và diện tích 2 33 tam giác SBC bằng a . Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng: 6 a 330 a 330 a 110 2a 330 A. . B. . C. . D. . 33 11 33 33 HD:Ta có thể tích của khối chóp S.ABC là 1 a 5 a 2 2 a 3 10 V = SA.S = . = . S .ABC 3 D ABC 9 2 18
2. 3V a 330 Suy ra d (A,(SBC )) = S .ABC = . SD SBC 33 Câu 7. Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA vuông góc với mặt đáy, tam giác ABC vuông cân tại B, BA = BC = a , góc giữa mp(SBC) với mp(ABC) bằng 600 . Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giácSBC . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AI với BC . 3 3 2 6 A. a . B. .C.a .D.a . a 4 2 3 2 HD:Kẻ IJ //BC , J thuộc cạnh SB. Suy ra d (AI , BC ) = d (BC,(AIJ )) = d (S,(AIJ )) . 1 Ta có: Tam giác AIJ vuông tại J và AJ = SB = a ; 2 2 3 1 a a VS .AIJ 1 1 a 3 IJ = BC = suy ra SD AIJ = . = Þ VS .AIJ = VS .ABC = . 2 2 4 VS .ABC 4 4 24 3V a 3 Suy ra d (AI , BC ) = d (S,(AIJ )) = S .AIJ = . SD AIJ 2 Câu 8. Cho hình lăng trụ ABC.A B C có mặt đáy là tam giác đều cạnh AB 2a . Hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng ABC trùng với trung điểm H của cạnh AB . Biết góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 600 . Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng ACC A theo a là: 39 15 2 21 2 15 A.a . B.a . C.a .D a 13 5 7 5 3V V HD :Ta có: d B, ACC A d B, ACA BACA ABC.A B C . SACA SACA 3 VABC . A B C A H .S ABC 3a . ACA có: AC 2a; AA AH 2 A H 2 2a; A C A H 2 CH 2 a 6 . 15 2 2 15 Suy ra: SACA a . Vậy d B, ACC A a . 2 5 Câu 9. Cho hình lăng trụ ABC.A B C có mặt đáy là tam giác đều cạnh AB 2a . Hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng ABC trùng với trung điểm H của cạnh AB . Biết góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 600 . Tính khoảng cách hai đường chéo nhau BC và AA theo a là: 2 15 15 2 21 39 A.a . B.a . C.a . D.a . 5 5 7 13 HD :
3. 3V V Ta có: d AA , BC d AA , BCC B d A, BCC B d A, BCB ABCB ABC.A B C SBCB SBCB 3 VABC . A B C A H .S ABC 3a . BCB có: BC 2a; BB AA AH 2 A H 2 2a ;B C B E 2 CE 2 a 6 . 15 2 2 15 Suy ra: S a . Vậy d AA , BC = a . BCB 2 5 Câu 10. Cho hình lăng trụ ABC.A B C có mặt đáy đáy ABC là tam giác vuông tại A , AB a, AC 2a Hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng ABC trùng với trung điểm H của cạnh BC . Biết góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 300 . Tính khoảng cách từ điểm C đến ABB A là: 3 5 5 2 85 2 13 A.a . B.a .B D a a 2 5 17 3 3V V HD:Ta có: d C , ABB A d C, ABB A d C , ABA C ABA ABC.A B C . SABA SABA 15 V A H.S a3 ABC.A B C ABC 6 15 15 A AB có: AB a; AA AH 2 A H 2 a ;A B A H 2 BH 2 a . 3 3 51 2 2 85 Suy ra: SABA a . Vậy d C , ABB A a . 12 17 Câu 11. Cho lăng trụ ABCD.A B C D có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O có AB a, BC 2a . Gọi H, M lần lượt là trung điểm của OA, AA . Hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng ABCD trùng với điểm H . Biết góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 600 . Tính khoảng cách từ điểm đếnM mặt phẳng CDD C : 2 29 2 85 2 285 2 21 A.a . B.a .C D a a 13 17 19 7 15 HD :Ta có: V S .A H a3 . ABCD.A B C D ABCD 2 3V V d M , CDD C d A, CDD C d A, CDC ACDC ABCD.A B C D . SCDC 2SCDC 5 Xét tam giác CDC ta có: CD a , CC AA A H 2 AH 2 a . 2 11 19 C D C E 2 ED2 C E 2 KD2 KE 2 a . Suy ra, S a2 . 2 CDC 8 2 285 Vậy d M , CDD C a . 19
4. Câu 12. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, đỉnh S cách đều các điểm A, B,C Biết AC 2a, BC a , góc giữa đường thẳng SB và mp ABC bằng 600 . Tính khoảng cách từ trung điểmM của SC đến mp SAB theo a . a 39 3a 13 a 39 a 13 A. . B C D 13 13 26 26 3V HD :Ta có :d M , SAB MSAB . S SAB Tam giác ABC vuông tại B AB AC 2 BC 2 4a2 a2 a 3 . VSAMB 1 1 Mặt khác : VSAMB VSABC . VSABC 2 2 1 1 1 1 a 3 1 a 3 Lại có : V SH .S SH . AB.BC a 3.a 3.a V V . SABC 3 ABC 3 2 6 2 SAMB 2 SABC 4 a2 a 13 Tam giác SHK vuông tại H nên SK SH 2 HK 2 3a2 . 4 2 1 1 a 13 a2 39 Do đó : S SK.AB . .a 3 . ABC 2 2 2 4 3V a 39 Vậy : d M , SAB MSAB . S SAB 13 Câu 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh a , ·ABC 600 , SA SB SC 2a . Tính khoảng cách giữa AB và SC a 11 a 11 a2 11 3a 11 A B C D 12 4 8 4 3V HD : AB// SCD d AB, SC d AB, SCD d B, SCD BSCD . S SCD a 2 a 11 Tam giác SGC vuông tại G suy ra SG SC 2 GC 2 4a 2 . 3 3 a a 3 Tam giácABC đều có cạnh bằng a nên: OC , OB . 2 2 1 1 a a 2 3 Tam giác BCO vuông tại O : S OC.BD . .a 3 . BCD 2 2 2 4 1 1 a 11 a2 3 a3 11 Do đó: V SG.S . . . SBCD 3 BCD 3 3 4 12
5. CD  SG CD  CG Ta có: CD  SGC CD  SC . SG CG G SG,CG  SCG 1 1 Tam giác SCD vuông tại C : S SC.CD .2a.a a2 . SCD 2 2 3V a 11 Vậy d AB, SC BSCD . S SCD 4 Câu 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với A B a , A D 2 a , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và cạnh bên SC tạo với đáy một góc 6 0 0 . Gọi M , N là trung điểm các cạnh bên SA và SB. Tính khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng DMN . a 31 a 31 a 60 2a 5 A. . B C D 2 5 60 31 31 3V MN//AB HD :Ta có: d S, DMN SMND . Ta có: MN  SAD MN  MD . AB  SAD S MND 1 1 a a 31 a2 31 Tam giác MND vuông tại M : S MN.MD . . . MND 2 2 2 2 8 Mặt khác V SM SN 1 1 1 1 1 1 a 3 15 SMND . . VSMND VSABD . VSABD SA.AB.AD VSABD SA SB 4 4 4 2 8 3 12 a 60 Vậy d S, DMN . 31