Ôn tập Vận dụng cao Toán 12 - Chủ đề 2: Lũy thừa- Mũ- Logarit (Có đáp án)

Nội dung tài liệu: Ôn tập Vận dụng cao Toán 12 - Chủ đề 2: Lũy thừa- Mũ- Logarit (Có đáp án)

1. PHẦN CUỐI: BÀI TOÁN VẬN DỤNG (8.9.10) Chủ đề 2. LŨY THỪA – MŨ – LOGARIT y log 3x 1 Câu 1: (SGD VĨNH PHÚC)Đạo hàm của hàm số 2 là: 6 2 6 2 A. y B. y C. y D. y 3x 1 ln 2 3x 1 ln 2 3x 1 ln 2 3x 1 ln 2 Hướng dẫn giải Chọn C. Điều kiện: 3x 1 0 3x 1 3 6 y log 3x 1 y . 2 3x 1 ln 2 3x 1 ln 2 3x 1 ln 2 Câu 2: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Bất phương trình 2.5x 2 5.2x 2 133. 10x có tập nghiệm là S a;b thì b 2a bằng A. 6 B.10 C.12 D.16 Hướng dẫn giải Ta có: 2.5x 2 5.2x 2 133. 10x 50.5x 20.2x 133 10x chia hai vế bất phương trình x x 20.2x 133 10x 2 2 cho 5x ta được : 50 50 20. 133. (1) x x 5 5 5 5 x 2 2 2 25 Đặt t ,(t 0) phương trình (1) trở thành: 20t 133t 50 0 t 5 5 4 x 2 x 4 2 2 25 2 2 2 Khi đó ta có: 4 x 2 nên a 4,b 2 5 5 4 5 5 5 Vậy b 2a 10 BÌNH LUẬN 2 2 Phương pháp giải bất phương trình dạng ma n ab pb 0 : chia 2 vế của bất 2 2 phương trình cho a hoặc b . Câu 3: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho a là số nguyên dương lớn nhất thỏa mãn 3 3log3 1 a a 2log2 a . Tìm phần nguyên của log2 2017a . A. 14 B. 22C. 16 D. 19 Hướng dẫn giải
2. 6 3 2 3 Đặt t a,t 0 , từ giả thiết ta có 3log3 1 t t 2log2 t 3 2 2 f t log3 1 t t log2 t 0 1 3t 2 2t 2 1 3ln 2 2ln 3 t3 2ln 2 2ln 3 t 2 2ln 3 f t . . ln 3 t3 t 2 1 ln 2 t ln 2.ln 3. t 4 t3 t Vì đề xét a nguyên dương nên ta xét t 1. Xét g t 3ln 2 2ln 3 t3 2ln 2 2ln 3 t 2 2ln 3 8 2 4 8 4 Ta có g t 3ln t 2ln t t 3ln t 2ln 9 9 9 9 2ln 9 g t 0 t 4 0. 3ln 8 9 Lập bảng biến thiên suy ra hàm số g t giảm trên khoảng 1; . Suy ra g t g 1 5ln 2 6ln 3 0 f t 0 . Suy ra hàm số f t luôn giảm trên khoảng 1; . Nên t 4 là nghiệm duy nhất của phương trình f t 0. Suy ra f t 0 f t f 4 t 4 6 a 4 a 4096 . Nên số nguyên a lớn nhất thỏa mãn giả thiết bài toán là a 4095 . Lúc đó log2 2017a 22,97764311. Nên phần nguyên của log2 2017a bằng 22. Đáp án: B. 15 Câu 4: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Biết x là một nghiệm của bất phương trình 2 2log 23x 23 log x2 2x 15 T a a (*). Tập nghiệm của bất phương trình (*) là: 19 17 A.T ; .B. T 1; . C.T 2;8 .D. T 2;19 . 2 2 Hướng dẫn giải 2log 23x 23 log x2 2x 15 log 23x 23 log x2 2x 15 a a a a Nếu a 1ta có
3. 23x 23 x2 2x 15 log 23x 23 log x2 2x 15 2 x 19 a a 2 x 2x 15 0 Nếu 0 a 1ta có 2 2 23x 23 x 2x 15 1 x 2 loga 23x 23 loga x 2x 15 23x 23 0 x 19 15 Mà x là một nghiệm của bất phương trình.Chọn D. 2 BÌNH LUẬN y log b - Sử dụng tính chất của hàm số logarit a đồng biến nếu a 1 nghịch biến nếu 0 a 1 a 1 g x 0 f x g x log f x log g x - a a 0 a 1 f x 0 f x g x Câu 5: (T.T DIỆU HIỀN) Tìm m để phương trình : 2 2 1 5 m 1 log 1 x 2 4 m 5 log 1 4m 4 0 có nghiệm trên ,4 2 2 x 2 2 7 7 A. 3 m . B. m ¡ . C. m  . D. 3 m . 3 3 Hướng dẫn giải Chọn A. 5 t log x 2 Đặt 1 . Do x ;4 t  1;1 2 2 4 m 1 t 2 4(m 5)t 4m 4 0 m 1 t 2 m 5 t m 1 0 m t 2 t 1 t 2 5t 1 t 2 5t 1 m t 2 t 1 g m f t
4. t 2 5t 1 Xét f t với t  1;1 t 2 t 1 4 4t 2 f t 2 0 t  1;1 Hàm số đồng biến trên đoạn  1;1 t 2 t 1 Để phương trình có nghiệm khi hai đồ thị g m ; f t cắt nhau t  1;1 7 f ( 1) g m f 1 3 m 3 BÌNH LUẬN Đây là dạng toán ứng dụng hàm số để giải bài toán chứa tham số. Đối với bài toán biện luận nghiệm mà chứa tham số thì phải tìm điều kiện đúng cho ẩn phụ sau đó cô lập m rồi tìm max, min hàm số. Câu 6: (LẠNG GIANG SỐ 1) Số các giá trị nguyên dương để bất phương trình 2 2 2 3cos x 2sin x m.3sin x có nghiệm là A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . Hướng dẫn giải Chọn A. Đặtsin2 x t 0 t 1 t cos2 x sin2 x sin2 x 1 t t t 3 t t 3 2 3 2 m.3 3 2 3 t 2 m.3 2 m 3 3t 3 t 3 2 Đặt: y t 0 t 1 9 3 t t 1 1 2 2 y 3. .ln .ln 0 Hàm số luôn nghịch biến 9 9 3 3 Dựa vào bảng biến thiên suy ra m 1 thì phương trình có nghiệm Suy ra các giá trị nguyên dương cần tìm m 1.
5. Câu 7: (LÝ TỰ TRỌNG – TPHCM) Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để phương trình 2 2 m.3x 3x 2 34 x 36 3x m có đúng 3 nghiệm thực phân biệt. A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Hướng dẫn giải Chọn A. 2 3x 3x 2 u Đặt. u.v 36 3x . Khi đó phương trình trở thành 4 x2 3 v mu v uv m m u 1 v u 1 0 u 1 m v 0 x2 3 x 2 u 1 3 1 2 v m 2 x 3 m m 0 2 x 1 x 3x 2 0 x 2 4 x2 log m 3 2 x 4 log3 m 2 Để phương trình có ba nghiệm thì x 4 log3 m có một nghiệm khác 1;2 . Tức 4 log3 m 0 m 81. Chọn A. log a logb log c b2 Câu 8: (LÝ TỰ TRỌNG – TPHCM) Cho log x 0; x y . Tính y theo p, q, r . p q r ac p r A. y q2 pr . B. y . C. y 2q p r . D. y 2q pr . 2q Hướng dẫn giải Chọn C. b2 b2 x y log log x y ac ac y log x 2logb log a log c 2q log x p log x r log x log x 2q p r y 2q p r (do log x 0 ). BÌNH LUẬN b Sử dụng log bc log b log c,log log b log c,log bm mlog b a a a a c a a a a 4x Câu 9: (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Cho hàm số f x . Tính giá trị biểu thức 4x 2 1 2 100 A f f f ? 100 100 100 149 301 A.50 .B. 49 .C. .D. . 3 6 Hướng dẫn giải
6. Chọn D. X 100 4100 301 Cách 1. Bấm máy tính Casio fx 570 theo công thức .  X X 1 100 6 4 2 4x Cách 2.Sử dụng tính chất f x f 1 x 1 của hàm số f x . Ta có 4x 2 1 99 2 98 49 51 50 100 A f f f f f f f f 100 100 100 100 100 100 100 100 1 42 4 301 49 1 4 2 6 42 2 4x PS: Chứng minh tính chất của hàm số f x . 4x 2 4x 41 x 4x 4 4x 2 Ta có f x f 1 x 1. 4x 2 41 x 2 4x 2 4 2.4x 4x 2 2 4x 2 2 Câu 10: (THTT – 477) Nếu log8 a log4 b 5 và log4 a log8 b 7 thì giá trị của ab bằng A. 29. B. 218. C. 8. D. 2. Hướng dẫn giải Chọn A. x y Đặt x log2 a a 2 ; y log2 b b 2 . 1 2 x y 5 log8 a log4 b 5 3 x 3y 15 x 6 x y 9 Ta có . Suy ra ab 2 2 . log a2 log b 7 1 3x y 21 y 3 4 8 x y 7 3 BÌNH LUẬN Nguyên tắc trong bài này là đưa về logarit cơ số 2. Câu 11: (THTT – 477) Cho n 1 là một số nguyên. Giá trị của biểu thức 1 1 1 bằng log2 n! log3 n! logn n! A. 0. B. n. C. n!. D. 1. Hướng dẫn giải Chọn D. 1 1 1 1 n 1,n ¢ logn! 2 logn! 3 logn! 4 logn! n log2 n! log3 n! log4 n! logn n! logn! 2.3.4 n logn! n! 1 BÌNH LUẬN 1 loga b = , loga bc = loga b + loga c , loga a = 1 logb a Sử dụng công thức
7. Câu 12: (CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH) Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn 2x 2 y 4 . Tìm giá 2 2 trị lớn nhất Pmax của biểu thức P 2x y 2y x 9xy . 27 A. P .B. P 18.C. P 27 .D. P 12 . max 2 max max max Hướng dẫn giải Chọn B. Ta có 4 2x 2 y 2 2x y 4 2x y x y 2 . 2 x y Suy ra xy 1. 2 Khi đó P 2x2 y 2y2 x 9xy 2 x3 y3 4x2 y2 10xy . P 2 x y x y 2 3xy 2xy 2 10xy 4 4 3xy 4x2 y2 10xy 16 2x2 y2 2xy xy 1 18 Vậy Pmax 18khi x y 1. Câu 13: (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình 2 2 x x 2 7 3 5 m 7 3 5 2x 1 có đúng hai nghiệm phân biệt. 1 m 0 1 1 1 1 2 A. m . B. 0 m . C. m . D. . 16 16 2 16 1 m 16 Chọn D. x2 x2 7 3 5 7 3 5 1 PT m . 2 2 2 x2 7 3 5 2 2 Đặt t 0;1. Khi đó PT 2t t 2m 0 2m t 2t g t (1). 2 1 Ta có g t 1 4t 0 t . 4 Suy ra bảng biến thiên:
8. 1 t 0 1 4 g t 0 1 g t 8 0 1 PT đã cho có đúng 2 nghiệm phân biệt (1) có đúng 1 nghiệm t 0;1 1 1 m 2m 16 8 . 1 1 2m 0 m 0 2 BÌNH LUẬN Trong bài này các em cần lưu ý tìm điều kiện đúng cho t và mối quan hệ số nghiệm giữa biến cũ và biến mới, tức là mỗi t 0;1 cho ta hai giá trị x . 1 x 1 x Câu 14: (CHUYÊN ĐHSP HN) Số nghiệm thực phân biệt của phương trình 2 4x 24 x 4 là A. 2. B. 3. C. 1.D. 0. Chọn D. Điều kiện x 0 1 1 x 1 - Nếu x 0 x 1, dấu bằng xẩy ra khi x và 1, 4x 2 4 x 1 x 1 x dấu bằng xẩy ra khi x 2 suy ra 2 4x 24 x 4,x 0 1 1 1 x 1 1 - Nếu x 0 x 1 x 1 2 4x , dấu bằng xẩy ra khi x 4x 4x 2 2 x 1 x 1 x 1 1 và 1 1 24 x , dấu bằng xẩy ra khi x 2 4 x 4 x 2 1 x 1 x Suy ra 2 4x 24 x 1,x 0 Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. BÌNH LUẬN Sử dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số dương a b 2 ab , dấu “=” xảy ra khi a b. 2 2 Câu 15: (CHUYÊN ĐH VINH) Số nghiệm của phương trình log3 x 2x log5 x 2x 2 là
9. A.3. B. 2. C.1. D. 4. Đáp án: B. ĐK: x 0; x 2 . Đặt t x2 2x x2 2x 2 t 2 log3 t log5 t 2 . Đặt log3 t log5 t 2 u u log3 t u t 3 u log5 t 2 u t 2 5 5u 2 3u 5u 3u 2 (1) 5u 2 3u 5u 3u 2 u u . u u u u 3 1 5 2 3 3 2 5 2 1 (2) 5 5 • Xét 1 :5u 3u 2 Ta thấy u 0 là 1 nghiệm, dùng phương pháp hàm số hoặc dùng BĐT để chứng minh nghiệm u 0 là duy nhất. Với u 0 t 1 x2 2x 1 0, phương trình này vô nghiệm. u u 3 1 • Xét 2 : 2 1 5 5 Ta thấy u 1 là 1 nghiệm, dùng phương pháp hàm số hoặc dùng BĐT để chứng minh nghiệm u 1 là duy nhất. Với u 0 t 3 x2 2x 3 0 , phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa x 0; x 2 . BÌNH LUẬN Cho f x g x 1 nếu f x , g x đối nghịch nhau nghiêm ngặt hoặc g x const và f x tăng, giảm nghiêm ngặt thì (1) có nghiệm duy nhất. Câu 16: (CHUYÊN THÁI BÌNH) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình sau có 2 hai nghiệm thực phân biệt: log3 (1 x ) log1 (x m 4) 0 . 3 1 21 21 1 A. m 0.B. 5 m . C.5 m . D. m 2 . 4 4 4 4 Chọn C.
10. 2 1 x 0 x 1;1 log (1 x2 ) log (x m 4) 0 3 1 2 2 3 log3 (1 x ) log3 (x m 4) 1 x x m 4 Yêu cầu bài toán f x x2 x m 5 0 có 2 nghiệm phân biệt 1;1 Cách 1: Dùng định lí về dấu tam thức bậc hai. Để thỏa yêu cầu bài toán ta phải có phương trình f x 0 có hai nghiệm thỏa: 1 x1 x2 1 a. f 1 0 a. f 1 0 m 5 0 21 0 m 3 0 5 m . 4 S 21 4m 0 1 1 2 Cách 2: Với điều kiện có nghiệm, tìm các nghiệm của phương trình f x 0 rồi so sánh trực tiếp các nghiệm với 1 và 1. Cách 3: Dùng đồ thị Đường thẳng y m cắt đồ thị hàm số y x2 x 5 tại hai điểm phân biệt trong khoảng 1;1 khi và chỉ khi đường thẳng y m cắt đồ thị hàm số y x2 x 5 tại hai điểm phân biệt có hoành độ 1;1 . Cách 4: Dùng đạo hàm 1 Xét hàm số f x x2 x 5 f x 2x 1 0 x 2 1 21 Có f ; f 1 3; f 1 5 2 4 Ta có bảng biến thiên 1 x 1 1 2 f x – 0 21 f x 5 3 4
11. Dựa vào bảng biến thiên, để có hai nghiệm phân biệt trong khoảng 1;1 khi 21 21 m 5 m 5 . 4 4 Cách 5: Dùng MTCT Sau khi đưa về phương trình x2 x m 5 0 , ta nhập phương trình vào máy tính. * Giải khi m 0,2: không thỏa loại A, D. * Giải khi m 5 : không thỏa loại B. Câu 17: Tập tất cả các giá trị của m để phương trình 2 x 1 2 x m 2 .log2 x 2x 3 4 .log2 2 x m 2 có đúng ba nghiệm phân biệt là: 1 3 1 3 1 3 1 3 A. ; 1; . B. ;1; . C. ;1; . D. ;1; . 2 2 2 2 2 2 2 2 Hướng dẫn giải Chọn D 2 x 1 2 x m Ta có 2 .log2 x 2x 3 4 .log2 2 x m 2 1 2 2 x 1 .log x 1 2 2 22 x m .log 2 x m 2 2 2 2 t Xét hàm số f t 2 .log2 t 2 ,t 0. Vì f t 0,t 0 hàm số đồng biến trên 0; 2 2 Khi đó 2 f x 1 f 2 x m x 1 2 x m x2 4x 1 2m 0 3 2 x 2m 1 4 Phương trình 1 có đúng ba nghiệm phân biệt nếu xảy ra các trường hợp sau: +) PT 3 có nghiệm kép khác hai nghiệm phân biệt của PT 4 3 m , thay vào PT 4 thỏa mãn 2 +) PT 4 có nghiệm kép khác hai nghiệm phân biệt của PT 3 1 m , thay vào PT 3 thỏa mãn 2
12. +) PT 4 có hai nghiệm phân biệt và PT 3 có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm của hai PT trùng nhau 1 3 4 x 2m 1 ,với m . Thay vào PT 3 tìm được m 1. 2 2 1 3 KL: m ;1; . 2 2 BÌNH LUẬN B1: Đưa phương trình về dạng f u f v với u,v là hai hàm theo x . B2: Xét hàm số f t ,t D. B3: Dùng đạo hàm chứng minh hàm số f t ,t D tăng hoặc giảm nghiêm ngặt trên D. B4: f u f v u v Câu 18: (QUẢNG XƯƠNG I) Tất cả các giá trị của m để bất phương trình (3m 1)12x (2 m)6x 3x 0 có nghiệm đúng x 0 là: 1 1 A. 2; . B. ( ; 2] .C. ; . D. 2; . 3 3 Chọn đáp án B Đặt 2x t . Do x 0 t 1. Khi đó ta có : (3m 1) t2 (2 m) t 1 0,  t 1 t 2 2t 1 (3t2 t) m t2 2t 1  t 1 m  t 1 3t 2 t t 2 2t 1 7t 2 6t 1 Xét hàm số f (t) trên 1; f '(t) 0 t (1; ) 3t 2 t (3t2 t)2 BBT t 1 f'(t) + 1 3 f(t) 2 Do đó m lim f (t) 2 thỏa mãn yêu cầu bài toán t 1 BÌNH LUẬN
13. m f x x D m maxf x x D Sử dụng m f x x D m minf x x D Câu 19: (QUẢNG XƯƠNG I) Trong các nghiệm (x; y) thỏa mãn bất phương trình log (2x y) 1. Giá trị lớn nhất của biểu thức T 2x y bằng: x2 2 y2 9 9 9 A. .B. . C. .D.9. 4 2 8 Chọn đáp án B x2 2y2 1 0 x2 2y2 1 Bất PT log (2x y) 1 (I), (II) . x2 2 y2 2 2 2 2 2x y x 2y 0 2x y x 2y Xét T= 2x y TH1: (x; y) thỏa mãn (II) khi đó 0 T 2x y x2 2y2 1 1 9 TH2: (x; y) thỏa mãn (I) x2 2y2 2x y (x 1)2 ( 2y )2 . Khi đó 2 2 8 1 1 9 2 1 2 1 2 9 9 9 9 9 2x y 2(x 1) ( 2y ) (2 ) (x 1) ( 2y ) . 2 2 2 4 2 2 2 4 2 8 4 2 9 1 Suy ra : maxT (x; y) (2; ) 2 2 BÌNH LUẬN y log b - Sử dụng tính chất của hàm số logarit a đồng biến nếu a 1 nghịch biến nếu 0 a 1 a 1 g x 0 f x g x log f x log g x a a 0 a 1 f x 0 f x g x 2 2 2 2 - Sử dụng bất đẳng thức BCS cho hai bộ số a;b , x; y thì ax by a b x y a b Dấu “=” xảy ra khi 0 x y Câu 20: (MINH HỌA L2) Tìm tập hợp các giá trị của tham số thực m để phương trình 6x 3 m 2x m 0 có nghiệm thuộc khoảng 0;1 . A. 3;4 . B. 2;4 . C. 2;4 . D. 3;4 .
14. Chọn C. 6x 3.2x Ta có: 6x 3 m 2x m 0 1 m 2x 1 6x 3.2x Xét hàm số f x xác định trên ¡ , có 2x 1 12x.ln 3 6x.ln 6 3.2x.ln 2 f x 2 0,x ¡ nên hàm số f x đồng biến trên ¡ 2x 1 Suy ra 0 x 1 f 0 f x f 1 2 f x 4 vì f 0 2, f 1 4. Vậy phương trình 1 có nghiệm thuộc khoảng 0;1 khi m 2;4 . Câu 21: ( CHUYÊN QUANG TRUNG LẦN 3)Tìm m để bất phương trình 2 2 1 log5 x 1 log5 mx 4x m thoã mãn với mọi x ¡ . A. 1 m 0 . B. 1 m 0 . C. 2 m 3. D. 2 m 3. Hướng dẫn giải Chọn C. 2 mx 4x m 0 BPT thoã mãn với mọi x ¡ . x ¡ 2 2 5 x 1 mx 4x m m 0 m 0 m 2 2 mx2 4x m 0 16 4m 0 m 2 x ¡ 2 m 3. 2 5 m x 4x 5 m 0 5 m 0 m 5 2 16 4 5 m 0 m 3 m 7 BÌNH LUẬN 2 a 0 f x ax bx c 0x R 0 Sử dụng dấu tam thức bậc hai không đổi trên R : 2 a 0 f x ax bx c 0x R 0 e3x m-1 e x +1 4 Câu 22: ( CHUYÊN QUANG TRUNG LẦN 3)Cho hàm số y . Tìm m để hàm số 2017 đồng biến trên khoảng 1;2 . A. 3e3 1 m 3e4 1. B. m 3e4 1. C. 3e2 1 m 3e3 1. D. m 3e2 1. Hướng dẫn giải
15. Chọn B. e3 x m 1 ex 1 4 4 3x x • y .ln . e m 1 e 1 = 2017 2017 e3 x m 1 ex 1 4 4 3x x y .ln . 3e m 1 e 2017 2017 •Hàm số đồng biến trên khoảng 1;2 e3 x m 1 ex 1 4 4 3x x y .ln . 3e m 1 e 0,x 1;2 (*), mà 2017 2017 e3 x m 1 ex 1 4 0,x ¡ 2017 3x x . Nên (*) 3e m 1 e 0,x 1;2 4 ln 0 2017 3e2x 1 m,x 1;2 •Đặt g x 3e2x 1,x 1;2 , g x 3e2x .2 0,x 1;2 x 1 2 g x | | . Vậy (*) xảy ra khi m g 2 m 3e4 1. g x | Z | BÌNH LUẬN Sử dụng au ' u 'au ln a và phương pháp hàm số như các bài trên. Câu 23: (CHUYÊN BẮC GIANG) Trong hình vẽ dưới đây có đồ thị của các hàm số y a x , y bx , y logc x . y y bx y a x 3 2 y logc x 1 1 O 1 2 3 x . Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây? A. c a b. B. a c b. C. b c a. D. a b c.
16. Hướng dẫn giải Chọn B. Từ đồ thị Ta thấy hàm số y a x nghịch biến 0 a 1. x Hàm số y b , y logc x đồng biến b 1,c 1 a b,a c nên loại A, C x Nếu b c thì đồ thị hàm số y b và y logc x phải đối xứng nhau qua đường phân giác góc phần tư thứ nhất y x . Nhưng ta thấy đồ thị hàm số y logc x cắt đường y x nên loại D. Câu 24: (CHUYÊN BẮC GIANG) Biết rằng phương trình x 2 log2 4 x 2 4. x 2 3 có hai nghiệm x1 , x2 x1 x2 . Tính 2x1 x2 . A. 1. B. 3 . C. 5 . D. 1. Hướng dẫn giải Chọn D. • Điều kiện x 2 . • Phương trình thành x 2 log2 4 log2 x 2 4. x 2 3 • x 2 2 . x 2 log2 x 2 4. x 2 3 hay x 2 log2 x 2 4. x 2 . • Lấy lôgarit cơ số 2 hai vế ta được log2 x 2 .log2 x 2 log2 4 x 2 5 log2 x 2 1 x log2 x 2 2 log x 2 2 . 2 2 log2 x 2 2 x 6 5 5 • Suy ra x và x 6. Vậy 2x x 2. 6 1. 1 2 2 1 2 2 Câu 25: (CHUYÊN KHTN L4) Cho x, y là số thực dương thỏa mãn ln x ln y ln x2 y . Tìm giá trị nhỏ nhất của P x y A. P 6 . B. P 2 2 3. C. P 2 3 2 . D. P 17 3 . Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B. Từ ln x ln y ln x2 y xy x2 y . Ta xét: Nếu 0 x 1 thì y xy x2 y 0 x2 mâu thuẫn. x2 x2 Nếu x 1 thì xy x2 y y x 1 x2 y . Vậy P x y x . x 1 x 1
17. x2 Ta có f x x xét trên 1; . x 1 2 2 2 x (loai) 2x 4x 1 2 Có f ' x 2 0 x 2x 1 2 2 x (nhan) 2 2 2 Vậy min f x f 2 2 3. 1; 2 Câu 26: (CHUYÊN KHTN L4) Tìm tập hợp tất cả các tham số m sao cho phương trình 2 2 4x 2x 1 m.2x 2x 2 3m 2 0 có bốn nghiệm phân biệt. A. ;1 . B. ;1  2; . C. 2; . D. 2; . Hướng dẫn giải 2 Đặt t 2(x 1) t 1 Phương trình có dạng: t 2 2mt 3m 2 0 * Phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1 2 2 2 m 3m 2 0 m 3m 2 0 m 3m 2 0 m 1 0 m 2 2 2 x1,2 m m 3m 2 1 m 3m 2 m 1 2 2 m 3m 2 m 2m 1 Chọn đáp án: D BÌNH LUẬN Trong bài này do đề bài yêu cầu phương trình có 4 nghiệm phân biệt nên ta cần chú ý mỗi t 1 thì ta nhận được bao nhiêu giá trị x Từ phương trình (*) chúng ta có thể cô lập m và ứng dụng hàm số để biện luận số nghiệm của phương trình thỏa đề bài. x x Câu 27: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình log2 (5 1).log2 (2.5 2) m có nghiệm với mọi x 1? A. m 6 . B. m 6 .C. m 6 .D. m 6 . Hướng dẫn giải x x x x BPT log2 (5 1).log2 (2.5 2) m log2 (5 1). 1 log2 (5 1) m Đặt t log x x2 1 do x 1 t 2; 6 
18. BPT t(1 t) m t 2 t m f (t) m Với f (t) t 2 t f , (t) 2t 1 0 vớit 2; nên hàm đồng biến trên t 2; Nên Minf (t) f (2) 6 x x Do đó để để bất phương trình log2 (5 1).log2 (2.5 2) m có nghiệm với mọi x 1thì : m Minf (t) m 6 Câu 28: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 2 2 2 log2 x log 1 x 3 m log4 x 3 có nghiệm thuộc 32; ? 2 A. m 1; 3 .B. m 1; 3 . C. m 1; 3 .D. m 3;1 . Hướng dẫn giải 2 Điều kiện: x 0. Khi đó phương trình tương đương: log2 x 2log2 x 3 m log2 x 3 . Đặt t log2 x với x 32 log2 x log2 32 5 hay t 5. Phương trình có dạng t 2 2t 3 m t 3 * . Khi đó bài toán được phát biểu lại là: “Tìm m để phương trình (*) có nghiệm t 5 ” Với t 5 thì (*) t 3 . t 1 m t 3 t 3. t 1 m t 3 0 t 1 t 1 m t 3 0 m t 3 t 1 4 4 4 t 1 t 1 Ta có 1 . Với t 5 1 1 1 3 hay 1 3 1 3 t 3 t 3 t 3 5 3 t 3 t 3 suy ra 1 m 3. Vậy phương trình có nghiệm với 1 m 3. BÌNH LUẬN t 1 y ,t 5 Chúng ta có thể dùng hàm số để tìm max, min của hàm số t 3 Câu 29: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình 2 2 log2 7x 7 log2 mx 4x m , x ¡ . A. m 2;5.B. m 2;5 . C. m 2;5 .D. m  2;5 . Hướng dẫn giải Bất phương trình tương đương 7x2 7 mx2 4x m 0, x ¡ 2 7 m x 4x 7 m 0 (2) , x ¡ . 2 mx 4x m 0 (3) ✓ m 7 : (2) không thỏa x ¡ ✓ m 0 : (3) không thỏa x ¡
19. 7 m 0 m 7 2 2 4 7 m 0 m 5 (1) thỏax ¡ 2 m 5. m 0 m 0 2 m 2 3 4 m 0 Câu 30: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho khoảng 2;3 thuộc tập nghiệm của bất 2 2 phương trình log5 x 1 log5 x 4x m 1 (1) . A. m  12;13 . B. m 12;13 .C. m  13;12 .D. m  13; 12 . Hướng dẫn giải x2 4x m x2 1 m x2 4x f (x) (1) 5 2 2 m 4x 4x 5 g(x) x 4x m 0 m Max f (x) 12 khi x 2 2 x 3 Hệ trên thỏa mãn x 2;3 12 m 13. m Min f (x) 13 khi x 2 2 x 3 x 3 x2 5x 6 Câu 31: Phương trình 2 3 có hai nghiệm x1, x2 trong đó x1 x2 , hãy chọn phát biểu đúng? A. 3x1 2x2 log3 8 .B. 2x1 3x2 log3 8 . C. 2x1 3x2 log3 54. D.3x1 2x2 log3 54. Hướng dẫn giải x 3 x2 5x 6 Logarit hóa hai vế của phương trình (theo cơ số 2) ta được: 3 log2 2 log2 3 2 x 3 log2 2 x 5x 6 log2 3 x 3 x 2 x 3 log2 3 0 x 3 x 3 0 x 3 x 3 . 1 x 2 log 3 0 1 2 x 2 1 x 2 log2 3 x 2 log2 3 1 log2 3 x 3 x 3 x 3 x log3 2 2 x log3 2 log3 9 x log3 18 Câu 32: Phương trình 33 3x 33 3x 34 x 34 x 103 có tổng các nghiệm là ? A. 0.B. 2.C. 3.D. 4 . Hướng dẫn giải 33 3x 33 3x 34 x 34 x 103 7 3x 27 x 81 3 3x 1 x 1 3 7 27.3 3x 81.3 x 10 27. 3 3x 81. 3 x 10 7' 3 3 3 3
20. 1 Côsi 1 Đặt t 3x 2 3x. 2 3x 3x 3 3 x 1 3x 2x 1 x 1 1 3x 1 3 t 3 x 3 3.3 . x 3.3 . 2x 3x 3 3x t 3t 3 3 3 3 3 103 10 Khi đó: 7' 27 t3 3t 81t 103 t3 t 2 N 27 3 10 1 10 Với t 3x 7'' 3 3x 3 y 3 N x 1 10 2 Đặt y 3 0 . Khi đó: 7'' y 3y 10y 3 0 1 y 3 y N 3 Với y 3 3x 3 x 1 1 1 Với y 3x x 1 3 3 Câu 33: Phương trình 32x 2x 3x 1 4.3x 5 0 có tất cả bao nhiêu nghiệm không âm ? A.1. B. 2. C. 0. D.3. Hướng dẫn giải 32x 2x 3x 1 4.3x 5 0 32x 1 2x 3x 1 4.3x 4 0 3x 1 3x 1 2x 4 3x 1 0 3x 2x 5 3x 1 0 3x 2x 5 0 Xét hàm số f x 3x 2x 5 , ta có : f 1 0. x f ' x 3 ln3 2 0;x ¡ . Do đó hàm số f x đồng biến trên ¡ . Vậy nghiệm duy nhất của phương trình là x 1 BÌNH LUẬN x Có thể đặt t 3 0 sau đó tính delta theo x 2 2 x2 4 2 x 1 2 x 2 x2 3 Câu 34: Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình 2 2 2 2 1 . Khi đó, tổng hai nghiệm bằng? A. 0. B. 2. C. 2. D. 1. Hướng dẫn giải 2 2 2 2 x2 4 2 x 1 2 x 2 x2 3 x2 1 2 x 1 2 x 1 x2 1 2 2 2 2 1 8.2 2 4.2 4.2 1
21. 2 Đặt t 2x 1 t 2 , phương trình trên tương đương với 8t t 2 4t 2 4t 1 t 2 6t 1 0 t 3 10 (vì t 2 ). Từ đó suy ra 3 10 x1 log2 2 2 2x 1 3 10 3 10 x log 2 2 2 Vậy tổng hai nghiệm bằng 0 . Câu 35: Với giá trị của tham số m thì phương trình m 1 16x 2 2m 3 4x 6m 5 0 có hai nghiệm trái dấu? 3 5 A. 4 m 1. B. Không tồn tại m . C. 1 m . D. 1 m . 2 6 Hướng dẫn giải Đặt 4x t 0. Phương trình đã cho trở thành: m 1 t 2 2 2m 3 t 6m 5 0. * 144444 444444 442 4444 4444444443 f t Yêu cầu bài toán * có hai nghiệm t1, t2 thỏa mãn 0 t1 1 t2 m 1 0 m 1 0 m 1 f 1 0 m 1 3m 12 0 4 m 1. m 1 6m 5 0 m 1 6m 5 0 BÌNH LUẬN x t 4 x log 4 t Tìm mối quan hệ nghiệm giữa biến cũ và mới, do nên 0 t1 1 t2 thì 0 t 1 log 4 t 0 phương trình có hai nghiệm trái dấu. x x 1 Câu 36: Với giá trị nào của tham số m thì phương trình 4 m.2 2m 0 có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn x1 x2 3 ? A. m 4 .B. m 2 .C. m 1.D. m 3 . Hướng dẫn giải 2 Ta có: 4x m.2x 1 2m 0 2x 2m.2x 2m 0 * Phương trình * là phương trình bậc hai ẩn 2x có: ' m 2 2m m2 2m . 2 m 2 Phương trình * có nghiệm m 2m 0 m m 2 0 m 0
22. Áp dụng định lý Vi-ét ta có: 2x1.2x2 2m 2x1 x2 2m 3 Do đó x1 x2 3 2 2m m 4. Thử lại ta được m 4 thỏa mãn.Chọn A. BÌNH LUẬN x x Do phương trình * là phương trình bậc hai ẩn 2 0 có thể có nghiệm 2 0 (vô lí) nên khi giải ra tham số m 4 thì phải thử lại. Câu 37: (CHUYÊN VINH – L2)Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số 1 y 2 xác định trên khoảng 0; . mlog3 x 4log3 x m 3 A. m ; 4  1; . B. m 1; . C. m 4;1 . D. m 1; . Hướng dẫn giải Chọn A. Đặt t log3 x , khi đó x 0; t ¡ . 1 1 y 2 trở thành y 2 . mlog3 x 4log3 x m 3 mt 4t m 3 1 Hàm số y 2 xác định trên khoảng 0; khi và chỉ khi hàm số mlog3 x 4log3 x m 3 1 y xác định trên ¡ mt 2 4t m 3 mt 2 4t m 3 0 vô nghiệm 4 m2 3m 0 m 4  m 1. Câu 38: (CHUYÊN VINH – L2)Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 2 x m có hai nghiệm phân biệt. log3 x 1 A. 1 m 0 . B. m 1. C. Không tồn tại m . D. 1 m 0 . Hướng dẫn giải Chọn B. x 1 0 x 1 Điều kiện: x 1 1 x 0 Xét hàm số 2 2 f x x ; f x 1 2 0,x 1;0  0 : log3 x 1 x 1 .ln 3.log3 x 1 Bảng biến thiên
23. x 0 y + + y 1 2 Từ bảng biến thiên suy ra phương trình x m có hai nghiệm phân biệt khi và log3 x 1 chỉ khi m 1 x x x 1 x 1 Câu 39: (TIÊN LÃNG – HP)Cho bốn hàm số y 3 1 , y 2 , y 4 3 , y 4 3 4 có đồ thị là 4 đường cong theo phía trên đồ thị, thứ tự từ trái qua phải là C1 , C2 , C3 , C4 như hình vẽ bên. Tương ứng hàm số - đồ thị đúng là y C3 A. 1 C2 , 2 C3 , 3 C4 , 4 C1 . B. 1 C1 , 2 C2 , 3 C3 , 4 C4 . C1 C4 C. 1 C4 , 2 C1 , 3 C3 , 4 C2 . D. 1 C1 , 2 C2 , 3 C3 , 4 C4 . Hướng dẫn giải Chọn C. x Ta có y 3 và y 4x có cơ số lớn hơn 1 nên hàm đồng x biến nên nhận đồ thị là C3 hoặc C4 . Lấy x 2 ta có O 2 x 2 x 3 4 nên đồ thị y 4 là C3 và đồ thị y 3 là C4 . x x x 1 1 Ta có đồ thị hàm số y 4 và y đối xứng nhau qua Oy nên đồ thị y là C2 . 4 4 x 1 Còn lại C1 là đồ thị của y . 3 Vậy 1 C4 , 2 C1 , 3 C3 , 4 C2 2 1 2 Câu 40: ( CHUYÊN SƠN LA – L2) Cho phương trình 4log9 x mlog1 x log 1 x m 0 ( m 3 6 3 9 là tham số ). Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1.x2 3 . Mệnh đề nào sau đây đúng ? 3 A. 1 m 2 . B. 3 m 4. C. 0 m . D. 2 m 3. 2 Hướng dẫn giải Chọn C. 2 1 2 Ta có: 4log9 x mlog1 x log 1 x m 0 Đk: x 0 3 6 3 9
24. 2 1 2 4 log x mlog x log x m 0 32 3 1 1 6 3 2 9 2 1 1 2 4 log3 x mlog3 x log3 x m 0 2 3 9 2 1 2 log3 x m log3 x m 0 1 3 9 2 1 2 Đặt t log3 x . Khi đó phương trình 1 t m t m 0 2 3 9 Phương trình đã cho có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1.x2 3 log3 x1.x2 1 log3 x1 log3 x2 1 t1 t2 1 (Với t1 log3 x1 và t2 log3 x2 ) Áp dụng hệ thức Vi-et cho phương trình 2 b 1 2 Ta có t1 t2 1 1 m 1 m a 3 3 3 Vậy 0 m là mệnh đề đúng. 2 Câu 41: (CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH – L2) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 3x mx 1 có hai nghiệm phân biệt? m 0 A. m 0 .B. . C. m 2 .D. Không tồn tại m m ln 3 Hướng dẫn giải Chọn B Ta có: Số nghiệm của phương trình 3x mx 1 phụ thuộc vào số giao điểm của đồ thị hàm số y 3x và đường thẳng y mx 1. y x.ln 3 1 y 3x
25. Ta thấy y mx 1 luôn đi qua điểm cố định 0; 1 nên +Nếu m 0 : phương trình có nghiệm duy nhất + Nếu m 0 : y mx 1 là hàm nghịch biến nên có đồ thị cắt đồ thị hàm số y 3x tại một điểm duy nhất. + Nếu m 0 :Để thỏa mãn ycbt thì đường thẳng y mx 1 phải khác tiếp tuyến của đồ thị hàm số y 3x tại điểm 0; 1 , tức là m ln 3. m 0 Vậy m ln 3