Ôn tập Vận dụng cao Toán 12 - Chủ đề 1: Khảo sát hàm số và ứng dụng (Có đáp án)

Nội dung tài liệu: Ôn tập Vận dụng cao Toán 12 - Chủ đề 1: Khảo sát hàm số và ứng dụng (Có đáp án)

1. PHẦN CUỐI: BÀI TOÁN VẬN DỤNG (8.9.10) Chủ đề 1. KHẢO SÁT HÀM SỐ & ỨNG DỤNG Câu 1: (SGD VĨNH PHÚC)Cho hàm số y x 3 mx 5, m là tham số. Hỏi hàm số đã cho có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị A. 3 . B. 1. C. 2 . D. 4 . Hướng dẫn giải Chọn B. Ta có: y x6 mx 5 3 3x5 3x5 m x Suy ra: y m và hàm số không có đạo hàm tại x 0 . x 3 x 3 5x5 TH1: m 0 . Ta có: y 0 vô nghiệm và hàm số không có đạo hàm tại x 0 . x 3 x 0 y y Do đó hàm số có đúng một cực trị. 3 x 0 m y 0 3x5 m x x TH2: m 0 . Ta có: 5 3 3x mx 3 Bảng biến thiên x m 0 3 y 0 y Do đó hàm số có đúng một cực trị. 3 x 0 m y 0 3x5 m x x TH3: m 0 . Ta có: 5 3 3x mx 3
2. x m 0 3 y 0 y Do đó hàm số có đúng một cực trị. Vậy trong mọi trường hợp hàm số có đúng một cực trị với mọi tham số m Chú ý:Thay vì trường hợp 2 ta xét m 0 , ta có thể chọn m là một số dương (như m 3 ) để làm. Tương tự ở trường hợp 3 , ta chọn m 3 để làm sẽ cho lời giải nhanh hơn. 2x 2017 Câu 2: (SGD VĨNH PHÚC)Cho hàm số y (1) . Mệnh đề nào dưới đây là đúng? x 1 A. Đồ thị hàm số (1) không có tiệm cận ngang và có đúng một tiệm cận đứng là đường thẳng x 1. B. Đồ thị hàm số (1) có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng y 2, y 2 và không có tiệm cận đứng. C. Đồ thị hàm số (1) có đúng một tiệm cận ngang là đường thẳng y 2 và không có tiệm cận đứng. D. Đồ thị hàm số (1) không có tiệm cận ngang và có đúng hai tiệm cận đứng là các đường thẳng x 1, x 1. Hướng dẫn giải Chọn B 2x 2017 Hàm số y (1) có tập xác định là ¡ , nên đồ thị không có tiệm cận đứng x 1 2x 2017 2x 2017 lim 2; lim 2 , nên đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là các x x 1 x x 1 đường thẳng y 2, y 2. Câu 3: (SGD VĨNH PHÚC)Tìm tất cả m sao cho điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y x3 x2 mx 1 nằm bên phải trục tung. 1 1 A. Không tồn tại m . B. 0 m . C. m . D. m 0 . 3 3 Hướng dẫn giải Chọn D.
3. Để hàm số có cực tiểu, tức hàm số có hai cực trị thì phương trình y 0 có hai nghiệm phân 1 biệt 3x2 2x m 0 (1) có hai nghiệm phân biệt 1 3m 0 m . 3 Khi đó (1) có hai nghiệm phân biệt xCĐ , xCT là hoành độ hai điểm cực trị. Theo định lí Viet 2 xCĐ xCT 0 (2) 3 3 ta có , trong đó xCĐ xCT vì hệ số của x lớn hơn 0. m x .x (3) CĐ CT 3 Để cực tiểu của đồ thị hàm số nằm bên phải trục tung thì phải có: xCT 0 , kết hợp (2) và m (3) suy ra (1) có hai nghiệm trái dấu x .x 0 m 0. CĐ CT 3 2 Câu 4: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Phương trình x3 x x 1 m x2 1 có nghiệm thực khi và chỉ khi: 3 1 3 A. 6 m . B. 1 m 3.C. m 3 . D. m . 2 4 4 Hướng dẫn giải Sử dụng máy tính bỏ túi. 2 x3 x x 1 m x2 1 mx4 x3 2m 1 x2 x m 0 Chọn m 3 phương trình trở thành 3x4 x3 5x2 x 3 0 (không có nghiệm thực) nên loại đáp án B, C. Chọn m 6 phương trình trở thành 6x4 x3 13x2 x 6 0 (không có nghiệm thực) nên loại đáp án A. Kiểm tra với m 0 phương trình trở thành x3 x2 x 0 x 0 nên chọn đáp án D. Tự luận 3 2 3 2 2 x x x Ta có x x x 1 m x 1 m 4 2 (1) x 2x 1 x3 x2 x Xét hàm số y xác định trên ¡ . x4 2x2 1
4. x3 x2 x x4 2x2 1 x3 x2 x x4 2x2 1 y 2 x4 2x2 1 3x2 2x 1 x4 2x2 1 x3 x2 x 4x3 4x 2 x4 2x2 1 x6 2x5 x4 x2 2x 1 2 x4 2x2 1 x4 1 x2 2x 1 2 x4 2x2 1 4 2 x 1 y 0 x 1 x 2x 1 0 x 1 Bảng biến thiên Phương trình (1) có nghiệm thực khi đường thẳng y m cắt đồ thị hàm số x3 x2 x y x4 2x2 1 1 3 m . 4 4 Chọn đáp án D. 9x Câu 5: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho hàm số f x , x R . Nếu a b 3 thì 3 9x f a f b 2 có giá trị bằng 1 3 A.1. B. 2 .C. D. . 4 4 Hướng dẫn giải Chọn A Ta có: b 2 1 a 9a 91 a 3 f a ; f b 2 f 1 a 3 9a 3 91 a 3 9a
5. 9a 3 f a f b 2 1 3 9a 3 9a Câu 6: (T.T DIỆU HIỀN) Với giá trị nào của m thì hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số y x3 3x2 mx m 2 nằm về hai phía so với trục hoành? A. m 3 . B. 1 m 2 . C. m 3 . D. 2 m 3. Hướng dẫn giải Chọn C. Ta có: y 3x2 6x m . Hàm số có hai điểm cực đại và cực tiểu nên phương trình y 0 có 2 nghiệm phân biệt. Do đó 9 3m 0 m 3. Gọi x1 , x2 là điểm cực trị của hàm số và y1 , y2 là các giá trị cực trị tương ứng. 3 2 1 1 2 2 Ta có: y x 3x mx m 2 y . x m 2 x m 2 nên y1 k x1 1 , 3 3 3 3 y2 k x2 1 . Yêu cầu bài toán m y .y 0 k 2 x 1 x 1 0 x x x x 1 0 2 1 0 m 3. 1 2 1 2 1 2 1 2 3 Vậy m 3 thỏa mãn bài toán. Câu 7: (TRẦN HƯNG ĐẠO – NB) Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số y x3 3mx 2 cắt đường tròn tâm I 1;1 , bán kính bằng 1 tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất. 2 3 1 3 2 5 2 3 A. m . B. m . C. m . D. m . 2 2 2 3 Hướng dẫn giải Chọn A. A 2 2 Δ Ta có y 3x 3m nên y 0 x m . H B Đồ thị hàm số y x3 3mx 2 có hai điểm cực trị khi và chỉ khi I m 0 . 1 1 Ta có y x3 3mx 2 x 3x2 3m 2mx 2 x.y 2mx 2 . 3 3 Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y x3 3mx 2 có phương trình : y 2mx 2 1 1 1 Ta có: S .IA.IB.sin ·AIB sin ·AIB IAB 2 2 2
6. 1 Diện tích tam giác IAB lớn nhất bằng khi sin ·AIB 1 AI  BI . 2 1 2 Gọi H là trung điểm AB ta có: IH AB d 2 2 I , 2m 1 2 Mà d I , 4m2 1 2m 1 2 2 2 2 2 3 Suy ra: d I , 4m 2 2 4m 1 8m 16m 2 0 m . 4m2 1 2 2 Câu 8: (TRẦN HƯNG ĐẠO – NB) Tìm tất cả các giá trị thực của m để đường thẳng y x m 1 2x 1 cắt đồ thị hàm số y tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB 2 3 . x 1 A mB C.4. 10 D m 4 3 m 2 3 m 2 10 Hướng dẫn giải Chọn A. 2x 1 f x x2 m 2 x m 2 0 Hoành độ giao điểm là nghiệm PT: x m 1 . x 1 x 1 Đường thẳng y x m 1cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình f x 0 có hai nghiệm phân biệt khác 1 , hay 0 m2 8m 12 0 m 2 * . f 1 0 1 0 m 6 x1 x2 2 m Khi đó, gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình f x 0 , ta có (Viète). x1x2 m 2 Giả sử A x1; x1 m 1 , B x2 ; x2 m 1 AB 2 x2 x1 . 2 2 Theo giả thiết AB 2 3 2 x2 x1 2 3 x1 x2 4x1x2 6 m 8m 6 0 m 4 10 Kết hợp với điều kiện * ta được m 4 10 . Câu 9: (LẠNG GIANG SỐ 1) Cho x , y là các số dương thỏa mãn xy 4y 1.Giá trị nhỏ nhất của 6 2x y x 2y P ln là a ln b . Giá trị của tích ab là x y A. 45 . B. 81. C. 108. D. 115.
7. Hướng dẫn giải Chọn B. x x, y dương ta có: xy 4y 1 xy 1 4y 4y2 1 0 4 . y y x Có P 12 6 ln 2 . x y x Đặt t , điều kiện: 0 t 4 thì y 6 P f t 12 ln t 2 t 6 1 t 2 6t 12 f t t 2 t 2 t 2 t 2 t 3 21 f t 0 t 3 21 t 0 4 f t P f t 27 ln 6 2 27 Từ BBT suy ra GTNN P ln 6 khi t 4 2 27 a , b 6 ab 81. 2 ax2 x 1 Câu 10: (LÝ TỰ TRỌNG – TPHCM) Cho hàm số y có đồ thị C ( a,b là các hằng số 4x2 bx 9 dương, ab 4 ). Biết rằng C có tiệm cận ngang y c và có đúng 1 tiệm cận đứng. Tính tổng T 3a b 24c A. T 1. B. T 4. C. T 7. D. T 11. Hướng dẫn giải Chọn D.
8. a a lim y . Tiệm cận ngang y c c . x 4 4 (C) có một tiệm cận đứng nên phương trình 4x2 bx 9 0 có nghiệm kép. 1 1 0 b2 144 0 b 12 . Vì b 0 b 12 a c . 3 12 Vậy T 11. Câu 11: (NGÔ GIA TỰ - VP) Tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y 2x3 3 m 1 x2 6 m 2 x 2017 nghịch biến trên khoảng a;b sao cho b a 3 là m 0 A. m 6 . B. m 9 . C. m 0 . D. . m 6 Hướng dẫn giải Chọn D. Ta có y 6x2 6 m 1 x 6 m 2 Hàm số nghịch biến trên a;b x2 m 1 x m 2 0x a;b m2 6m 9 TH1: 0 x2 m 1 x m 2 0 x ¡ Vô lí TH2: 0 m 3 y có hai nghiệm x1, x2 x2 x1 Hàm số luôn nghịch biến trên x1; x2 . Yêu cầu đề bài: 2 2 x2 x1 3 x2 x1 9 S 4P 9 2 2 m 6 m 1 4 m 2 9 m 6m 0 m 0 3 2 Câu 12: (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y 2x x mx đồng biến trên 1,2. 1 1 A. m .B. m .C. m 1.D. m 8 . 3 3 Hướng dẫn giải Chọn C. 3 2 Ta có y 3x2 2x m 2x x mx ln 2 . Hàm số đã cho đồng biến trên 1,2 y ' 0, x 1,2 3x2 2x m 0, x 1,2 * b 1 Vì f x 3x2 2x m có a 3 0, 2 nên 2a 3
9. 1 3m 0 0 1 m 0 1 3m 0 3 * x x 1 1 m 1 1 2 1 1 m 2 3 3 x 1 x 1 0 m 2 m 1 1 2 1 0 3 3 Câu 13: (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Biết đường thẳng y 3m 1 x 6m 3 cắt đồ thị hàm số y x3 3x2 1 tại ba điểm phân biệt sao cho một giao điểm cách đều hai giao điểm còn lại. Khi đó m thuộc khoảng nào dưới đây? 3 3 A. ( 1;0) .B. (0;1) . C. (1; ) .D. ( ;2) . 2 2 Hướng dẫn giải. Chọn A. Yêu cầu bài toán tương đương phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng x3 3x2 1 3m 1 x 6m 3 x3 3x2 3m 1 x 6m 2 0 . 3 2 Giả sử phương trình x 3x 3m 1 x 6m 2 0 có ba nghiệm x1, x2 , x3 thỏa mãn x x x 1 3 (1) . 2 2 Mặt khác theo viet ta có x1 x2 x3 3 (2) . Từ (1) và (2) suy ra x2 1. Tức x 1là một 1 nghiệm của phương trình trên. Thay x 1vào phương trình ta được m . 3 1 Thử lại m thỏa mãn đề bài. 3 Câu 14: (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị 4x2 1 3x2 2 y là: x2 x A. 2. B.3. C. 4. D.1. Hướng dẫn giải Chọn A. 1 1 Tập xác định: D ;  ;1  1; 2 2 Tiệm cận đứng: 4x2 1 3x2 2 4x2 1 3x2 2 lim y lim ; lim y lim x 1 x 1 x x 1 x 1 x 1 x x 1 Suy ra x 1 là tiệm cận đứng. Tiệm cận ngang: 4 1 2 3 4x2 1 3x2 2 2 4 2 lim y lim lim x x x 3 y 3 là tiệm cận ngang x x 2 x 1 x x 1 x
10. 4 1 2 3 4x2 1 3x2 2 2 4 2 lim y lim lim x x x 3 y 3 là tiệm cận ngang x x 2 x 1 x x 1 x Vậy đồ thị hàm số có hai tiệm cận. 1 1 1 m 2 2 Câu 15: (SỞ GD HÀ NỘI) Cho . fBiết x rằnge x x 1 f 1 . f 2 . f với3 . f 2017 e n m m,n là các số tự nhiên và tối giản. Tính .m n2 n A m n2 B.20.C.18. D.m. n2 2018 m n2 1 m n2 1 Hướng dẫn giải Chọn D. 2 2 1 1 x x 1 x2 x 1 1 1 1 Ta có : 1 1 1 . x2 x 1 2 x2 x 1 2 x2 x x x 1 x x 1 m Suy ra : f 1 . f 2 . f 3 f 2017 e n m f 1 f 2 f 3 f 2017 (lấy ln hai vế) n 1 m 20182 1 m 2018 2018 n 2018 n 20182 1 Ta chứng minh là phân số tối giản. 2018 Giả sử d là ước chung của 20182 1 và 2018 Khi đó ta có 20182 1d , 2018d 20182 d suy ra 1d d 1 20182 1 Suy ra là phân số tối giản, nên m 20182 1,n 2018 . 2018 Vậy m n2 1 . Câu 16: (CHUYÊN HÙNG VƯƠNG – GL) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y sin x cos x mx đồng biến trên ¡ . A. 2 m 2. B. m 2. C. 2 m 2. D. m 2. Hướng dẫn giải Chọn D. Ta có: y sin x cos x mx y ' cos x sin x m Hàm số đồng biến trên ¡ y 0,x ¡ . m sin x cos x,x ¡ .
11. m max x , với x sin x cos x. ¡ Ta có: x sin x cos x 2 sin x 2. 4 Do đó: max x 2. Từ đó suy ra m 2. ¡ Câu 17: (CHUYÊN HÙNG VƯƠNG – GL) Cho hàm số y f (x) xác định và liên tục trên đoạn  2;2 và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên dưới. Xác định giá trị của tham số m để phương trình f x m có số nghiệm thực nhiều nhất. A.3 . B.6 . C.4 . D.5. Hướng dẫn giải Chọn B. Dựa vào đồ thị ta có đồ thị của hàm số y f (x) là: Từ đồ thị ta thấy rằng, với m thỏa 0 m 2 thì phương trình f x m có số nghiệm nhiều nhất là 6. x2 4x Câu 18: (BIÊN HÒA – HÀ NAM) Hàm số y đồng biến trên 1; thì giá trị của m là: x m 1 1 1 A. m ;2 \ 1 . B. m 1;2 \ 1. C. m 1; . D. m 1; . 2 2 2 Giải Chọn D. x2 4x x2 2mx 4m y có tập xác định là D ¡ \ m và y ' 2 . x m x m m 1 Hàm số đã cho đồng biến trên 1; 2 x 2mx 4m 0,x 1;
12. x2 2mx 4m 0,x 1; 2m x 2 x2 ,x 1; (1) Do x 2 thỏa bất phương trình 2m x 2 x2 với mọi m nên ta chỉ cần xét x 2 . x2 2m ,x 1;2 x 2 Khi đó 1 (2) x2 2m ,x 2; x 2 x2 x2 4x Xét hàm số f x trên 1; \ 2 có f x 2 x 2 x 2 x 0 f x 0 x 4 Bảng biến thiên x 1 2 4 y 0 8 y 1 m 1 1 YCBT 2m 1 1 m . 2 2m 8 Cách khác x2 4x x2 2mx 4m y có tập xác định là D ¡ \ m và y ' 2 . x m x m m 1 Hàm số đã cho đồng biến trên 1; 2 x 2mx 4m 0,x 1; 4 m 0 2 m 0 0 m 4m 0 m 4 2 2 x 2mx 4m 0,x 1; 0 m 4m 0 m 1 x x 1 2 1 2 m m 4m 1 1 m 2 1 Kết hợp với đk m 1 ta được 1 m . 2 8 4a 2b c 0 Câu 19: (CHUYÊN ĐHSP HN) Cho các số thực a, b, c thỏa mãn . Số giao điểm 8 4a 2b c 0 của đồ thị hàm số y x3 ax2 bx c và trục Ox là A. 0 .B. 1.C. 2 .D. 3 . Chọn D. Ta có hàm số y x3 ax2 bx c xác định và liên tục trên ¡ .
13. Mà lim y nên tồn tại số M 2 sao cho y M 0 ; lim y nên tồn tại số m 2 x x sao cho y m 0 ; y 2 8 4a 2b c 0 và y 2 8 4a 2b c 0 . Do y m .y 2 0 suy ra phương trình y 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng m; 2 . y 2 .y 2 0 suy ra phương trình y 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng 2;2 . y 2 .y M 0 suy ra phương trình y 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng 2;M . Vậy đồ thị hàm số y x3 ax2 bx c và trục Ox có 3 điểm chung. Câu 20: (CHUYÊN ĐHSP HN) Tập hợp các giá trị của m để đồ thị hàm số 2x 1 y có đúng 1 đường tiệm cận là mx2 2x 1 4x2 4mx 1 A. 0. B. ; 1  1; . C.  D. ; 1  0 1; . Chọn A. Có lim y 0 . Nên hàm số luôn có 1 đường tiệm cận ngang y 0 . Vậy ta tìm điều kiện để x hàm số không có tiệm cận đứng . mx2 2x 1 0 (1) Xét phương trình: mx2 2x 1 4x2 4mx 1 0 2 4x 4mx 1 0 (2) 2x 1 1 TH1: Xét m 0 , ta được y (thỏa ycbt) 2x 1 4x2 1 4x2 1 2 TH2: Xét m 0 . Có: 1 1 m và 2 4m 4 Th2a. Cả 2 phương trình (1) và (2) đều vô nghiệm: 1 m 0 m 1 m 2  4m 4 0 1 m 1 1 Th2b: (1) vô nghiệm, (2) có nghiệm kép x : ta thấy trường hợp này vô lí (vì m 1) 2 1 Th2c: (2) vô nghiệm, (1) có nghiệm kép x : ta thấy trường hợp này vô lí (vì 1 m 1) 2 mx Câu 21: (NGÔ SĨ LIÊN) Trên đoạn  2;2, hàm số y đạt giá trị lớn nhất tại x 1 khi và chỉ x2 1 khi A. m 2. B. m 0. C. m 2. D. m 0.
14. Chọn B Cách 1: Với m 0 thì y 0 nên max y 0 khi x 1.  2;2 Với m 0 . m Đặt x tan t , ta được y .sin 2t . Với x  2;2 thì t  arctan 2;arctan 2. 2 Hàm số đã cho đạt giá trị lớn nhất tại x 1 tương ứng với t . 4 m Khi m 0 thì max y khi và chỉ khi t .  arctan 2;arctan 2 2 4 m Khi m 0 thì max y khi và chỉ khi t .  arctan 2;arctan 2 2 4 Vậy m 0 thỏa mãn bài toán. m 1 x2 Cách 2: Ta có y 2 , x2 1 TH1: m 0 y 0 là hàm hằng nên cũng coi GTLN của nó bằng 0 khi x 1 x 1 (n) TH2: m 0 . Khi đó: y 0 x 1 (n) Vì hàm số đã cho liên tục và xác định nên ta có hàm số đã cho đạt giá trị lớn nhất tại x 1 y 1 y 2 trên đoạn  2;2 khi và chỉ khi y 1 y 2 m 0 m 0 (do m 0 ) y 1 y 1 Vậy m 0 Chú ý: Ngoài cách trên trong TH2 m 0 , ta có thể xét m 0 , m 0 rồi lập BBT cũng tìm được kết quả như trên. Câu 22: (SỞ GD BẮC NINH) Tìm các giá trị thực của tham số m để phương trình 2 x 1 x m x x2 có hai nghiệm phân biệt. 23 23 23 A. m 5; . B. m 5;6. C. m 5;  6. D. m 5;  6. 4 4 4 Hướng dẫn giải +) 2 x 1 x m x x2 (1) Điều kiện: 1 x 2
15. +) 1 3 2 x2 x 2 x2 x m Đặt: x2 x t; f x x2 x; f x 2x 1 1 1 1 f 1 2, f 2 2, f t 2; 2 4 4 1 3 2 t 2 t m 2 t 2 t m 3 m 2 t 2 3 t Đặt f t 2 t 2 3 t 1 1 t 2 f t 1 . f t 0 1 t 2 0 t 1 t 2 t 2 Bảng biến thiên 1 t - -2 -1 4 + f'(t) 6 f(t) 23 5 4 +) x2 x t x2 x t 0 1 Để phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 4t 0 t 4 1 Do đó để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì phương trình có nghiệmt 2; 4 Từ bảng biến thiên m 5;6. Chọn B x3 3 Câu 23: ( CHUYÊN QUANG TRUNG LẦN 3)Cho hàm số y x2 4x 2017 . Định m để 3 2 phương trình y ' m2 m có đúng hai ngiệm thuộc đoạn [0;m] 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 A. ;2 . B. ;2 . C. ;2 . D. ;2 . 3 3 2 2 Hướng dẫn giải Chọn D Ta có: y ' m2 m x2 3x 4 m2 m
16. Đặt f x x2 3x 4 P y m2 m Yêu cầu bài toán : 4 7 3 3 m m 4 2 2 7 7 2 2 2 3 m m m 3m 4 m m 3 4 4 2 2 2 2 m2 m 4 m m m 3m 4 2 m m 4 3 m 2 1 2 2 m 2 1 2 2 m ;2 1 2 2 2 m 2 m 2 0 m 2 Câu 24: (LÊ HỒNG PHONG) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y ln 16x2 1 m 1 x m 2 nghịch biến trên khoảng ; . A. m ; 3. B. m 3; . C. m ; 3 . D. m  3;3. Hướng dẫn giải Chọn B. Ta có: y ln 16x2 1 m 1 x m 2 32x y m 1 16x2 1 Hàm số nghịch biến trên ¡ khi và chỉ khi y 0,x ¡ 32x m 1 0,x ¡ 16x2 1 32x 2 Cách 1: 2 m 1 0,x ¡ 32x m 1 16x 1 0,x ¡ 16x 1 16 m 1 x2 32x m 1 0,x ¡ m 1 16 m 1 0 m 1 m 5 m 3. 2 2 2 16 16 m 1 0 16m 32m 240 0 m 3
17. 32x Cách 2: m 1 0 x ¡ 16x2 1 32x 32x 2 m 1,x ¡ m 1 max g(x), với g(x) 2 16x 1 ¡ 16x 1 512x2 32 Ta có: g (x) 2 16x2 1 1 g (x) 0 x 4 1 1 lim g(x) 0; g 4; g 4 x 4 4 Bảng biến thiên: 1 1 x 4 4 g x 0 0 4 g x 0 0 4 Dựa vào bảng biến thiên ta có max g(x) 4 ¡ Do đó: m 1 4 m 3. cot x 1 Câu 25: (LÊ HỒNG PHONG) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y mcot x 1 đồng biến trên khoảng ; . 4 2 A. m ;0  1; . B. m ;0 . C. m 1; . D. m ;1 . Hướng dẫn giải Chọn B. 1 cot2 x mcot x 1 m 1 cot2 x cot x 1 1 cot2 x 1 m Ta có: y . mcot x 1 2 mcot x 1 2
18. Hàm số đồng biến trên khoảng ; khi và chỉ khi: 4 2 mcot x 1 0,x ; 4 2 m 0 m 1 2 m 0 . 1 cot x 1 m 1 m 0 y 2 0,x ; 4 2 mcot x 1 3 2 Câu 26: (NGUYỄN TRÃI – HD) Phương trình 223x .2x 1024x 23x3 10x2 x có tổng các nghiệm gần nhất với số nào dưới đây A. 0,35. B. 0,40. C. 0,50. D. 0,45. Hướng dẫn giải Chọn D 3 2 3 2 Ta có 223x .2x 1024x 23x3 10x2 x 223x x 23x3 x 210x 10x2 Hàm số f t 2t t đồng biến trên ¡ nên 3 2 5 2 223x x 23x3 x 210x 10x2 23x3 x 10x2 x 0 hoặc x 23 10 Tổng các nghiệm bằng 0,4347 23  Mẹo: Khi làm trắc nghiệm có thể dùng “Định lí Vi-ét cho phương trình bậc ba” 3 2 Nếu phương trình ax bx cx d 0 (a 0) có ba nghiệm x1 , x2 , x3 thì: b c d x x x ; x x x x x x ; x x x 1 2 3 a 1 2 2 3 3 1 a 1 x 3 a Câu 27: (HAI BÀ TRƯNG – HUẾ ) Đường thẳng d : y x 4 cắt đồ thị hàm số y x3 2mx2 m 3 x 4 tại 3 điểm phân biệt A 0;4 , B và C sao cho diện tích tam giác MBC bằng 4, với M 1;3 . Tìm tất cả các giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. A. m 2 hoặc m 3. B. m 2 hoặc m 3. C. m 3. D. m 2 hoặc m 3. Hướng dẫn giải Chọn C. Phương trình hoành độ giao điểm của d và đồ thị C : x3 2mx2 m 3 x 4 4 x 0 3 2 x 2mx m 2 x 0 2 x x 2mx m 2 0 1 Với x 0, ta có giao điểm là A 0;4 . d cắt C tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 0. 0 m 2 0 (*) 2 m m 2 0 Ta gọi các giao điểm của d và C lần lượt là A, B xB ; xB 2 ,C xC ; xC 2 với xB , xC là nghiệm của phương trình (1).
19. xB xC 2m Theo định lí Viet, ta có: xB .xC m 2 1 Ta có diện tích của tam giác MBC là S  BC d M , BC 4. 2 Phương trình d được viết lại là: d : y x 4 x y 4 0. 1 3 4 Mà d M , BC d M ,d 2. 12 1 2 8 8 Do đó: BC BC 2 32 d M , BC 2 2 2 2 2 Ta lại có: BC xC xB yC yB 2 xC xB 32 2 2 xB xC 4xB .xC 16 2m 4 m 2 16 4m2 4m 24 0 m 3;m 2. Đối chiếu với điều kiện, loại đi giá trị m 2. x Câu 28: Cho hàm số y sin2 x, x 0;  . Hỏi hàm số đồng biến trên các khoảng nào? 2 7 11 7 11 A. 0; và ; .B. ; . 12 12 12 12 7 7 11 7 11 11 C. 0; và ; . D. ; và ; . 12 12 12 12 12 12 Hướng dẫn Chọn A. x k 1 1 12 TXĐ: D ¡ . y ' sin 2x . Giải y ' 0 sin 2x , k ¢ 2 2 7 x k 12 7 11 Vì x 0;  nên có 2 giá trị x và x thỏa mãn điều kiện. 12 12 Bảng biến thiên: 7 11 x 0 12 12 y || 0 0 || y 7 11 Hàm số đồng biến 0; và ; 12 12 Câu 29: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y f (x) x mcos x luôn đồng biến trên ¡ ?
20. 3 1 A. m 1.B. m .C. m 1.D. m . 2 2 Hướng dẫn Chọn A. Tập xác định: D ¡ . Ta có y 1 msin x . Hàm số đồng biến trên ¡ y ' 0,x ¡ msin x 1,x ¡ Trường hợp 1: m 0 ta có 0 1,x ¡ . Vậy hàm số luôn đồng biến trên ¡ 1 1 Trường hợp 2: m 0 ta có sin x ,x ¡ 1 m 1 m m 1 1 Trường hợp 3: m 0 ta có sin x ,x ¡ 1 m 1 m m Vậy m 1 Câu 30: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y (m 3)x (2m 1)cos x luôn nghịch biến trên ¡ ? 2 m 3 A. 4 m .B. m 2 . C. .D. m 2 . 3 m 1 Hướng dẫn Chọn A. Tập xác định: D ¡ . Ta có: y ' m 3 (2m 1)sin x Hàm số nghịch biến trên ¡ y ' 0,x ¡ (2m 1)sin x 3 m,x ¡ 1 Trường hợp 1: m ta có . Vậy hàm số luôn nghịch biến trên ¡ . 2 1 3 m 3 m Trường hợp 2: m ta có sin x ,x ¡ 1 2 2m 1 2m 1 3 m 2m 1 m 4 1 Trường hợp 3: m ta có: 2 3 m 3 m 2 2 sin x ,x ¡ 1 3 m 2m 1 m . Vậy m 4; 2m 1 2m 1 3 3 Câu 31: Tìm mối liên hệ giữa các tham số a và b sao cho hàm số y f (x) 2x asin x bcosx luôn tăng trên ¡ ?
21. 1 1 1 2 A. 1.B. a 2b 2 3 .C. a2 b2 4 . D. a 2b . a b 3 Hướng dẫn Chọn C. Tập xác định D R . Ta có: y 2 acosx bsin x Áp dụng bất đẳng thức Schwartz ta có 2 a2 b2 y 2 a2 b2 Yêu cầu của bài toán đưa đến giải bất phương trình y 0,x 2 a2 b2 0 a2 b2 4 . Câu 32: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y x3 6x2 mx 1 đồng biến trên khoảng 0; ? A. m 0 .B. m 12 .C. m 0 .D. m 12 . Hướng dẫn Chọn D. Cách 1:Tập xác định: D ¡ . Ta có y 3x2 12x m • Trường hợp 1: 3 0 (hn) Hàm số đồng biến trên y 0, x ¡ m 12 36 3m 0 • Trường hợp 2: Hàm số đồng biến trên 0; y 0 có hai nghiệm x1, x2 thỏa x1 x2 0 (*) ✓ Trường hợp 2.1: y 0 có nghiệm x 0 suy ra m 0 . Nghiệm còn lại của y 0 là x 4 (không thỏa (*)) ✓ Trường hợp 2.2: y 0 có hai nghiệm x1, x2 thỏa 0 36 3m 0 x1 x2 0 S 0 4 0(vl) không có m .Vậy m 12 P 0 m 0 3 Cách 2:Hàm số đồng biến trên 0; m 12x 3x2 g(x),x (0; ) . Lập bảng biến thiên của g(x) trên 0; . x 0 2 +∞ g + 0 –
22. 12 g 0 –∞ Câu 33: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y x4 2(m 1)x2 m 2 đồng biến trên khoảng (1;3) ? A. m  5;2 . B. m ;2. C. m 2, . D. m ; 5 . Hướng dẫn Chọn B. Tập xác định D ¡ . Ta có y ' 4x3 4(m 1)x . Hàm số đồng biến trên (1;3) y ' 0,x (1;3) g(x) x2 1 m,x (1;3) . Lập bảng biến thiên của g(x) trên (1;3) . x 1 3 g + 0 10 g 2 Dựa vào bảng biến thiên, kết luận: m min g(x) m 2 . 1 1 Câu 34: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y x3 mx2 2mx 3m 4 3 2 nghịch biến trên một đoạn có độ dài là 3? A. m 1;m 9.B. m 1 . C. m 9 .D. m 1;m 9 . Hướng dẫn Chọn A. Tập xác định: D ¡ . Ta có y x2 mx 2m Ta không xét trường hợp y 0,x ¡ vì a 1 0 Hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài là 3 y 0 có 2 nghiệm x1, x2 thỏa 2 0 m 8m 0 m 8 hay m 0 m 1 x1 x2 3 2 2 m2 8m 9 m 9 x1 x2 9 S 4P 9
23. tan x 2 Câu 35: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y đồng biến trên tan x m khoảng 0; ? 4 A.1 m 2 .B. m 0;1 m 2 .C. m 2 .D. m 0 . Hướng dẫn Chọn B. +) Điều kiện tan x m . Điều kiện cần để hàm số đồng biến trên 0; là m 0;1 4 2 m +) y' . cos2 x(tan x m)2 1 +) Ta thấy: 2 2 0x 0; ;m 0;1 cos x(tan x m) 4 y' 0 m 2 0 +) Để hs đồng biến trên 0; m 0 hoặc 1 m 2 4 m (0;1) m 0;m 1 Câu 36: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số mx3 y f (x) 7mx2 14x m 2 giảm trên nửa khoảng [1; ) ? 3 14 14 14 14 A. ; .B. ; .C. 2; .D. ; . 15 15 15 15 Hướng dẫn Chọn B. Tập xác định D R , yêu cầu của bài toán đưa đến giải bất phương trình 14 mx2 14mx 14 0,x 1, tương đương với g(x) m (1) x2 14x 14 Dễ dàng có được g(x) là hàm tăng x 1; , suy ra min g(x) g(1) x 1 15 14 Kết luận: (1) min g(x) m m x 1 15 Câu 37: Tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y x4 (2m 3)x2 m nghịch biến p p trên khoảng 1;2 là ; , trong đó phân số tối giản và q 0 . Hỏi tổng p q là? q q A. 5.B. 9. C. 7.D. 3. Hướng dẫn
24. Chọn C. Tập xác định D ¡ . Ta có y 4x3 2(2m 3)x . 3 Hàm số nghịch biến trên (1;2) y 0,x (1;2) m x2 g(x),x (1;2) . 2 Lập bảng biến thiên của g(x) trên (1;2) . g (x) 2x 0 x 0 Bảng biến thiên x 1 2 g + 0 11 2 g 5 2 5 Dựa vào bảng biến thiên, kết luận: m min g(x) m . Vậy p q 5 2 7 . 2 Câu 38: Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m sao cho hàm số 2x2 (1 m)x 1 m y đồng biến trên khoảng (1; ) ? x m A. 3.B. 1. C. 2.D. 0. Hướng dẫn Chọn D. 2x2 4mx m2 2m 1 g(x) Tập xác định D ¡ \ m . Ta có y (x m)2 (x m)2 Hàm số đồng biến trên (1; ) khi và chỉ khi g(x) 0,x 1 và m 1 (1) 2 Vì g 2(m 1) 0,m nên (1) g(x) 0 có hai nghiệm thỏa x1 x2 1 2g(1) 2(m2 6m 1) 0 Điều kiện tương đương là S m 3 2 2 0,2 . m 1 2 Do đó không có giá trị nguyên dương của m thỏa yêu cầu bài toán. Câu 39: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình 2 x 1 x m có nghiệm thực? A. m 2 .B. m 2 . C. m 3 .D. m 3 . Hướng dẫn Chọn B.
25. Đặt t x 1,t 0 . Phương trình thành: 2t t2 1 m m t2 2t 1 Xét hàm số f (t) t 2 2t 1,t 0; f (t) 2t 2 Bảng biến thiên của f t : t 0 1 f t 0 f t 2 1 Từ đó suy ra phương trình có nghiệm khi m 2 . Câu 40: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình x2 4x 5 m 4x x2 có đúng 2 nghiệm dương? A.1 m 3.B. 3 m 5 .C. 5 m 3 .D. 3 m 3 . Hướng dẫn Chọn B x 2 Đặt t f (x) x2 4x 5 . Ta có f (x) . f (x) 0 x 2 x2 4x 5 Xét x 0 ta có bảng biến thiên x 0 2 f x 0 5 f x 1 Khi đó phương trình đã cho trở thành m t2 t 5 t2 t 5 m 0 (1). Nếu phương trình (1) có nghiệm t1,t2 thì t1 t2 1. (1) có nhiều nhất 1 nghiệm t 1. Vậy phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm dương khi và chỉ khi phương trình (1) có đúng 1 nghiệm t 1; 5 . Đặt g(t) t2 t 5 . Ta đi tìm m để phương trình g(t) m có đúng 1 nghiệmt 1; 5 . Ta có g (t) 2t 1 0,t 1; 5 . Bảng biến thiên:
26. t 1 5 g t 5 g t 3 Từ bảng biến thiên suy ra 3 m 5 là các giá trị cần tìm. Câu 41: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình: log2 x log2 x 1 2m 1 0 có ít nhất một nghiệm trên đoạn 1;3 3 ? 3 3 A. 1 m 3.B. 0 m 2 .C. 0 m 3.D. 1 m 2 . Hướng dẫn Chọn B. 2 Đặt t log3 x 1 . Điều kiện: t 1. Phương trình thành: t 2 t 2m 2 0 (*) . Khi x 1;3 3 t [1;2] t 2 t 2 (*) f (t) m . Bảng biến thiên : 2 t 1 2 f t 2 f t 0 Từ bảng biến thiên ta có : 0 m 2 Câu 42: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình x2 mx 2 2x 1 có hai nghiệm thực? 7 3 9 A. m . B. m . C. m .D. m ¡ . 2 2 2 Hướng dẫn Chọn C 1 Điều kiện: x 2
27. Phương trình x2 mx 2 2x 1 3x2 4x 1 mx (*) 3x2 4x 1 Vì x 0 không là nghiệm nên (*) m x 3x2 4x 1 3x2 1 1 Xét f (x) . Ta có f (x) 0 x ; x 0 x x2 2 Bảng biến thiên x 1 0 2 f x + + f x 9 2 9 Từ bảng biến thiên ta có để phương trình có hai nghiệm thì m . 2 Câu 43: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho mọi nghiệm của bất phương trình: x2 3x 2 0 cũng là nghiệm của bất phương trình mx2 m 1 x m 1 0? 4 4 A. m 1.B. m . C. m .D. m 1. 7 7 Hướng dẫn Chọn C. Bất phương trình x2 3x 2 0 1 x 2 . x 2 Bất phương trình mx2 m 1 x m 1 0 m(x2 x 1) x 2 m x2 x 1 x 2 x2 4x 1 Xét hàm số f (x) với 1 x 2 . Có f (x) 0,x [1;2] x2 x 1 (x2 x 1)2 4 Yêu cầu bài toán m max f (x) m [1;2] 7 1 Câu 44: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho bất phương trình: x 3 3mx 2 x 3 nghiệm đúng x 1 ? 2 2 3 1 3 A. m .B. m . C. m . D. m . 3 3 2 3 2 Hướng dẫn